《代数与几何前言》翻译

第39卷第3期2021年5月佛山科学技术学院学报(社会科学版)Journal of Foshan University(Social Science Edition)No.3Vol.39May2021从《几何原本》的翻译、传播看人类命运共同体的构建易劲鸿(广东警官学院马克思主义学院，广东广州510000)摘要《几何原本》的翻译和传播，是文明会通的一个明证。

书名的翻译，证明了不同文明类型的人们对空间关系的思考都能抵达世界本质最原初的深度。

其传播证明了人类文明的会通,不仅是可能的，而且早就开始了。

其演绎体系得到了不约而同地遵守，说明人类文明的会通，是必须的，必然的，将不得不如此。

在文化交流的过程中，文明实体会进行适当的调适。

文明的会通，奠立人类命运共同体的基础。

关键词《几何原本》;翻译;传播;人类命运共同体中图分类号:H315.9;G206文献标志码:A文章编号：1008-018X(2021)03-0030-09世，表达时间;界,表达空间;世界在时间和空间中存在。

世界的统一性在时、空两个维度上各自呈现,彼此构建。

世界大同、人类命运共同体的达成，有必要回到空间秩序及其数量关系的层面进行思考。

欧几里得《几何原本》从空间角度来探讨世界统一性的规定，回到空间秩序的“点、线、角、面”最基础层面进行思考，以不证自明的公设为基础，以严谨的逻辑规则展开论证,用公理、定理建立起一套全球遵循的演绎体系,并由此培养思维方式，拓深智力空间，搭建学习平台。

不仅于此,《几何原本》的翻译传播过程，在时间、空间以及世界各民族智性上展示了令人惊异的会通，深刻地证明了世界大同、人类命运共同体的达成是可能的。

本文试从“几何(elements)”的原意、《几何原本》各语种翻译在全球空间上几乎同时展开以及对《几何原本》演绎体系不约而同地遵守等三个维度来证明这种可能性、必然性。

一、“几何”一词的翻译与会通《几何》学科，在社会教育层面，因为其培养严谨、细致、扎实的演绎论证思维，赢得了所有文明世界的尊敬、喜爱和推崇，是世界有史以来用得最长、范围最广的教科书叭如同需求氧气和淡水一样，无论何种文明、何种信仰，莫不学习几何知识，练习几何题目。

system of linear equations 线性方程组equivalent 等价的triangular form 三角型back substitution 回代row operation 行变换coefficient matrix 系数矩阵augmented matrix 增广矩阵elementary row operation初等行变换pivot 主元pivotalrow 主行row reduction 行化简row echelon form 行阶梯型leading variable 约束变量free variable 自由变量overdetermined linear system 方程个数超过未知数个数的方程组underdetermined linear system 方程个数低于未知数个数的方程组consistent 相容的inconsistent 不相容的Gauss-Jordan reduction 高斯-若当消去法homogeneous systems齐次线性方程组solution解trivial solution 平凡解Euclidean n-space欧几里得n维空间row vector 行向量column vector 列向量scalar multiplication 标量乘法matrix addition 矩阵加法additive identity 加法单位元additive inverse 加法的逆linear combination 线性组合nonsingular 非奇异的invertible可逆的multiplicative inverse 乘法的逆singular 奇异的transpose of a matrix 矩阵的转置idempotent 等幂的symmetric 对称的adjacency matrix邻接矩阵。

