数列的概念与简单表示法讲义

数列的概念与简单表示法【学习目标】1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题.2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系.3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项.4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系. 【学习策略】数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。

关于数列的一些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决.【要点梳理】要点一、数列的概念 数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项.要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。

数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的. 数列的一般形式：数列的一般形式可以写成：ΛΛ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项. 要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项.要点二、数列的分类 根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。

第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法一、 知识点 （一）数列的定义1、按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项）排在第二位的数称为这个数列的第2项，…,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。

2、数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列，例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4,3，是不同的数列。

3、在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此 ，同一个数在数列中可以重复出现4、数列的一般形式可以写成12,,...,,...n a a a 此数列可简记为{}n a 例如;把数列1111,,,...,,...23n 简记作1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭5、数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号、我们还应注意到这里{}n a 与n a 是不同的：{}n a 表示数列12,,...,n a a a ；而n a 只表示这个数列的第n 项，这里{}n a 是数列的简记符号，并不表示一个集合。

（二）数列的分类根据数列的项数可以对数列进行分类 1、 项数有限的数列叫有穷数列 2、 项数无限的数列叫无穷数列补充说明：按照项与项之间的大小关系、数列的增减性，可以分为以下几类1、 递增数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项（即1n n a a +>），这样的数列叫做递增数列。

2、 递减数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项（即1n n a a +<）， 这样的数列叫做递减数列。

3、 摆动数列：一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做摆动数列。

4、 常数列：一个数列，如果它的每一项都相等，这个数列叫做常数列。

高考数学知识点：数列的概念与简单表示法1500字数列是指按照一定规律排列的数字集合。

在高考数学中，数列是一个重要的知识点，它不仅会在选择题和填空题中出现，还会涉及到解答题的证明和计算。

本文将从数列的概念、简单表示法、常见数列以及数列的应用等方面，详细介绍高考数学数列知识点。

一、数列的概念数列中的数字按照一定的顺序排列，每个数字依次被称为数列的项。

一般来说，数列用字母表示，如a₁, a₂, a₃, ...，其中a₁表示数列的第一项，a₂表示数列的第二项，以此类推。

数列中的项可以是整数、分数或者实数，也可以是变量。

数列可以分为等差数列和等比数列两种。

等差数列是指相邻的两项之差都是一常数的数列，等差数列的通项公式一般为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁表示首项，d表示公差，n表示项数。

等比数列是指相邻的两项之比都是一常数的数列，等比数列的通项公式一般为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁表示首项，r表示公比，n表示项数。

二、数列的简单表示法在高考数学中，常见的数列表示法有两种：通项公式和递推公式。

通项公式是指通过数列的第n项表示数列的任意一项，递推公式是指通过数列的前一项表示数列的后一项。

以等差数列为例，该数列的递推公式为an = an-1 + d，表示每一项都是前一项与公差之和。

而通项公式为an = a₁ + (n-1)d，表示数列的任意一项可以通过项数和公差计算得出。

另外，数列也可以通过数列的前几项给出，例如{1, 2, 3, ...}表示自然数列，{2, 4, 6, ...}表示偶数列。

这种表示法在高考数学中较少使用，但在解答题时可能会用到。

三、常见数列在高考数学中，有一些常见的数列被广泛应用。

这些数列包括等差数列、等比数列、等差数列的前n项和、等比数列的前n项和、斐波那契数列等等。

1. 等差数列：等差数列是指相邻的两项之差都是一常数的数列。

例如{1, 3, 5, 7, ...}是一个公差为2的等差数列。

数列的概念与简单表示法要点一、数列的概念数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项；项在数列中的位置序号称为项数.要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。

数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.数列的一般形式可以写成：1a ，2a ，3a ，…，n a ，…，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项.要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项. 要点二、数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列. 无穷数列：项数无限的数列. 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。

常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 要点三、数列的通项公式与前n 项和数列的通项公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如数列：0，1，23，…的通项公式为1n a n =-（*n N ∈）；1，1，1，1，…的通项公式为1n a =（*n N ∈）；1，12，13，14，…的通项公式为1n a n=（*n N ∈）；要点诠释：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的。

