数字特征与特征函数

定理 设是{N (t), t≥0}一个强度为l的泊松过程，则对任 意固定的t, N(t)服从泊松分布，即
P(N (t) = k ) = (lt)k e-l t
k!
k = 0,1, 2,L
二、泊松过程的数字特征与特征函数
1. 泊松过程的均值函数
mN (t) = E[N(t)]= lt
2. 泊松过程的方差函数
DN (t) = D[N(t)]= lt
3. 泊松过程的均方值函数
y
2 N
(t)
=
E[N
2
(t)]
=
DN
(t)
+
mN2
(t)
=
lt
+
(lt)2
4. 泊松过程的自相关函数
E(N (t1)N (t2 ))
令t2 ³ t1E{[N (t1)- N (0)][N (t2 )- N (t1)+ N (t1)]} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]+ [N(t1)- N(0)]N(t1)} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N (0)]N (t1)} 增量独立E{[N(t1)- N(0)][N(t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N(0)]N(t1)} 增量独立E[N (t1)- N (0)]E[N (t2 )- N (t1)]+ E{[N (t1)- N (0)]N (t1)}
mN (t) = 4t = DN (t)
RN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 ) + 16t1t2 , t1,t2 Î T
CN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 )

itx

f ( t ) e dF ( x ) e itx dF ( x ) f ( t ).
- itx


9
【系1】 (唯一性定理) 两分布函数恒等的充要条 件是它们各自的特征函数恒等。
即：分布函数由其特征函数唯一确定
23
三、性质与定理的应用 例1 若X~B(n1 , p)、Y~B( n2 , p)，且X与Y相互独立
性质3：设Y aX b, 这里a, b为常数，则fY (t ) ei bt f X (at ).
29
f ( t ) E (e ) e f ( x )dx
itX itx

这就是密度函数f(x)的傅里叶变换
5
常见分布的特征函数
【单点分布】
f ( t ) pk e
k 1

itxk
e
ita
【二项分布】
f (t ) C p q
k 0 k n k
n
nk
e
itk
C ( p e ) q
k 0 k n it k
n
n k
( pe q)
it
n
【泊松分布】
it k ( e ) itk eit (eit 1) f (t ) e e e e e k! k 0 k ! k 0
6
k
【均匀分布】X~U [a, b]
【注1】 e
itx
cos tx i sin tx （欧拉公式）

3
【注2】 f (t ) cos txdF ( x ) i sin txdF ( x )
【注3】
特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：

特征函数有很多重要的应用. 比如, 用它来讨论分布函数 的可加性将非常方便.
回忆: 所谓可加性，是指若ξ与η相互独立，服从同一 类型分布，则其和ξ+η也服从该类分布，且其分布中 的参数是ξ与η的相应参数之和. 可加性也称再生性.
例8 设X和Y分别服从参数为1和2 的泊松分布, 且二者独立 试证X+Y服从参数为 1 2 的泊松分布.
f (t) 1 1 it
三、性质
性质1 f (t) f (0) 1 性质2 f (t) f (t) 性质3 设η= aξ+b, a,b是任意常数，则
f (t) eibt f (at)
性质4 若 1 , 2 ,, n 相互独立, 1 2 n ， i
的特征函数为 fi (t) ，则 f (t) f1 (t) f 2 (t) f n (t)
f (t ) e(eit 1) 例4 均匀分布U [a, b] 的特征函数
f (t) eitb eita (b a)it
例5 正态分布 N (, 2 ) 的特征函数
i t 2t 2
f (t) e 2 特别地,标准正态分布的特征函数为
t2
f (t) e 2
例6 指数分布 Exp() 的特征函数
(e it
e it ) =
1 eit 2
1 eit 2
这是分布列为
11/ 2
1/
12
的随机变量的特征函数.
一般，若能把f (t)写成 aneixnt 的形式，其中 an 0,
an 1,
n1
则f (t)是特征函数，它的分布列为 P( xn ) an , n 1,2,
关于分布函数的可加性
证明: 由泊松分布的特征函数知
f X (t ) e1(eit 1) ,

