2017年河南省商丘市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2017年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3] C．上，则输入的实数x的取值范围是（）A． C． D．9．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y=lnx与直线x=c，y=0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间上的均匀随机数x i和10个区间上的均匀随机数y i（i ∈N*，1≤i≤10），其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．（e﹣1）B．（e﹣1）C．（e+1）D．（e+1）10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱11．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C． D．12．已知双曲线Γ1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆Γ2：+=1的离心率为e，直线MN过F2与双曲线交于M，N两点，若cos∠F1MN=cos∠F1F2M，=e，则双曲线Γ1的两条渐近线的倾斜角分别为（）A．30°或150°B．45°或135°C．60°或120°D．15°或165°二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．向量=（﹣1，1），=（1，0），若（﹣）⊥（2+λ），则λ= ．14．已知{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，则数列{|log2a n|}前10项和为．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为．16．若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公切线，则a的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．18．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A ，B ，C 三级为合格等级，D 为不合格等级．为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A ，C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C 等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．19．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC=EB ，AB=4，tan ∠EAB=．（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当三棱锥C ﹣ADE 体积最大时，求二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，（其中e是自然对数的底数）．（1）∀x1∈，∃x2∈使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P点的直角坐标．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．2017年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3] C．，B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}=（﹣∞，2）；∴A∩B=上，则输入的实数x的取值范围是（）A． C． D．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．【解答】解：根据题意，得当x∈（﹣2，2）时，f（x）=2x，∴1≤2x≤8，∴0≤x≤3；当x∉（﹣2，2）时，f（x）=x+1，∴1≤x+1≤8，∴0≤x≤7，∴x的取值范围是．故选：D．9．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y=lnx与直线x=c，y=0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间上的均匀随机数x i和10个区间上的均匀随机数y i（i ∈N*，1≤i≤10），其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．（e﹣1）B．（e﹣1）C．（e+1）D．（e+1）【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】向矩形区域内随机抛掷10个点，有6个点在曲边三角形内，由此根据矩形区域的面积为e﹣1，能求出曲边三角形面积的近似值．【解答】解：由表可知，向矩形区域内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为=．∵矩形区域的面积为e﹣1，∴曲边三角形面积的近似值为（e﹣1）．故选：A10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．11．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C． D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）=2sin（x+），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y=2sin（2x+）的图象；再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=2sin=2sin（2x+﹣2θ）的图象．再根据得到的图象关于直线x=对称，可得2•+﹣2θ=kπ+，k∈z，则θ的最小值为，故选：A．12．已知双曲线Γ1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆Γ2：+=1的离心率为e，直线MN过F2与双曲线交于M，N两点，若cos∠F1MN=cos∠F1F2M，=e，则双曲线Γ1的两条渐近线的倾斜角分别为（）A．30°或150°B．45°或135°C．60°或120°D．15°或165°【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】用a，b，c表示出MF1，MF2，NF1，NF2，利用余弦定理计算cos∠F1F2M和cos∠F1F2N，由∠F1F2M+∠F1F2N=0计算出离心率e1，得出a和b的关系即可得出答案．【解答】解：∵cos∠F1MN=cos∠F1F2M，∴∠F1MN=∠F1F2M，∴|MF1|=|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得|MF2|=|MF1|﹣2a=2c﹣2a，∵椭圆Γ2： +=1的离心率为e==，∴=，∴|NF1|=4c，|NF2|=4c﹣2a，在△MF1F2中，由余弦定理的cos∠F1F2M==，在△NF1F2中，由余弦定理的cos∠F1F2N==，∵∠F1F2M+∠F1F2N=π，∴cos∠F1F2M+cos∠F1F2N=0，即+=0，整理得2a2+3c2﹣7ac=0，设双曲线的离心率为e1，∴3e12﹣7e1+2=0，解得e1=2或（舍）．∴=4，∴3a2=b2，即=．∴双曲线的渐近线方程为y=±x，∴渐近线的倾斜角为60°和120°．故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．向量=（﹣1，1），=（1，0），若（﹣）⊥（2+λ），则λ= 3 ．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列出方程求出λ的值．【解答】解：向量=（﹣1，1），=（1，0），∴=2， =1，=﹣1；又（﹣）⊥（2+λ），∴（﹣）•（2+λ）=2+（λ﹣2）•﹣λ=0，即2×2+（λ﹣2）•（﹣1）﹣λ•1=0，解得λ=3．故答案为：3．14．已知{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，则数列{|log2a n|}前10项和为58 ．【考点】8E：数列的求和．【分析】由{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，求出q，可得a n=32•（）n﹣1=27﹣2n，再求数列{|log2a n|}前10项和．【解答】解：∵{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，∴=，∴1+q3=，∴q=，∴a n=32•（）n﹣1=27﹣2n，∴|log2a n|=|7﹣2n|，∴数列{|log2a n|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58，故答案是：58．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为．【考点】LG：球的体积和表面积；L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，故答案为：．16．若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公切线，则a的取值范围为[，+∞）．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出两个函数的导函数，设出两切点，由斜率相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点，求得a的范围．【解答】解：由y=ax2（a＞0），得y′=2ax，由y=e x，得y′=e x，曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点（x1，ax12），与曲线C2切于点（x2，ex2），则2ax1=e x2=，可得2x2=x1+2，∴a=，记f（x）=，则f′（x）=，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增．∴当x=2时，f（x）min=．∴a的范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．【考点】HS：余弦定理的应用；HP：正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，…即sinB（sinA+cosA）=0，又角B为三角形内角，sinB≠0，所以sinA+cosA=0，即，…又因为A∈（0，π），所以．…（2）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，则…即，解得或，…又，所以．…18．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A，B，C 三级为合格等级，D为不合格等级．为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A，C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【考点】CS：概率的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据频率分布直方图和树形图求解；（2）至少有一人可从反面出发，用间接法求解；（3）根据分布列的定义和数学期望的计算方法求解即可．【解答】解：（1））由题意可知，样本容量n==50，x==0.004，y==0.018；（2））不合格的概率为0.1，设至少有1人成绩是合格等级为事件A，∴P（A）=1﹣0.13=0.999，故至少有1人成绩是合格等级的概率为；（3）C等级的人数为0.18×50=9人，A等级的为3人，∴ξ的取值可为0，1，2，3；∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，∴ξ的分布列为Eξ=0×+1×+2×+3×=．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此证明DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD．（Ⅱ）依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…，∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，∴DE⊥平面ACD…，∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（Ⅱ）依题意，…，由（Ⅰ）知==，当且仅当时等号成立…如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），，，∴，，，…设面DAE的法向量为，，即，∴，…设面ABE的法向量为，，即，∴，∴…∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为．…20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和焦点坐标，可得c=1，a=2，求得B，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论当PM垂直于x轴时，求得P，Q的坐标，运用数量积为0，可得t；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），运用直线和圆相切的条件：d=r，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，c=1，解得a=2，b==，可得椭圆方程为+=1；（Ⅱ）当PM垂直于x轴时，可得P（，），Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=3+t=0，解得t=﹣2；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），即为kx﹣y﹣kx0+y0=0，由PQ于圆O：x2+y2=3相切，可得=，平方可得（kx0﹣y0）2=3（1+k2），即2kx0y0=k2x02+y02﹣3k2﹣3，又Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=x0•+ty0=0，解得t=，则t2=======12，解得t=．综上可得，t=．21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，（其中e是自然对数的底数）．（1）∀x1∈，∃x2∈使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．【考点】6P：不等式恒成立的问题．【分析】（1）确定函数f（x）在上单调递增，可得f（x）min=f（0）=﹣1；函数g（x）在上单调递减，可得g（x）max=g（0）=﹣，即可求出实数m的范围；（2）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证＞，令h（x）=，x＞﹣1，利用导数求出h（x）min=h（0）=1，再令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，根据其几何意义求出k的最大值，即可证明．【解答】（1）解：∵f（x1）+g（x2）≥m，∴f（x1）≥m﹣g（x2），∴f（x1）min≥min，∴f（x1）min≥m﹣g（x2）max，当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增，∴f（x）min≥f（0）=﹣1，∵g（x）=xcosx﹣e x，∴g′（x）=cosx﹣xsinx﹣e x，∵x∈，∴0≤cosx≤1，xsinx≥0， e x≥，∴g′（x）≤0，∴函数g（x）在上单调递减，∴g（x）max≥g（0）=﹣，∴﹣1≥m+，∴m≤﹣1﹣，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1﹣]；（2）证明：x＞﹣1，要证：f（x）﹣g（x）＞0，只要证f（x）＞g（x），只要证e x sinx﹣cosx＞xcosx﹣e x，只要证e x（sinx+）＞（x+1）cosx，由于sinx+＞0，x+1＞0，只要证，下面证明x＞﹣1时，不等式成立，令h（x）=，x＞﹣1，∴h′（x）=，x＞﹣1，当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min=h（0）=1令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，∴直线AB的方程为y=k（x+），由于点A在圆x2+y2=1上，∴直线AB与圆相交或相切，当直线AB与圆相切且切点在第二象限时，直线AB的斜率取得最大值为1，∴当x=0时，k=＜1=h（0），x≠0时，h（x）＞1≥k，综上所述，当x＞﹣1，f（x）﹣g（x）＞0．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P点的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）首先根据变换关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步把极坐标转化成直角坐标．（Ⅱ）把椭圆的直角坐标形式转化成参数形式，进一步把矩形的周长转化成三角函数的形式，通过三角恒等变换求出最小值，进一步求出P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，则：曲线C的方程为ρ2=，转化成．点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2，2）．（Ⅱ）设P（）根据题意，得到Q（2，sinθ），则：|PQ|=，|QR|=2﹣sinθ，所以：|PQ|+|QR|=．当时，（|PQ|+|QR|）min=2，矩形的最小周长为4，点P（）．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=3，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；③x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，综上所述，不等式的解集为（﹣]；（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为=，∴a=3，∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．。

