分类加法计数原理和分步乘法计数原理练习题汇编

分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题一. 选择题1．一件工作能够用 2 种方法达成，有 3 人会用第 1 种方法达成，此外 5 人会用第 2 种方法达成，从中选出 1 人来达成这件工作，不一样选法的种数是（）Ａ． 8Ｂ．15Ｃ．16Ｄ．302．从甲地去乙地有 3 班火车，从乙地去丙地有 2 班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅游方式有（）Ａ． 5 种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种3．如下图为一电路图，从 A 到 B 共有（）条不一样的线路可通电（）Ａ． 1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．44．由数字 0，1， 2， 3， 4 可构成无重复数字的两位数的个数是（Ａ． 25Ｂ．20Ｃ．16Ｄ．12）5．李芳有 4 件不一样颜色的衬衣， 3 件不一样花式的裙子，还有两套不一样款式的连衣裙．“五一”节需选择一套服饰参加歌舞演出，则李芳有（）种不一样的选择方式Ａ． 24Ｂ． 14Ｃ． 10Ｄ． 96．设A，B是两个非空会合，定义，，，，，Q ，，，，则 P* QA B ( a b)| a A b B ，若 P 0 1 2 1 2 3 4中元素的个数是（）Ａ． 4Ｂ． 7Ｃ． 12Ｄ． 16二、填空题7．商铺里有 15 种上衣， 18 种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有种不一样的选法；要买上衣，裤子各一件，共有种不一样的选法．8．十字路口来往的车辆，假如不一样意回头，共有种行车路线．9．已知a0，3，4 ， b1，2，7，8，则方程 (x a) 2( y b)225表示不一样的圆的个数是．10．多项式(a1a2a3 )·(b1 b2 )( a4 a5 )·(b3b4 ) 睁开后共有项．11．如图，从 A→ C，有种不一样走法．12．将三封信投入 4 个邮箱，不一样的投法有种．三、解答题13．一个口袋内装有 5 个小球，另一个口袋内装有 4 个小球，全部这些小球的颜色互不相同．（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不一样的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不一样的取法？14．某校学生会由高一年级 5 人，高二年级 6 人，高三年级 4 人构成．（1）选此中 1 人为学生会主席，有多少种不一样的选法？（2）若每年级选 1 人为校学生会常委，有多少种不一样的选法？（3）若要选出不一样年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不一样的选法？15．已知会合M3， 2， 1，01，，2 ，P(a，b) 是平面上的点，a，b M ．（1）P(a，b )可表示平面上多少个不一样的点？（2）P(a，b )可表示多少个坐标轴上的点？。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题（有答案）选修2-3 1.1第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题 1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为( ) A．182 B．14 C．48 D．91 [答案] C [解析] 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48，故选C. 2．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( ) A．13种 B．16种 C．24种 D．48种 [答案] A [解析] 应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A. 3．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e，f，g}，从集合A到集合B的不同的映射个数是( ) A．24 B．81 C．6 D．64 [答案] D [解析] 由分步乘法计数原理得43＝64，故选D. 4．5本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送书方法( ) A．720种 B．7776种 C．360种 D．3888种 [答案] B [解析] 每本书有6种不同去向，5本书全部送完，这件事情才算完成．由乘法原理知不同送书方法有65＝7776种． 5．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( ) A．8种 B．9种 C．10种 D．11种 [答案] B [解析] 设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，用分类加法计数原理求解，共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．另外，本题还可让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法． 6．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为( ) A．2 000 B．4096 C．5 904 D．8 320 [答案] C [解析] 可从反面考虑，卡号后四位数不带“4”或“7”的共有8×8×8×8＝4 096个，所以符合题意的共有5 904个． 7．如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( ) A．26 B．24 C．20 D．19 [答案] D [解析] 因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19，故选D. 8．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( ) A．42 B．30 C．20 D．12 [答案] A [解析] 将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第1个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以不同的插法共6×7＝42(种)． 9．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为( ) A．34 B．43 C．12 D．24 [答案] C [解析] 显然(a，a)、(a，c)等均为A*B中的元素，确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步计数原理可知A*B中有3×4＝12个元素．故选C. 10．某医院研究所研制了5种消炎药X1、X2、X3、X4、X5和4种退烧药T1、T2、T3、T4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，又知X1、X2两种消炎药必须同时搭配使用，但X3和X4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有( ) A．16种 B．15种 C．14种 D．13种 [答案] C [解析] 解决这类问题应分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度思考问题．试验方案有：①消炎药为X1、X2，退烧药有4种选法；②消炎药为X3、X4，退烧药有3种选法；③消炎药为X3、X5，退烧药有3种选法；④消炎药为X4、X5，退烧药有4种选法，所以符合题意的选法有4＋3＋3＋4＝14(种)．二、填空题11．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有________个(用数字作答)． [答案] 24 [解析] 可以分三类情况讨论：①若末位数字为0，则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成12个五位数；②若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排在前3位，且0不是首位数字，则共有4个五位数；③若末位数字为4，则1,2为一组，且可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不是首位数字，则共有8个五位数，所以符合要求的五位数共有24个． 12．三边均为整数且最大边长为11的三角形有________个． [答案] 36 [解析] 另两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11.要构成三角形，需x＋y≥12.当y＝11时，x∈{1,2，…，11}，有11个三角形；当y＝10时，x∈{2,3，…，10}，有9个三角形……当y＝6时，x＝6，有1个三角形．所以满足条件的三角形有11＋9＋7＋5＋3＋1＝36(个)． 13．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(用数字作答) [答案] 48 [解析] 本题可分为两类完成：两老一新时，有3×2×2＝12(种)排法；两新一老时，有2×3×3×2＝36(种)排法，即共有48种排法． 14．已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能．在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有______种． [答案] 16 [解析] 五个开关全闭合有1种情况能使电路接通；四个开关闭合有5种情况能使电路接通；三个开关闭合有8种情况能使电路接通；两个开关闭合有2种情况能使电路接通；所以共有1＋5＋8＋2＝16种情况能使电路接通．三、解答题 15．有不同的红球8个，不同的白球7个． (1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？ (2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？ [解析] (1)由分类加法计数原理得从中任取一个球共有8＋7＝15种； (2)由分步乘法计数原理得从中任取两个球共有8×7＝56种． 16．若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数． [分析] 由题目可获取以下主要信息： (1)由x，y∈N*且x＋y≤6，知x，y的取值均不超过6； (2)(x，y)是有序数对．解答本题可按x(或y)的取值分类解决． [解析] 按x的取值时行分类：x＝1时，y＝1,2，…，5，共构成5个有序自然数对； x＝2时，y＝1,2，…，4，共构成4个有序自然数对；… x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对． [点评] 本题是分类计数原理的实际应用，首先考虑x，y的取值均为正整数，且其和不能超过6，同时注意(x，y)是有序数对，如(1,2)与(2,1)是不同的数对，故可按x或y 的取值进行分类解决．计数的关键是抓住完成一件事是分类还是分步，一个类别内又要分成几个步骤，一个步骤是否又会分若干类． 17．随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容．交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并有3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？ [解析] 将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的8个数字中选1个，放在第6位，有8种选法．根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26×25×24×10×9×8＝11 232 000(个)．同理，字母组合在右的牌照也有11 232 000个．所以，共能给11 232 000＋11 232 000＝22 464 000辆汽车上牌照． 18．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，b2}，其中ai，bj(i＝1,2,3,4，j＝1,2)均为实数． (1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？ (2)能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？ [解析] (1)因为集合A中的元素ai(i＝1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，可构成A→B的映射有N＝24＝16个． (2)在(1)的映射中，a1，a2，a3，a4均对应同一元素b1或b2的情形．此时构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个．所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有M＝16－2＝14个．。