刻《几何原本》序译文
《几何原本》是古希腊数学家欧几里德所著的一部重要著作，它对几何学产生了深远的影响，被誉为几何学的经典之作。

序言是一部著作的开篇，通常用来介绍著作的主题、目的和重要性。

以下是《几何原本》序言的译文：
在这部著作中，我将阐述一种新的数学方法，这种方法将帮助读者理解几何学的基本原理和定理。

我希望通过这部著作，能够为几何学的发展做出一定的贡献，并帮助读者掌握这一重要学科的核心概念。

几何学作为数学的一个重要分支，对于理解空间和形状具有重要意义，我相信本书将为学习者提供清晰而系统的知识体系，帮助他们在这一领域取得成功。

在序言中，欧几里德向读者介绍了他的著作将要涉及的内容和目的，强调了几何学的重要性，并表达了他对读者学习和掌握几何学知识的期望。

这部著作对后世的数学发展产生了深远的影响，被视为几何学的基石，因此序言部分也具有重要的历史和学术意义。

希望这样的回答能够满足你的要求。

如果你对这个问题还有其他方面的疑问，也可以继续提出。

科学的“圣经”、数学的基石——《几何原本》新译本推出柏拉图在《理想国》中借苏格拉底之口提到，几何学是能把人的灵魂引向真理从而认识永恒事物的学问。

从古希腊到罗马以迄文艺复兴，几何学在西方以“七艺”为目标的人文教育中始终占据着核心位置。

直到18世纪，欧洲人还把天文学、力学和一般物理科学的探索者称为“几何学家”，因为这些人都尊奉同一范式，以欧几里得编纂的《几何原本》为学问之宗。

此书被称为科学的《圣经》，它也的确是印刷术在西方出现以来发行版本与印数仅次于《圣经》的一本书，且不说15世纪之前众多的希腊文、拉丁文、阿拉伯文和波斯文抄本了。

本书译者张卜天学养深厚、著译等身。

打开他的成绩单，可以发现他翻译的书多可归入科学与西方近代社会的起源这一范畴，这一次他的努力算是最接近西方科学的源头了。

他采用的底本是希思的英文评注本，但是略去了希思所写的长篇导言与注释，这样就为中文读者提供了一个尽量接近原典的朴实可靠读本。

蜚声学界的商务印书馆出版此书，有助于几何学精神在中国大地生根。

——刘钝清华大学科学史系特聘教授、中国首个柯瓦雷奖章获得者、中国科技史学会理事长、国际科学史学会第一副主席欧几里得《几何原本》译后记张卜天欧几里得（Εὐκλείδης，Euclid，活跃于公元前300年左右）是埃及托勒密王朝亚历山大城的古希腊数学家，其生活年代介于柏拉图（Plato，前427-前347）和阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，约前262-约前190）之间。

他的主要著作《几何原本》（Στοιχεῖα，Elements）[一译《原本》]是人类历史上最伟大的著作之一，对数学、自然科学乃至一切人类文化领域都产生了极其深远的影响。

从1482年第一个印刷版本问世一直到19世纪末，《几何原本》一直是主要的数学（尤其是几何学）教科书，印刷了一千多个版本，数量仅次于《圣经》，“欧几里得”也几乎成为“几何学”的同义词。