2017-2018 学年河南省八市要点高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．若会合A={x|＞﹣1}，会合B={x|1＜3x＜9}，则（?R A）∩ B=（A．（ 0，1]B．=0 恒成立，则方程 f （ x）﹣ f ′（ x）=x 的解所在的区间是（A．（﹣ 1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）））二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分．13．若函数 f （ x） =奇函数，则 a 的值为 ______．14．若 x， y 知足拘束条件，则的最小值为______．15． 4 个半径为 1 的球两两相切，该几何体的外切正四周体的高是______．n} 的通项公式n2n n n16．已知数列 {a a =n 2，则数列 {a } 的前 n 项和S =______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ ABC的内角 A， B， C 的对边分别为a，b，c，且知足sinA+sinB= （ cosA+cosB）sinC ．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c=1+，求△ ABC面积的最大值．18．如图， PA⊥平面 ADE，B， C 分别是 AE， DE的中点， AE⊥ AD，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角A﹣ PE﹣ D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段 BP 上的动点，当直线CQ与 DP所成的角最小时，求线段BQ的长．19．某农庄抓鸡竞赛，笼中有16 只公鸡和8 只母鸡，每只鸡被抓到的时机相等，抓到鸡而后放回，若累计 3 次抓到母鸡则停止，不然持续抓鸡直到第 5 次后结束．（Ⅰ）求抓鸡 3 次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ ，求随机变量ξ 的散布列及其均值．20．如图， F1， F2是椭圆 C：的左、右两个焦点，|F 1F2|=4 ，长轴长为6，又 A， B 分别是椭圆 C 上位于 x 轴上方的两点，且知足=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；AA1B1B 的面积．（Ⅲ）求平行四边形21．已知函数 f （x） =1﹣x+lnx（Ⅰ）求 f （ x）的最大值；（Ⅱ）对随意的x1，x2∈（ 0，+∞）且 x2＜ x1能否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞ 0 恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明原因：（Ⅲ）若正数数列{a n} 知足=，且a1=，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与 2n+1 的大小并加以证明．22．如图，已知AB 是⊙ O的弦， P 是 AB 上一点．（Ⅰ）若AB=6，PA=4，OP=3，求⊙ O的半径；（Ⅱ）若C是圆 O上一点，且CA=CB，线段 CE交 AB 于 D．求证：△ CAD～△ CEA．23．在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为（θ 为参数），以原点O为起点，x 轴的正半轴为极轴，成立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l的极坐标方程为ρ cos （+θ） =6．（Ⅰ）求点P 到直线 l 的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线 C 上，求点Q到直线 l 的距离的最大值．24．设函数 f （ x） =|x+a| ﹣ |x+1| ．（Ⅰ）当a=﹣时，解不等式： f （ x）≤ 2a；（Ⅱ）若对随意实数x， f （ x）≤ 2a 都成立，务实数 a 的最小值．2016 年河南省八市要点高中高考数学二模试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．若会合 A={x|x＜ 9}R）＞﹣ 1} ，会合 B={x|1 ＜ 3，则（ ? A）∩ B=（A．（ 0，1]B．∪ =0 恒成立，则方程 f （ x）﹣ f ′（ x） =x的解所在的区间是（）A．（﹣ 1，﹣） B ．（0，） C．（﹣， 0）D．（）【考点】利用导数研究函数的单一性；函数恒成立问题．【剖析】由题意，可知 f （x）﹣ xe X是定值，令 t=f（ x）﹣ xe X，得出 f （ x） =xe X+t ，再由 f （ t ） =te t +t=0求出 t的值，即可得出 f （ x）的表达式，求出函数的导数，即可求出 f （ x）﹣f ′（ x） =x 的解所在的区间，即得正确选项．【解答】解：由题意，可知 f （ x）﹣ xe X是定值，不如令t=f（ x）﹣ xe X，则 f （ x） =xe X+t ，又 f （ t ） =te t +t=0 ，解得 t=0 ，所以有 f （ x） =xe X，所以 f ′（ x） =（x+1） e X，令 F（ x） =f （ x）﹣ f ′（ x）﹣ x=xe x﹣（ x+1） e x﹣ x=﹣ e x﹣ x，可得 F（﹣ 1）=1﹣＞0，F（﹣）= ﹣＜ 0即 F（ x）的零点在区间（﹣ 1，﹣）内∴方程 f （ x）﹣ f ′（ x）=x 的解所在的区间是（﹣1，﹣），应选： A．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分．13．若函数 f （ x） =奇函数，则 a 的值为﹣2．【考点】函数奇偶性的性质．【剖析】可解1﹣ x2＞ 0 获得﹣ 1＜x＜ 1，进而有 |x ﹣ 2|=2 ﹣ x，这便获得，而由 f （x）为奇函数便有 f （﹣ x） =﹣ f （ x），这样即可获得2+x+a=﹣（ 2﹣ x+a），进而可求出 a 的值．【解答】解：解1﹣ x2＞ 0 得，﹣ 1＜ x＜ 1；∴|x ﹣2|=2 ﹣ x；∴；∵f （ x）为奇函数；∴f （﹣ x） =﹣ f （ x）；即；∴2+x+a=﹣（ 2﹣x+a）；∴2+a=﹣ 2﹣ a；∴a=﹣2．故答案为：﹣ 2．14．若 x， y 知足拘束条件，则的最小值为．【考点】简单线性规划．【剖析】做出不等式表示的平面地区，将化成 1+，即求过点（1，﹣ 1）的直线斜率的最小值问题．【解答】解：=1+，做出平面地区如图：有图可知当过点（1，﹣ 1）的直线经过点C（4， 0）时，斜率最小为，∴的最小值为1+ =．故答案为．15． 4 个半径为 1 的球两两相切，该几何体的外切正四周体的高是4+．【考点】球的体积和表面积．【剖析】把球的球心连结，则又可获得一个棱长为 2 的小正四周体，正四周体的中心究竟面的距离是高的，且小正四周体的中心和正四周体容器的中心应当是重合的，先求出小正四周体的中心究竟面的距离，再求出正四周体的中心究竟面的距离，把此距离乘以 4 可得正四棱锥的高．【解答】解：由题意知，底面放三个球，上再落一个球．于是把球的球心连结，则又可获得一个棱长为 2 的小正四周体，则不难求出这个小正四周体的高为，且由正四周体的性质可知：正四周体的中心究竟面的距离是高的，且小正四周体的中心和正四周体容器的中心应当是重合的，∴小正四周体的中心究竟面的距离是×= ，正四周体的中心究竟面的距离是+1，所以可知正四周体的高的最小值为（+1）× 4=4+，故答案为： 4+．16．已知数列 {a n} 的通公式a n=n22n，数列 {a n} 的前 n 和 S n=（n22n+3）?2n+16．【考点】数列的乞降．【剖析】两次利用“ 位相减法”与等比数列的前n 和公式即可得出．【解答】解：∵a n =n22n，数列 {a n} 的前 n 和 S n=2+22×22+32× 23+⋯ +n2?2n，∴2S n=22+22×23+⋯ +（ n 1）2?2n+n2?2n+1，∴ S n=2+3× 22+5× 23+⋯ +（ 2n 1）?2n n2?2n+1，数列 { （ 2n 1）?2n} 的前 n 和 T n，T n=2+3×22+5× 23+⋯+（ 2n 1）× 2n，2T n=22+3× 23+⋯ +（ 2n 3）× 2n+（2n 1）× 2n+1，∴ T n=2+2×（22+23+⋯ +2n）（ 2n 1）× 2n+1=2（ 2n 1）× 2n+1=（32n）?2n+16，∴T n=（ 2n 3）?2 n+1+6，∴ S n=（2n 3）?2n+1+6 n2?2n+1=（ 2n 3 n2）?2n+1+6，∴S n=（ n2 2n+3）?2n+1 6．故答案：（ n2 2n+3）?2 n+1 6．三、解答：解答写出文字明，明程或演算步．17．△ ABC的内角 A， B， C 的分a，b，c，且足sinA+sinB= （ cosA+cosB）sinC ．（Ⅰ）求：△ABC直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c=1+，求△ ABC面的最大．【考点】解三角形．【剖析】（Ⅰ）由sinA+sinB= （ cosA+cosB）sinC ，利用正、余弦定理，得a+b=c，化整理，即可明：△ABC直角三角形；（Ⅱ）利用 a+b+c=1+，a2+b2=c2，依据基本不等式可得1+=a+b+≥ 2+=（2+ ）?，即可求出△ ABC面的最大．【解答】（Ⅰ）明：在△ ABC中，因 sinA+sinB= （cosA+cosB） sinC ，所以由正、余弦定理，得a+b= c ⋯化整理得（ a+b）（ a2+b2） =（a+b） c2因 a+b＞ 0，所以 a2+b2=c2⋯故△ ABC直角三角形，且∠ C=90°⋯（Ⅱ）解：因 a+b+c=1+， a2+b2=c2，所以 1+=a+b+≥2+=（ 2+）?当且当a=b ，上式等号成立，所以≤．⋯故 S△ABC=ab≤ ×⋯即△ ABC面的最大⋯18．如， PA⊥平面 ADE，B， C 分是 AE， DE的中点， AE⊥ AD，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角 A PE D的余弦；（Ⅱ）点Q是段 BP 上的点，当直CQ与 DP所成的角最小，求段BQ的．【考点】用空向量求平面的角；二面角的平面角及求法．【剖析】以 { ，， } 正交基底成立空直角坐系 Axyz，由意可得 B（ 1，0，0），C（ 1，1， 0）， D（ 0， 2， 0）， P （ 0，0， 2）（Ⅰ）易得=（ 0，2，0）是平面 PAB的一个法向量，待定系数可求平面PED的法向量坐，由向量的角公式可得；（Ⅱ）=λ=（λ， 0， 2λ）（ 0≤ λ≤ 1），由角公式和二次函数的域以及余弦函数的性可得．【解答】解：以{，，} 正交基底成立空直角坐系Axyz，各点的坐B（ 1， 0，0）， C（ 1， 1， 0）， D（ 0， 2， 0）， P（0， 0， 2）（Ⅰ）∵ AD⊥平面 PAB，∴是平面 PAB的一个法向量，= （0，2， 0）．∵=（ 1， 1，﹣ 2），=（0， 2，﹣ 2）．设平面 PED的法向量为 =（ x，y， z），则 ?=0，?=0，即，令 y=1，解得 z=1， x=1．∴ =（ 1， 1， 1）是平面 PCD的一个法向量，计算可得 cos ＜，＞ ==，∴二面角 A﹣ PE﹣D 的余弦值为；（Ⅱ）∵=（﹣ 1， 0， 2），设=λ=（﹣λ， 0， 2λ）（ 0≤ λ≤ 1），又=（ 0，﹣ 1， 0），则 =+=（﹣λ，﹣ 1， 2λ），又=（ 0，﹣ 2， 2），∴ cos ＜，＞ ==，设 1+2λ=t ， t ∈，则 cos 2＜，＞ ==≤，当且仅当 t=，即λ =时， |cos＜，＞ | 的最大值为．由于 y=cosx 在（ 0，）上是减函数，此时直线CQ与 DP所成角获得最小值，又∵ BP== ，∴ BQ= BP=19．某农庄抓鸡竞赛，笼中有16 只公鸡和8 只母鸡，每只鸡被抓到的时机相等，抓到鸡而后放回，若累计 3 次抓到母鸡则停止，不然持续抓鸡直到第 5 次后结束．（Ⅰ）求抓鸡 3 次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ ，求随机变量ξ 的散布列及其均值．【考点】失散型随机变量的希望与方差．【剖析】（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为，抓鸡 3 次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，由此能求出抓鸡 3 次就停止的事件发生的概率．（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的全部可能取值为0，1，2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ 的散布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）由意，抓到母的概率，抓 3 次就停止，明前三次都抓到了母，抓 3 次就停止的事件生的概率P==⋯（Ⅱ）依意，随机量ξ 的全部可能取0， 1， 2， 3，P（ξ =0）?=，P（ξ =1） =? ?=，P（ξ =2） =??=，P（ξ =3） = ?+ ??? + ??? =⋯随机量ξ 的散布列ξ0123P⋯．随机量ξ的均 E（ξ ） =× 0+× 1+×2+ ×3=⋯20．如， F1， F2是 C：的左、右两个焦点，|F 1F2|=4 ，6，又 A， B 分是 C 上位于 x 上方的两点，且足=2．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求直AF1的方程；（Ⅲ）求平行四形AA1B1B 的面．【考点】直与曲的合．【剖析】（Ⅰ）由F1， F2是 C：的左、右两个焦点，|F 1F2|=4 ，6，列出方程求出a，b，由此能求出方程．（Ⅱ）直1，得，由AF 的方程 y=k（ x+2），由此利用根的判式、达定理、向量知，合已知条件能求出直AF1的方程．（Ⅲ）由，利用弦公式能求出四形AA1B1B的面．【解答】解：（Ⅰ）∵ F1， F2是 C：的左、右两个焦点，|F 1 F2|=4 ， 6，∴由意知 2a=6， 2c=4 ，∴ a=3， c=2，∵，∴ b2=5⋯∴ 方程⋯（Ⅱ）直AF1的方程 y=k（ x+2），且交于A（ x1，y1）， A1（ x2， y2）两点．由意知，即，△＞ 0，，①，，②⋯∵，∴ y1= 2y2③立①②③消去y1y2，得．∴直 AF1的方程⋯（Ⅲ）∵ AA1B1B 是平行四形，∴⋯=∴四形AA1B1B 的面．⋯21．已知函数 f （x） =1x+lnx（Ⅰ）求 f （ x）的最大；（Ⅱ）随意的x1，x2∈（ 0，+∞）且 x2＜ x1能否存在数m，使得x1lnx 1+x2lnx 2＞ 0 恒成立；若存在，求出m的取范；若不存在，明原因：（Ⅲ）若正数数列{a n} 足=，且a1=，数列{a n}的前n和S n，比2与 2n+1 的大小并加以明．【考点】数列与函数的合．【剖析】（Ⅰ）求得 f （ x）的数，区，可得 f （x）的最大 f （1）；（Ⅱ）由意可得恒成立，φ （x）=mx2+xlnx，又0＜x2＜ x1，只要?（ x）在（ 0，+∞）上减，求得数，令数小于等于0 恒成立，运用参数分别和结构函数法，求出数和区，可得最，即可获得所求m的范；（Ⅲ）：＞ 2n+1．运用结构数列法和等比数列的通公式，可得a n=．运用数的运算性和放法，合裂相消乞降，即可得．【解答】解：（Ⅰ）由意得：．当 x∈（ 0， 1）， f' （ x）＞ 0，当 x∈（ 1，+∞）， f' （ x）＜ 0，所以， f （ x）在（ 0，1）上增，在（ 1， +∝）上减．所以 f （x）max=f （ 1）=0，即函数 f （ x）的最大 0；（Ⅱ）若恒成立，恒成立，φ（x） =mx2+xlnx ，又 0＜ x2＜ x1，只要 ?（ x）在（ 0， +∞）上减，故 ?′（ x） =2mx+1+lnx ≤ 0 在（ 0， +∞）上成立，得：2m≤，t （ x） =，，于是可知t （ x）在（ 0， 1）上减，在（1， +∞）上增，故 min=t（1）=1，所以存在m≤，使恒成立；（Ⅲ）由== ?+得：=，又，知，=，即有a n=．：＞2n+1．明以下：因 a n∈（ 0， 1），由（ 1）知 x＞ 0x 1＞ lnx ， x＞ 1x＞ ln （ x+1）．n n n） ln （ 2n﹣ 1所以 a ＞ ln （ a +1） ==ln （ 2 +1+1）故 S n=a1+a2+⋯+a n＞+⋯=ln （ 2n +1） ln （20+1） =，即＞ 2n+1．22．如，已知AB 是⊙ O的弦， P 是 AB 上一点．（Ⅰ）若AB=6，PA=4，OP=3，求⊙ O的半径；（Ⅱ）若C是 O上一点，且CA=CB，段 CE交 AB 于 D．求：△ CAD～△ CEA．【剖析】（Ⅰ）接OA， OA=r，取 AB 中点 F，接 OF， OF⊥ AB，利用勾股定理求出⊙O 的半径；（Ⅱ）利用CA=CB，得出∠ CAD=∠ B，利用三角形相像的判断定理明：△CAD～△ CEA．【解答】解：（Ⅰ）接OA， OA=r取 AB 中点 F，接 OF， OF⊥ AB，∵，∴，∴．⋯22又 OP=3， Rt △ OFP中， OF=OP2FP=92=7，⋯Rt △ OAF中，，⋯∴ r=5明：（Ⅱ）∵ CA=CB，∴∠ CAD=∠ B又∵∠ B=∠ E，∴∠ CAD=∠E⋯∵∠ ACE公共角，∴△ CAD∽△ CEA⋯23．在直角坐系xOy 中，曲 C 的参数方程（θ 参数），以原点O起点，x 的正半极，成立极坐系，已知点P的极坐（2，），直l的极坐方程ρ cos （+θ） =6．（Ⅰ）求点P 到直 l 的距离；（Ⅱ）点Q在曲 C 上，求点Q到直 l 的距离的最大．【剖析】（Ⅰ）把点P 与直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．（Ⅱ）能够判断，直线l 与曲线 C 无公共点，设，利用点到直线的距离公式及其三角函数的和差公式及其单一性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）点的直角坐标为，即．由直线 l，得．则 l 的直角坐标方程为：，点 P 到 l 的距离．（Ⅱ）能够判断，直线l 与曲线 C 无公共点，设，则点 Q到直线的距离为，∴当max 时， d =9．24．设函数 f （ x） =|x+a| ﹣ |x+1| ．（Ⅰ）当a=﹣时，解不等式： f （ x）≤ 2a；（Ⅱ）若对随意实数x， f （ x）≤ 2a 都成立，务实数 a 的最小值．【考点】带绝对值的函数．【剖析】（Ⅰ）对x 议论，分x≤﹣ 1，当时，当时去掉绝对值，解不等式，求并集即可获得所求解集；（Ⅱ）运用绝对值表达式的性质，可得 f （ x）的最大值，即有|a ﹣ 1| ≤ 2a，解出 a 的范围，可得 a 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=时，不等式化为：，当 x≤﹣ 1 时，，得，所以 x∈Φ ．⋯当，，得，所以成立．⋯当，，得≤ 0，所以成立．上，原不等式的解集⋯（Ⅱ）∵ |x+a||x+1| ≤ | （ x+a）（ x+1）|=|a1| ，∴f （ x） =|x+a||x+1| 的最大 |a 1| ⋯由意知： |a 1| ≤ 2a，即 2a≤ a 1≤ 2a，解得： a≥，所以数 a 的最小⋯2016年 10月 4 日。