随机变量的函数及其分布
总结词
描述通过函数变换得到的随机变量的概率分 布情况。
详细描述
对于一个或多个随机变量，通过函数变换可 以得到新的随机变量。这些新随机变量的概 率分布可以通过对原随机变量的概率分布进 行函数变换得到。例如，如果X是一个随机 变量，f(X)是关于X的函数，那么f(X)的概率 分布可以通过对X的概率分布进行函数变换 得到。常见的函数变换包括线性变换、幂函 数变换等。在得到新随机变量的概率分布后， 可以进一步分析其性质和特征。
多元线性回归分析的假设包括线性关系、误差项独立同分 布以及误差项的无偏性。
详细描述
在进行多元线性回归分析之前，需要检验各因变量与自变 量之间的线性关系，并确保误差项独立且服从相同的分布 ，同时误差项的均值为零，以保证估计的回归系数是无偏 和有效的。
总结词
多元线性回归分析的应用范围广泛，包括经济、金融、生 物、医学和社会科学等领域。
随机变量的定义与性质
随机变量是定义在样本 空间上的一个实值函数 ，其取值随试验结果的 变化而变化。
随机变量具有可加性、 独立性、有限可加性等 性质，这些性质在随机 变量的计算和推导中有 着重要的应用。
离散型随机变量是取有 限个或可数个值的随机 变量，其分布律是一个 离散的概率分布。常见 的离散型随机变量包括 二项分布、泊松分布等 。
边缘概率分布与条件概率分布
总结词
描述随机变量的边缘概率分布和条件概 率分布，即考虑某些变量的取值对其他 变量的概率分布的影响。
VS
详细描述
边缘概率分布是指考虑某些随机变量的取 值后，其他随机变量的概率分布情况。对 于两个随机变量X和Y，X的边缘概率分布 表示为P(X)，表示在给定Y取某个值的条件 下，X的概率分布。条件概率分布则表示在 给定某个事件发生的条件下，其他随机变 量的概率分布情况。条件概率分布表示为 P(X|Y)，表示在Y取某个值的条件下，X的 概率分布。

第0章 补充知识
第14页
三、特征函数的定义 引言 特征函数是处理概率论问题的有力工具，
其作用在于： ➢ 可将卷积运算化成乘法运算； ➢ 可将求各阶矩的积分运算化成微分运算； ➢ 可将求随机变量序列的极限分布化成一般的
函数极限问题； ➢ ……….
第0章 补充知识
第15页
1 .复随机变量 设X，Y 为二维（实）随机变量，则称
则对于 F(x) 的任意连续点 x1和x2 ( x1 x2 ),
有
F
(
x2
)
F
(
x1
)
lim
T
1
2
T eitx1 eitx2 (t )dt.
T
it
此定理的证明略去。
注 : 定理表明,当x1, x2为F ( x)的连续点时, F ( x2 ) F ( x1 )的值完全由特征函数决定.
第0章 补充知识
[a, b] 上存在且 g/(x) 在 [a, b] 上黎曼可积，则
b f ( x)dg( x)存在,且 a
b f ( x)dg( x)
b f ( x)g/ ( x)dx
a
a
定理1.3 若f(x)在[a, b]上连续，设
a c0 c1 c2 cn b
若g( x)在[ck , ck1 )取常数值,则
(t)
e itk
k0
pk
e itk
k0
k
k!
e
e (eit )k e e eit
k0 k !
e . (eit 1)
第0章 补充知识
第19页
（4）设随机变量 X 服从U(a, b), 求其特征函数。
1
解
f

( ) a0 ( ) a0 1 ( ) ( )
例: 有5个相互独立的电子装置串联组成整机,它们每一个 的寿命 X kபைடு நூலகம்(k 1, 2,3, 4,5) 服从同一指数分布,其概率密度为
e x , x 0 f ( x) 0, x 0
y0 y0
于是Y的数学期望为
fY ( y )

0,
y0

E (Y ) y fY ( y )dy y5 e y dy
0
1 5
例: 随机变量X服从柯西分布,其分布密度为
1 f ( x) , x 2 (1 x )
求E(X)。 解:





xf ( x, y )dxdy





yf ( x, y )dxdy
xf X ( x) dx
yfY ( y ) dy
推广: E (c1 X1 c2 X 2 cn X n ) c1E ( X1 ) c2 E ( X 2 ) ④设X与Y相互独立,则 E ( XY ) E ( X ) E (Y )



所以X的数学期望不存在。
1 1 x dx 2 x dx 2 2 0 (1 x ) (1 x ) 1 ln(1 x 2 ) 0
三、随机变量函数的数学期望 定理: 设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(g是单值连续函数), 当X是离散型随机变量时,若 g ( x ) p 绝对收敛，则
推广: n个相互独立的随机变量 E ( X1 X 2
X n ) E ( X1 ) E ( X 2 )