【选修2-3】两种计数原理练习班级： 姓名：1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（ ）A ．30个B ．42个C ．36个D ．35个答案：Ｃ3.在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）A.24B.34C.43D.4答案：244．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（ ）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．设A ，B 是两个非空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（ ）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．166．三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ ）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ4．用1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（ ）（A ）265个 （B ）232个 （C ）128个 （D ）24个5．用1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（ ）（A ）265个 （B ）232个 （C ）128个 （D ）24个7. 整数630的正约数（包括1和630）共有 个8．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ．答案：2(1)n n -9．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则方程22()()25x a y b -+-=表示不同的圆的个数是 ．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有 项．答案：1011．如图，从A→C，有种不同走法．Array答案：612．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有种．答案：347．某班一天上午排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排一、四节，则不同排法的种数为___12_____．集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数为，真子集个数为，非空子集个数为，非空真子集个数为。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合练习一．选择题1．有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种2．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种B．4种C．9种D．20种3．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )A．7种 B．8种 C．6种 D．9种4．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种 B．315种 C．153种 D．143种5．高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16种B．18种C．37种D．48种6．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A．8 B．15 C．18 D．307．现有A B C D E、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( )A．120种B．5种C．35种D．53种8．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（）A．6 B．5 C．3 D．2 9．已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b∈∈，则方程22()()4x a y b-+-=可表示不同的圆的个数为（）A．7 B．9 C．12 D．1610．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243 B．252 C．261 D．279二．填空题11．要把四封信投入3个信箱，共有___________种不同的投法（用数值作答）12．5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________．13．从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.14．从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)；15．已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A，B，C，D，E这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）.16．某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________.17．联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种．三．解答题18．某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱?19．设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求:(1)P可以表示多少个平面上的不同的点? (2)P可以表示多少个第二象限的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?20．集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a，b，c}的不同分拆种数为多少？21．用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的（1）四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？22．用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.（1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法；（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.分类加法计数原理与分步乘法计数原理一．选择题1．（2019·湖南高二月考）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种【答案】C【解析】每位同学有5种选择，则不同的报名方法共有：5525⨯=种选法故选：C2．（2019·陕西高二期末（理））完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种B．4种C．9种D．20种【答案】C【解析】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择,故选C.3．（2019·重庆高二月考（理））小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )A．7种 B．8种C．6种 D．9种【答案】A【解析】要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”，分三类完成：买1张IC卡，买2张IC 卡，买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，即买一张20元面值的或买一张30元面值的；买2张IC卡有3种方法，即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张，买3张IC卡有2种方法，即买两张20元面值的和一张30元面值的或3张20元面值的，故共有2＋3＋2＝7(种)不同的买法．4．（2019·吉林省实验高二期末（理））有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种 B．315种 C．153种 D．143种【答案】D【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，选一本数学书一本英语书有5×7=35种，选一本语文书一本英语书有9×5=45种，∴共有63+45+35=143种选法.故选D.5．（2019·辽宁实验中学高三月考（理））高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16种B．18种C．37种D．48种【答案】C【解析】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案；则符合条件的有种，故选：C．6．（2019·陕西高二期末（理））某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A．