《数学建模与数学实验》考点

第六章数学实验与数学建模学习目标1.掌握利用Matlab软件进行了相关的数学运算的方法.2.以软件辅助来完成数学实验.3.了解数学建模思想方法，能够对一些简单问题建立数学模型求解分析.教学要求析、矩阵运算、信号处理、图形显示和建模仿真功能. Matlab是“Matrix Laboratory”的缩写，意思是“矩阵实验室”，其强大的数据处理能力和丰富的工具箱使它的编程极为简单，因此，它成为科学家和工程技术人员解决实际问题的首选计算工具软件。

本章的第一节主要介绍Matlab软件的简单使用方法，从第二节到第六节在讲解Matlab 用于解决高等数学和线性代数中的相关计算的函数基础上, 通过一些简单的数学实验例题,让学生体会如何用Matlab辅助解决数学问题. 最后，通过一些与线性代数相关的数学建模实例，让学生掌握数学建模的简单方法,学会利用Matlab软件辅助解决实际问题，以培养学生良好的数学意识和数学素质.6.1 Matlab环境及使用方法6.1.1 Matlab窗口管理Matlab启动后显示三个窗口，如图6.1所示。

左上窗口为工作区间窗口，显示用户定义的变量及其属性类型及变量长度。

工作区间窗口也可显示为当前目录窗口，显示Matlab 所使用的当前目录及该目录下的全部文件名。

左下窗口为历史窗口，显示每个工作周期（指Matlab启动至退出的工作时间间隔）在命令窗口输入的全部命令，这些命令还可重新获取应用。

右侧窗口为Matlab命令窗口，可在里面输入相关运算命令，完成相应计算。

三个窗口中的记录除非通过Edit菜单下的清除操作，否则将一直保存。

Matlab运行期间（即程序退出之前）,除非调用Clear函数，否则Matlab会在内存中保存全部变量值，包括命令输入的变量以及执行程序文件所引入的变量。

清除工作空间变量值也可以通过Edit下拉菜单中的Clear Workspace命令实现。

Clear函数可以清除内存中的所有变量。

数学建模与数学实验
数学建模与数学实验是当前数学教育和科学研究中的重要组成部分。

数学建模是将自然物理现象和复杂的现实问题建立数学模型，用数学
模型来描述、分析和分解实际问题。

数学实验是运用有关实验方法和
手段，从数字、图像、运算器等收集有关数据，反映实际物理现象，
分析发现规律并做出推断，从而检验和发展数学理论的研究体系。

一、数学建模
1、建模对象：将自然物理现象和复杂的现实问题建立为数学模型。

2、建模过程：确定问题范畴、确定建模目标与解决方案、建立计算模
型并解决、形成模型解、结论分析模型合理性。

3、建模应用：建模可以帮助人们更好地了解宇宙万物的规律，对把握
事件发展趋势，作出更精准的预测有重要意义，在社会发展、政策研
判等方面有着重要作用。

二、数学实验
1、实验方法：收集有关数据，反映实际物理现象，分析发现规律，并
作出推断，开展实用化的研究。

2、实验过程：选择恰当的实验方法，建立实验模型，进行实验的采集、处理和整理，分析实验数据，做验证性结论，实施实验报告记录。

3、实验应用：数学实验除了掌握数学理论外，还有助于理解数学建模
过程。

数学实验容易解释，可以运用到各种数学应用中，在社会经济发展、技术进步和新材料制备等各个领域中发挥重要的作用。

