27章图形的相似导学案

第二十七章相像27.1图形的相像学习目标：1. 从生活中形状同样的图形的实例中认识图形的相像, 理解相像图形观点．认识成比率线段的观点，会确立线段的比．2.知道相像多边形的主要特色，即：相像多边形的对应角相等，对应边的比相等．3.会依据相像多边形的特色辨别两个多边形能否相像，并会运用其性质进行有关的计算．学习重、难点：1.要点：相像图形的主要特色与辨别．2.难点：运用相像多边形的特色进行有关的计算．学习过程：一、依标独学1、同学们，请察看以下几幅图片，你能发现些什么？你能对察看到的图片特色进行概括吗？2、小组议论、沟通．获得相像图形的观点．相像图形3、如图，是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不一样镜像，它们相像吗?二、围标群学实验研究：假如把老师手中的教鞭与铅笔，分别当作是两条线段AB 和 CD，那么这两条线段的比是多少？成比率线段：关于四条线段a, b, c, d ，假如此中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a c（即 ad bc ），我们就说这四条线段是成比率线段，简称比率线段．b d【注意】（ 1 ）两条线段的比与所采纳的长度单位没有关系，在计算时要注意一致单位；线段的比是一个没有单位的正数；（ 2 ）四条线段 a,b, c, d 成比率，记作ac或 a : bc :d ；bd （ 3 ）若四条线段知足a cbc ．b，则有 add小应用： 一张桌面的长 a1.25m ，宽 b 0.75m ，那么长与宽的比是多少？（ 1）假如 a 125cm ， b 75cm ，那么长与宽的比是多少？（ 2）假如 a1250mm ， b750mm ，那么长与宽的比是多少？三、研究1、如图的左侧格点图中有一个四边形，请在右侧的格点图中画出一个与该四边形相像的图形．问题：关于图中两个相像的四边形，它们的对应角，对应边的比能否相等．2．【结论】：（1）相像多边形的特色：相像多边形的对应角______，对应边的比 _______．反之，假如两个多边形的对应角 ______，对应边的比 _______，那么这两个 多边形 _______．几何语言：在四边形 ABCD 和四边形 A 11 1 1 中B C D若 ? A 行A 1; B =行B 1; C =行C 1； D =?D 1．AB =BC=CD =DAA 1B 1B 1C1C 1D 1 D 1 A 1则四边形 ABCD 和四边形 A 1 1 1D 1 相像B C（2）相像比：相像多边形 ________的比称为相像比．问题：相像比为 1 时，相像的两个图形有什么关系？结论：相像比为 1 时，相像的两个图形 ______，所以 ________形是一种特别的相像形．四、自我检测1．在比率尺为 1：10 000 000 的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm，求两地的实质距离．2．如下图的两个直角三角形相像吗？为何？3．如下图的两个五边形相像，求未知边 a 、b、c、d的长度．五、概括小结。

人教版九年级数学《相似》全章导学案第1课时图形的相似知识点1：相似图形的概念【例1】下列图形不是相似图形的是( C )A. 同一张底片冲洗出来的两张不同尺寸的照片B. 用放大镜将一个细小物体图案放大过程中的原有图案和放大图案C. 某人的侧身照片和正面照片D. 大小不同的两张同版本中国地图,1. 如图1－27－68－1，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是( A )图1－27－68－1A. 相似B. 平移C. 轴对称D. 旋转知识点2：相似图形的识别【例2】下列四组图形不是相似图形的是( D ),2. 观察下列各组图形，其中不相似的是( A )知识点3：比例尺的计算【例3】在一幅比例尺是1∶1 000 000的地图上，量得北京到天津的距离是12 cm，则北京到天津的实际距离是120km.,3. 要建一个长40 m，宽20 m的厂房，在比例尺是1∶500的图纸上，长要画cm( B )A. 5B. 8C. 7D. 6知识点4：画相似图形【例4】如图1－27－68－2的左边的格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形.图1－27－68－2略.,4. 图1－27－68－3中的三角形称为格点三角形，请画出一个与图中三角形相似的格点三角形.图1－27－68－3略.A组5. “相似的图形”是指( A )A. 形状相同的图形B. 大小不相同的图形C. 能够重合的图形D. 大小相同的图形,6. 对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是( D )A. 图形中线段的长度与角的大小都会改变B. 图形中线段的长度与角的大小都保持不变C. 图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D. 图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变7. 如图1－27－68－4，下面选项中的四个图形与其相似的是( C )图1－27－68－4A B C D,8. 下列各组图形相似的是( B )B组9. 下列各组图形一定相似的是( C )A. 两个菱形B. 两个矩形C. 两个正方形D. 两个等腰梯形,10. 给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形. 其中，一定相似的有①②④⑤.(填序号)11. 在比例尺是1∶1 000 000的地图上量得广州到深圳的距离是16 cm，广州到深圳的实际距离是160km.,12. 两地实际距离为2 000 m，图上距离为2 cm，则这张地图的比例尺为( D )A. 1 000∶1B. 100 000∶1C. 1∶1 000D. 1∶100 000C 组13. 在比例尺是1∶25 000 000的地图上，量得北京到上海的距离长4.2 cm ，如果一列直达火车以每小时175 km 的速度从上海开出，经过几小时可以到达北京？解：由题意，得 4.2×25 000 000＝105 000 000(cm)＝1 050(km). ∴1 050÷175＝6(h).∴经过6 h 可以到达北京.,14. 下面四个图案：不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图形中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是( D )第2课时 相似多边形及其性质知识点1：成比例线段【例1】下列各组中的四条线段成比例的是( A ) A. a ＝2，b ＝6，c ＝4，d ＝12 B. a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10 C. a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝ 3D. a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝1,1. 以下列长度(同一单位)为长的四条线段中，不成比例的是( C ) A. 2,5,10,25 B. 4,7,4,7C. 2，12，12，4 D. 2，5，2 5，5 2知识点2：相似多边形的性质【例2】如图1－27－69－1，四边形CDEF 与四边形C ′D ′E ′F ′相似，求未知边x ，y 的长度和角β的度数.图1－27－69－1解： x ＝12，y ＝20，β＝80°.,2. 如图1－27－69－2的两个五边形相似，求未知边a ，b ，c ，d 的长度.图1－27－69－2解： a ＝3，b ＝4.5，c ＝4，d ＝6. 知识点3：相似多边形的判定【例3】如图1－27－69－3，一个矩形广场的长为100 m ，宽为80 m ，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5 m ，如果设两条横向小路的宽都为x m ，那么当x 为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？图1－27－69－3解：当100－1.5×2100＝80－2x 80时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.解得x ＝1.2.答：当x 为1.2时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似. ,3. 如图1－27－69－4，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD 的内部，AB ∥A′B′，AD ∥A′D′，且AD ＝12，AB ＝6，设AB 与A′B′，BC 与B′C′，CD 与C′D′，DA 与D′A′之间的距离分别为a ，b ，c ，d ，a ＝b ＝c ＝d ＝2，矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD 吗？为什么？图1－27－69－4解：不相似，理由如下： ∵AD A′D′＝128＝32，AB A′B′＝62＝3， ∴AD A′D′≠AB A′B′. ∴不相似.A 组4. 下列线段成比例的是( C ) A. 1,2,3,4 B. 5,6,7,8 C. 1,2,2,4 D. 3,5,6,9,5. 下列各组中的四条线段成比例的是( A ) A. 1 cm,2 cm,20 cm,40 cm B. 1 cm,2 cm,3 cm,4 cm C. 4 cm,2 cm,1 cm,5 cmD. 5 cm,10 cm,15 cm,20 cm B 组6. 如图1－27－69－5的相似四边形，求未知边x ，y 的长度和角α的大小.图1－27－69－5解：x ＝632，y ＝27，α＝88°.,7. 如图1－27－69－6，四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似，且AD ＝BC ，DC ∥AB ，∠A ＝∠B ，∠A′＝65°，A′B′＝6 cm ，AB ＝8 cm ，AD ＝5 cm ，试求：四边形ABCD 各角的度数与A ′D ′，B ′C ′的长.图1－27－69－6解：四边形ABCD 各角的度数分别为∠A ＝65°， ∠B ＝65°，∠C ＝115°，∠D ＝115°，B′C′＝A′D′＝154cm .8. 在一张由打印机打印出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1 cm 变成了4 cm ，那么这个多边形的另一条边由原来4 cm 变成了( C )A . 4 cmB . 8 cmC . 16 cmD . 32 cm ,9. 已知四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1相似，四边形ABCD 的最长边和最短边的长分别是10 cm 和4 cm ，如果四边形A 1B 1C 1D 1的最短边的长是6 cm ，那么四边形A 1B 1C 1D 1的最长边的长是 15 cm .C 组10. 将一个三角形和一个矩形按照如图1－27－69－7的方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是( A )图1－27－69－7A . 新三角形与原三角形相似B . 新矩形与原矩形相似C . 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似D. 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都不相似,11. 如图1－27－69－8，已知矩形ABCD 与矩形BCFE 相似，且AD ＝AE ，求AB ∶AD 的值.图1－27－69－8解：依题意，得 AB AD ＝BC BE ，即AB AD ＝AD AB －AD . ∴AB AD ＝1ABAD－1. 解得AB ∶AD ＝1＋52(负值已舍去).第3课时 相似三角形的简单性质知识点1：找相似三角形的对应边、对应角【例1】如图1－27－70－1，已知△ADE ∽△ABC ，AD ＝2，BD ＝3. (1)写出这对相似三角形的对应角和对应边的比例式； (2)求△ADE 与△ABC 的相似比.图1－27－70－1解：(1)相似三角形的对应角为∠A 与∠A ，∠ADE 与∠ABC ，∠AED 与∠ACB ；对应边的比例式为AD AB ＝AE AC ＝DEBC .(2)25.1. 如图1－27－70－2，已知△OAB ∽△OCD ，且DC ∥AB ，请写出这对相似三角形的对应角和对应边的比例式.