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浙江省绍兴市2019届高三3月适应性模拟考试数学试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. ）【答案】BB.2. ）【答案】C故选C.3. 如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）【答案】BB.4. 已知，则“”是“）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C.故选C.5. ）D.【答案】B【解析】由题得不等式组对应的平面区域如下图所示：设z=3x+y,所以y=-3x+z，当直线y=-3x+z经过点B（1,0）时，直线的纵截距最大，z最大.B.6. ）D.【答案】A故选A.7. .的一条渐近线相切于点，且）【答案】DA到渐近线的距离A,B,F三点共线.D.8. 已知，函数满足：存在，（）【答案】D【解析】对于选项A,成立；对于选项BC对于选项x>0时的值域为[-1,1],对任故选D.点睛：本题的难点在于图像分析，实际上就是说函数在x>0时，必须有最大值和最小值.9. .．．．为（）D.【答案】A【解析】如图所示:把继续旋转,一直旋转到平面ABC里面,这时,在位置，这时BM，所以不可能.故选A.点睛：本题的难点在于思维问题的方法，本题属于难题.时的一种极端情况，ABC里面，从而找到分析推理的依据.10. ）【答案】C令.综上所述，故选C.点睛：本题的难点在于要解题思路的探寻，本题是一个难度较大的题目，其中要用到结论第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11. 在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数表，表中除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和.，．（用数字作答）【答案】 (1). 20 (2). 35故填（1）20，（2）35.12.．【答案】故填（1213. ，，．【答案】 (1). -14 (2). 4所以，故填（1）-14（2）4.14. __________．【答案】 (2)..故填（1215. 某单位安排5个人在六天中值班，每天1人，每人至少值班1天，共有__________种不同值班方案.（用数字作答）【答案】18005个人中选一个人值刚才选四步：把刚才的数的乘积除以2，因为出现了重复的情况，且刚好重复了一倍，(假设选的是星期一，选的人是甲，所以甲在星期一值班，如果甲也值星期二的班，甲值星期一和星期二的班.如果刚开始选的是星期二，选的人也是甲，所以甲再星期二值班，如果后面甲又值星期一的班，故甲也值星期一和星期二的班. 这两个是重复的).故填1800.16. 4_______．【解析】如图所示,建立直角坐标系,所以动点O的轨迹是圆，所以-4x点睛:本题的难点在于想到利用解析法来解析,本题如果不用解析法解答,用其它方法,比较复杂,很难化简，但是利用解析法，先求出动点的轨迹，后面就简单了. 遇到正三角形、直角三角形、菱形等，可以尝试利用解析法解答.17. 上的最大值是2．【答案】3a=3满足题意.a=5或a=1都不满足题意....................综上所述，故填3点睛：本题的难点在于通过函数的图像分析函数的性质. 本题绝对值里面是一个闭区间上的二次函数，要求它的最大值，所以要先画出二次函数的图像，再结合二次函数的图像分析出最大值的可能情况.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.的最小正周期；.【答案】【解析】试题分析：（1）第（Ⅰ）问，直接化简函数，再利用三角函数的周期公式求解. (2).试题解析：所以的最小正周期19. 如图，在三棱锥中，.【答案】(1)见解析【解析】试题分析：（1）第（Ⅰ）问，直接转化为证明（2）第（Ⅱ）问，可.试题解析：.，，解法二：如图，以原点，以轴建立空间直角坐标系.20..【答案】【解析】试题分析：（1）第（Ⅰ）问利用导数求导，研究函数的单调性. (2)试题解析：.题意.在.由单调性知.符合题意.符合题意.，..21.2.【答案】【解析】试题分析：（1）第（Ⅰ）问，根据题意得到关于. (2)2P的轨迹球点P到AB 的距离的最大值.试题解析：，所以，又四边形的面积为2，得，可知，..点睛：本题的难点在于转化条件得到动点P的轨迹，对于四边形2的转化，最好是把这个四边形分成两个三角形的面积来求解.22. 满足：，为自然对数的底数，.【答案】(1)见解析(2) 不存在满足条件的实数【解析】试题分析：（1存在实数M.试题解析：...所以.，，取，且点睛：本题难点在于思路的找寻，本题难度较大.整体分析的结果.。
浙江省绍兴县鲁迅中学适应性考试（文科）数学试卷考生须知：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径． 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．台体的体积公式11221()3V h S S S S =++，其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．第I 卷(选择题 共50分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设全集U=R ，集合M=2{|1},U x y x C M =-=则 （ ） A ．{|11}x x -<< B ．{|11}x x -≤≤ C ．{|1}x x x <->或1D ．{|1}x x ≤-≥或x 12、执行右边的程序框图，则输出的T 等于 （ ） A ．20 B ．30 C ．42 D ．563、已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．21B ． 61C ．121D ．1814、已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S = （ ） A ．85B ．135C ．95D ．23（第3题）第2题5、要得到函数sin24y x π=-（）的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移4π单位 B ．向右平移4π单位 C ．向右平移8π单位 D ．向左平移8π单位6、已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ∥n ，m ⊂α，则n ∥α； B ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β； C ．