2010届高三一轮复习数学精品资料：2.1 映射、函数及反函数

第二章函数§2.1 映射、函数及反函数的概念【高考要求】1、了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；2、能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；3、理解分段函数的意义。

通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础；4、克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导；5、函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义，会做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础；复习的重点是求得对这些问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题。

【知识点归纳】一、映射1、映射的定义：一般地，设A B 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合．．．．A 中的任何一个．．．．．．元素，在集合．．．．．．B 中．有且只有．．．．唯一的元素和它对应．．．．．．．．．，那么，这样的对应（包括集合A B 、以及集合A 到集合B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →。

2、象和原象的定义：设:f A B →是集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈，如果元素a 和元素b 对应，那么元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象。

此时集合A 到集合B 的映射:f A B →也可以记作():f a b f a →=或者直接写成()b f a =。

3、说明： （1）映射是一种特殊的对应，映射中的集合A B 、可以是数集，也可以是点集或其他集合。

（2）映射包括集合A B 、以及从集合A 到集合B 的对应法则f ，三者缺一不可。

（3）对于一个从集合A 到集合B 的映射来说，集合A 中的每一个元素在集合B 必有唯一的象，但集合B 的每一个元素在集合A 中却不一定都有原象，如果有，也不一定只有一个原象。

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考点3 映射、函数及反函数一、选择题1.（2011·全国高考理科·Ｔ2）函数0)y x =≥的反函数为（ ）（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈（D ）24(0)y x x =≥【思路点拨】先反解，用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域.【精讲精析】选B.在函数0)y x =≥中，0y ≥且反解得24y x =，所以0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.2．（2011·全国高考文科·Ｔ2）函数0)y x =≥的反函数为（ ）（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈（D ）24(0)y x x =≥【思路点拨】先反解，用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域.【精讲精析】选B.在函数0)y x =≥中，0y ≥且反解x 得24y x =，所以0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥. 二、填空题3.（2011·上海高考理科·T1）函数1()2f x x =-的反函数为1()f x -= .【思路点拨】本题主要考查求已知函数的反函数问题，解决此类问题的关键是理解原函数与其反函数的性质与图像之间的关系，准确求出原函数的反函数.【精讲精析】由已知函数1()2y f x x ==-，整理得(2)1,21,12,y x yx y yx y -=-==+即两边同除以(0)y y ≠，得1+2y x y=，即112()(0)xf x x x-+=≠. 【答案】112()(0)xfx x x-+=≠ 4.（2011·上海高考文科·T3）若函数()21f x x =+的反函数为1()fx -，则1(2)f --= .【思路点拨】本题主要考查求已知函数的反函数问题，解决此类问题的关键是理解原函数与其反函数的性质与图像之间的关系，准确求出原函数的反函数.【精讲精析】方法一：13((2))221,2f f x x --=-=+⇒=-故13(2)2f --=-；方法二：11()2x f x --=，故13(2)2f --=-.【答案】32-5.（2011·四川高考理科·Ｔ16）函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且()()12f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数.例如，函数()()21f x x x R =+∈是单函数.下列命题： ①函数()()2f x xx R =∈是单函数；②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则()()12f x f x ≠； ③若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈,它至多有一个原象； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 一定是单函数. 其中的真命题是_________.（写出所有真命题的编号）. 【精讲精析】【答案】②③6.（2011·四川高考文科·Ｔ16）函数()f x 的定义域为A,若12,x x ∈A ，且()()12f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数.例如()()21f x x x R =+∈是单函数，下列命题： ①函数2()f x x=()x R ∈是单函数；②指数函数()2()xf x x R =∈是单函数；③若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）. 【精讲精析】【答案】②③④关闭Word文档返回原板块。