第八章特征函数第一节特征函数一、复随机变量1、定义：设与均为上的一维随机变量,称为上的复随机变量.2、的数学期望: ,若、均存在.3、相互独立：设()独立，称()独立.4、性质：(1),其中为复常数.证明：.(2).证明：.精彩文档精彩文档(3).证明：仅证离散型.设,则||||)(,,Z E p iy x p iy xlk kl l k lk kl l k∑∑=+≤+=.(4)|||1|x e ix≤-, R ∈∀x .证明：|||||1|0x dt edt e e xitx it ix=≤=-⎰⎰.(5)若k k k iY X Z +=独立,则. 证明：仅证明时成立即可.因独立,则与独立, 从而与,与,与,与,均独立.那么.(6)，必存在.证明：仅证连续型. 因 ,，故与存在,从而存在.精彩文档二、特征函数 1、定义:设为上的一维随机变量,,规定,称为的特征函数.显然：①.② 若为离散型,则.③ 若为连续型,则.2、性质： (1)；证明：.(2)；证明：.(3)在上一致连续；证明：R ∈∀t ,R ∈∀h ,|])1[(||||)()(|)(itX ihX itX X h t i X X e e E Ee Ee t h t -=-=-++ψψ⎰⎰+∞∞-+∞∞--≤-=dx x edx x e e ihxitxihx)(|1|)()1(ϕϕ⎰∞∞-=dx x hx)(2sin2ϕ 其中：2sin222|1|222hx ie eeex h i x h i x h i ihx=-=--;精彩文档由于 0>∀ε, 0>∃K ..t s ⎰>Kx dx x ||)(ϕε<, (因为1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ收敛)取0>=Kεδ , 当δ<||h 时,⎰⎰->+≤-+KKK x X X dx x hxdx x hx t h t )(2sin 2)(2sin 2|)()(|||ϕϕψψ⎰⎰⎰-->+<+≤KKKKKx dx x K h dx x hx dx x )(||22)(||2)(2||ϕεϕϕεϕεε4)(22≤++<⎰-KKdx x .(4),为常数；证明：.(5)设()独立, 则.证明：仅证明时成立即可..(6),若存在.证明：因 .所以 .三、常见分布的特征函数1、离散型(1)退化分布：.证明：.(2)：,其中.证明：.(3):.证明：,服从参数为的(0-1)分布,且独立, , 所以.(3):.证明：.2、连续型(1)：.特别：①：；②：.精彩文档精彩文档证明：(2):.(3):.证明：.(4) ：.证明：222122221 221t t i it itz t t i edz eeσμσσσμπ--+∞-∞---==⎰.其中:.2222)(2σσσμσμσσμit it x x it x z +--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=精彩文档22222σμσμt it xit x -+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 222221212t t i itx x z σμσμ+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=- 下面计算 πσσ22222==⎰⎰-+∞-∞---it itz Lz dz edz e:,.,,在上, ,π2022=+→+=⎰⎰⎰⎰+∞∞---dx ex l xxL xx.第二节 唯一性定理一、逆转公式 1、预备知识 (1)设有函数，使得，，收敛,则在上一致收敛. 于是有；又若在上连续,则.华东师大《数学分析(下)》(2)狄里克莱积分: 华东师大《数学分析(下)》，.(3)设，,则2、逆转公式：设的分布函数为,特征函数为,又是的连续点，则证明: 不妨设，且,令，因为精彩文档.又收敛,则又因为存在,故. 所以.二、唯一性定理1、唯一性定理: 的分布函数由其特征函数为唯一确定.证明:在的每一个连续点上，取也为的连续点,于是有.因由其上连续点唯一确定，故由唯一确定.精彩文档精彩文档2、设,且,则⎰∞∞--='=dt t ex F x X itxX )(21)()(ψπϕ.证明: 因,故连续.,,有， 又 ，且 ,于是⎰⎰∞∞--+∞∞-∆+--→∆=∆-=dt t e dt t x it e e X itxX x x it itx x )(21)(lim 21)(0ψπψπ.注意为解析函数,.三、分布函数的再生性 1、，独立,则: . 证明：因，.由唯一性定理知, .2、，独立,则: .证明：因，.由唯一性定理知, .3、,独立,则: .证明：，,由唯一性定理知, .4、,独立,则: .证明：，, 由唯一性定理知, .第三节维随机变量的特征函数一、特征函数1、定义:设为上的维随机变量,,规定,称为精彩文档精彩文档的特征函数. 显然：① 若为离散型,则.② 若为连续型,则.注：∑==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='nk k k n n X t X X X t t t X t 12121) (M Λ2、性质： (1)；证明：.(2)；证明：.(3)在上一致连续； 证明：,,.其中：2121|||)()(|||X X t t X t '∆'∆≤'∆,注：∑=∆='∆nk k kX tX t 1,∑=∆∆=∆'∆nk k k t t t t 1,∑=='nk k k X X X X 1此式利用了许瓦兹不等式:精彩文档.因，由判别式可得.为方便起见,以下引入记号： ①，,.②，,特别记: ,.例： )4(}4,2{N I ⊂=,)1,0,1,0(1=I ,)0,1,0,0(11}3{3==.③ ,其中,.特别记,为单位矩阵.例： )4(}4,2{N I ⊂=,精彩文档⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000000000100000I E , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==0000010000000000}3{3E E .④ t E t I I =, 为t 的取有行的向量,I I I AE E A =, 为的取有行和列的矩阵,例： ),,,(4321t t t t t =,)4(}4,2{N I ⊂=,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==43214242100000000010000000),0,,0(t t t t t t t t t I ,⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000010000100000000010000000000000000000444342413433323124232221141312114422a a a a a a a a a a a a a a a a a a A I ④ ,，但均为非负整数. (4),为常量,为常矩阵. 