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ； D ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β.7、若非零向量，=且0)2(=•+，则向量，的夹角为 （ ）A ．π32B ．6πC ．3πD ．π65 8、函数⎩⎨⎧≤<+-<≤---=)10(1)01(1)(x x x x x f ，则1)()(->--x f x f 的解集为（ ） A ．()(),11,-∞-+∞ B ．(]11,0,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C ．()(),01,-∞+∞ D ．()11,0,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦9、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ,P 是双曲线上一点，满足212PF F F =,直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（ ）A ．54 B C ．3 D ．5310、已知⎩⎨⎧≥-<+--=),0)(1(),0(2)(2x x f x a x x x f x x f y -=)(恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,-+∞B ．[)1,0-C ．[)2,-+∞D ．()0,+∞第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11、设为虚数单位，则复数34ii+的虚部为 ； 12、已知1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩, 则42x y +的最大值是 ；13、用分层抽样的方法从某学校的高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人， 高三年级抽10人,已知该校高二年级共有300人，则该校高中学生总人数为 人；14、若正实数,a b 满足2=ab ，则)1)(21(b a ++的最小值为 ； 15、已知3sin 44x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，且,24x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，则cos2x 的值为 ； 16、数列{}n a 中，)2,(122,511≥∈-+==*-n N n a a a n n n ，若存在实数λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a 2λ为等差数列，则λ= ； 17、在长方形ABCD 中，2,1AB AD ==，点,M N 分别是,BC CD 边上的动点，且||2||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共5小题，共72分，．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．（本题满分14分）设,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 所对边长，并且22sin sin() sin() sin 33A B B B ππ=+-+(Ⅰ)求角A 的值；（Ⅱ）若c b B a +=cos 2，判断ABC ∆的形状19．（本题满分14分）等差数列{}n a 的首项为1a ，公差1d =-，前n 项和为n S ，其中{}11,1,2,3,4,5a ∈-．（Ⅰ）若存在n N +∈，使5n S =-成立，求1a 的值；（Ⅱ）是否存在1a ，使n n S a <对任意大于1的正整数n 均成立？若存在，求出1a 的值；否则，说明理由．20．（本题满分14分）如图，菱形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，2,,45AB AE FA FE AEF ︒===∠=，045=∠ABC（1）线段CD 的中点为P ，线段AE 的中点为M ，求证：//PM BCE 平面；（2）求直线CF 与平面BCE 所成角的正弦值.21．（本题满分15分）已知R a ∈,函数x ax x f ln )(-=，(]e x ，0∈，(其中e 是自然对数的底数为常数),（1）当1=a 时，求)(x f 的单调区间与极值；（2）是否存在实数a ，使得)(x f 的最小值为3. 若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由。
2019届浙江省绍兴市诸暨市高三下学期高考适应性考试数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4}A =，{}2,B x x n n A ==∈，则A B =I （ ） A ．{1,2} B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{2,3}【答案】B【解析】先求出集合B ，由此能求出A B I ． 【详解】Q 集合{1A =，2，3，4}，2{|B x x n ==，}{1n A ∈=，4，9，16}， {1A B ∴=I ，4}．故选：B ． 【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 2．已知(1)2i ai bi -=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则ab 等于（ ） A ．2 B ．-2 C ．12D ．12-【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解． 【详解】(1)2i ai bi -=+Q ，2a i bi ∴+=+，得2a =，1b =．2ab ∴=．故选：A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题． 3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）A ．3B ．36C ．3 D ．23【答案】C【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案． 【详解】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 其底面面积11(11)12S =⨯⨯+=，高3h =故体积133V Sh =，故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．