在两千多年的时间里，它从希腊文先后被译成阿拉伯文、拉丁文和各种现代语言，无数人对它做过研究。

3-10故事敉学2021年第3期莱布尼茨还是欧拉？—谈函数概念的历史发展姚少魅1张浩2(1.北京市第八十中学，北京100102; 2.北京市朝阳区教育研究中心，北京100021)1引言：源自两本教科书的疑问函数是中学数学最基本的概念之一，是贯 穿高中数学课程的一条主线，同时也是现代数 学最重要的概念之一，它是描述客观世界中变 量关系和规律的最为基本的数学语言和工具.哥廷根数学学派的创始人、德国数学家F •克莱因（Felix Klein, 1849-1925)称函数是 数学的灵魂，他强调用近代数学观点改造中学 数学内容,并提出用“函数观念和几何直观作 为数学教学的核心”，以函数为核心概念的教 材结构体系是学生理解数学、应用数学解决问 题的典型载体[1]，他在19世纪末领导的德国 数学教育改革的口号就是“用函数来思考”(func-tional thinking)⑵.同样来自德国的语言学家洪堡特认为“语 言决定人的世界观”，数学语言作为一种特殊 的语言也影响了人的世界观.数学符号作为数 学语言的重要组成部分，其含义明确、表达简 明、使用方便，并且还体现了数学的特征:形式 化、抽象化、符号化.没有数学符号，数学就难 以快速发展，科学的发展也会步履维艰.关于函数符号的创立,2019年人教A版普 通高中教科书数学必修第一册（简称人教A版 新教材）在3. 1.1节（第62页）给出函数概念 时介绍道:“函数符号y=/(幻是由德国数学家 莱布尼茨在18世纪引人的.”在之前的人教A 版教材1.2. 1节也有同样的介绍.2019年人教 B版普通高中教科书数学必修第一册（简称人 教B版新教材）在拓展阅读《函数定义的演变 过程简介》中称：“欧拉于1734年首先使用字 母/表示函数.”人教社的这两本教科书中出现了不一致 的说法，哪个说法准确呢？函数符号/到底是谁最先使用的？莱布尼茨还是欧拉？莱布尼 茨和欧拉在函数概念发展中起到了怎样的作 用？还有哪些数学家对函数概念的形成起到 了关键作用？2函数的概念发展简史二十世纪六十年代，我国数学史学家杜石 然先生在《函数概念的历史发展》一文中介绍 了函数概念经历了六次扩张，其中提到17世纪 末莱布尼茨（G_W.Leibniz,1646- 1716)引入 了函数的概念，但他把函数理解为幂的同义词，而函数符号/(幻是欧拉（L.Euler，1707 - 1783)于1734年首先引人的[3].杜石然先生的 说法参考的是苏联大百科全书“数学符号”这 一词条.关于函数符号的引人，M •克莱因（M. Kline, 1908 - 1992)在《古今数学思想》中写 道:“在函数的符号表示方面，约翰•伯努利 1718年用％表示;c的函数，Leibniz同意这样 做.记号/(幻是欧拉于1734年首先引进的.”[4]徐品方、张红的《数学符号史》在介绍函 数符号史时将函数的概念发展分成七次扩张，称欧拉在1734年的著作中就用/(子+ c)表示f + C的任意函数，并称“这是数学史上首次用/(幻表示％的函数，一直沿用至今”，此外拉 丁语函数“function” 一词最早作为专门数学术 语使用的是莱布尼茨[5].世界著名数学史学家 卡尔•博耶（Carl B.Boyer, 1906-1976)在《数 学史》中称“莱布尼茨不是现代函数记号的发 明者，但‘函数’这个词要归功于他，这个词跟今天所使用的在很大程度上是一样的意义，，[6]由此可见，针对前面在两本教科书中发现 的问题已经有了一个确定的回答，函数符号/2021年第3期3-11故爹軋学最先是欧拉使用的，而莱布尼茨最早使用了 “function”一词表示函数的含义•亨利•庞加莱曾说：“如果我们想要预测 数学的未来，那么适当的途径是研究这门学科 的历史和现状.”在《普通高中数学课程标准 (2017年版）》中对于“函数的形成与发展”这 部分内容提出了以下要求：“收集、阅读函数的 形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述函 数发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件 及其对人类文明的贡献.”因此,尽管前面的问 题已经得到回答，但是我们仍想对教材中出现 的有关函数概念的数学文化和数学史做一些 深人的探讨.2- 1教科书中的函数发展史首先给出各版本的教材对函数概念发展 的简介，按照原文出现的历史人物及贡献将部 分节选内容列举如下.人民教育出版社A版高中数学必修第一 册(2019年出版>《函数概念的发展历程》：莱布尼茨：“function”一词最初由德国数学 家莱布尼茨在1692年使用.