图1－27－70－2解：相似三角形的对应角为∠A 与∠C ，∠B 与∠D ，∠AOB 与∠COD ；对应边的比例式为OA OC ＝OB OD ＝AB CD .知识点2：相似三角形简单性质的直接运用【例2】如图1－27－70－3，已知△ABC ∽△DEF ，求未知边x ，y 的长度.图1－27－70－3解： x ＝6，y ＝72. ,2. 如图1－27－70－4，△ABC 与△DEF 相似，∠B ，∠E 为钝角，求未知边x ，y 的长度.图1－27－70－4解： x ＝12，y ＝7或x ＝967，y ＝647.知识点3：相似三角形简单性质的综合运用【例3】如图1－27－70－5，D ，E 分别是AC ，AB 边上的点，△ADE ∽△ABC ，且DE ＝4，BC ＝12，CD ＝9，AD ＝3，求AE ，BE 的长.图1－27－70－5解：∵△ADE ∽△ABC ， ∴AE AC ＝AD AB ＝DE BC. ∵DE ＝4，BC ＝12，CD ＝9，AD ＝3，∴AC ＝12. ∴AE ＝4，AB ＝9. ∴BE ＝AB －AE ＝5.3. 如图1－27－70－6，AC ＝4，BC ＝6，∠B ＝36°，∠D ＝117°，且△ABC ∽△DAC. (1)求∠BAD 的大小； (2)求DC 的长.图1－27－70－6解：(1)∵△ABC ∽△DAC ， ∴∠DAC ＝∠B ＝36°， ∠BAC ＝∠D ＝117°.∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝153°. (2)∵△ABC ∽△DAC ， ∴AC DC ＝BC AC. 又∵AC ＝4，BC ＝6，∴DC ＝83.A 组4. 已知△ABC ∽△A 1B 2C 2，如果∠A ＝40°，那么∠A 1等于( A ) A. 40° B. 80° C. 140° D. 20°,5. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm 和9 cm ，另一个三角形的最短边长为2.5 cm ，则它的最长边为( C )A. 3 cmB. 4 cmC. 4.5 cmD. 5 cmB 组6. 如图1－27－70－7，在△ABC 中，点D 在BC 边上，△ABC ∽△DBA . 若BD ＝4，DC ＝5，则AB 的长为 6 .图1－27－70－7,7. 如图1－27－70－8，在正方形网格中有两个相似三角形△ABC 和△DEF ，则∠BAC 的度数为( D )图1－27－70－8A . 105°B . 115°C . 125°D . 135°8. 如图1－27－70－9，已知△ABC ∽△AED ，AD ＝5 cm ，AC ＝10 cm ，AE ＝6 cm ，∠A ＝66°，∠ADE ＝65°，求AB 的长及∠C 的度数.图1－27－70－9解：∵△ABC ∽△AED ，∠ADE ＝65°，∴∠C ＝∠ADE ＝65°，AD AC ＝AEAB.∴510＝6AB. 解得AB ＝12(cm ).,9. 如图1－27－70－10，已知△ABC ∽△DEC ，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，CE ＝6 cm ，求AD 的长.图1－27－70－10解：∵△ABC ∽△DEC ， ∴AC DC ＝BC EC. ∵AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，CE ＝6 cm ， ∴3DC ＝46. ∴DC ＝92(cm ).∴AD ＝3＋92＝152(cm ).C 组10. 如图1－27－70－11，点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB .(1)求∠APB 的大小.(2)说明线段AC ，CD ，BD 之间的数量关系.图1－27－70－11解：(1)∵△PCD 是等边三角形， ∴∠PCD ＝60°.∴∠A ＋∠APC ＝60°. ∵△ACP ∽△PDB. ∴∠APC ＝∠PBD. ∴∠A ＋∠B ＝60°. ∴∠APB ＝120°.(2)∵△ACP ∽△PDB ，∴AC PD ＝PCBD.又∵PC ＝PD ＝CD ，∴CD 2＝AC·BD.11. 如图1－27－70－12，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点，若△P AD 与△PBC 是相似三角形，求AP 的长.图1－27－70－12解： ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠A ＝180°－∠ABC ＝90°. ∴∠PAD ＝∠PBC ＝90°. AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4， 设AP 的长为x ，则BP 的长为 8－x .若AB 边上存在点P ，使△P AD 与△PBC 相似，则分下列两种情况. ①若△APD ∽△BPC ，则AP ∶BP ＝AD ∶BC ，即x ∶(8－x )＝3∶4.解得x ＝247；②若△APD ∽△BCP ，则AP ∶BC ＝AD ∶BP ， 即x ∶4＝3∶(8－x ).解得x ＝2或x ＝6.综上所述，AP ＝247或AP ＝2或AP ＝6.第4课时 相似三角形的判定(1)——平行线法知识点1：平行线分线段成比例【例1】如图1－27－71－1，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD AB ＝13，AE ＝1，则EC 等于( B )图1－27－71－1A . 1B . 2C . 3D. 4 ,1. 已知l 1∥l 2∥l 3，直线AB 和CD 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，E ，B 和点C ，F ，D. 若AE ＝2，BE ＝4，则CFCD的值为( B )图1－27－71－2A . 12B . 13C . 23 D. 34知识点2：相似三角形的判定——平行线法【例2】如图1－27－71－3，DE 是△ABC 的中位线. 那么△ADE 和△ABC 是否相似？说明理由.图1－27－71－3解：△ADE 和△ABC 相似. 理由如下： ∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC.∴△ADE ∽△ABC. ,2. 如图1－27－71－4，已知AB ∥CD ∥EF ，请你找出图中所有的相似三角形.图1－27－71－4解：△AOB ∽△DOC ， △AOB ∽△FOE ，△DOC ∽△FOE.知识点3：相似三角形判定与性质的综合运用【例3】如图1－27－71－5，DE ∥BC ，且AD ＝3，AB ＝5，CE ＝3，求AE 的长.图1－27－71－5解：AE ＝4.5.,3. 如图1－27－71－6，AB 与CD 相交于点O ，AC ∥BD ，AO BO ＝35，AC ＝9，求BD 的长.图1－27－71－6解：BD ＝15.A 组4. 如图1－27－71－7，AD ∥BE ∥CF ，直线m ，n 与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，已知AB ＝5，BC ＝10，DE ＝4，则EF 的长为( C )图1－27－71－7A . 12B . 9C . 8 D. 4,5. 如图1－27－71－8，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，若AO ＝2，DO ＝4，BO ＝3，则BC 的长为( B )图1－27－71－8A . 6B . 9C . 12D . 15 B 组6. 如图1－27－71－9，已知DE ∥BC ，AE ＝50 cm ，EC ＝30 cm ，BC ＝70 cm ，∠A ＝45°，∠C ＝40°，求：(1)∠AED 和∠ADE 的度数； (2)DE 的长.图1－27－71－9解：(1)∠AED 和∠ADE 的度数分别为40°，95°.(2)DE ＝1754cm.,7. 如图1－27－71－10，在▱ABCD 中，点E 在DC 上，若EC ∶AB ＝2∶3，EF ＝4，求BF 的长.图1－27－71－10解：BF 的长为6. C 组8. 如图1－27－71－11，用三个完全一样的菱形ABGH ，BCFG ，CDEF 拼成平行四边形ADEH ，AE 与BG ，CF 分别交于点P ，Q . 若AB ＝6，求线段BP 的长.图1－27－71－11解：由菱形的性质可知，AD ＝3AB ＝18，DE ＝6. ∵BP ∥DE ，∴△ABP ∽△ADE. ∴BP DE ＝AB AD ，即BP 6＝618. 解得BP ＝2.,9. 如图1－27－71－12，E 是▱ABCD 的边BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，FG ∥AD 交AB 于点G.(1)填空：图中与△CEF 相似的三角形有 △DAF ，△BEA ，△GFA ；(写出图中与△CEF 相似的所有三角形)(2)从(1)中选出一个三角形，并证明它与△CEF 相似.图1－27－71－12解：(2)略.第5课时 相似三角形的判定(2)——三边法和两边及其夹角法知识点1：相似三角形的判定——三边法【例1】如图1－27－72－1，O 为△ABC 内一点，点D ，E ，F 分别为OA ，OB ，OC 的中点，求证：△DEF ∽△ABC.图1－27－72－1证明：∵D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，∴DE ＝12AB ，EF ＝12BC ，DF ＝12AC ，即DE AB ＝EF BC ＝DFAC.∴△DEF ∽△ABC.,1. 如图1－27－72－2，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，那么△ABC 与△A 1B 1C 1是否相似？为什么？图1－27－72－2解：相似. 理由如下：∵AB ＝5，AC ＝10，BC ＝5， A 1B 1＝2，A 1C 1＝2，B 1C 1＝10， ∴AB A 1B 1＝102，AC A 1C 1＝102，BC B 1C 1＝102.∴AB A 1B 1＝AC A 1C 1＝BCB 1C 1. ∴△ABC ∽△A 1B 1C 1.知识点2：相似三角形的判定——两边及其夹角法【例2】如图1－27－72－3，D ，E 分别是△ABC 两边AB ，AC 上的点，AD ＝3，BD ＝5，AE ＝4，EC ＝2. △ADE 与△ACB 是否相似，并说明理由.图1－27－72－3解：相似.理由如下：∵AD ＝3，BD ＝5，AE ＝4， EC ＝2， ∴AD AC ＝34＋2＝12，AE AB ＝43＋5＝12. ∴ AD AC ＝AE AB .∵∠A ＝∠A ，∴△AED ∽△ABC.,2. 如图1－27－72－4，AB·AE ＝AD·AC ，且∠1＝∠2，求证：△ABC ∽△ADE.图1－27－72－4证明：∵AB·AE ＝AD·AC ，∴AB AD ＝ACAE.又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠BAE ＝∠1＋∠BAE ，即∠BAC ＝∠DAE. ∴△ABC ∽△ADE.知识点3：相似三角形判定与性质的综合运用【例3】如图1－27－72－5，D 是△ABC 的边AB 上的一点，BD ＝43，AB ＝3，BC ＝2.(1)△BCD 与△BAC 相似吗？请说明理由；(2)若CD ＝53，求AC 的长.图1－27－72－5解：(1)△BCD ∽△BAC. 理由如下：∵BD ＝43，AB ＝3，BC ＝2，∴BD BC ＝432＝23，BC BA ＝23. ∴BD BC ＝BC BA. 而∠DBC ＝∠CBA ，∴△BCD ∽△BAC.(2)∵△BCD ∽△BAC ，∴CD AC ＝BCBA ，即53AC ＝23.∴AC ＝52.,3. 如图1－27－72－6，已知四边形ABCD ，∠B ＝∠ACD ，AB ＝6，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝7.5.(1)证明：△ABC ∽△DCA ； (2)求AD 的长.图1－27－72－6(1)证明：∵AB ＝6，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝7.5， ∴AB CD ＝BC AC ＝45且∠B ＝∠ACD. ∴△ABC ∽△DCA.(2)解：∵△ABC ∽△DCA ， ∴AC AD ＝BC AC ＝45. ∴5AD ＝45. ∴AD ＝254.A 组4. 如图1－27－72－7，根据所给条件，判断△ABC 和△DBE 是否相似，并说明理由.图1－27－72－7解：△ABC ∽△DBE.