数列的概念与简单表示法讲义

数列的概念与简单表示法【学习目标】1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题.2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系.3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项.4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系. 【学习策略】数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。

关于数列的一些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决.【要点梳理】要点一、数列的概念 数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项.要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。

数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的. 数列的一般形式：数列的一般形式可以写成：ΛΛ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项. 要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项.要点二、数列的分类 根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。

第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法一、 知识点 （一）数列的定义1、按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项）排在第二位的数称为这个数列的第2项，…,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。

2、数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列，例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4,3，是不同的数列。

3、在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此 ，同一个数在数列中可以重复出现4、数列的一般形式可以写成12,,...,,...n a a a 此数列可简记为{}n a 例如;把数列1111,,,...,,...23n 简记作1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭5、数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号、我们还应注意到这里{}n a 与n a 是不同的：{}n a 表示数列12,,...,n a a a ；而n a 只表示这个数列的第n 项，这里{}n a 是数列的简记符号，并不表示一个集合。

（二）数列的分类根据数列的项数可以对数列进行分类 1、 项数有限的数列叫有穷数列 2、 项数无限的数列叫无穷数列补充说明：按照项与项之间的大小关系、数列的增减性，可以分为以下几类1、 递增数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项（即1n n a a +>），这样的数列叫做递增数列。

2、 递减数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项（即1n n a a +<）， 这样的数列叫做递减数列。

3、 摆动数列：一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做摆动数列。

4、 常数列：一个数列，如果它的每一项都相等，这个数列叫做常数列。

高考数学知识点：数列的概念与简单表示法1500字数列是指按照一定规律排列的数字集合。

在高考数学中，数列是一个重要的知识点，它不仅会在选择题和填空题中出现，还会涉及到解答题的证明和计算。

本文将从数列的概念、简单表示法、常见数列以及数列的应用等方面，详细介绍高考数学数列知识点。

一、数列的概念数列中的数字按照一定的顺序排列，每个数字依次被称为数列的项。

一般来说，数列用字母表示，如a₁, a₂, a₃, ...，其中a₁表示数列的第一项，a₂表示数列的第二项，以此类推。

数列中的项可以是整数、分数或者实数，也可以是变量。

数列可以分为等差数列和等比数列两种。

等差数列是指相邻的两项之差都是一常数的数列，等差数列的通项公式一般为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁表示首项，d表示公差，n表示项数。

等比数列是指相邻的两项之比都是一常数的数列，等比数列的通项公式一般为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁表示首项，r表示公比，n表示项数。

二、数列的简单表示法在高考数学中，常见的数列表示法有两种：通项公式和递推公式。

通项公式是指通过数列的第n项表示数列的任意一项，递推公式是指通过数列的前一项表示数列的后一项。

以等差数列为例，该数列的递推公式为an = an-1 + d，表示每一项都是前一项与公差之和。

而通项公式为an = a₁ + (n-1)d，表示数列的任意一项可以通过项数和公差计算得出。

另外，数列也可以通过数列的前几项给出，例如{1, 2, 3, ...}表示自然数列，{2, 4, 6, ...}表示偶数列。

这种表示法在高考数学中较少使用，但在解答题时可能会用到。

三、常见数列在高考数学中，有一些常见的数列被广泛应用。

这些数列包括等差数列、等比数列、等差数列的前n项和、等比数列的前n项和、斐波那契数列等等。

1. 等差数列：等差数列是指相邻的两项之差都是一常数的数列。

例如{1, 3, 5, 7, ...}是一个公差为2的等差数列。

数列的概念与简单表示法要点一、数列的概念数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项；项在数列中的位置序号称为项数.要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。

数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.数列的一般形式可以写成：1a ，2a ，3a ，…，n a ，…，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项.要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项. 要点二、数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列. 无穷数列：项数无限的数列. 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。