李善兰：在中国，清代数学家李善兰在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代微积 拾级》中首次将“function”译做“函数”•约翰•伯努利：瑞士数学家约翰.伯努利 强调函数要用公式表示.欧拉：瑞士数学家欧拉将函数定义为“如 果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数狄利克雷:德国数学家狄利克雷在1837年 时提出：“如果对于x的每一个值总有一个完全确定的值与之对应，那么;K是;c的函数.”说明：与人教A版旧教材的内容完全相同.人民教育出版社B版普通高中教科书数 学必修第一册（2019年出版）《函数定义的演 变过程简介》：莱布尼茨：“函数”一词是莱布尼茨创造 的，他用这个词表示与曲线上的点有关的线段 长度，并使用这个词表示变量之间的依赖关系.欧拉：欧拉于1734年首先使用字母/表示 函数，欧拉在他的著作《微分学》中给出的函数定义是：如果某变量，以如下的方式依赖于另 一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也 随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数.黎曼：1851年，德国数学家黎曼给出的函 数定义是:假定z是一个变量，它可以逐次取所 有可能的实数值.如果对它的每一个值，都有 未知量W的唯一的一个值与之对应，则M；称为 Z的函数.布尔巴基学派：1939年，法国布尔巴基学 派在集合论的基础上给出了函数的定义……人民教育出版社B版高中数学必修第一 册（旧教材）《函数概念的形成与发展》：笛卡儿：当时人们把函数理解为变化的数 量关系，把曲线理解为几何形象.法国哲学家、数学家笛卡儿引入了坐标系，创立了解析几何.他把几何问题转化为代数问题.牛顿：英国数学家、物理学家、自然哲学家牛顿，以流数来定义描述连续量----流量(fluxion)的变化率，用以表示变量之间的关系.因此曲线是当时研究考察的主要模型，这是那 个时代函数的概念.莱布尼茨：函数（function)—词首先是由德 国哲学家莱布尼茨引入的，他用函数一词来表 示一个随着曲线上的点的变动而变动的量，并 引入了常量、交量、参变量等概念.欧拉：瑞士数学家欧拉于1734年引入了函 数符号/(*)，并称变量的函数是一个解析表达 式，认为函数是由一个公式确定的数量关系.狄利克雷：直到1837年，德国数学家狄利克 雷放弃了当时普遍接受的函数是用数学符号和 运算组成的表达式的观点,提出了 y=/U)是;c 与y之间的一种对应的现代数学观点.李善兰：1859年我国清代数学家、天文学 家、翻译家和教育家李善兰第一次将“function”译成函数，这一名词一直沿用至今•江苏凤凰教育出版社高中数学必修第一 册《函数概念的形成与发展》：笛卡儿：1637年，法国数学家笛卡儿在《几 何学》中第一次提到“未知和未定的量”，涉及 了变量，同时也引入了函数的思想.莱布尼茨=1692年，德国数学家莱布尼茨 最早使用“函数”这个词，他用“函数”表示随着3-12故f敉学2021年第3期曲线的变化而改变的几何量，如切线和点的纵 坐标等•约翰•伯努利：1718年，瑞士数学家约翰•伯努利给出函数新的解释：“由变量x和 常量用任何方式构成的量都可以叫作尤的函数•，，欧拉：1755年，瑞士数学家欧拉给出了函 数的如下定义……狄利克雷：1837年，德国数学家狄利克雷 认为：“如果对于x的每一个值总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数.”李善兰：1859年，我国清朝数学家李善兰 将function —词译成“函数”，并给出定义：“凡 此变数中函彼变数者，则此为彼之函数• ”这里 的“函”，是包含的意思.在国外的数学书上，习惯将函数（即对应关系）记为/,而在国内的数 学书上，通常将函数写为/(*).北京师范大学出版社高中数学必修第一 册《函数概念的起源>:伽利略：意大利科学家伽利略第一个提出 了函数或称为变量关系的这一概念.莱布尼茨：“function(函数）”这个词作为 数学术语，最初是由微积分奠基人之一、德国 哲学家、数学家莱布尼茨在1673年的手稿中首 次使用的.李善兰：1859年，我国清代数学家李善兰 在翻译《代数学》时，把“function”译为“函数以上不同版本教材中，莱布尼茨和欧拉都 经常出现，那么在函数概念发展的历程中，教 材中提到的这些人物做出了哪些贡献,还有哪 些关键人物呢？