人教B版高中数学必修四第一章章末检测(B)

文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.阶段性测试题一(第一章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150 分，时间120 分钟。

第Ⅰ卷 (选择题共 60分 )一、选择题 (本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．下列角与－ 750 °角终边不同的是 ()A．330°B．－ 30°C．680 °D．－ 1110 °[答案 ]C[解析 ]－ 750 °＝－ 2× 360 °＋ (－ 30°)，330 °＝ 360 °＋( － 30°)，680 °＝ 2× 360 °＋ (－ 40°)，－1 110 °＝－ 3× 360°＋ (－ 30) °，故 680°角与－ 750°角终边不同 .2． (2015 四·川德阳第五中学月考)cos300 ＝°()31A．－2B．－213C．2D．2[答案 ]C1[解析 ]cos300 °＝ cos(360 －°60°)＝cos60 °＝2.2sinα＋ cosα3． (2015 潮·州市高一期末测试)已知 tanα＝2，则＝()sinα－ cosαA ． 2B． 5C．1D．－ 1[答案 ]B[解析 ]∵ tanα＝ 2，∴2sinα＋ csoα 2tanα＋1＝5＝ 5.＝tanα－1sinα－ cosα14．若α是钝角，则θ＝ kπ＋α， k∈ Z 是()A ．第二象限角B．第三象限角C．第二象限角或第三象限角D．第二象限角或第四象限角[答案 ]D1文档来源为 :从网络收集整理 .word 版本可编辑 .欢迎下载支持 .π[解析 ] ∵ α是钝角，∴2<α<π，∵ θ＝k π＋ α(k ∈Z)，∴令 k ＝0，则 θ＝ α是第二象限角，令 k ＝ 1，则 θ＝ π＋ α是第四象限角，故选 D ．5． (2015 河·南新乡市高一期末测试 )已知角 α的终边与以坐标原点为圆心，以1 为半径2π 2π的圆交于点 P(sin 3， cos 3 )，则角 α的最小正值为 ()11π5π A ． 6B ． 35π 2π C ． 6D ． 3[答案 ]A2π32π 1 ，[解析 ] ∵ sin ＝2， cos ＝－233∴点 P(3，－ 1)，点 P 到坐标原点的距离r ＝ |OP|＝ 1，2 2∴ sin α＝y ＝－ 1，cos α＝x ＝ 3，r2r 211π∴角 α的最小正值为6 .6．下列命题中不正确的个数是()①终边不同的角的同名三角函数值不等；②若 sin α>0，则 α是第一、二象限角；③若 α是第二象限的角，且－ xP( x ， y)是其终边上一点，则 cos α＝x2＋ y2.A ． 0B ． 1C ．2D ． 3[答案 ] D[解析 ]π 3π和终边不同，但正弦值相等，所以①错．44π π cos α＝x ，sin ＝ 1，但不是一、二象限角，是轴线角所以②错，对于③由定义x 2＋ y222所以③错，故选D ．π7． (2015 广·东中山纪念中学高一期末测试 )下面四个函数中，既是区间(0， 2)上的增函数，又是以 π为周期的偶函数的是 ()A ． y ＝ cos2xB ． y ＝ sin2xC ．y ＝ |cosx|D ． y ＝ |sinx|2文档来源为 :从网络收集整理 .word 版本可编辑 .欢迎下载支持.[答案]D[解析 ]令 f(x)＝ |sinx|，∴ f(－ x)＝ |sin(－ x)|＝ |sinx|＝ f(x) ，∴函数 y ＝ |sinx|是偶函数π又函数 y ＝ |sinx|在(0 ， 2) 上是增函数，且最小正周期为π.π8．为得到函数 y ＝ cos(x ＋ 3)的图象，只需将函数 y ＝ sinx 的图象 ()5π B ．向右平移 πA ．向左平移 6 个长度单位6个长度单位πD ．向右平移5πC ．向左平移 个长度单位个长度单位6 6[答案 ] A[解析 ]5π π πy ＝ sin(x ＋ )＝ sin[ ＋ (x ＋ )]623π＝ cos(x ＋)，故选 A ．31 π9．(2015 山·东潍坊高一期末测试 )已知函数 f(x) ＝2sin(2 x ＋6)，若 f(x － φ)为偶函数， 则 φ可以为 ( )π πA ． 2B ．－ 3π π C ．－ 6D ． 6[答案 ]C1π[解析 ]f( x －φ)＝ 2sin(2x － 2φ＋6)，若 f(x －φ)为偶函数， π π π k π∴－ 2φ＋ ＝ ＋ k π， k ∈ Z ，∴ φ＝－ ＋， k ∈ Z ，6262π∴当 k ＝0 时， φ＝－ ，故选 C ．610．如图，一个半径为 10 m 的水轮按逆时针方向每分钟转 4 圈．记水轮上的点 P 到水面的距离为d m(如果 P 在水面上，那么d 为负数 )．如果 d(m) 与时间 t(s)之间的关系满足： dπ π＝ A sin( ωt＋ φ)＋ k(A>0， ω>0，－ 2<φ<2)，且从点 P 在水面上浮现时开始计算时间，那么以下结论中，错误的是 ()3文档来源为 :从网络收集整理 .word 版本可编辑 .欢迎下载支持 .2πA ．A ＝10B ． ω＝ 15πC ．φ＝ 6D ． k ＝ 5[答案 ]C2π[解析 ]由图读出 A ＝ 10，k ＝ 5，周期 T ＝ 15 s ，∴ ω＝ 15.由题意，知当 t ＝ 0 时，d ＝ 10sin φ＋5＝ 0，∴ sin φ＝－ 1π 5π 2 ，即 φ＝2k π－ 或 φ＝ 2k π－6.6π π π∵－ <φ<，∴ φ＝－.226π11．已知函数 f(x)＝ sin(πx － 2)－ 1，下列命题正确的是 ()A ． f(x)是周期为 1 的奇函数B ．f(x)是周期为 2 的偶函数C ．f(x)是周期为 1 的非奇非偶函数D ． f(x)是周期为 2 的非奇非偶函数[答案]Bπ[解析 ]∵ f(x)＝ sin(πx －2) －1＝－ cos πx － 1，2π∴周期 T ＝ π＝2，又 f(－ x)＝－ cos(－ πx)－ 1＝－ cos πx － 1＝ f(x)，∴ f(x)为偶函数．π 3 ＋ a π 5π)12．如果函数 f(x)＝sin(x ＋ )＋ 2在区间 [－ ， 6 ]的最小值为 3，则 a 的值为 (33 3＋ 13A ． 2B ． 22＋ 3 D ．3－ 1 C ． 22[答案 ] A[解析 ]∵－ π 5ππ 7π≤ x ≤ ，∴ 0≤ x ＋ ≤ ，3 63 61 π1 ＋ 3 1 ＋ 3 3＋ 1∴－ ≤ sin(x ＋ )≤ 1，∴ f(x)的最小值为－22＋ a ，∴－ 2＋ a ＝ 3，∴ a ＝2 .232第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题 (本大题共 4 个小题，每空4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上 )13．已知点 P(2,3) 在角 α的终边上，则tan 2α＝ ________.cos α4文档来源为 :从网络收集整理 .word 版本可编辑 .欢迎下载支持 .[答案 ]1363[解析 ]由三角函数的定义知，cosα＝3＝3， tanα＝3，∴tan2α＝2＝13.22＋ 32132cos α 9 61314． (2015 河·南南阳高一期末测试)函数 y＝ sinx＋1－ cosx的定义域是 ________．2[答案 ]π[ ＋ 2kπ，π＋ 2kπ]k∈ Z 3sinx≥ 0[解析 ]由题意，得，1－ cosx≥ 022kπ≤x≤ 2kπ＋π，k∈ Z∴π5π，2kπ＋≤ x≤ 2kπ＋， k∈ Z33π∴ 2kπ＋≤ x≤ 2kπ＋π， k∈ Z .31π故函数 y＝sinx＋2－cosx的定义域为[3＋2kπ，π＋2kπ]，k∈Z .1π15．函数 y＝ |sin(3x－4)|的最小正周期为________．[答案 ]3π[解析 ]∵ y＝ sin(1πx－ ) 的周期 T＝6π，341π∴y＝ |sin(3x－4)|的周期为 T＝ 3π.π16． (2015 ·洛市高一期末测试商)关于函数f(x)＝4sin(2 x＋3)( x∈ R)，有下列命题：①由 f(x1)＝ f(x2)＝0 可得 x1－ x2必是π的整数倍；π② y＝ f(x)的表达式可改写为y＝4cos(2x－6)；π③ y＝ f(x)的图象交于点 (－， 0)对称；6π④ y＝ f(x)的图象关于直线x＝－6对称．其中正确的命题是________．[答案 ]②③[解析 ]由f(x1)＝f(x2)＝0，得π2x1＋3＝ mπ， m∈ Z ，5文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持 .π2x 2＋ 3＝ n π， n ∈ Z ，m －n π∴ x 1－ x 2＝，2当 m － n 为奇数时， x 1－ x 2 不是 π的整数倍，故①错误；π π πf(x)＝ 4sin(2x ＋ )＝ 4sin[2 － ( － 2x)]36 ππ＝ 4cos( － 2x)＝ 4cos(2x －)，故②正确；66ππ π π当 x ＝－ 时， f(－ )＝ 4sin[2× (－)＋3]＝ 0，故③正确，∴④不正确．6 66三、解答题 (本大题共 6 个大题， 共 74 分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 )17． (本小题满分 12 分 )(2015 广·东揭阳市世铿中学高一月考)已知角 α终边上一点 P(－π－ π＋αcos ＋ αsin4,3)，求2的值．11π9πcos － αsin ＋ α2 2[解析 ]点 P 到坐标原点的距离r ＝ |OP|＝－ 4 2＋ 32＝ 5，∴ sin α＝y ＝ 3， cos α＝ x ＝－ 4.r 5r 5cos π＋ αsin －π＋ α－ sin α·－ sin α ∴2＝11π9π－ sin α·cos αcos2 － αsin 2 ＋ α3＝－ sin α5 3.＝－ 4 ＝cos α － 4518． (本小题满分12 分 )是否存在实数 1 ， cosx ＝m成立，且 x 是第m ，使 sinx ＝ 1－ m m －1二象限角？若存在，请求出实数 m ；若不存在，试说明理由．[解析 ]假设存在1，m ∈ R ，使 sinx ＝ 1－mmcosx ＝ ，∵ x 是第二象限角，∴ sinx>0， cosx<0，∴ 0<m<1.1 2＋m 2 2＝ 1，由 sin 2x ＋ cos 2x ＝m － 11－ m解得 m ＝ 0，这时 sinx ＝ 1， cosx ＝0，πx ＝ 2k π＋2(k ∈Z)，不是第二象限角，故m 不存在．619． (本小题满分12 分 )已知 sinα、 cosα是关于 x 的方程8x2＋ 6mx＋ 2m＋ 1＝ 0 的两根，求1＋1的值．sinα cosα[解析 ]∵ sinα、 cosα是方程 8x2＋6mx＋ 2m＋ 1＝ 0 的两根，∴ sinα＋cosα＝－3m， sinαcosα＝2m＋ 18.4∴(－3m)2－2×2m＋1＝1，整理得489m2－8m－20＝ 0，即 (9m＋ 10)(m－ 2)＝ 0.∴m＝－10或 m＝2. 9又 sinα、 cosα为实根，∴＝ 36m2－ 32(2m＋ 1)≥ 0.即 9m2－ 16m－ 8≥ 0，∴ m＝ 2 不合题意，舍去．故 m＝－109.3m∴1＋1＝sinα＋ cosα－4－ 6msinαcosα＝＝sinα cosα2m＋ 12m＋ 18－6× －1060＝910＝－11.2× －9＋ 1π20．(本小题满分12 分 )用“五点法”画出函数f(x)＝ cos(2x－3)在同一周期上的图象． (要求列表描点作图 )．(1)先完成下列表格，然后在给定坐标系中作出函数f(x)在 [0，π]上的图象；πππ3π2x－3－302π2x0π2π11ππ6312f(x)1－ 1 27π(2)求函数 f(x)＝ cos(2x－3)， x∈ R 的单调增区间．[解析 ](1)πππ3π5π2x－3－302π23x0π5π2π11ππ612312f(x)110－101 22描点、作图．π(2)由 2kπ－π≤2x－≤ 2kπ，k∈ Z ，3ππ，得 kπ－≤ x≤ kπ＋， k∈ Z36∴函数 f(x)的单调递增区间为ππ[kπ－， kπ＋ ] ， k∈ Z . 36π21． (本小题满分 12 分 )已知函数 f(x)＝ 2cos(2x－4)， x∈ R.(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；π πx 的值．(2)求函数 f(x)在区间 [－，] 上的最小值和最大值，并求出取得最值时82π2π[解析 ] (1)∵ f(x)＝2cos(2x－4)，∴函数f(x)的最小正周期T＝2＝π由.－π＋2kπ≤2xπ3ππ3ππ－≤ 2kπ，得 kπ－≤ x≤ kπ＋，故函数 f(x) 的单调递增区间为[－＋ kπ，＋ kπ](k∈ Z)．488888文档来源为 :从网络收集整理 .word 版本可编辑 .欢迎下载支持 .π π ππ π (2)∵ f(x)＝ 2cos(2x －)在区间 [－，]上为单调递增函数，在区间[ ， ] 上为单调递减48882函数，且 πππ π π 2，此f(－ )＝0， f( )＝2， f( )＝－ 1，故函数f(x)在区间 [－， ]上的最大值为8 8 2 82ππ时， x ＝ ；最小值为－ 1，此时 x ＝ .82π22． (本小题满分 14 分 )已知函数 f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(A>0 ， ω>0，|φ|<2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)若方程 f(x)＝ m 在(0， π)内有两个不同的实数根，求实数 m 的取值范围．[解析 ](1)观察图象，得A ＝2，T ＝ (11π π 4＝ π，12－ )×63∴ ω＝2π＝2，∴ f(x)＝ 2sin(2x ＋ φ)．T∵函数图象经过点π ，∴ 2sin(2×π( ，2)＋ φ)＝ 2，66π即 sin(3＋ φ)＝ 1.π ππ又∵ |φ|< ，∴ φ＝ ，∴函数的解析式为f(x)＝ 2sin(2x ＋ )．2 66π(2)∵ 0<x<π，∴ f(x) ＝m 的根的情况， 相当于 f(x)＝ 2sin(2x ＋ 6)与 g(x)＝ m 在 (0，π)内的交π点个数情况，∴在同一坐标系中画出y ＝ 2sin(2x ＋ 6)和 y ＝ m(m ∈ R) 的图象如图所示．由图可知，当－ 2<m<1 或 1<m<2 时，直线y ＝ m 与曲线 y ＝ π2sin(2x ＋ )有两个不同的交6 点，即原方程有两个不同的实数根，∴m 的取值范围为－ 2<m<1 或 1<m<2.9。