4．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则ϕ的最小值为（ ）A ．6πB ．12πC ．1112πD ．56π 【答案】B【解析】根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可．【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位， 得到sin 2()sin(22)y x x ϕϕ=+=+， 此时与函数sin(2)6y x π=+的图象重合， 则226k πϕπ=+，即12k πϕπ=+，k Z ∈，∴当0k =时，ϕ取得最小值为12πϕ=，故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键．5．已知21,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则21log 3f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．2B ．23 C ．23-D ．3【答案】A【解析】利用分段函数的性质逐步求解即可得答案． 【详解】Q 21log 03<，∴22211(log )log log 3033f =-=>；∴221[(log )](log 3)3123f f f ==-=；故选：A ． 【点睛】本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用． 6．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】Q 点P 不在直线l 、m 上，∴若直线l 、m 互相平行，则过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，即必要性成立，若过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，则直线l 、m 互相平行成立，反证法证明如下：若直线l 、m 互相不平行，则l ，m 异面或相交，则过点P 只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的充要条件， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．7．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）A ．625B ．627C 63-D ．962-【答案】D 【解析】设2x θ=，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．【详解】因为实数x ，y 满足2212xy +„，设2x θ=，sin y θ=，222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 627||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+2|cos 628|θθ-+，22cos 28(cos 32)100θθθ-+=-->Q 恒成立，222222|2||67|sin cos 289292x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--…故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于962-. 故选：D ． 【点睛】本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．8．已知P 是双曲线22221x y a b-=渐近线上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，122F PF π∠=，记1PF ，PO ，2PF 的斜率为1k ，k ，2k ，若1k ，-2k ，2k 成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ） A 2 B 6C 3D 6【答案】B【解析】求得双曲线的一条渐近线方程，设出P 的坐标，由题意求得(,)P a b ，运用直线的斜率公式可得1k ，k ，2k ，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值． 【详解】设双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为b y x a =，且(,)bP m m a ，由122F PF π∠=，可得以O 为圆心，c 为半径的圆与渐近线交于P ，可得222()b m m c a+=，可取m a =，则(,)P a b ，设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则1bk a c =+，2b k a c =-，b k a=，由1k ，2k -，2k 成等差数列，可得124k k k -=+， 化为2242a a a c -=-，即2232c a =， 可得62c e a ==， 故选：B ． 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．9．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．()2112f t t f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>【答案】D【解析】根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可． 【详解】由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=∴函数()f x 关于直线1x =-对称；()f x Q 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <g ；又(2)(0)f f -=Q()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；223112()0224t t t ++-=++>Q ，21t t ∴++比12离对称轴远， ∴可得21(1)()2f t t f ++>，∴选项A 成立；22(3)(2)250t t t +-+=+>Q ，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；20t -<<Q ，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．