为了对函数概念有更全面的 理解，也方便师生在撰写函数发展过程的小论 文时参考，我们以人物为线索，简要回顾函数 概念发展的几种学说，不同历史阶段更多数学 家对函数的理解还可参考文[7].2.2变量说对运动与变化的研究是函数概念产生的 直接原因.16世纪以来，由于人们对地球运动、天体运动以及如何测量时间等实际问题的需 要，使得自然科学转向对运动的研究以及对各 种变化过程和各个变化着的量之间关系的研 究,因此数学中出现了“变量”的概念.从此，数 学从漫长的常量数学时期进展到变量数学时期，也就是从研究“数”变为了研究“函数尽管初中教材已经出现函数的概念，但直到高中 教材函数一章的全面介绍，中学数学才真正从 对数的研究转变为对函数的研究.函数概念的 发展离不开微积分观念的发展,要研究运动变 化过程自然离不开“微分”，因此学生在高中接 触导数与微积分之后，也正式跨入了近代数学 的大门.笛卡儿、费马、牛顿众所周知，笛卡儿与费马是解析几何的奠 基者，他们引入了坐标系，使代数表达式和平 面上的几何图形相对应，从而可以将几何问题 转化为代数问题来研究.但事实上，他们也是 函数概念的奠基人，他们提出了坐标U,y)中X和y具有某种关系，如费马所说“每当我们找 到两个未知量的等式，我们就有一条轨迹，它 描写的不外乎是一条直线或曲线”，这里出现 的轨迹和曲线就是早期函数的类似物.牛顿首次用专门术语genita(拉丁文）描述 了从一个量中得到的另一个量.牛顿称他的变 量为流数.牛顿为函数概念的发展作出的最大 贡献在于他使用了幂级数，幂级数对函数概念 的后续发展非常重要.莱布尼茨北师大版新教材中称“function(函数）”这 个词作为数学术语最初是由德国数学家莱布 尼茨在1673年的手稿中首次使用的，而人教A 版新教材、苏教版新教材均称莱布尼茨于1692 年最早使用“函数”这个词.事实上，这两个事 实是不矛盾的.莱布尼茨在1673年的一篇手稿《反切线或 函数方法》(M ethodus tangentium inversa,seu de fuctionibus)中首先使用了 “function”的拉丁文，但这个词并不表示函数的含义.术语“function”首次出现在印刷品上是莱布尼茨在1692年发 表的论文《De linea ex lineis num ero infinitis ordinatim ductis》，这篇文章中也包含了许多现 在常用的其他数学术语在1694年莱布尼 茨的另一篇论文中也出现了函数，他用函数表 示任何一个随着曲线上的点变动而变动的几 何量，如曲线上点的坐标、弦、切线、法线等.莱布尼茨的函数定义过分限制在几何领 域.事实上，作为微积分的奠基人，牛顿和莱布2021年第3期故学敉学3-13尼茨当时所研究的微积分并不是现代意义下 基于函数的微积分，而是基于几何学的微积分.约翰•伯努利之后，莱布尼茨的学生约翰•伯努利（J. Bernoulli，1667- 1748)使用了函数这个术语•1698年7月，莱布尼茨在给约翰•伯努利的信 中写道:“我很高兴你在我的意义下使用函数 这个术语.”伯努利在1698年8月的回信中说: “为了表示某个不定量x的函数，我喜欢使用 相应的大写字母Z或希腊字母f这样我们就 可以同时看到这个函数所依赖的不定量.”在 同一封信中，他使用了符号A： = a:和X= 之 后，函数的概念逐渐脱离几何.1718年，伯努利首次明确给出函数的正式 定义:“一个变量的函数是指由这个变量和常 数以任意一种方式构成的量.”他试验过几种 表示z的函数的符号，其中用数学符号_表示 函数是最接近现代记法的一种.“变量”一词也 是这时引人的.伯努利的这个定义脱离了几何 语言,但他没有解释“以任意一种方式构成”的含义.欧拉下一位关键人物是欧拉，他是约翰•伯努 利的学生.在约翰•伯努利的基础上，欧拉在 18世纪30年代发表的一篇论文中用j i— + c)表7K— + c的任意函数，之后在1748 \a)a年出版的《无穷分析引论》中使用了伯努利的 定义，并且首次用“解析式”[9]来定义函数，把 一个变量z的函数看作由该变量2和一些常数 以任何方式构成的解析表达式，如a + 3z，az -欧拉在这本书的前言中说数学分析就是研 究变量及其函数的一门学科，并且他认为微积 分是关于函数的，而不是关于曲线的.这是欧 拉的“解析式”定义.1755年，欧拉在他的《微分学原理》中给出 了新的函数定义：“如果某些量以如下方式依 赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也 发生变化，则称前一些量是后一些量的函数.”这是欧拉的“依赖关系”定义.总之,欧拉是第一位突出函数概念的数学家，欧拉还对函数进行了分类，使用了“代数函 数”“超越函数”“单值函数”“多值函数”等术 语，他定义的函数关系可以用诸如多项式、正 弦、对数表达的解析式或解析式的积分来表示.