三角函数章末检测题一、选择题（每题5分）1、sin(225)-︒的值是（ ）A ．22B ．22-C ．32-D ．322、既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是（ ）A 、sin y x =B 、cos y x =C 、sin 2y x =D 、cos 2y x =3、点P (o 300cos ,o 300sin )在直角坐标平面上位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4、已知α∈(π2,π),3tan 4α=-,则sin()απ+等于（ ） A ．35 B ．35- C ．45D ．45- 5、集合M ＝{x |x ＝k π2 ±π4 ，k ∈Z}与N ＝{x |x ＝k π4，k ∈Z}之间的关系是（ ） A.M N B.N M C.M ＝N D.M ∩N ＝∅6、已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值等于（ ） A.23 B ．－23 C.53 D ．±537、将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得各点向右平移π10个单位长度，所得图象的函数解析式是（ ） A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5 D y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10 8.已知f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的表达式为（ ）A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋5π4 C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋2π9 D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋2518π 9.若函数()()2cos 2f x x ϕ=+是奇函数，且在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，则实数ϕ可能是（ ） A 、2π- B 、0 C 、2π D 、π 10.已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（ ） A ．15[,]24 B ．13[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2] 二、选择题（每题5分） 11．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为___________.12．若cos130°＝a ，则tan50°＝_____________.13.函数y ＝cos(4π－2x )的单调递增区间是 _____________14．已知4sin cos (0)34πθθθ+=<<,则sin cos θθ-=__________.15.函数3()sin(2)62f x x π=++的对称中心是 . 16、已知2()3sin 2cos f x x x =-+，则()f x 的最大值是 .17、已知()2sin(2)16f x x a π=+++，若f(x)在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为4，则a = . 三、解答题 18．（15分）设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P （x ， 5 )，且cos α＝24x ，求sin α与tan α的值.19．（20分）函数()sin()16f x A x πω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π,(1)求函数()f x 的解析式；(2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值.20.（20分）设函数()sin(2)f x x ϕ=+，0πϕ-<<图像的一条对称轴为8x π=． （1）求ϕ；（2）求函数()y f x =的单调增区间；（3）求函数)(x f y =在区间3[,]44ππ上的最大值和最小值，并指出此时的x ．21.（30分）函数()()2sin 0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[,]62ππ-上的最大值和最小值；（3）求()f x 的单调区间．。

【优化方案】2021-2021学年高中数学 第一章 计数原理章末综合检测 新人教A 版选修2-3(时刻：100分钟；总分值：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．假设A 3m ＝6C 4m ，那么m 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选C.由m (m －1)(m －2)＝6·m m －1m －2m －34×3×2×1，解得m ＝7.2．(1－x )10展开式中x 3项的系数为( ) A ．－720 B ．720 C ．120D ．－120解析：选D.由T r ＋1＝C r 10(－x )r ＝(－1)r C r 10x r ，r ＝3，因此系数为(－1)3C 310＝－120.3．编号为一、二、3、4、五、六、7的七盏路灯，晚上历时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，那么不同的开灯方案有( )A ．60种B ．20种C ．10种D ．8种解析：选C.四盏熄灭的灯产生的5个空位中放入3盏亮灯，即C 35＝10.4．某汽车生产厂家预备推出10款不同的轿车参加车展，但主办方只能为该厂提供6个展位，每一个展位摆放一辆车，而且甲、乙两款车不能摆放在1号展位，那么该厂家参展轿车的不同摆放方案的种类为( )A ．C 210A 48B ．C 19A 59 C ．C 18A 59D ．C 18A 58解析：选C.考查分步乘法计数原理和排列数公式，在1号位汽车选择的种数为C 18，其余位置的排列数为A 59，故种数为C 18A 59，应选C.5．(2－x)8展开式中不含x4项的系数的和为( ) A．－1 B．0C．1 D．2解析：选B.(2－x)8展开式的通项为T r＋1＝C r8·28－r·(－x)r＝C r8·28－r·(－1)r·x r2.由r 2＝4得r＝8.∴展开式中x4项的系数为C88＝1.又(2－x)8展开式中各项系数和为(2－1)8＝1，∴展开式中不含x4项的系数的和为0.6．把五个标号为1到5的小球全数放入标号为1到4的四个盒子中，不准有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，那么不同的放法有( )A．36种B．45种C．54种D．96种解析：选A.先把5号球放入任意一个盒子中有4种放法，再把剩下的四个球放入盒子中，依照4的“错位数”是9，得不同的放法有4×9＝36种．7．咱们把列位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，那么“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )A．18个B．15个C．12个D．9个解析：选B.依题意，那个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数别离为400、040、004；由3、一、0组成6个数别离为310、30一、130、103、013、031；由二、二、0组成3个数别离为220、20二、022；由二、一、1组成3个数别离为21一、12一、112.共计：3＋6＋3＋3＝15个．8．已知等差数列{a n}的通项公式为a n＝3n－5，那么(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的( )A．第9项B．第10项C．第19项D．第20项解析：选D.∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7展开式中含x4项的系数是C45·11＋C46·12＋C47·13＝5＋15＋35＝55，∴由3n－5＝55得n＝20，应选D.9．记者要为5名志愿者和他们帮忙的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两头，不同的排法共有( )A．1440种B．960种C．720种D．480种解析：选B.将5名志愿者全排列为A55，因2位老人相邻且不排在两头，故将2位老人看成一个整体插在5名志愿者之间形成的4个空内，为A14，再让2位老人全排列为A22，故不同的排法总数为A55A14A22＝960.10．假设(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，那么实数m的值为( )A．1或－3 B．－1或3C．1 D．－3解析：选A.令x＝0，取得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，取得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，因此有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)11．男、女学生共有8人，从男生当选取2人，从女生当选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．解析：设女生有x人，那么C28－x·C1x＝30，即8－x7－x2·x＝30，解得x＝2或3.答案：2或312．假设(3x＋1)n(n∈N*) 的展开式中各项系数的和是256，那么展开式中x2项的系数是________．解析：令x＝1，得(3＋1)n＝256，解得n＝4，(3x＋1)4的展开式中x2项的系数为C24×32＝54. 答案：5413．5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，那么不同的排法有________种．解析：甲、乙两人之间至少有一人，确实是甲、乙两人不相邻，那么有A 33·A 24＝72种不同的排法．答案：7214．航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘解决型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰排列左、右，同侧不能都是同种舰艇，那么舰艇分派方案的方式数是________．解析：先将2艘驱逐舰和2艘护卫舰平均分成两组，再排有C 12C 12A 22A 22种方式，然后排两艘解决型核潜艇有A 22种方式，故舰艇分派方案的方式数为C 12C 12A 22A 22A 22＝32.答案：3215．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，那么展开式中常数项为________．解析：由题意知n ＝8，通项为T r ＋1＝(－1)r ·C r 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r ·x 8－43r, 令8－43r ＝0，得r ＝6，故常数项为第7项，且T 7＝(－1)6·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 68＝7. 答案：7三、解答题(此题共5小题，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤)16．从编号为1,2，…，9的9个球中任取4个球，使它们的编号之和为奇数，再把这4个球排成一排，共有多少种不同的排法？解：知足条件的4个球的编号有两类取法：①一奇三偶排法数为C 15C 34A 44； ②三奇一偶排法数为C 35C 14A 44.故共有C 15C 34A 44＋C 35C 14A 44＝1 440种不同的排法．17．已知(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，是它后一项的系数的56，求该展开式中二项式系数最大的项．解：第r ＋1项系数为C r n 2r ，第r 项系数为C r －1n 2r －1， 第r ＋2项系数为C r ＋1n 2r ＋1，依题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧C r n 2r ＝2C r －1n2r －1C r n 2r ＝56C r＋1n 2r ＋1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧C r n ＝C r －1nC r n ＝53C r ＋1n ，即⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝n ＋15n －r ＝3r ＋1，求得：n ＝7.故二项式系数最大的项是第4项和第5项．T 4＝C 37(2x )3＝280x32，T 5＝C 47(2x )4＝560x 2.18．已知(2x i ＋1x2)n ，i 是虚数单位，x ＞0，n ∈N *.(1)若是展开式中的倒数第3项的系数是－180，求n 的值； (2)对(1)中的n ，求展开式中系数为正实数的项．解：(1)由已知，得C n －2n (2i)2＝－180，即4C 2n＝180， 因此n 2－n －90＝0，又n ∈N *，解得n ＝10. (2)(2x i ＋1x2)10展开式的通项为T k ＋1＝C k 10(2x i)10－k x －2k ＝C k 10(2i)10－k x 5－52k . 