完整282解直角三角形及其应用
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28.2.2解直角三角形应用举例优秀课件
,第 1 题图)
,第 2 题图)
2．(6 分)(2014·十堰)如图，轮船在 A 处观测灯塔 C 位于北偏西 70°方向上，轮船从 A 处以每小时 20 海里的速度沿南偏西 50°方向匀速航行，1 小时后到达码头 B 处，此时，观 测灯塔 C 位于北偏西 25°方向上，则灯塔 C 与码头 B 的距离是_ 24 _海里．(结果精确到个 位，参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7， 6≈2.4)
西
北
北
西
东
东
南
南
旧知回顾
方向角：指北或指南方向线与目 标方向线所成的小于90°的平面角， 叫做方向角. 如图中的目标方向线 OA，OB，OC，OD的方向角分别表示 北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°， 北偏西60°. 特别地，东南方向指的是南偏东45°，东北方向指 的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是 北偏西45°.
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－ 65°＝）80×cos25°
≈80×0.9063 ＝72.504
在Rt△BPC中，∠B＝34°
65° A P
C
34°
B 当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130海里．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般 过程是：
达标检测 反思目标
2、如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼 船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海 岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处， 又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改 变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
解：如图，过A作AD⊥BC于点D， 则AD的长是A到BC的最短距离， ∵∠CAD=30°，∠DAB=60°， ∴∠BAC=60°-30°=30°，∠ABC=90°-60°=30°， ∴∠ABC=∠BAC，∴BC=AC=12海里， 在ARDt=△AACD•Cco中s3，0∵∠12C×AD3==360°3，≈10.392 ＞8， 即渔船继续向正东方向2行驶，没有触礁的危险．
28.2.2.1解直角三角形在实际生活中的一般应用(教案)
-难点三：将实际问题中的数值代入解直角三角形的公式中，进行准确计算。
-举例：在计算过程中，学生可能会忽略单位换算，或者在计算过程中出现数值错误，需要通过反复练习来提高计算的准确度。
-难点四：理解并运用比例关系解决与直角三角形有关的比例问题。
-举例：当两个直角三角形的相似比例不是直观给出时，学生需要学会通过已知条件推导出比例关系，并应用于问题解决中。
-学会运用解直角三角形的知识解决实际问题，如测量距离、高度等。
-掌握在实际问题中建立直角三角形模型的方法，能够将实际问题转化为数学问题进行求解。
-举例：在测量建筑物高度的问题中，重点在于引导学生建立直角三角形模型，使用正切函数计算。
2.教学难点
-难点一：对解直角三角形函数的理解和记忆。学生需要熟练掌握正切、余切、正弦、余弦的定义，并能够灵活运用到实际问题中。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正切、余弦等三角函数的应用以及如何建立直角三角形模型这两个重点。对于难点部分，我会通过具体实例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与解直角三角形相关的实际问题，如测量旗杆的高度、计算物体下落的速度等。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作的过程较为顺利。他们能够将所学知识运用到实际问题中，通过合作解决问题。但在成果展示环节，我发现有些小组在表达和沟通方面还有待提高。为了加强学生的表达能力和团队合作精神，我计划在后续的教学中增加一些类似的展示和分享机会，鼓励他们更加自信地展示自己的成果。