2017届高考模拟系列试卷（二） 数学试题【新课标版】（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的 1、设集合{}21,M x x x =-≤∈R ，{}21,02N y y x x ==-+≤≤，则()R M N ⋂ð等于 （ ）A ．RB ．{}|1x x R x ∈≠且C ．{}1D ．∅ 2、在复平面内，复数2013ii 1iz =+-表示的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、若sin 601233,log cos 60,log tan 30a b c ===，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>4、设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为n S ，且1S 、2S 、4S 成等比数列，则41a a 等于（ ） A ．6B ．7C ．4D ．35、已知点()1,0A -和圆222x y +=上一动点P ，动点M 满足2MA AP =，则点M 的轨迹方程是（ ）A ．()2231x y -+=B ．223()12x y -+=C ．2231()22x y -+=D ．223122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭6、命题“存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥-”的否定为（ ）A ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥-B ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<-C ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<-D ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≤-7、设a b <，函数()()2y x a x b =--的图象可能是（ ）8、程序框图如下：如果上述程序运行的结果S 的值比2013小，若使输出的S 最大，那么判断框中应填入（ ） A ．10k ≤ B ．10k ≥ C ．9k ≤ D ．9k ≥9、图为一个空间几何体的三视图，其中俯视图是下边一个等边三角形，其内切圆的半径是1，正视图和侧视图是上边两个图形，数据如图，则此几何体的体积是（ ）A．3πB．23π C．3π D．43π10、在9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．5376-B ．5376C ．84-D ．8411、如果点P 在平面区域220140x y x x y -+≤⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线（x －1）2＋(y －1)2＝1上，那么|PQ |的最小值为（ ）A1BC1- D．31 12、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与圆222()()x a y b b -+-=相切于点A ，并与椭圆C 交与不同的两点P ，Q ，如图，若A 为线段PQ 的靠近P 的三等分点，则椭圆的离心率为 （ ）A ．3B C D 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 13、由曲线23y x =-和直线2y x =所围成的面积为 。

2016年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|x2﹣4x+3＜0}，集合N={x|lg（3﹣x）＞0}，则M∩N=（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|1＜x＜3} C．{x|1＜x＜2} D．∅2．若是z的共轭复数，且满足•（1﹣i）2=4+2i，则z=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i3．命题p：函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间是[1，+∞），命题q：函数y=的值域为（0，1），下列命题是真命题的为（）A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q）D．￢q4．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=15．设向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，则向量﹣与的夹角为（）A．30° B．60° C．120°D．150°6．某算法的程序框图如图所示，若输入的a，b值分别为60与32，则执行程序后的结果是（）A．0 B．4 C．7 D．287．如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x=t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．8．在边长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点得距离都不小于1得概率为（）A．B．C．D．1﹣9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（）A．1000πB．200πC．πD．π10．给出下列命题：①将函数y=cos（x+）的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+）的图象；②设随机变量ξ﹣N（3，9），若P（ξ＜a）=0.3（a＜3）则P（ξ＜6﹣a）=0.7③（2﹣）10的二项展开式中含有x﹣1项的二项式系数是210；④已知数列{a n}为等差数列，且a2013+a2015=dx，则a2014•（a2012+2a2014+a2016）的值为4π2．其中正确的命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．212．已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f （x+1）=f（3﹣x），f＜2e x﹣1的解集为（）A．（﹣∞，）B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为．14．PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC 上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正确命题的序号是．15．若函数y=e x﹣a（e为自然常数）的图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数a的取值范围是．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n+1•n（n∈N*），求数列{a n•b n}的前n项和T n．18．近年来我国电子商务行业迎来篷布发张的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成商品和服务评价的2×2列联表，并说明是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X．①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差．（K2=，其中n=a+b+c+d）19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=2BC=4，BF=CF=AE=DE，EF=2，EF∥AB，AF⊥CF．（Ⅰ）若G为FC的中点，证明：AF∥平面BDG；（Ⅱ）求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值．20．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围；（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．21．已知直线y=x+b与函数f（x）=lnx的图象交于两个不同的点A，B，其横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）当x2≥2时，证明x1•x22＜2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB平分线DC交AE于点F，交AB于D点．（Ⅰ）求∠ADF的度数；（Ⅱ）若AB=AC，求AC：BC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+4x（a＞0）（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；（Ⅱ）若x∈R时，恒有f（2x）≥7x+a2﹣3，求实数a的取值范围．2016年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|x2﹣4x+3＜0}，集合N={x|lg（3﹣x）＞0}，则M∩N=（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|1＜x＜3} C．{x|1＜x＜2} D．∅【考点】交集及其运算．【分析】求出M与N中不等式的解集，确定出M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中的不等式x2﹣4x+3＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即M={x|1＜x＜3}，由N中的不等式变形得：lg（3﹣x）＞0=lg1，即3﹣x＞1，解得：x＜2，即N={x|x＜2}，则M∩N={x|1＜x＜2}．故选：C．2．若是z的共轭复数，且满足•（1﹣i）2=4+2i，则z=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的运算法则化简求解即可．【解答】解：•（1﹣i）2=4+2i，可得•（﹣2i）=4+2i，可得=（2+i）i=﹣1+2i．z=﹣1﹣2i．故选：B．3．命题p：函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间是[1，+∞），命题q：函数y=的值域为（0，1），下列命题是真命题的为（）A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q）D．￢q【考点】复合命题的真假．【分析】求出函数y=log2（x2﹣2x）的定义域，找出定义域内的内层函数t=x2﹣2x的增区间，结合外层函数y=log2t的单调性求出函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间，从而判断出命题p的真假，利用指数函数的值域求出函数y=的值域，判断出命题q的真假，最后结合复合命题的真假判断得到正确的结论．【解答】解：令t=x2﹣2x，则函数y=log2（x2﹣2x）化为y=log2t，由x2﹣2x＞0，得：x＜0或x＞2，所以，函数y=log2（x2﹣2x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．函数t=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=1，所以，函数t=x2﹣2x在定义域内的增区间为（2，+∞）．又因为函数为y=log2t是增函数，所以，复合函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间是（2，+∞）．所以，命题p为假命题；再由3x＞0，得3x+1＞1，所以，所以，函数y=的值域为（0，1），故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，pVq为真命题，p∧（￢q）为假命题，￢q为假命题．故选B．4．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意， =，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．5．设向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，则向量﹣与的夹角为（）A．30° B．60° C．120°D．150°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先根据向量的垂直求出x的值，再根据向量的夹角公式即可求出．【解答】解：向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，∴x﹣3=0，解得x=，∴﹣=（，1）﹣（，﹣3）=（0，4），∴|﹣|=4，||=2，（﹣）•=4，设向量﹣与的夹角为θ，∴cosθ===，∵0°≤θ≤180°，∴θ=60°．故选：B．6．某算法的程序框图如图所示，若输入的a，b值分别为60与32，则执行程序后的结果是（）A．0 B．4 C．7 D．28【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序输出的结果．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序输出的是用辗转相除法求两个数a、b的最大公约数；当a=60，b=32时，最大公约数是4．故选：B．7．如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x=t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由f（t）表示位于直线l左侧阴影部分的面积，结合已知条件我们可以得到函数s=f（t）是一个分段函数，而且分为两段，分段点为t=，分析函数在两段上的数量关系，不难求出函数的解析式，根据解析式不难得到函数的图象．【解答】解：依题意得s=f（t）=，分段画出函数的图象可得图象如C所示故选C．8．在边长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点得距离都不小于1得概率为（）A．B．C．D．1﹣【考点】几何概型．【分析】根据题意，求出满足条件的点P所组成的几何图形的体积是多少，再将求得的体积与整个正方体的体积求比值即可．【解答】解：符合条件的点P落在棱长为2的正方体内，且以正方体的每一个顶点为球心，半径为1的球体外；根据几何概型的概率计算公式得，P==1﹣．故选：D．9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（）A．1000πB．200πC．πD．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角三角形，高为10的直三棱柱，且三棱柱外接球的半径是三棱柱对角线的一半，结合图形即可求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角三角形，且直角边长分别为6和8，高为10的直三棱柱，如图所示；所以该三棱柱外接球的球心为A1B的中点，因为A1B=10，所以外接球的半径为5，体积为π•=π．