证明：.精彩文档注：A B AB ''=')((5) 边缘分布：,, 特别，证明：.其中：X t E X E t X E E t X E t E X t I I I I I I I I )()()('='='='='(6),若存在,.说明：n kn kkkt t t t ∂∂∂=∂Λ2121二、逆转公式 1、逆转公式：设的分布函数为,特征函数为,在体面上概率为0,则⎰∏∈=---=-n kk k k x nk k b it a it X n dt it e e t a F b F R 1)()2(1)()(ψπ.2、唯一性定理:的分布函数由其特征函数唯一确定.⎰∏∈=---∞→-=n k k k k x nk k x it y it X n y dt it e e t x F R1)()2(1lim )(ψπ.三、独立性 1、设()独立, 则.证明：仅证明时成立即可.精彩文档.2、设为维随机变量，则 ，独立 ⇔ ∏==nk k X X t t k1)()(ψψ.证明:“”因为，独立，从而, 所以. “”因为,所以⎰∏∈=---∞→-=n kk k k x nk k x it y it X n y dt it e e t x F R1)()2(1lim )(ψπ⎰∏∈=---∞→-=n k kk k k x nk k X k x it y it n y dt t it e e R 1)()2(1lim ψπ ∏∏⎰==∈---∞→=-=nk k X nk t k k X k x it y it y x F dt t it e e k k k kk k k 11)()(21lim Rψπ.故，独立.第四节 n 维正态分布矩阵回顾：(1) 正定,记为; 非负定,记为.(2) ,.(3) 所有主子式存在,,使得存在,,使得.(4) 所有主子式存在,使得.(5) . 这时即的主子式.(6) ,则.(7) 对称合同于对角矩阵,即存在,,使得为对角矩阵.一、n维正态分布1、定义：设,,为阶正定矩阵，且,称服从维正态分布，记作.2、验算：验算确实是维随机变量的密度函数.(1)显然：,;(2)因，故存在,,使得，且.令,于是,这样,而，有,那么精彩文档,从而.于是.3、特别,当时, .二、特征函数1、的特征函数：.证明：，令,.由于,而,令，, 有,所以.精彩文档精彩文档2、I X 的特征函数： ,因此也是正态分布),(~I I I C N X μ. 其中,，为二次型的矩阵,也是正定矩阵.特别: ,.证明：.三、数字特征 1、设,则μ=EX .证明：因，从而,,所以.2、设,则. 因此有.预备工作： (1)设，为含自变量的可微函数,定义:.(2).证明：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∑∑==)()(11n j jl kj nj jl kj B A t B A t t AB .(3)设，与无关,则精彩文档,.下面证明.证明：因)()()(202l k l k t l k X X X E X X E i t t t -==∂∂∂=ψ,又,而，,kl k l l k lk C C C t t Z -='-'-=∂∂∂111121212, lk Z k l Z k Z l l k X t t Z e t Z t Z e t Z e t t t t ∂∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂22)(ψ， 于是kl k l t l k X C i i t t t -=∂∂∂=))(()(02μμψ，从而,所以.四、独立性设,则独立,,证明：“”显然. “”因,,)(ex p()ex p()(221121kk k nk k k X C t it Ct t t i t -='-'=∑=μμψ∏∏===-=nk k X n k kkk k k t C t it k 11221)()ex p(ψμ. 所以 独立.精彩文档五、线性变换 1、,,,，则.证明：因})()( ex p{21t A AC t A t i ''-'=μ, 下面证明.因,，,故存在,,使得，且, 于是.可见.2、,,服从一维正态分布.证明：“”取,由1知.“”①先证明，当,,时., ,令，,,有,,已知,精彩文档那么.故 .显然，可见, 有,又X X k k 1'=服从一维正态分布,有0),cov(>==k k k kk DX X X C ,可知, 所以. ②再证明一般地也有.由于为实对称矩阵,故存在,,使得为对角矩阵.令,由条件知,,,,也服从一维正态分布, 而由知道,,,由①知,又,由1知.3、独立,),0(~E N X .证明:“”因,那么,故独立,.“”因,故,,服从一维正态分布.因此,又因独立,，所以.精彩文档作业：1、设nk X P X 1}{~==,.,,2,1n k Λ= 求)(t X ψ2、设X 服从几何分布,求)(t X ψ、EX 及DX .3、设||21)(~x e x X -=ϕ, 求)(t X ψ.4、已知itt X -=11)(ψ,求)(),(x x F ϕ.5、已知)1,0(~N X ,32+=X Y ,求)(t Y ψ.6、设X0 1 3P21 83 81 Y 01P 31 32 已知X 与Y 独立,求Y X Z +=的概率分布.7、已知),1,1,0,0(~ρN X ,求)(21X X E . 8、证明:若)(t k ψ,.,,2,1n k Λ=均为特征函数,则∏=nk kt 1)(ψ也是特征函数.9、已知)21,1,1,0,0(~N X ,⎩⎨⎧--=++=11211211X X Y X X Y ,求),(21y y Y ϕ.精彩文档作业：1、设nk X P X 1}{~==,.,,2,1n k Λ= 求)(t X ψ解: )1()1()(1)( 1111it t in it nk k it itn k ikt nk k itx itXX e n e e ene e n p eEet k--=====∑∑∑=-==ψ )1(1 --=-it tin e n e .2、设X 服从几何分布,求)(t X ψ、EX 及DX . 解:(1) qe p qe pe qepep qe Eet it it it k k it itk k ikt itXX -=-====-∞=-∞=-∑∑1)()(1111ψ. (2)由于kk k EX i X =)0()(ψ,而22)()()()(q e ipe i e q e p t it it itit X -=---='----ψ,精彩文档22)()()(2))(()(q e i e q e ipe q e i ipe t it it it it it it X ---⋅---=''------ψ32)(q e pe pqe it ti it ---=---. 