8 B．15 C．18 D．30【答案】A【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法， 一是可以用分析法来证明，有3种方法， 根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果， 故选A ．7．（2019·湖北高二期末（理））现有A B C D E 、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( ) A ．120种 B ．5种C ．35种D ．53种【答案】D 【解析】A 同学可以参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,共有3种选择. 同理BCDE 四位同学也各有3种选择,乘法原理得到5333333⨯⨯⨯⨯= 答案为D8．（2020·全国高三专题练习）从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（ ） A ．6 B ．5C ．3D ．2【答案】B 【解析】选女同学有3种选法，选男同学有2种选法，所以共有5种选法. 故选：B.9．（2020·全国高三专题练习）已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b ∈∈，则方程22()()4x a y b -+-=可表示不同的圆的个数为（ ） A ．7 B ．9C ．12D ．16【答案】C【解析】得到圆的方程分两步：第一步：确定a 有3种选法；第二步：确定b 有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3×4＝12（个）. 故选：C.10．（2020·全国高三专题练习）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A ．243B ．252C ．261D ．279 【答案】B 【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252． 二．填空题11．（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）要把四封信投入3个信箱，共有___________种不同的投法（用数值作答） 【答案】81 【解析】把四封信投入3个信箱,每封信都有3种选择,根据分步计数原理共有43=81种不同的投法. 故答案为：8112．（2018·吉林高二期中（理））5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________． 【答案】243【解析】每个人都有3种选择方法，根据分步计算原理可知方法有53243=种.13．（2020·全国高三专题练习）从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.【答案】12 【解析】（1）分三类：一类是乘汽车有8种方法；一类是乘火车有2种方法；一类是乘飞机有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋2＋2＝12（种）方法. 故答案为：12.14．（2020·北京高二期末）从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)； 【答案】24 【解析】先选一名男生，有3种方法；再选一名女生，有4种方法，根据分步计数原理求得选取男、女生各1名，不同的安排方案种数为 4×3×2＝24， 故答案为： 24．15．（2019·江苏高二期末（理））已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A ，B ，C ，D ，E 这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）. 【答案】45 【解析】对于英文字母来说，共有5种可能，对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法原理，即可知道共有5945⨯=个不同的编号.16．（2019·河北高二期中（理））某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________. 【答案】54 【解析】甲有三个培训可选，甲乙不参加同一项，所以乙有二个培训可选，丙、丁各有三个培训可选，根据乘法计数原理，不同的报名方法种数为3233=54⨯⨯⨯.17．（2018·浙江高考模拟）联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种． 【答案】25.【解析】分析：按照每个国家都要有物资援助，分类型，求解即可． 详解：联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资， 每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助， 需要分为：粮食和药品都有，方法1种； 一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法； 一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法； 两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法； 两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法；一个国家粮食和药品，另两个国家各一种，有3×（2+2）=12种方法； 方法总数是：25． 故答案为：25． 三．解答题18．（2016·全国高二课时练习（理））18．（2016·全国高二课时练习（理））某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱? 【答案】8640元【解析】第一步：从01至10中选3个连续的号码有01,02,03；02,03,04；…；08,09,10，共8种不同的选法；第二步：同理，从11至20中选2个连续的自然数有9种不同的选法；第三步：从21至30中选一个号码有10种不同的选法；第四步：从31至36中选一个号码有6种不同的选法.共可组成8×9×10×6=4320注，所以需要花费2×4320=8640元钱.19．（2018·海林市朝鲜族中学高二单元测试）设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求:(1)P可以表示多少个平面上的不同的点?(2)P可以表示多少个第二象限的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?【答案】（1）36；（2）6；（3）30【解析】(1)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b也有6种方法，根据分步乘法计数原理共有6×6＝36(个)不同的点．(2)分两步，第一步确定a，有3种方法，第2步确定b，有2种方法，根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有3×2＝6(个)．(3)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b，有5种方法，根据分步乘法计数原理不在直线y＝x上的点共有6×5＝30(个)．20．（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a，b，c}的不同分拆种数为多少？【答案】27种【解析】当A1=φ时，A2=A，此时只有1种分拆；当A1为单元素集时，A2=∁A A1或A，此时A1有三种情况，故拆法为6种；当A1为双元素集时，如A1={a，b}，A2={c}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}，此时A1有三种情况，故拆法为12种；当A1为A时，A2可取A的任何子集，此时A2有8种情况，故拆法为8种；综上，共27种拆法．21．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的（1）四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？【答案】（1）120（个）；（2）96个；（3）36（个）.【解析】（1）可组成N=5×4×3×2=120（个）.（2）依次确定千、百、十、个位，有N=4×4×3×2=96（个）.（3）依次确定个位、首位、百位、十位，有N=2×3×3×2=36（个）22．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.（1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法；（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.【答案】（1）480（种）；（2）n=5.【解析】（1）对区域A,B,C,D按顺序着色，共有6×5×4×4=480（种）(2) 对区域A,B,C,D按顺序着色，依次有n种、n-1种、n-2种和n-3种，由分布乘法计数原理，不同的着色方法共有n(n-1)(n-2(n-3)=120,整理得(n2-3n)(n2-3n+2)=120，(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0n2-3n-10=0或n2-3n+12=0（舍去），解得n=5.。