故选：D．10．给出下列命题：①将函数y=cos（x+）的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+）的图象；②设随机变量ξ﹣N（3，9），若P（ξ＜a）=0.3（a＜3）则P（ξ＜6﹣a）=0.7③（2﹣）10的二项展开式中含有x﹣1项的二项式系数是210；④已知数列{a n}为等差数列，且a2013+a2015=dx，则a2014•（a2012+2a2014+a2016）的值为4π2．其中正确的命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据三角函数的图象关系进行判断．②根据正态分布的性质进行判断，③根据二项展开式的公式进行判断．④根据等差数列的性质以及积分的应用进行求解判断．【解答】解：①函数y=cos（x+）=cos（x+2π﹣）=sinx，将图象上的每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到y=sin2x，再向左平移个单位长度，得到函数y=sin2（x+）的图象；故①错误，②设随机变量ξ﹣N（3，9），若P（ξ＜a）=0.3（a＜3），则P（ξ＜a）=P（ξ＞6﹣a），则P（ξ＜6﹣a）=1﹣P（ξ＞6﹣a）=1﹣0.3=0.7，故②正确，③（2﹣）10的二项展开式中的通项公式T k+1=C（2）10﹣k（﹣）k=C（2）10﹣k（﹣）k=C•210﹣k（﹣1）k x，当5﹣=﹣1时，k=4，此时T5=C26x﹣1=210×64x﹣1=13440x﹣1故x﹣1项的二项式系数是13440，故③错误；④已知数列{a n}为等差数列，且a2013+a2015=dx==2π，即a2014=π，则a2014•（a2012+2a2014+a2016）=a2014×4a2014=4π2．故④正确，故正确的是②④，故选：C11．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（） 2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选：A12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f （x+1）=f（3﹣x），f＜2e x﹣1的解集为（）A．（﹣∞，）B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质；导数的运算．【分析】根据函数的奇偶性和单调性推导函数的周期性，构造函数g（x），求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（x+1）=f（3﹣x）=f（x﹣3），∴f（x+4）=f（x），即函数是周期为4的周期函数，∵f=f（﹣1）=f（1）=2，∴f（1）=2，设g（x）=，则函数的导数g′（x）==，故函数g（x）是R上的减函数，则不等式f（x）＜2e x﹣1等价为，即g（x）＜g（1），解得x＞1，即不等式的解集为（1，+∞），故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为24 ．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题设中的条件知，可以先把丙与丁必须相邻，可先将两者绑定，又甲与乙不相邻，可把丙与丁看作是一个人，与甲乙之外的一个人作一个全排列，由于此两个元素隔开了三个空，再由插空法将甲乙两人插入三个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可【解答】解：由题意，第一步将丙与丁绑定，两者的站法有2种，第二步将此两人看作一个整体，与除甲乙之外的一人看作两个元素做一个全排列有A22种站法，此时隔开了三个空，第三步将甲乙两人插入三个空，排法种数为A32则不同的排法种数为2×A22×A32=2×2×6=24故答案为：24．14．PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC 上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正确命题的序号是①②③．【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对于①②③可根据直线与平面垂直的判定定理进行证明，对于④利用反证法进行证明，假设AE⊥面PBC，而AF⊥面PCB，则AF∥AE，显然不成立，从而得到结论．【解答】解：∵PA⊥⊙O所在的平面，BC⊂⊙O所在的平面∴PA⊥BC，而BC⊥AC，AC∩PA=A∴BC⊥面PAC，又∵AF⊂面PAC，∴AF⊥BC，而AF⊥PC，PC∩BC=C∴AF⊥面PCB，而BC⊂面PCB，∴AF⊥BC，故③正确；而PB⊂面PCB，∴AF⊥PB，而AE⊥PB，AE∩AF=A∴PB⊥面AEF，而EF⊂面AEF，AF⊂面AEF∴EF⊥PB，AF⊥PB，故①②正确，∵AF⊥面PCB，假设AE⊥面PBC∴AF∥AE，显然不成立，故④不正确．故答案为：①②③．15．若函数y=e x﹣a（e为自然常数）的图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数a的取值范围是[1，e5+1] ．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】由题意作平面区域，从而利用数形结合求解，注意临界值即可．【解答】解：由题意作平面区域如下，，当函数y=e x﹣a与直线y=x相切时，切点恰为（0，0），故此时0=1﹣a，故a=1；当函数y=e x﹣a过点（5，﹣1）时，﹣1=e5﹣a，故a=e5+1；结合图象可知，1≤a≤e5+1．故答案为：[1，e5+1]．16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=﹣，C=．根据△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，求得c=3ab．再由余弦定理化简可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，由此求得ab的最小值．【解答】解：在△ABC中，由条件用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=﹣，C=．由于△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，∴c=3ab．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，整理可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥，故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n+1•n（n∈N*），求数列{a n•b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【分析】（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，运用等差数列的中项的性质，结合等比数列的通项公式，即可得到所求；（Ⅱ）求得a n•b n=（﹣1）n﹣1••（﹣1）n+1•n=3n•（）n．运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，可得2（S5+a5）=S3+a3+S4+a4，即2（S3+a4+2a5）=2S3+a3+2a4，即有4a5=a3，即为q2==，解得q=±，由等比数列{a n}不是递减数列，可得q=﹣，即a n=•（﹣）n﹣1=（﹣1）n﹣1•；（Ⅱ）b n=（﹣1）n+1•n，可得a n•b n=（﹣1）n﹣1••（﹣1）n+1•n=3n•（）n．前n项和T n=3[1•+2•（）2+…+n•（）n]，T n=3[1•（）2+2•（）3+…+n•（）n+1]，两式相减可得， T n=3[+（）2+…+（）n﹣n•（）n+1]=3[﹣n•（）n+1]，化简可得T n=6（1﹣）．18．近年来我国电子商务行业迎来篷布发张的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成商品和服务评价的2×2列联表，并说明是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X．①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差．（K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案；（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，X～B（5，0.4）．求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②利用二项分布的数学期望和方差求X的数学期望和方差．得K2=≈11.111＞10.828，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，X～B（5，0.4）．P（X=0）=0.65；P（X=1）=C51•0.4•0.64；P（X=2）=C52•0.42•0.63；P（X=3）=C53•0.43•0.62；P（X=4）=C54•0.44•0.6；P（X=5）=0.45，②X的分布列19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=2BC=4，BF=CF=AE=DE，EF=2，EF∥AB，AF⊥CF．（Ⅰ）若G为FC的中点，证明：AF∥平面BDG；（Ⅱ）求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）若G为FC的中点，根据线面平行的判定定理证明OG∥AF即可证明：AF∥平面BDG；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，点G为FC的中点，∴OG∥AF，∵AF⊄平面BDG，OG⊂平面BDC，∴AF∥平面BDG．解：（Ⅱ）取AD的中点M，BC的中点Q，连接MQ，则MQ∥AB∥EF，∴M，Q，F，E共面．作FP⊥MQ于P，EN⊥MQ于N，则EN∥FP且EN=FP，连接EM，FQ∵AE=DE=BF=CF，AD=BC，∴△ADE≌△BCF，∴EM=FQ∴△ENM≌△FPQ，∴MN=PQ=1，∵BF=CF，Q为BC的中点，∴BC⊥FQ又BC⊥MQ，FQ∩MQ=Q，∴BC⊥平面MQEF，∴PF⊥BC，∴PF⊥平面ABCD以P原点，PM为x轴，PF为z轴建立空间直角坐标系则A（3，1，0），B（﹣1，1，0），C（﹣1，﹣1，0），设F（0，0，h），则=（﹣3，﹣1，h），=（1，1，h），∵AF⊥CF，∴•=（﹣3，﹣1，h）•（1，1，h）=﹣3﹣1+h2=0，解得h=2，设平面ABF的法向量为=（x，y，z），=（﹣3，﹣1，2），=（1，﹣1，2），由得，令 z=1，则x=0，y=2，即=（0，2，1），同理平面BCF的一个法向量为=（﹣2，0，1），∴===．∴平面ABF与平面BCF夹角的余弦值为．20．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围；（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意知，，利用点到直线的距离公式可求b，结合a2=b2+c2可求a，即可求解（2）由题意设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B （x2，y2），根据方程的根与系数关系求出x1+x2，x1x2，由△＞0可求k的范围，然后代入=x1x2+y1y2==中即可得关于k的方程，结合k的范围可求的范围（3）由B，E关于x轴对称可得E（x2，﹣y2），写出AE的方程，令y=0，结合（2）可求【解答】（1）解：由题意知，，即b=又a2=b2+c2∴a=2，b=故椭圆的方程为（2）解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4）由可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0设A（x1，y1），B （x2，y2），则△=322k4﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0∴∴x1+x2=，x1x2=①∴=x1x2+y1y2====∵∴∴∴）（3）证明：∵B，E关于x轴对称∴可设E（x2，﹣y2）∴直线AE的方程为令y=0可得x=∵y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）∴==1∴直线AE与x轴交于定点（1，0）21．已知直线y=x+b与函数f（x）=lnx的图象交于两个不同的点A，B，其横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）当x2≥2时，证明x1•x22＜2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得x﹣lnx+b=0有两个不同的实根，设g（x）=x﹣lnx+b，求出导数，求得单调区间，可得最小值，即可得到b的范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得0＜x1＜1，x2＞1，g（x1）=g（x2）=0，作差g（x1）﹣g（），化简可得x2﹣3lnx2﹣+ln2，令h（t）=t﹣﹣3lnt+ln2，求出导数，判断符号，得到单调性，可得当x2≥2时，g（x1）﹣g（）＞0，即g（x1）＞g（），由g（x）在（0，1）递减，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得x﹣lnx+b=0有两个不同的实根，设g（x）=x﹣lnx+b，x＞0，g′（x）=1﹣，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增．可得g（x）在x=1处取得最小值b+1，当b＜﹣1时，b=lnx﹣x在（0，1）和（1，+∞）各有一个不同的实根，则b的范围是（﹣∞，﹣1）；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得0＜x1＜1，x2＞1，g（x1）=g（x2）=0，g（x1）﹣g（）=（x1﹣lnx1+b）﹣（﹣ln+b）=（x2﹣lnx2+b）﹣（﹣ln+b）=x2﹣3lnx2﹣+ln2，令h（t）=t﹣﹣3lnt+ln2，则h′（t）=1﹣+=，当t≥2时，h′（t）≥0，h（t）递增，即有h（t）≥h（2）=﹣2ln2＞0，当x2≥2时，g（x1）﹣g（）＞0，即g（x1）＞g（），又g（x）在（0，1）递减，0＜x1＜1，0＜＜1，即有x1＜，可得x1•x22＜2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB平分线DC交AE于点F，交AB于D点．（Ⅰ）求∠ADF的度数；（Ⅱ）若AB=AC，求AC：BC．【考点】相似三角形的判定；相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明．【分析】（I）根据AC为圆O的切线，结合弦切角定理，我们易得∠B=∠EAC，结合DC是∠ACB的平分线，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，我们易得∠ADF=∠AFD，进而结合直径所对的圆周角为直角，求出∠ADF的度数；（II）若AB=AC，结合（1）的结论，我们易得∠ACB=30°，根据顶角为120°的等腰三角形三边之比为：1：1：，易得答案．【解答】解：（I）∵AC为圆O的切线，∴∠B=∠EAC又知DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD即∠ADF=∠AFD又因为BE为圆O的直径，∴∠DAE=90°∴（II）∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，∴△ACE∽△ABC∴又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=30°，∴在RT△ABE中，[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．【考点】直线的参数方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=﹣t，又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，可得结论．【解答】解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣），所以ρ2=4ρ（sinθ﹣cosθ），所以圆C的直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣2y=0．…（2）设z=x+y由圆C的方程x2+y2+2x﹣2y=0，可得（x+1）2+（y﹣）2=4所以圆C的圆心是（﹣1，），半径是2将代入z=x+y得z=﹣t …又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，由题意有：﹣2≤t≤2所以﹣2≤t≤2即x+y的取值范围是[﹣2，2]．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+4x（a＞0）（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；（Ⅱ）若x∈R时，恒有f（2x）≥7x+a2﹣3，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（I）当a=2时，不等式f（x）≥2x+1即|x﹣2|≥﹣2x+1，对x分类讨论解出即可得出．（II）f（2x）≥7x+a2﹣3，化为：f（2x）﹣7x≥a2﹣3，令g（x）=f（2x）﹣7x=|2x﹣a|+x=，利用函数的单调性可得：当x=时，g（x）有最小值，g（x）min==．若命题成立，可得：﹣3，解出即可得出．【解答】解：（I）当a=2时，不等式f（x）≥2x+1即|x﹣2|≥﹣2x+1，∴，或，解得{x|x≥﹣1}．（II）f（2x）≥7x+a2﹣3，化为：f（2x）﹣7x≥a2﹣3，令g（x）=f（2x）﹣7x=|2x﹣a|+x=，．∵x∈时，g（x）单调递减；x∈时，g（x）单调递增．∴当x=时，g（x）有最小值，g（x）min==．若命题成立，可得：﹣3，解得a∈（0，2）．。

