中考数学二轮复习题精选第一辑

中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

【范例讲析】： 例1： 填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。

2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。

3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。

例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。

例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值 （ ） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。

4. 解方程： 211()65()11x x +=--对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法． 【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。

（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。

2025年中考数学二轮复习专题训练：辅助圆类型一、定点定长辅助圆例1.我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题：下面让我们一起尝试去解决：（1）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为．（2）如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝2，则线段CP的最小值是．（3）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF ＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则P A+PG的最小值为多少？变式1．已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，求PM的最小值.变式2．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，求点M运动的路径长.变式3．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF ＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，求P A+PG的最小值.变式4．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，求∠CBD．变式5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，点D在AC边上运动，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为C′，在点D从点C到点A的动过程中，q求点C′运动的路径长．类型二：定弦定角辅助圆例2．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，求线段CP的最小值．变式1．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB+∠PBA＝90°，则线段CP长的最小值为．变式2．如图，Rt△ABC中，AC＝2，∠CAB＝30°，点D和点B分别在线段AC的异侧，且∠ADC＝30°，连BD，求BD的最大值．变式4．[问题提出]我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？[初步思考]（1）如图1，AB是⊙O的弦，∠AOB＝100°，点P1、P2分别是优弧AB和劣弧AB上的点，则∠AP1B＝°，∠AP2B＝°；（2）如图2，AB是⊙O的弦，圆心角∠AOB＝m°（m＜180°），点P是⊙O上不与A、B重合的一点，求弦AB所对的圆周角∠APB的度数为；（用m 的代数式表示）[问题解决]（3）如图3，已知线段AB，点C在AB所在直线的上方，且∠ACB＝135°，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）；[实际应用]（4）如图4，在边长为6的等边三角形ABC中，点E、F分别是边AC、BC上的动点，连接AF、BE，交于点P，若始终保持AE＝CF，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是．类型三、四点共圆辅助圆例3．（1）[学习心得]小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C，D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）[问题解决]如图②，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A，B，C，D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．（3）[问题拓展]如图③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD 的长．变式1．如图，在△ABC中，∠ABD＝∠ACD＝60°，∠ADB＝90°﹣∠BDC．求证：△ABC是等腰三角形．变式2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．求证：（1）∠CFD＝∠CAD；（2）EG＜EF．变式3．已知，如图1，在平面直角坐标系中，△AOC为等边三角形，AD＝AO，连接OD 交AC于N，连接CD．（1）求∠ODC的度数；（2）证明：∠CAD＝2∠COD；（3）如图2，CA的延长线交y轴于P点，连接PD，延长OA交PD于K，连接KN，PK ＝7，求NK的值．变式4．如图，△AOB是等边三角形，以直线OA为x轴建立平面直角坐标系，若B（a，b）且a、b满足+（b﹣5）2＝0，D为y轴上一动点，以AD为边作等边△ADC，CB交y轴于E．（1）如图1，求A点坐标；（2）如图2，D为y轴正半轴上一点，C在第二象限，CE的延长线交x轴于M，当D 点在y轴正半轴上运动时，M点坐标是否变化，若不变，求M点的坐标，若变化，说明理由；（3）如图3，D在y轴负半轴上，以DA为边向右构造等边△DAC，CB交y轴于E点，如果D点在y轴负半轴上运动时，仍保持△DAC为等边三角形，连BE，试求CE，OD，AE三者的数量关系，并证明你的结论．。

2025年中考数学二轮复习专题：隐圆专题练习一、四点共圆1．如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．连接EF交线段CD于点O，若CO＝2，CD＝3，求EO •FO的值.2.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，△ADC沿直线CD翻折至△ABC所在平面内得△A′DC，AA′与CD交于点E．若，，求点A′到AB 的距离.3.如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∠BDC＝120°，连接BD，CD并延长分别交AC，AB于点E和点F，若DE＝6，，求BD的长.4.如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，求CB+CD的最大值.5．在△ABC中，∠B＝60°，∠BCA＝20°，∠DAC＝20°，∠BCA的平分线交AB于E，连DE，求∠BDE．6．如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，将该纸片翻折，使得点C落在边AB的F 处，折痕为DE，D，E分别在边BC，AC上，∠AFD＝∠DEF，若DE＝4，BD＝9，求DF及△ABC的面积．7．如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠EDF＝90°，连接AD，求AD的最小值．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，AE＝3，连接BE，以BE为斜边在BE的右侧作等腰直角△BDE，P是AE边上的一点，连接PC和CD，当∠PCD＝45°，求PE长．9．如图，点E在正方形ABCD的AD边上（不与点A，D重合），连接EC，将△DEC沿EC 翻折，使点D落在点F处，作射线DF交CE于点M，交AB于点N，连接BF．（1）求证：△ADN≌△DCE；（2）过点A作AH∥BF交射线DN于点H．①求∠AHF的度数；②直接写出线段AH与FM之间的数量关系．10．已知：AD，CE都是锐角△ABC的高．（1）如图1，求证：∠B＝∠CAD+∠ACE；（2）如图2，延长CE至F，使CF＝AB，连接AF，BF，过点C作CG⊥BF于点G，在CG上取点M，使CM＝BF，连接FM，求证：AF＝FM；（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AN⊥GM于点N，若AN＝14，CN﹣BG＝8，求线段MN的长．二、定点加定长1．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，则∠BAD＝．2．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BD＝AB，则∠BDC＝．3．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AC＝AD＝3，BC＝2，则BD＝．4．如图，已知：AB＝AC＝AD，∠BAC＝50°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝．5．如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是．6．如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为．7．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，M，N分别是AB边和BC的中点，若线段MN绕点M逆时针旋转得到线段MN′，连接BN′，如图2所示．（1）当线段MN绕点M逆时针旋转90°时，线段BN′的长＝cm；（2）如图3，连接DN′，则DN′长度的最小值是cm．8．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，求OM的最大值．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点E是AC的中点，点F 是斜边AB上任意一点，连接EF，将△AEF沿EF对折得到△DEF，连接DB，求△BDF 周长的最小值．三、定长加定角1．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2B．C．D．2．如图，矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP＝∠P AB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是矩形内部的一个动点，且∠APD＝90°，连接CP并延长交AB于E，则AE的最大值为．4．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O 上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为．5．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，求线段PD的最小值.6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB 上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，求线段CD的最小值.7．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则∠AFB＝，CF的最小值是．8．如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，求CF的最小值．四、对角互补1．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC 的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为．2．如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．（1）求证：BD＝CE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；（3）若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．3．如图，正方形ABCD中，AD＝1，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，求FM及tan∠MDE的值4.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，求的值。