1. 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1一. 选择题:1．某人射击8枪, 命中4枪, 恰好有3枪是连续命中的, 则符合条件的射击方式有（A）720种（B）480种（C）224种（D）20种2. 某商店有三层, 第一层有4个门, 从第一层到第二层有3个楼梯, 从第二层到第三层有2个通道, 某顾客从商店外直至三层, 不同的走法有（A）9种（B）10种（C）12种（D）24种3. 已知集合A={x| －2≤x≤10, x∈Z}, m, n∈A, 方程表示长轴在x轴上的椭圆, 则这样的椭圆共有（A）45个（B）55个（C）78个（D）91个4. 从4本不同的书中挑选3本, 分别给甲、乙、丙三名同学, 每人一本, 则不同的挑选方法有（A）12种（B）24种（C）64种（D）81种5. 汽车上有十名乘客, 沿途前方有五个车站, 乘客下车的不同方式可能有（）。

（A）510种（B）105种（C）50种（D）以上都不对二. 填空题:6. 十字路口来往的车辆, 若不允许车辆在路口回头往回开, 那么共有种不同的行车路线。

7. 某城市自行车有10000辆, 牌照号码从00001到10000, 则牌照中牌照号码由数字5的自行车共有辆。

8. 不计算乘积, 判断[(a1+a2)(b1+b2+b3)+c1+c2](d1+d2+d3)展开式中共有项。

9．某赛季足球比赛的计分规则是, 胜一场得3分, 平一场得1分, 负一场得0分, 一球队打完15场, 积33分, 若不考虑顺序, 则该队胜、平、负的情况可能有种。