2017年高考考前适应性训练数学（理工农医类）本试卷共4页，分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数ii ++113的虚部是A.i -B.1-C.iD.12.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=143422y x x A ，{}2x y y B ==，则B A ⋂=A.[]2,2-B.[]2,0C.0.4D.0.83.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()(σσ2,1N ＞)0，若ξ在（0.2）内取值的概率为0.8，则ξ在()1,0内取值的概率为 A.0.1B.0.2C.0.4D.0.84. 已知两条直线 a ，b 与两个平面α、αβ⊥b ,，则下列命题中正确的是 ①若,//αa 则b a ⊥；②若b a ⊥，则a//α；③若β⊥b ，则βα// ； ④若βα⊥，则b//β. A. ①③B.②④C.①④D.②③5.已知点P 在圆522=+y x 上，点Q （0，—1），则线段PQ 的中点的轨迹方程是 A.022=-+x y xB.0122=-++y y x C.0222=--+y y xD.022=+-+y x y x6.已知a x x p ≥-+-910:的解集为R ，aq 1:＜1，则⌝p 是q 的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A 班和文史类专业的B 班各抽取20名同学参加环保知识测试.统计得到成绩与专业的列联表： 附：参考公式及数据： （1）卡方统计量()()()()()22122111222112112211222112n n n n n n n n n n n n n x ++++-=(其中)22211211n n n n n +++=；（2）独立性检验的临界值表：则下列说法正确的是A.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关8.函数()(()⎩⎨⎧≤++-=0142ln 2x x x x x x x f 的零点个数为A.0B.1C.2D.39.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为 A.π416+ B.π412+ C.π816+ D.π812+10.已知函数()x f 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，()()[]()1212x x x f x f --＜0恒成立，设()()3,2,21f c f b f a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，则a 、b 、c 的大小关系为 A.c ＞a ＞bB.c ＞b ＞aC.a ＞c ＞bD.b ＞a ＞c11.已知双曲线154:22=-y x C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且212F F PF =，则21PF ⋅等于A.24B.48C.50D.5612.对于定义域为D 的函数()x f ，若存在区间[](a D b a M ⊆=,＜)b ，使得(){}M M x x f y y =∈=,，则称区间M 为函数()x f 的“等值区间”.给出下列四个函数：①();2xx f =②();3x x f =③();sin x x f =④().1log 2+=x x f则存在“等值区间”的函数的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个＞)0第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：1.将第II 卷答案用0.5mm 的黑字签字笔答在答题纸的相应位置上。

-1012}012}01}-101}-1012} 23B．5A．4C．D．3[+高三年级第二次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2，，，，，B={x|-2<x≤2}，则A B=A．{-1，，，B．{-1，，C．{-2，，，D．{-2，，，，2.复数2-i1+i对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知向量a=(2,-1),b=(3,x)，若a⋅b=3，则x=A．3B．4C．5D．64.已知双曲线x2y2-a b23=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为457445.已知条件p：x-4≤6；条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是A．(-∞,-1]B．(-∞,9]C．1,9]D．[9，∞)6.运行如图所示的程序框图，输出的结果S=A．14B．30C．62D．1268.已知α,β是两个不同的平面，l,m,n是不同的直线，下列命题不正确的是A．πA．332D．27.(x-1)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是xA．56B．35C．－56D．－35．．．A．若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l⊥αB．若l//m,l⊂/α,m⊂α,则l//αC．若α⊥β,αβ=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥βD．若α⊥β,m⊥α,n⊥β,，则m⊥n9.已知f(x)=sin x+3cos x(x∈R)，函数y=f(x+ϕ)的图象关于直线x=0对称，则ϕ的值可以是πππB．C．D．263410.男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是A．2人B．3人C．2人或3人D．4人11.已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B(点A在x轴下方)，点A与1点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A B的斜率为12B．3C．12.下列结论中，正确的有①不存在实数k,使得方程x ln x-1x2+k=0有两个不等实根；2②已知△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为π6；③函数y=ln与y=ln tan x2是同一函数；④在椭圆x2y2+a2b2=1(a>b>0)，左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A,B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④13.已知等比数列{a}的前n项和为S，且a+a=5n2414.已知实数x、y满足约束条件⎨y≥2,则z=2x+4y的最大值为______．⎪x+y≤6②若a∈(0,1)，则a<a1+11-x是奇函数(第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.5,a+a=，则S=__________．n13246⎧x≥2⎪⎩15.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为__________．16.下列命题正确是．(写出所有正确命题的序号)①若奇函数f(x)的周期为4，则函数f(x)的图象关于(2,0)对称；③函数f(x)=ln；三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=A+高三理科数学试题和答案第3页共6页π2．， 20 40 60 80 ，（1）求 cos B 的值；（2）求 sin 2 A + sin C 的值．18.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC - A B C 中，侧棱 AA ⊥ 平面 ABC ， ∆ABC 为等腰直角三角形，1 1 1 1∠BAC = 90 ，且 AA = AB ， E , F 分别是 C C , BC 的中点．1 1（1）求证：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ；1（2）求二面角 B - AE - F 的余弦值．119.（本小题满分 12 分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0 100]，样本数据分组为第一组[0， )，第二组[20， )，第 三组 [40， )，第四组 [60， )，第五组 [80 100]．（1）求直方图中 x 的值；（2）如果年上缴税收不少于 60 万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业 1200 家，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从所抽取的企业中任选 4 家，这 4 家企业年上缴税收少于 20 万元的家数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）= 1(a > b > 0) 经过点 P (2, 2) ，离心率 e = ，直线 l 的方程为 220．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C ： x 2 y 2+ a 2 b 22 2x = 4 ．（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过椭圆右焦点 F 的任一直线（不经过点 P ）与椭圆交于两点 A ， B ，设直线 AB 与l 相交于点 M ，记 P A , PB , PM 的斜率分别为 k , k , k ，问：是否存在常数 λ ，使得1 2 3k + k = λ k ？若存在，求出 λ 的值，若不存在，说明理由．12321.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ax + ln x ，其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数．（1）当 a = -1 时，求 f ( x ) 的最大值；（2）若 f ( x ) 在区间 (0, e ] 上的最大值为 -3 ，求 a 的值；（3）设 g ( x ) = xf ( x ), 若 a > 0, 对于任意的两个正实数 x , x ( x ≠ x ) ，1 2 1 2证明： 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x ) ．1 2请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用⎪⎪ 5⎩17．解：（1）∵ B = A + ， ∴ A = B -， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 分 ==2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程⎧3 x =- t + 2 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⎨ ( t 为参数)，以原点 O 为极点， x⎪ y = 4 t ⎪5轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 ρ = a sin θ ．（1）若 a = 2 ，求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；（2）设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，求 a 的值．23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 f ( x ) = 2x -1 + 2x + 5 ，且 f ( x ) ≥ m 恒成立．（1）求 m 的取值范围；（2）当 m 取最大值时，解关于 x 的不等式： x - 3 - 2x ≤ 2m - 8 ．高三第二次质量检测理科数学答案一．ADABD CCABC CA二．13．631614．20 15． 61 16．①③ππ2 23 4 又 a = 3, b = 4 ，所以由正弦定理得 ，sin Asin B34所以， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3 分- cos B sin B所以 -3sin B = 4cos B ，两边平方得 9sin 2 B = 16cos 2 B ，3又 sin 2 B + cos 2 B = 1 ，所以 cos B = ± ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分5π 3而 B > ，所以 cos B = - ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 53 4（2）∵ cos B = - ，∴ sin B = ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分5 5∴面 ABC ⊥ 面 BB C C..........2 分+ = 则 F (0,0,0) ， A ( 22 2 2 2 2 1 ∵ B = A +π2，∴ 2 A = 2 B - π ，∴ sin 2 A = sin(2 B - π ) = - sin 2 B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分4 3 24= -2sin B cos B = -2 ⨯ ⨯ (- ) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分5 5 25又 A + B + C = π ，∴ C = 3π 2- 2 B ，7 24 7 31∴ sin C = - cos 2 B = 1 - cos 2 B = ．∴ sin 2 A + sin C = ． (12)25 25 25 25分18．解答： （1）证明：∵ F 是等腰直角三角形 ∆ABC 斜边 BC 的中点，∴ AF ⊥ BC ．又∵侧棱 AA ⊥ 平面ABC ，11 1∴ AF ⊥ 面 BB 1C 1C ， AF ⊥ B 1F ．…3 分设 AB = AA = 1 ，则1，EF= ， ．∴ B F 2 + EF 2 = B E 2 ，∴ B F ⊥ EF ．.......... 4 分1 11又 AF ⋂ EF = F ，∴ B F ⊥平面 AEF ．…1而 B F ⊂ 面 AB F ，故：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5 分1 11（2）解：以 F 为坐标原点， FA ， FB 分别为 x ， y 轴建立空间直角坐标系如图，设 AB = AA = 1 ，12 2 1,0,0) ， B (0, - ,1) ， E (0, - , ) ，12 2 1 2 2AE = (- , - , ) , AB = (- , ,1) ．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 2 2 2 2由（1）知， B F ⊥平面 AEF ，取平面 AEF 的法向量：12m = FB = (0, ,1) ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分14 4 256 4 4 4 644 4 64 4 4 64设平面 B AE 的法向量为 n = ( x , y , z ) ，1由取 x = 3 ，得 n = (3, -1,2 2) (10),分设二面角 B - AE - F 的大小为θ ，1则 cos θ=|cos ＜＞|=| |= ．由图可知θ 为锐角，∴所求二面角 B - AE - F 的余弦值为．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分119．解答： 解：（I ）由直方图可得： 20 ⨯ (x + 0.025 + 0.0065 + 0.003 ⨯ 2) = 1解得 x = 0.0125 ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分（II ）企业缴税收不少于 60 万元的频率 = 0.003 ⨯ 2 ⨯ 20 = 0.12 ， ∴1200 ⨯ 0.12 = 144 ．∴1200 个企业中有144 个企业可以申请政策优惠．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（III ） X 的可能取值为 0,1,2,3,4 ．