因为系数为正实数，且k ∈{0,1,2，…，10}，因此k ＝2,6,10. 因此所求的项为T 3＝11 520，T 7＝3 360x －10，T11＝x－20.19．已知集合A＝{x|1＜log2x＜3，x∈N*}，B＝{4,5,6,7,8}．(1)从A∪B中掏出3个不同的元素组成三位数，那么能够组成多少个？(2)从集合A中掏出1个元素，从集合B中掏出3个元素，能够组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数？解：由1＜log 2x ＜3，得2＜x ＜8，又x ∈N *，因此x 为3,4,5,6,7，即A ＝{3,4,5,6,7}，因此A ∪B ＝{3,4,5,6,7,8}．(1)从A ∪B 中掏出3个不同的元素，能够组成A 36＝120个三位数． (2)假设从集合A 中取元素3，那么3不能作千位上的数字，有C 35·C 13·A 33＝180个知足题意的自然数；假设不从集合A 中取元素3，那么有C 14C 34A 44＝384个知足题意的自然数．因此，知足题意的自然数共有180＋384＝564个．20．7名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生4人，女生2人，在以下情形下，各有不同站法多少种？(1)两名女生必需相邻而站； (2)4名男生互不相邻；(3)假设4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站； (4)教师不站中间，女生不站两头．解：(1)两名女生站在一路有站法A 22种，视为一种元素与其余5人全排，有A 66种排法．故有不同站法A 22·A 66＝1 440种．(2)先站教师和女生，有站法A 33种，再在教师和女生站位的距离(含两头)处插入男生，每空一人，有插入方式A 44种．故共有不同站法A 33·A 44＝144种． (3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同．故共有不同站法2·A 77A 44＝420种．(4)中间和两头是特殊位置，可如下分类求解：①教师站两头之一，另一端由男生站，有A 12·A 14·A 55种站法，②两头全由男生站，教师站除两头和正中间的另外4个位置之一，有A 24·A 14·A 44种站法．故共有不同站法2 112种．。

(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( ) A ．角度和它的余弦值 B ．正方形边长和面积C ．正n 边形的边数和顶点角度之和D ．人的年龄和身高解析：选D.函数关系是确定性关系，故选D. 2．下列说法中，正确的是( )①回归方程适用于一切样本和总体；②回归方程一般都有时间性；③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③解析：选 B.①回归方程只适用于所研究的样本，故①错；④回归方程得到的预报值是可能取值的平均值，故④错；回归方程一般要受时间和范围的影响，故②③正确．3．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( ) A.29 B.118C.13D.23解析：选D.由已知P (A ·B )＝P (A )P (B )＝19，①又P (A ·B )＝P (A ·B )，即[1－P (A )]·P (B )＝P (A )[1－P (B )]，② 由①②解得P (A )＝P (B )＝13，所以P (A )＝23.4．对于线性相关系数r ，叙述正确的是( )A ．|r |∈(0，＋∞)，|r |越大，相关程度越大，反之相关程度越小B ．r ∈(－∞，＋∞)，r 越大，相关程度越大，反之相关程度越小C ．|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越大，|r |越接近于0，相关程度越小D ．以上说法都不对解析：选C.由r 的意义可知C 项正确．5．若回归直线方程中的回归系数b ＝0，则相关系数( ) A ．r ＝1 B ．r ＝－1 C ．r ＝0 D ．无法确定解析：选C.b ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2·∑i ＝1n(y i －y )2，若b ＝0，则r ＝0.6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为( )A.3 C ．3.5D ．4.5解析：选A.根据线性回归方程一定过定点(x ，y )，计算可知选A.7．下表给出5组数据(x ，y )，为选出4组数据使线性相关程度最大，且保留第1组数据(－5，－3)，则应去掉( )A.第2组 C ．第4组D ．第5组解析：选B.通过散点图选择，画出散点图如图所示：应除去第三组，对应点是(－3,4)．故选B.8．设有一个回归方程为y ^＝3－2x ，变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加2个单位 B ．y 平均减少3个单位 C ．y 平均减少2个单位D ．y 平均增加3个单位解析：选C.∵[3－2(x ＋1)]－(3－2x )＝－2，∴y 的值平均减少2个单位．9．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A.y ^＝－10x ＋200 B.y ^＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200D.y ^＝10x －200解析：选A.由于销售量y 与销售价格x 负相关，故排除B ，D.又当x ＝10时，A 中y ＝100，而C 中y ＝－300，C 不符合题意．故选A.10．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，那么下面说法不正确的是( )A ．直线y ^＝b ^x ＋a ^必经过点(x ，y )B ．直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点C ．直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率为∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2D ．直线y ^＝b ^x ＋a ^和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的误差∑i ＝1n[y i －(b ^x i ＋a ^)]2是该坐标平面上所有直线与这些点误差中最小的解析：选B.回归直线可能不经过任何一个样本点，但必经过样本点的中心．11．对四对变量Y 与x 进行线性相关检验，已知n 是观测值组数，r 是相关系数，且已知： ①n ＝7，r ＝0.9533；②n ＝15，r ＝0.3012；③n ＝17，r ＝0.4991；④n ＝3，r ＝0.9950.则变量Y 和x 具有线性相关关系的是( ) A ．①和② B ．①和③ C ．②和④D ．③和④解析：选B.由于小概率0.05与n －2在附表中分别查得：①r 0.05＝0.754；②r 0.05＝0.514；③r 0.05＝0.482；④r 0.05＝0.997.因此知①、③中相关系数比r 0.05大，变量Y 和x 具有线性相关关系．而②、④中的相关系数小于r 0.05，故变量Y 与x 不具有线性相关关系．12．冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所根据以上数据，则( )A ．含杂质的高低与设备改造有关B ．含杂质的高低与设备改造无关C ．设备是否改造决定含杂质的高低D ．以上答案都不对解析：选A.由公式χ2＝382×(37×202－121×22)158×224×59×323≈13.11.由于13.11＞6.635，所以有99%的把握认为含杂质的高低与设备改造是有关的，但是否改造设备这一行为并不对含杂质高低有决定性作用．二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)13．若回归直线方程为y ^＝0.5x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为________． 解析：y 的估计值为0.5×25－0.81＝11.69. 答案：11.6914．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：由题意知[0.254(x ＋1)＋0.321]－(0.254x ＋0.321)＝0.254. 答案：0.25415．为了判断高中一年级学生选修文科与选修理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表如下：已知P (χ2≥3.841)≈0.05，P (χ≥5.024)≈0.025. 根据表中数据，得到χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×30×20≈4.844.则认为选修文科与性别有关出错的可能性是________．解析：本题考查对假设检验含义的理解，由χ2≈4.844>3.841，得选修文科与性别无关是不成立的，即有关的概率是95%，出错的可能性是1－95%＝5%. 答案：5%16．已知一个线性回归方程为y ^＝1.5x ＋45，x i ∈{1,7,5,13,19}，则y ＝________. 解析：因为x ＝15×(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且y ^＝1.5x ＋45，所以y ＝1.5×9＋45＝58.5.答案：58.5三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况共进行了n ＝1700次观测，列联表如下：解：根据列联表中的数据得到χ2＝1700×(98×618－82×902)2180×1520×1000×700≈1.59≤3.841，∴没有充分的证据显示地下水位的变化与地震的发生相关． (2)求出回归直线方程． 解：(1)散点图如图．(2)x ＝44.5，∑i ＝110x 2i ＝20183，y ＝7.67，∑i ＝110x i y i ＝3481.32，则b ^＝3481.32－10×44.5×7.6720183－10×44.52≈0.179，a ^＝7.67－0.179×44.5＝－0.2955. ∴回归直线方程为y ^＝0.179x －0.2955.19．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116.(1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．解：(1)法一：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B . 由题意得(1－P (B ))2＝(1－p )2＝116， 解得p ＝34或p ＝54(舍去)，所以乙投球的命中率为34.法二：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B . 由题意得P (B )P (B )＝116于是P (B )＝14或P (B )＝－14(舍去)，故p ＝1－P (B )＝34，所以乙投球的命中率为34.(2)由题设知，P (A )＝12，P (A )＝12，故甲投球2次至少命中1次的概率为1－P (A A )＝34.20．一台机器由于使用时间较长(但还可以使用)，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：(1)对变量Y 与x (2)如果Y 与x 有线性相关关系，求回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，机器的运转速度应控制在什么范围内？解：(1)x ＝12.5, y ＝8.25，∑i ＝14x i y i ＝438, 4x y ＝412.5，∑i ＝14x 2i ＝660, ∑i ＝14y 2i ＝291.所以r ＝∑i ＝14x i y i －4x y(∑i ＝14x 2i －4x 2)(∑i ＝14y 2i －4y 2)＝438－412.5(660－625)×(291－272.25)＝25.5656.25≈25.5025.62≈0.995. 查临界值表：4－2＝2的r 0.05＝0.950.因为r >r 0.05，所以Y 与x 有线性相关关系． (2)由(1)可知Y 与x 有线性相关关系， 所以，b ^＝438－412.5660－4×12.52≈0.7286，a ^＝8.25－0.7286×12.5＝－0.8571.所以Y 对x 的回归直线方程为y ^＝0.7286x －0.8571. (3)要使y ^≤10，即0.7286x －0.8571≤10， 所以x ≤14.9013.所以机器的转速应控制在14.9013转/秒以下． 21．下表是一次试验的数据：根据上面数据分析：y 与1x 之间是否具有线性相关关系？如果有，求出回归方程．解：令u ＝1xu ＝1.324，y ＝16.414； ∑i ＝14u 2i ＝12＋…＋0.022＝1.0504，∑i ＝14y 2i ＝10.152＋…＋1.302＝117.2871，∑i ＝14u i y i ＝10.957，相关系数r ≈0.9999.由于r 与1非常接近，所以u 与y 有很强的线性相关关系． 由题知b ^≈9.01，a ^≈1.13，∴y ^＝1.13＋9.01u ，∴y ^＝1.13＋9.01x.22．针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和是否喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的16女生喜欢韩剧的人数占女生人数的23.(1)若在推断结论为错误的可能性为5%的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人；(2)若没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至多有多少人？ 解：设男生人数为x ，依题意可得2×2列联表如下：(1)若在推断结论为错误的可能性为5%的前提下认为回答结果的对错和性别有关，则χ2>3.841，由χ2＝3x 2(x 6×x 6－5x 6×x 3)2x ·x 2·x 2·x ＝38x >3.841，解得x >10.24， ∵x 2，x6为整数， ∴若在推断结论为错误的可能性为5%的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．(2)没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和性别有关，则χ2≤3.841， 由χ2＝3x 2(x 6×x 6－5x 6×x 3)2x ·x 2·x 2·x ＝38x ≤3.841，解得x ≤10.24， ∵x 2，x6为整数 ∴若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则男生至多有6人．。