常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 要点三、数列的通项公式与前n 项和数列的通项公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如数列：0，1，23，…的通项公式为1n a n =-（*n N ∈）；1，1，1，1，…的通项公式为1n a =（*n N ∈）；1，12，13，14，…的通项公式为1n a n=（*n N ∈）；要点诠释：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的。

第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法【学习目标】1. 理解数列概念，了解数列的分类；理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；2. 理解数列的通项公式的概念，并会用通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出它的一个通项公式；提高观察、抽象的能力． 【知识梳理】1．数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为叫做数列(sequence of number).【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 思考:简述数列与数集的区别_________________________________________________________________2．数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3．数列的分类：按项数分类：_______________ _______________按项与项间的大小关系 4．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与 序号n 之间的关系可以用一个公式来表 示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（the formula of general term ）.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41， 1.414，…；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ， 也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：① 求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项5. 数列的图像都是一群孤立的点.从映射、函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象． 6.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N *(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列． 7．数列的表示形式：_________ __________ __________ 8.a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1 ，S n －S n －1， n ≥2 .【典例精析】：【例1】下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）0，1，2，3，…。

第六章数列第1讲数列的概念与简单表示法[考纲解读] 1了解数列的概念和几种简单的表示方法列表、图象、通项公式，并知道数列是自变量为正整数的一类特殊函数．2掌握数列求通项的几种常用方法：利用S n与a n的关系求通项；利用递推关系求通项．重点、难点[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一般不单独命题．预测2022年高考可能与递推数列、等差、等比数列及前n 项和综合考查，涉及题型有：①由S n求a n；②由递推关系求a n；③根据a n＝fn求最值．题型一般为客观题，也可能作为解答题中的一问，试题难度一般不大，属中档题型1．数列的有关概念2．数列的分类3．数列{a n}的a n与S n的关系1数列{a n}的前n项和：S n＝a1＋a2＋…＋a n特别提醒：若当n≥2时求出的a n也适合n＝1时的情形，则用一个式子表示a n，否则分段表示．1．概念辨析1相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．2根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．3若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．4如果数列{a n}的前n项和为S n，则对∀n∈N*，都有a n＋1＝S n＋1－S n答案1×2√3√4√2．小题热身1已知数列{a n}的通项公式为a n＝9＋12n，则在下列各数中，不是{a n}的项的是A．21B．33C．152D．153答案C解析代n值进行验证，n＝1时，A满足；n＝2时，B满足；n＝12时，D满足．故选C2设数列{a n}的前n项和S n＝n2，则a8的值为A．15B．16C．49D．64答案A解析a8＝S8－S7＝82－72＝153在数列{a n}中，a1＝1，a n＝1＋n≥2，则a5等于答案D解析a2＝1＋＝1＋1＝2，a3＝1＋＝1－＝，a4＝1＋＝1＋2＝3，a5＝1＋＝1－＝4数列－，，－，，…的一个通项公式a n＝________答案n∈N*解析观察数列可知，分母为以项数与项数加1的乘积形式的数列，分子是常数1的数列，各项的符号正负相间，故可得数列的通项公式a n＝n∈N*．