分式不等式的解法

分式不等式的解法步骤将分式不等式化为整式不等式，再进行求解。

一般分式不等式的解法：第一步去分母，第二步去括号，第三步移项，第四步合并同类项，第五步化未知数的系数为1。

分式不等式解法可以用同解原理去分母，解分式不等式；如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0），则f（x）g （x）>0,或f（x）g（x）<0。

然后因式分解找零点，用穿针引线法。

分式不等式与分式方程类似，像f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为0）这样，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式。

分式不等式第一种解法为：令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解的位置；判断分子、分母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负从右下向上依次穿过。

分式不等式第二种解法为：移项、通分将右面化为0，左面为分式的形式；令分子、分母等于0，并求出解；画数轴在数轴上找出解的位置；判断分子、分母最高次系数乘积正负；若乘积为正从右上向下依次穿过；若为负从右下向上依次穿过。

1分式不等式右边为0不等式左边不能再化简的的转化方法：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。

2分式不等式右边不为0或不等式左边还能化简的转化为整式不等式的步骤。

1、移项将不等式右边化为0。

2、将不等式左边进行通分。

3、对分式不等式进化简，变换成整式不等式。

4、将不等式未知数x前的系数都化为正数。

分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。

解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解。

分式不等式的解法：分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。

解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解，即。

2.4 分式不等式预习讲义【知识梳理】一、分式不等式的概念：分母中含有未知数的不等式称为分式不等式． 二、分式不等式的标准形式：()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或()0()f x g x ≤)． 三、分式不等式的解法：（1）0)()(0)()(>⇔>x g x f x g x f ；0)()(0)()(≥⇔≥x g x f x g x f ，且0)(≠x g ；（2）0)()(0)()(<⇔<x g x f x g x f ；0)()(0)()(≤⇔≤x g x f x g x f ，且0)(≠x g ． 【考点分类精讲】考点1 简单分式不等式的解法【考题1】解下列不等式（1）0132<+-x x （2）321≤+-x x（3）0112≥-+x x （4）11223<-+x x【举一反三】1．若不等式的解集为，则关于x 的不等式053>-+x a bx 解集为（ ） A ．（－5，3）B ．C ．（－3，5）D ．2．关于x 的不等式0>-b ax 的解集是(1，＋∞)，则不等式02≤-+x b ax 的解集是________． 考题2 含两个分式的分式不等式的解法【考题2】解下列不等式：（1）x x x -≤-4512 （2）2334212-+≤-+x x x x【举一反三】解下列不等式：（1）1111+>+x x （2）2312312-+>-+x x x x考点3含高次的分式不等式的解法【考题3】解下列不等式：（1）063222<++--+x x x x （2）451820422+-+-x x x x ≥3；（3）1122---x x x ≥0 （4）03)44)(32(22≤-++-+x x x x x【归纳总结】方法：先因式分解，再使用穿根法．注意：因式分解后，整理成每个因式中未知数的系数为正．使用方法：①在数轴上标出化简后各因式的根，使等号成立的根，标为实点，等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线，遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立，下方曲线对应区域使“<”成立.考点4 解含参数的分式不等式的解法【考题4】解关于x 的不等式032<--ax x ，其中a 为非零常数．【举一反三】不等式的解集为{x|x ＜1或x ＞2}，则a 的值为（ ） A ．2B ．－2C ．D ．【题型优化测训】1．不等式x －1x ＋2＜0的解集为( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)2．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4) D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)3．不等式的解集为（ ） A ． B ．或 C ． D ．或4．若不等式k －3x －3＞1的解集为{x|1＜x ＜3}，则实数k ＝ ． 5．解下列分式不等式（1）0413353222≥+---x x x x （2）12731422≥+-+-x x x x6．已知关于x 的不等式0)2)(())(2(≥----d x c x b x a x )(c d a b ≤≤≤的解集为2|{-≤x x 或11<≤-x 或}3>x ，求关于x 的不等式0))(())((≤----d x c x b x a x 的解集．。