第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法【学习目标】1. 理解数列概念，了解数列的分类；理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；2. 理解数列的通项公式的概念，并会用通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出它的一个通项公式；提高观察、抽象的能力． 【知识梳理】1．数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为叫做数列(sequence of number).【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 思考:简述数列与数集的区别_________________________________________________________________2．数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3．数列的分类：按项数分类：_______________ _______________按项与项间的大小关系 4．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与 序号n 之间的关系可以用一个公式来表 示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（the formula of general term ）.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41， 1.414，…；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ， 也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：① 求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项5. 数列的图像都是一群孤立的点.从映射、函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象． 6.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N *(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列． 7．数列的表示形式：_________ __________ __________ 8.a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1 ，S n －S n －1， n ≥2 .【典例精析】：【例1】下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）0，1，2，3，…。

第六章数列第1讲数列的概念与简单表示法[考纲解读] 1了解数列的概念和几种简单的表示方法列表、图象、通项公式，并知道数列是自变量为正整数的一类特殊函数．2掌握数列求通项的几种常用方法：利用S n与a n的关系求通项；利用递推关系求通项．重点、难点[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一般不单独命题．预测2022年高考可能与递推数列、等差、等比数列及前n 项和综合考查，涉及题型有：①由S n求a n；②由递推关系求a n；③根据a n＝fn求最值．题型一般为客观题，也可能作为解答题中的一问，试题难度一般不大，属中档题型1．数列的有关概念2．数列的分类3．数列{a n}的a n与S n的关系1数列{a n}的前n项和：S n＝a1＋a2＋…＋a n特别提醒：若当n≥2时求出的a n也适合n＝1时的情形，则用一个式子表示a n，否则分段表示．1．概念辨析1相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．2根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．3若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．4如果数列{a n}的前n项和为S n，则对∀n∈N*，都有a n＋1＝S n＋1－S n答案1×2√3√4√2．小题热身1已知数列{a n}的通项公式为a n＝9＋12n，则在下列各数中，不是{a n}的项的是A．21B．33C．152D．153答案C解析代n值进行验证，n＝1时，A满足；n＝2时，B满足；n＝12时，D满足．故选C2设数列{a n}的前n项和S n＝n2，则a8的值为A．15B．16C．49D．64答案A解析a8＝S8－S7＝82－72＝153在数列{a n}中，a1＝1，a n＝1＋n≥2，则a5等于答案D解析a2＝1＋＝1＋1＝2，a3＝1＋＝1－＝，a4＝1＋＝1＋2＝3，a5＝1＋＝1－＝4数列－，，－，，…的一个通项公式a n＝________答案n∈N*解析观察数列可知，分母为以项数与项数加1的乘积形式的数列，分子是常数1的数列，各项的符号正负相间，故可得数列的通项公式a n＝n∈N*．题型知数列前几项求通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：1－1,7，－13,19，…；2,,，…；31,0，，0，，0，，0，…；4，1，，，…解1符号问题可通过－1n或－1n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n＝－1n6n－5．2将数列变形为1－，1－，1－，…，∴a n＝3把数列改写成，，，，，，，，…，分母依次为1,2,3，…，而分子1,0,1,0，…周期性出现，因此数列的通项可表示为a n＝或a n ＝4将数列统一为，，，，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为c n＝n2＋1，所以可得它的一个通项公式为a n＝由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略1常用方法：观察观察规律、比较比较已知数列、归纳、转化转化为特殊数列、联想联想常见的数列等方法．2具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③各项的符号特征和绝对值特征；④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系，如举例说明4．⑤对于符号交替出现的情况，可用－1或－1＋1，∈N*处理．如举例说明1．根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：1，，，，，…；2，，－，，－，，…；3，2，，8，，…；45,55,555,5555，…解1这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为a n＝2数列可以改为－，，－，，－，，…，则分母为2n，分子为2n－3，所以数列的一个通项公式为a n＝－1n3数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n＝4将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为a n＝10n－1．题型由a n与S n的关系求通项公式1．已知S n＝3n＋2n＋1，则a n＝________答案解析因为当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝3n＋2n＋1－[3n－1＋2n－1＋1]＝2·3n－1＋2，由于a1不适合此式，所以a n＝2．