二轮复习：图形变换（一）—折叠图形变换历来是中考必考点之一。

考试大纲要求：会运用图形变换的相关知识进行简单的作图与计算，并能解决相关动态需求数学问题，并能进行图案设计。

图形变换一般包括，折叠、平移、旋转、对称、位似和图形的探究。

在图形变换的考题中，最多题型是折叠、旋转。

在解决折叠问题时，应注意折叠前后相对应的边相等、角相等。

下面着重从三个方面进行讲述：三角形折折叠、特殊平行四边形折叠和在平面直角坐标系内的图形折叠三大类进行。

（一）三角形的折叠：题型1、一般三角形的折叠：1、如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β2、（2019•江西）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝°．3、如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为___．题型2、等腰或等边三角形的折叠：4、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tanC =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为_____.5、如图，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD=2，DB=4．现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 、F 分别在边AC 和BC 上，则CF CE=_______．（利用相似三角形周长的比等于相似比△AED 相似△DBF）题型3、直角三角形的折叠：6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，CD 是斜边AB 上的中线，将△BCD 沿直线CD 翻折至△ECD 的位置，连接AE ．若DE ∥AC ，计算AE 的长度等于．7、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（二）特殊平行四边形的折叠：题型1、矩形折叠：1、（求角）.如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点，已知,则的度为A. B. C. D.2、（求三角函数值）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB：AD=2：3，那么tan∠EFC值是．3、（求边长）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为4、（求折痕长）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为5、（求边的比）如下图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为。

初三数学二轮复习题精选（第一辑参考答案）1、C2、B3、A4、D5、B6、B7、18、9、88 10、（4，－3） 11、144/5 12、7或25 13、13 14、15、16、17、（1）由已知条件得：梯形周长为12，高4，面积为28。

过点F作FG⊥BC于G ，过点A作AK⊥BC于K，则可得：FG=12－x5×4∴S△BEF=12BE·FG=－25x2+245x（7≤x≤10）………………3′（2）存在………………1′由（1）得：－25x2+245x=14得x1=7 x2=5（不合舍去）∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7（3）不存在………………1′假设存在，显然是：S△BEF ∶SAFECD=1∶2，(BE+BF)∶(AF+AD+DC)=1∶2……1′则有－25x2+165x=283，整理得：3x2－24x+70=0，△=576－840<0∴不存在这样的实数x。