专题讲解 分式不等式及其解法资料编号:20190725分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①0)()(>x g x f ; ②)()(x g x f ≥0; ③0)()(<x g x f ; ④)()(x g x f ≤0. 分式不等式的解法解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式.各标准形式的分式不等式的解法为:（1）0)()(>x g x f 与不等式组⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(>⋅x g x f 同解; （2）)()(x g x f ≥0与不等式组⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 同解; （3）0)()(<x g x f 与不等式组⎩⎨⎧<>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧><0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(<⋅x g x f 同解; （4）)()(x g x f ≤0与不等式组⎩⎨⎧≠≤⋅0)(0)()(x g x g x f . 由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.例1. 解不等式012<-+xx . 解:原不等式可化为:012>-+x x ,它的同解不等式为:()()012>-+x x 解之得:1>x 或2-<x ∴原不等式的解集为{}21-<>x x x 或.例2. 解不等式21-+x x ≤2. 解:原不等式可化为:25--x x ≥0,它的同解不等式组为:()()⎩⎨⎧≠-≥--02052x x x解之得:x ≥5或2<x ∴原不等式的解集为{}25<≥x x x 或.例3. 解不等式51372>++x x . 解: ()()0125101275012750513751372222222<+--⇒<++-⇒>+-+-⇒>-++⇒>++x x x x x x x x x x x x x ∵012>+x∴原不等式的同解不等式为:()()0251<--x x解之得:152<<x ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<152x x . 习题1. 解下列不等式:（1）xx -+32≥0; （2）14312>--x x .习题2. 若集合{}3121≤+≤-=x x A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=02x x x B ,则=B A ____________. 习题3. 不等式xx 1+≤3的解集为____________. 例4. 解不等式0322322<--+-x x x x . 解:原不等式可化为:()()()()03121<-+--x x x x 它的同解不等式为:()()()()03211<---+x x x x由标根法解之得:11<<-x 或32<<x ∴原不等式的解集为{}3211<<<<-x x x 或.提示:分式不等式经过等价变形后,如果是高次不等式,应结合序轴标根法求解. 注意:（1）未知数的系数化为正数;（2）奇穿偶不穿.习题4. 解不等式:32532-+-x x x ≥2.含参数的分式不等式的解法举例例5. 解关于x 的不等式:02<--a x a x . 解:原不等式的同解不等式为:()()02<--a x a x当2a a >,即10<<a 时,原不等式的解集为{}a x a x <<2;当2a a =,即0=a 或1=a 时,原不等式的解集为∅;当2a a <,即1>a 或0<a 时,原不等式的解集为{}2a x a x <<.习题5. 解关于x 的不等式:01>+-x x a .例6. 解关于x 的不等式:()121>--x x a )1(≠a . 解:原不等式可化为:()()[]0212>-+--a x a x当1>a 时,原不等式可化为:()0122>⎪⎭⎫ ⎝⎛----a a x x ∵01122>-=---a a a a ,∴122-->a a ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧--<>122a a x x x 或; 当1<a 时,原不等式可化为:()0122<⎪⎭⎫ ⎝⎛----a a x x①若122-->a a ,即0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<--212x a a x ; ②若122--=a a ,即0=a 时,原不等式的解集为∅; ③若122--<a a ,即10<<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<<122a a x x . 习题6. 解关于x 的不等式:12>-x ax .例7. 已知关于x 的不等式()()c x b x a x ---≥0的解集为{}321≥<≤-x x x 或,求不等式()()b x a xc x ---≤0的解集. 解:∵不等式()()c x b x a x ---≥0的解集为{}321≥<≤-x x x 或∴3,1,2=-==b a c 或1,3,2-===b a c ∴()()b x a x c x ---≤0即()()312-+-x x x ≤0 解之得:1-<x 或2≤3<x ∴不等式()()b x a x c x ---≤0的解集为{}321<≤-<x x x 或.。

分式不等式解法公式例1：求解不等式 $\frac{3}{x-4} > 0$。

首先，我们可以通过上述不等式修改为等式的形式来求解。

$$\frac{3}{x-4} = 0$$因为分式的分母不能为零，所以上述方程没有解。

接下来，我们可以观察到分式的分子为正数，并且分母为$x-4$。

根据零点的概念，我们知道当$x-4>0$时，分式是正数。

因此，我们只需要求解$x-4>0$即可。

$$x>4$$所以，原始不等式 $\frac{3}{x-4} > 0$ 的解集为 $x > 4$。

例2：求解不等式 $\frac{x}{x+1} \leq 2$。

首先，我们观察到分式的分母为$x+1$不为零的情况下，表达式是相对稳定的。

因此，我们需要将分式的分母$x+1$与其他的数值值进行比较。

以$x+1$为基准，我们可以得到以下三种情况：-当$x+1<0$时，不等式成立。

-当$x+1=0$时，不等式不成立，因为分母不能为零。

-当$x+1>0$时，我们需要对分子和分母的大小关系进行求解。

对分子和分母进行比较，我们得到以下几种情况：-当$x>0$时，$x+1>0$，分式成立。

-当$x=0$时，$x+1>0$，分式成立。

-当$x<0$且$x+1>0$时，分式成立。

综上所述，我们可以得出以下解集：$x+1 < 0$ 或 ($x \geq 0$ 且 $x+1 > 0$)，即 $x < -1$ 或 $x \geq 0$。

因此，原始不等式的解集为 $x < -1$ 或 $x \geq 0$。

例3：求解不等式 $\frac{2x-1}{x+3} > 1$。

我们可以通过消去分式的方式来求解上述不等式。

首先，我们可以将不等式改写为以下形式：$$\frac{2x-1}{x+3} - 1 > 0$$通过通分的方式，我们可以得到：$$\frac{2x-1-(x+3)}{x+3} > 0$$简化后：$$\frac{x-4}{x+3} > 0$$接下来，我们需要观察分子和分母的大小关系。