比例建模比例是最基本也是最常用的数学建模方法之一. 在实际应用领域和理论推导过程中, 比例关系往往发挥着至关重要的作用. 例如牛顿第二定律ma F =, 微分公式dx x f x df )()('=等等.一、比例的定义变量y 与x 成比例(x y ∝):)0(>=k kx y . 显然, 比例关系具有反身性, 对称性, 传递性:x x ∝,y x x y ∝⇔∝, z x z y y x ∝⇒∝∝,.比例关系还可推广, 如x e y x y x y ∝∝∝,ln ,α.一般地,)(x f y ∝.实际应用举例:导数: 函数的增量与自变量的增量之比的极限x x f x f ∆∆/)()(=', 当导数大于零时, 在自变量很小时可近似地认为函数的增量与自变量的增量成比例.间谍照片经翻拍, 成为胶片上芝麻大的一点, 剪下后便于隐藏. 其中图形的大小关系显然要利用比例来计算. (华盛顿特区间谍博物馆)生产队的分配比例: 拿1万斤粮食分配给社员家庭, 其中30%按人口比例分配, 70%按工分比例分配, 每家应得的粮食斤数.二、比例的几何表示y 与x 成比例, 即0,>=k kx y , y 的图形为xy 坐标系中过原点的直线. 若)(x f y ∝, 在坐标系中横轴表示f (x ), 纵轴表示y , 这时y 的图形也为直线. 下图为25.0x y =的图形: 注: 比例的图形为直线, 但图形为直线的量未必成比例. 例如42+=x y , y 与x 并不成比例. 但是, 4-y 与x 成比例.著名公式中的比例关系Hooke's law: F = kS (虎克定律: 弹力与形变成正比) Newton's law: F = ma Ohm's law: V = iRBoyle's law: V = k /p (玻尔定律: 常温下一定量的气体体积与压强成反比, 即与压强的倒数成正比)Einstein's theory of relativity: E = c 2MKepler's third law: T = cR 3/2, 开普勒第三定律:T 为行星绕太阳运行的周期, R 为行星到太阳的平均距离.例1 以著名的开普勒第三定律(Kepler's third law)为例进行讨论. 1601年, 德国天文学家Johannes Kepler 成为Prague 天文台的主任. Kepler 曾帮助Tycho Brahe 收集了13年的火星相对运动的资料. 到了1609年, Kepler 建立了他的前两个定律:1. 每个行星沿一个椭圆运动, 太阳位于此椭圆的一个焦点上.2. 对于每个行星, 太阳到此行星的直线在相同的时间里扫过相同的面积.Kepler 花费了许多年推导了这两个定律, 并进而得到了上述的第三定律, 此定律把行星的轨道运行周期和到太阳的平均距离联系了起来. 以下是1993年世界年鉴(World Almanac)给出的资料:表1 行星的轨道周期和到太阳的平均距离行星周期T (天) 平均距离R (百万哩) Mercury 水星 88.0 36 V enus 金星 224.7 67.25 Earth 地球 365.3 93 Mars 火星 687.0 141.75 Jupiter 木星 4331.8 483.80 Saturn 土星 10760.0 887.97 Uranus 天王星 30684.0 1764.50 Neptune 海王星 60188.3 2791.05 Pluto 冥王星90466.83653.90以2/3R 为横坐标, T 为纵坐标, 用Matlab 画出其图形(编制程序为period1.m)如下:可见各点基本上是在过原点的直线2/3cR T =上, 由于各点相对距离相差较大, 前四个点重叠在一起. 把上述方程两边同取对数, 改写为等价的形式R c T ln 23ln ln +=,其图形相当于上述图形中坐标刻度向原点压缩, 在画出上述图形的程序中把画图命令plot(R.^(3/2), T)改为loglog(R.