即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积。

同时分成1∶2的两部分………………2′18、⑴圣诞帽的侧面展开图是一个扇形，则扇形的弧长是16π，扇形的圆心角是69．⑵42633y x=-+，由y≥0，得x的最大值是132，最小值是0．显然，x、y必须取整数，才不会浪费纸张．由x=1时，223y=； x=2时，y=6； x=3时，143y=；x=4时，103y= x=5时，y=2； x=6时，23y=故A、B两种规格的纸片各买6张、2张或2张、5张时，才不会浪费纸张．⑶裁剪草图，如图．设相邻两个扇形的圆弧相交于点P，则PD=PC．过点P作DC的垂线PM交DC于M，则CM＝12DC＝12×79＝39.5 又CP=42,所以39.5 cos42CMMCPCP∠==，所以20MCP∠=＜（9069-），又42＋42<792，所以这样的裁剪草图是可行的．19、⑴ 建立如图所示的直角坐标系，则(5,53)D t t⑵ ①先画一个正方形,再利用位似图形找出点D,具体作法阅图②利用正三角形与矩形是轴对称图形或利用相似三角形的性质求得DG=480－10t，DE＝53t．然后由480－10t=53t ≈25.7(毫米)．所以当点D与点B的距离求出t＝+23等于10t =≈257毫米时，矩形是正方形．23+⑶ 当点F在第一象限时，这个平行四边形是CBDF；当点F在第二象限时，这个平行四边形是BCDF＂；当点F在第三象限时，这个平行四边形是CDBF＇．但平行四边形BCDF＂的面积、平行四边形CDBF＇的面积都与平行四边形CBDF的面积相等（等底等高）平行四边形CBDF的底BC=480，相应的高是53t，则面积是24003t；三角形ADC的底AD＝480－10t，相应的高是2403则面积是1203（480－10t）．由24003t＝1203（480－10t），解得t＝16所以当t＝16秒时，由点C、B、D、F组成的平行四边形的面积等于三角形ADC的面积．此时，点F 的坐标是F(560,803)，F '（400，-803） F"(-400, 803)20、（略）21、(1)解方程x 2-12x+27=0，得x 1=3，x 2=9.(2分)∵PO＜PC ，∴PO=3，∴P(0,-3).(3分)(2)∵PO=3，PC=9，∴OC=12.(4分)∴∠ABC=∠ACO. ∴.(5分)∴OA=9. ∴A(-9,0).(6分) ∴.(7分) (3)存在，直线PQ 的解析式为：或.(10分)22、 23、（）1y x =32 （）当时，；当时，2x y x y ====053413.（）菱形3S =503 （4）5S24、（1）解法一：∵一次函数y kx k =-4的图象与x 轴交于点A∴点A 的坐标为（4，0） ∵抛物线y ax bx c =++2经过O 、A 两点 ∴=+=c a b 01640， ∴=-b a 4………………1分解法二：∵一次函数y kx k =-4的图象与x 轴交于点A∴点A 的坐标为（4，0） ∵抛物线y ax bx c =++2经过O 、A 两点∴抛物线的对称轴为直线x =2 ∴=-=x b a 22 ∴=-b a 4…………1分（2）解：由抛物线的对称性可知，DO ＝DA ∴点O 在⊙D 上，且∠DOA ＝∠DAO 又由（1）知抛物线的解析式为y ax ax =-24 ∴点D 的坐标为（24，-a ） ①当a >0时，如图1，设⊙D 被x 轴分得的劣弧为OmA ⌒，它沿x 轴翻折后所得劣弧为OnA ⌒，显然OnA ⌒所在的圆与⊙D 关于x 轴对称，设它的圆心为D' ∴点D'与点D 也关于x 轴对称∵点O 在⊙D'上，且⊙D 与⊙D'相切∴点O 为切点………………2分∴D'O ⊥OD∴∠DOA ＝∠D'OA ＝45°∴△ADO 为等腰直角三角形 ∴=OD 22………………3分∴点D 的纵坐标为-2∴抛物线的解析式为y x x =-1222………………4分 ②当a <0时，同理可得：OD =22抛物线的解析式为y x x =-+1222………………5分 综上，⊙D 半径的长为22，抛物线的解析式为y x x =-1222或y x x =-+1222 （3）解答：抛物线在x 轴上方的部分上存在点P ，使得∠∠POA OBA =43 设点P 的坐标为（x ，y ），且y ＞0①当点P 在抛物线y x x =-1222上时（如图2） ∵点B 是⊙D 的优弧上的一点过点P 作PE ⊥x 轴于点E由y x y x x ==-⎧⎨⎪⎩⎪31222解得：x y x y 112242364300=+=+⎧⎨⎪⎩⎪==⎧⎨⎩，（舍去） ∴点P 的坐标为()423643++，………………7分②当点P 在抛物线y x x =-+1222上时（如图3） 同理可得，y x =3由y x y x x ==-+⎧⎨⎪⎩⎪31222解得：x y x y 112242364300=-=-+⎧⎨⎪⎩⎪==⎧⎨⎩，（舍去） ∴点P 的坐标为()423643--+，………………9分 综上，存在满足条件的点P ，点P 的坐标为()423643++，或()423643--+，。

将军饮马求最值1--对称内容导航方法点拨一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：（一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。