高中数学必修4（Ｂ版）第一章水平测试（Ｂ）一、选择题1．已知角α是第三象限角，则角α-的终边在（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限答案：Ｂ2．tan300sin 450+的值为（ ）Ａ．1Ｂ．1-Ｃ．1Ｄ．1-答案：Ｃ3．已知函数()y f x =，其图象上每个点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的确2倍，然后再将整个图象沿x 轴向左平移π2个单位，得到的曲线与1sin 2y x =的图象相同，则()y f x =的表达式为（ ）Ａ．11πsin 222y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭Ｂ．1πsin 222y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Ｃ．11πsin 222y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Ｄ．1πsin 222y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭答案：Ｄ4．函数5sin 2π2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R 的图象的一条对称轴方程为（ ） Ａ．π2x =-Ｂ．π4x =-Ｃ．π8x =Ｄ．5π4x =答案：Ａ5．若函数()sin(2)f x x x ϕ=+∈R ，是偶函数，则ϕ的一个值为（ ） Ａ．πϕ=Ｂ．π2ϕ=-Ｃ．π2ϕ=-Ｄ．π8ϕ=-答案：Ｂ6．在下列函数中，同时满足①在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是增函数；②为奇函数；③以π为最小正周期的函数是（ ） Ａ．tan y x =Ｂ．cos y x =Ｃ．tan2x y =Ｄ．sin y x =答案：Ａ7．下列函数中，既为偶函数又在(0π)，上单调递增的是（ ）Ａ．tan y x = Ｂ．cos()y x =-Ｃ．πsin 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭Ｄ．1tan 2y x =答案：Ｃ 8．函数π2sin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，[0π]x ∈，为增函数的区间是（ ） Ａ．π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｂ．π7π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｃ．π5π36⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｄ．5ππ6⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 答案：Ｃ9．函数cos y x x =-的部分图象是下图中的（ ）答案：Ｄ10．已知1sin 3x =-，且ππ2x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，，则θ可以表示为（ ） Ａ．1arcsin3Ｂ．π1arcsin 23⎛⎫--- ⎪⎝⎭Ｃ．1πarcsin 3⎛⎫-+- ⎪⎝⎭Ｄ．1πarcsin 3⎛⎫--- ⎪⎝⎭答案：Ｄ 11．在区间3π3π22⎛⎫-⎪⎝⎭，内，函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点的个数为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｃ12．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的函数关系式为：π6sin 2π6S t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）Ａ．2πsＢ．πsＣ．0.5sＤ．1s答案：Ｄ 二、填空题13．已知()sin(π)cos(π)f x a x b x αβ=+++，其中a b αβ，，，都是非零整数，又知(2003)1f =-，则(2006)f =．答案：114．时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 ．答案：960-15．函数()y f x =的图象与直线x a =，x b =及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[]a b ，上的面积，已知函数sin y x =在π0n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为2()n n +∈N ，则函数sin 3y x=在20π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的面积为 ．答案：4316．已知cot csc 5θθ+=，则sin θ=．答案：513三、解答题17．设函数()sin(2)(π0)f x x ϕϕ=+-<<，()y f x =的图象的一条对称轴是π8x =． （1）求ϕ值；（2）求函数()y f x =的单调增区间．解：（1）π8x = 是函数()y f x =图象的对称轴，πsin 218ϕ⎛⎫∴⨯+=± ⎪⎝⎭，πππ+42k ϕ∴+=，k ∈Z ．π0ϕ-<< ，3π4ϕ∴=-．（2）由（1）知3π4ϕ=-，因此3sin 2π4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 由题意得π3π2πππ242k x k -2-2+≤≤，k ∈Z ． ∴函数3sin 2π4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为π5πππ88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，，．18．是否存在ππ22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，(0π)β∈，，使等式πs i n (5π)c o s 2αβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π)αβ=+同时成立？若存在，求出αβ，的值，若不存在，请说明理由．解：由条件得sin αβαβ⎧=⎪=①②， ，①2+②2得22sin 3cos 2αα+=． 21sin 2α∴=． 又ππ22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，π4α∴=或π4α=-． 将π4α=代入②，得cos β=． 又(0π)β∈，，π6β∴=．代入①可知符合． 将π4α=-代入②，得cos β=． 又(0π)β∈，，π6β∴=．代入①不符合． 综上所述，存在π4α=，π6β=满足条件．19．设322π2cos sin (2π)sin 32()22cos (π)cos()f θθθθθθ⎛⎫+-++- ⎪⎝⎭=+++-，求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值． 解：3222cos sin cos 3()22cos cos f θθθθθθ++-=++3222cos 1cos cos 322cos cos θθθθθ+-+-=++ 3222cos 2(cos cos )22cos cos θθθθθ---=++322(cos 1)cos (cos 1)22cos cos θθθθθ---=++ 222(cos 1)(cos cos 1)cos (cos 1)22cos cos θθθθθθθ-++--=++22(cos 1)(2cos cos 2)22cos cos θθθθθ-++=++cos 1θ=-．ππ11cos 113322f ⎛⎫∴=-=-=- ⎪⎝⎭．20．试判断函数1sin cos ()1cos sin x xf x x x+-=++在下列区间上的奇偶性．（1）π22x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，； （2）ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，． 解：（1）(1sin cos )(1cos sin )()(1cos sin )(1cos sin )x x x x f x x x x +-+-=+++-2221(cos sin )(1cos )sin x x x x--=+- 222sin cos 12cos cos sin x xx x x =++-sin 1cos x x=+． sin()sin ()1cos()1cos x xf x x x-∴-==-+-+．因此，在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内，()()f x f x -=-．∴此函数在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内是奇函数．（2）由于π2x =时，()1f x =，而π2f ⎛⎫- ⎪⎝⎭无意义，因此在ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上，函数不具有奇偶性．21．求函数π3tan 64x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭的周期和单调区间． 解：ππ3tan 3tan 6446x x y ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ4π14T ω∴===．由πππππ()2462x k k k -<-<+∈Z ，得4π8π4π4π()33k x k k -<<+∈Z ． π3tan 46x y ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭在4π8π4π4π()33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，内单调递减．故原函数的周期为4π，递减区间为4π8π4π4π()33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，． 22．某港口的水深y （米）是时间(024t t ≤≤，单位：小时）的函数，记作()y f t =，下面是该港口的水深表．经长时间的观察，()y f t =可以近似地看成函数sin y A t B ω=+的图象． （1）试根据数据表，求出函数sin y A t B ω=+的表达式；（2）一般情况下，船航行的船底同海底的距离不少于4.5米是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间能够安全进出港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略离港所用的时间）？ 解：（1）由数据表知10B =，21376A =-=，3A ∴=，2ππ126T ωω==∴=，． π3sin 106y t ∴=+．（2）由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船航行时水深11.5y ≥米，令π3sin 10.56y t =+11≥，得π1sin 62t ≥．解得1215()k t k k +12+∈Ζ≤≤．取0k =，则15t ≤≤；取1k =，则1317t ≤≤．故该船在1点到5点，或13点到17点能安全进出港口，而船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点进港，下午17点离港，在港内停留的时间最长为16小时．。