^(3/2), T)即可. 图形如下. 各点仍基本在一条直线上, 体现了ln T 和ln R 间的线性关系, 但直线不过原点, 因为直线在ln P 轴上有截距ln c . c 可用最小二乘法求出为0.4095.若假设αcR T =, 对表1中给出的T 和R 的数据, 用最小二乘法可求出c = 0.4043, α = 1.5016. 这也验证了Kepler 第三定律的正确性.对给定的两组数据{x i }和{y i }, 如何建立它们间的比例关系呢?进行数学实验, 在坐标系中画出点{x i , y i }, 如不是直线或不过原点, 可通过试验, 寻找y 0和函数f (x ), 使{y i - y 0, f (x i )}基本在过原点的直线上, 则有)(0x f y y ∝-. 可供选择的函数类型有)ln(,,ax e x ax a等等.三、比例的应用之一: 几何相似定义: 两个物体称为是几何相似的, 如果在这两个物体的各点之间有一个一一对应, 使得两个物体上所有对应点对距离之比恒为常数.这个常数称为这两个几何相似物体间的比例因子. 若两个物体相似, 其比例因子为k , 则这两个物体的表面积之比为k 2, 体积之比为k 3. 对相似的几何体, 可选取一个所谓特征量纲, 例如, 对圆柱体, 可用其高h , 或底半径r , 直径d , 或底面积S d , 侧面积S c , 表面积S , 或体积V 作为特征量纲. 两个相似几何体的比例因子k 确定后, 不但它们的表面积之比, 体积之比也可得到, 而且所有(不限于两个, 甚至可以是无穷多个)相似几何体的表面积或体积与特征量纲的某次幂的比也为常数. 例如, 若取某个长度l 为特征量纲, 则222'','l l k S S k l l ===, 故有22''l S l S =.由传递性, 对所有相似的几何体, 有常数≡2lS, 2l S ∝.同理有常数≡3lV, 3l V ∝.于是, 如果要考查一个依赖于物体长度, 表面积和体积的函数, 比如),,(V S l f y =,则可通过选择特征量纲, 例如l , 把此函数表为),,(32l l l g y =.例2 从静止的云上落下的雨滴. 假设雨滴从具有足够高度的静止的云上落下, 雨滴在下落过程中受到两个力的作用: 竖直向下的重力F g 和竪直向上的空气阻力F d . 由流体力学的原理知, 可设空气阻力F d 与雨滴的表面积S 和下落速度v 的平方的乘积成正比; 而重力F g 与雨滴的质量m 成正比(假设在涉及的高度内重力加速度为常数), 因此也与其体积V 成正比. 雨滴下落过程中, 随着下落速度v 的增加, 阻力F d 也在增加, 但重力F g 保持不变. 因此下落一段时间后, 阻力F d 与重力F g 达到平衡, 雨滴受到的合力为零, 保持匀速下落. 这时,d g F F =. 再假设所有的雨滴都是几何相似的, 有23,l S l V ∝∝, 从而3/23/2m V S ∝∝. 由于m F ∝g ,23/22v m Sv F ∝∝d , 且d g F F =, 得23/2v m m ∝,化简得6/1m v ∝, 或6/1km v =,即雨滴最终保持匀速下落的速度与其质量的六次方根成正比. 又一解法:0,023/2=-=-==t d g v v km mg F F dtdv, .)2(,0)1(23/2v kmmg k ≥>其中分离变量解得vk m g v k m g m kg t -+=6/16/16/5ln 21, 上式左端趋于无穷大, 并由条件(1), (2)有)(06/1∞→+→-t v k m g ,即在极限状态下,6/1m v ∝.。

