练习2_公式法-优质公开课-冀教7下精品

a 2 + 2 a b + b 2 = （ a + b ） 2 a 2 - 2 a b + b 2 = （ a - b ） 2 （1）完全平方式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？ （3）中间的一项是什么形式？
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例6 分解因式： （1）3 a x 2 + 6 a x y + 3 a y 2 ； （ 2）（ a + b ） 2 - 1 （ 2 a + b ） + 3 6 ．
解：（1） 3 a x 2 + 6 a x y + 3 a y 2 = 3 （a x 2 + 2 x y + y 2） = 3 （a x y）2；
a 2 2 a b + b 2 = （ a b ） 2
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理解完全平方式
我们把 a2+2ab+b和2 a2-2ab这+b样2 的式子叫做完 全平方式．
利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式 因式分解．
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理解完全平方式
a 2 + 2 a b + b 2 = （ a + b ） 2 a 2 - 2 a b + b 2 = （ a - b ） 2 完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项，并 且两个平方项的符号同为正，中间项是首尾两项乘积的 二倍，符号不限．
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11.3公式法――完全平方公式教学设计思想：利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质．教学目标知识与技能：1．会用完全平方公式对多项式进行因式分解，提高分解因式的灵活性2．提高全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．过程与方法：3．经历用公式法分解因式的探索过程，进一步体会这两个公式在因式分解和整式乘法中的不同方向，加深对整式乘法和因式分解这两个相反变形的认识，体会从正逆两方面认识和研究事物的方法情感态度价值观：4．通过学习进一步理解数学知识间有着密切的联系。

教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式．难点：灵活运用完全平方公式分解因式．关键：把握住因式分解的基本思路，观察多项式的特征，灵活地运用“换元”和“划归思想”教学用具多媒体或小黑板课时安排1课时教学过程设计一、复习1．问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解．我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法．2．把下列各式分解因式：（1）ax4－ax2（2）16m4－n4．解（1） ax4－ax2=ax2（x2－1）=ax2（x+1）（x－1）（2） 16m4－n4=（4m2）2－（n2）2=（4m2+n2）（4m2－n2）=（4m2+n2）（2m+n）（2m－n）．问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?答：有完全平方公式．请写出完全平方公式．完全平方公式是：（a+b）2=a2+2ab+b2, （a－b）2=a2－2ab+b2．这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解．二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=（a+b）2； a2－2ab+b2=（a－b）2．这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方．式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式．运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式．问：具备什么特征的多项式是完全平方式?答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子（或数）的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子（或数）的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式．问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?（1）x2+6x+9；（2）x2+xy+y2；（3）25x4－10x2+1；（4）16a2+1．答：（1）式是完全平方式．因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=（x+3）2．（2）不是完全平方式．因为第三部分必须是2xy．（3）是完全平方式．25x4=（5x2）2，1=12，10x2=2×5x2·1，所以25x4－10x2+1=（5x－1）2．（4）不是完全平方式．因为缺第三部分．请同学们用箭头表示完全平方公式中的a ，b 与多项式9x 2+6xy+y 2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?答：完全平方公式为： a 2+2ab+b 2=（a+b ）2．9x 2+6xy+y 2=（3x ）2+2·（3y ）·y+y 2=（3x+y ）2．a 2+2ab+b 2=（a+b ）2其中a=3x ，b=y ，2ab=2·（3x ）·y． 例3 把下列各式分解因式； （1）t 2＋22t ＋121；（2）m 2＋41n 2-mn （1）分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“t 2”是t 的平方，第三项“121”是11的平方，第二项“22t ”是t 与11的积的2倍．所以多项式t 2＋22t ＋121是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式．（2）问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?解：（1）t 2＋22t ＋121 =t 2＋2×11t ＋112 =（t ＋11）2； （2）m 2＋41n 2-mn =m 2－2·m ·21n+（21n ）2=（m －21n ）2 例4 把下列各式分解因式： （1）ax 2＋2a 2x ＋a 3;（2）（x ＋y ）2－4（x ＋y ）＋4; （3）（3m-1）2＋（3m-1）+41解：（1）ax 2＋2a 2x ＋a 3=a （x 2＋2ax ＋a 2）=a （x ＋a ）2；（2）（x ＋y ）2－4（x ＋y ）＋4 =（x ＋y ）2－2·（x ＋y ）·2＋22 =（x ＋y －2）2（3）（3m-1）2＋（3m-1）+41=（3m-1）2－2·（3m-1）·21＋（21）2=（3m －1＋21）2=（3m －21）2注：例4让有学生自己完成，并找部分学生上台讲解，出现问题，老师及时给予纠正 三、课堂练习（投影） 1．填空：（1）x 2－10x+（ ）2=（ ）2； （2）9x 2+（ ）+4y 2=（ ）2； （3）1－（ ）+m 2/9=（ ）2．2．下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多 项式改变为完全平方式．（1）x 2－2x+4；（2）9x 2+4x+1；（3）a 2－4ab+4b 2； （4）9m 2+12m+4；（5）1－a+a 2/4． 3．把下列各式分解因式：（1）a 2－24a+144；（2）4a 2b 2+4ab+1； （3）91 x 2+2xy+9y 2；（4）41 a 2－ab+b 2答案：1．（1）25，（x －5） 2；（2）12xy ，（3x+2y ） 2；（3）32m , （1－31m ）2．（1）不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x 2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x 2－2x+1，它是完全平方式．（2）不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x 2+6x+1，它是完全平方式．（3）是完全平方式，a 2-4ab+4b 2=（a －2b ）2． （4）是完全平方式，9m 2+12m+4=（3m+2） 2． （5）是完全平方式，1－a+a 2/4=（1－21a ）23．（1）（a －12） 2；（2）（2ab+1） 2； （3）（31 x+3y ） 2；（4）（21a －b ）2．四、小结运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：1．首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解．有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解．2．在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a 2+2ab+b 2=（a+b ） 2；如果是负号，则用公式a 2－2ab+b 2=（a －b ） 2．3．特别强调：分解因式时，有公因式时应先提取公因式，再看能否用公式法进行因式分解。