由（I ）可得：某个企业缴税少于 20 万元的概率 = 0.0125 ⨯ 20 = 0.25 =分1 3 81 1 3 27P ( X = 0) = C 0 ( )0 ( )4 = P ( X = 1) = C 1 ( )1 ( )3 = 41 3 27 1 3 3P ( X = 2) = C 2 ( )2 ( )2 = P ( X = 3) = C 3 ( )3 ( )1 =4 4 14 (5)X0 1 2 3 44 4 256∴ E ( X ) = 0 ⨯ 81+ = 1 ① 又e = , 所以 = = 4, a = 8,b 1 + 2k 2 1 + 2k 2, x x = x - 2 x - 22, k = k = 2k - 2 4 - 2 2P8125627 64 27 64 3 64 1 2561 3 1P ( X = 4) = C 4 ( )4 ( )0 =4...................................... 10 分............. 11 分27 27 3 1+ 1⨯ + 2 ⨯ + 3 ⨯ + 4 ⨯= 1． ....12 分25664 64 64 25620．解：（1）由点 P (2, 2) 在椭圆上得， 4 2 2 c 2 a 2 b 2 2 a 2②由 ①②得 c 2 2 2 = 4 ，故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2+ = 1 ……………………..4 分 8 4（2）假设存在常数 λ ，使得 k + k = λ k .1 23由题意可设 AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为 y = k ( x - 2) ③代入椭圆方程x 2 y 2+ = 1 并整理得 (1+ 2k 2 ) x 2 - 8k 2 x + 8k 2 - 8 = 0 8 48k 2 8k 2 - 8设 A ( x , y ), B ( x , y ) ，则有 x + x = ④ ……………6 分 1 1 2 2 1 2 1 2在方程③中，令 x = 4 得， M (4,2 k ) ，从而 k = y 1 - 2 y 2 - 21 2 1,3 2= k - .又因为 A 、F 、B 共线，则有 k = k AF = k BF ，即有y当 a = -1 时， f ( x ) = - x + ln x ， f ' ( x ) = -1 + 1①若 a ≥ - ，则 f ' ( x ) ≥ 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, e ] 上是增函数，y1=2= k ……………8 分x - 2x - 21 2所以 k + k = 1 2 y - 2 y - 2 1 + 2 x - 2 x - 21 2= y y 1 11 +2 - 2( + )x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 1 2 1 2= 2k - 2x 1 + x 2 - 4x x - 2( x + x ) + 41 212⑤ ……………10 分将④代入⑤得 k + k = 2k - 2 1 2 8k 2- 41 + 2k2 8k 2 - 8 8k 2- 2 + 41 + 2k2 1 + 2k 2= 2k - 2 ，又 k = k - 32 2 ，所以 k + k = 2k 1 2 3 . 故存在常数 λ = 2 符合题意…………12 分21.【解答】解：（1）易知 f ( x ) 定义域为 (0, +∞) ，1 - x= ，x x令 f ' ( x ) = 0 ，得 x = 1 ．当 0 < x < 1 时， f ' ( x ) > 0 ；当 x > 1 时， f ' ( x ) < 0 ． (2)分∴ f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数，在 (1,+∞) 上是减函数．f ( x )max= f (1) = -1．∴函数 f ( x ) 在 (0, +∞) 上的最大值为 -1 ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（2）∵ f '( x ) = a + 1 1 1, x ∈ (0, e ], ∈ [ , +∞) ．x x e1e∴ f ( x )max= f (e ) = ae + 1 ≥ 0 ，不合题意． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分11② 若 a < - ，则由 f ' ( x ) > 0 ⇒ a +ex> 0 ，即 0 < x < -1a11由 f ' ( x ) < 0 ⇒ a +< 0 ，即 - < x ≤ e ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分xa从而 f ( x ) 在 (0, - ) 上增函数，在 (- （3）法一：即证 2a ( x + x 2) + 2( 12 )ln( 222 2 x 2 x21 1a a, e ) 为减函数∴ f ( x ) max 1 1 = f (- ) = -1 + ln(- ) a a1 1令 -1 + ln(- ) = -3 ，则 ln(- ) = -2a a∴- 11= e -2 -e 2 < -a ，即 a = -e 2．∵ e ，∴ a = -e 2 为所求 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分1 1 x + x x + x2 2 22 ) ≤ ax 2 + ax 2 + x ln x + x ln x 1 2 1 1 222a ( x + x ( x + x )21 2 )2 - ax 2 - ax 2 = a ⋅[ 1 21 2- x 2 - x 2 ]1 2( x - x )2= -a 1 2 2< 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 9 分另一方面，不妨设 x < x ，构造函数1 2k ( x ) = ( x + x )ln(1x + x12) - x ln x - x ln x ( x > x )1 1 1x + xx + x则 k ( x ) = 0 ，而 k ' ( x ) = ln 1 - ln x = ln 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分1x + x由 0 < x < x 易知 0 < 11< 1 , 即 k ' ( x ) < 0 ， k ( x ) 在 ( x , +∞) 上为单调递减且连续， 1x + x故 k ( x ) < 0 ，即 ( x + x )ln( 11) < x ln x + x ln x 1 1相加即得证⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分1法二： g ' ( x ) = 2ax + 1 + ln x , g '' ( x ) = 2a + > 0.........9 分x故 g ' ( x ) 为增函数，不妨令 x > x 21令 h ( x ) = g ( x ) + g ( x ) - 2 g (1x + x12)( x > x )1h ' ( x ) = g '(x ) - g ' (x + x12) ......... 10 分易知 x > x + x x + x1 ， 故h ' ( x ) = g '(x ) - g ' ( 12 2) > 0 (11)分而 h ( x ) = 0 ， 知 x > x 时， h ( x ) > 0112(2)圆 C ： x 2 + y - a ⎫2∴圆心 C 到直线的距离 d = 2- 8 得 a = 32 或 a = 32 ⎪ -4 x - 4, x < - 523.解 (1) f (x) = ⎨6, - 5⎩ 4 x + 4, x > 22 ≤ x ≤ ⎩3 - x - 2 x ≤4 ⎧ 3 ≤ x < 3 .所以，原不等式的解集为 ⎨⎧x x ≥ - ⎬ .故 h ( x ) > 0 ， 即 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x )21 2 (12)分22.解 (1) a = 2 时，圆 C 的直角坐标方程为 x 2 + (y -1)2 = 1 ；直线 l 的普通方程为 4 x + 3 y - 8 = 0 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分⎛⎪ = ⎝ 2 ⎭a 2 4 ，直线 l : 4 x + 3 y - 8 = 0 ，∵直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，3a1 a5 = 2 ⨯ 2 ，11 .⎧2 ⎪1 ⎪2 ≤ x ≤ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分⎪1 ⎪ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分当 - 5 12 时，函数有最小值 6 ，所以 m ≤ 6 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分另解：∵ 2x -1 + 2x + 5 ≥ (2x -1) - (2x + 5) = -6 = 6 .∴ m ≤ 6 .(2)当 m 取最大值 6 时，原不等式等价于 x - 3 - 2x ≤ 4 ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分等价于 ⎨ x ≥ 3 ⎩ x - 3 - 2x ≤ 4 ⎧ x < 3 ，或 ⎨，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分可得 x ≥ 3 或 - 11 ⎫ ⎩ 3 ⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分。

河南省商丘市2009年高三第二次模拟考试试题数 学（理科）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答在答题卷（Ⅱ卷）上，答在试题卷上的答案无效。

满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前将密封线内的项目及座号填写清楚。

3．请把第I 卷中每小题你认为正确选项的代号填写在答题卷（Ⅱ卷）中选择题答案栏内。

4．答第Ⅱ卷时，用0．5毫米的黑色墨水笔书写在答卷（Ⅱ卷）上。

考试终了，只交答卷（Ⅱ卷）。

参考公式如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P (A ＋B )＝P (A )十P (B ) S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P (A ·B )＝P (A )·P (B ) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那 V ＝πR 3么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 P n (k )＝P k (1一P )n －k （k ＝0，1，2，…，n ） 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）(1)集合A ＝{y ｜y ＝x 2，x ∈R}，B ＝{－2，－1，1，2}，则下列结论正确的是(A )A ∪B ＝(0，＋∞) (B )(C R A )∪B ＝(－∞，0](C )A ∩C R B ＝[0，＋∞) (D )(C R A )∩B ＝{－2，－1}(2)若复数(1＋bi )(2＋i )是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b ＝(A )2 (B )12 (C )－12 (D )－2 (3)已知cos (θ＋6π)＝513，0<θ<3π，则cos θ＝(A (B (C (D (4)等差数列{a n }中，2a 3－27a ＋2a 11＝0，数列{b n }为等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8的值为(A )2 (B )4 (C )8 (D )16(5)在24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有(A)3项(B)4项(C)5项(D)6项(6)若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b的最小值为(A)14(B(C)32(D)32＋(7)在三棱锥A－BCD中，P、Q分别是棱AC、BD上的点，连结AQ、CQ、BP、DP、PQ，若三棱锥A－BPQ、B－CPQ、C－DPQ的体积分别为6、2、8，则三棱锥A－BCD的体积是(A)20 (B)28 (C)40 (D)88(8)已知O为直角坐标系原点，P，Q的坐标均满足不等式组425020x yx yx-⎧⎪-⎨⎪-⎩＋3≤＋2≤1≥，则tan∠POQ的最大值等于(A)12(B)1 (C)2(D)0(9)如图，AB是半圆O的直径，C、D是弧AB的三等分点，M、N是线段AB的三等分点，若OA＝6，则MD·NC的值是(A)2 (B)5(C)26 (D)29(10)已知边长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别为棱AB、A1D1的中点，则经过E、F球的截面面积的最小值为(A)38π(B)2π(C)58π(D)78π(11)已知函数f(x)的导函数为'f(x)＝4＋3cosx，x∈(－1，1)，且f(0)＝0，如果f(1－a)＋f(1－a2)<0，则实数a的取值范围为(A) (0，1) (B) (1(C) (－2(D) (－∞，－2)∪(1，＋∞)(12)已知一组抛物线y＝12ax2＋bx＋l，其中a为2、4、6、8中任取的一个数，b为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x＝1交点处的切线相互平行的概率是(A)112(B)760(C)625(D)516第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）(13)若ξ－N(1，σ2)，且P(1<ξ<3)＝0．4，则P(ξ>3)＝_____________．(14)已知函数f (x )＝10m x x x x ⎧⎪⎨⎪2,⎩＜0＋log ≥,(m>0，m ≠1)在x ＝0处连续，则m 的值为_________． (15)在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC ＝2π，AB ＝AC ＝AA l ＝1．已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为____________．(16)已知命题：①函数f (x )＝1lg x在(0，＋∞)上是减函数；②函数f (x )的定义域为R ， 'f (x 0)＝0是x ＝x 0为极值点的既不充分也不必要条件；③函数f (x )＝2sinxcos ｜x ｜的最小正周期为π；④在平面上，到定点(2，1)的距离与到定直线3x ＋4y －10＝0的距离相等的点的轨迹是抛物线；⑤已知a ＝(3，4)，b ＝(0，－1)，则a 在b 方向上的投影为4．其中正确命题的序号是______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(17)(本小题满分10分)已知函数f (x )＝sin (x －6π)·cosx ，x ∈(0，2π)． (Ⅰ)求函数f (x )的值域； (Ⅱ)若曲线y ＝f (x )在x 0处的切线倾斜角α∈[arctan12，4π]，求x 0的取值范围．(18)(本小题满分12分)已知四棱锥P －ABCD ，底面是边长为1的正方形，侧棱PC 长为2，且PC ⊥底面ABCD ，E 是侧棱PC 上的动点．(Ⅰ)证明BD ⊥AE ；(Ⅱ)求点C 到平面PDB 的距离；(Ⅲ)若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．(19)(本小题满分12分)下面玩掷骰子放球的游戏：若掷出1点，甲盒中放入一球；若掷出2点或3点，乙盒中放入一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放入一球．设掷n次后，甲、乙、丙盒内的球数分别为x，y，z.(Ⅰ)当n＝6时，求x、y、z成等比数列的概率；(Ⅱ)当n＝4时，若甲盒和乙盒中球的个数差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和期望Eξ．(20)(本小题满分12分)等差数列{a n}中，a1＝1，S n为其前n项和，等比数列{b n}的公比q满足｜q｜<1，T n为其前n项和，若S2＝4b1，S6＝2T2＋33，又b1＝2(1－q)．(Ⅰ)求{a n}、{b n}的通项公式；(Ⅱ)若c1＝a l，c2＝a2＋a3，c3＝a4＋a5＋a6，…，求c n的表达式；(Ⅲ)若f(n)，求证f(2nb)>2n＋1(n≥2)．(21)(本小题满分12分)已知△ABC一边的两个端点为B0)，C(0)，另两边所在直线的斜率之积为12，动直线l过定点(－3，0)，Q点坐标为(2，0)．(Ⅰ)求顶点A的轨迹E的方程；(Ⅱ)若直线l与曲线E交与两点M，N(在y轴左侧)，QM QN是否存在最小值?若存在，求出最小值，若不存在，说明理由；(Ⅲ)若△MQN的面积记为S，对任意适合条件的直线l，不等式S≥λ·tan∠MQN恒成立，求λ的最大值．(22)(本小题满分12分)函数f(x)＝x3－3tx＋m(x∈R，m和t为实常数)是奇函数，设g(x)＝｜f(x)｜在[－1，1]上的最大值为F(t)．(Ⅰ)求F(t)的表达式；(Ⅱ)求F(t)的最小值．。