《数学建模与数学实验》考查方案教学部门及专业数学学院11级数学与应用数学专业课程名称数学建模与数学实验教学班级2011级数学与应用数学1、2班考查时间第 19 周考核方式试卷□ 过程评价□ 作业或调查□ 作品 项目任务□ □√一、必做题：（60分）1、简答题：（20分）（1）通过《数学建模与数学实验》课程的学习，请谈谈对数学建模和数学实验的认识，学习《数学建模与数学实验》课程的收获。

（不少于500字）（15分）（2）简要说明数学建模的一般过程或步骤。

（5分）2、（40分） 一阶常微分方程模型——人口模型与预测下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（），0=t 万人。

1016540=N 年198219831984198519861987198819891990人口（万）101654103008104357105851107507109300111026112704114333年19911992199319941995199619971998人口（万）115823117171118517119850121121122389123626124810要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，用数据拟合求相应的参数，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（2）建立中国人口的Logistic 模型，用数据拟合求相应的参数，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（3）利用MATLAB 图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。

（4）利用MATLAB 图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。

（5）用两个模型估计2015年中国人口。

二、选作题：（40分）（在如下问题中任选一题做建模解答）第1题 送货模型某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C 从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。

路线是唯一的双向道路(如图１)。

数学建模与数学实验微分方程模型问题 ：地中海鲨鱼问题年代 1914 1915 1916 1917 1918 百分比 11.9 21.4 22.1 21.2 36.4 年代 1919 1920 1921 1922 1923 百分比 27.3 16.0 15.9 14.8 19.7第一次世界大战期间,从地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见上表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争应该是捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何出现上述情况呢？符号表示意大利生物学家Ancona发现了这个问题， 但是他无法解释这个现象，于是求助于著 名的意大利数学家V.Volterra，希望建立一 个食饵—捕食系统的数学模型，定量地回 答这个问题.返回1．符号说明：x1(t) ——食饵在t时刻的数量； x2(t) ——捕食者在t时刻的数量； r1 ——食饵独立生存时的增长率； r2 ——捕食者独自存在时的死亡率；  1 ——捕食者掠取食饵的能力；2 ——食饵对捕食者的供养能力.e ——捕获能力系数解释2．基本假设：（1）食饵由于捕食者的存在使增长率降 低，假设降低的程度与捕食者数量成 正比；（2）捕食者由于食饵为它提供食物的作用 使其死亡率降低或使之增长，假定增 的程度与食饵数量成正比。

3．模型建立与求解模型（一） 不考虑人工捕获 dx1 dtx1 (r1 1x2 ) dx2  dtx2 (r2 2 x1)该模型反映了在没有人工捕获的自然境 中食饵与捕食者之间的制约关系，没有考虑食 饵和捕食者自身的阻滞作用， Volterra提出的最 简单的模型.4.模型求解 针对一组具体的数据用Matlab软件进行计 算. 设食饵和捕食者的初始数量分别为，x1 (0)  x10 x2 (0)  x20 r1  1, 1  0.1, r2  0.5, 2  0.02, x10  25, x20  2t的终值经试验后确定为15，求解结果如下图：x1(t)为实线，x2 (t)为“*”线.10090807060可以猜测：504030x1(t) 与x2(t)2010 0都是周期函数。

数学建模与数学实验复习范围: 题型为:简答题、建模计算题和编写程序。

1. 数学建模的步骤和模型按照表现特性的分类。

（1）数学建模步骤：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用、（2）模型按照表现特性分类：确定性模型和随机性模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型2. 人口模型：要求（1）指数增长模型的建立及求解（2）阻滞增长模型的建立.（1）指数增长模型的建立及求解：设t 时刻的人口为)(t x ，经过一段短的时间t ∆后，在t t ∆+时刻，人口数量变化为)(t t x ∆+。

由基本假设，在这段短的时间t ∆内，人口数量的增加量应与当时的人口)(t x 成比例，不妨设比例系数为0r ，即t ∆内人口的增量可写为t t x r t x t t x ∆=-∆+)()()(0等式两边同除以t ∆，当0→∆t 时)()()(lim00t x r t t x t t x t =∆-∆+→∆ 等号的左边即是导数t x d d ，已知初始时刻人口数量为0x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==00)0()(d d x x t x r t x (2.2) 就是描述人口随时间变化的带初始条件的微分方程。

用分离变量法求解，得t r x t x 0e )(0=（2）阻滞增长模型的建立：由于自然资源的约束，人口存在一个最大容量m x 。

增长率不是常数，随人口增加而减少。

它具有以下性质：当人口数量)(t x 很小且远小于m x 时，人口以固定增长率0r 增加；当)(t x 接近m x 时，增长率为零。

0r 和m x 可由统计数据确定。

满足上述性质的增长率可以写作)1()(0mx x r x r -= (2.4)这样Malthus 模型公式(2.2)变为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=00)0()1(d d x x x x x r t x m (2.5) 称为阻滞增长模型或Logistic 模型。

