流体力学 第四章 输运公式

解：取控制体如图中虚线所示，控制体包含了 弯管和其中的液体，控制面有一进口S1 , 一出口S 2。 对弯头的支撑力分别为Rx、R y。计算压强取表压强。 由于质量力和摩擦力忽略，控制体所受外力只计Rx、 R y 及S1上的表压强p1 pa , S 2上的表压强为零。
(1)定常流连续方程 (V n )dA 0
Bsys ( d )，B 体积单位;
dBout dBin v dA v dA dt A2 A1 (V n )dA
CS
d d sys ( d ) dt CV ( dv) (V n )dA dt CS
若控制体体积不变，则 : dv (V n )dA 0 t CV cs 若控制体内流量场是稳定的，则 0 t 则上式简化为： (V n )dA 0 m out m in ＝
cs
说明在稳定流场中，质量流出、流入控制体的量 刚好相等，若流体是不可压缩，则有： (V n )dA＝0，或 Qin Qout
它表明：系统内部B的时间变化率等于控制体内的B 的时间变化率加上单位时间内经过控制面的B的净通量。 也就是系统内流体所具有的某种物理量的总量对时间的 全导数由两部分组成：一部分相当于当地导数，它等于 控制体内这种物理量的总量的时间变化率；另一部分相 当于迁移导数，它等于通过静止控制面单位时间内流出 的和流入的这种物理量的差值。这种物理量可以是标量 （如质量、能量），也可以是矢量（如动量、动量矩）。 流进的与控制面法线方向相反，故为负； 流出的与控制面法线方向相同，故为正；
体的右半部分控制面CSIII从控制体中流出的。
B 任意物理量，总量 t 时 刻： Bsys (t ) BCV (t ) t t时刻：Bsys (t t ) BCV (t t ) Bin Bout BCV (t t ) BCV (t ) dBCV (t ) dt dt Bsys (t t ) Bsys (t ) dBsys (t ) dt dt dBsys (t ) dBCV (t ) d ( Bout Bin ) dt dt dt dB 设： 单位质量的含量 dm
cs
考虑到Fx ( p1 pa ) S1 Rx , u1 V1 , u2 0, 上式可写为 ( p1 pa ) S1 Rx V1 ( V1dA) V12 S1
CS
Rx ( p1 pa ) S1 V12 S1 1.36 103 N Rx实际方向应该指向x轴的负方向。 y轴方向动量分量方程 Fy v (V n )dA
cs
上式中Fy R y , v2 V2 , 于是 R y (V2 )( V2 dA) V22 S 2 0.639 103 N
第二节 积分形式的基本方程
一、质量守恒定律（连续性方程）
dm 取B m， ＝ 1，则对应于B m， dm 输运公式 质量守恒定律。 dm 其积分形式为： 0 dt sys dm d （ ) sys dv (V n )dA 0 dt dt CV cs
物理意义：作用在静止控制体上的所有外力之和 等于该控制体内的流体总动量的时间变化率与通过 控制面的净动量流率之和。 在直角坐标系三个坐标方向的分量分别为： d Fx dt udV u (V n )dA CV CS d Fy dt vdV v (V n )dA CV CS d Fz dt wdV w (V n )dA CV CS
流体压强取表压强。由于质量力作用忽略，控制体所受外力只有F。
(1)、由于流体是定常的，且密度为常数， 控制体连续方程为： V ndS 0
CS
控制面有一个进口、两个出口，其余部分无 流体通过，则 V ndS V ndS V ndS V ndS
CS S0 S1 S2
S 0V0 S1V1 S 2V2 综合以上两式 －Q0 Q1 Q2 0
(2)对于定常流动 F V (V n )dA
CS
在y轴方向有分量式 Fy v(V n )dA
CS
考虑到F沿y轴正向，Fy取正值 Fy F 因为控制面只有3个对外通道 v(V n )dA v(V n )dA v(V n )dA v(V n )dA
解：取控制体如图中虚线所示。取坐标系y轴垂直于挡板， 设三个截面面积分别为S 0、S1和S 2，三股射流截面上的压强 均可认为等于大气压强。与挡板接触的表面1 - 2受到挡板正 压力（理想流体，无切应力存在），设其合力为F，流体对 挡板的作用力与F大小相等，方向相反。大气压强对控制体 内流体的作用力在x方向上相互抵消，合力为零；在y轴方向， 大气压强的存在将会影响挡板所受流体作用力大小。由于挡板 外侧也受到大气压强的均匀作用，其所受流体作用力中由于大气 压强作用而产生的份额与挡板外侧大气压强作用相互抵消，因此 这里不考虑大气压强的影响。在运用动量定理求解暴露在大气中 的流体与固体相互作用的问题时，一般不考虑大气压强的影响，