2．映射、函数与反函数班级 姓名一、选择题1．函数)2(log 3222++--=x x x y 的定义域为 （ ）（A ）),3()1,(+∞--∞ （B ）(][)+∞-∞-,31, （C ）(]1,2-- （D ）(][)+∞--,31,22．已知,log )(26x x f =那么)8(f 等于 （ ）（A ）34 （B ）21 （C ）8 （D ）18 3．设函数)0()0(112)(2≥<⎩⎨⎧--=x x x x x f ，则)43(1--f 的值是 （ ） （A ）25-（B ）81 （C ）21- （D ）21 4．已知两个集合N M 、且R N M ==，映射N M f →:的对应法则为,:x e y x f =→若对于实数,N a ∈在集合M 中没有原象，则a 的取值集合为 （ ）（A ）(]0,∞- （B ）()0,∞- （C ）()+∞,0 （D ）[)+∞,05．函数⎩⎨⎧≥<<-=-0,01),sin()(12x e x x x f x π，若,2)()1(=+a f f 则a 的所有可能值为 （ ） （A ）1 （B ）22- （C ）22,1- （D ）22,1 二、填空题6．已知集合B A f R B R A →==:,,是集合A 到B 的一个映射，若,12:-→x x f 则B 中的元素3的原象为 ．7．若,)12(2x x f =+ 则)(x f 的解析式是 ．8．设函数)(x f 的图象关于点)2,1(对称，且存在反函数,0)4(),(1=-f x f 则=-)4(1f ．9．定义{})()()()()()()(),(max )(x g x f x g x f x g x f x g x f x h <≥⎩⎨⎧==若若．现设1)(,2)(+-==x x g x f x ， 则满足不等式4)(≥x h 的x 的取值范围是 ．三、解答题18．设0>a 且)1(log )(,12-+=≠x x x f a a )1(≥x ，求函数)(x f 的反函数)(1x f -和反函数的定义域．18.已知函数)(x f 的图象与函数21)(++=xx x h 的图象关于点)1,0(A 对称． （1）求)(x f 的解析式； （2）若,)()(ax x x f x g +⋅= 且)(x g 在区间(]2,0上为减函数，求实数a 的取值范围．18.设函数54)(2--=x x x f .（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像；（2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明；（3）当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，k kx y 3+=的图像位于函数)(x f 图像的上方.。

考点3 映射、函数及反函数1.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ4）函数y=1+ln （x-1）(x>1)的反函数是（A ） y=1x e+-1(x>0) (B) ）y=1x e -+1(x>0) (C) y=1x e +-1(x ∈R) (D ）y=1x e -+1 (x ∈R)【命题立意】本题考查了反函数的概念及其求法。

【思路点拨】运用求反函数的方法解。

【规范解答】 选D ，y=1+ln （x-1），ln （x-1）=y-1,x-1=e 1-y ,所以反函数为y=1x e -+1 (x ∈R)【方法技巧】求反函数的步骤：（1）反解x,即用y 表示x.(2)把x 、y 互换，（3）写出反函数的定义域，即原函数的值域。

本题注意指数式与对数式的互化。

2.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ2）函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是 （A ）211(0)x y ex +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ） y=112+-x e (x ∈R) 【命题立意】本题考查了反函数的概念及其求法。

【思路点拨】运用求反函数的方法解。

【规范解答】 选D ，2y=1+ln （x-1），ln （x-1）=2y-1,x-1=e 1-2y ,所以反函数为y=112+-x e (x ∈R)【方法技巧】求反函数的步骤：（1）反解x,即用y 表示x.(2)把x 、y 互换，（3）写出反函数的定义域，即原函数的值域。

本题注意指数式与对数式的互化。

3.（2010·湖北高考文科·Ｔ3）已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1((9f f = A.4 B. 14 C.-4 D-14【命题立意】本题主要考查考生对函数概念的理解，考查考生的基本运算能力． 【思路点拨】根据函数()f x 的解析式先求1()9f ，再次利用()f x 的解析式求1((9f f【规范解答】选B ，由题意1()9f 31log 29==-，故1(())9f f =(2)f -= 2124-=。

2010-2011届高三毕业班数学一轮基础知识复习及其讲义第一部分 集合1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2； （2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆ 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

第二部分 函数与导数1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式2222b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（xa 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。

（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数⇔f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数⇔f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义：①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >； ⑵单调性的判定① 定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。