设S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋1，则S n＝________答案－解析由已知得a n＋1＝S n＋1－S n＝S n S n＋1，两边同时除以S n S n＋1得－＝1，即－＝－1又∵＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列，∴＝－1＋n－1×－1＝－n，即S n＝－条件探究1 把举例说明2中的条件“a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋S n＝2a n＋1”，求a n1”改为“解依题意得S n＋1＝2a n＋1＋1，S n＝2a n＋1，两式相减得S n＋1－S n＝2a n＋1－2a n，即a n＋1＝2a n又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以数列{a n}是以a1＝－1为首项，2为公比的等比数列，a n＝－2n－1条件探究2 把举例说明2中的条件“a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋S2＝4，a n＋1＝2S n＋1”．求a n1”改为“解因为a n＋1＝2S n＋1，①所以a2＝2S1＋1，即a2＝2a1＋1又因为a1＋a2＝S2＝4，所以a1＝1，a2＝3当n≥2时，a n＝2S n－1＋1，②①－②得a n＋1＝3a n n≥2，又a2＝3a1，故数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，因此a n＝3n－1n∈N*．1．已知S n求a n的三个步骤1先利用a1＝S1求出a12用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S nn≥2时a n的表达式．－1n≥2便可求出当3对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．如举例说明12．S n与a n关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．1利用a n＝S n－S n－1n≥2转化为只含S n，S n－1的关系式．如举例说明22利用S n－S n－1＝a n n≥2转化为只含a n，a n－1的关系式，再求解．如举例说明2的条件探究1,21．2022·全国卷Ⅲ改编设数列{a n}满足a1＋3a2＋…＋2n－1a n＝2n，则a n＝________答案n∈N*解析因为a1＋3a2＋…＋2n－1a n＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋2n－3a n－1＝2n－1．两式相减得2n－1a n＝2，所以a n＝n≥2．又由题设可得a1＝2，满足上式，从而{a n}的通项公式为a n＝n∈N*．2．若数列{a n}的前n项和为S n首项a1>0且2S n＝a＋a n n∈N*．求数列{a n}的通项公式．解当n＝1时，2S1＝a＋a1，则a1＝1当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝－，即a n＋a n－1a n－a n－1－1＝0⇒a n＝－a n－1或a n＝a n－1＋1，∴a n＝－1n－1或a n＝n题型由递推关系求通项公式角度1 形如a n＋1＝a n＋fn，求a n 1．已知数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋ln，求通项公式a n 解∵a n＋1＝a n＋ln，∴a n－a n－1＝ln＝ln n≥2，∴a n＝a n－a n－1＋a n－1－a n－2＋…＋a2－a1＋a1＝ln＋ln＋…＋ln＋ln2＋2＝2＋ln＝2＋ln nn≥2．又a1＝2适合上式，故a n＝2＋ln nn∈N*．角度2 形如a n＋1＝a n fn，求a n2．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n－1n≥2，求通项公式a n解∵a n＝a n－1n≥2，∴a n－1＝a n－2，…，a2＝a1以上n－1个式子相乘得a n＝a1···…·＝＝当n＝1时也满足此等式，∴a n＝角度3 形如a n＋1＝pa n＋q，求a n3．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋3，求通项公式a n解递推公式a n＋1＝2a n＋3可以转化为a n＋1－t＝2a n－t，即a n＋1＝2a n－t⇒t＝－＋1＋3＝2a n＋3，令b n＝a n＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2所以{b n}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列，则b n＝4×2n－1＝2n＋1，所以a n＝2n＋1－31．叠加法求通项公式的四步骤2．叠乘法求通项公式的四步骤3．构造法求通项公式的三步骤1．数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＋a n＝2n，则通项公式a n＝________答案n∈N*解析a n＋1＋a n＝2n，∴a n＋2＋a n＋1＝2n＋2，故a n＋2－a n＝2即数列{a n}是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列．当n为偶数时，a2＝1，故a n＝a2＋2＝n－1当n为奇数时，∵a n＋1＋a n＝2n，a n＋1＝nn＋1为偶数，故a n ＝n综上所述，a n＝n∈N*．2．在数列{a n}中，a1＝3，3n＋2a n＋1＝3n－1a n n≥1，则a n＝________答案解析∵3n＋2a n＋1＝3n－1a n，∴a n＋1＝a n，∴a n ＝··…···a1＝××…×××3＝3．设{a n}是首项为1的正项数列，且n＋1·a－na＋a n＋1·a n ＝0n＝1,2,3，…，则它的通项公式a n＝________答案解析因为n＋1a－na＋a n＋1·a n＝0，所以a n＋1＋a n[n＋1a n＋1－na n]＝0又因为a n>0，所以a n＋1＋a n>0，所以n＋1a n＋1－na n＝0，即＝，n∈N*所以＝，＝，＝，…，＝，以上各式相乘得＝···…·＝又a1＝1，所以a n＝题型数列的性质及应用1．已知a n＝，那么数列{a n}是A．递减数列B．递增数列C．常数列D．摆动数列答案A解析a n＝＝＝1＋，因为函数y＝1＋在，＋∞上是减函数，所以数列{a n}是递减数列．2．2022·大庆模拟已知数列{a n}的通项公式a n＝n＋2·n，则数列{a n}的项取最大值时，n＝________答案4或5解析因为a n＋1－a n＝n＋3n＋1－n＋2n＝n＝n·当n<4时，a n＋1－a n>0，即a n＋1>a n；当n＝4时，a n＋1－a n＝0，即a n＋1＝a n；当n>4时，a n＋1－a n<0，即a n＋1<a n所以该数列中最大项为第4项和第5项．3．2022·大兴一中模拟数列{a n}满足a n＋1＝a1＝，则数列的第2022项为________．答案解析∵a1＝，∴a2＝2a1－1＝∴a3＝2a2＝∴a4＝2a3＝∴a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝，…∴该数列的周期为4∴a2022＝a3＝1．判断数列单调性的两种方法1作差比较法：a n＋1－a n>0⇔数列{a n}是单调递增数列；a n＋1－a n<0⇔数列{a n}是单调递减数列；a n＋1－a n＝0⇔数列{a n}是常数列．2作商比较法①当a n>0时，>1⇔数列{a n}是单调递增数列；<1⇔数列{a n}是单调递减数列；＝1⇔数列{a n}是常数列．②当a n<0时，>1⇔数列{a n}是单调递减数列；<1⇔数列{a n}是单调递增数列；＝1⇔数列{a n}是常数列．2．求数列最大项或最小项的方法1可以利用不等式组n≥2找到数列的最大项；2利用不等式组n≥2找到数列的最小项．1．若数列{a n}满足a1＝2，a2＝3，a n＝n≥3且n∈N*，则a2022＝B．答案A解析因为a1＝2，a2＝3，a n＝n≥3且n∈N*，所以a3＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝，a6＝＝＝，a7＝＝＝2＝a1，a8＝＝＝3＝a2，所以{a n}的周期T＝6，所以a2022＝a6×336＋3＝a3＝2．已知数列{a n}的通项为a n＝，则数列{a n}的最大项的值为不存在答案C解析a n＝＝，函数y＝＋在0，上单调递减，在，＋∞上单调递增．且7<<8当n＝7时，n＋＝7＋＝15，当n＝8时，n＋＝8＋＝15<15，所以n＋的最小值为15所以n＝8时，数列{a n}的最大项的值为。