故选：D ． 【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．如图，ABC V 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，B D '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β> 【答案】A【解析】根据题意作出垂线段，表示出所要求得α、β角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案． 【详解】由题可得过点B 作BE AD ⊥交AD 于点E ，过B ′作CD 的垂线，垂足为O ，则易得B AO α=∠'，B DO β=∠'． 设1CD =，则有2BD AD ==，1DE =，3BE =∴可得23AB AB '==，2B D BD '==．sin ,sin OB OB AB DB αβ''==''Q ， sin 3sin βαα∴=>，βα∴>；Q 3]OB '∈，∴1sin [0,]2α∈； Q 2sin 22sin cos 2sin 1sin αααα==-221[3,2]sin α-，∴sin 23sin ααβ=…，2αβ∴…．综上可得，2αβα<„． 故选：A ． 【点睛】本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二、填空题11．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元． 【答案】7 53【解析】根据物品价格不变，可设共有x 人，列出方程求解即可 【详解】 设共有x 人，由题意知 8374x x -=+， 解得7x =，可知商品价格为53元. 即共有7人，商品价格为53元. 【点睛】本题主要考查了数学文化及一元一次方程的应用，属于中档题.12．已知268765432876543210(1)()()x x a a x a x a x a x a x a x a x a x a a R +-=++++++++∈，若10a =，则012345678a a a a a a a a a ++++++++=________.【答案】256【解析】由题意先求得a 的值，可得26878710(1)(3)x x a x a x a x a +-=++⋯++g ，再令1x =，可得结论． 【详解】已知2687654321876543210(1)()()x x a a x a x a x a x a x a x a x a x a a R +-=++++++++∈，651260a a a =-=Q ，3a ∴=，26878710(1)(3)x x a x a x a x a ∴+-=++⋯++g ，令1x =，可得80123456782256a a a a a a a a a ++++++++==， 故答案为：256． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．13．已知a r ，b r ，e r 是平面向量，e r 是单位向量.若2a e ⋅=r r ，3b e ⋅=r r，且0a b ⋅=r r ，则a b +r r 的取值范围是________.【答案】[5,)+∞【解析】先由题意设向量的坐标，再结合平面向量数量积的运算及不等式可得解． 【详解】由e r 是单位向量．若2a e =r rg ，3b e =r r g ，设(1,0)e =r，则(2,)a m =r，(3,)b n =r ， 又0a b =r r g ，则6mn =-，则(5,)a b m n +=+rr ，则2||25()a b m n +++rr又2()0m n +…， 所以||5a b +rr …，（当6,6m n ==-或6,6m n ==即||a b +rr的取值范围是[5，)+∞， 故答案为：[5，)+∞． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14．假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款，则有________种不同的支付方式. 【答案】6【解析】按照个位上的9元的支付情况分类，三个数位上的钱数分步计算，相加即可． 【详解】9元的支付有两种情况，522++或者5211+++， ①当9元采用522++方式支付时，200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式， 10元的支付只能用1张10元， 此时共有1313⨯⨯=种支付方式； ②当9元采用5211+++方式支付时：200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式， 10元的支付只能用1张10元， 此时共有1313⨯⨯=种支付方式； 所以总的支付方式共有336+=种． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于中档题．做题时注意分类做到不重不漏，分步做到步骤完整．三、双空题15．已知随机变量的ξ的分布列如图所示，则x y +=________；若()1E ξ=，则()D ξ=________.ξ0 1 2p x13y【答案】23 23【解析】利用分布列的性质以及期望，列出方程，求出y 与x 的值即可得到结果． 【详解】由题意可知：113x y ++=，11213y ⨯+⨯=，解得13y =，13x =， 所以23x y +=，2221112()(01)(11)(21)3333D ξ=-+⨯-+⨯-=．故答案为：23；23． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望与方差的求法，属于基本知识的考查．16．已知x ，y 满足约束条件026(03)x y x y x y a a -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥<≤⎩，当3a =时，3z x y =+的最小值是________.若2z y x =-的最大值是-1，则a =________. 【答案】3 2【解析】3a =时画出约束条件0263x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩…„…表示的平面区域，作直线:30l x y +=，将直线l 在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合求得最优解，计算z 的最小值；画出约束条件026(03)x y x y x y a a -⎧⎪+⎨⎪+<⎩…„厔表示的平面区域，作直线:20l y x '-=，将直线l '在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合求出最优解，计算z 的最大值．