理由如下： ∵AC DE ＝BC BE ＝AB DB ＝12， ∴△ABC ∽△DBE.,5. 如图1－27－72－8，AC ＝20，BC ＝10，EC ＝16，CD ＝8，证明：△ABC 和△EDC 相似.图1－27－72－8证明：∵AC EC ＝2016＝54， BC CD ＝108＝54， ∴AC EC ＝BC CD. 又∵∠ACB ＝∠ECD ， ∴△ABC ∽△EDC. B 组6. 如图1－27－72－9，点D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点. 求证：△DEF ∽△ABC .图1－27－72－9证明：∵点 D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点， ∴EF ，FD ，DE 为△ABC 的中位线.∴EF ＝12BC ，FD ＝12AC ，DE ＝12AB.∴EF BC ＝FD AC ＝DE AB ＝12. ∴△DEF ∽△ABC.,7. 如图1－27－72－10，AD ，BC 交于点O ，AO·DO ＝CO·BO ，求证：△ABO ∽△CDO.图1－27－72－10解：∵AO·DO ＝CO·BO ， ∴AO CO ＝BO DO. 而∠AOB ＝∠COD ， ∴△ABO ∽△CDO.C 组8. 如图1－27－72－11，在正方形ABCD 中，P 是BC 边上的点，BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点. 求证：△QCP ∽△ADQ .图1－27－72－11证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝CD ＝BC ，∠C ＝∠D ＝90°. ∵BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，∴CP ＝14BC ，CQ ＝DQ ＝12CD .∴CP ∶DQ ＝CQ ∶DA ＝1∶2.∴△QCP ∽△ADQ .,9. 如图1－27－72－12，四边形ABEG ，GEFH ，HFCD 都是边长为a 的正方形，△AEF 与△CEA 相似吗？为什么？图1－27－72－12解：△AEF 与△CEA 相似.理由如下： 由勾股定理，得AE ＝AB 2＋BE 2＝2a. ∴AE EF ＝2a a ＝2， EC AE ＝2a 2a ＝ 2. ∴AE EF ＝EC AE. 又∵∠AEF ＝∠CEA ， ∴△AEF ∽△CEA. 第6课时 相似三角形的判定(3)——两角法知识点1：相似三角形的判定——两角法【例1】如图1－27－73－1，在△ABC 中，AC ＞AB ，点D 在AC 上(不与A ，C 重合)，∠ABD ＝∠ACB ，求证：△ABD ∽△ACB.图1－27－73－1证明：∵∠BAD ＝∠CAB ，∠ABD ＝∠ACB ， ∴△ABD ∽△ACB.,1. 如图1－27－73－2，DE ∥AB ，AD ∥BC ，求证：△EAD ∽△ACB.图1－27－73－2解：∵DE ∥AB ， ∴∠BAC ＝∠DEA. ∵AD ∥BC ， ∴∠C ＝∠DAE.∴△EAD ∽△ACB.知识点2：相似三角形判定与性质的综合应用【例2】如图1－27－73－3，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上一点，且∠AED ＝∠B. 若AE ＝5，AB ＝9，CB ＝6.(1)求证：△AED ∽△ABC ； (2)求DE 的长.图1－27－73－3(1)证明：∵∠AED ＝∠B ，∠A ＝∠A ， ∴△AED ∽△ABC.(2)解：∵△AED ∽△ABC ， ∴AE AB ＝DE CB. ∵AE ＝5，AB ＝9，CB ＝6，∴59＝DE6.解得DE ＝103.∴DE 的长为103.,2. 如图1－27－73－4，AB ，CD 相交于点O ，且∠C ＝∠B ，若AC ＝4 cm ，AO ＝3 cm ，BD ＝8 cm.(1)求证：△AOC ∽△DOB ； (2)求OD 的长.图1－27－73－4(1)证明：∵∠C ＝∠B ，∠AOC ＝∠DOB ，∴△AOC∽△DOB.(2)解：∵△AOC∽△DOB，∴ACDB＝OAOD，即48＝3OD.解得OD＝6(cm).∴OD的长为6 cm.知识点3：圆中的相似三角形【例3】如图1－27－73－5，⊙O的弦AB，CD交于点P，连接AC，BD，求证：△BDP ∽△CAP.图1－27－73－5证明：∵∠A与∠D都为所对的圆周角，∠B与∠C都为所对的圆周角，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C.∴△BDP∽△CAP.,3. 如图1－27－73－6，延长圆内接四边形ABCD的边AD和边BC，相交于点E，求证：△ABE∽△CDE.图1－27－73－6解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC＋∠B＝180°.又∵∠ADC＋∠EDC＝180°，∴∠B＝∠EDC.∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△CDE.A组4. 如图1－27－73－7，AB∥DE，AC∥DF，点B，E，C，F在一条直线上，求证：△ABC∽△DEF.图1－27－73－7证明：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B ＝∠DEF ，∠ACB ＝∠F. ∴△ABC ∽△DEF.,5. 如图1－27－73－8，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC. 求证：△ABC ∽△BDC.图1－27－73－8证明：∵∠A ＝30°，∠C ＝90°， ∴∠ABC ＝90°－30°＝60°. ∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°.∴∠A ＝∠DBC. 又∵∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△BDC. B 组6. 如图1－27－73－9，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD ＝∠CAE ，∠B ＝∠D. (1)△ABC 与△ADE 相似吗？为什么？(2)已知AB ＝2AD ，BC ＝8 cm ，求DE 的长.图1－27－73－9解：(1)△ABC ∽△ADE.理由如下：∵在△ABC 和△ADE 中，∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠DAC ＝∠CAE ＋∠DAC ，即∠BAC ＝∠DAE. 又∵∠B ＝∠D ，∴△ABC ∽△ADE.(2)由(1)知，△ABC ∽△ADE ，则AB AD ＝BCDE .∵AB ＝2AD ，BC ＝8 cm ，∴2AD AD ＝8DE.解得DE ＝4(cm )，即DE 的长是4 cm . ,7. 如图1－27－73－10，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高. 求证： (1)△ACD ∽△ABC ；(2)△CBD ∽△ABC .图1－27－73－10证明：(1)∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠ADC ＝90°. ∴∠ADC ＝∠ACB. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC.(2)∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠BDC ＝90°. ∴∠BDC ＝∠ACB. ∵∠B ＝∠B ，∴△CBD ∽△ABC. C 组8. 如图1－27－73－11，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是∠ABC 的角平分线. (1)△ABC 与△BDC 相似吗？请说明理由； (2)求证：AD 2＝AB ·CD .图1－27－73－11(1)解：相似. 理由如下： ∵在△ABC 中，AB ＝AC ， ∠A ＝36°，∴∠ABC ＝180°－36°2＝72°.∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠CBD ＝12∠ABC ＝36°.∴∠CBD ＝∠A .又∵∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△BDC . (2)证明：∵△ABC ∽△BDC ， ∴BC DC ＝ACBC. ∴BC 2＝AC ·CD . 由题意，可得BC ＝BD ＝AD . 又∵AB ＝AC ，∴AD 2＝AB ·CD .,9. 如图1－27－73－12，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线分别交⊙O ，BC 于点D ，E ，连接BD .(1)求证：△ABD ∽△AEC ；(2)试写出图中其他各对相似三角形.图1－27－73－12(1)证明：∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠DAC. ∵∠D ＝∠C ， ∴△ABD ∽△AEC.(2)解：△AEC ∽△BED ， △BED ∽△ABD.第7课时 相似三角形的简单性质与判定的综合习题课知识点1：求线段的长【例1】如图1－27－74－1，AD 与BC 交于O 点，∠A ＝∠C ，AO ＝4，CO ＝2，CD ＝3，求AB 的长.图1－27－74－1解：∵∠A ＝∠C ， ∠AOB ＝∠COD ， ∴△AOB ∽△COD. ∴AB CD ＝AO CO ， 即AB 3＝42. ∴AB ＝6. ,1. 如图1－27－74－2，在△ABC 中，点D 在AB 边上，∠ABC ＝∠ACD ， AD ＝2，AB ＝5. 求AC 的长.图1－27－74－2解：∵∠ABC ＝∠ACD ， ∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ACD.AD AC∵AD ＝2，AB ＝5， ∴AC 2＝5AC .∴AC ＝10.知识点2：证明角相等【例2】如图1－27－74－3，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 上，已知AE·AB ＝AD·AC ，求证：∠B ＝∠ADE.图1－27－74－3解：∵AE·AB ＝AD·AC ，∴AE AC ＝AD AB . ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC.∴∠B ＝∠ADE. ,2. 如图1－27－74－4，在△ABC 中，D ，E 分别为BC 边上的两点，且AC AD ＝AB DE ＝BCAE，求证：∠B ＝∠AEB.图1－27－74－4证明：∵AC AD ＝AB DE ＝BC AE， ∴△ABC ∽△DEA. ∴∠B ＝∠AED.知识点3：证明等比式 【例3】如图1－27－74－5，已知CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，证明：AD AE ＝ACAB.图1－27－74－5解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ， ∴∠ADC ＝∠AEB ＝90°. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADC ∽△AEB .AE AB,3. 如图1－27－74－6，在平行四边形ABCD 中，F 为AD 上一点，CF 的延长线交BA延长线于点E . 求证：DC BE ＝DFBC.图1－27－74－6证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠B ＝∠D ，BE ∥CD. ∴∠E ＝∠ECD. ∴△DCF ∽△BEC. ∴DC BE ＝DFBC .知识点4：证明等积式【例4】如图1－27－74－7，在△ABC 中，∠ADE ＝∠ABC ，BD ，CE 交于点O. 求证：AE·AB ＝AD·AC.图1－27－74－7证明：∵∠A ＝∠A ，∠ADE ＝∠ABC ， ∴△ADE ∽△ABC.∴ AE AC ＝AD AB . ∴AE·AB ＝AD·AC.,4. 如图1－27－74－8，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，证明：AC 2＝AB ·AD .