模型构建专题：解直角三角形应用中的“双直角三角形”

解直角三角形应用中的常见模型及答案

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解直角三角形应用中的常见模型

模型1

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解直角三角形应用中的常见模型及答案

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模型2

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解直角三角形应用中的常见模型答案

1、C

2、C

3、B

4、B

5、B

6、C

7、D

8、A

9、B

10、D

11、A

12、A

13、A

14、C

15、A

16、A

17、C

18、C

19、C

20、A

21、A

22、D

23、B

24、B

25、B

26、A

27、A

28、D

29、A

30、C

31、D

32、A

33、C

专题14 解直角三角形中的背靠背模型

【模型展示】

特点

通过在三角形内作高AC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边AC是解题的关键.在Rt△ACD和Rt△BCA中，AC为公共边，DC+CB=DB.

结论 “背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高

【题型演练】

一、单选题

1．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )

A．303海里 B．(30303)海里 C．120海里 D．60海里

【答案】B

【分析】过点C作CD⊥AB于点D，先解Rt⊥ACD，求出AD，CD，再根据BD=CD，即可解出AB．

【详解】如图，过点C作CD⊥AB于点D，

则⊥ACD=30°，⊥BCD=45°，

在Rt⊥ACD中，AD=12CA=12×60=30（海里），

CD=CA·cos⊥ACD=60×32=303（海里），

⊥⊥BCD=45°，⊥BDC=90°，

⊥在Rt⊥BCD中，BD=CD，

⊥AB=AD+BD=AD+CD=（30+303）海里，

故选：B．

【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，解一般三角形的问题，一般可以转化为解直角三角形的问题，解题的关键是作高线．

2．如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（ ）

A．60m B．403m C．303m D．603m

【答案】B

【分析】作AD⊥BC于D，由俯仰角得出⊥ADB、⊥CAD的值，则由AD的长及俯仰角的正切值得出BD、CD的长，BC的长即可求出．

【详解】过A作AD⊥BC，垂足为D在Rt⊥ABD中，⊥⊥BAD＝30°，AD＝30m，

⊥BD＝AD•tan30°＝3033103（m），在Rt⊥ACD中，⊥⊥CAD＝60°，AD＝30m，

页脚 . 解直角三角形的应用专题复习

解直角三角形的应用既是初中数学的重要容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题：

一、解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分容的关键。

二、中考导向掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考容，更是热点容。题量一般在4%~10%。分值约在8%~12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题，几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。

1.解直角三角形有以下类型：

①已知两边

先用勾股定理求出第三边，再求三角函数值，最后求出角．

②已知一边和一锐角

先求另一锐角，再由边角关系求其余两边．

典例分析：

页脚 . 例1 在ABCRt中,,900C3,30bA,解这个三角形.

解法一 ∵ ,30,9000AC ∴ .2ac

设xa,则.2xc由勾股定理,得222)2().3(xx ∴ 1x.

∴ 000060309090.22,1ABxca.

解法二 .133330tan0ba

0002222603090.2)3(1Bbac

说明: 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用本章所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题.

中考专题复习解直⾓三⾓形（含答案）中考数学专题解直⾓三⾓形第⼀节锐⾓三⾓函数1、勾股定理：直⾓三⾓形两直⾓边、的平⽅和等于斜边的平⽅。

2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直⾓，则∠A的锐⾓三⾓函数为(∠A可换成∠B)：

定义表达式取值范围关系

正

弦(∠A为锐⾓)

余

弦(∠A为锐⾓)

正

切(∠A为锐⾓)(倒数)余

切(∠A为锐⾓)3、任意锐⾓的正弦值等于它的余⾓的余弦值；任意

锐⾓的余弦值等于它的余⾓的正弦值。4、任意锐⾓的正切值等于它的余⾓的余切值；任意锐⾓的余切值等于它的余⾓的正切值。

5、30°、45°、60°特殊⾓的三⾓函数值(重要)

三⾓函数30°45°60°1

1

6、正弦、余弦的增减性：

当0°≤≤90°时，sin随的增⼤⽽增⼤，cos随的增⼤⽽减⼩。7、正切、余切的增减性：

当0°<<90°时，tan随的增⼤⽽增⼤，cot随的增⼤⽽减⼩。

第⼆节解⾓直⾓三⾓形1、解直⾓三⾓形的定义：已知边和⾓（两个，其中必有⼀条边）→求所有未知的边和⾓。

依据：①边的关系：；②⾓的关系：∠A+∠B=90°；③边⾓关系：（见前⾯三⾓函数的定义）。2、应⽤举例：

(1)仰⾓：视线在⽔平线上⽅的⾓；俯⾓：视线在⽔平线下⽅的⾓。

(2)坡⾯的铅直⾼度和⽔平宽度的⽐叫做坡度(坡⽐)。⽤字母表⽰，即。坡度⼀般写成的形式，如等。

把坡⾯与⽔平⾯的夹⾓记作(叫做坡⾓)，那么。

【重点考点例析】

考点⼀：锐⾓三⾓函数的概念

例1 如图所⽰，△ABC的顶点是正⽅形⽹格的格点，则sinA的值为（）A．1

2

B．

55

C．

10

10

D．

255

对应训练1．在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于（）

A．

5

5

B．

5

2

C．

3

2

D．

1

2

考点⼆：特殊⾓的三⾓函数值

例2 计算：cos245°+tan30°?sin60°=．

对应训练

（2012?南昌）计算：sin30°+cos30°?tan60°．

考点三：化斜三⾓形为直⾓三⾓形

例3 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．