【详解】当3a =时，画出约束条件0263x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩…„…表示的平面区域，如图所示；作直线:30l x y +=，将直线l 在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合知，当直线过点C 时，直线l 在y 轴上的截距最小，此时z 最小，由263x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，所以(3,0)C ， 此时3z x y =+的最小值为3303min z =+⨯=．画出约束条件026(03)x y x y x y a a -⎧⎪+⎨⎪+<⎩…„厔表示的平面区域，如图所示；作直线:20l y x '-=，将直线l '在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合知，当直线过点A 时，直线l '在y 轴上的截距最大，此时z 最大，由0x y a x y +=⎧⎨-=⎩，解得22a x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以(2a A ，)2a ，此时2z y x =-的最大值为21222max a a az =-⨯=-=-，解得2a =． 故答案为：3，2． 【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域，以及求目标函数的最值应用问题，是基础题．17．已知数列{}n a 的各项都是正数，()2*11n n n a a a n N++-=∈.若数列{}na 各项单调递增，则首项1a 的取值范围是________；当123a =时，记1(1)1n n nb a --=-，若1220191k b b b k <+++<+L ，则整数k =________.【答案】(0,2) 4-【解析】本题根据正数数列{}n a 是单调递增数列，可列出211120n n n n a a a a +++-=-<，通过求出1n a +的取值范围，得到2a 的取值范围，逆推出1a 的取值范围；第二空主要是采用裂项相消法求出122019b b b ++⋯+的表达式，然后进行不等式范围计算，即可得到结果． 【详解】由题意，正数数列{}n a 是单调递增数列，且211n n n a a a ++-=，∴211120n n n n a a a a +++-=-<，解得1(0,2)n a +∈，2(0,2)a ∴∈．∴21221[,2)4a a a =-∈-．10a >Q ，102a ∴<<．又由211n n n a a a ++-=，可得：2111111111n n n n n a a a a a ++++==---． ∴111111n n n a a a ++=+-． Q 1(1)1n n n b a --=-，∴122019123201911111111b b b a a a a ++⋯+=-+-⋯+---- 112232017201820182019111111111()()()()1a a a a a a a a a =-+++-⋯-+++- 1122320172018201820191111111111a a a a a a a a a =--++-⋯--++- 1120191111a a a =-+- 2019912a =-+．Q 123a =，且数列{}na 是递增数列， 20192(,2)3a ∴∈，即2019113(,)22a ∈， 201991432a ∴-<-+<-．∴整数4k =-．故答案为：(0,2)；-4． 【点睛】本题考查了数列递推关系、裂项相消法的应用和数列的周期性，考查了推理能力与不等式的计算能力，属于较难的中档题．四、解答题18．已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若满足()2f B =，8a =，5c =，求cos A . 【答案】（1）,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）17【解析】（1）化简得到()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，取222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得答案.（2）()2si 2n 26f B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=，解得3B π=，根据余弦定理得到7b =，再用一次余弦定理解得答案. 【详解】（1）()223cos 2cos 132cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=-+=-=-⎪⎝⎭. 取222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得,,63x k k k Z ππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()2si 2n 26f B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=, 因为()110,,2,666B B ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭， 故262B ππ-=，3B π=. 根据余弦定理：2222cos 49b a c ac B =+-=，7b =.2222225781cos 22577b c a A bc +-+-===⨯⨯.【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，余弦定理，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，2PB PD ==（1）证明：平面PAC ⊥平面ABCD ； （2）设H 在AC 上，13AH AC =，若63PH =，求PH 与平面PBC 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）63【解析】（1）记AC BD O =I ，连结PO ，推导出BD PO ⊥，BD ⊥平面PAC ，由此能证明平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）推导出PH AC ⊥，PH ⊥平面ABCD ，连结HB ，由题意得H 为ABD ∆的重心，BC BH ⊥，从而平面PHB ⊥平面PBC ，进而HPB ∠是PH 与平面PBC 所成角，由此能求出PH 与平面PBC 所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：记AC BD O =I ，连结PO ，PBD ∆中，OB OD =，PB PD =，BD PO ∴⊥，BD AC ⊥Q ，AC PO O =I ，BD ∴⊥平面PAC ，BD ⊂Q 平面ABCD ，∴平面PAC ⊥平面ABCD ．