标题：深度探讨《数学建模与数学实验》实验教学大纲一、引言数学建模与数学实验作为重要的实验教学内容，在数学教育中扮演着重要的角色。

本文将以《数学建模与数学实验》实验教学大纲为主题，探讨其深度和广度，帮助读者更好地理解这一内容。

二、评估《数学建模与数学实验》实验教学大纲1. 简介与定义《数学建模与数学实验》实验教学大纲是一份对于实验教学的指导性文件，其中包括了数学建模与数学实验的基本概念和方法，旨在培养学生综合运用数学知识解决实际问题的能力。

2. 深度和广度考量（1）深度：实验教学大纲应当深入探讨数学建模与数学实验的理论基础，以及在实际教学中如何引导学生进行实践操作和解决问题的能力。

还应当包括对数学建模思维和实验能力的培养，以及对数学知识的综合运用和创新能力的培养。

（2）广度：实验教学大纲应当涵盖多个领域的数学知识，包括但不限于微积分、概率论、统计学等，以便学生能够全面理解数学建模与数学实验的应用范围和方法。

3. 主题文字的多次提及在《数学建模与数学实验》实验教学大纲中，数学建模与数学实验是重要的主题。

该教学大纲应当在多个部分多次提及这两个主题文字，以便学生能够深入理解和应用。

三、文章内容共享和总结根据对《数学建模与数学实验》实验教学大纲的评估，本文认为实验教学大纲应当在深度和广度上进行全面考量，以培养学生的数学建模思维和实验能力。

在实际撰写教学大纲时，应当多次提及主题文字，以期学生全面、深刻地理解主题。

本文强调了对数学知识的综合运用和创新能力的培养，这在实践中应当得到充分的重视。

四、个人观点和理解作为一名教学工作者，我深知实验教学大纲的重要性。

在实际教学中，我将更加注重引导学生进行数学建模与数学实验的训练，以期培养他们的创新思维和实践能力。

我也会结合教学大纲中的内容，进行灵活的教学设计，帮助学生更好地理解和掌握数学建模与数学实验的要点。

通过本文的探讨，相信读者能够更全面地了解《数学建模与数学实验》实验教学大纲的重要性和要求，同时也明白在实践中应当如何具体操作。

数学建模与数学实验机械工程学院机械设计制造及其自动化1106班刘鹏1105040617实验目的：1，了解数学建模与数学实验的区别：数学建模与数学实验都要用到计算机，但数学建模课是让学生学会利用数学知识和计算机来解决实际问题，而数学实验课侧重于在计算机的帮助下学习数学知识。

一个用数学，一个学数学，两者目标不同。

从内容选材上两者都是从实际出发，而不是从概念出发，但数学建模强调问题的实用，而不是强调普遍性，解决问题本身就是目的，数学实验可以从理论问题出发，也可以由实际问题出发，也可以由实际问题引入，但这个问题一般是比较经典，有较普遍意义。

2，了解数学实验的含义：数学实验是计算机技术和数学软件引用教学后出现的新兴事物，是数学教学体系，内容和方法改革的一项创造性尝试，在国家教育部关于“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革”计划中，已把数学实验列为高校非数学类专业的数学基础课之一。

数学实验概括的讲包括两部分内容，即“数学的实验”“数学实验应用”。

数学的实验实用计算机及有关的工作软件解决数学问题，数学的实验应用实用计算机及有关的工作软件及数学知识和方法求解其他科学领域的实际问题3，了解数学实验的意义：数学实验是将数学知识，数学建模知识和计算机应用能力三者融为一体，他可以使我们深入的了解数学的基本概念，数字常用数学软件，培养我们应用知识建立数学模型和计算机解决实际问题的能力，使我们对数学软件进行初步的了解，使我们对sin、Cos、tan、cot、sec、csc、fix、ceil、exp、log、conj、imag、real、limit、diff、int、desolve、ezplotfminban 等一些键功能的了解。