图1－27－74－8证明：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高， ∴∠ADC ＝∠ACB ＝90°. ∵∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽∠ABC . ∴AC AB ＝AD AC . ∴AC 2＝AB ·AD .知识点5：证明线段平行或垂直【例5】如图1－27－74－9，AB 与CD 相交于点O ，OA ＝3，OB ＝5，OD ＝6，OC ＝185.求证：AC ∥BD .图1－27－74－9证明：∵OA ＝3，OB ＝5，OD ＝6，OC ＝185，∴OA OB ＝OC OD ＝35. 而∠AOC ＝∠BOD ， ∴△AOC ∽△BOD. ∴∠A ＝∠B. ∴AC ∥BD.,5. 如图1－27－74－10，在△ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AB ，BC 上的点，且BD·AB ＝BE·BC. 求证：DE ⊥AB.图1－27－74－10证明：∵BD·AB ＝BE·BC ，∴BD BC ＝BE BA. 又∵∠DBE ＝∠CBA ， ∴△BDE ∽△BCA. ∴∠BDE ＝∠C ＝90°，即DE ⊥AB .知识点6：圆中的相似三角形【例6】如图1－27－74－11，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，，AC 交BD 于点E ，CE ＝4，CD ＝6.(1)求证：△CDE ∽△CAD ； (2)求AE 的长.图1－27－74－11(1)证明：∵， ∴∠BAC ＝∠CAD ＝∠CDE. ∵∠ACD ＝∠DCE ， ∴△CDE ∽△CAD.(2)解：∵△CDE ∽△CAD ， ∴CE CD ＝CD CA ，即46＝6CA . 解得CA ＝9.∴AE ＝AC －CE ＝9－4＝5.,6. 如图1－27－74－12，AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点B ，连接PA 交⊙O 于点C ，连接BC.(1)求证：∠BAC ＝∠CBP ； (2)求证：PB 2＝PA·PC.图1－27－74－12证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点B ， ∴∠ACB ＝∠ABP ＝90°.∴∠BAC ＋∠ABC ＝∠ABC ＋∠CBP ＝90°. ∴∠BAC ＝∠CBP.(2)∵∠ABP ＝∠PCB ＝90°，∠P ＝∠P ， ∴△ABP ∽△BCP . ∴PB P A ＝PC PB . ∴PB 2＝P A ·PC .A 组7. 如图1－27－74－13，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE BC ＝25，AD ＝4，求BD 的长度.图1－27－74－13解：BD ＝6.,8. 如图1－27－74－14，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，E 是AC 上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为D . 求BD 的长.图1－27－74－14解：BD ＝6.B 组9. 如图1－27－74－15，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点D ，AD ＝9 cm ，DB ＝4 cm ，求CD 和AC 的长.图1－27－74－15解：如答图27－74－1，连接BC. ∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，可得△ADC ∽△CDB ，△ADC ∽△ACB.由△ADC ∽△CDB ，得CD BD ＝ADCD，即CD 2＝AD·DB ＝36. 解得CD ＝6(cm).答图27－74－1由△ADC ∽△ACB ，得AC AB ＝ADAC，即AC 2＝AB·AD ＝117. 解得AC ＝313(cm ).∴CD 的长为6 cm ，AC 的长为313 cm. ,10. 如图1－27－74－16，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，且△ABC 三个顶点都在⊙O 上，求证：AB ·AC ＝AE ·AD .图1－27－74－16证明：如答图27－74－2，连接CE. 由圆周角定理可知，∠B ＝∠E. ∵∠ADB ＝∠ACE ＝90°， ∠B ＝∠E ，∴△ADB ∽△ACE .答图27－74－2∴AB ∶AE ＝AD ∶AC. ∴AB·AC ＝AE·AD.C 组11. 如图1－27－74－17，边长为4的等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 上的点(D ，E 与顶点不重合)，∠BDE ＝60°.(1)求证：△ABD ∽△CDE ；(2)设CD ＝x ，BE ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并求y 的最小值.图1－27－74－17(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠C ＝60°. ∵∠BDE ＝60°，∴∠ADB ＋∠CDE ＝120°. ∵∠ABD ＋∠ADB ＝120°， ∴∠ABD ＝∠CDE. ∵∠A ＝∠C ， ∴△ABD ∽△CDE.(2)解：∵△ABD ∽△CDE ，∴AD CE ＝ABCD.∴CE ＝x(4－x)4 ＝－14x 2＋x.∴y ＝4－CE ＝14x 2－x ＋4.∵y ＝14(x －2)2＋3，∴y 的最小值为3. ,12. 如图1－27－74－18，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝16 cm ，AC ＝12 cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2 cm /s 的速度向点C 移动；点Q 从点C 出发，以1 cm /s 的速度向点A 移动.若点P ，Q 分别从点B ，C 同时出发，设运动时间为t s ，当t 为何值时，△CPQ 与△CBA 相似？图1－27－74－18解：分以下两种情况.①当CP 和CB 是对应边时，△CPQ ∽△CBA ，∴CP CB ＝CQCA ，即16－2t 16＝t 12. 解得t ＝4.8；②当CP 和CA 是对应边时， △CPQ ∽△CAB ，∴CP CA ＝CQCB ，即16－2t 12＝t 16. 解得t ＝6411.综上所述，当t ＝4.8 s 或6411s 时，△CPQ 与△CBA 相似.第8课时 相似三角形的周长和面积知识点1：相似三角形周长的比等于相似比【例1】在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形的一条边的长由原来的1 cm 变成4 cm ，那么它的周长由原来的3 cm 变成( B )A . 6 cmB . 12 cmC . 24 cmD . 48 cm ,1. 如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么这两个三角形的相似比为( B ) A . 1∶2 B . 1∶4 C . 1∶8 D . 1∶16知识点2：相似三角形对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比 【例2】如果两个相似三角形对应边之比是1∶4，那么它们的对应中线之比是( B ) A . 1∶2 B . 1∶4 C . 1∶8 D . 1∶16,2. 若△ABC ∽△DEF ，且相似比为2∶3，则它们对应边上的高之比为( A )A . 2∶3B . 4∶9C . 3∶5D . 9∶4知识点3：相似三角形面积的比等于相似比的平方【例3】已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为( A ) A . 1∶4 B . 4∶1C . 1∶2D . 2∶1,3. 如图1－27－75－1，已知△ADE ∽△ABC ，且AD ∶DB ＝2∶1，则S △ADE ∶S △ABC＝( D )图1－27－75－1A . 2∶1B . 4∶1C . 2∶3D . 4∶9知识点4：利用相似三角形周长和面积的性质计算【例4】如图1－27－75－2，已知DB ＝2AD ，EC ＝2AE. (1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)若△ABC 的周长为27 cm ，求△ADE 的周长.图1－27－75－2解：(1)证明略.(2)△ADE 的周长为9 cm.,4. 如图1－27－75－3，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD BD ＝32，S △ABC ＝25.(1)求证：△ADE ∽△ABC ； (2)求S △ADE 和S 四边形DBCE 的值.图1－27－75－3解：(1)证明略.(2)S △ADE ＝9，S 四边形DBCE ＝16.A 组5. 如果两个相似三角形对应边之比是1∶3，那么它们的对应中线之比是( A ) A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶6 D. 1∶9,6. 如图1－27－75－4，已知△ABC ∽△DEF ，AB ∶DE ＝1∶2，则下列等式一定成立的是( D )图1－27－75－4A .BC DF ＝12B . ∠A 的度数∠D 的度数＝12C . △ABC 的面积△DEF 的面积＝12D . △ABC 的周长△DEF 的周长＝12B 组7. 若相似三角形△ABC 和△A′B′C′的面积比为1∶4，则它们的相似比为( C ) A . 1∶4 B . 1∶3C . 1∶2D . 1∶1,8. 如图1－27－75－5，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S 四边形BCED ＝( C )图1－27－75－5A . 1∶3B . 1∶2C . 1∶3D . 1∶49. 已知△ABC ∽△A′B′C′，AD 是△ABC 的中线，A′D′是△A′B′C′的中线，若AD A′D′＝12，且△ABC 的周长为20 cm ，求△A′B′C′的周长.解：△A′B′C′的周长是40 cm .10. 已知△ABC 的三边长分别为5,12,13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积.解：△A′B′C′的面积是120.C 组11. 如图1－27－75－6，在△ABC 中，DE ∥BC ，S 1表示△ADE 的面积，S 2表示四边形DBCE 的面积，若D 是AB 边的中点，则S 1∶S 2＝ 1∶3 ；若S 1＝S 2，则AD ∶AB ＝ 22.图1－27－75－6,12. 如图1－27－75－7，在矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C.(1)设Rt △CBD 的面积为S 1，Rt △BFC 的面积为S 2，Rt △DCE 的面积为S 3，则S 1 ＝ S 2＋S 3；(填“＞”“＝”或“＜”)(2)若CE ＝3，DE ＝4，求S 2的值.图1－27－75－7解：(2)S 2＝323.第9课时 相似三角形的应用举例(1)——高度与河宽问题知识点1：利用相似测量物体的高度【例1】如图1－27－76－1，利用标杆BE 测量建筑物的高度. 已知标杆BE 高1.2 m ，测得AB ＝1.6 m ，BC ＝12.4 m. 求建筑物CD 的高.图1－27－76－1解：建筑物CD 的高是10.5 m . ,1. 图1－27－76－2是小明测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，然后，后退至点B ，从点A 经平面镜刚好看到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB ＝1.2 m ，BP ＝1.8 m ，PD ＝12 m ，求该古城墙的高度.图1－27－76－2解：该古城墙的高度是8 m .知识点2：利用相似测量河的宽度(测量距离)【例2】如图1－27－76－3，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A ，再在河岸的另一边选定点B 和点C ，使得AB ⊥BC ，然后选定点E ，使EC ⊥BC ，确定BC 与AE 的交点为点D ，若测得BD ＝180 m ，DC ＝60 m ，EC ＝50 m ，你能知道小河的宽是多少吗？