在学生小组讨论环节，我尝试作为一个引导者，让学生自主发现问题和解决问题。这种教学方式收到了良好的效果，学生们能够积极参与讨论，提出自己的观点。但同时，我也发现部分学生在讨论过程中容易偏离主题，需要适时给予指导和纠正。在今后的教学中，我将进一步优化讨论主题的设计，使学生们在讨论中更加聚焦。
-举例：在计算过程中，学生可能会忽略单位换算，或者在计算过程中出现数值错误，需要通过反复练习来提高计算的准确度。
-难点四：理解并运用比例关系解决与直角三角形有关的比例问题。
-举例：当两个直角三角形的相似比例不是直观给出时，学生需要学会通过已知条件推导出比例关系，并应用于问题解决中。
-学会运用解直角三角形的知识解决实际问题，如测量距离、高度等。
-掌握在实际问题中建立直角三角形模型的方法，能够将实际问题转化为数学问题进行求解。
-举例：在测量建筑物高度的问题中，重点在于引导学生建立直角三角形模型，使用正切函数计算。
2.教学难点
-难点一：对解直角三角形函数的理解和记忆。学生需要熟练掌握正切、余切、正弦、余弦的定义，并能够灵活运用到实际问题中。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正切、余弦等三角函数的应用以及如何建立直角三角形模型这两个重点。对于难点部分，我会通过具体实例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与解直角三角形相关的实际问题，如测量旗杆的高度、计算物体下落的速度等。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作的过程较为顺利。他们能够将所学知识运用到实际问题中，通过合作解决问题。但在成果展示环节，我发现有些小组在表达和沟通方面还有待提高。为了加强学生的表达能力和团队合作精神，我计划在后续的教学中增加一些类似的展示和分享机会，鼓励他们更加自信地展示自己的成果。
在学生小组讨论环节，我尝试作为一个引导者，让学生自主发现问题和解决问题。这种教学方式收到了良好的效果，学生们能够积极参与讨论，提出自己的观点。但同时，我也发现部分学生在讨论过程中容易偏离主题，需要适时给予指导和纠正。在今后的教学中，我将进一步优化讨论主题的设计，使学生们在讨论中更加聚焦。
28.2.2解直角三角形应用
B
AC tan ADC DC
tan 54 40 1.38 40 55.2m
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2m 答：棋杆的高度为15.2m.
54°45°
开山修路．为了加快施工进度，要在小山 的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一 直线（精确到0.1m）
6、在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一 点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o， 已知塔高BD=30米，求山高CD。
B α
D
β
C
A
7、（2007年昆明）如图，AB和CD是同一地面 上的两座相距36米的楼房,在楼AB的楼顶A点测 得楼CD的楼顶C的仰角为450，楼底D的俯角为 300，求楼CD的高？(结果保留根号)
C
A 450
300
B 36
D
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
例3.前年“云娜”台风中心从我市（看成一个点A） 的正东方向300km的B岛以每时25km的速度正面袭击我 市，距台风中心250km的范围内均受台风的影响.我市遭 到了严重的影响，那么影响时间有多长？
AB 80 2
所以BC=40（米）. 【答案】40
3. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶 部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度 （精确到0.1m）
28.2 解直角三角形及其应用
三、研读课文
知 识 点 一
解:如图, 在 中, 0 80 cos 25 PC=__ ≈ PA• _________ 在 中,
72.505
PB=________=________≈129.7 答：当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向 时，它距离灯塔P大约129.7海里.
三、研读课文
知 识 点 二
东
南
东 南
二、学习目标
1
了解“方位角”航海术语，并能根据题意 画出示意图；
2
利用解直角三角形的方法解决航海问题中 的应用.
三、研读课文
认真阅读课本第89至91页的内容，完成下 面练习并体验知识点的形成过程.