10. 72含有个正约数, 在这些约数中, 正偶数有个。

11. （1）若x, y∈N且x+y≤6, 则有序自然数对(x, y)有个；（2）若1≤x≤4, 1≤y≤5, 以有序整数对(x, y)为坐标的点有个。

12. 由壹元币3张, 伍元币1张, 拾元币2张, 可以组成种不同的币值。

13．用五种不同的颜色给图中四个区域涂色, 如果每一区域涂一种颜色, 相邻的区域不能同色, 那末涂色的方法有种。

课时训练 1两个计数原理(1)一、1.王同学衣服上左、右各有一个口袋,左口袋装有30 英卡片 ,右口袋装有20 英卡片 , 些英卡片都互不相同,从两个口袋里任取一英卡片,不相同的取法有 ().A .50 种 B.30 种C.20 种D.600 种2.高二 (1)班有学生 56 人 ,其中男生 38 人,从中取 1 名男生和 1 名女生作代表 ,参加学校的社会,取代表的方法有().A .38 种 B.18 种C.684 种D.864 种3.有 4 件不相同款式的上衣和 3 条不相同色的 , 若是 1 条与 1 件上衣配成一套 ,不相同的配法种数().4.有不相同的球8 个,不相同的白球7 个 ,不相同的黄球6个 ,从中任取两个不相同色的球,不相同的取法有( ).A.336 种B.21 种C.104 种D.146 种5.某通公司推出一手机号,卡号的前七位数字固定 .从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000 个号 ,公司定 :凡卡号的后四位有数字“4”或“7”的一律作“ 惠卡”,号中“ 惠卡”的个数 ()A.2 000 096C.5 904 3206.将 1,2,3,⋯,9 9 个数字填在如的9 个空格中 ,要求每一行从左到右 ,每一列从上到下分依次增大.当3,4 固定在中的地址,填写空格的方法 ( ).A .6 种 B.12 种C.18 种D.24 种7.将、黄、、黑四种不相同的色涂入中的五个地域内,要求相的两个地域的色都不相同,不相同的涂色方法有().A.48 种B.72 种C.24 种D.27 种9.(2014·新Ⅰ理， 5)4 位同学各自在周六、周日两天中任一天参加公益活，周六、周日都有同学参加公益活的概率( )A．1B．38 8C．5D．78 810.有四位老在同一年的 4 个班中，各教一个班的数学，在数学考，要求每位老均不在本班考，安排考的方法种数是()A ． 8 种B． 9 种C． 10 种D． 11 种二、填空11.在一宝宝的“抓周” 式上 ,他眼前着 4 件学用品,3 件生活用品 ,4 件用品 ,若他只抓其中的一件物品 ,他抓的果有种.12.由数字 1,2,3,4,5 成的无重复数字的四位偶数的个数.13.(1)把 5 本全部借 3 名同学 ,不相同的借法共有___________种;(2)把 3 个人分配到某工厂的 5 个去参加社会践, 不相同的分配方案共有种 .14.已知直方程Ax ＋ By＝ 0，若从 0、 1、 2、 3、 5、7 6 个数字中每次取两个不相同的数作 A 、B 的，可表示不相同的直__________________条．三、解答15.某位工献血,在体合格的人中,O 型血的共有28 人 ,A 型血的共有 7 人,B 型血的共有 9 人 ,AB 型血的共有 3 人 .(1)从中任 1 人去献血 ,有多少种不相同的法?(2)从四种血型的人中各选 1 人去献血 ,有多少种不相同的选法 ?19.已知会集 A＝ {a1，a2，a3，a4} ，会集 B＝{ b1，b2} ，其中 a i、 b j (i＝ 1、2、3、 4， j＝ 1、 2)均为实数．(1)从会集 A 到会集 B 能组成多少个不相同的照射？16．若 x、y∈N*，且 x＋ y≤6，试求有序自然数对(x ，(2)能组成多少个以会集 A 为定义域，会集 B 为值域y) 的个数．的不相同函数？17.从 0,1,2,3 中选择三个数字组成无重复数字的三位偶数 ,满足条件的数字有多少个?18..(2014 福建漳州芗城中学高二下期末)某外语组 9人 ,每人最少会英语和日语中的一门,其中7 人会英语 ,3 人会日语,从中选出会英语和会日语的各一人,有?多少种不相同的选法。

分类加法与分步乘法计数原理1．一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有（）A. 8B.10C.15D.20【解析】任选一名同学参加学科竞赛不同的选派方法有3＋5＝8种．【答案】A2. 2016年猴年春节晚会上，某一舞蹈节目共有6名男演员，6名女演员．现选一男演员，一女演员作为领舞演员，不同的选法种数为（）A. 12B. 36C. 15D.21【答案】B3．(集宁一中2018学年高二)现有4件不同款式的上衣与3件不同颜色的长裤，如果一条长裤和一件上衣配成一套，则不同选法是()A．7 B．64 C．12 D．81【答案】C4．x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序正整数对(x，y)的个数为（）A. 15B. 27C. 30D.22【解析】按x的取值进行分类x＝1时，y＝1,2,3,4,5，共构成5个有序正整数对x＝2时，y＝1,2,3,4，共构成4个有序正整数对x＝3时，y＝1,2,3，共构成3个有序正整数对x＝4时，y＝1,2，共构成2个有序正整数对x＝5时，y＝1，共构成1个有序正整数对根据分类加法计数原理得共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序正整数对【答案】A5．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是()A．1 B．3 C．6 D．9【解析】这件事可分为两步完成，第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一个值y 有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点【答案】D6．将三封信投入4个邮箱，不同的投法为（）A．81 B．64 C．12 D.20【解析】第一封信有4种投法，第二封信也有4种投法，第三封信也有4种投法，由分步乘法计数原理知，共有不同投法4x4x4＝64种【答案】B7.满足a、b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14B．13C．12D．10【解析】当a＝0时，2x＋b＝0总有实数根，所以(a，b)的取值有4个．当a≠0时，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1．a＝－1时，b的取值有4个，a＝1时，b的取值有3个，a＝2时，b的取值有2个．故(a，b)的取法有9个．综上可知，(a，b)的取法共有4＋9＝13个【答案】B8.已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数为（）A．24B．13C．12D．10【解析】要想确定一个圆，需确定圆心的横坐标a，纵坐标b，圆的半径r，只有当三个量都确定时，这个圆才确定，故应该用分步乘法计数原理求解．圆方程由三个量a、b、r确定，a，b，r分别有3种、4种、2种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2＝24【答案】A9.从{－3，－2，－1,0,1,2,3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程y ＝ax2＋bx＋c的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有（）A．9B．10C．12D．15【解析】因为抛物线经过原点，所以c＝0，从而知c只有1种取值．又抛物线y＝ax2＋bx＋c顶点在第一象限，所以顶点坐标满足－b/2a>0，（4ac－b2）/4a>0，由c＝0，解得a<0，b>0，所以a∈{－3，－2，－1}，b∈{1,2,3}，这样要求的抛物线的条数可由a，b，c的取值来确定第一步确定a的值，有3种方法；第二步确定b的值，有3种方法；第三步确定c的值，有1种方法由分步乘法计数原理知，表示的不同的抛物线有N＝3×3×1＝9条【答案】A10.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有（）A．24B．36C．12D．10【解析】第1步,确定数b,有6种不同取值;第2步,确定数a,也有6种不同取值.根据分步乘法计数原理,知共有虚数6×6=36【答案】B。