于是 pq p i i EX X1)1()0(22=--='-=ψ. 又 2321)1()0(p q q p pq EX X +=----=''-=ψ, 从而 2222211)(p q p p q EX EX DX =-+=-=.3、设||21)(~x e x X -=ϕ, 求)(t X ψ.解: ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-+===txdx x i txdx x dx x e Eet itxitXX sin )(cos )()()(ϕϕϕψ220||111)cos sin (cos cos 21t t tx tx t e txdx e txdx e x xx +=+-===+∞-+∞-+∞∞--⎰⎰.4、已知itt X -=11)(ψ,求)(),(x x F ϕ.解: 由于1111)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=λψit it t X , 可见 )1(~Exp X .所以 ⎩⎨⎧≤>=- .0 ,0,0 ,)(x x e x x X ϕ⎩⎨⎧≤>-=- .0 ,0,0 ,1)(x x e x F x X精彩文档另解: ⎰⎰⎰∞∞--∞∞--∞∞--++=-==dt t e it dt it e dt t e x itxitx X itxX 21)1(21121)(21)(ππψπϕ ⎰⎰∞∞---∞∞--⎩⎨⎧≤>=+=+++= .0 ,0 ,0 ,121212122x x e iI I dt t te idt t e x itxitx ππ其中: ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=- .0 ,21 ,0 ,211x e x e I xx⎪⎩⎪⎨⎧≤->=- .0 ,21 ,0 ,212x e x e iI x x 于是 ⎩⎨⎧≤>-=- .0 ,0 ,0 ,1)(x x e x F x X5、已知)1,0(~N X ,32+=X Y ,求)(t Y ψ. 解: 由于 2212221 )(t t t i X ee t --==σμψ,而)()(at e t X ibtb aX ψψ=+, 那么222212212323)2(3332)2()()(t t i t t i t t i X t i X Y e eee t e t t ---+=====ψψψ.可见 3=EY ,422==DY ,由唯一性定理知: )4,3(~N Y .6、设X0 1 3P21 83 81 Y 01P 31 32 已知X 与Y 独立,求Y X Z +=的概率分布. 解: 310818321)(⋅⋅⋅++==it it it itXX e e e Eet ψ, 103231)(⋅⋅+==it it itY Y e e Ee t ψ,因 X 与Y 独立, 于是精彩文档4321012124141241161)()()(⋅⋅⋅⋅⋅++++==it it it it it itX Y X Z e e e e e Ee t t t ψψψ， 所以,由唯一性定理知Z1234P612411 41 241 1217、已知),1,1,0,0(~ρN X ,求)(21X X E . 解: 由于) ex p()(21Ct t t i t X '-'=μψ,而 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0021μμμ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1122212121ρρσσρσσρσσC , ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='211221212111)(t t t t t t t t t t Ct t ρρρρ222121212221212t t t t t t t t t t ++=+++=ρρρ, 于是 u t t t t X e eCt t t =='-=++-)2(2121222121)ex p()(ρψ因 ,而uu X e t t t t e t t )(222)(21211ρρψ+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂, )()()(1221212t t e t t e t t t u u X ρρρψ+++-=∂∂∂,所以 ρψ=∂∂∂-==021221)()(t X t t t X X E .精彩文档8、证明:若)(t k ψ,.,,2,1n k Λ=均为特征函数,则∏=nk kt 1)(ψ也是特征函数.证明: 设k X 的特征函数为)(t k ψ,.,,2,1n k Λ=且独立,则∑==n k k X X 1的特征函数为=∏=n k X t k 1)(ψ∏=nk k t 1)(ψ.因此∏=nk kt 1)(ψ也是特征函数.9、已知)21,1,1,0,0(~N X ,⎩⎨⎧--=++=11211211X X Y X X Y ,求),(21y y Y ϕ.解: 由于b AX Y +=,因 })()( ex p{)()()(21t A AC t A t i e t A e t t bt i X b t i b AX Y ''-'='==''+μψψψ,})()( ex p{21t A AC t b A t i ''-+'=μ, 由唯一性定理知 ),(~A AC b A N Y '+μ.而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11b ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11ρρC ， 有 b b A =+μ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='ρρρρ2200221111111111A AC , 从而 1,121-==y y μμ,0,)1(2,)1(22121=-=+=y y y y ρρσρσ,于是 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+++---=ρρρπϕ1)1(1)1(412212221141),(y y ey y2)1(6)1(2221321+---=y y eπ.参考:精彩文档,⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-------=2222212121212)())((2)()1(21221121),(σμσσμμρσμρρσπσϕy y x x ey x .。