知 识 点 一
解 直 角 三 角 形 的 应 用
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏 东65 方向，距离灯塔80海里的A处，它 沿正南方向航行一段时间后，到达位于 灯塔P的南偏东34 方向上的B处.这时， 海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结 果保留小数点后一位）
3、如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA= AB=15，求△ABC的周长和tanA的值 解：∵sinA=
5
BC 4 AB 5
4 5
B
∴ BC 4 AB 4 15 12
5
AC AB 2 BC 2 152 122 81 9
A C
∴△ABC的周长=15+12+9=36
三、研读课文
例2 在Rt△ABC中， ∠B =35度，b=20，解这个 三角形．（结果保留小数点后一位）
解 知直 识角 点三 二角 形
解：∠A=90°-∠B=90°-35°= 55° A
∵ tanB=______
人教初中数学九年级下册28-2 解直角三角形及其应用(教学设计)
师：尝试写出∠A 的三角函数。
生：∠A 的正弦值：sin A=∠A 所对的边斜边= ac∠A 的余弦值：cos A= ∠A 所邻的边斜边= bc∠A 的正切值：tan A=∠A 所对的边邻边= ab师：将 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表：生：变式1-1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a = 30， b = 20，根据条件解直角三角形.变式1-2 在△ABC 中，∠C =90∘, AB =6, cosA =13，则AC 等于（ ）A ．18B ．2C ．12D ．118变式1-3在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．msin35° B ．mcos35° C ．m sin35°D ．mcos35°变式1-4 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=35° ，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）． 变式1-5 如图，太阳光线与水平线成70°角，窗子高AB ＝2米， 要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC ，使光线不 能直接射入室内，则遮阳板DC 的长度至少是（ ） A ．2tan70°米 B ．2sin70°米 C ．2.2tan70°米 D ．2.2cos70°米平线下方的叫做俯角。
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角. 师：尝试说出A,B关于坐标原点O的位置？生：点A位于点O北偏东30°位置，点B位于点O南偏西45°位置[多媒体展示]热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）。
28.2.2解直角三角形的简单应用PPT课件
180
180
新知讲解
归纳总结
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1.将实际问题抽象为数学问题； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去 解直角三角形； 3.得到数学问题的答案； 4.得到实际问题的答案.
新知讲解
例2 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地 面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角） 约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？
结果取整数）？ 取3.142，
F
P
Q
O
新知讲解
解：设∠POQ= ，∵FQ是☉O的切线，
∴△FOQ是直角三角形. ∵cos OQ 6400 0.9491,
OF 6400 343
∴ 18.36 .
F
P
Q
O
∴PQ 的长为
18.36 6400 18.36 3.142 6400 205（ 1 km).
∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两树
距离的有（ D ）
A．0组
B.1组
C．2组
D.3组
学以致用
某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高6米的小区超 市,超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午 的阳光与水平线的夹角为30°时.问：超市以上的居民住房采光是否有影响,为什么？
A
①
D
②
B
C
分层教学 做一做下面的题目，看谁做得又快又准确。
1、2组
如图，在离地面高度为5m的C处引
拉线固定电线杆，拉线与地面成α角，
则拉线AC的长为
新人教版九年级下册数学 28.2 解直角三角形及其应用参考课件(共30张PPT)
2.如图,沿AC方向开山修路,为了加快施工进度,要在小山的 另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=140°,BD=520m, ∠d=50°,那么开挖点E离D多远正好能A,C,E使成一直线,(精 确到0.1m)?
例5.如图,一般海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯 塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于 灯塔P的南偏东34°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距 离灯塔P有多远(结果取整数)?
问题 要想使人平安地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶 端,梯子与地面所成的角α,一般要满足50°≤α≤75°. 现有一个长6m的梯子.问
(1)使用这个梯子最高可以平安攀上多高的墙(精确到0.1m)
对于问题(1),当梯子与地面成的角α为75°时,梯子顶 端与地面的距离是使用这个梯子所以攀到的最大高度.
问题(1)可以归结为:在Rt△ABC中,己知∠A=75°,斜边 AB=6,求∠A的对边BC的长.
(1)坡度α和β; (2)坝顶宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角 三角形问题); (2)根据条件的特点,适中选用锐角三角函数等去解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案.
例3 2022年6月18日，“神舟〞九号载人航天飞船与“天宫〞 一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟〞九号与“天宫〞一 号的组合体当在离地球外表343km的圆形轨道上运行.如图,当组 合体运行到地球外表上P点的正上方时，从中能直接看到的地球 外表最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少?(地球半 径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数)？
解 : 如图在RtAPC中
九年级数学下册28.2 《解直角三角形及其应用》PPT课件
解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是 看C点，AB就是“楼”的高度，
在Rt△OCB中，∠O
AC OC
180
4.5 ，
OB
OC cos∠O
6370 cos 4.5
6389km，
∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km). 即这层楼至少要高19km，即1900m. 这是不存在 的.