实验能容2 编写函数M文件SQRT.M;函数在x=567.889与0.0368处的近似值（保留有效数四位）在指令窗口输入指令edit，打开空白的M文件编辑器；里面输入syms x1 x2 s1 s2 zhi1 zhi2x1=567.889;x2=0.368;s1=sqrt(x1);s2=sqrt(x2);zhi1=vpa(s1,4)zhi2=vpa(s2,4)然后保存并命名为SQRT.M即可6 用matlab计算函数在x=-2.1处的值.>> 2-3^x*log(abs(x))ans =1.92618 用紫色.叉号.实连线绘制函数在上步长为0.2的图像.>>syms x y>> x=-20:0.2:-15;y=log(abs(x+10));>>plot(x,y,'mx-')9 用红色.加号连线虚线绘制函数在[-10,10]上步长为0.2的图像.>>syms x y;>> x=-10:0.2:10;y=sin(x/2-pi/2);>>plot(x,y,'r+--')12 在同一坐标系中绘制函数这三条曲线的图标,并要求用两种方法加各种标注.>>syms x y1 y2 y3;>> x=-2:0.1:2;y1=x.^2;y2=x.^3;y3=x.^4;plot(x,y1,x,y2,x,y3);13 作曲线的3维图像>>syms x y t z>> t=0:1/50:2*pi;>> x=t.^2;y=sin(t);z=t;>> stem3(x,y,z)15 求极限>>syms x y>> y=sin(2^0.5*x)/sqrt(1-cos(x));>> limit(y,x,0,'right')ans =22 求函数y=的导数>>syms x y>> y=(2*x-1)^5+atan(x);>>diff(y)ans =28在区间()内求函数的最值. >> f='-3*x^4+4*x^3-1';>> [x,y]=fminbnd(f,-inf,inf)x =NaN30 求不定积分>>syms x y>> y=log(3*x)-2*sin(x);>>int(y)ans =2*cos(x) - x + x*log(3) + x*log(x)31求不定积分>>syms x y>> y=exp(x)*sin(x)^2;>>int(y)ans =-(exp(x)*(cos(2*x) + 2*sin(2*x) - 5))/1032. 求不定积分>>syms x y>> y=x*atan(x)/(1+x)^0.5;>>int(y)Warning: Explicit integral could not be found.ans =int((x*atan(x))/(x + 1)^(1/2), x)33.计算不定积分>>syms x y>> y=1/exp(x^2)*(2*x-cos(x));>>int(y)Warning: Explicit integral could not be found. ans =int(exp(-x^2)*(2*x - cos(x)), x)34.计算定积分>>syms x y>> y=exp(-x)*(3*x+2);>>int(y,0,1)ans =5 - 8*exp(-1)35.计算定积分>>syms y x>> y=(x^2+1)*acos(x);>>int(y,0,1)ans =11/936.计算定积分>>syms x y>> y=(cos(x)*log(x+1));>>int(y,0,1)Warning: Explicit integral could not be found. ans =int(log(x + 1)*cos(x), x == 0..1)37计算广义积分;>>syms y x>> y=(1/(x^2+2*x+2));>>int(y,-inf,inf)ans =pi38.计算广义积分；>>syms x y>> y=x^2*exp(-x);>>int(y,0,+inf)ans =y =NaN>> f='3*x^4-4*x^3+1'>> [x,y]=fminbnd(f,-inf,inf)x = NaNy =NaN>>syms x>> x=-2.1;数学实验学院：机械工程学院专业班级：机设1106姓名：刘鹏学号：1105040617日期：2013年1月6日星期日。