图1－27－76－3解：由题意，可知△ABD ∽△ECD ， ∴AB EC ＝BD CD ，即AB 50＝18060. ∴AB ＝150(m ).∴小河的宽是150 m .,2. 如图1－27－76－4，为了估计河的宽度，我们在河对岸选定了一个目标点O ，在近岸取点A ，C 使O ，A ，C 三点共线，且线段OC 与河岸垂直，接着在过点C 且与OC 垂直的直线上选择适当的点D ，使OD 与近岸所在的直线交于点B. 若测得AC ＝30 m ，CD ＝120 m ，AB ＝40 m ，求河的宽度OA .图1－27－76－4解：∵AB ⊥OC ，CD ⊥OC ， ∴AB ∥CD.∴△OAB ∽△OCD. ∴OA OC ＝AB CD ， 即OA OA ＋30＝40120. ∴OA ＝15(m ).故河的宽度OA 为15 m.A 组3. 已知某一旗杆的影子长6 m ，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10 m ，如果此时附近的一棵小树影子长3 m ，那么小树高是( A )A. 4 mB. 5 mC. 8 mD. 20 m,4. 如图1－27－76－5，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外取一点C ，连接AC ，BC ，在AC 上取一点E ，使AE ＝3EC ，作EF ∥AB 交BC 于点F ，量得EF ＝6 m ，则AB 的长为 24 m .图1－27－76－5B 组5. 如图1－27－76－6，小明家的窗口面对大楼，相距AB ＝80 m ，窗高CD ＝1.2 m ，小明从窗口后退2 m ，眼睛从点O 处恰好能看到楼顶M 和楼底N ，求大楼的高度.图1－27－76－6解：由题意，知AB ＝80 m ，CD ＝1.2 m ，OA ＝2 m ， ∵CD ∥MN ，∴△OCD ∽△OMN. ∴CD MN ＝OA OB ， 即1.2MN ＝22＋80. ∴MN ＝49.2(m ).答：大楼的高度为49.2 m .,6. 如图1－27－76－7，小明为了测量楼MN 的高度，在离MN20 m 的A 处放了一块平面镜，小明沿NA 后退到点C ，正好从镜中看到楼顶M ，若AC ＝2 m ，小明的眼睛离地面的高度BC 为1.8 m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度.图1－27－76－7解：∵BC ⊥CA ，MN ⊥AN ， ∴∠C ＝∠N ＝90°.根据题意，可知∠BAC ＝∠MAN ， ∴△BCA ∽△MNA. ∴BC MN ＝AC AN . ∴1.8MN ＝220. 解得MN ＝18(m ). ∴楼房的高度为18 m .C 组7. 如图1－27－76－8，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上. 已知纸板的两条边DF ＝50 cm ，EF ＝30 cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5 m ，CD ＝20 m ，求树高AB .图1－27－76－8解：∵∠DEF ＝∠DCB ＝90°，∠D ＝∠D ， ∴△DEF ∽△DCB. ∴BC EF ＝DC DE. ∵DF ＝50 cm ＝0.5 m ，EF ＝30 cm ＝0.3 m ，AC ＝1.5 m ，CD ＝20 m ， ∴由勾股定理求得DE ＝0.4 m . ∴BC 0.3＝200.4. ∴BC ＝15(m ).∴AB ＝AC ＋BC ＝1.5＋15＝16.5(m ).,8. 如图1－27－76－9，李华晚上在两根相距40 m 的路灯杆下来回散步，已知李华身高AB ＝1.6 m ，灯柱CD ＝EF ＝8 m .(1)若李华距灯柱CD 的距离DB ＝16 m 时，求他的影子BQ 的长； (2)若李华的影子PB ＝5 m ，求李华距灯柱EF 的距离.图1－27－76－9解：(1)∵AB ∥CD ，∴△ABQ ∽△CDQ. ∴AB CD ＝BQ DQ ，即1.68＝BQ 16＋BQ . ∴BQ ＝4(m ). ∴他的影子BQ 的长为4 m .(2)∵AB ∥EF ，∴△ABP ∽△EFP. ∴AB EF ＝PB PF ，即1.68＝5PF . ∴PF ＝25(m ). ∴BF ＝PF －PB ＝20 m .∴李华距灯柱EF 的距离是20 m .第10课时 相似三角形的应用举例(2)——盲区及其他问题知识点1：作辅助线构造相似三角形解决实际问题【例1】如图1－27－77－1，一位同学在某一时刻测得直立的标杆高为1 m 时，影长为1.2 m ，他立即又测量建筑物的影子，因建筑物AB 靠近另一个建筑物CE ，所以AB 的影子没有完全落在地上，一部分影子落在墙上，他测得地上部分的影子长BC 为7.2 m ，又测得墙上部分的影子高CD 为1.2 m ，请你帮他计算建筑物AB 的高度.图1－27－77－1解：如答图27－77－1，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，则DH ＝BC ＝7.2 m ，BH ＝CD ＝1.2 m .∵在某一时刻测得直立的标杆高为1 m 时，影长为1.2 m ，答图27－77－1∴AH HD ＝11.2，即AH 7.2＝11.2. ∴AH ＝6.∴AB ＝AH ＋BH ＝6＋1.2＝ 7.2(m ).答：建筑物AB 的高度为7.2 m . ,1. 如图1－27－77－2，现要测量旗杆的高CD ，在B 处立一标杆AB ＝2.5 cm ，人在F 处，眼睛为E.标杆顶点A 、旗杆顶点C 在一条直线上. 已知BD ＝3.6 m ，FB ＝2.2 m ，EF ＝1.5 m. 求旗杆的高度.图1－27－77－2解：如答图27－77－2，过点E 作EH ∥FD 分别交AB ，CD 于点G ，H. ∵EF ∥AB ∥CD ， ∴EF ＝GB ＝HD.∴AG ＝AB －GB ＝2.5－1.5＝ 1(m )，EG ＝FB ＝2.2(m )，GH ＝BD ＝3.6(m)，CH ＝CD －1.5.答图27－77－2又∵AG CH ＝EG EH ，∴1CD －1.5＝2.25.8. ∴CD ＝4322(m ).∴旗杆的高度为4322m .知识点2：运用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题【例2】如图1－27－77－3是一个照相机成像的示意图，如果底片AB 宽40 mm ，焦距是60 mm ，求所拍摄的2 m 外的景物的宽CD .图1－27－77－3解：CD ＝43m .,2. 如图1－27－77－4是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE 为80 cm ，步枪上的准星宽度AB 为0.2 cm ，目标的正面宽度CD 为50 cm ，求眼睛到目标的距离OF .图1－27－77－4解：眼睛到目标的距离为200 m.A 组3. 如图1－27－77－5是一个照相机成像的示意图. 如果像高MN 是35 mm ，焦距是50mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9 m ，那么拍摄点L 离景物有 7 m.,图1－27－77－54. 如图1－27－77－6，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上. 若光源到幻灯片的距离为30 cm ，到屏幕的距离为90 cm ，且幻灯片中的图形的高度为7 cm ，则屏幕上图形的高度为( C )图1－27－77－6 A . 6 cm B . 12 cm C . 21 cm D . 24 cmB 组5. 如图1－27－77－7，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5 m 有一棵树，在河的北岸边每隔50 m 有一根电线杆，小丽站在离南岸15 m 的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有四棵树，求河的宽度.图1－27－77－7解：如答图27－77－3，过点P 作PF ⊥AB ，交CD 于点E ，交AB 于点F ，设河宽为x m.答图27－77－3∵AB ∥CD ，∴△PDC ∽△PBA. ∴PF PE ＝AB CD . ∴15＋x 15＝5025.解得x ＝15.答：河的宽度为15 m .6. 如图1－27－77－8，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小华在点D 处测得自己的影长DF ＝3 m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己的影长FG ＝4 m . 如果小华的身高为1.5 m ，求路灯杆AB 的高度.图1－27－77－8解：∵CD ∥EF ∥AB ， ∴△CDF ∽△ABF ， △EFG ∽△ABG . ∴CD AB ＝DF BF ，FE AB ＝FG BG. 又∵CD ＝EF ，∴DF BF ＝FGBG.∵DF ＝3 m ，FG ＝4 m ，BF ＝BD ＋3，BG ＝BD ＋7，∴3BD ＋3＝4BD ＋7. 解得BD ＝9(m ). ∴BF ＝12(m ). 由CD AB ＝DF BF ，得1.5AB ＝312.解得AB ＝6(m ). 则路灯杆AB 的高度是6 m . C 组7. 如图1－27－77－9，要在一块△ABC 的纸片上截取正方形DEFG 模型. 其中，G ，F 在BC 边上，D ，E 分别在AB ，AC 边上，AH ⊥BC 交DE 于点M ，若BC ＝12 cm ，AH ＝8 cm ，求正方形DEFG 的边长.图1－27－77－9解：设正方形边长为x cm .由相似可得DE BC ＝AMAH，∵BC ＝12 cm ，AH ＝8 cm ， AM ＝(8－x)cm ， ∴x 12＝8－x 8.解得x ＝4.8. ∴正方形的边长是4.8 cm . ,8. 如图1－27－77－10，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝120 mm ，高AD ＝80 mm ，要把它加工成长方形零件PQMN ，使长方形PQMN 的边QM 在BC 边上，其余两个顶点P ，N 分别在AB ，AC 边上，求这个长方形零件PQMN 的面积S 的最大值.图1－27－77－10解：设长方形零件PQMN 的边PN ＝a ，PQ ＝x ，则AE ＝80－x. ∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC. ∴PN BC ＝AE AD. ∴a 120＝80－x 80. 解得a ＝120－32x. 所以长方形PQMN 的面积S ＝xa ＝x ⎝⎛⎭⎫120－32x ＝－32x 2＋120x ＝－32(x －40)2＋2 400. 当x ＝40时，S 值最大，S 最大值＝2 400(mm 2).∴这个长方形零件PQMN 的面积S 的最大值是2 400 mm 2.第11课时 位 似知识点1：位似图形及其性质【例1】若两个图形位似，则下列叙述不正确的是( C ) A . 每对对应点所在的直线相交于同一点 B . 两个图形上的对应线段之比等于相似比 C . 两个图形上的对应线段必平行D . 两个图形的面积比等于相似比的平方 ,1. 下列关于位似图形的4个表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比. 正确的有( B )A . 1个B . 2个C . 3个 D. 4个知识点2：位似图形的画法【例2】如图1－27－78－1，以点O 为位似中心，把△ABC 缩小为原来的13.。