例1 2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号
目标飞行器成功实现交会对接. “神州”九号与“天宫”一号的
组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组
合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的
地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少
（地球半径约为6 400km，取3.142，结果取整数）？
个角）， 其中∠C=90°.
B
(1) 三边之间的关系:a2+b2=__c_2__；
c a
(2) 锐角之间的关系： ∠A+∠B=__9_0_°_；
A
a
bC
b
(3) 边角之间的关系：sinA=__c___，cosA=__c___，
a
tanA=___b__.
讲授新课
一 已知两边解直角三角形
合作探究
在图中的Rt△ABC中，
三 已知一锐角三角函数值解直角三角形
例3 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = 1，
3
BC = 5， 试求AB的长.
解： C 90，cos A 1， AC 1 . 3 AB 3
设 AB x, AC 1 x，
B
人教版九年级数学下册28.2 解直角三角形及其应用
视线
铅
仰角
直
线
俯角
水平线
视线
例1： 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变 轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到 0.1km）
分析：我们知道，在视线与水平线所
仰角
成的角中视线在水平线上方的是仰角，
B
视线在水平线下方的是俯角，因此，
在图中，a=30°,β=60°
αD
Aβ
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出
俯角
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
C
水平线
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
（2）若∠B=60°，AC=3，则BC= 3
（3）若∠A=α°，AC=3，则BC= 3tan
m
（4）若∠A=α°，BC=m，则AC= tan
B
┌
A
C
二、学习新知 （一）仰角和俯角
在进行测量时，Z``````x``x```k 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
解 在Rt△ADE中，
∵ AE＝DE×tan a
＝BC×tan a ＝22×tan 220
AD?A 22 E
2
2
=8.80（米）
.
∴ AB＝BE＋AE
7
＝AE＋CD
＝8.80＋1.25 ≈10.5（米）
D
E
28.2解直角三角形及其应用(教案)
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了解直角三角形及其应用。回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思。
首先，我发现学生在理解三角函数定义时存在一定难度。尽管我通过动画和实物模型展示了三角函数在直角三角形中的实际意义，但部分学生在具体计算时仍然感到困惑。在今后的教学中，我需要更加耐心地引导学生，让他们在实际操作中逐步理解并掌握三角函数的定义和应用。
2.教学难点
-理解并记忆三角函数的定义，尤其是正弦、余弦和正切的概念；
-熟练运用三角函数进行计算，解决实际问题中的角度和边长计算；
-在实际问题中，识别和应用直角三角形的模型，将问题转化为数学模型进行求解。
举例：
a.难点一：对于三角函数定义的理解，教师可以通过动画或实物模型，展示三角函数在直角三角形中的实际意义，帮助学生记忆；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正弦、余弦和正切的定义及运用。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与解直角三角形相关的实际问题，如测量树的高度等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用三角板和尺子测量实际物体的高度，演示解直角三角形的基本原理。
2.能够运用解直角三角形的方法解决实际问题，培养数学建模和问题求解能力，增强学生的数学运算和数据分析素养；
3.在小组合作探讨解直角三角形应用的过程中，培养合作意识和交流表达能力，提高学生的逻辑思维和批判性思维能力；
4.感悟数学在生活中的广泛应用，增强数学应用意识，激发学生对数学学科的兴趣和热爱。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握解直角三角形的原理，包括正弦、余弦和正切的定义及运用；
在今天的课堂中，我们探讨了解直角三角形及其应用。回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思。
首先，我发现学生在理解三角函数定义时存在一定难度。尽管我通过动画和实物模型展示了三角函数在直角三角形中的实际意义，但部分学生在具体计算时仍然感到困惑。在今后的教学中，我需要更加耐心地引导学生，让他们在实际操作中逐步理解并掌握三角函数的定义和应用。
2.教学难点
-理解并记忆三角函数的定义，尤其是正弦、余弦和正切的概念；
-熟练运用三角函数进行计算，解决实际问题中的角度和边长计算；
-在实际问题中，识别和应用直角三角形的模型，将问题转化为数学模型进行求解。
举例：
a.难点一：对于三角函数定义的理解，教师可以通过动画或实物模型，展示三角函数在直角三角形中的实际意义，帮助学生记忆；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正弦、余弦和正切的定义及运用。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与解直角三角形相关的实际问题，如测量树的高度等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用三角板和尺子测量实际物体的高度，演示解直角三角形的基本原理。