河南省商丘市2017-2018高三第二次模拟考试试卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）A2.）A3.）A．44.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程91，39）A．11 B．12 C. 13 D．145.高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有（ ）ABD6.18为（ ）A ．3B ．5 C. 7 D ．97.）A8.） A ．1 B ．2 C. 3 D ．49.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A10.，得到）A．2 B．4 C. 6 D．811.取值范围为（）A12.）AD 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的距离为 ．14.2,22OB AB -=的值为 ．4，则展开式中的常数项为 ．16.给出以下结论：其中，正确的结论有 ．(写出所有正确结论的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1（22.18.世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位:百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上；（38名学生中有5名女生，3名男生， 现想选其中3.附:(,N μσX σμ<<19.2（1（2.20.（1）求拋物线方程；（2.21.（1围；（2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程.（1（2积.23.选修4-5：不等式选讲（1（2.精品文档试卷答案一、选择题1-5: ABCCD 6-10: ADBAC 11、12：DB二、填空题①②④三、解答题17. 解：（Ⅰ）证明：∵（Ⅱ），，18...19.解：(Ⅰ)D3(-(3,12=1，得y 3,0)-20m n m n⋅=⋅20.解：8分21.，22.解：.23.解：83⎛+∞⎝，()fx取最小值。

2017年河南省六市联考高三理科二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合，，则A. B. C. D.2. 设复数（为虚数单位），则的虚部是A. B. C. D.3. 函数的图象大致为A. B.C. D.4. 如图，，，，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示，是异面直线的图形的序号为A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④5. 已知圆．设条件，条件圆上至多有个点到直线的距离为，则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若，则的展开式中的常数项A. B. C. D.7. 若不等式组所表示的平面区域存在点使成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.8. 阅读算法框图，如果输出的函数值在区间上，则输入的实数的取值范围是A. B. C. D.9. 某同学用“随机模拟方法”计算曲线与直线，所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了个在区间上的均匀随机数和个区间上的均匀随机数，其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是A. B. C. D.10. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何?”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱11. 己知函数，先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到的图象关于直线对称，则的最小值为A. B. C. D.12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，椭圆的离心率为，直线过与双曲线交于，两点，若，，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为A. 或B. 或C. 或D. 或二、填空题（共4小题；共20分）13. 向量，，若，则 ______．14. 已知是首项为的等比数列，是其前项和，且，则数列前项和为______．15. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为______．16. 若曲线：与曲线：存在公切线，则的取值范围为______．三、解答题（共7小题；共91分）17. 已知在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．18. 某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级．百分制分及以上分到分分到分分以下等级为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求和频率分布直方图中的，的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选人，求至少有人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A，C两个等级的学生中随机抽取了名学生进行调研，记表示抽取的名学生中为C等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望．19. 如图，是半圆的直径，是半圆上除，外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，，，，．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．20. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，右焦点．（1）求椭圆的方程；（2）点在椭圆上，且在第一象限内，直线与圆：相切于点，且，求点的纵坐标的值．21. 已知函数，，（其中是自然对数的底数）．（1），使得不等式成立，试求实数的取值范围；（2）若，求证：．22. 在极坐标系中，曲线的方程为，点．（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，点的极坐标化为直角坐标；（2）设为曲线上一动点，以为对角线的矩形的一边垂直于极轴，求矩形周长的最小值及此时点的直角坐标．23. 设函数．（1）当时，解不等式：；（2）若关于的不等式的解集为，且两正数和满足，求证：．答案第一部分1. C2. A3. D4. D5. C6. B7. B8. D9. A 10. D11. A 12. C第二部分13.14.15.16. ．第三部分17. （1）在中，由正弦定理得，即，又角为三角形内角，，所以，即，又因为，所以．（2）在中，由余弦定理得：，则，即，解得（舍）或，又，所以．18. （1）由题意可知，样本容量，，．（2）不合格的概率为，设至少有人成绩是合格等级为事件，所以，故至少有人成绩是合格等级的概率为．（3） C等级的人数为人，A等级的为人，所以的取值可为，，，；所以，，，，所以的分布列为．19. （1）因为是直径，所以．因为平面，所以．因为，所以平面．因为，，所以是平行四边形，，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）依题意，．由（Ⅰ）知，当且仅当时等号成立．如图所示，建立空间直角坐标系，，，，，所以，，，．设面的法向量为，即所以，设面的法向量为，即所以，所以．因为与二面角的平面角互补，所以二面角的余弦值为．20. （1）由题意可得，，解得，，可得椭圆方程为；（2）当垂直于轴时，可得，，由，即有，解得当不垂直于轴时，设，：，即为，由与圆：相切，可得，平方可得，即，又，由，即有，解得，则解得．综上可得，．21. （1）因为，所以，所以，所以，当时，，函数在上单调递增，所以，因为，所以，因为，所以，，，所以，所以函数在上单调递减，所以，所以，所以，所以实数的取值范围为；（2），要证：，只要证，只要证，只要证，由于，，只要证，下面证明时，不等式成立，令，，所以，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，令，其可看作点与点连线的斜率，所以直线的方程为，由于点在圆上，所以直线与圆相交或相切，当直线与圆相切且切点在第二象限时，直线的斜率取得最大值为，所以当时，，时，，综上所述，当，．22. （1）由于，，所以曲线的直角坐标方程为，点的直角坐标为．（2）设，据题意可得，，所以，当时，的最小值为，所以矩形周长的最小值为，点的坐标为．23. （1）当时，不等式：，可化为．①时，不等式可化为，所以；②，不等式可化为，所以；③，不等式可化为，所以，综上所述，不等式的解集为；（2）不等式的解集为，所以，所以，当且仅当，时取等号．。

2017年河南省商丘市⾼考数学⼆模试卷（理科）含答案解析2017年河南省商丘市⾼考数学⼆模试卷（理科）⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个是符合题⽬要求的．1．已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中⾄少有3个元素，则（）A．k＞e3B．k≥e3C．k＞e4D．k≥e42．i为虚数单位，若（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣73．已知f（x）=sinx﹣x，命题p：?x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：：?x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：：?x∈（0，），f（x）≥0C．P是真命题，￢p：：?x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题，￢p：：?x∈（0，），f（x）≥04．在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=60，则2a﹣a10的值为（）A．6 B．8 C．12 D．135．我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执⾏如图算法的程序框图时，若输⼊的n=5，x=2，则输出V的值为（）A．15 B．31 C．63 D．1276．⼀块硬质材料的三视图如图所⽰，正视图和俯视图都是边长为10cm的正⽅形，将该⽊料切削、打磨，加⼯成球，则能得到的最⼤球的半径最接近（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm7．若不等式组表⽰的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表⽰的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝⿇，则落在区域Γ中芝⿇数约为（）A．114 B．10 C．150 D．508．若等边△ABC的边长为3，平⾯内⼀点M满⾜=+，则?的值为（）A．﹣B．﹣2 C．D．29．⾼考结束后⾼三的8名同学准备拼车去旅游，其中⼀班、⼆班、三班、四班每班各两名，分乘甲、⼄两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同⼀辆车的4名同学不考虑位置，）其中⼀班两位同学是孪⽣姐妹，需乘同⼀辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来⾃同⼀班的乘坐⽅式共有（）A．18种B．24种C．48种D．36种10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离⼼率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，2）C．（，+∞）D．（2，+∞）11．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）的部分图象的纸⽚沿x轴折成直⼆⾯⾓，若AB之间的空间距离为2，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．12．已知函数f（x）=，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x1，x2，则x1?x2的取值范围是（）A．[4﹣2ln2，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，4﹣2ln2]D．（﹣∞，）⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）.．设a=（cosx﹣sinx）dx，则⼆项式（a﹣）6的展开式中含x2项的系数为．14．已知抛物线C：y2=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若?=0，则k=．=x n 15．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{x n}满⾜x n+1﹣，设a n=ln，若a1=，x n＞2，则数列{a n}的通项公式a n=．16．已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三⾓形是直⾓三⾓形，则m的取值范围是．三、解答题：本⼤题共5⼩题，共70分．解答写出⽂字说明、证明过程或演算过程．17．在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的⾯积为4，求c．18．甲、⼄两家外卖公司，其送餐员的⽇⼯资⽅案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；⼄公司⽆底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同⼀公司送餐员⼀天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取⼀名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表⼄公司送餐员送餐单数频数表（Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都⼤于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（i）记⼄公司送餐员⽇⼯资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ii）⼩明拟到甲、⼄两家公司中的⼀家应聘送餐员，如果仅从⽇⼯资的⾓度考虑，请利⽤所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=．（Ⅰ）证明：A1D⊥平⾯A1BC；（Ⅱ）求⼆⾯⾓A﹣BD﹣B1的平⾯⾓的正弦值．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离⼼率为，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且?为定值．（Ⅰ）求椭圆E的⽅程；（Ⅱ）求△OAB⾯积的最⼤值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+，若g（x）有极⼤值点x1，求证：＞a．[选修4-4：坐标系与参数⽅程选讲]22．在直⾓坐标系xOy中，直线l的参数⽅程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的⽅程为ρ=6sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通⽅程和圆C的直⾓坐标⽅程；（Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的⽅程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．2017年河南省商丘市⾼考数学⼆模试卷（理科）参考答案与试题解析⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个是符合题⽬要求的．1．已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中⾄少有3个元素，则（）A．k＞e3B．k≥e3C．k＞e4D．k≥e4【考点】元素与集合关系的判断．【分析】⾸先确定集合A，由此得到lnk＞4，由此求得k的取值范围．【解答】解：∵集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中⾄少有3个元素，故选：C．2．i为虚数单位，若（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利⽤复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵=，（2﹣i）2=4﹣4i﹣1=3﹣4i，⼜（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，∴b=3，a=﹣4，则a﹣b=﹣7．故选：D．3．已知f（x）=sinx﹣x，命题p：?x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：：?x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：：?x∈（0，），f（x）≥0C．P是真命题，￢p：：?x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题，￢p：：?x∈（0，），f（x）≥0【考点】命题的否定．【分析】直接利⽤特称命题否定是全称命题写出结果．【解答】解：f（x）=sinx﹣x，x∈（0，），f′（x）=cosx﹣1＜0，∴f（x）是（0，）上是减函数，∵f（0）=0，∴f（x）＜0，∴命题p：?x∈（0，），f（x）＜0是真命题，4．