1 2 4 5 3《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》基本练习一、 选择题1．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（ ）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．122.由0,1,2,3,...,9十个数码和一个虚数单位i 可以组成虚数的个数为（ ）A.100 B ．10 C ．9 D ．903.教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（ ）A ．10种B ．52种 Ｃ．25种 Ｄ．42种 4.三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ ）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．375.4名同学分别报名参加数、理、化竞赛，每人限报其中的1科，不同的报名方法种数 （ ）A ．24B ．4C ．34D ．436.甲、乙、丙三个电台，分别有3、4、4人，新年中彼此祝贺，每两个电台的人都彼此一一通话，那么他们一共要通话( )A ．40次B ．48次C ．36次D ．24次。

7.编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个小球放在如图所示五个盒子中。

要求每个盒子只能放一个小球，且A 不能放1，2号，B 必须放在与A 相邻的盒子中。

则不同的放法有（ ）种A.42B.36C.32D.308.一只青蛙在三角形ABC 的三个顶点之间跳动，若此青蛙从A 点起跳，跳4次后仍回到A 点，则此青蛙不同的跳法的种数是( )A ．4B ．5C ．6D ．79.一植物园参观路径如右图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有( )A ．6种B ．8种C ．36种D ．48种10.现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ）A.1024种B.1023种C.1536种D. 1535种11.平面内有7个点，其中有5个点在一条直线上，此外无三点共线，经过这7个点可连成不同直线12.某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________．13.电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产生 _________种不同的信息．14.在1,2,3,4,5这五个数字所组成的没有重复数字的三位数中，其各位数字之和为9的三位数共有________个．。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时作业一、选择题1．“完成一件事需要分成n个步骤，各个步骤分别有m1，m2，…，m n种方法，则完成这件事有多少种不同的方法？”要解决上述问题，应用的原理是()A．加法原理B．减法原理C．乘法原理D．除法原理解析：根据分步计数原理的概念可知，完成一件事需要分成n个步骤，各个步骤分别用m1，m2，…，m n种方法时，应用的是乘法原理，故选C.答案：C2．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数()A．7 B．64 C．12 D．81解析：根据题意，由于有四件不同颜色的上衣与三件不同颜色的长裤，所以先选择裤子有3种，再选择上衣有4种，根据分步乘法计数原理得到结论为3×4＝12，故答案为C.答案：C3．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有() A．8种B．15种C．35种D．53种解析：由题意得，每一封不同的电子邮件都有三种不同的投放方式，所以把5封电子邮件投入3个不同的邮箱，共有3×3×3×3×3＝35种不同的方法，故选C.答案：C4．如图1，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，则因电阻断路的可能性的种数为()图1A．12 B．28 C．54 D．63解析：每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a、b、c，支线a，b中至少有一个电阻断路情况都有22－1＝3种；支线c中至少有一个电阻断路的情况有23－1＝7种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯不亮的情况共有3×3×7＝63种情况．答案：D5.若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图2方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有()图2A．48种B．72种C．96种D．216种图3解析：方法一：按照以下顺序涂色，A：C14→B：C13→D：C12→C：C12→E：C11→F：C12，所以由乘法分步原理得总的方案数为C 14·C 13·C 12·C 12·C 12＝96种．所以总的方案数为96.方法二：以图形的对称中心为公共顶点的四个方格颜色各不相同，有A 44种涂色方案，A 、F 各有2种涂色方案，所以共有A 44×2×2＝96种方案．答案：C6．将标号分别为1，2，3，4，5的5个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放一球，则不同的方法种数为( )A ．150B ．180C ．240D ．540解析：①若5个小球分为1，1，3三部分后再放在3个不同的盒子内，则不同的方法为C 15C 14C 33A 22·A 33＝60种； ②若5个小球分为1，2，2三部分后再放在3个不同的盒子内，则不同的方法为C 15C 24C 22A 22·A 33＝90种．所以由分类加法计数原理可得不同的分法有60＋90＝150种．故选A.答案：A7．将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里，每个盒子内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同投放方法的种数为( )A ．6B ．10C ．20D ．30解析：根据题意，先在五个盒子中确定3个，使其编号与球的编号相同，有C 35＝10种情况，剩下有2个盒子，2个球；其编号与球的编号不同，只有1种情况；由分步计数原理，共有1×10＝10种，故选B.答案：B8．现有A ，B ，C ，D ，E ，F 六支足球队参加单循环比赛(即任意两支球队只踢一场比赛)，第一周的比赛中A ，B 各踢了3场， C ，D 各踢了4场， E 踢了2场，且A 队与C 队未踢过， B 队与D 队也未踢过，则在第一周的比赛中， F 队踢的比赛的场数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依据题意： C 踢了4场， A 队与C 队未踢过，则C 队参加的比赛为： BC ，CD ，CE ，CF ；D踢了4场，B队与D队也未踢过，则D队参加的比赛为：AD，CD，ED，FD；以上八场比赛中，CE，DE包含了E队参加的两场比赛，分析至此，C，D，E三队参加的比赛均已经确定，余下的比赛在A，B，F中进行，已经得到的八场比赛中，A，B各包含一场，则在A，B，F进行的比赛中，A，B各踢了2场，即余下的比赛为：AB，AF，BF，综上可得，第一周的比赛共11场：BC，CD，CE，CF，AD，CD，ED，FD，AB，AF，BF则F队踢的比赛的场数是4.本题选择D选项．答案：D9．某体育彩票规定：从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为()A．