2.能够运用解直角三角形的方法解决实际问题，培养数学建模和问题求解能力，增强学生的数学运算和数据分析素养；
3.在小组合作探讨解直角三角形应用的过程中，培养合作意识和交流表达能力，提高学生的逻辑思维和批判性思维能力；
4.感悟数学在生活中的广泛应用，增强数学应用意识，激发学生对数学学科的兴趣和热爱。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握解直角三角形的原理，包括正弦、余弦和正切的定义及运用；
282解直角三角形(坡度问题)PPT课件
h α
L
1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α=______度。
2、斜坡的坡角是600 ，则坡比是 _______。
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
4、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体 从地面送到离地面9米高的地方，则物体通过的路 程为 _______米。
5、斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100 米，则斜坡高为_______米。
练习
3.如图,在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的 水平距离)是5.5米,测得斜坡的倾斜角是24度,求 斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米?（精 确到0.1米）
B
24°
C
(
5.5
A
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过 程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平 面图形，转化为解直角三角形的问题）；
。
3、一辆汽车沿着坡度为i =1:3的斜坡前进了100m，
则它上升的最大高度为
m。(精确到0.1m)
练习
2.我军某部在一次野外训练中,有一辆坦克准备通 过一座小山,已知山脚和山顶的水平距离为1000 米,山高为565米,如果这辆坦克能够爬300 的斜坡, 试问:它能不能通过这座小山？
A
1000米
B 565米 C
基础练习
1.如图 (1)若h=2cm，l=5cm，则i=
(2)若i=1:1.5，h=2m，则l=
2.水库的横断面是梯形ABCD,迎水坡AB的坡 度i= 1：2坝高h=20m,迎水坡的水平宽度= tanα=
BC B
h
α
C
l
AA
E
D
例1.铁路路基横断面是一个等腰梯形ABCD,若腰 的坡度是i=1: 3 ,顶宽是4m,路基高是6m,求（1）
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第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用（ 1）
1、在三角形中共有几个元素？
直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角
2、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、
c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关
系呢？(1)三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)
(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
?
?
如右下图，海船以5海里/小时的速度向 正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船 的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方 向，求此时灯塔B到C处的距离.
如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁， 鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得 海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点 C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果 鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触 礁的危险？
五、强化训练
解：依题意可知，在Rt?ADC中 所以树高为：20.49+1.72=22.21
第二十八章 锐角三角函数
第七课时 28.2 解直角三角形及其应用（ 3）
画出方向图（表示东南西北四个方向的）并依 次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、 南偏东34度方向的射线.
西
北
北
西
东
东
南
南
如图，一艘海轮位于灯塔 P的北偏东65 方向，距离灯塔 80海里的A处，它沿正 南方向航行一段时间后，到达位于灯 塔P的南偏东34 方向上的B处.这时， 海轮所在的 B处距离灯塔 P有多远？
解：过点B作BD⊥AD于点D，EA⊥CA于点A， FC⊥CA于点C， 由题意得∠BAE=60°，∠BCF=30°∴∠CAB=30°， ∴∠DCB=60°，∴∠DBC=30°， ∴∠CBA=∠CBD-∠CAB=30°， ∴∠CAB=∠CBA，∴AC=CB=200m， ∴在Rt△BCD中，BD=BC?sin60°
=200×
=100 （m）， ∵学校是以B为中心方圆100m的圆形，
∵100 ＞100， ∴工程若继续进行下去不会穿越学校．
1、如图（2），在高出海平面 100米的悬崖顶 A处，观 测海平面上一艘小船 B，并测得它的俯角为 45°，则船 与观测者之间的水平距离 BC=__100 ___米. 2、如图（3），两建筑物 AB和CD的水平距离为 30米， 从A点测得D点的俯角为 30°，测得C点的俯角为 60°， 则建筑物 CD的高为_____米.