题型知数列前几项求通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：1－1,7，－13,19，…；2,,，…；31,0，，0，，0，，0，…；4，1，，，…解1符号问题可通过－1n或－1n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n＝－1n6n－5．2将数列变形为1－，1－，1－，…，∴a n＝3把数列改写成，，，，，，，，…，分母依次为1,2,3，…，而分子1,0,1,0，…周期性出现，因此数列的通项可表示为a n＝或a n ＝4将数列统一为，，，，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为c n＝n2＋1，所以可得它的一个通项公式为a n＝由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略1常用方法：观察观察规律、比较比较已知数列、归纳、转化转化为特殊数列、联想联想常见的数列等方法．2具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③各项的符号特征和绝对值特征；④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系，如举例说明4．⑤对于符号交替出现的情况，可用－1或－1＋1，∈N*处理．如举例说明1．根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：1，，，，，…；2，，－，，－，，…；3，2，，8，，…；45,55,555,5555，…解1这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为a n＝2数列可以改为－，，－，，－，，…，则分母为2n，分子为2n－3，所以数列的一个通项公式为a n＝－1n3数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n＝4将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为a n＝10n－1．题型由a n与S n的关系求通项公式1．已知S n＝3n＋2n＋1，则a n＝________答案解析因为当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝3n＋2n＋1－[3n－1＋2n－1＋1]＝2·3n－1＋2，由于a1不适合此式，所以a n＝2．设S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋1，则S n＝________答案－解析由已知得a n＋1＝S n＋1－S n＝S n S n＋1，两边同时除以S n S n＋1得－＝1，即－＝－1又∵＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列，∴＝－1＋n－1×－1＝－n，即S n＝－条件探究1 把举例说明2中的条件“a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋S n＝2a n＋1”，求a n1”改为“解依题意得S n＋1＝2a n＋1＋1，S n＝2a n＋1，两式相减得S n＋1－S n＝2a n＋1－2a n，即a n＋1＝2a n又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以数列{a n}是以a1＝－1为首项，2为公比的等比数列，a n＝－2n－1条件探究2 把举例说明2中的条件“a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋S2＝4，a n＋1＝2S n＋1”．求a n1”改为“解因为a n＋1＝2S n＋1，①所以a2＝2S1＋1，即a2＝2a1＋1又因为a1＋a2＝S2＝4，所以a1＝1，a2＝3当n≥2时，a n＝2S n－1＋1，②①－②得a n＋1＝3a n n≥2，又a2＝3a1，故数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，因此a n＝3n－1n∈N*．1．已知S n求a n的三个步骤1先利用a1＝S1求出a12用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S nn≥2时a n的表达式．－1n≥2便可求出当3对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．如举例说明12．S n与a n关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．1利用a n＝S n－S n－1n≥2转化为只含S n，S n－1的关系式．如举例说明22利用S n－S n－1＝a n n≥2转化为只含a n，a n－1的关系式，再求解．如举例说明2的条件探究1,21．2022·全国卷Ⅲ改编设数列{a n}满足a1＋3a2＋…＋2n－1a n＝2n，则a n＝________答案n∈N*解析因为a1＋3a2＋…＋2n－1a n＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋2n－3a n－1＝2n－1．两式相减得2n－1a n＝2，所以a n＝n≥2．又由题设可得a1＝2，满足上式，从而{a n}的通项公式为a n＝n∈N*．2．若数列{a n}的前n项和为S n首项a1>0且2S n＝a＋a n n∈N*．求数列{a n}的通项公式．