第四章 数字特征与特征函数1、设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中p A P =)(，再设随机变量η视μ取偶数或奇数而取数值0及1，试求ηE 及ηD 。

2、袋中有k 号的球k 只，n k,,2,1 =，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。

3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为!/n AB p n n =，已知a E =μ，试决定A 与B 。

4、袋中有n 张卡片，记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来，求所得号码之和μ的数学期望及方差。

5、试证：若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在，则∑∞=≥=1}{k k P E ξξ。

6、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(||∞<<∞-=--x e x p x λμλ0>λ。

试求ξE ，ξD 。

7、若21,ξξ相互独立，均服从),(2σa N ，试证πσξξ+=a E ),max(21。

8、甲袋中有a 只白球b 只黑球，乙袋中装有α只白球β只黑球，现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。

9、现有n 个袋子，各装有a 只白球b 只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ，求n S 。

10、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体质重量，试说明这样做的道理。

11、若ξ的密度函数是偶函数，且2E ξ<∞，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立。

12、若,ξη的密度函数为22221,1(,)0,1x y p x y x y π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩，试证：ξ与η不相关，但它们不独立。

13、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。

复旦大学《概率论基础》习题答案（第一版）第四章 数字特征与特征函数1、解：∑∑∞=∞=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=011111)1(,k k kk k a a a a a k E ξ，令p a a =+)1(，则10<<p ，且∑∑∞=∞=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+='⎪⎭⎫ ⎝⎛=121)1(1k k k k p p a a p p p kp ，a a a a aa E =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅+=∴211111ξ。

采用同样的方法并利用a E =ξ得[]∑∑∞=∞=+-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=11221)1(11111k k k kp k k a a a k a E ξ∑∑∞=∞=-+++=11)1(1111k k k kp k k a kp a"⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++="⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∑∞=)1(11212p p a p a p a p a k k 2322)1(21a a p a p a +=-⋅++= )1()2()(2222a a a a a E E D +=-+=-=ξξξ。

2、解：设n μμμμ+++= 21，其中⎩⎨⎧=出现次试验若第出现次试验若第A i ，A i i 0,1μ，则∑∑====ni i ni i p E E 11μμ，由试验独立得诸i μ相互独立，由此得)1(11i ni i n i i p p D D -==∑∑==μμ。

3、解：η服从两占分布，由第二章第29题得，P P ==}1{η{事件A 出现奇数次}===--}0{,)21(2121ηP p n P{事件A 出现偶数次}n p )21(2121-+=，所以 n p E )21(2121--=η，n n n p p p D 2)21(4141)21(2121)21(2121--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=η.4、解：设ξ表取一球的号码数。

的一个新分割, 且
∑n ∑ m
ξ +η =
(xi + yj )1AiBj .
i=1 j=1
所以由数学期望的定义和概率的有限可加性得
∑n ∑ m
∑n ∑ m
∑n ∑ m
E(ξ + η) =
(xi + yj)P(AiBj) =
xiP(AiBj) +
yj P(AiBj )
i=1 j=1
i=1 j=1
i=1 j=1
概率论习题解答
李勇 张余辉
May 30, 2018
1 第四章 数字特征与特征函数
§4.1.4 练习题
练习4.1.1 设 ξ 和 η 均为简单随机变量, 试证明 E(ξ + η) = E(ξ) + E(η).
证明: 不妨假设
∑n ξ = xi1Ai ,
i=1
∑ m η = yj 1Bj ,
j=1
其中 {Ai} 和 {Bj} 均为样本空间的分割. 记 Cij = AiBj, 则 {Cij : 1 i n, 1 j m} 构成样本空间
解: 记 ξ = min{ξ1, ξ2, · · · , ξn}, η = max{ξ1, ξ2, · · · , ξn}, 则 (ξ, η) 的联合密度函数
p(ξ,η)(x, y) = n(n − 1)(y − x)n−2, 0 < x < y < 1,
所以 ξ 和 η 的边缘密度函数分别为 ∫∞
∑n
∑ m
= xiP(Ai) + yjP(Bj) = E(ξ) + E(η).
i=1
j=1
练习4.1.2 假设简单随机变量 ξ 和 η 相互独立, 试证明

1 T ei t ( x x1 ) ei t ( x x2 ) dt {0 2π it i z ( x x1 ) 0e e i z ( x x2 ) d z }d F ( x )(换元z - t ) T iz 1 T ei t ( x x1 ) e i t ( x x1 ) ei t ( x x2 ) e i t ( x x2 ) d t }d F ( x ) {0 2π it 1 T sin t ( x x1 ) sin t ( x x2 ) { [ ]d t }d F ( x ) π 0 t t