（2）点A、B在直线m异侧：解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’例题演练题组1：两定点一动点问题例1．已知，如图1，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，在抛物线第一象限的图象上存在一点B，x轴上存在一点C，使∠ACB＝90°，AC＝BC，抛物线的顶点为D．（1）求直线AB的解析式；（2）如图2，若点E是AB上一动点（点A、B除外），连接CE，OE，当EC+OE的值最小时，求△BDE的面积；【解答】解：（1）由题意A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）设C（m，0），则B（m，m+1），把点B坐标代入抛物线的解析式得到：m+1＝m2﹣2m﹣3，解得m＝4或﹣1（舍弃），∴C（4，0），B（4，5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，∴，∴直线AB的解析式为y＝x+1．（2）如图1中，如图作点C关于直线AB的对称点C′，连接OC′交直线AB于E，连接EC、EO，此时EO+EC的值最小．∵C（4，0），CC′关于直线AB对称，∴C′（﹣1，5），∴直线OC′的解析式为y＝﹣5x，由，解得，∴E（﹣，），∵D（1，﹣4），＝9×（4+）﹣×3×9﹣×（1+）（4+）﹣×（4+）（5﹣）＝12.5．∴S△BDE练1.1如图，已知抛物线y＝x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；【解答】解：（1）对于抛物线y＝x2+3x﹣8，令y＝0，得到x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，∴B（﹣8，0），A（2，0），令x＝0，得到y＝﹣8，∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8）＝S△FNB+S△FNC＝•FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣∴S△FBC2（m+4）2+32，∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F（﹣4，﹣12），∵抛物线的对称轴x＝﹣3，点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，设直线AF的解析式为y＝ax+b，则有，解得，∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4，∴P（﹣3，﹣10），∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．题组2：两动点一定点问题例2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝mx+n相交于点A（1，8）和点B（5，4）．（1）求抛物线和直线AB的解析式．（2）如图1，直线AB上方的抛物线上有一点P，过点P作PQ垂直于AB所在直线，垂足为Q，在x轴正半轴和y轴正半轴上分别有两个动点M和N，连接PN，NM，MB，BP．当线段PQ的长度最大时，求四边形PNMB周长的最小值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝mx+n相交于点A（1，8）和点B（5，4）．∴，，解得，，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+5x+4，直线y解析式为＝﹣x+9．（2）如图1中，设直线AB与x轴交于点F，与y轴交于点E，则E（0，9），F（9，0），连接PE、PF、PO．当PQ最大时，△PEF的面积最大，设P（m，﹣m2+5m+4）＝S△POE+S△POF﹣S△EOF＝×9×m+×9×（﹣m2+5m+4）﹣×9×9＝﹣（m﹣3）∵S△PEF2+18，∵﹣＜0，∴m＝3时，△PEF的面积最大值为18，此时P（3，10），作点P关于y轴的对称点P′，B关于x轴的对称点B′，连接P′B，与y轴交于点N，与x轴交于点M，此时四边形PNMB的周长最小．理由：四边形PNMB周长＝PN+MN+MB+PB＝P′N+MN+MB′+PB＝P′B′+PB，∵PB是定长，两点之间线段最短，∴此时四边形PNMB周长最小．∵P′（﹣3，10），B′（5，﹣4），∴P′B′＝＝2，∵PB＝＝2，∴四边形PNMB周长的最小值为2+2．练2.1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3，分别交x轴于A、B两点，交y 轴交于C点，顶点为D．（1）如图1，连接AD，R是抛物线对称轴上的一点，当AR⊥AD时，求点R的坐标；（2）在（1）的条件下．在直线AR上方，对称轴左侧的抛物线上找一点P，过P作PQ⊥x轴，交直线AR于点Q，点M是线段PQ的中点，过点M作MN∥AR交抛物线对称轴于点N，当平行四边形MNRQ周长最大时，在抛物线对称轴上找一点E，y轴上找一点F，使得PE+EF+FA最小，并求此时点E、F的坐标．【解答】解：（1）对于抛物线y＝﹣x2+x+3，令y＝0，得﹣x2+x+3＝0，解得x＝﹣2或6，∴B（﹣2，0），A（6，0），∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴抛物线顶点D坐标为（2，4），对称轴x＝2，设直线AD的解析式为y＝kx+b则有，解得，∴直线AD的解析式为y＝﹣x+6，∵AR⊥AD，∴直线AR的解析式为y＝x﹣2，∴点R坐标（2，﹣）．（2）如图1中，设P（m，﹣m2+m+3），则Q（m，m﹣2），M（m，﹣m2+m+），由（1）可知tan∠DAB＝＝，∴∠DAB＝60°，∵∠DAQ＝90°，∴∠BAQ＝30°，∴平行四边形MNRQ周长＝2（﹣m2+m+﹣m+2）+2（2﹣m）÷cos30°＝﹣m2﹣m+，∴m＝﹣时，平行四边形MNRQ周长最大，此时P（﹣，），如图2中，点P关于对称轴的对称点为M，点M关于y轴的对称点为N，连接AN交y轴于F，连接FM交对称轴于E，此时PE+EF+AF最小．理由：PE+EF+AF＝EM+FE+AF＝FM+AF＝FN+AF＝AN，根据两点之间线段最短，可知此时PE+EF+AF最小．∵M（，），N（﹣，），∴直线AN的解析式为y＝﹣x+，∴点F坐标（0，），∴直线FM的解析式为y＝x+，∴点E坐标（2，）．题组3：线段之差的最大值问题例3．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象交于A，B两点，点C是二次函数图象的顶点，P是x轴下方线段AB上一点，过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为E，平行线交直线BC于F．