(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．0 B．2C．3 D．4解析：选B.原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真．故共有2个真命题．2．若命题p：x＝2且y＝3，则¬p为( )A．x≠2或y≠3 B．x≠2且y≠3C．x＝2或y≠3 D．x≠2或y＝3解析：选A.由于“且”的否定为“或”，所以¬p：x≠2或y≠3.故选A.3．命题“若a>b，则a－5>b－5”的逆否命题是( )A．若a<b，则a－5<b－ 5B．若a－5>b－5，则a>bC．若a≤b，则a－5≤b－ 5D．若a－5≤b－5，则a≤b解析：选D.逆否命题是把原命题条件的否定作为结论，把原命题结论的否定作为条件而构成的．4．下列语句中，命题和真命题的个数分别是( )①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？②一个数不是奇数就是偶数；③x＋y是有理数，则x、y也都是有理数；④求证：x∈R，方程x2＋x＋1＝0无实数根．A．3,1 B．2,2C．2,0 D．2,1解析：选C.命题是②、③，它们都是假命题，所以选C.5．下列全称命题中假命题的个数是( )①2x＋1是整数(x∈R) ②对所有的x∈R，x>3 ③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.对于①，当x＝14时，2x＋1＝32不是整数，假命题．对于②，当x＝0时，0<3，假命题．对于③，当x∈Z时，2x2是偶数，进而2x2＋1是奇数，所以①②是假命题，故选C.6．“x>0”是“3x2>0”成立的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件解析：选A.因为当x>0时，一定有3x2>0，但当3x2>0时，x<0也成立，因此，x>0是3x2>0成立的充分非必要条件．7．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解析：选B.对于A，正确；对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，错误；对于C，当x∈(0,1)时，lg x<0<1，正确；对于D，正确．8．(2011年高考大纲全国卷)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( ) A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3解析：选A.由a＞b＋1得a＞b＋1＞b，即a＞b；且由a＞b不能得出a＞b＋1.因此，使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1，故选A.9．f(x)、g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，则“f(x)、g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若f(x)、g(x)均为偶函数，则h(x)一定是偶函数，但h(x)是偶函数，并不能保证f(x)、g(x)均为偶函数，例如：f(x)＝x，g(x)＝－x，f(x)＋g(x)＝0是偶函数，但f(x)与g(x)均为奇函数．10．已知p：x＝1，¬q：x2＋8x－9＝0，则下列为真命题的是( )A．若p，则q B．若¬q，则pC．若q，则¬p D．若¬p，则q解析：选C.p：x＝1，q：x≠1且x≠－9，易判断A、B为假命题，∵x2＋8x－9≠0⇒x≠1，∴选项C正确．11．下列说法错误的是( )A．命题“若m>0，则方程x2＋3x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋3x－m＝0无实根，则m≤0”B．“x＝2”是“x2－5x＋6＝0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．若命题p：∃x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则¬p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0解析：选C.C项p∧q为假命题，则只要p、q中至少有一个为假即可．12．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝22，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，则下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且¬q”是假命题；③命题“¬p或q”是真命题；④命题“¬p或¬q”是假命题．其中正确的是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析：选D.∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)13．命题p：内接于圆的四边形的对角互补，则p的否命题是________，非p是________．答案：不内接于圆的四边形的对角不互补内接于圆的四边形的对角不互补14．用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π：________；(2)存在一个有理数x0，使得x20＝8：________.答案：(1)∀x∈{凸n边形}，x的外角和等于2π(2)∃x0∈Q，x20＝815．a＝3是“直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合”的________条件．解析：当a＝3时，l1：3x＋2y＋9＝0，l2：3x＋2y＋4＝0，∴l1∥l2.反之，若l1∥l2，则a(a－1)＝6，即a＝3或a＝－2，但a＝－2时，l1与l2重合．答案：充要16．给出下列命题：①已知a ＝(3,4)，b ＝(0，－1)，则a 在b 方向上的投影为－4；②函数y ＝tan(x ＋π3)的图象关于点(π6，0)成中心对称； ③若a ≠0，则a ·b ＝a ·c 是b ＝c 成立的必要不充分条件．其中正确命题的序号是________．(将所有正确命题的序号都填上)解析：①∵|a |＝5，|b |＝1，a ·b ＝－4，∴cos 〈a ，b 〉＝－45， ∴a 在b 方向上的投影为|a |·cos〈a ，b 〉＝－4，①正确．②当x ＝π6时，tan(x ＋π3)无意义， 由正切函数y ＝tan x 的图象的性质知，②正确．③当a ≠0，b ＝c 时，a ·b ＝a ·c 成立．(当a ≠0，a ·b ＝a ·c 时不一定有b ＝c .)∴③正确．答案：①②③三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知命题p ：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，则b ＝c .写出其否定和否命题，并说明真假．解：¬p ：∃非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，则b ≠c .¬p 为真命题．否命题：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )≠0，则b ≠c .否命题为真命题．18．指出下列命题中，p 是q 的什么条件：(1)p ：{x |x >－2或x <3}；q ：{x |x 2－x －6<0}；(2)p ：a 与b 都是奇数；q ：a ＋b 是偶数．解：(1)∵{x |x >－2或x <3}＝R ，{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，∴{x |x >－2或x <3}{x |－2<x <3}，而{x |－2<x <3}⇒{x |x >－2或x <3}．∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵a 、b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数，而a ＋b 为偶数a 、b 都是奇数，∴p 是q 的充分不必要条件．19．根据条件，判断“p ∨q ”，“p ∧q ”，“¬p ”的真假：(1)p ：9是144的约数，q ：9是225的约数；(2)p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R ，q ：不等式x 2－2x ＋1≤0的解集为∅.解：(1)p ∨q ：9是144或225的约数．p ∧q ：9是144与225的公约数．¬p ：9不是144的约数．∵p 真，q 真，∴p ∨q 为真，p ∧q 为真，而¬p 为假．(2)p ∨q ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R 或不等式x 2－2x ＋1≤0的解集为∅.p ∧q ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R 且不等式x 2－2x ＋1≤0的解集为∅.¬p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集不为R .∵p 假，q 假，∴p ∨q 为假，p ∧q 为假，而¬p 为真．20．已知p ：A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，q ：B ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，且x ∈A 是x ∈B 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：因为p ：A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，q ：B ＝{x |1<x <3}．又因为x ∈A 是x ∈B 的必要条件，所以q ⇒p ，即B ⊆A .所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1a ＋4≥3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，即－1≤a ≤5.∴实数a 的取值范围是{a |－1≤a ≤5}．21．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z .若p ∧q 和¬q 都是假命题，求x 的值．解：∵p ∧q 为假命题，∴p 、q 至少有一个为假．∵¬q 为假，∴q 为真，即p 假q 真，∴x 2－x <6且x ∈Z ，∴－2<x <3且x ∈Z ，即x ＝－1,0,1,2.22．π是圆周率，a 、b 、c 、d ∈Q ，已知命题p ：若a π＋b ＝c π＋d ，则a ＝c 且b ＝d .(1)写出p 的逆命题、否命题及逆否命题并判断真假；(2)判断“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的什么条件？解：(1)逆命题：若a ＝c 且b ＝d ，则a π＋b ＝c π＋d ，真命题．逆否命题：若a ≠c 或b ≠d ，则a π＋b ≠c π＋d ，真命题．否命题：若a π＋b ≠c π＋d ，则a ≠c 或b ≠d ，真命题．(2)“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的充要条件．充分性： ⎭⎪⎬⎪⎫a ＝c ⇒a π＝c π b ＝d ⇒a π＋b ＝c π＋d ；必要性：a π＋b ＝c π＋d ⇒(a －c )π＝d －b ，∵d －b ∈Q ，∴a －c ＝0，d －b ＝0，即a ＝c 且b ＝d .。

阶段性测试题 一(第一章基本知能检测)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．sin480°的值是( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32[答案] D[解析] sin480°＝sin(360°＋120°)＝sin120°＝32. 2．tan300°＋cot405°的值为( )A ．1＋ 3B ．1－3C ．－1－ 3D ．－1＋ 3 [答案] B[解析] tan300°＋cot405°＝tan[360°＋(－60°)]＋cot(360°＋45°)＝－tan60°＋cot45°＝1－ 3.3．下列命题中不正确的个数是( )①小于90°的角是锐角； ②终边不同的角的同名三角函数值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－x x 2＋y 2.A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] 对于①，负角小于90°，但不是锐角． π4和3π4终边不同，但正弦值相等，所以②错． sin π2＝1，但π2不是一、二象限角．是轴线角所以③错，对于④由定义cos α＝xx 2＋y 2，所以④也不对．4．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则|tan α|tan α＋sin α1－cos 2α的值等于( )A ．2或－2B ．－2或0C ．2或－2D ．0或2 [答案] B[解析] 由题意知α终边可在第二或第四象限．当α终边在第二象限时，tan α<0，sin α>0， ∴原式＝－1＋1＝0.当α终边在第四象限时，tan α<0，sin α<0， ∴原式＝－1＋(－1)＝－2.5．函数y ＝|sin(13x －π4)|的周期为( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π [答案] A[解析] ∵y ＝sinsin(13x －π4)的周期T ＝6π，∴y ＝|sin(13x －π4)|的周期为T ＝3π.6．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则该三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 [答案] A[解析] ∵sin α＋cos α＝23，∴1＋2sin αcos α＝49，∴sin αcos α＝－518<0，∴α为钝角，故选A.7．若0≤x ≤π2，sin x ·cos x ＝12，则11＋sin x ＋11＋cos x 的值是( )A ．39＋10 5B ．9－25C ．9＋215D ．4－2 2 [答案] D[解析] (sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x ·cos x ＝1＋1＝2， ∴sin x ＋cos x ＝±2，∵0≤x ≤π2，∴sin x >0，cos x >0，∴sin x ＋cos x ＝2，原式＝1＋cos x ＋1＋sin x (1＋sin x )(1＋cos x )＝2＋sin x ＋cos x1＋sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x＝2＋21＋2＋12＝4－2 2.8．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z [答案] C[解析] 令x ＋π4＝t ，则t 单调递增．