27.1图形的相像学习目标、要点、难点【学习目标】1．理解并掌握两个图形相像的观点；认识成比率线段的观点，会确立线段的比.2．知道相像多边形的主要特点，即：相像多边形的对应角相等，对应边的比相等；会依据相似多边形的特点辨别两个多边形能否相像，并会运用其性质进行有关的计算．【要点难点】1．相像图形的观点与成比率线段的观点；相像多边形的主要特点与辨别．2．成比率线段观点；运用相像多边形的特点进行有关的计算．知识概览图相像多边形的特点：对应角相等，对应边的比相等图形的相像判断两个多边形相像：对应角相等，对应边的比相等比率线段：有四条线段，此中两条线段的比与另两条线段的比相等，称这四条线段是比率线段新课导引【生活链接】以以下图所示，实用同一张底片洗出的不一样尺寸的照片，也有一辆汽车和它的模型，这些都给我们以形状同样的图形的形象．【问题研究】这类形状同样的图形叫做相像图形，两个图形相像，此中一个图形能够看作是由另一个图形放大或减小获得的．那么相像的图形拥有哪些性质呢?教材精髓知识点 1相像图形我们把形状同样的图形叫做相像图形．两个图形相像，此中一个图形能够看作是由另一个图形放大或减小获得的．比如：如图27－1 所示的几组图形都是形状同样、大小不一样的图形，所以这几组图形分别都是相像图形．1当两个图形的形状同样、大小也同样时，这两个图形也是相像图形，它们是特别的相像图形：全等形． 比如：如图 27－ 2 所示，△ ABC 与△ A ′B ′C ′的形状同样，而且大小也同样，所以这两个三角形相像，而且这两个三角形全等．拓展 所谓“形状同样”，就是与图形的大小、地点没关，与摆放角度、摆放方向也没关．有些图形之间固然只有很小的差别，但也不可以以为是“形状同样”．知识点 2比率线段对于四条线段 a ，b ，c ，d ，假如此中两条线段的比 ( 即它们长度的比 ) 与另两条线段的比相等，如 a c b d( 即 ab ＝ bc) ，我们就说这四条线段是成比率线段，简称比率线段．(1) 式子ac也能够写成 a ： b=c ：d ，往常这里的 a 叫做第一比率项， b 叫做第二比率项， cb d叫做第三比率项， d 叫做第四比率项．(2) 有时在 ac 中， ＝ ，比如： 4 6， 的比率中项，此时 b 2 ad ． b d b c6 9，这时我们把 b 叫做 a d(3) 在式子ac的两边同时乘以，得＝ cb ，在与比率有关的计算中，我们常经过上述变bdbdad形转变字母之间的关系．拓展 往常状况下，四条线段 a ，b ，c ，d 的单位应当一致，但有时为了计算方便，a ，b 的单位一致， c ，d 的单位一致也能够．知识点 3相像多边形对应边成比率，对应角相等的两个多边形叫做相像多边形．拓展 在多边形中，只有当“对应边成比率”、 “对应角相等”这两个条件同时成即刻，才能说明两个多边形是相像多边形．知识点 4相像多边形的性质相像多边形的对应角相等，对应边的比相等．比如：若△ ABC 与△ A ′B ′C ′相像，则∠ A ＝∠ A ′，∠B ＝∠ B ′，∠ C ＝∠ C ′，ABACBC.2知识点 5相像比相像多边形对应边的比称为相像比．拓展相像多边形面积的比等于相像比的平方．规律方法小结(1) 相像的两个图形之间大小、方向、地点能够同样，也能够不一样，但它们的形状一定同样．如：两张大小不一样的世界地图或中国地图；两面大小不一样的中国国旗；同一底片、尺寸不一样的两张照片．有些图形之间很相像，但不相像，如：哈哈镜中人的形象与自己不相像；阴历十五夜晚的月亮与十六夜晚的月亮固然很相像，但其实不相像．(2)学习本节知识时要充足运用转变思想，即把求证的线段之间的关系转变为易证、易求的线段间的另一种关系，同时，对于给出两条线段的比而没有指明两条线段的大小关系时，要分类议论．研究沟通当相像比为 1 时，相像的两个图形之间有什么关系 ?点拨相像比为 1 的两个图形是全等形．讲堂检测基本观点题1、以下多边形中，必定相像的是( )A．两个矩形B．两个菱形C．两个正方形D．两个平行四边形2、以下命题中，正确的选项是( )A．相像多边形是全等多边形B．不全等的多边形不是相像多边形C．全等多边形是相像多边形D．不相像的多边形可能是全等多边形3、假如线段 a 是线段 b、线段 c 的比率中项， b＝3，c＝12，那么线段 a 的长是多少 ?基础知识应用题4、假如两地的实质距离为750m，图上距离为 5 cm, 那么这张图的比率尺是多少?5、已知四边形 ABCD与四边形 A′B′C′D′相像，且 AB：BC：CD：DA＝20： 15：9：8，四边形 A′ B′ C′ D′的周长为 26，求四边形 A′B′C′D，的各边长．综合应用题6、等腰梯形 ABCD与等腰梯形 A′B′C′D′，相像，AD＝BC，∠A＝65°，AB＝8 cm，A′ B′＝ 6 cm，AD＝ 5 cm，求 A′D′的长及梯形 A′B′C′D′各内角的度数．7、已知同样时辰的物高与影长成比率，假如高为 1.5 m 的竹竿的影长为 2.5 m ，那么影长为30 m 的旗杆的高度为( )A． 20 m B．16 mC． 18 m D．15 m研究与创新题8、已知线段AB＝8，C为线段AB的黄金切割点，求A C: BC的值．体验中考在同一时辰，身高为1．6 米的小强在阳光下的影长为0．8 米，一棵大树的影长为4．8 米，则这棵树的高度为( )A ．4．8 米B．6．4 米C ．9．6 米D．10 米学后反省附：讲堂检测及体验中考答案讲堂检测1、剖析依据相像多边形的定义，两个矩形只知足对应角相等，而对应边不必定成比率；两个菱形只知足对应边成比率，而对应角也不必定相等；两个正方形的对应边成比率，对应角都是90°，必定相像；两个平行四边形的对应边不必定成比率，对应角也不必定相等．应选 C.【解题策略】判断两个多边形能否相像，一定同时具备对应角相等、对应边的比相等，这两个条件缺一不行．2、剖析全等多边形是特别的相像多边形．应选 C.【解题策略】假如两个多边形全等，则必定相像，可是假如两个多边形相像，则不必定全等．3、剖析四条线段 a，b，c，d 是成比率线段，若第二比率项和第三比率项是两条同样的线段，即 a： b＝ b：c，则把 b 叫做 a 和 c 的比率中项．将 a：b＝ c： d 变形，可获得 bc＝ ad，当 a：b＝b c 时，有 b2＝ac．:解：∵a是 b，c 的比率中项，且 b＝， c＝，312∴a2＝bc＝ 3× 12＝36，∴ a＝± 6．∵ a 是线段，∴线段 a 的长是 ．6【解题策略】假如线段 a 是线段 b ， c 的比率中项，那么 a 2 =bc ． ( 此中 a ，b ，c 均为正数 )4、剖析 图的比率尺是一种比率关系，是图上距离与实质距离的比，往常写成1：x 的形式，也就是说，图上的 1 cm 相当于实质的 x cm ，如某图的比率尺为 1：40000，就是说图上的 1 cm 相当于实质的 40000 cm ，即 400 m.解：∵ 750 m ＝75000 cm ，∴ 5:75000 ＝1:15000 ，即这张图的比率尺是 1:15000 ．【解题策略】 无论是将图形放大仍是减小，比率尺都是图上距离与实质距离的比．、剖析 依据四边形 ABCD 各边的比为 ： ： ： 8 可得四边形 A ′B ′C ′D ′各边的比也为 520 15 9 20： 15：9：8，再依据四边形 A ′B ′C ′D ′的周长为 26，可求出各条边的长．解：∵四边形 ABD 与四边形 A ′ B ′ C ′ D ′相像，且 AB: BC: CD: DA ＝ 20:15:9:8 ，∴ A ′ B ′： B ′C ′： C ′D ′： D ′A ′＝ 20： 15：9：8．又∵四边形 A ′B ′C ′D ′的周长为 ，26 ∴ A ′ B ′ =26×20=10，B ′C ′=26×15=7．5，20 15 9 15 98 20 8 C ′D ′ × 9 ． ，D ′A ′ × 20， =26 20 15 9 8 =4 5 =26 15 9 =420 8即四边形 A ′B ′C ′D ′的各边长分别为 A ′ B ′＝ 10，B ′C ′＝ 7．5，C ′D ′＝ 4．5，D ′A ′＝ 4．【解题策略】 相像多边形的相像比等于对应边的比．6、剖析 充足利用相像多边形的对应角相等、 对应边成比率的性质和等腰梯形的性质来解题．解：∵等腰梯形 ABCD 与等腰梯形 A ′B ′C ′D ′相像，∴∠ A ＝∠ A ′=65°， AB AD，A BA D即85 ，∴ A ′D ′=15(cm) ，6 A D4∴ B ′ C ′＝ 15，∠ A ′＝∠ B ′＝ °，4 cm65∴∠ C ′＝∠ D ′＝ 180°－ 65°＝ 115°．【解题策略】 本题是一道综合性题目， 在运用相像多边形性质的同时也运用了等腰梯形的性质．7、剖析 本题考察比率线段的基天性质．因为同一时辰物高与影长成比率，所以2.530，∴旗杆的高度＝30 1.5＝18(m)．应选 C．1.5旗杆的高度2.5【解题策略】解决此类问题时，也能够依据比率式列出方程，经过解方程求出旗杆的高度．8、剖析黄金切割点指的是线段上的某一点，它将线段所分红的两条线段中，较长的一条线段是较短的一条线段和整条线段的比率中项，此中较长的一条线段与整条线段的比值叫做黄金比，黄金比的近似值约为0.618 ，正确值是5 1．2解：当 AC＞ BC时，AC=5 1AB=4( 5－1) ，2∴BC=AB－AC=8－4( 5－ 1)=12－4 5 =4(3－5 ) ，∴AC：BC5－1)：4(3－ 5)=5 1 ．=4(25 1AB当AC＜ BC时， BC 5 －1)，=2=4(∴AC AB－BC－ 5)，==4(3∴ AC: BC=4(3 － 5 ):4( 5 －1)= 5 1 ．2【解题策略】对于给出两条线段的比，而没有指明两条线段的大小关系时，要分类议论．体验中考剖析设这棵树的高度为x 米，则 1.6 ：0.8 ＝x：4.8 ，解得 x＝9.6 ．应选 C．【解题策略】同样时辰的物高与影长成比率．27.2相像三角形应用举例学习目标、要点、难点【学习目标】1．进一步稳固相像三角形的知识．2．能够运用三角形相像的知识，解决不可以直接丈量物体的长度和高度（如丈量金字塔高度问题、丈量河宽问题、盲区问题）等的一些实质问题．3．经过把实质问题转变成有关相像三角形的数学模型，进一步认识数学建模的思想，培育分析问题、解决问题的能力．【要点难点】1．运用三角形相像的知识计算不可以直接丈量物体的长度和高度．2．灵巧运用三角形相像的知识解决实质问题（如何把实质问题抽象为数学识题）．知识概览图相像三角形的应用：灵巧掌握题意，把实质问题转变为数学识题，运用数学建模思想和数形联合思想灵巧地解决问题．新课导引【生活链接】王芳同学跳起来把一个排球打在离她 2 m远的地上，而后球反弹遇到墙上，假如王芳跳起击排球时的高度是 1.8m，排球落地址离墙的水平距离是 6m，假定排球向来沿直线运动，那么排球能遇到墙上离地多高的地方?【问题研究】由题意可获得如右图所示的图形．已知AB＝1.8 m，AP＝，P ＝，PQ⊥2 m C 6 mAC，那么如何求DC的长呢 ?由已知可证 Rt△ APB∽Rt△ CPD，由相像三角形的性质可知即1.8 2，所以DC＝5.4(m)．利用相像三角形的知识还可以解决很多实质问题．DC 6教材精髓知识点应用相像三角形的知识解决实质问题AB AP， DC PC相像三角形的知识在实质生产和生活中有着宽泛的应用，这一应用是成立在数学建模思想和数形联合思想的基础上，把实质问题转变为数学识题，经过求解数学识题达到解决实质问题的目的．拓展求线段的长度时，可依据已知条件并利用相像成立未知线段的比率关系式，从而求出所求线段的长．运用数学建模思想把生活中的实质问题抽象为数学识题，经过求解数学识题达到解决实质问题的目的．讲堂检测基础知识应用题1、如图 27—38 所示，为了估量河的宽度，我们能够在河对岸选定一个目标 P，在近岸取点 Q和 S，使点 P， Q， S共线且直线 PS与河垂直，接着在过点S 且与 PS垂直的直线 a 上选择适合的点T，确立 PT 与过点 Q且垂直 PS的直线 b 的交点 R，假如测得 QS＝45 m，ST＝90 m， QR＝60 m，求河的宽度 PQ．2 、古代一位数学家想出了一种丈量金字塔高度的方法，如图 27－39 所示，为了丈量金字塔的高度OB，先竖起一根已知长度的木棒 O′ B′，比较木棒的影长 A′B′与金字塔的影长 AB，即可近似地算出金字塔的高度 OB且已知 O′B′=1 米， A′ B′＝ 2 米， AB＝274 米，求金字塔的高度 OB．综合应用题3 、如图27－40 所示，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝240 mm，高AD＝160mm，要把它加工成正方形部件，使正方形的一边在BC上，其余两个极点分别在AB，AC上，则这个正方形部件的边长是多少 ?4、如图 27— 41 所示，在 Rt△ABC中，∠ B＝ 90°， BC=4 cm， AB＝8 cm，D，E，F 分别为 AB，AC，BC边的中点， P 为 AB边上一点，过 P 作 PQ∥BC交 AC于 Q，以 PQ为一边，在点 A 的另一侧作正方形 PQMN，若 AP＝3 cm，求正方形 PQMN与矩形 EDBF的公共部分的面积．研究与创新题5、教课楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为 1 m 的竹竿的影长为 0．9 m，在同一时辰他们丈量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教课楼的墙壁上，如图 27－ 42 所示，经过一番争辩，该小组的同学以为持续丈量也能够求出树高，他们测得落在地面上的影长为 2.7 m ，落在墙壁上的影长为 1.2 m ，请你计算树高为多少．体验中考小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪对准目标点 B 时，要使眼睛 O、准星 A、目标 B 在同一条直线上，如图－45所示，在射击时，小明有稍微的颤动，以致准星 A 偏离到 A′，27若 OA＝0．2 m，OB＝40 m，AA′＝ 0．