（1）当△PEF面积最大时，在x轴上找一点H，使|BH﹣PH|的值最大，求点H的坐标和|BH﹣PH|的最大值；【解答】解：（1）设点P（m，﹣m+1），则点E（m，0），联立两个函数表达式得，解得，即点A、B的坐标分别为（0，1）、（6，﹣5），由抛物线的表达式知，点C（2，3），由B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣2x+7，当y＝﹣2x+7＝﹣m+1时，x＝，故点F（，﹣m+1），△PEF面积＝×PE•PF＝×（m﹣1）（﹣m）＝﹣（m﹣1）（m﹣6），∵﹣＜0，故△PEF面积有最大值，此时m＝（1+6）＝，故点P（，﹣），当P、B、H三点共线时，|BH﹣PH|的值最大，即点H为直线AB与x轴的交点，故点H（1，0），则|BH﹣PH|的最大值＝BH﹣PH＝BP＝＝；练3.1已知抛物线ω：y＝﹣x2﹣x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D点为抛物线的顶点，E为抛物线上一点，点E的横坐标为﹣5．（1）如图1，连接AD、OD、AE、OE，求四边形AEOD的面积．（2）如图2，连接AE，以AB，AE为边作▱AEFB，将抛物线w与▱AEFB一起先向右平移6个单位长度，再向上平移m个单位长度，得到抛物线w′和▱A′E′F′B′，在向上平移的过程中▱AEFB与▱A′E′F′B′重叠部分的面积为S，当S取得最大值时，E′F′与BF交于点Q，在直线A′B′上有两动点P，H，且PH＝2（P在H的右边），当|PQ﹣HC|取得最大值时，求点P的坐标．【解答】解：（1）令﹣x2﹣x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0）当x＝﹣＝﹣1时，y＝，即D（﹣1，），当x＝﹣5时，y＝，即E（﹣5，﹣）＝S△AOE+S△AOD＝•AD•（y D﹣y E）＝×4×（）＝16；∴S四边形AEOD（2）如图1，延长FE′交x轴于点H，由平移可知：F（1，），FH⊥x轴，FE′＝m，FH＝，∴BH＝1，△FHB∽FE′Q，∴＝，即＝，∴E′Q＝，由平移可知，重叠部分四边形为平行四边形，S重叠四边形＝E′Q•HE′＝（）＝m2+m，当m＝＝时，平行四边形的面积有最大值，此时y Q＝﹣当y＝﹣时，即Q是线段FB的中，∴x Q＝＝，即Q（，）．如图2，作点Q关于直线A′B′的对称点Q′，将线段CH向右平移两个单位使点H与点P重合，点C的对应点为C′，延长Q′C′交直线A′B′于点N，当P在N点时，|PQ﹣HC|取得最大值．则＝，则Q′（，），C′（2，4），y Q′C′＝﹣，当y＝时，解得x＝，所以当P（，）时，|PQ﹣HC|取得最大值；练3.2如图1，二次函数y＝的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C，直线l是它的对称轴．（1）求直线l与直线AC交点的坐标；（2）如图2，在直线AC上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，与直线AC交于点E，过点P作直线AC的垂线，垂足为点F，当△PEF的周长最大时，在对称轴l 上找点M，使得|BM﹣PM|的值最大，求出|BM﹣PM|的最大值，并求出对应的点M的坐标；【解答】解：（1）在y＝中，令y＝0，则＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1∴A（﹣4，0），B（1，0）令x＝0，得y＝，∴C（0，）设直线AC解析式为y＝kx+b，则，解得∴直线AC解析式为y＝x+，∵直线l解析式为x＝﹣，将x＝﹣代入y＝x+中，得y＝×（﹣）+＝，∴直线l与直线AC交点的坐标为（﹣，）；（2）∵PD⊥OA，PF⊥AC∴∠EDA＝∠PFE＝90°；∵∠PEF＝∠AED∴∠EAD＝∠EPF∵OC＝，OA＝4∴tan∠EPF＝tan∠EAD＝；∴∠EPF＝30°∴sin∠EPF＝，cos∠EPF＝，∴EG＝PE，PF＝PE，∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PE∴当PE取得最大值时，△PEF的周长最大；设点P（t，﹣t2﹣t+），则点E（t，t+），∵点P在点E的上方，∴PE＝﹣t2﹣t+﹣（t+）＝﹣t2﹣t＝﹣（t+2）2+，∴当t＝﹣2时，PE取得最大值，此时△PEF的周长取得最大值；∴P（﹣2，2），E（﹣2，）；∵B（1，0）与A（﹣4，0）关于直线l对称，连接AM，AP，∴AM＝BM|BM﹣PM|的值最大，即|AM﹣PM|的值最大，当P、M、A三点共线时，|AM﹣PM|＝AP最大，∵AP＝＝＝4∴|BM﹣PM|的最大值＝4；设直线AP解析式为y＝k′x+b′，将A（﹣4，0），P（﹣2，2）代入得解得：∴直线AP解析式为y＝x+4，令x＝﹣，得y＝，∴M（﹣，）；练3.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D．（1）求直线BC的解析式；（2）点E（m，0），F（m+2，0）为x轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线于点E′，F′，交BC于点M，N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使|RF′﹣RE′|的值最大，请求出R点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值；【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解方程得：x＝6或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（6，0），又y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，又顶点C（2，4），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，代入B、C两点坐标得：，解得：，∴y＝﹣x+6；（2）如图1，∵点E（m，0），F（m+2，0），∴E′（m，﹣m2+m+3），F′（m+2，﹣m2+4），∴E′M＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+6）＝﹣m2+2m﹣3，F′N＝﹣m2+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+m，∴E′M+F′N＝﹣m2+2m﹣3+（﹣m2+m）＝﹣m2+3m﹣3，当m＝﹣＝3时，E′M+F′N的值最大，∴此时，E′（3，）F′（5，），∴直线E′F′的解析式为：y＝﹣x+，∴R（0，），根据勾股定理可得：RF′＝10，RE′＝6，∴|RF′﹣RE′|的值最大值是4；。