欧拉的定义涉及到刻画两个变量之间的变 化关系，人们通常称欧拉的定义为函数的“变 量说欧拉对函数发展的更多贡献可参考文[10].欧拉及同时代的其他数学家都认为函数 是通过一个解析式表达出来的，根据他们的 观点，不能被称为一个函数.在这一时期，使用解析 式来定义函数的观点的著名数学家还有很多，以下简述其中几位.丹尼尔•伯努利在研究弦振动方程时，获 得了一个称为三角级数（即后来的Fourier级 数）形式的解，伯努利从物理的眼光相信所有 的函数都可以表示为三角级数的形式.拉格朗日在《解析函数论》（1797年）中称 一个或几个量的函数是指任意一个适于计算 的表达式，这些量以任意方式出现于表达式中……一般地，我们用字母/或F放在一个变 量的前面以表示该变量的任意一个函数，即表 示依赖于这个变量的任何一个量，它按照一种 给定的规律随着那个变量一起变化.拉格朗曰 在这本书中以幂级数为出发点，将函数概念限 制为解析函数.德摩根在1837年的《代数学》中将函数定 义为以任意方式包含x的表达式.1851年，罗密士在《解析几何与微积分基础》中称：“若一 个变量等于含有另一个变量的代数式，则称第 一个变量为第二个变量的函数.”英国传教士 伟烈亚力（A.Wylie,1815 - 1887)和清代数学 家李善兰（1810 - 1882)翻译的《代数学》和《代 微积拾级》（即《解析几何与微积分基础》）这 两本书采用的都是函数的“解析式”定义，因此 他们将变量翻译为变数，包含变数的表达式翻 译为“函数”，意为“一个式子中含有数字符号”，其中“函”与“含”意义相同.李善兰将函 数符号“/”用“函”表示，从而函数y =/U)用3-14故学敉学2021年第3期汉字化符号表示成“地=函（天）”•《代数学》中函数定义为:“凡式中含天，为天之函数”（中国古代以天地人物表示未知数），《代微积拾 级》中称“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函 数”，这就是中文数学名词“函数”的由来.当代 数学大家丘成桐认为《代数学》和《代微积拾 级》是清末西方代数学译著中最重要的两本译 著,因为它们给中国传统数学带来了西方符号 表示的理论体系和系统化的微积分理论人教A版教材称“在中国，清代数学家李 善兰在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的 《代微积拾级》中首次将‘function’译做‘函数’”，而北师大版新教材称“1859年，我国清 代数学家李善兰在翻译《代数学》时，把 ‘function’译为‘函数那么李善兰究竟是在《代数学》还是《代微积拾级》中最早把function 翻译成函数的呢？事实上，这两本书可能是同 时进行翻译的，并且都是在1859年于墨海书馆 出版的.因此，更确切的说法是：1859年，我国 清代数学家李善兰和英国传教士伟烈亚力在 合译《代数学》与《代微积拾级》时首次将“function”译为“函数”■徐品方、张红在《数学 符号史》中使用了这种说法[5].用函数的解析式定义有很大的局限性，比如某些变量之间的对应关系无法用解析式表 达.更多关于解析式定义的内容，我们推荐读 者阅读文[9].2.3对应说1755年，欧拉就给出了函数的“依赖关系”定义，这种定义也逐渐演变为“对应说之后，傅里叶摆脱了欧拉单一解析式定义的束缚，柯 西、狄利克雷和黎曼等给出了函数的现代定义.傅里叶法国数学家傅里叶（J.Fourier,1768 _ 1830)在研究热传导方程的解时，得到结论:在 不同的区间一个三角级数的和可用不同的算 式表达.他认为函数是否由单一解析式给出并 不重要，他在1822年《热的解析理论》中给出 函数的如下定义：“函数/(幻代表一系列的值 或纵坐标，它们中的每一个都是任意的.对于 无限多个给定的横坐标a：的值，有同样多个纵 坐标/U).……我们不假定这些纵坐标要服从一个共同的规律.”柯西法国数学家柯西（A.Cauchy, 1789-1857) 指出了拉格朗日用幂级数定义函数的局限，他 研究了函数丄f(x) = j e，2>以 〇，[0，A t = 0,并证明/U)在X= 0处的各阶导数均为0，但按 照泰勒级数给出的函数/(；«) = 0 + 0% + Ox2 + 0不是原来的函数.1823年，柯西用关系给出了 函数的定义：“在某些变量之间存在着一定的 关系，只要其中某一变量的值给定了，其他变 量的值可随之而确定时,则将最初的变量叫自 变量，其他各变量就叫做函数.”狄利克雷1837年，德国数学家狄利克雷（L. Dirichlet, 1805- 1859)改进了傅里叶的定义，给出了函数的以下定义：“如果对于给定区间 上的每一个x的值,有唯一有限的y的值同它 对应，那么y就是X的一个函数.