2
2? 2
=6
∴AC= 6
22
C2
B
1、在Rt△ABC中, ∠C=90°,已知
tanB= 5 ，则cosA等于（ D ） 2
5
5
25
2
A. 2
B. 3
C. 5
D. 3
2、在Rt△ABC中，∠C=90°， a=35， c= 35 2 则∠A=__4_5°__， b=__35__.
3、如图，在△ ABC中，∠C=90°， sinA= 4 AB=15，求△ABC的周长和tanA
5
的值.
B
∴△ABC的周长=15+12+9=36
A
C
tan A? BC ? 12 ? 4 AC 9 3
某人想沿着梯子爬上高 4米的房顶， 梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角） 不能大于 60°，否则就有危险，那 么梯子的长至少为多少米 .
A
B
C
答：梯子的长至少3.5米
1、当我们进行测量时，在视线 与水平线所成的角中，视线在水 平线上方的角叫做 _仰_角__角，在水 平线下方的角叫做 _俯_角___角．
由勾股定理得AC=
=6 ≈10.392＞8，
即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
如图，在一次暖气管道的铺设工作中，工程是由 A点出发沿正西方向进行的，在A点的南偏西60° 的方向上有一所学校，学校占地是以B点为中心 方圆100米的圆形，当工程进行了200米时到达C 处，此时B在C的南偏西30°的方向上，请根据题 中所提供的信息计算、分析一下，工程继续进行 下去，是否会穿过学校？
2、在△ABC中，∠C=90°， sinA=
3 5
，
则cosA的值是（ B ）
3
4
A. 5
B. 5
9 C. 25
16 D. 25
在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、 ∠C所对的边分别为 a、b、c，且 b= 2 ，a= 6 ，解这个三角形．
解：∵tanA= a = 3
b
∴∠A=60° ∴∠B=30° ∴AB=2AC=___2__2___
(3)边角之间的关系：
sin
A?
?
A的对边 斜边
=a c
cos
A?
?
A的邻边 斜边
=b c
tan
A?
? ?
A的对边 A的邻边
=a b
1、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、
∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
（1）三边之间的关系：a_2+_b_2=_c_2 ________
（2）两锐角之间的关系：∠_A+_∠B_=9_0°________
1、Rt△ABC中，若sinA= 4 ,AB=10， 5
那么BC=_8___ ，tanB=__34__ ． 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，
a= 2 ，c= 2 2 ，解这个直角三角形 .
A
解：∵sinA= a ? 2 ? 1 c 22 2 ∴A=30°
AC2=AB2-BC2
=?2
? ? ? 2
（3）边角之间的关系_c_os_A ?_?_A斜的_边邻_边_=_bc _ta_nA_?_?? AA_的的_对邻_边边=ab
sin
A??Βιβλιοθήκη A的对边 斜边 =a c
由直角三角形中除直角外的已知元素，求其余
未知元素的过程，叫 解直角三角形 .
1、在△ABC中，∠C=90°， AC=6，
BC=8，那么 sinA=___54 ___ ．
28.2 解直角三角形及其应用（ 1）
1、在三角形中共有几个元素？
直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角
2、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、
c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关
系呢？(1)三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)
(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
?
?
如右下图，海船以5海里/小时的速度向 正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船 的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方 向，求此时灯塔B到C处的距离.
如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁， 鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得 海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点 C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果 鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触 礁的危险？
五、强化训练
解：依题意可知，在Rt?ADC中 所以树高为：20.49+1.72=22.21
第二十八章 锐角三角函数
第七课时 28.2 解直角三角形及其应用（ 3）
画出方向图（表示东南西北四个方向的）并依 次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、 南偏东34度方向的射线.