中考数学二轮专题复习(fùxí)卷数与代数一、填空题〔每一小题3分，一共36分〕1、2021的相反数是.2、分解因式：＝.3、在等式3×□－2×□＝15的两个方格内分别填入一个数使等式成立，且所填的这两个数互为相反数，那么第一个方格内应填的数是.4、方程的根是.5、请你写出一个4到5之间的无理数.6、在数轴上，与表示－1的点间隔为3的点所表示的数是.7、假设代数式的值是8，那么代数式的值是.8、如图，小红房间的窗户由6个一样的小正方形组成，上面的装饰物是两个四分之一圆，用含的代数式表示窗户中能射进阳光局部的面积是.9、将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线的顶点坐标为.10、一次函数的图象不经过第象限.11、等腰三角形的周长为10，腰长为，底边长为，那么与之间的函数关系式是，自变量x的取值范围是.12、根据(gēnjù)指令〔，x〕〔其中s≥0，0°≤x≤180°〕，机器人在平面上能完成以下动作：先原地逆时针转角度x，再朝其面对的方向沿直线行走间隔s.现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向.〔1〕假设给机器人下了一个指令〔10，30°〕，那么机器人应移到的点的坐标是.〔2〕假设要让机器人移到点〔－6，6〕，那么应下指令.二、选择题〔单项选择，每一小题3分，一共18分〕.13、以下计算，结果正确的选项是〔〕.〔A〕；〔B〕〔C〕；(D) . 14、假如要使不等式组有解，那么m的取值范围是〔〕. （A）m＞8；〔B〕m≥8；〔C〕m＜8；〔D〕m≤8.15、抛物线的局部图象如下图，假设y<0，那么x的取值范围是〔〕.〔A〕－1＜x＜3；〔B〕－1＜x＜4；〔C〕x＜－1或者x＞4；〔D〕x＜－1或者x＞3.16、从一张正方形的纸片上，沿一条(yī tiáo)边剪下宽为2cm的长方形纸条，剩下的纸片为48 cm2，那么原来这张纸片的面积是〔〕〔A〕64cm2；〔B〕100 cm2；〔C〕121 cm2；〔D〕144 cm2.17、在“人与自然〞知识竞赛中，一共有25道选择题。