由复合函数单调性知，只有tan t 单调递增才能使原函数单调递增，∴x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4 (k ∈Z )． 9．若把函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移π2个单位，向下平移1个单位，最后得到的图象正好与函数y ＝12sin x 的图象相同，则f (x )的解析式为( )A ．y ＝－12cos2x ＋1B ．y ＝12cos2x ＋1C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 ＋1D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1 [答案] A[解析]10．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数、又是周期函数，若f (x )最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－32[答案] C[解析] f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＋2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3 ＝sin π3＝32.11．若角α是三角形的一个内角，且sin α＝13，则α等于( )A ．π－arccos 223B ．arcsin 13C ．arcsin 13或π－arcsin 13D ．arccos 223或π－arccos 223[答案] C[解析] sin α＝13>0，α为三角形内角α∈(0，π)，当α为锐角时α＝arcsin 13，当α为钝角时α＝π－arcsin 13.12．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－22，1 C.⎣⎡⎦⎤－1，22 D.⎣⎡⎦⎤－1，－22 [答案] C[解析] 当sin x ≥cos x ，f (x )＝cos x ，当sin x <cos x ，f (x )＝sin x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x (sin x ≥cos x )sin x (sin x <cos x ).其图象如图实线表示．所以值域为⎣⎡⎦⎤－1，22，故选C. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．cos π3－tan 5π4＋34tan 2⎝⎛⎭⎫－π6＋sin 11π6＋cos 27π6＋sin 7π2＝________. [答案] －1[解析] 原式＝cos π3－tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4＋34tan 2π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos 2⎝⎛⎭⎫π＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫3π＋π2 ＝cos π3－tan π4＋34tan 2π6－sin π6＋cos 2π6－sin π2＝12－1＋34×13－12＋34－1＝－1. 14．函数y ＝cos x 的单调递减区间是________． [答案] ⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) [解析] 由cos x ≥0得，－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )，要求y ＝cos x 的单调递减区间，即求y ＝cos x 在定义域范围内的单调递减区间．故所求函数的单调递减区间为[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )．15．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象的一部分，则函数的解析式为________．[答案] y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋3 [解析] |A |＝5－12＝2，T ＝4⎝⎛⎭⎫π8＋π8＝π，B ＝3， ∴ω＝2，而2⎝⎛⎭⎫－π8＋φ＝0， ∴φ＝π4，∴A ＝－2，∴y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋3. 16．若函数y ＝f (x )同时具有性质： ①是周期函数且最小正周期为π； ②在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数； ③对任意x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＋x .则函数y ＝f (x )的解析式可以是________．(只需写出满足条件的函数y ＝f (x )的一个解析式即可)[答案] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 [解析] 由①知ω＝2.由③知x ＝π3为对称轴，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6(答案不惟一)． 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，3sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝ －2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋β，且0<α<π，0<β<π，求α，β的值． [解析] cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，即 sin α＝2sin β.①3sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋β，即 3cos α＝2cos β.②式①2＋②2得2＝sin 2α＋3cos 2α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝12.所以cos α＝±22.又因为α∈(0，π)， 所以α＝π4或α＝3π4.当α＝π4时，cos α＝22，cos β＝32cos α＝32.又β∈(0，π)，所以β＝π6.当α＝3π4时，cos α＝－22，cos β＝32cos α＝－32.又β∈(0，π)，所以β＝5π6.综上所述，α＝π4，β＝π6或α＝3π4，β＝5π6.18．(本小题满分12分)若集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .[解析] 解法一：可根据正弦函数图象和余弦函数图象，作出集合N 和集合M ，然后求M ∩N .首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y ＝12.如图．结合图象得集合M 、N 分别为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤56π. 解法二：如图所示，由单位圆中的三角函数线知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 由此可得M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 19．(本小题满分12分)图为函数y 1＝A sin(ωx ＋φ)的一段图象，已知A >0，ω>0，φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)写出函数y 1的解析式；(2)若函数y 2与y 1的图象关于直线x ＝2对称，求函数y 2的解析式．[解析] (1)由图知A ＝2，T ＝8，ω＝2πT ＝π4.当x ＝7时，有0＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4·7＋φ， ∴φ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ＝k π－7π4，k ∈Z . 又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， 所以φ＝π4.∴y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4； (2)设y 2图象上任一点P (x ，y )，点P 关于直线x ＝2的对称点为Q (x 0，y 0)， 即Q (4－x ，y )在y 1图象上， 有y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(4－x )＋π4， 即y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π＋π4－π4x ， 即y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4，∴y 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. 20．(本小题满分12分)说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象是由y ＝sin x 的图象怎样变换而来的．21．(本小题满分12分)某港口水的深度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：时)的函数，记作y ＝f (t )，下面是某日水深的数据：经长期观察，y ＝f (t )的曲线可以近似地看成函数y ＝A sin ωt ＋b 的图象.(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时被认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，问：它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?[解析] (1)由已知数据，易知y ＝f (t )的周期T ＝12.由已知，振幅A ＝3，b ＝10，所以y ＝3sin πt6＋10；(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(米)，∴3sin π6t ＋10≥11.5，即sinπt6≥12. 解得2k π＋π6≤πt 6≤2k π＋56π(k ∈Z )，∴12k ＋1≤t ≤12k ＋5(k ∈Z )， 在同一天内，取k ＝0或1， 所以1≤t ≤5或13≤t ≤17.故该船可在当日凌晨1时进港，下午17时离港，它在港内至多停留16小时． 22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝23sin(3ωx ＋π3)，其中ω>0.(1)若f (x ＋θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值； (2)若f (x )在(0，π3]上是增函数，求ω的最大值．[解析] (1)由函数解析式f (x )＝23sin(3ωx ＋π3)，ω>0整理可得f (x ＋θ)＝23sin[3ω(x ＋θ)＋π3]＝23sin(3ωx ＋3ωθ＋π3)，由f (x ＋θ)的周期为2π，根据周期公式2π＝2π3ω，且ω>0，得ω＝13，∴f (x ＋θ)＝23sin(x ＋θ＋π3)， ∵f (x ＋θ)为偶函数，定义域x ∈R 关于原点对称， 令g (x )＝f (x ＋θ)＝23sin(x ＋θ＋π3)，∴g (－x )＝g (x )，23sin(x ＋θ＋π3)＝23sin(－x ＋θ＋π3)，∴x ＋θ＋π3＝π－(－x ＋θ＋π3)＋2k π，k ∈Z ，∴θ＝k π＋π6，k ∈Z .∴ω＝13，θ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)∵ω>0，∴2k π－π2≤3ωx ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴2k π3ω－15π18ω≤x ≤π18ω＋2k π3ω，k ∈Z ，若f (x )在(0，π3]上是增函数，∴(0，π3]为函数f (x )的增区间的子区间，∴π18ω≥π3，∴ω≤16，∴ωmax ＝16.。

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第一章计数原理章末检测时间：120分钟满分： 150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有( ）A．24种B．18种C．12种D．6种解析：因为黄瓜必须种植,在余下的3种蔬菜品种中再选出两种进行排列，共有C2，3A错误!＝18种．故选B。

答案：B2．若A3，n＝12C错误!，则n等于（）A．8 B．5或6C．3或4 D．4解析：A3n＝n(n－1）(n－2),C错误!＝错误!n(n－1),∴n（n－1)（n－2)＝6n(n－1)，又n∈N＊,且n≥3，解得n＝8.答案：A3．关于（a－b）10的说法,错误的是( ）A．展开式中的二项式系数之和为1 024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小解析:由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大,所以是系数中最小的．答案:C4．某铁路所有车站共发行132种普通客票，则这段铁路共有车站数是（）A．8 B．122017-2018学年高中数学第一章计数原理章末检测新人教A版选修2-3C．16 D．24解析：∵A错误!＝n（n－1)＝132，∴n＝12（n＝－11舍去)．故选B。