西
北
北
西
东
东
南
南
如图，一艘海轮位于灯塔 P的北偏东65 方向，距离灯塔 80海里的A处，它沿正 南方向航行一段时间后，到达位于灯 塔P的南偏东34 方向上的B处.这时， 海轮所在的 B处距离灯塔 P有多远？
解：过点B作BD⊥AD于点D，EA⊥CA于点A， FC⊥CA于点C， 由题意得∠BAE=60°，∠BCF=30°∴∠CAB=30°， ∴∠DCB=60°，∴∠DBC=30°， ∴∠CBA=∠CBD-∠CAB=30°， ∴∠CAB=∠CBA，∴AC=CB=200m， ∴在Rt△BCD中，BD=BC?sin60°
=200×
=100 （m）， ∵学校是以B为中心方圆100m的圆形，
∵100 ＞100， ∴工程若继续进行下去不会穿越学校．
1、如图（2），在高出海平面 100米的悬崖顶 A处，观 测海平面上一艘小船 B，并测得它的俯角为 45°，则船 与观测者之间的水平距离 BC=__100 ___米. 2、如图（3），两建筑物 AB和CD的水平距离为 30米， 从A点测得D点的俯角为 30°，测得C点的俯角为 60°， 则建筑物 CD的高为_____米.
2
2? 2
=6
∴AC= 6
22
C2
B
1、在Rt△ABC中, ∠C=90°,已知
tanB= 5 ，则cosA等于（ D ） 2
5
5
25
2
A. 2
B. 3
C. 5
D. 3
2、在Rt△ABC中，∠C=90°， a=35， c= 35 2 则∠A=__4_5°__， b=__35__.
3、如图，在△ ABC中，∠C=90°， sinA= 4 AB=15，求△ABC的周长和tanA
5
的值.
B
∴△ABC的周长=15+12+9=36
A
C
tan A? BC ? 12 ? 4 AC 9 3
某人想沿着梯子爬上高 4米的房顶， 梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角） 不能大于 60°，否则就有危险，那 么梯子的长至少为多少米 .
A
B
C
答：梯子的长至少3.5米
1、当我们进行测量时，在视线 与水平线所成的角中，视线在水 平线上方的角叫做 _仰_角__角，在水 平线下方的角叫做 _俯_角___角．
由勾股定理得AC=
=6 ≈10.392＞8，
即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
如图，在一次暖气管道的铺设工作中，工程是由 A点出发沿正西方向进行的，在A点的南偏西60° 的方向上有一所学校，学校占地是以B点为中心 方圆100米的圆形，当工程进行了200米时到达C 处，此时B在C的南偏西30°的方向上，请根据题 中所提供的信息计算、分析一下，工程继续进行 下去，是否会穿过学校？
2、在△ABC中，∠C=90°， sinA=
3 5
，
则cosA的值是（ B ）
3
4
A. 5
B. 5
9 C. 25
16 D. 25
在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、 ∠C所对的边分别为 a、b、c，且 b= 2 ，a= 6 ，解这个三角形．
解：∵tanA= a = 3
b
∴∠A=60° ∴∠B=30° ∴AB=2AC=___2__2___
(3)边角之间的关系：
sin
A?
?
A的对边 斜边
=a c
cos
A?
?
A的邻边 斜边
=b c
tan
A?
? ?
A的对边 A的邻边
=a b
1、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、
∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
（1）三边之间的关系：a_2+_b_2=_c_2 ________
（2）两锐角之间的关系：∠_A+_∠B_=9_0°________
1、Rt△ABC中，若sinA= 4 ,AB=10， 5
那么BC=_8___ ，tanB=__34__ ． 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，
a= 2 ，c= 2 2 ，解这个直角三角形 .
A
解：∵sinA= a ? 2 ? 1 c 22 2 ∴A=30°
AC2=AB2-BC2
=?2
? ? ? 2
（3）边角之间的关系_c_os_A ?_?_A斜的_边邻_边_=_bc _ta_nA_?_?? AA_的的_对邻_边边=ab
sin
A??Βιβλιοθήκη A的对边 斜边 =a c
由直角三角形中除直角外的已知元素，求其余
未知元素的过程，叫 解直角三角形 .
1、在△ABC中，∠C=90°， AC=6，
BC=8，那么 sinA=___54 ___ ．