—旋转1.如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE ∆的面积．解析：显然90BOA BEA ∠=∠=︒，所以90OBA OAB EBA EAB ∠+∠=∠+∠=︒，所以OBA EBA EAB OAB ∠-∠=∠-∠，所以OBE OAE ∠=∠，则逆时针旋转OEA ∆，旋转90︒，则OA 与OB 重合，E 落在BE 上的E '处，且BOE AOE '∠=∠,OE OE '=,4BE EA '==,因为90BOE E OA ''∠+∠=︒,所以90OAE AOE '∠+∠=︒,所以'OEE ∆是等腰直角三角形．且'532EE =-=，作OF BE ⊥，所以112OF EE '==． 所以2115 2.52OEB cm S ∆=⨯⨯=．2.如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD 的面积是16，求DP 的长．解析：AD DC =∴把DAP 绕D 点逆时针旋转90︒，使DC 与AD 重合，则90PDE ADC ∠=∠=︒,90DPB ∠=︒,∴四边形DPBE 为矩形. DP 旋转至DE ，则DP DE =，∴矩形DPBE 为正方形，且==16DPBE ABCD S S 正方形四边形，∴4DP =．3.如图，正方形ABCD 中，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．P DC B A A BC D E P答案：见解析解析：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =.将ADF 绕A 点顺时针旋转至ABM ,使AD 与AB 重合.则BM DF =，且DAF BAM ∠=∠，M AFD ∠=∠.∵DC AB ，∴AFD FAB ∠=∠.∵BAF EAF BAE ∠=∠+∠，且=EAF DAF BAM ∠∠=∠,∴BAF BAM BAE EAM AFD M ∠=∠+∠=∠=∠=∠.故AE EM BE BM BE DF ==+=+.4.如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ．求证：AF DF BE =+．F E DCB A F E DM CB A答案：见解析解析：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =. 将ADF 绕A 点顺时针旋转至ABM ,使AD 与AB 重合.则BM DF =，且34∠=∠，MAFD ∠=∠. ∵AE 平分BAF ∠，∴1=2∠∠，∴32=41∠+∠∠+∠，即EAD MAE ∠=∠．∵AD BC ∥，∴MEA EAD ∠=∠，∴MEA MAE ∠=∠，∴AMME =．即AM BM BE =+． ∴AFDF BE =+，得证．5.E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．答案：见解析解析：F E DCBA∵四边形绕ABCD 为正方形，∴AD AB =. 将ADF 绕A 点顺时针旋转至ABG .则12∠=∠，AF AG =.∵3445∠+∠=︒，∴1545∠+∠=︒.∴2545∠+∠=︒，即EAG EAF ∠=∠.∵AE AE =,∴()AGE AFE SAS ≅.根据全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，可得AB AH =.6.如图所示，在正方形ABCD中，AB =E 、F 分别在BC 、CD 上，且30BAE ∠=︒，15DAF ∠=︒，求AEF ∆的面积．答案：见解析解析：如图所示，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABG ∆，则G 、B 、E 共线.15BAG DAF ∠=∠=︒,AG AF =.而153045GAE ∠=︒+︒=︒，且90153045FAE ∠=︒-︒-︒=︒，C HFE G DB A故GAE FAE ∠=∠，∵AE AE =,∴GAE FAE ∆≅.由此可得EF EG =，903060AEF AEG ∠=∠=︒-︒=︒，∴180606060FEC ∠=︒-︒-︒=︒，∴906030EFC ∠=︒-︒=︒.在Rt ABE ∆中，AB =30BAE ∠=︒，故1BE =，1CE =.在Rt EFC ∆中，30EFC ∠=︒，则1)EF EG ==.故111)322AEF AEG S S EG AB ∆∆==⨯=⨯=-.7.如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 上各存一点P 、Q ，若APQ ∆的周长为2，求PCQ ∠的度数．解析：把CDQ ∆绕点C 旋转90︒到CBF ∆的位置，CQ =CF ．∵2AQ AP QP ++=，又2AQ QD AP PB +++=，∴QD+BP =QP ．又DQ =BF ，∴PQ =BP BF PF +=．∴QCP FCP ∆∆≌．∴QCP FCP ∠=∠．A又∵90QCF ∠=︒，∴45PCQ ∠=︒．8.如图：正方形ABCD 的边长为6cm ，E 是AD 的中点，点P 在AB 上，且45ECP ∠=︒．则PE 的长是多少cm ．PEC 的面积是多少2cm .答案：5；15解析： ①求PE 的长：∵四边形ABCD 为正方形，∴BC DC =.将EDC 绕C 点逆时针旋转90︒至BCM 处，使DC 与BC 重合，则EC CM =，12∠=∠.132MB ED AD ===. ∵13904545∠+∠=︒-︒=︒，∴2345∠+∠=︒，PD BAM PD BA则PCM PCE ∠=∠,∵PC PC =，∴PCM PCE ≅，∴PM PE =.设PB x =，则3PM x PE =+=,6AP AB BP x =-=-.∴在Rt APE 中，有222AP AE PE +=.∴()()222633x x -+=+，解得2x =.∴35PE x =+=.②求PEC 的面积：∵PEC PCE ≅, ∴()()11162315222PEC PCM S S BC PM BC BP BM ==⋅=⋅+=⨯⨯+=.9.如图，在直角梯形ABCD 中，()AD BC BC AD >∥，90B∠=︒，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，4BE =，求DE 的长．解析：DECB A GED CB A过C 作CG AD ⊥，交AD 延长线于G ．∵四边形ABCD 是正方形，∴BC CG =.将BEC 绕C 点顺时针旋转90︒，至CGF ,使BC 与CG 重合.则有12∠=∠，CE CF =，4GF BE ==.∵45ECD ∠=︒,∴13904545∠+∠=︒-︒=︒.∴2345∠+∠=︒.∵CD CD =，∴CED CFD ≅.故DE DF =.设DG x =，则4DF x DE =+=，12AD AG DG x =-=-，在Rt AED 中，222AE AD ED +=.即()()2228124x x +-=+.解这个方程，得：6x =．∴410DE x =+=．10.如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，P 是ABC ∆内的一点，且123PB PC PA ===，，，求BPC∠的度数．解析：CB A P如图，将APC ∆绕点C 旋转，使CA 与CB 重合，即APC BEC ∆∆≌，PC=CE ，12∠=∠,∵290PCB ∠+∠=︒,∴190PCB ∠+∠=︒.∴PCE ∆为等腰直角三角形，∴45CPE ∠=︒，2228PE PC CE =+=.又∵2219PB BE ==，，∴222PE PB BE += 则90BPE ∠=︒.∴4590135BPC CPE BPE ∠=∠+∠=︒+︒=︒.11.如图，P 是等边ABC ∆内一点，若3AP =，4PB =，5PC =，求APB ∠的度数．