第一章 章末检测 (B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)．1．函数f (x )＝x |x ＋a |＋b 是奇函数的充要条件是( )A ．ab ＝0B ．a ＋b ＝0C ．a ＝bD ．a 2＋b 2＝02．若“a ≥b ⇒c >d ”和“a <b ⇒e ≤f ”都是真命题，其逆命题都是假命题，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的( )A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3．在下列结论中，正确的是( )①“p ∧q ”为真是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；②“p ∧q ”为假是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；③“p ∨q ”为真是“綈p ”为假的必要不充分条件；④“綈p ”为真是“p ∧q ”为假的必要不充分条件．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④4．“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则( )A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假6．条件p ：x >1，y >1，条件q ：x ＋y >2，xy >1，则条件p 是条件q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．2x 2－5x －3<0的一个必要不充分条件是( )A ．－12<x <3B ．－12<x <0 C ．－3<x <12D ．－1<x <6 8．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件9．下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x >010．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题11．下列命题中为全称命题的是( )A．圆内接三角形中有等腰三角形B．存在一个实数与它的相反数的和不为0C．矩形都有外接圆D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行12．以下判断正确的是( )A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x∈N，x3>x”C．“a＝1”是“函数f(x)＝sin 2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．下列命题中________为真命题．(填序号)①“A∩B＝A”成立的必要条件是“A B”；②“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．14．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是__________________________________，这是__________命题．15．若“∀x∈R，x2－2x－m>0”是真命题，则实数m的取值范围是____________．16．给出下列四个命题：①∀x∈R，x2＋2>0；②∀x∈N，x4≥1；③∃x∈Z，x3<1；④∃x∈Q，x2＝3.其中正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．(1)矩形的对角线相等且互相平分；(2)正偶数不是质数．18．(12分)写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并指出所构成的这些命题的真假．(1)p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；(2)p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形．19.(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.20．(12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x .对于∀x ∈[0,1]，|f (x )|≤1成立，试求实数a 的取值范围．21.(12分)下列三个不等式：①2－x 2＋ax －254>1； ②(a －3)x 2＋(a －2)x －1>0；③a >x 2＋1x 2. 若其中至多有两个不等式的解集为空集，求实数a 的取值范围．22．(12分)已知命题p ：x 1和x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立；命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解；若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求a 的取值范围．第一章 常用逻辑用语(B)答案1．D [若a 2＋b 2＝0，即a ＝b ＝0时，f (－x )＝(－x )|－x ＋0|＋0＝－x |x |＝－f (x )，∴a 2＋b 2＝0是f (x )为奇函数的充分条件．又若f (x )为奇函数即f (－x )＝－x |(－x )＋a |＋b＝－(x |x ＋a |＋b )，则必有a ＝b ＝0，即a 2＋b 2＝0，∴a 2＋b 2＝0是f (x )为奇函数的必要条件．]2．B [由a ≥b ⇒c >d 可得c ≤d ⇒a <b ，又a <b ⇒e ≤f ，所以c ≤d ⇒e ≤f ；而e ≤f ⇒c ≤d 显然不成立，故“c ≤d ”是“e ≤f ”的充分非必要条件．]3．B4．B [∵a ＝1且b ＝2⇒a ＋b ＝3，∴a ＋b ≠3⇒a ≠1或b ≠2.]5．B [由“非p ”为真可得p 为假，若同时“p 或q ”为真，则可得q 必须为真．]6．A [由我们学习过的不等式的理论可得p ⇒q ，但x ＝100，y ＝0.1满足q ：x ＋y >2，xy >1，但不满足q ，故选项为A.]7．D [由2x 2－5x －3<0，解得－12<x <3，记为P ，则①P ⇔A ，②B P ，B 是P 的充分非必要条件，③，C 既不是P 的充分条件，也不是P 的必要条件，④P D ，D 是P 的必要不充分条件．]8．A [tan ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4＝tan π4＝1，所以充分； 但反之不成立，如tan 5π4＝1.] 9．C10．A [举例：a ＝1.2，b ＝0.3，则a ＋b ＝1.5<2，∴逆命题为假．]11．C12．D [∵“负数的平方是正数”即为∀x <0，则x 2>0，是全称命题，∴A 不正确；又∵对全称命题“∀x ∈N ，x 3>x ”的否定为“∃x ∈N ，x 3≤x ”，∴B 不正确；又∵f (x )＝sin 2ax ，当最小正周期T ＝π时，有2π|2a |＝π，∴|a |＝1⇒a ＝1. 故“a ＝1”是“函数f (x )sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件．]13．②④解析 ①A ∩B ＝A ⇒A ⊆B 但不能得出A B ，∴①不正确；②否命题为：“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”，是真命题；③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题； ④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题．14．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数 假15．(－∞，－1)解析 由Δ＝(－2)2－4×(－m )<0，得m <－1.16．①③17．解 (1)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形(真命题)． 否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分(真命题)． 逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形(真命题)．(2)逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数(假命题)．否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数(假命题)．逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数(假命题)．18．解 (1)p 或q ：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除．p 且q ：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除．非p ：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除．∵连续的三整数中有一个(或两个)是偶数，而另一个是3的倍数，∴p 真，q 真，∴p 或q 与p 且q 均为真，而非p 为假．(2)p 或q ：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形． p 且q ：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形． 非p ：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形．∵p 假q 假，∴p 或q 与p 且q 均为假，而非p 为真．19．证明 充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)∴(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.又ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，∴a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2>0. ∴a ＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1.必要性：∵a ＋b ＝1，即a ＋b －1＝0，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.20．解 |f (x )|≤1⇔－1≤f (x )≤1⇔－1≤ax 2＋x ≤1，x ∈[0,1]． ①当x ＝0时，a ≠0，①式显然成立；当x ∈(0,1]时，①式化为－1x 2－1x ≤a ≤1x 2－1x在x ∈(0,1]上恒成立． 设t ＝1x，则t ∈[1，＋∞)， 则有－t 2－t ≤a ≤t 2－t ，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧ a －t 2－t max ＝－a t 2－t min ＝0⇒－2≤a ≤0，又a ≠0，故－2≤a <0.综上，所求实数a 的取值范围是[－2,0)．21．解 对于①，2－x 2＋ax －254>1，即－x 2＋ax －254>0，故x 2－ax ＋254<0，Δ＝a 2－25，所以不等式的解集为空集，实数a 的取值范围是－5≤a ≤5.对于②，当a ＝3时，不等式的解集为{x |x >1}，不是空集；当a ≠3时，要使不等式(a －3)x 2＋(a －2)x －1>0的解集为空集．则⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，a －2＋a －，解得－22≤a ≤2 2. 对于③，因为x 2＋1x 2≥2x 2·1x2＝2， 当且仅当x 2＝1，即x ＝±1时取等号．所以，不等式a >x 2＋1x2的解集为空集时，a ≤2. 因此，当三个不等式的解集都为空集时，－22≤a ≤2.所以要使三个不等式至多有两个不等式的解集为空集，则实数a 的取值范围是{a|a<－22或a>2}．22．解∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，则x1＋x2＝m且x1x2＝－2，∴|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2＝m2＋8，当m∈[－1,1]时，|x1－x2|max＝3，由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立可得：a2－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1.所以命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解，当a>0时，显然有解；当a＝0时，2x－1>0有解；当a<0时，∵ax2＋2x－1>0有解，∴Δ＝4＋4a>0，∴－1<a<0，从而命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解时a>－1.又命题q为假命题，∴a≤－1.综上得，若p为真命题且q为假命题则a≤－1.。