2 000元B．3 200 元C．1 800元D．2 100元解析：第1步从01到17中选3个连续号有15种选法；第2步从19到29中选2个连续号有10种选法；第3步从30到36中选1个号有7种选法．由分步计数原理可知：满足要求的注数共有15×10×7＝1 050注，故至少要花1 050×2＝2 100，故选D.答案：D10．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数，若按从小到大的顺序排列，则数字12 340应是第________个数．()A．6 B．9 C．10 D．8解析：由题意知本题是一个分类计数问题，首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有A33＝6个，前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列，共有A22＝2种结果，前三位是123，第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，所以数字12 340前面有6＋2＋1＝9个数字，数字本身就是第十个数字．答案：C11．已知6件不同产品中有2件是次品，现对它们依次进行测试，直至找出所有次品为止，若恰在第4次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是()A．24 B．72 C．96 D．360解析：根据题意，若恰在第4次测试后，就找出了所有次品，需要分2种情况讨论：①2件次品一件在前3次测试中找到，另一件在第四次找到，有C12×C24×A33＝72种情况，②前4次没有一次发现次品，即前4次都是正品，第四次测试后剩下2件就是次品，有A44＝24种情况，则不同测试方法数为72＋24＝96种；本题选择C选项．答案：C12．有六种不同颜色，给如图4的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，不同的涂色方法共有()图4A．4 320 B．2 880 C．1 440 D．720解析：第一个区域有6种不同的涂色方法，第二个区域有5种不同的涂色方法，第三个区域有4种不同的涂色方法，第四个区域有3种不同的涂色方法，第五个区域有4种不同的涂色方法，第六个区域有3种不同的涂色方法，根据乘法原理6×5×4×3×4×3＝4 320，故选A.答案：A二、填空题13．6名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有___________种．解析：根据分步乘法计数原理获得冠军的可能性有6×6×6＝216.答案：21614．今年暑假，小明一家准备从A城到G城自驾游，他规划了一个路线时间图如图6，箭头上的数字表示所需的时间(单位：小时)，那么从A城到G城所需的最短时间为__________小时．图6解析：由题意得，小明从A城到G城，可经过路径分别为：①A→B→E→F→G，共用2＋4＋3＋2＝11小时；②A→E→F→G，共用5＋3＋2＝10小时；③A→D→F→G，共用4＋4＋2＝10小时；④A→C→D→F→G，共用3＋2＋4＋2＝11小时，所以小明从A城到G城所需的最短时间为10个小时．答案：1015．建造一个花坛，花坛分为4个部分(如图5)．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有________种(以数字作答)．图5解析：先栽种第一块地，有4种情况，然后栽种第二块地，有3种情况，栽种第三块地的时候考虑1和3相同，以及1和3不同的两种情况，则有4×3×(1×3＋3×2)＝12×9＝108.答案：10816．编号为A，B，C，D，E的5个小球放在如图7所示的5个盒子里，要求每个盒子只能放1个小球，且A球不能放在1，2号盒子里，B球必须放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法有________种．图7解析：根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步计数原理得，此时有3×2×1＝6种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步计数原理得，此时有3×2×1＝6种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C、D、E，有3×2×1＝6种不同的放法，根据分步计数原理得，此时有A＝3×6＝18种不同的放法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．答案：30三、解答题17．从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：(1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？(2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？(3)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？解：(1)C25·C24＝60；(2)方法1：(间接法)在9人选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为：C49－C47＝91(种)；方法2：(直接法)甲在内乙不在内有C37种，乙在内甲不在内有C37种，甲、乙都在内有C27种，所以男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法共有：2C37＋C27＝91(种)．(3)方法1：(间接法)在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为：C49－C45－C44＝120(种)；方法2：(直接法)分别按含男1，2，3人分类，得到符合条件的选法总数为：C15C34＋C25C24＋C35C14＝120(种)．18．甲、乙两人从4门课程中各选2门，求(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不同的选法有多少种？解：(1)甲、乙两人从4门课程中各选2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C 24C 12C 12＝24种．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C 24C 24，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C 24种，因此满足条件的不同选法种数为C 24C 24－C 24＝30种．19．已知n ∈N *，n ≥2，k 1，k 2，k 3…k n ∈{－1，1}，A ＝{x |x ＝k 1·2＋k 2·22＋…＋k n ·2n ，x >0}，记A (n )为集合A 中所有元素之和．(1)求A (3)的值；(2)求A (n )(用n 表示)．解：(1)n ＝3，A 中元素有4个：2＋22＋23，－2＋22＋23，2－22＋23，－2－22＋23，其和为32，∴A (3)＝32.(2)先证明：2＋22＋…＋2n －1<2n (n ≥2，n ∈N *)，2＋22＋…＋2n －1＝2－2n 1－2＝2n －2<2n ， 要使集合A 中元素x >0，须使k n ＝1，从而k 1，k 2，k 3，…，k n －1可任意取1或－1，由乘法原理知：k i ＝1(1≤i ≤n －1)的x 值共有2n －2个，同样k i ＝－1(1≤i ≤n －1)的x 值也共有2n －2个，从而集合A 中元素除了2n 这一项外，其余项恰好正负相消，于是集合A 中所有元素的和为：2n ×2n －1＝22n －1，∴A (n )＝22n －1.。