0015 m，则小明射击到的点 B′，偏离目标点 B 的长度 BB′为 ( )A．3 m B．0．3 m C．0．03 m D．0．2 m学后反省附：讲堂检测及体验中考答案讲堂检测1、剖析可利用三角形相像的性质来求解．解：∵∠ PQR＝∠ PST＝90°，∠ P＝∠ P，∴ Rt△PQR∽ Rt△PST，∴PQQR ，PS ST即PQ QR ，∴PQ60 ，PQ QS ST PQ 4590PQ ×90=( PQ+45) ×60，解得 PQ ＝90．故河宽大概为 90 m ．【解题策略】利用相像三角形的性质能够丈量不方便抵达的两点间的距离．2、剖析 要求 OB 的长度，能够经过证明△ OAB ∽△ O ′A ′B ′，从而获得比率式从而求解．OB AB ， OBAB解：∵太阳光是平行光芒，∴∠ OAB ＝∠ O ′ A ′B ′．又∵∠ ABO ＝∠ A ′B ′ O ′＝ 90°，∴△ OAB ∽△ O ′ A ′B ′，∴ OB ：O ′B ′＝ AB ：A ′B ′，∴ OB=ABgO B 274 1=137(米) ．A B2故金字塔的高度为137 米．【解题策略】本题要点考察阅读理解能力和知识的迁徙运用能力， 从而计算出不可以直接丈量的物体的高度．3、剖析若四边形 PQMN 为正方形，则 AE ⊥PN ，这样△ APN 的高能够写成 A D －ED ＝ AD －PN ，再由△ APN ∽△ ABC ，即可找到 PN 与已知条件之间的联系．解：设正方形 PQMN 为加工成的正方形部件，边 QM 在 BC 上，极点 P ，N 分别在 AB ，AC 上，△ABC 的高 AD 与正方形 PQMN 的边 PN 订交于 E ，设正方形的边长为 x mm ．∵PN ∥ BC ，∴△ APN ∽△ ABC ，∴AE PN , AD BC ∴160 x= x, 解得 x=96(mm)，160240∴加工成的正方形部件的边长为96 mm ．【解题策略】 本题中相像三角形的知识有了一个实质意义，所以在解题时要擅长把生活中的问题转变为数学识题来解决．4、剖析因为 PQ ∥BC ，所以PQAP，从而可求出的长，而四边形是正方形，所以BC ABPQPQMNPN 的长及 DN 的长都能够求出来．因为正方形 FQMN 与矩形 EDBF 的公共部分是矩形，故只需求出 DN ，MN 的长，就能够求出矩形的面积．解：在 Rt △ ABC 中，∠ B ＝ 90°， AB=8 cm ，BC ＝4 cm ，D ，E ， F 分别为 AB ， AC ，BC 边的中点，则 AD ＝4 cm ，DE ∥ BC ，DE ⊥ AB ．又∵ PQ ∥BC ，∴△ APQ ∽△ ABC ， ∴ AP PQ ，即3 PQ ，∴ = 3 .AB BC8 4PQ 2由四边形 PQMN 是正方形，得 PN ＝ 3，2∴AN ＝ 9 ，DN ＝AN －AD ＝ 1，2 2∴正方形 PQMN 与矩形 EDBF 的公共部分的面积为：DN ·MN=DN · PQ= 1 × 3 = 3(cm 2) ．2 2 4【解题策略】 本题考察了直角三角形、正方形与相像三角形知识的综合应用，要娴熟掌握每一种几何图形的性质．5、剖析 第一依据题意画出表示图 ( 如图 27－43 所示 ) ，把实质问题抽象成数学识题， 从而利用△ PQR ∽△ DEC ，△ PQR ∽△ ABC 求出树高 AB ．解：如图 27－43(1) 所示，延伸 AD ， BE 订交于 C ，则 CE 是树的影长的一部分．由题意可得△ PQR ∽△ DEC ，∴PQQR ，DEEC即10.9，∴ CE=1.08(m) ，1.2 CE∴ BC ＝BE+CE ＝2.7+1.08 ＝3.78(m) ． 又∵△ PQR ∽△ ABC ，∴PQQR ， ABBC即1 0.9 AB 3.78，∴ AB=4.2(m) ，故树高为 4．2 m ．体验中考剖析 由三角形相像可得OAAA，∴ BB ′ =OB gAA =400.0015=0.3(m) ．应选 B.OB BBOA0.2【解题策略】解决本题的要点是依据 AA ′∥ BB ′，从相像三角形的周长与面积学习目标、要点、难点【学习目标】1．理解并初步掌握相像三角形周长的比等于相像比，面积的比等于相像比的平方．2．能用三角形的性质解决简单的问题．【要点难点】1．相像三角形的性质与运用．2．相像三角形性质的灵巧运用，及对“相像三角形面积的比等于相像比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相像比”的理解．知识概览图相像三角形对应高的比、对应中线的比、对应角均分线的比都等于相像比相像三角形的周长与面相像三角形周长的比等于相像比( 相像多边形周长的比等于相像比)积相像三角形面积的比等于相像比的平方( 相像多边形面积的比等于相像比的平方)新课导引【生活链接】假如两个三角形相像，那么它们的周长之间有什么关系 ?它们的面积之间有什么关系 ?两个相像多边形呢 ?【问题研究】前方我们已经学习了相像图形的性质：相像图形的对应角相等，对应边的比相等．那么相像图形的周长与面积又拥有如何的性质呢?教材精髓知识点 1相像三角形对应高的比等于相像比如图－57所示，假如△ ABC∽△ A′B′C′，且AB＝ k，那么27A B△ABC 与△ A ′B ′C ′的相像比 k ， A 作 AD ⊥BC ， A ′作 A ′D ′⊥ B ′C ′，垂足分 D ，D ′，在△ ABD 与△ A ′ B ′ D ′中，∠B ＝∠ B ′，∠ADB ＝∠ A ′D ′B ′＝ 90°，所以 Rt △ABD ∽Rt △A ′B ′D ′，所以ADAB＝k ，即相像三角形 高的比等于相像比k ．A D A B知 点 2 相像三角形 中 的比、 角均分 的比都等于相像比如 27－ 58 所示，在△ ABC 和△A ′B ′C ′中，AD ，A ′D ′分 △ ABC 和△ A ′B ′C ′的中 ， BE ，B ′E ′分 △ ABC 和△ A ′B ′ C ′的角均分 ，若△ ABC ∽△ A ′B ′ C ′，ADAB＝k ．A D A B知 点 3 相像三角形周 的比等于相像比假如△ ABC ∽△ A ′B ′C ′，而且△ ABC 与△ A ′ B ′ C ′的相像比 k ，那么ABBC AC＝ k ，A BB CA CAB＝ k·A′B′ ， BC k·B′C′ ，AC＝k·A′C′，所以=△ ABC 的周AB BC CAkA B kB C kA Ck( A B B C C A )k ，即相像三角形周 的比△ABC 的周AB BC CAAB BC CAAB BC CA等于相像比．比如：已知△ ABC ∽△ A ′B ′C ′，它 的周 分 60 cm 和 ，且 AB ＝，B ′C ′ 72 cm 15 cm＝24 cm ， 两个三角形的相像比 60 5 ，且 AB BC 5 ，因 AB ＝，B ′C ′＝ ， 726 A B B C 6 15 cm 24 cm 所以 A ′B ′＝ c ， BC ＝ c ，A ′ C ′＝18 20 ，所以 AC ＝ － － ＝ 25(cm) － － ＝ ．m m60 15 20 72 18 24 30(cm) 知 点 4 相像多 形周 的比等于相像比假如多 形A 1 A 2 ⋯ A n 与多 形A 1 ′ A 2′⋯ A n ′相像，而且多 形A 1A 2⋯ A n 与多 形A 1′2n′的相像比 k ，A 1A 2A 2A 3 ⋯A nA11 21 22 32 3A ′⋯ A A 1 A 2A 2 A 3A n A 1＝k ，∴ AA ＝ kA ′ A ′， A A ＝ kA ′ A ′，⋯，A A 1＝kAn ′ A 1 ′，∴A 1A 2 A 2A 3 ⋯ AA 1＝ k A 1′A 2′ A 2′A 3′ ⋯A ′A 1′ ) ，∴ A 1A 2 A 2A 3 ⋯A n A 1n+ + +n( + + +nA 1 A 2 A 2 A 3 A n A 1⋯＝k ，即相像多 形周 的比等于相像比.知 点 5相像三角形面 的比等于相像比的平方若△ ABC ∽△ A ′B ′C ′，△ ABC 与△ A ′B ′C ′的相像比是 k ，AD ，A ′D ′分 是 BC 与 B ′C ′S △ ABC 1BC gADBCAD上的高，2 2S △ABCBC AD= k ·k=k , 即相像三角形面 的比等于相像比的平方．1g2 BC AD知识点 6相像多边形面积的比等于相像比的平方对于两个相像的四边形，能够把它们分红两对相像的三角形，能够得出这两个四边形面积的比等于相像比的平方．对于两个相像的多边形，用近似的方法，能够把它们分红若干对相像的三角形，从而得出相像多边形面积的比等于相像比的平方．规律方法小结 (1) 假如两个三角形相像，那么它们对应高的比、对应角均分线的比、对应中线的比、对应周长的比都等于相像比．(2)相像三角形的面积比等于相像比的平方．(3)类比相像三角形的性质可知，相像多边形的周长比等于相像比，面积比等于相像比的平方．(4)本节内容中求相像三角形对应边的比和面积的比的问题能够相互转变，对于没有指明对应极点的相像三角形仍旧要分类议论．讲堂检测基本观点题1、 (1) 若两个相像三角形的面积比为 1：2，则它们的相像比为；(2)若两个相像三角形的周长比为 3：2，则它们的相像比为；(3)若△ ABC∽△ A′B′C′，且 AB＝ 5，A′B′＝ 3，△ A′B′C′的周长为 12，则△ ABC的周长为.基础知识应用题2、如图 27－59 所示，在△ ABC和△ DEF中， AB＝2DE，AC＝2DF，∠ A＝∠ D，△ ABC的周长是24，面积是 48，求△ DEF的周长和面积．3、如图 27－60 所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为 BC，AB边上的高，△ ABC和△BDE的面积分别为 18 和 2， DE＝2，求 AC边上的高．4、如图27－61所示，在△ ABC与△ CAD中，AD∥ BC，CD交AB于点E，且AE：EB＝1:2，EF∥BC交 AC于点 F，且 S△ADE＝1，求 S△BCE和 S△AEF．5、如图 27－62 所示， AD是△ ABC的角均分线， BH⊥AD于点 H， CK⊥AD于点 K，求证AB· DK＝AC·DH．17综合应用题6、如图 27－63 所示，在梯形 ABCD中，对角线 AC， BD订交于点 O，若△ COD的面积为 a2，△AOB的面积为 b2，此中 a＞0，b＞0，求梯形 ABCD的面积 S．研究与创新题7、如图－64所示，ABCD的对角线 AC，BD订交于点 O， E 是 AB延伸线上一点， OE交BC27于点 F，AB＝ a， BC＝b，BE＝c，求 BF 的长．8、如图 27－65 所示，在△ ABC中，D是 BC边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE与 AB订交于点 E， EC与 AD订交于点 F.(2)若 S△FCD＝5，BC＝ 10，求 DE的长体验中考1、已知△ ABC与△ DEF相像且面积比为4：25，则△ ABC与△ DEF的相像比为．2、如图27－67所示，在△ ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的均分线 CF交 AD于 F，点 E 是 AB的中点，连结EF．(1)求证 EF∥BC；(2)若四边形 BDFE的面积为 6，求△ ABD的面积．学后反省附：讲堂检测及体验中考答案讲堂检测、剖析(1)∵两个相像三角形的面积比等于相像比的平方，∴k2＝1，且 k＞，∴k＝ 2 ．120(2)2∵相像三角形的周长比等于相像比，且周长比为3:2 ，∴相像三角形的相像比为3：2．(3) ∵相像比5：3，∴△ ABC的周长5. 又∵△ A′ B′ C′的周长为12，∴△ABC的周长＝5，∴△ ABC的周△A BC的周长3123长为 20．答案： (1) 2 ：2 (2)3：2 (3)20【解题策略】解决此类题时，可直策应用相像三角形的周长比、面积比与相像比的关系来求解．2、剖析先说明△ ABC∽△ DEF，再运用相像三角形的性质——相像三角形的周长比等于相像比、面积比等于相像比的平方进行求解．解：在△ ABC和△ DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，∴DE DF 1.AB AC2又∵∠ D＝∠ A，∴△ DEF∽△ ABC，且相像比为1．2∴△ DEF 的周长1. 即△ DEF 的周长1，△ ABC的周长2242∴△ DEF的周长为 12．∴ S2，即S△DEF121，△ DEFS△ABC2482∴S△DEF＝12．即△ DEF的周长为 12，面积为 12．【解题策略】解决此类问题时，可利用相像三角形周长的比等于相像比、相像三角形面积的比等于相像比的平方来求解．3、剖析若求AC边上的高，就要把AC边上的高作出来，因为△ABC的面积为 18，所以只需求出 AC边的长，就能够求出AC边上的高．