第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)

m
V
( Stresses in Beams)
m

m
M
V
m m
只有与剪应力有关的切向内力元素 d V = dA 才能合成剪力
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力V 内力 弯矩M 正应力 剪应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力， 又有 剪应力
先观察下列各组图
所以，可作出如下 假设和推断：
1、平面假设：
2.单向受力假设： 各纵向纤维之间互不挤压，纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。 因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
各横向线代表横截面，实验表 明梁的横截面变形后仍为平面。
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层. 中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条形心轴。 且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时， 各横截面绕中性轴转动。
(3)横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)为

V S I zb
Z
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
b——需求剪应力处的横截面宽度 S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以外(以下或以上)部分面积A*(如图 ）对 中性轴的静矩
V
3V 4 y2 (1 2 ) 2bh h
应力状态按主应力分类：
（1）单向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中只有一个主应力不等于零。 （2）双向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中有两个主应力不等于零。
（3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例 如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应 力状态下.
2、梁内主应力迹线： 在梁的xy平面内可以绘制 两组正交的曲线，在一组 曲线上每一点处切线的方 向是该点处主应力 （拉 应力）的方向，而在另一 组曲线上每一点处切线的 方向则为主应力 (压应 力)的方向。这样的曲线就 称为梁的主应力迹线。
d 3
32
Wz W y
32 d 式中 : D
(1 4 )
型钢查型钢表
例1:长为l 的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b ＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上a、b、 c各点的正应力。
A
l 2
FL
B
l 2
F
h6
a
b
C
h2
h
c b
M B ya a IZ
实验：观察纯弯梁的变形，分析横截面上正应力的分布规律。
实验：观察纯弯梁的变形，分析横截面上正应力的分布规律。
纯弯曲梁加载过程 纯弯曲梁加载过程
实验现象：
F F
1、变形前互相平行的纵向直线、
m n
变形后变成弧线，且凹边纤维缩 短、凸边纤维伸长。
2、变形前垂直于纵向线的横向
m
n
线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。

x y
cos 2 x sin 2
(10 1) (10 2) (10 3)
符号规定： 角—以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负
—拉为正，压为负
—使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负
3.主应力及其方位：
2 x ①由主平面定义，令 =0，得： tan 2 0 x y

σmax
M
M
M
σmax
max M
中性轴
max
（二）正应力的计算公式
1.横截面上任意点正应力计算
b/2 b/2
h
My IZ
M:为横截面的弯矩 Y:为计算点到中性轴的距离 I:z截面对中性轴（Z轴）的惯性矩，与 截面形状和尺寸有关 。
z
y
y
150
使用此公式注意：公式中的M、y都用 绝对值，σ的正负由M的正负判断
第九章第六节
梁弯曲时的应力及强度计算
教学目标：
1、掌握梁弯曲时横截面正应力分布规律； 2、掌握正应力的计算 3、了解横截面上剪应力分布规律； 4、掌握常见截面剪应力计算
( Stresses in Beams)
引言
m M
当梁上有横向外力作用时，一般情 况下，梁的横截面上既有弯矩 M ， 又有剪力 V 。
1. 一点的应力状态 ：通过受力构件一点处各个不同截面 上的应力情况。
2.研究应力状态的目的 ：找出该点的最大正应力和剪应力 数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分 析。
二、研究应力状态的方法—单元体法
1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。
(c)
n
0
dA ( x dA cos ) sin ( x dA cos ) cos ( ydA sin ) cos ( ydA sin ) sin 0
50
96 .4 C 50
200
z
简单截面的惯性矩和抗弯截面系数计算公式
惯性矩
bh3 IZ 12
hb3 Iy 12
I Z IY
d 4
64
Iz Iy

64
(D4 d 4 )
D 4
64
(1 4 )
D 3
弯曲截 面系数
bh2 Wz 6
hb2 Wy 6
Wz Wy
一、梁上任一点应力状态的分析
一点的应力状态是研究通过受力构件内任一点 的各个不同截面上的应力情况。
应力状态分类：
应力状态分为空间应力状态和平面应力状态。 全部应力位于同一平面内时，称为平面应力 状态；全部应力不在同一平面内，在空间分 布，称为空间应力状态。
§9-4 梁的主应力、主应力迹线
一、一点的应力状态
8.5 提高梁强度的措施
在横力弯曲中，控制梁强度的主要因素是梁的 最大正应力，梁的正应力强度条件
max
M max W

8.5.1合理安排梁的受力情况
§9-3 梁的合理截面和变截面梁
一、选用合理的截面形状
矩形截面比圆形截面好， 工字形截面比矩形截面好得多
二、
采用变截面梁
§9-4 梁的主应力、主应力迹线
F
150 50
A
l 2
B
l 2
96 .4 C 50
200
z
M max
FL 16kNm 4
y
max max
200 50 96.4 153.6mm 96.4mm

max
My max IZ My max IZ
24.09MPa 15.12MPa
y
max
试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时 的最大正应力，并加以比较。
q 2 kN m
200
100
200
4m
100
竖放
max
qL2 8
M max WZ
横放
qL2 8 2 6MPa bh 6
max
M max WZ
qL2 8 2 12MPa hb 6
二、梁横截面上的剪应力
(4)剪应力沿截面高度的分布按 二次抛物线规律分布 。在上下边缘处 剪应力为零，中性轴上剪应力最大， 其值为
max
V 1.5 1.5 A
2、工字形截面梁的剪应力

V S I zd
Z
腹板上的剪应力沿腹板高度按抛物 线规律变化
最大剪应力发生在中性轴上，工字钢翼缘上承担了绝大部分弯矩，腹板 上承担绝大部分剪力。
梁的正应力强度条件
①拉压强度相等材料：
max
M Wz [ ]
max
弯曲应力
②拉压强度不等材料： t ,max [ ]t ， c ,max [ ]c
根据强度条件可进行：
1、强度校核: max [ ]
M Wz max 2、截面设计: [ ]
3、确定梁的许可荷载: M max [ ]Wz
2
④由max、min、0按代数值大小排序得出
4.极值切应力：
x y d 0，可求出两个相差90o 的 tg2 1 2 ①令： xy d 1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
x y 2
2
②极值切应力：
' "
2 " xy 2
横截面的 对称轴 横截面
中性层
中性轴
（一）横截面上正应力分布规律：
1、通过进一步分析可知，各层纵向纤维的线应变沿截面高度应为线性变化规 律，即线应变与它到中性层的距离 y 成正比，从而由虎克定律可推出，梁弯 曲时横截面上的正应力沿截面高度呈线性分布规律变化。 2、受拉区 拉应力，受压区 压应力 3、中性轴上应力为零 4、沿y轴线性分布，同一坐标y处，正应力相等，即沿截面宽度均匀分布 5、最大正应力发生在距中性轴最远处，即截面边缘处。 若截面对称于中性轴，则最大拉应力等于最大压应力
tg 2 0 1 o ③ tg 2 1 (极值切应力平面与主平面成45 )
二、梁内主应力及主应力迹线
1、梁内主应力： 在三对相互垂直的相对面上剪应力等 于零，而只有正应力。这样的单元体称为 主单元体，这样的单元体面称主平面。主 平面上的正应力称主应力。 通常按数值排 列，用字母σ1、σ2和σ3分别表示。
(a) 图中这种梁段的 弯曲(横截面上 既有 弯矩又有剪力）称为 横力弯曲。
V
图中这种梁的弯 曲(横截面上只有弯矩 而无剪力）称为纯弯 曲。