1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一．选择题：1．已知x∈ {2 ， 3， 7} ，y∈ { － 31，－ 24， 4} ，则x·y能够表示不一样值的个数是（A）1+1=2（ B）1+1+1=3（ C）2×3=6（ D）3×3=92．某学生去书店买书，发现三本好书，决定起码买一本，则不一样的买法种数为（ A）3（B）6（C）7（D）93．某电话号码为168×××××，若后边的五个数字都由 6 或 8 构成，则这类电话号码一共有（ A）20个（B）25个（C）32个（D）60个4．此刻有 4 件不一样样式的上衣和三件不一样颜色的长裤，假如一条长裤和一件上衣配成一套，某人要配一套衣服，则不一样的选法数为（ A）7（B）64（C）12（D）815．如图：甲————乙，在少儿公园中有四个圆圈构成的连环道路，从甲走到乙，不一样的路线的走法有（）。

（ A）2种（B）8种（C）12种（D）16种6． 5 个高中应届毕业生报考 3 所要点院校，每人报且仅报一所院校，则不一样的报名方法共有（）种。

（ A）35（B）53（C）15（ D）6二．填空题：7． 5 名男生， 4 名女生，（ 1）若从中派一人出黑板报，共有种不一样的派法；（ 2）若男女各派一人共同写黑板报，共有种不一样的派法。

8．A={1 ，2， 3， 4} ，B={5， 6， 7} ，则从A到B的映照有个。

9．某镇有三家酒店，现有5 名游客住店，则不一样的投宿方法有种。

10．三位正整数所有印出，“ 0”这个铅字需要用个。

11．直线l上有 7 个点，直线上有 8 个点，则经过这些点中的两点最多有m条直线。

12．事件A发生致使事件 B 发生，若 A 发生的方式有m种， B 发生的方式有n 种，则 A、 B 接踵发生的方式有种。

参照答案基础卷1．D2．C3．C 4．C5．D6．A7． 9； 208． 819． 24310． 18011． 5812． mn专心爱心专心1。