∵AD⊥BC，CE⊥ AB，∴∠ ADB＝∠ CEB＝ 90°，又∵∠ ABD＝∠ CBE，∴ Rt △ADB∽Rt △CEB．∴ BD AB,即 BD BE，且∠ ABC=∠ DBE，BE CBAB CB∴△ EBD∽△ CBA，∴S△BED2DE 2 ，S△BCA AC18又∵ DE＝ 2，∴ AC＝6．∵S△ABC＝1AC·BF＝ 18，∴ BF＝6．2【解题策略】解决本题的要点是依据已知条件说明△EBD∽△ CBA．4、剖析由 AD∥ BC，可得△ ADE∽△ BCE，求 S△BCE比较简单，而求 S△AEF不易利用相像三角形的面积关系来求解．由DA∥EF可知△AEF与△EAD是两个高相等的三角形，所以这两个三角形的面积比就等于底边长的比，求出 EF： AD就能够求出△ AEF的面积．解：∵ AD∥BC，∴△ ADE∽△ BCE，2 2∴S△ADE：S△BCE＝AE：BE．又∵ AE: BE＝ 1： 2，∴ S△ADE: S△BCE＝1:4 ，∵S△ADE＝1，∴ S△BCE＝4．又∵ EF∥ BC，∴△ AEF∽△ ABC，∴EF: BC＝AE：AB＝1:3 ．又∵△ ADE∽△ BCE，∴ AD：BC＝ AE：BE＝1： 2，∴BC＝2AD，∴ EF：AD＝2：3．又∵ AD∥ EF，∴△ ADE与△ AEF等高．∴S△AEF：S△ADE＝EF：AD＝2：3．∵S△ADE=1，∴ S△AEF＝2 .3【解题策略】利用相像三角形的性质进行有关面积的计算时，有时会用到等底等高的三角形面积相等、同底 ( 或等底 ) 三角形的面积之比等于对应高之比、同高(或等高)三角形的面积之比等于对应底边长之比等等．5、剖析由已知易证△ BHD∽△ CKD，△ ABH∽△ ACK，从而易得证明：∵ BH⊥ AD，CK⊥AD，∴ BH∥CK，AB BH DHAC CK DK, 即 AB·DK=AC·DH．∴△ BHD ∽△ CKD ，∴DHBH．①DK CK∵AD 均分∠ BAC ，∴∠ 1＝∠ 2．又∵∠ BHA=∠ CKA=90°，∴ R t △ ABH ∽Rt △ACK, ∴ AB BH．②ACCK由①②可知ABDH，∴ AB ·DK ＝AC ·DH ．AC DK【解题策略】在本题中，利用BH把AB和DH联系起来，往常把这里的BH叫做中间比， 它CKACDK CK起到桥梁的作用．、剖析 梯形的面积等于4 个三角形的面积之和，而△ AOB 和△ COD 的面积都已用 a ，b 表示6出来，所以要点是求出△ AOD 和△ BOC 的面积．由图可知△ AOD 和△ BOC 的面积相等，而△ AOD 和△ COD 在 AC 边上的高是同一条高， 所以△ AOD 和△ COD 的面积比就等于 AO ：OC ，这样就能够求出△ AOD 的面积．解：∵ AB ∥CD ，∴△ COD ∽△ AOB ，∴∴CO 2 S△ COD2a,AO 2S△ AOB2bCOa 2a2.AOb b又∵ S △ABC ＝ S △ ABD ，∴ S △ ABC －S △ AOB ＝S △ABD －S △ AOB ，即 S △BOC ＝ S △ AOD ．又∵S△ AOD=AOb ，S△ CODCO a∴ S △ AOD = b·S △COD = b· a 2=ab ．aa∴ S △ COB ＝S △ AOD ＝ab ．∴梯形 ABCD 的面积 S ＝ a 2+ab+ab+b 2＝ ( a+b) 2．【解题策略】 底在同一条直线上， 高同样的两个三角形面积的比等于底边长的比， 而相像三角形面积的比等于对应边的比的平方，要注意差别这两个性质．7、剖析 明显所求线段 BF 与已知线段 BE 在同一个三角形中，假如能找到一个与△ BEF 相像且有能直接找到，假如过 O 作 OC ∥BC 交 AB 于 G ，就能获得△ EBF ∽△ EGO ，本题可解．解：过点 O 作 OG ∥ BC 交 AB 于 G ，则△ EBF ∽△ EGO ．∵ ABCD 的对角线订交于点 O ，∴ OA ＝OC ，AG ＝ GB ．又∵△ EBF ∽△ EGO ，∴BFEB.GO EG∵ AG ＝GB ＝ 1AB ，∴ OG ＝ 1BC ．22又∵ AB ＝ a ， BC ＝b ，BE ＝ c ，∴ OG ＝ 1 b ，GB ＝ 1 a ，GE=1a+c ．2221∴ BFcBF bgc bc，∴ 2.1 1 =1a 2cccbaa222【解题策略】 解决此类题的要点是结构相像图形，而结构相像图形的一般方法是作平行线． 、剖析 由 E ⊥BC ， D 是 BC 的中点，可得∠ B ＝∠ ，由 AD ＝AC ，可得∠ ＝∠ ACD ，从而相8 D 1 2似可证．过 A 作 AM ⊥BC 垂足为 M ，求 DE 的长能够在 ED ∥M 的基础上利用比率线段求得．, A证明： (1) ∵DE ⊥ BC ，D 是 BC 的中点，∴EB ＝ EC ，∴∠ B ＝∠ 1．又∵ AD ＝AC ，∴∠ 2＝∠ ACB ，∴△ ABC ∽△ FCD ．解： (2) 过点 A 作 AM ⊥ BC ，垂足为 M ，∵△ ABC ∽△ FCD ，BC ＝2CD ，2∴S△ABC=BC=4．S △ FCD CD又∵ S △FCD ＝ 5，∴ S △ABC ＝20．∵ S △ ABC ＝ 1BC ·AM ，且 BC ＝10，2∴ 20= 1×10· AM ，∴ AM ＝4．2又∵ DE ∥ AM ，∴DEBD．AMBM∵ BM ＝BD+DM ，BD ＝ 1 BC ＝5，DM ＝ 1 DC ＝ 5，22 2∴ BM ＝5+ 5 ＝15，22∴ DE 5．∴ DE= 8 .415 32体验中考1、剖析相像三角形的面积之比等于相像比的平方．故填 2：5．2、证明： (1) ∵CF 均分∠ ACB ，∴∠ 1＝∠ 2．又∵ DC ＝AC ，∴ CF 是△ ACD 的中线，∴点 F 是 AD 的中点．又∵点 E 是 AB 的中点，∴EF ∥BD ，即 EF ∥BC解： (2) 由 (1) 知， EF ∥BD ，∴△ AEF ∽△ ABD ，2∴S△AEFAE．S △ ABDAB又∵ AE ＝ 1AB ，S △ AEF ＝S △ABD － S 四边形 BDFE ＝S △ ABD －6，2∴ S △ABD 61 2，S △ ABD2∴ S △ ABD ＝8，∴△ ABD 的面积为 8．27、 3 位似图形学习目标：1、能利用图形的位似将一个图形放大或减小.2、存心识地培育学生学习数学的踊跃感情，激发学生对图形学习的好奇心，形成多角度，多方法想问题的学习习惯 .学习过程：一、课前准备1．知识链接（1）什么叫位似图形？有哪几种位似的种类？（2）位似图形的性质是什么？2．预习检测（1）经过预习你能总结出利用位似把一个图形进行放缩的方法吗？（2）利用位似放缩图形用到了位似的哪些性质？二、学习过程研究 1请同学们察看以下图，要作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为 2∶ 1，同学们在小组间相互沟通，看一看有几种方法？总结上述作法我们可概括出：（一）“利用位似将图形放大或减小的作图步骤. ”。

27.1 图形的相似-1（第一课时）教学目标：从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．了解成比例线段的概念，会确定线段的比． 教学过程：一、预习检测案：相似图形的概念： 二、合作探究案：线段的比：两条线段的比，就是两条线段长度的比．成比例线段：对于四条线段,,,a b c d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a cb d=（即ad bc =），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．例1如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ）例2一张桌面的长 1.25a m =，宽0.75b m =，那么长与宽的比是多少？ （1）如果125a cm =，75b cm =，那么长与宽的比是多少？ （2）如果1250a mm =，750b mm =，那么长与宽的比是多少？小结：上面分别采用,,m cm mm 三种不同的长度单位，求得的ab的值是________的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位______，但求比时两条线段的长度单位必须____． 三、达标测评案：1、下列说法正确的是（ ）A ．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B ．商店新买来的一副三角板是相似的.C ．所有的课本都是相似的.D ．国旗的五角星都是相似的. 2、填空题形状 的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的 或 而得到的。

4．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，（1）（小）长是_______cm ，宽是_______cm ； （大）长是_______cm ，宽是_______cm ；（2）（小）=长宽 ；（大）=长宽 ． （3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？ 3．观察下列图形，指出哪些是相似图形：5．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？6．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？27.1 图形的相似-2（第二课时）教学目标：知道相似多边形的主要特征：会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．一、预习检测案：(阅读教材P36页思考，回答以下问题)1、相似图形性质：2、成比例线段二、合作探究案：实验探究：如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等？结论：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______．反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．几何语言：∵∴（2）相似比：相似多边形________的比称为相似比．相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．三、达标测评案：1．ABC ∆与DEF ∆相似，且相似比是23，则DEF ∆ 与ABC ∆与的相似比是（ ）． A ．23 B ．32 C ．25 D ．492．下列所给的条件中，能确定相似的有（ ）（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个3．如图所示的两个五边形相似，求未知边a 、b 、c 、d 的长度．4．已知四边形ABCD 和四边形1111ABC D 相似，四边形ABCD 的最长边和最短边的长分别是10cm 和4cm ，如果四边形1111ABC D 的最短边的长是6cm ，那么四边形1111ABC D 中最长的边长是多少？6．如图，AB ∥EF ∥CD ，4CD=，9AB =，若梯形CDEF 与梯形FEAB 相似，求EF 的长．7．如图，一个矩形ABCD 的长ADacm =，宽AB bcm =，,E F 分别是,AD BC AD 的中点，连接,E F ，所得新矩形ABFE A 与原矩形ABCD 相似，求:a b 的值．27.2.1相似三角形的判定-1（第三课时）教学目标：会用符号“∽”表示相似三角形如ABC ∆ ∽'''A B C ∆ ;知道当ABC ∆ 与'''A B C ∆的相似比为k 时，'''A B C ∆与ABC ∆的相似比为1k．理解掌握平行线分线段成比例定理教学过程：一．预习检测案：1、相似多边形的主要特征是什么？相似三角形有什么性质？2、在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在ABC ∆与'''A B C ∆中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且k A C CAC B BC B A AB =''=''=''． 我们就说ABC ∆与'''A B C ∆相似，记作ABC ∆∽'''A B C ∆，k 就是它们的相似比． 反之如果ABC ∆∽'''A B C ∆，则有∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且A C CAC B BC B A AB ''=''=''． 注意：（1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。