第九章 回归分析

第九章时间序列数据的基本回归分析时间序列数据是指按照时间顺序排列的一系列数据观测值。

在实际应用中，时间序列数据广泛存在于经济学、金融学、气象学等领域，对于了解数据的趋势、季节性等特征具有重要意义。

时间序列数据的基本回归分析是通过建立回归模型，来研究时间序列数据中因变量与自变量之间的关系。

时间序列数据的回归分析可以分为简单回归和多元回归。

其中，简单回归是指只含有一个自变量的回归模型，多元回归是指含有多个自变量的回归模型。

下面将分别介绍这两种回归模型及其应用。

简单回归模型简单回归模型是时间序列数据回归分析中最基础的模型，其形式为：Y_t=α+βX_t+ε_t其中，Y_t表示时间为t时的因变量观测值，X_t表示时间为t时的自变量观测值，α和β分别是回归方程的截距项和斜率项，ε_t是误差项。

简单回归模型常用于分析两个变量之间的关系，并通过计算斜率项β的值来判断两个变量之间的线性相关程度。

如果β的值为正，则表示两个变量之间呈正相关关系；如果β为负，则表示两个变量之间呈负相关关系。

同时，可以通过计算误差项ε_t的方差来评估模型的拟合优度。

多元回归模型当考虑到多个自变量对因变量的影响时，可以使用多元回归模型。

其形式为：Y_t=α+β_1X_1,t+β_2X_2,t+...+β_kX_k,t+ε_t其中，Y_t表示时间为t时的因变量观测值，X_1,t,X_2,t,...,X_k,t表示时间为t时的自变量观测值，α和β_1,β_2,...,β_k分别是回归方程的截距项和各自变量的斜率项，ε_t是误差项。

多元回归模型相较于简单回归模型更能够适用于分析多个自变量与因变量之间的复杂关系。

在建模过程中，可以通过检验回归系数的显著性水平，来判断自变量对因变量的影响是否显著。

此外，还可以通过判断方程残差的波动性来评估模型的拟合优度。

时间序列数据的回归分析在实际应用中具有重要意义。

例如，经济学中常使用时间序列数据回归分析来研究GDP与通货膨胀率之间的关系；金融学中，可以利用时间序列数据回归分析来研究股票收益率与市场因素之间的关系。

第9章相关与回归分析【教学内容】相关分析与回归分析是两种既有区别又有联系的统计分析方法。

本章阐述了相关关系的概念与特点;相关关系与函数关系的区别与联系;相关关系的种类;相关关系的测定方法(直线相关系数的含义、计算方法与运用);回归分析的概念与特点;回归直线方程的求解及其精确度的评价;估计标准误差的计算。

【教学目标】1、了解相关与回归分析的概念、特点和相关分析与回归分析的区别与联系；2、掌握相关分析的定性和定量分析方法；3、掌握回归模型的拟合方法、对回归方程拟合精度的测定和评价的方法。

【教学重、难点】1、相关分析与回归分析的概念、特点、区别与联系；2、相关与回归分析的有关计算公式和应用条件。

第一节相关分析的一般问题一、相关关系的概念与特点（一）相关关系的概念在自然界与人类社会中,许多现象之间是相互联系、相互制约的,表现在数量上也存在着一定的联系。

这种数量上的联系和关系究其实质,可以概括为两种不同类型,即函数关系与相关关系。

相关关系:是指现象之间客观存在的,在数量变化上受随机因素的影响,非确定性的相互依存关系。

例如,商品销售额与流通费用率之间的关系就是一种相关关系。

（二）相关关系的特点1、相关关系表现为数量相互依存关系。

2、相关关系在数量上表现为非确定性的相互依存关系。

二、相关关系的种类1、相关关系按变量的多少,可分为单相关和复相关2、相关关系从表现形态上划分,可分为直线相关和曲线相关3、相关关系从变动方向上划分,可分为正相关和负相关4、按相关的密切程度分,可分为完全相关、不完全相关和不相关三、相关分析的内容相关分析是对客观社会经济现象间存在的相关关系进行分析研究的一种统计方法。

其目的在于对现象间所存在的依存关系及其所表现出的规律性进行数量上的推断和认识,以便为回归分析提供依据。

相关分析的内容和程序是:(1)判别现象间有无相关关系(2)判定相关关系的表现形态和密切程度第二节相关关系的判断与分析一、相关关系的一般判断（一）定性分析对现象进行定性分析,就是根据现象之间的本质联系和质的规定性,运用理论知识、专业知识、实际经验来进行判断和分析。

第九章相关与回归分析Ⅰ. 学习目的和要求本章所要学习的相关与回归分析是经济统计分析中最常重要的统计方法之一。

具体要求：1.掌握有关相关与回归分析的基本概念；2.掌握单相关系数的计算与检验的方法，理解标准的一元线性回归模型，能够对模型进行估计和检验并利用模型进行预测；3.理解标准的多元线性回归模型，掌握估计、检验的基本方法和预测的基本公式，理解复相关系数和偏相关系数及其与单相关系数的区别；4.了解常用的非线性函数的特点，掌握常用的非线性函数线性变换与估计方法，理解相关指数的意义；5.能够应用Excel软件进行相关与回归分析。

Ⅱ. 课程内容要点第一节相关与回归分析的基本概念一、函数关系与相关关系当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有确定值与之相对应，这种关系称为确定性的函数关系。

