【K12教育学习资料】高三数学回归课本复习材料：集合与简易逻辑基本概念

集合与简易逻辑基本概念回归课本复习材料1 基础知识1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，2.遇到A B =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；同样当A B ⊆时，你是否忘记∅=A 的情形？要注意到∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n，12-n .22-n 4.集合的运算性质： ⑴AB A B A =⇔⊆； ⑵A B B B A =⇔⊆；⑶A B ⊆⇔u u A B ⊇痧； ⑷u u A B A B =∅⇔⊆痧；5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。

如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集。

6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

7.复合命题真假的判断。

“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。

8.四种命题及其相互关系。

若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若﹁p 则﹁q ” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p ”。

提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

但原命题与逆命题、否命题都不等价； （2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A ⇒⇔⇒”判断其真假，这也是反证法的理论依据。

（5）哪些命题宜用反证法？9.充要条件。

关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。

从集合角度解释，若B A ⊆，则A 是B 的充分条件；若B A ⊆，则A 是B 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件。

10. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，若0a >,则b x a >；若0a <,则b x a<；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈∅。

11. 一元二次不等式的解集（联系图象）。

尤其当0∆=和0∆<时的解集你会正确表示吗？设0a >,12,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根，且12x x <，则其解集如下表：20ax bx c ++> 20ax bx c ++≥20ax bx c ++< 20ax bx c ++≤ 0∆> 1{|x x x <或2}x x > 1{|x x x ≤或2}x x ≥ 12{|}x x x x << 12{|}x x x x ≤≤0∆= {|}2b x x a ≠- R φ {|}2b x x a=- 0∆< RR φ φ 12. 对于方程02=++c bx ax 有实数解的问题。

首先要讨论最高次项系数a 是否为0，其次若0≠a ，则一定有042≥-=∆ac b 。

对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？13.一元二次方程根的分布理论。

方程2()0(0)f x ax bx c a =++=>在),(+∞k 上有两根、在(,)m n 上有两根、在),(k -∞和),(+∞k 上各有一根的充要条件分别是什么？（0()02f k b k a ∆≥>->⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩、0()0()02f m f n b m an ∆≥>><-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩、()0f k <）。

根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间],[n m 讨论方程0)(=x f 有实数解的情况，可先利用在开区间),(n m 上实根分布的情况，得出结果，再令n x =和m x =检查端点的情况．14.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程20ax bx c ++=的两个根即为二次不等式20(0)ax bx c ++><的解集的端点值，也是二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的交点的横坐标。

1.（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。

（2） 若2{|30}A x x x a =++=，求集合A 中所有元素之和 。

（3）非空集合}5,4,3,2,1{⊆S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个2.（１）集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝______. （２）已知集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D.（3）设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0和a 2x 2+b 2x+c 2>0的解集分别为集合M和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的 A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分又非必要条件（4）已知集合P={}12=x x ，Q={}1=mx x ，若Q ⊆P ，则实数m 的值为（ ） A 1 B 1，-1 C -1 D 0，1，-13.（1）满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。

（答：7）（2）已知集合A ={1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是（ ）A.15B.16C.3D.4（3）满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是（ ）A.4B.3C.2D.14.（1）设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（2）某高级中学高三特长班有100名学生，其中学绘画的学生67人，学音乐的学生45人，而学体育的学生既不能学绘画，又不能学音乐,人数是21人,那么同时学绘画和音乐的学生有 人？5.（1）设集合{|2}M x y x ==-，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N =___（2）．已知{}21,A y y x x R ==+∈，{}R x x y y x B ∈+==,1),(2，则有（ ）（A ） {(0,1),(2,5)}A B ⋂= （B ） A ⊆B （C ） B A ⊆ （D ） φ=⋂B A（3）．设集合{}{}22|21,|25M y y x x N x y x x ==++==-+，则N M ⋂等于（ ） y (a>0) O k x 1 x 2 x（A ）∅ (B)(){}4,1 (C)[)+∞,4 (D) [)+∞,06.（１）设集合P={}2x ax a +>，3P ∉，那么a 的取值范围（２）已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。

（３）设集合{}213M x ax =-<，2M ∉。

求字母a 的范围 。

(4) 设集合22204a x a M x x a ⎧⎫-⎪⎪=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，2M ∉。

求字母a 的范围 (5) 已知关于25035ax x M M M a x a-<∈∉-的不等式的解集为，若且，求实数的取值范围 。

7.（1） 设p ：25x x >≤-或；q ：502x x+<-,则非q 是p 的 ( ) （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（2）函数32)(2--=ax x x f 在区间[1，2]存在反函数的充分不必要条件是（ ）A 、1≤a 或2≥aB 、0≥aC 、a=1D 、21≤≤a8. 下列四个命题：①在空间，存在无数个点到三角形各边的距离相等；②在空间，存在无数个点到长方形各边的距离相等；③在空间，既存在到长方体各顶点距离相等的点，又存在到它的各个面距离相等的点；④在空间，既存在到四面体各顶点距离相等的点，又存在到它的各个面距离相等的点.其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）9.（1）给出下列命题：①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 。

其中正确命题的序号是_______（2）设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 。

若┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是（3）设集合""""},3{},2{P M x P x M x x x P x x M ∈∈∈<=>=是或那么的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件（4） 0122=++x ax 至少有一个负的实根的必要非充分条件是（ ） A.10≤<a B.2a < C.1≤a D. 10≤<a 或0<a（ 5）对于[0,1]x ∈的一切值，20a b +>是使0ax b +>恒成立的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 (6) πα≠“”3是α≠1“cos ”2的（ ） A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件(7) “a =1”是“函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件10.已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)31,(--∞，则关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集为_______11.解关于x 的不等式：01)1(2<++-x a ax 。