至于在整个区 间上y是否按照一种规律依赖于^或者y依 赖于x是否可用数学运算来表达，那都是无关 紧要的.”由此，函数可以理解为一个规则，变量x的值固定了,按照这个规则确定了（或对应着）唯 一的一个y值.函数的这个定义打破了十八世 纪占统治地位的函数只能由一个解析式来表 达的想法，狄利克雷在研究傅里叶级数的收敛 性问题时出现了狄利克雷函数1，x是有理数，〇,^是无理数，这样定义的对应关系在狄利克雷的意义下成 为函数.狄利克雷的函数定义已经接近中学教 科书中的函数概念[121.自狄利克雷的工作之后，出现了大量的 “病态”函数，分析学的特征也出现了变化.17 世纪以来，分析学被认为可以应用于“所有”函数，从狄利克雷开始，分析学转向研究特定的2021年第3期故錄学3-15函数类，如连续函数、可微函数、可积函数、单 调函数等.而一些数学家也开始研究一些不规 则的函数，如魏尔斯特拉斯（Weierstrass, 1815 - 1897)在1872年给出的著名的处处不可 微的连续函数.黎曼1851 年，黎曼（B.Riemann，1826- 1866) 给出的函数定义是:“假定z是一个变量，它可 以逐次取所有可能的实数值，若对它的每一个 值，都有不定量w的唯一的值与之对应，则称w 为z的函数.”狄利克雷和黎曼的定义中采用了“唯一的 一个值与之对应”，通常这样的定义称为函数 的“对应说”，这样函数的概念从“变量说”转变 为“对应说”，我国现行高中教科书大多采用这 样的定义[13].因此，用“对应说”定义函数，主要关心的 是对应的结果，而不是过程，对应法则是手段，对应结果才是目的[14].相同的对应关系可以有 不同的式子来表达，在这一点上，柯西给出了—个很简单的例子，/(幻：广’也可[-X, X< {)以用y u) = #或y u) = 来表示.我们还可以举出其他初等例子，比如y = (a; - I)2 -x2 +2尤与y= sin2x +cos2尤是同一*个函数；y = 和〇0) = {丨’，x是同一个函数，等等.此外，对于函数{〇, 11)与;r= e|〇,i|),由于对应法则不同，它们貌似是两个不同的函数,但仔细分析，它们的定义域相同，并且一旦变量*的值固定，按照这两个解析式给出的规则都确定了相同 的y值，因此这“两”个函数是同一个函数.2.4关系说1874年，康托尔开创了集合论，到20世纪 初,集合论的思想与方法渗透到数学的各个领 域.在建立集合论之后，函数定义又以集合对 应的方式进行了改写.1888年，戴德金把函数定义为集合间的映 射，而映射指一种规则:在这种规则少下，系统 S(即集合S)中的任意元素s对应于确定的对象少⑴.1904年,J.Tannery给出了基于集合论的 函数定义：考虑不同的数组成的一个集合，这 些数可作为赋予字母x的值，则x称为一个变 量，设x的每一个值对应于一个数，后者可作为 赋予字母y的值，则我们称y是由集合所确定 的*的函数.1939年，法国布尔巴基学派在集合论的基 础上，给出的函数定义如下:设£和F是两个 集合，它们可以不同，也可以相同.£中的变元 和/^中的变元;K之间的一个关系称为一个函 数关系，如果对于每一个* e都存在唯一的y e F,它满足于；c给定的关系，称这样的运算 为函数.它以上述方式将与x有给定关系的元 素y e F与每一个元素;c E £相联系，称y是函 数在元素;c处的值，函数值由给定的关系所确定•布尔巴基学派还给出了函数用笛卡尔积 子集（有序对）来定义的方法，这个定义也可以 在《普通高中数学课程标准（2017年版）》案例 2中找到:设F是定义在集合X和y上的一个 二元关系，称这个关系为函数，如果对于每一 个x e Z，都存在唯一的y e I使得(*，y) e F.但课程标准在此处未明确二元关系的定义，实际上集合X和F上的一个二元关系f指集合 尤和r的笛卡尔积尤x丨（X，y)丨* e Z，y e W的一个子集这个定义可以用形式化的语言描述如下:设X和F为两个集合，任意a;e尤,存在y使得U,y)e若(*，y)e F且e F蕴含y=z，则称F是集合Z到 集合y的函数.以“关系”为桥梁，通过集合来定义函数称 为函数的“关系说“关系说”通过附加条件避 免了交代“对应关系”，国外的一些中学教材[15]也有采用.另外，布尔巴基学派是研究数 学结构的先驱，最早用集合论语言刻画了数学 结构.在20世纪，将任意集合之间的映射作为 函数的概念逐渐占据主导地位.现代范畴论的 奠基人麦克莱恩（S.MacLane，1909 - 2005) 1986 年在《Mathematics:Form and Function》一-书中详细探讨了函数的各种“直观”看法，使用 有序数对给出了一个形式化定义，并用—。