第1章 相似三角形定理与圆幂定理章末综合测评 新人教B 版选修4-1(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若三角形的三条边长之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边长度为21cm ，则其余两边的长度之和为( )A.24cmB.21cmC.19cmD.9cm【解析】 设其余两边的长度分别为x cm ，y cm ，则217k ＝x 5k ＝y 3k ，解得x ＝15cm ，y ＝9cm.故x ＋y ＝24cm. 【答案】 A2.如图1所示，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，AE AC ＝23，则△ADE 与四边形DBCE 的面积之比为( )图1A.13B.23C.45D.49【解析】 ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE ∶S △ABC ＝(AE ∶AC )2＝4∶9.则△ADE 与四边形DBCE 的面积的比为4∶(9－4)＝4∶5. 【答案】 C3.如图2所示，梯形ABCD 的对角线交于点O ，则下列四个结论：图2①△AOB ∽△COD ； ②△AOD ∽△ACB ； ③S △DOC ∶S △AOD ＝CD ∶AB ； ④S △AOD ＝S △BOC .其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】 ∵DC ∥AB ，∴△AOB ∽△COD ，①正确.由①知，DC AB ＝OCOA.S △DOC ∶S △AOD ＝OC ∶OA ＝CD ∶AB ，③正确.∵S △ADC ＝S △BCD ，∴S △ADC －S △COD ＝S △BCD －S △COD ， ∴S △AOD ＝S △BOC ，④正确. 故①③④正确. 【答案】 C4.如图3所示，铁道口的栏杆短臂长1m ，长臂长16m ，当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高( ) 【导学号：61650022】图3A.11.25mB.6.6mC.8mD.10.5m【解析】 本题是一个实际问题，可抽象为如下数学问题：如图，等腰△AOC ∽等腰△BOD ，OA ＝1m ，OB ＝16m ，高CE ＝0.5m ，求高DF .由相似三角形的性质可得OA ∶OB ＝CE ∶DF ，即1∶16＝0.5∶DF ，解得DF ＝8m.【答案】 C5.如图4，⊙O 经过⊙O 1的圆心，∠ADB ＝α，∠ACB ＝β，则α与β之间的关系是( )图4A.β＝αB.β＝180°－2αC.β＝12(90°－α)D.β＝12(180°－α)【解析】 如右图所示，分别连接AO 1，BO 1. 根据圆内接四边形的性质定理，可得 ∠AO 1B ＋∠ADB ＝180°，∴∠AO 1B ＝180°－∠ADB ＝180°－α. ∵∠ACB ＝12∠AO 1B ，∴β＝12(180°－α)，故选D.【答案】 D6.已知圆的直径AB ＝13，C 为圆上一点，过C 作CD ⊥AB 于D (AD >BD )，若CD ＝6，则AD 的长为( )A.8B.9C.10D.11 【解析】 如图，连接AC ，CB .∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.设AD ＝x ，∵CD ⊥AB 于D ， ∴由射影定理得CD 2＝AD ·DB . 即62＝x (13－x )，∴x 2－13x ＋36＝0， 解得x 1＝4，x 2＝9. ∵AD >BD ，∴AD ＝9. 【答案】 B7.如图5所示，AB 为⊙O 的直径，P 为⊙O 外一点，PA 交⊙O 于D ，PB 交⊙O 于C ，连结BD 、AC 交于E ，下列关系式中不成立的是( )图5A.∠ADB ＝∠ACB ＝90°B.∠AED ＝∠PC.∠P ＝12∠AEBD.∠PAC ＝∠DBP【解析】 由直径AB 所对的圆周角是直角和A 正确.由P ，D ，E ，C 四点共圆知B 正确.又易知∠PAC ＝∠DBP ＝90°－∠P ，∴D 正确.【答案】 C8.如图6，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，直线MN 切⊙O 于点C ，BE ∥MN 交AC 于点E ，若AB ＝6，BC ＝4，则AE ＝( )图6A.103B.23C.1D.43【解析】 ∵MN 为⊙O 的切线， ∴∠BCM ＝∠A .∵MN ∥BE ，∴∠BCM ＝∠EBC ， ∴∠A ＝∠EBC . 又∠ACB ＝∠BCE ， ∴△ABC ∽△BEC .∴AB BE ＝BCEC. ∵AB ＝AC ，∴BE ＝BC .∴64＝4EC .∴EC ＝83，∴AE ＝6－83＝103.【答案】 A9.如图7，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD .如果∠DAC ＝78°，那么∠ADO 等于( )图7A.70°B.64°C.62°D.51°【解析】 ∵AB 、AC 为⊙O 的切线， ∴∠CAO ＝∠BAO ，又∵OB ＝BD ， ∴∠OAB ＝∠DAB ，∵∠DAC ＝78°， ∴∠OAD ＝23×78°＝52°，∴∠ADO ＝64°.【答案】 B10.如图8，已知AT 切⊙O 于T .若AT ＝6，AE ＝3，AD ＝4，DE ＝2，则BC ＝( )图8A.3B.4C.6D.8【解析】 ∵AT 为⊙O 的切线， ∴AT 2＝AD ·AC ，∵AT ＝6，AD ＝4，∴AC ＝9. ∵∠ADE ＝∠B ，∠EAD ＝∠CAB ， ∴△EAD ∽△CAB ， 即DE BC ＝AE AC ，∴BC ＝DE ·AC AE ＝2×93＝6. 【答案】 C11.在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，点O 在BC 上，以O 为圆心的⊙O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径为( )A.abB.a ＋bab C.ab a ＋bD.a ＋b2【解析】 如图所示，分别连接OE 、OF ，则四边形OEAF 是正方形，不妨设⊙O 的半径为r ，则由切线长定理，可得AE ＝AF ＝r ，∵BE ＝AB －AE ，CF ＝AC －AF ， ∴BE ＝a －r ，CF ＝b －r ， ∵△BEO 与△OFC 相似，∴BE OF ＝OECF，∴a －r r ＝rb －r ，解得r ＝aba ＋b. 【答案】 C12.如图9所示，PT 与⊙O 切于T ，CT 是⊙O 的直径，PBA 是割线，与⊙O 的交点是A 、B ，与直线CT 的交点D ，已知CD ＝2，AD ＝3，BD ＝4，那么PB ＝( )图9A.10B.20C.5D.8 5【解析】 根据相交弦定理，可得AD ·DB ＝CD ·DT ，∴3×4＝2DT ，解得DT ＝6，∴圆的半径r ＝4，AB ＝7，不妨设PB ＝x ，则PA ＝x ＋7，根据切割线定理，可得PT 2＝PB ·PA ，∴PT 2＝x ·(x ＋7)，在Rt △PTD 中，DT 2＋PT 2＝PD 2，∴36＋PT 2＝(x ＋4)2，∴36＋x (x ＋7)＝(x ＋4)2，解得x ＝20.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上) 13.如图10，在△ABC 中，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，AN ，CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是________.图10【解析】 ∵MN 是△ABC 的中位线，∴△MON ∽△COA ，且MN AC ＝12，∴S △MON ∶S △COA ＝(12)2＝14.【答案】 1∶414.D 、E 分别是△ABC 中AB 、AC 边上的点，且AD ∶DB ＝1∶2，AE ＝1.5，AC ＝4.5，若AM 交DE 于N ，交BC 于M ，则AN ∶NM ＝________.【解析】 如图，∵AD DB ＝12，∴AD AB ＝13.又AE AC ＝1.54.5＝13， ∴AD AB ＝AE AC. 又∠DAE ＝∠BAC ， ∴△ADE ∽△ABC .∴AN AM ＝AD AB ＝13，AN AN ＋MN ＝13， 化简得AN NM ＝12.【答案】 1215.(湖南高考)如图11，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________.图11【解析】 如图，连AE ，易知AE ∥BD ， ∴BD AE ＝DF AF，易知△ABO 是等边三角形，可得BD ＝1，AD ＝AF ＋FD ＝ 3. ∴AF ＝233.【答案】23316.如图12，P 是圆O 外的一点，PD 为切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，PF ＝6，PD ＝23，则∠DFP ＝________.图12【解析】 如图，连接OD .∵PD 为⊙O 的切线， ∴OD ⊥PD ，PD 2＝PE ·PF ， ∴PE ＝2.∴OP ＝4， ∴sin ∠POD ＝234＝32.∴∠POD ＝60°，∴∠DFP ＝30°. 【答案】 30°三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知如图13，正方形ABCD 的边长为4，P 为AB 上的一点，且AP ∶PB ＝1∶3，PQ ⊥PC ，试求PQ 的长.图13【解】 ∵PQ ⊥PC ， ∴∠APQ ＋∠BPC ＝90°， ∴∠APQ ＝∠BCP . ∴Rt △APQ ∽Rt △BCP ，∵AB ＝4，AP ∶PB ＝1∶3，∴PB ＝3，AP ＝1，∴AP BC ＝AQBP， 即AQ ＝AP ·BP BC ＝1×34＝34. ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2＝916＋1＝54. 18.(本小题满分12分)(全国卷Ⅰ)如图14，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE .图14(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形.证明(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由已知CB＝CE得∠CBE ＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图，设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上.又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形.19.(本小题满分12分)如图15所示，在△ABC中，D为BC边上的中点，延长AD到点E，使AD＝2DE，延长AB交CE的延长线于点P.求证：AP＝3AB.图15【证明】如图所示，过点E作EF∥BC交AP于点F，则△ABD∽△AFE.∵AD＝2DE，∴AD∶AE＝2∶3.∴AB∶AF＝BD∶EF＝AD∶AE＝2∶3.∵BD＝DC，∴BC∶EF＝4∶3.∵EF∥BC，∴△PEF∽△PCB.∴PF∶PB＝EF∶BC＝3∶4.∴PF∶FB＝3∶1，∵AB∶AF＝2∶3，∴AB∶BF＝2∶1.∴PF∶FB∶AB＝3∶1∶2.∴AP∶AB＝6∶2＝3∶1.即AP ＝3AB .20.(本小题满分12分)(全国卷Ⅲ)如图16，⊙O 中AB ︵的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点.图16(1)若∠PFB ＝2∠PCD ，求∠PCD 的大小；(2)若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG ⊥CD .【导学号：61650023】解：(1)连接PB ，BC ，则∠BFD ＝∠PBA ＋∠BPD ，∠PCD ＝∠PCB ＋∠BCD . 因为AP ︵＝BP ︵，所以∠PBA ＝∠PCB .又∠BPD ＝∠BCD ， 所以∠BFD ＝∠PCD . 又∠PFB ＋∠BFD ＝180°， ∠PFB ＝2∠PCD ，所以3∠PCD ＝180°，因此∠PCD ＝60°.(2)证明：因为∠PCD ＝∠BFD ，所以∠EFD ＋∠PCD ＝180°，由此知C ，D ，F ，E 四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过C ，D ，F ，E 四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上.又O 也在CD 的垂直平分线上，因此OG ⊥CD .21.(本小题满分12分)如图17所示，PA 为⊙O 的切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ，求AD ·AE 的值.图17【解】 如图所示，连接CE .∵PA 是⊙O 的切线，PBC 是⊙O 的割线，∴PA 2＝PB ·PC . 又PA ＝10，PB ＝5，∴PC ＝20，BC ＝15. ∵PA 切⊙O 于A ，∴∠PAB ＝∠ACP . 又∠P 为公共角，△PAB ∽△PCA ，11 ∴AB AC ＝PA PC ＝1020＝12. ∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225.∴AC ＝65，AB ＝35，又∠ABC ＝∠E ，∠CAE ＝∠EAB .∴△ACE ∽△ADB ，∴AB AE ＝AD AC，∴AD ·AE ＝AB ·AC ＝90.22.(本小题满分12分)(辽宁高考)如图18，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆.图18【证明】 (1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD .因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC ＝∠EBA .故∠ECD ＝∠EBA .所以CD ∥AB .(2)由(1)知，AE ＝BE .因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ，从而∠FED ＝∠GEC . 连接AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE ＝∠GBE .又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠FAB ＝∠GBA .所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°.故A ，B ，G ，F 四点共圆.。