数列的概念与简单表示法教案数列是指由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。

数列的概念和简单表示法是数学中重要的概念之一。

通过学习数列的概念和简单表示法，我们可以更好地理解数学中的序列和数的变化规律，并应用到解决实际问题中。

一、数列的概念1. 定义：数列是指由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。

2. 表示方法：数列可以用各种方法进行表示，常用的有列表法和通项公式法。

- 列表法：将数列的每一项按照规律列成一个列表，例如：1, 3, 5, 7, 9, ...- 通项公式法：用一个公式表示数列的第n项，例如：an =2n - 1。

3. 数列的性质：数列可以有不同的性质，例如有界性、单调性、周期性等。

- 有界性：数列中的数有上下界，即存在最大值和最小值。

- 单调性：数列中的数可以是递增的，也可以是递减的。

- 周期性：数列的数按照一定规律重复出现。

二、数列的简单表示法1. 递推公式：递推公式是指用数列的前几项来表示数列的后续项的公式。

- 递推公式的一般形式为：an+1 = f(an)，其中f为确定的函数关系。

- 递推公式的例子：an+1 = an + 2，即后一项等于前一项加2。

2. 通项公式：通项公式是指用n来表示数列的第n项的公式。

- 对于等差数列，通项公式的一般形式为：an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。

- 对于等比数列，通项公式的一般形式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

- 对于其他特殊数列，也可以通过观察规律，推导出通项公式。

三、教学设计建议1. 引导学生理解数列的概念：通过列举生活中的数列实例，如自然数序列、偶数序列等，引导学生理解数列的概念。

2. 举例说明不同数列的特点：通过具体的数列例子，如等差数列和等比数列，说明数列的有界性、单调性、周期性等特点。

3. 教授数列的表示方法：通过具体的数列例子，引导学生掌握列表法和通项公式法表示数列的方法。

数列的概念与简单表示法的知识点总结关于数列的概念与简单表示法的知识点总结1．数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2．数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3．数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式；有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的'内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.4．数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项： 4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.5．递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1。