为的特征函数(characteristic function)
由于 | eitx || cos tx i sin tx | 1,因而此积分是绝 对收敛的，因而对一切t 都有意义.
3. 离散情形与连续情形下的特征函数
设随机变量的分布列为P { xk } pk , k 1, 2, , n, 则其特征函数为 f ( t ) pk e itxk .
ix 0 0


因此
|
e
i tx1
e it
i tx2
e
i tx
| x2 x1
经过交换积分次序我们可以得到
1 T e i tx1 e i tx2 i tx IT {T i t e d t }d F ( x ) 2π
1 T ei t ( x x1 ) ei t ( x x2 ) dt {0 2π it i t ( x x1 ) 0 e e i t ( x x2 ) d t }d F ( x ) T it
2. 定义
定义 4.5.1 如果与都是概率空间 (,F,P)上的 实值随机变量，则称=+i的复随机变量. 复随机变量=+i的数学期望为E()=E()+iE()

如果C X (t1, t2 ) 0，则称
R X (t1, t2 ) 0，则称
X (t1)和 X (t 2 ) 是不相关的。
X (t1 )和 X (t 2 ) 是相互正交的。
f X ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) f X ( x1 , t1 ) f X ( x2 , t 2 )
一般说来时间相隔越远相关性越弱自相关函数的绝对值也越弱当两个时刻重合时其相关性应是最强的所以r中心化自相关函数?自相关系数正交独立不相关充分条件正态随机过程10?若均值与方差总功率存在存在称为二阶矩过程相关理论自相关函数和方差12t1t2例21一个随机过程由四条样本函数构成每条样本函数等概时刻t1t2上各条样本函数的取值给定求13?互相关函数3两个随机过程的相关特性dydx描述两个随机过程任意两个时刻之间的统计关联性t1t214?互协方差函数
1 2 (t ) R X (t , t ) m (t ) A 2
2 X 2 X
11
6
• • • •
t1
例2.1 一个随机过程由四条样本函数构成，每条样本函 数等概，时刻t1，t2上各条样本函数的取值给定，求RX (t1 , t2 )
5
4 3 2 1
• • • •
t2
x1(t) x2(t)
若：
R X (t1, t2 ) E[ X (t1)] E[ X (t2 )] 不相关
•2、反映不同随机过程的波形变化
7
•自协方差函数
C X (t1, t2 ) E{[ X (t1) m X (t1)][X (t2 ) mx (t2 )]} E{ X (t1) X (t2 )} m x (t1)mx (t2 ) 中心化自相 R(t1, t2 ) m x (t1)mx (t2 )

第三讲随机过程的数字特征和特征函数讲解在概率论和统计学中，随机过程是指一组随机变量的集合，这些随机变量依赖于一个参数（通常是时间）。

随机过程的数字特征和特征函数是描述随机过程的重要概念。

1.数字特征：随机过程的数字特征是对其统计特性的度量，通常用于描述随机过程的平均值、方差、协方差等。

随机过程的数字特征可以通过计算随机变量的数学期望、方差等得到。

2.特征函数：特征函数是随机过程的一种表示方式，它是对随机过程的全面描述。

特征函数是随机变量的复数值函数，它对于每个时间点都定义了一个复数值，用来表示该时间点的随机变量的概率分布。

特征函数可以通过随机变量的概率密度函数计算得到。

特征函数的性质：-对称性：如果随机过程的数字特征对称，那么它的特征函数也对称。

-唯一性：特征函数能够唯一地表示一个随机过程的概率分布。

-独立性：随机过程的特征函数在不同时间点上是相互独立的。

-连续性：特征函数是连续函数，可以通过连续函数逼近定理来证明。

特征函数的应用：-用于推导随机过程的数字特征：通过特征函数可以推导出随机过程的数字特征，例如平均值、方差。

-用于计算随机过程的概率分布：通过特征函数可以计算随机过程的概率分布，例如计算随机过程在其中一时间点的概率。

-用于分析和处理随机过程的相关问题：通过特征函数可以进行随机过程的变换、滤波等操作，从而实现对随机过程的分析和处理。

总之，随机过程的数字特征和特征函数是描述随机过程的重要工具，它们可以用来分析和处理随机过程相关的问题，推导随机过程的数字特征，并计算随机过程的概率分布。

例：历史上著名的投掷硬币试验.
例:高尔顿钉板试验
2.概率的描述性定义：
频率的稳定性说明：随机事件发生的可能性大小是 随机事件本身固有的、不随人们意志改变的一种客观属 性，因此可以对它进行度量。
随机事件A发生的可能性大小的度量，称为A发生的 概率 (probability)，记作P(A).
表现
概率
2.事件的并运算

A与B的并事件，记为 A B ，由属 于A或B的所有样本点组成，即
A
B

例. A = { HHH }，B = { TTT } , 则 A∪B = { HHH，TTT }, 三次都是同一面. 特别地，对任意的随机事件 A ， A ∪ A = A ， A ∪ = A， A ∪ = 当 A、B 不相容时，称它们的并为和，并记作A+B.
3.事件的交运算