S0 S1 S2 CS
由于V1，V2在y方向无分量，上式右端后两项积分均为零， 在0 - 0截面，则： v V0 sin ，V n dA V0 dA, v(V n )dA＝ (V0 sin )( V0 )dA V02 S 0 sin
（2）边界形状可变，空间大小可变；
（3）系统与外界无质量交换，有热量等其它形式的
能量、动量交换。
控制体：指流场中某一确定的空间区域，控制体的边界 面称为控制面。控制面上可以有质量交换，即有流体流
进或流入，因此占据控制体的流体质点是随时间而改变
的，引入控制体的概念，实际上就是采用欧拉法 描述流
体的运动。
例3 水流过一段900的渐缩弯头，进口截面绝对压强p1 221kPa , 横截面积S1 0.01m 2，出口截面面积S 2 0.0025m 2 , 速度V2 16m / s 压强则为大气压强pa 101kPa，水密度＝999kg / m 3。流动是 定常的，忽略质量力和摩擦力，求对弯头的支撑力。
CS
假设水速在进出口截面S1 , S 2上均匀分布 (V n )dA V1S1 V2 S 2 0
CS
S2 V1 V2 4m / s S1 (2)定常流动量方程 F V (V n )dA
CS
x轴方向分量方程 Fx u (V n )dA
cs
例1、一高度为H的水箱，横截面积为S，进水通道1和出水通道2 的横截面积和水流速度分别为S1、V1与S 2、V2。设水均匀垂直流入 流出通道，容器内水的深度为h，水密度为 w 可作常数处理。液面 上方为空气，密度为 a。求深度h随时间的变化率。
解：取控制体包围整个水箱（如虚线 所示），除两个通道1和2外，控制体 其余部分均无流体通过，容器内包含 两种流体，其中空气为可压缩流体， 这是一个非定常流动问题。对所取 控制体写出连续方程，即： dv (V n )dS 0 t CV cs
上式第一项： dh dv t ( w Sh) t a S ( H h) w S dt t CV 式中因空气总质量不变，即 a S ( H h)为常量，对时间的导数 为零。h仅是时间t的函数，对时间的偏导数可改写为全导数。 连续方程的第二项： (V n )dS wV2 S 2 wV1S1
CS S0
于是
F Q0V0 sin
F计算值为正，表明所设F方向正确，挡板所受作用力 与F大小相等，方向相反。
(3)、F在x轴方向分量 Fx u (V n )dA
cs
类似于以上分析，得 0 (V0 cos )( V0 S 0 ) V1 ( V1S1 ) (V2 )( V2 S 2 ) 化简上式 V1Q1 V0Q0 cos V2Q2 0 由于V1 V2 V0 , 可得 Q0 Q0 Q1 (1 cos )，Q2 (1 cos ) 2 2
定常流动： F V (V n )dA
CS
在直角坐标系中三个坐标方向的分量： Fx u (V n )dA Fy v (V n )dA Fz w (V n )dA
CS CS CS
例2、设有一理想均质不可压缩流体的平面射流从无穷远处流来， 与无限大平板相遇后分成两股，分支流随着远离分支点而渐渐与 平板平行流动。平板与水平面夹角为，已知冲击前射流断面o－o 处的流量为Q 0，流速为V0，设冲击后的1 - 1及2 - 2断面上的流量分别 为Q1和Q 2。已知速度V1 V2 V0，三个截面上流速都均匀分布，流 动是定常的，忽略质量力作用。求挡板所受流体作用力及流量Q1和Q 2。
特点：（1）形状、大小不变，质量可以变化。 （2）与外界有能量和质量交换，有力的作用。
二、输运公式
CSI I II CSIII III
t
t+dt
t时刻，一系统的分界面用实线表示；一静止控制体大小和形状不随 时间变化，在t时刻控制面CS与系统边界重合。 dt时间后，系统运动到新位置，系统占据空间II和III，而控制体CV仍 由I和II组成。区域I的流体看作是在△t时间内由控制体的左半部分控 制面CSI流入控制体，而区域III中的流体看作是在△t时间内经由控制
cs
于是连续方程是： dh w S w (V2 S 2 V1S1 ) 0 dt dh V1S1 V2 S 2 dt S dh dh 可知进水量大于出水量时，则 0, 反之 0。 dt dt