解析：如图，将BPC ∆沿点B 逆时针旋转60︒，则BP BP '=，连接P P '，AP '．∵60P BP '∠=︒，4BP BP '==，EPCB A 345P 'AB C P∴BPP '为等边三角形，4P P '=∴，60P PB '∠=︒．∴222AP P P AP ''+=，90APP '∠=︒∴，150APB P PB APP ''∠=∠+∠=︒∴12.P 为等边ABC ∆内一点，113APB ∠=︒，123APC ∠=︒，求证：以AP 、BP 、CP 为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.答案：见解析解析：要判断AP 、BP 、CP 三条线段可以构成一个三角形的三边，常采用判定其中任意两条线段之和大于第三条线段的办法，然而求所构成的三角形各内角的度数时又会束手无策.如果以C 为中心，将APC ∆逆时针旋转60︒，则A 点变到B 点，线段CA 变到CB ，P 点变到1P 点，此时，1CP CP =，并且160PCP ∠=，1123BPCAPC ∠=∠=. 1PCP ∆为等边三角形，所以1PP CP =，1160CPP CPP ∠=∠=. ′P这时，1BPP ∆就是以BP 、1()AP BP=、1()CP PP =为三边构成的三角形. 易知111601236063BPP BPC CPP APC ∠=∠-∠=∠-=-= 而360113123124BPC ∠=--=所以111246064BPP BPC CPP ∠=∠-∠=-=因此1180636453PBP ∠=--=13.如图，P 为正方形ABCD 内一点，123PA PD PC ===，，．求APD ∠的度数．解析：∵四边形ABCD 为正方形，∴AD DC =.将PDA ∆绕着D 点按顺时针旋转90︒到MDC ∆的位置（如图），连接PM ．则290PD DM PDM ==∠=︒，∴PDM ∆是等腰直角三角形.M PDCBA∴45PM PMD =∠=︒∵2222819PM MC PA PC ====，，∴222PM MC PC +=∴PMC ∆为直角三角形.∴90PMC ∠=︒, ∴135APD DMC PMD PMC ∠=∠=∠+∠=︒.13.如图所示，P 是等边ABC ∆中的一点，2PA =，PB =4PC =，试求ABC ∆的边长.答案：解析：由于有等边三角形，故可考虑将PBA ∆绕点B 旋转60︒，使PA 、PB 、PC 出现在一个三角形中，从而构造出一个直角三角形.解：将PBA ∆绕点B 逆时针旋转60︒，则BA 与BC 重合，A 点转至C 点，P 点转至1P 点，连接1PP ，如图所示，有12PC PA ==，1PB PB ==，160PBP ∠=︒.故1PBP ∆为等边三角形，1PP BP ==在1PCP ∆中，2222221142PC PC PP ==+=+， 故190PPC ∠=︒，112PC PC =， 从而有130CPP ∠=︒，故11603090BPC BPP PPC ∠=∠+∠=︒+︒=︒． 所以，在Rt PBC ∆中，22222428BC PB PC =+=+=，BC =.14.如图所示，P 为正方形ABCD 内一点，若PA a =，2PB a =，3(0)PC a a =>.求：⑴APB ∠的度数；⑵正方形的边长.答案：（1）135︒；（2）AB =解析：（1）将APB ∆绕点B 顺时针旋转90︒，得到CQB ∆.连接PQ ，因为90PBQ ∠=︒，2PB QB a ==， 所以45PQB QPB ∠=∠=︒，PQ =.在PQC ∆中，3PC a =，CQ a =，22PQ a =，则222PC CQ PQ =+， 所以90PQC ∠=︒，故9045135APB CQB ∠=∠=︒+︒=︒.（2）因13545180APB BPQ ∠+∠=︒+︒=︒，则A 、P 、Q 三点共线，故(1AQ a a =+=+，QC a =，Q PCBA D在Rt AQC ∆中，根据勾股定理得AC ==所以452AB AC sin AC =⋅︒==.ABC ∆中，AB AC =，P 是ABC ∆内任意一点，已知APC APB ∠>∠，求证：PB PC >．答案：见解析解析：因为AB AC =，所以可将ABP ∆绕点A 旋转到ACD ∆的位置，连结PD 、AD 、CD ，则AP AD =，PB DC =，ADC APB ∠=∠因为APC APB ∠>∠，所以APC ADC ∠>∠由AD AP =，可得APD ∠=ADP ∠，则DPC PDC ∠>∠．DC PC >，即PB PC >．16.如图，P 是等边ABC ∆外的一点，3PA =，4PB =，5PC =，求APB ∠的度数．ADPC B答案：30解析：∵AB AC =，∴将APC 绕A 点逆时针旋转60︒至ABM ，使AC 与AB 重合，则3AM AP ==，60PAB ∠=︒, 5BM PC ==，120BAM PAC PAB BAC ∠=∠=∠+∠=︒.∴1206060PAM BAM PAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒,∴APM 为等边三角形，则3PM AM ==，60APM PAM ∠=∠=︒,在PMB 中，∵222BM PM PB =+,∴MPB 为直角三角形，即90BPM ∠=︒.∴906030BPA BPM APM ∠=∠-∠=︒-︒=︒.CC17.如图，正方形ABCD 内一点P ，15PAD PDA ∠=∠=︒，连结PB 、PC ，请问：PBC ∆是等边三角形吗？为什么？答案：见解析解析：将APD ∆绕点D 逆时针旋转90︒，得DP C ∆'，再作DP C ∆'关于DC 的轴对称图形DQC ∆，得APD CQD CP D '≅≅.所以PD QD =，15QDC DCQ PAD PDA ∠=∠=∠==︒,90151560PDQ ∠=︒-︒-︒=︒，∴PDQ ∆为等边三角形，即60PQD ∠=︒.又∵1801515150DQC APD ∠=∠=︒-︒-︒=︒，∴36060150150PQC DQC ∠=︒-︒-︒=︒=∠.∵15PAD PDA ∠==︒，∴AP PD =,则有DQ QC =.∵PQ QD =.∴PQ CQ =，∴15PCQ QCP ∠=∠=︒.∴30PCD ∠=︒，∴903060PCB DCB PCD ∠=∠-∠=︒-︒=︒.同理可得60PBC ∠=︒.∴PBC ∆为等边三角形.18.ABC 中，90C ∠=︒，四边形CDEF 是ABC 的内接正方形，30AE cm =，24BE cm =，求ADE BEFS S +的值.解析：如图，∵四边形EFCD 是正方形，∴EF ED =，将BEF 绕点E 逆时针旋转90︒至GED ，使EF 与ED 有BEF GED ≅.∵90FED ∠=︒,∴90BEF AED ∠+∠=︒.∵BEF GED ∠=∠，∴90GED AED ∠+∠=︒. 故112722ADE BEF ADE GED AEG S S S S S GE EA BE EA +=+==⋅=⋅=.ABCD 中，ADBC ，90B ∠=︒，1AB =，3AD =，5BC =，DE DC ⊥且DE DC =，求AE 的长和ADE面积.解析：∵DE DC =，∴将ADE 绕D 点顺时针旋转90︒，至FDC 处，使DE 与DC 重合. 则DC DE =，3DF AD ==，AE FC =，延长FD 交BC 于点G ，∵旋转角是90︒，∴90FDA ∠=︒，∵AD BG ，∴90FGB ∠=︒，∴四边形ABGD 是矩形，3BG AD ==，∵5BC =，∴532GC BC BG =-=-=，1DG AB ==，在Rt FGC 中，根据勾股定理有²²²FG GC FC +=，即()222312FC ++=，解得FC =11322ADE FDC FGC DGC S S S S FG GC DG GC ==-=⋅-⋅=.20.在梯形ABCD 中，AD BC ，90D ∠=︒，12BC CD ==，45ABE ∠=︒，若10AE =，求CE 的长。