A与B的交事件,记为 A B或AB，由 属于A及B的样本点组成，即
例. A = { H∗∗ }，B = { } ，则 AB = { HH∗}， 前两次都是正面。 特别地，对任意的随机事件 A ， A∩A = A, A∩ = , A∩ = A.
事件的并与交运算可推广到可列个事件的情形：
1.1.3 频率的稳定性
1.频率的定义 在相同的条件下进行了 n 次重复试验，记nA 是随机事件 A 发生的次数 (又称频数) ，则定 义随机事件 A 发生的频率为 nA Fn (A) = n 。 频率描述了一个随机事件发生的频繁程度。
大量的随机试验表明：
(1) 频率具有随机波动性，即对于同一个随机 事件来说，在相同的试验次数下，得到的 频率也不一定会相同。 (2) 频率还具有稳定性，总是在某一个具体数值 附近波动，随着试验次数的不断增加，频率的 波动会越来越小，逐渐稳定在这个数值。 频率的稳定性表明随机现象也具有规律性， 称为是统计规律(大量试验下体现出的规律)。

贝叶斯定理
贝叶斯定理的表述
对于任何事件A和B，有P(B|A)=P(A∩B)/P(A)。
贝叶斯定理的应用
贝叶斯定理在统计推断、决策分析和机器学习等领域 有广泛的应用。
贝叶斯定理的推导
贝叶斯定理可以通过条件概率的定义和全概率公式进 行推导。
02 随机变量及其分布
离散随机变量
定义
离散随机变量是在一定区间内取有限个值的随机变量，通 常用整数或离散值表示。
04 数理统计基础
样本与抽样分布
总体与样本
总体是研究对象的全体，样 本是从总体中抽取的一部分 。
随机抽样
随机抽样是从总体中按照随 机原则抽取一部分个体的方 法。
抽样分布
抽样分布是描述样本统计量 的分布情况。
参数估计
点估计
点估计是利用样本数据对总体参数进行估计的 方法。
区间估计
区间估计是基于点估计，给出总体参数可能存 在的区间范围。
性质
随机变量的函数的概率分布可以 通过对原随机变量的概率分布进 行相应的运算得到。
03 数字特征与特征函数
期望与方差
期望
期望是概率论中用来度量随机变量取值的平均水平的数学工具，常用符号E表示。期望的计算公式为 E(X)=∑XP(X)，其中X是随机变量，P(X)是随机变量取各个可能值的概率。
方差
方差是用来度量随机变量取值分散程度的数学工具，常用符号D表示。方差的计算公式为 D(X)=E[(X−E(X))^2]，其中E(X)是随机变量的期望值。
市场调查数据分析
调查问卷设计
基于概率论与数理统计原理，设计有 效的调查问卷，确保数据收集的准确
性和代表性。
数据处理与分析
利用统计分析方法对市场调查数据进 行处理和分析，提取有价值的信息，

题号：432《统计学》考试大纲考试内容一、概率论部分（50分）(一) 随机事件与概率1.随机现象与统计规律性2.样本空间与事件3.古典概型4.几何概率5.概率空间(二)条件概率与统计独立性1.条件概率，全概率公式，贝叶斯公式2.事件独立性3.二项分布与泊松分布(三) 随机变量与分布函数1.随机变量及其分布2.随机向量，随机变量的独立性3.随机变量的函数及其分布(四) 数字特征与特征函数1.数学期望2.方差，相关系数，矩3.熵与信息4.母函数5.特征函数6.多元正态分布(五) 极限定理1.伯努利试验场合的极限定理2.收敛性3.独立同分布场合的极限定理4.强大数定律5.中心极限定理二、数理统计部分（100分）（一）统计量与抽样分布1. 总体，样本与经验分布函数2. 充分统计量与完备统计量3. 三大抽样分布4. 次序统计量，最小最大次序统计量的分布（二）参数估计1. 无偏估计，相合估计，均方误差，渐近正态估计2. 矩估计，最大似然估计，3. 最小方差无偏估计和有效估计4. 区间估计（三）统计决策与贝叶斯估计1. 统计决策的基本概念2. 贝叶斯估计（四）假设检验1. 假设检验的基本思想与基本概念，两类错误，功效函数2. 正态总体均值与方差的假设检验3. 拟合优度检验，柯尔莫哥洛夫检验与斯米尔诺夫检验（五）方差分析与试验设计1.单因素方差分析2. 两因素非重复试验的方差分析（六）回归分析1. 回归分析的基本概念，2. 一元线性回归方程参数的最小二乘估计，估计量的分布与性质，回归方程的显著性检验，利用回归方程进行预测3. 多元线性模型参数的最小乘估计、估计量的分布与性质、回归方程与回归系数的显著性检验参考书：1. 李贤平，《概率论基础》（第三版），北京：高等教育出版社，2010.2.陈家鼎，孙山泽，李东风，刘力平，《数理统计学讲义》（第三版），北京：高等教育出版社，20153.师义民，徐伟，秦超英，许勇，《数理统计》（第四版），北京：科学出版社，2015.。