当一个或几个相互联系的变量取一定数值时，与之相对应的另一变量的值虽然不确定，但仍按某种规律在一定的范围内变化。

这种关系，称为具有不确定性的相关关系。

变量之间的函数关系和相关关系，在一定条件下是可以互相转化的。

116117二、相关关系的种类按相关的程度可分为完全相关、不完全相关和不相关。

按相关的方向可分为正相关和负相关。

按相关的形式可分为线性相关和非线性相关。

按所研究的变量多少可分为单相关、复相关和偏相关。

三、相关分析与回归分析相关分析是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。

回归分析是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量间的平均变化关系。

通过相关与回归分析虽然可以从数量上反映现象之间的联系形式及其密切程度，但是无法准确地判断现象内在联系的有无，也无法单独以此来确定何种现象为因，何种现象为果。

只有以实质性科学理论为指导，并结合实际经验进行分析研究，才能正确判断事物的内在联系和因果关系。

四、相关图相关图又称散点图。

它是以直角坐标系的横轴代表变量X ，纵轴代表变量Y,将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出来，用来反映两变量之间相关关系的图形。

第九章_最小二乘法与回归分析最小二乘法与回归分析是统计学中一种重要的方法，可以用于分析变量之间的关系以及进行预测。

本文将详细介绍最小二乘法和回归分析的概念、原理以及应用。

最小二乘法是一种用于估计参数的方法，它通过最小化观测值与估计值之间的误差平方和来确定最优参数。

这种方法可以用来建立变量之间的线性关系模型，并通过拟合观测数据来估计模型的参数。

最小二乘法的核心思想是找到最接近观测值的模型，并使观测值与模型之间的误差最小化。

回归分析是一种使用最小二乘法的统计方法，用于研究变量之间的关系。

它基于一组特征变量（自变量）与一个或多个目标变量（因变量）之间的观测值，来预测目标变量的值。

回归分析可以用于探索和建立变量之间的线性关系，然后使用这个关系来预测未来的观测值。

在回归分析中，最常用的模型是线性回归模型。

线性回归模型假设自变量和因变量之间存在线性关系，即因变量的值可以通过自变量的线性组合来表示。

该模型的形式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中Y是因变量，X1,X2,...,Xn是自变量，β0,β1,β2,...,βn是各个自变量的系数，ε是随机误差。

使用最小二乘法进行回归分析的步骤如下：1.收集观测数据：收集自变量和因变量的观测数据，构建数据集。

2.建立回归模型：基于观测数据，选择合适的自变量，并建立回归模型。

3.估计参数：使用最小二乘法估计回归模型中的参数，使得观测值与估计值之间的误差最小化。

4.检验模型：通过检验回归模型的显著性和拟合优度等指标来评估模型的质量。

5.使用模型：基于建立的回归模型，进行因变量的预测和推断分析。

回归分析在实践中有着广泛的应用。

它可以用于预测销售额、房价、股票价格等经济指标，也可以用于分析医学数据、社会科学数据等领域的问题。

回归分析可以帮助研究者理解变量之间的关系，找出影响因变量的关键因素，并进行相关的决策和策略制定。

总之，最小二乘法与回归分析是一种重要的统计方法，可以用于研究变量之间的关系以及进行预测。

第九章：直线回归依变量y 的实际观测值总是带有随机误差，因而依变量y 的实际观测值yi 可用自变量x 的实际观测值xi 表示为：i i i x y εβα++= (i=1,2, …, n)x 为可以观测的一般变量(也可以是可以观测的随机变量); y 为可以观测的随机变量;i 为相互独立，且都服从N （0，σ2）的随机变量。

在x 、y 直角坐标平面上可以作出无数 条直线，我们把所有直线中最接近散点图中全部散点的直线用来表示x 与y 的直线关系，这条直线称为回归直线。

设回归直线的方程为: bx a y +=ˆ （ 其中，a 是α的估计值，b 是β的估计值。

）xxy SS SPx x y y x x n x x n y x xy b =---=--=∑∑∑∑∑∑∑222)())((/)(/))((x b y a -=式中的分子是自变量x 的离均差与依变量y 的离均差的乘积和))((∑--y y x x ，简称乘积和,记作xySP ，分母是自变量x 的离均差平方和∑-2)(x x ，记作SS X,a 叫做样本回归截距,是回归直线与y 轴交点的纵坐标，当x=0时，y ˆ=a ；b 叫做样本回归系数，表示x 改变一个单位，y 平均改变的数量；b 的符号反映了x 影响y 的性质，b 的绝对值大小反映了x 影响y 的程度; yˆ叫做回归估计值，是当x 在在其研究范围内取某一个值时，y 值平均数x βα+的估计值。

例题：在四川白鹅的生产性能研究中，得到如下一组关于雏鹅重（g ）与70日龄重(g)的数据，试建立70日龄重(y)与雏鹅重(x)的直线回归方程。

表8-1 四川白鹅雏鹅重与70日龄重测定结果 （单位：g ）1、作散点图 以雏鹅重（x ）为横坐标，70日龄重（y ）为纵坐标作散点图，见图8-3。

2、计算回归截距a ，回归系数b ，建立直线回归方程，首先根据实际观测值计算出下列数据：5.9812/1182/===∑n x x 8333.272012/32650/===∑n y y()()00.168512/1182118112/222=-=∑-=∑n x x SS x00.36585123265011823252610))((=⨯-=-=∑∑∑ny x xy SP xy()()67.83149112/3265089666700/222=-=∑-=∑n y y SS y 进而计算出b 、a ： 7122.2100.168536585===xxy SS SP b1816.5825.987122.218333.2720=⨯-=-=x b y a得到四川白鹅的70日龄重y 对雏鹅重x 的直线回归方程为：x y7122.211816.582ˆ+= 二、直线回归的偏离度估计偏差平方和2)ˆ(∑-yy 的大小表示了实测点与回归直线偏离的程度，因而偏差平方和又称为离回归平方和。