“数”，它们可以表示单项式，也可以表示多项式。
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例2 分解因式：x4-y4
解：x4-y4
= (x2+y2)(x2-y2)
= (x2+y2)(x+y)(x-y)
方法归纳：分解因式,必须进行到每一个多项式都不
能再分解为止。
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二、用完全平方公式分解因式
3.多项式4a²+ma+9是完全平方式，那么m的值是（D ） A.6 B.12 C. －12 D. ±12
解析：4a²+ma+9 = (2a)2+ma+32
因为多项式为完全平方式
所以m=±2×3×3=±12
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课堂小结 平
方
差 公 式 分
平方差公式：a2-b2=( a+b )( a-b ) 可化为____ 两 个整式. 相反 两项符号_______. 每一项都是整式的______. 平方 有公因式时，应先提出_______. 公因式 注意事项 进行到每一个多项式都不能再分解为止。
问题2：观察乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
判断一下，把这个式子从左边到右边反过来，是否是
因式分解？
是，式子反过来就是a2-b2=(a+b)(a-b)。
左边是一个多项式，右边是几个整式的乘积，所以
是分解因式。
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一、用平方差公式分解因式
问题：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是a,b两数的平方差的形式。 平方差公式： 整式乘法 2 ( a + b )( a - b ) = a2 - b a2 - b2 = ( a + b )( a - b) 因式分解

视频资源：
-《完全平方公式讲解》：详细讲解完全平方公式的推导和应用。
-《因式分解技巧分享》：分享一些因式分解的技巧和方法。
2.拓展要求
鼓励学生利用课后时间进行自主学习和拓展，教师可提供必要的指导和帮助，如推荐阅读材料、解答疑问等。
要求学生根据自己的兴趣和需求选择适合自己的拓展内容，通过阅读、观看视频等方式，进一步加深对完全平方公式和因式分解的理解。
（2）视频：播放一些有趣的数学动画视频，帮助学生形象地理解完全平方公式的原理。
（3）在线工具：利用在线数学工具，让学生实时检验自己的因式分解结果，提高运算能力。
（4）练习题库：提供一份全面的因式分解练习题库，方便学生进行课后练习和巩固。
教学实施过程
1.课前自主探索
教师活动：
-发布预习任务：提供PPT、视频等预习资料，让学生提前了解完全平方公式。
-反思总结：学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。
教学方法/手段/资源：
-自主学习法：学生自主完成作业和拓展学习。
-反思总结法：学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。
作用与目的：
-巩固学生在课堂上学到的完全平方公式和相关技能。
-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。
-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
此外，我在课堂上可能有些过于注重讲解，而忽略了学生的参与和互动。因此，我计划在未来的教学中，更多地组织课堂活动，如小组讨论、角色扮演等，让学生有更多的机会参与和互动，提高他们的学习兴趣和参与度。
最后，我在教学过程中可能有些过于追求进度，而忽略了学生的反馈。因此，我计划更多地关注学生的反馈，及时调整教学进度和方法，以确保每个学生都能够跟上教学进度，并掌握完全平方公式和因式分解的知识点。