解当n＝1时，2S1＝a＋a1，则a1＝1当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝－，即a n＋a n－1a n－a n－1－1＝0⇒a n＝－a n－1或a n＝a n－1＋1，∴a n＝－1n－1或a n＝n题型由递推关系求通项公式角度1 形如a n＋1＝a n＋fn，求a n 1．已知数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋ln，求通项公式a n 解∵a n＋1＝a n＋ln，∴a n－a n－1＝ln＝ln n≥2，∴a n＝a n－a n－1＋a n－1－a n－2＋…＋a2－a1＋a1＝ln＋ln＋…＋ln＋ln2＋2＝2＋ln＝2＋ln nn≥2．又a1＝2适合上式，故a n＝2＋ln nn∈N*．角度2 形如a n＋1＝a n fn，求a n2．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n－1n≥2，求通项公式a n解∵a n＝a n－1n≥2，∴a n－1＝a n－2，…，a2＝a1以上n－1个式子相乘得a n＝a1···…·＝＝当n＝1时也满足此等式，∴a n＝角度3 形如a n＋1＝pa n＋q，求a n3．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋3，求通项公式a n解递推公式a n＋1＝2a n＋3可以转化为a n＋1－t＝2a n－t，即a n＋1＝2a n－t⇒t＝－＋1＋3＝2a n＋3，令b n＝a n＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2所以{b n}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列，则b n＝4×2n－1＝2n＋1，所以a n＝2n＋1－31．叠加法求通项公式的四步骤2．叠乘法求通项公式的四步骤3．构造法求通项公式的三步骤1．数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＋a n＝2n，则通项公式a n＝________答案n∈N*解析a n＋1＋a n＝2n，∴a n＋2＋a n＋1＝2n＋2，故a n＋2－a n＝2即数列{a n}是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列．当n为偶数时，a2＝1，故a n＝a2＋2＝n－1当n为奇数时，∵a n＋1＋a n＝2n，a n＋1＝nn＋1为偶数，故a n ＝n综上所述，a n＝n∈N*．2．在数列{a n}中，a1＝3，3n＋2a n＋1＝3n－1a n n≥1，则a n＝________答案解析∵3n＋2a n＋1＝3n－1a n，∴a n＋1＝a n，∴a n ＝··…···a1＝××…×××3＝3．设{a n}是首项为1的正项数列，且n＋1·a－na＋a n＋1·a n ＝0n＝1,2,3，…，则它的通项公式a n＝________答案解析因为n＋1a－na＋a n＋1·a n＝0，所以a n＋1＋a n[n＋1a n＋1－na n]＝0又因为a n>0，所以a n＋1＋a n>0，所以n＋1a n＋1－na n＝0，即＝，n∈N*所以＝，＝，＝，…，＝，以上各式相乘得＝···…·＝又a1＝1，所以a n＝题型数列的性质及应用1．已知a n＝，那么数列{a n}是A．递减数列B．递增数列C．常数列D．摆动数列答案A解析a n＝＝＝1＋，因为函数y＝1＋在，＋∞上是减函数，所以数列{a n}是递减数列．2．2022·大庆模拟已知数列{a n}的通项公式a n＝n＋2·n，则数列{a n}的项取最大值时，n＝________答案4或5解析因为a n＋1－a n＝n＋3n＋1－n＋2n＝n＝n·当n<4时，a n＋1－a n>0，即a n＋1>a n；当n＝4时，a n＋1－a n＝0，即a n＋1＝a n；当n>4时，a n＋1－a n<0，即a n＋1<a n所以该数列中最大项为第4项和第5项．3．2022·大兴一中模拟数列{a n}满足a n＋1＝a1＝，则数列的第2022项为________．答案解析∵a1＝，∴a2＝2a1－1＝∴a3＝2a2＝∴a4＝2a3＝∴a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝，…∴该数列的周期为4∴a2022＝a3＝1．判断数列单调性的两种方法1作差比较法：a n＋1－a n>0⇔数列{a n}是单调递增数列；a n＋1－a n<0⇔数列{a n}是单调递减数列；a n＋1－a n＝0⇔数列{a n}是常数列．2作商比较法①当a n>0时，>1⇔数列{a n}是单调递增数列；<1⇔数列{a n}是单调递减数列；＝1⇔数列{a n}是常数列．②当a n<0时，>1⇔数列{a n}是单调递减数列；<1⇔数列{a n}是单调递增数列；＝1⇔数列{a n}是常数列．2．求数列最大项或最小项的方法1可以利用不等式组n≥2找到数列的最大项；2利用不等式组n≥2找到数列的最小项．1．若数列{a n}满足a1＝2，a2＝3，a n＝n≥3且n∈N*，则a2022＝B．答案A解析因为a1＝2，a2＝3，a n＝n≥3且n∈N*，所以a3＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝，a6＝＝＝，a7＝＝＝2＝a1，a8＝＝＝3＝a2，所以{a n}的周期T＝6，所以a2022＝a6×336＋3＝a3＝2．已知数列{a n}的通项为a n＝，则数列{a n}的最大项的值为不存在答案C解析a n＝＝，函数y＝＋在0，上单调递减，在，＋∞上单调递增．且7<<8当n＝7时，n＋＝7＋＝15，当n＝8时，n＋＝8＋＝15<15，所以n＋的最小值为15所以n＝8时，数列{a n}的最大项的值为。