在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=60，则2a﹣a10的值为（）A．6 B．8 C．12 D．13【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利⽤等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a1+3a8+a15=60，∴a1+3（a1+7d）+a1+14d=5（a1+7d）=60，∴a1+7d=12，2a﹣a10=2（a1+8d）﹣（a1+9d）=a1+7d=12．故选：C．5．我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执⾏如图算法的程序框图时，若输⼊的n=5，x=2，则输出V的值为（）A．15 B．31 C．63 D．127【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利⽤循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运⾏过程，可得答案．【解答】解：∵输⼊的x=2，n=5，故v=1，i=4，v=1×2+1=3i=3，v=3×2+1=7i=2，v=7×2+1=15i=1，v=15×2+1=31i=0，v=31×2+1=63i=﹣1，跳出循环，输出v的值为63，故选：C6．⼀块硬质材料的三视图如图所⽰，正视图和俯视图都是边长为10cm的正⽅形，将该⽊料切削、打磨，加⼯成球，则能得到的最⼤球的半径最接近（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【考点】由三视图求⾯积、体积．【分析】由题意，该⼏何体为三棱柱，所以最⼤球的半径为正视图直⾓三⾓形内切圆的半径r．则10﹣r+10﹣r=10cm，∴r=10﹣5≈3cm．故选：A．7．若不等式组表⽰的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表⽰的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝⿇，则落在区域Γ中芝⿇数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50【考点】⼏何概型；简单线性规划．【分析】作出两平⾯区域，计算两区域的公共⾯积，得出芝⿇落在区域Γ内的概率．==【解答】解：作出平⾯区域Ω如图：则区域Ω的⾯积为S△ABC区域Γ表⽰以D（）为圆⼼，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共⾯积为S′=+=．∴芝⿇落⼊区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝⿇数约为360×=30π+20≈114．故选A．8．若等边△ABC的边长为3，平⾯内⼀点M满⾜=+，则?的值为（）A．﹣B．﹣2 C．D．2【考点】平⾯向量数量积的运算．【分析】如图所⽰，建⽴直⾓坐标系．利⽤向量坐标运算性质、数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所⽰，建⽴直⾓坐标系：B（0，），A（，0），C（﹣，0）．=（，），=（3，0）=+=（2，）．=（，），∴=（﹣1，），=（，﹣）则?=﹣=﹣2．故选：B．9．⾼考结束后⾼三的8名同学准备拼车去旅游，其中⼀班、⼆班、三班、四班每班各两名，分乘甲、⼄两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同⼀辆车的4名同学不考虑位置，）其中⼀班两位同学是孪⽣姐妹，需乘同⼀辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来⾃同⼀班的乘坐⽅式共有（）A．18种B．24种C．48种D．36种【考点】排列、组合的实际应⽤．【分析】分类讨论，第⼀类，同⼀班的2名同学在甲车上；第⼆类，同⼀班的2名同学不在甲车上，再利⽤组合知识，问题得以解决．【解答】解：由题意，第⼀类，同⼀班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来⾃不同的班级，从三个班级中选两个为C32=3，然后分别从选择的班级中再选择⼀个学⽣为C21C21=4，故有3×4=12种．第⼆类，同⼀班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择⼀个班级的两名同学在甲车上，为C31=3，然后再从剩下的两个班级中分别选择⼀⼈为C21C21=4，这时共有3×4=12种，根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车⽅式，故选：B．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离⼼率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，2）C．（，+∞）D．（2，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】由右顶点M在以AB为直径的圆的外，得|MF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式⼦，再结合平⽅关系和离⼼率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＜0，解之即可得到此双曲线的离⼼率e的取值范围．【解答】解：由于双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），则直线AB⽅程为：x=﹣c，因此，设A（﹣c，y0），B（﹣c，﹣y0），∴=1，解之得y0=，得|AF|=，∵双曲线的右顶点M（a，0）在以AB为直径的圆外，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，∵e＞1，∴解之得1＜e＜2．故选：B．11．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）的部分图象的纸⽚沿x轴折成直⼆⾯⾓，若AB之间的空间距离为2，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．【考点】点、线、⾯间的距离计算；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ的值，再根据A、B两点之间的距离，求得T的值，可得ω的值，从⽽求得函数的解析式，从⽽求得f （﹣1）的值．【解答】解：由函数的图象可得2sinφ=1，可得sinφ=，再根据＜φ＜π，可得φ=．再根据A、B两点之间的距离为=2，求得T=4，再根据T==4，求得ω=．∴f（x）=2sin（x+），f（﹣1）=2sin（﹣+）=，故选：D．A．[4﹣2ln2，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，4﹣2ln2]D．（﹣∞，）【考点】分段函数的应⽤．【分析】由题意可知：当x≥1时，f（x）+1≥1，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1﹣＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），f[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则x1x2=e t（2﹣2t），t＞，设g（t）=e t（2﹣2t），t＞，求导，利⽤导数求得函数的单调性区间，即可求得x1x2的取值范围．【解答】解：当x≥1时，f（x）=lnx≥0，∴f（x）+1≥1，∴f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1﹣＞，f（x）+1＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），综上可知：F[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则f（x）+1=e﹣m，f（x）=e﹣m﹣1，有两个根x1，x2，（不妨设x1＜x2），当x≥1是，lnx2=e﹣m﹣1，当x＜1时，1﹣=e﹣m﹣1，令t=e﹣m﹣1＞，则lnx2=t，x2=e t，1﹣=t，x1=2﹣2t，∴x1x2=e t（2﹣2t），t＞，设g（t）=e t（2﹣2t），t＞，求导g′（t）=﹣2te t，t∈（，+∞），g′（t）＜0，函数g（t）单调递减，∴g（t）＜g（）=，∴g（x）的值域为（﹣∞，），∴x1x2取值范围为（﹣∞，），故选：D．⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）.13．设a=（cosx﹣sinx）dx，则⼆项式（a﹣）6的展开式中含x2项的系数为12．【考点】⼆项式系数的性质．【分析】根据微积分基本定理⾸先求出a的值，然后再根据⼆项式的通项公式求出r的值，问题得以解决．【解答】解：由于a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）|=﹣1﹣1=﹣2，=2r C6r?x3﹣r，∴（﹣2﹣）6=（2+）6的通项公式为T r+1令3﹣r=2，求得r=1，故含x2项的系数为2C61=12．故答案为：1214．已知抛物线C：y2=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若?=0，则k=8．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设直线AB的⽅程，代⼊抛物线⽅程，利⽤韦达定理及向量数量积的坐标运算（x1，y1﹣2）（x2，y2﹣2）=0，即可求得k的值．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），∴直线AB的⽅程为y=k（x ﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联⽴⽅程组，整理得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，则x1+x2==2+．x1x2=1．∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4，∵?=0，（x1，y1﹣2）（x2，y2﹣2）=0，即x1x2+y1y2﹣2（y1+y2）+4=0，解得：k=8．故答案为：1．=x n 15．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{x n}满⾜x n+1﹣，设a n=ln，若a1=，x n＞2，则数列{a n}的通项公式a n=2n﹣2（n∈N*）．【考点】数列与函数的综合．=，【分析】由题意可得f（x）=a（x﹣1）（x﹣2），求出导数，可得x n+1=ln=2ln=2a n，运⽤等⽐数列的通项公式即可得到所求．求得a n+1【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，可得f（x）=a（x﹣1）（x﹣2），f′（x）=a（2x﹣3），=x n﹣=x n﹣=，则x n+1由a1=，x n＞2，=ln=ln=2ln=2a n，则a n+1即有a n=a1q n﹣1=?2n﹣1=2n﹣2．故答案为：2n﹣2（n∈N*）．16．已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三⾓形是直⾓三⾓形，则m的取值范围是0＜m＜3+4．【考点】利⽤导数研究函数的单调性；利⽤导数研究函数的极值．【分析】利⽤导数求得f（x）=x3﹣3x+3+m（m＞0），在区间[0，2]上的最⼩值、最⼤值，由题意构造不等式解得范围．【解答】解：f（x）=x3﹣3x+3+m，求导f′（x）=3x2﹣3由f′（x）=0得到x=1或者x=﹣1，⼜x在[0，2]内，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m+1，f（x）max=f（2）=m+5，f（0）=m+3．∵在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三⾓形是构成直⾓三⾓形，∴（m+1）2+（m+1）2＜（m+5）2，即m2﹣6m﹣23＜0，解得3﹣4＜m＜3+4⼜已知m＞0，∴0＜m＜3+4．故答案为：0＜m＜3+4．三、解答题：本⼤题共5⼩题，共70分．解答写出⽂字说明、证明过程或演算过程．17．在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的⾯积为4，求c．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三⾓形内⾓和定理，两⾓和的正弦函数公式化简已知可得sinA+sinB=2sinC，从⽽可求a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）由已知利⽤三⾓形⾯积公式可求ab=16，进⽽利⽤余弦定理可得：c2=（a+b）2﹣3ab，结合a+b=2c，即可解得c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵b（1+cosC）=c（2﹣cosB），∴由正弦定理可得：sinB+sinBcosC=2sinC﹣sinCcosB，可得：sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC，∴sinA+sinB=2sinC，∴a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）∵C=，△ABC的⾯积为4=absinC=ab，∴ab=16，∵由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，∵a+b=2c，∴可得：c2=4c2﹣3×16，解得：c=4．18．甲、⼄两家外卖公司，其送餐员的⽇⼯资⽅案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；⼄公司⽆底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同⼀公司送餐员⼀天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取⼀名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表⼄公司送餐员送餐单数频数表（Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都⼤于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（i）记⼄公司送餐员⽇⼯资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ii）⼩明拟到甲、⼄两家公司中的⼀家应聘送餐员，如果仅从⽇⼯资的⾓度考虑，请利⽤所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与⽅差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都⼤于40”为事件M，可得P（M）=．（Ⅱ）（ⅰ）设⼄公司送餐员送餐单数为a，可得当a=38时，X=38×5=190，以此类推可得：当a=39时，当a=40时，X的值．当a=41时，X=40×5+1×7，同理可得：当a=42时，X=214．所以X的所有可能取值为190，1195，200，207，214．可得X的分布列及其数学期望．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员⽇平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．可得甲公司送餐员⽇平均⼯资，与⼄数学期望⽐较即可得出．【解答】解：（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都⼤于40”为事件M，则P（M）==．（Ⅱ）（ⅰ）设⼄公司送餐员送餐单数为a，则当a=38时，X=38×5=190，当a=39时，X=39×5=195，当a=40时，X=40×5=200，当a=41时，X=40×5+1×7=207，当a=42时，X=40×5+2×7=214．所以X的所有可能取值为190，195，200，207，214．故X的分布列为：∴E（X）=190×+195×+200×+207×+214×=．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员⽇平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．所以甲公司送餐员⽇平均⼯资为70+4×39.5=228元．由（ⅰ）得⼄公司送餐员⽇平均⼯资为192.2元．因为192.2＜228，故推荐⼩明去甲公司应聘．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=．（Ⅰ）证明：A1D⊥平⾯A1BC；（Ⅱ）求⼆⾯⾓A﹣BD﹣B1的平⾯⾓的正弦值．【考点】⼆⾯⾓的平⾯⾓及求法；直线与平⾯垂直的判定．【分析】（1）先证AE⊥平⾯A1BC，再证A1D∥AE即可‘’（2）所求值即为平⾯A1BD的法向量与平⾯B1BD的法向量的夹⾓的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴A1D∥AE，AE⊥BC，AE=BE=，∵A1A=4，A1E=．∴A1E2+AE2=，∴AE⊥A1E，∵A1E∩BC=E，∴AE⊥平⾯A1BC，∵A1D∥AE，∴A1D⊥平⾯A1BC．解：（Ⅱ）如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），设平⾯A1BD的法向量为=（x，y，z），由，可取．设平⾯B1BD的法向量为=（x，y，z），由，可取．cos＜＞=。