（2）POB ∆中，2POB π∠=，1OB =，2PB =1PO ∴=，3AO =Q ，33OH =， 2262(3PH ∴==，222PH PO OH ∴=+， PH AC ∴⊥，PH ∴⊥平面ABCD ，∴PH ∴⊥BC ，连结HB ，由题意得H 为ABD ∆的重心， 6HBO π∴∠=，2HBC π∠=，BC BH ∴⊥，BC ∴⊥平面PHB ∴平面PHB ⊥平面PBC ，∴H 在平面PBC 的射影落在PB 上，HPB ∴∠是PH 与平面PBC 所成角，Rt PHB ∴∆中，6PH =，2PB =，23BH ∴=，236sin 2BH BPH BP ∴∠==⨯=． PH ∴与平面PBC 所成角的正弦值为6．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知数列{}n a 满足12a =，()*122n n n a a n N +=+∈，其前n 项和为n S .（1）通过计算12a ，212a ，322a ，猜想并证明数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足11b =，()*12n n n b b n N n +=∈+，()*n n n t c S b n N n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，若数列{}n c 是单调递减数列，求常数t 的取值范围. 【答案】（1）1(1)2n n a n -=+⋅，证明见解析；（2）1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）首先利用赋值法求出312013,,222a a a 的值，进一步利用定义求出数列的通项公式；（2）首先利用叠乘法求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数t 的范围． 【详解】（1）数列{}n a 满足12a =，122(*)n n n a a n N +=+∈，其前n 项和为n S ． 所以21226a a =+=，2322216a a =+=， 则1022a =，232a =，3242a =， 所以猜想得：1(1)2n n a n -=+g ．证明：由于122nn n a a +=+，所以111222n n n n a a ++=+，则：111222n n n n a a ++-=（常数）， 所以数列{}2n n a是首项为1，公差为12的等差数列． 所以111(1)2222n n a n n =+-=+，整理得1(1)2n n a n -=+g ． （2）数列{}n b 满足11b =，1(*)2n n nb b n N n +=∈+， 所以12n n b nb n +=+， 则121211221143n n n n b b b n n b b b n n -----⋯=⋯+g g g ， 所以2(1)n b n n =+．则22()(1)nnt c n n n n =-+g ， 所以1122422()2()2(2)2121n n n n n c c t t t t n n n n ++-=---=--+++++， 所以42021t n n --<++，整理得24222221323n t n n n n n n>-==++++++， 由于236n n ++…，所以21333n n++„，即13t >． 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型． 21．已知抛物线2:4C x y =与直线:220l x y --=. （1）求抛物线C 上的点到直线l 距离的最小值；（2）设点()00,P x y 是直线l 上的动点，()1,1Q 是定点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点为A ，B ，求证A ，Q ，B 共线；并在3AQ QB =u u u r u u u r时求点P 坐标.【答案】（135；（2）证明见解析，(0,1)P -或(2,0)P 【解析】（1）根据点到直线的公式结合二次函数的性质即可求出；（2）)设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，表示出直线PA ，PB 的方程，利用0x 表示出1x ，2x ，即可求定点P 的坐标．【详解】（1）设抛物线C 上点的坐标为2(,)4t t ，则22|2|535224)5t t d t t --==-+…，(1t =时取等号）， 则抛物线C 上的点到直线l 距离的最小值3510； （2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，214y x =Q ， 12y x ∴'=， ∴直线PA ，PB 的方程为分别为111()2x y y x x -=-，222()2x y y x x -=-，由两条直线都经过点P 点得1x ，2x 为方程200240x x x y -+=的两根1202x x x +=，1204x x y =，直线AB 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，1211()4x x y y x x +-=-，01212121101(1)1104442x x x x x x xy x y ++---=-+=-+=， A ∴，Q ，B 共线．又1213(1)x x -=-， 1243x x ∴=-，102012032224x x x x x x x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， 解00x =，02x =，Q 点0(P x ，0)y 是直线l 上的动点，00x ∴=时，01y =-，02x =时，00y =，(0,1)P ∴-，或(2,0)P ．【点睛】本题考查抛物线的方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线过定点的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．22．已知函数2()(0)x f x e ax a =->（其中e 2.718=L 是自然对数的底数） （1）若()f x 在R 上单调递增，求正数a 的取值范围；（2）若()f x f （x ）在()1212,x x x x x =<处导数相等，证明：122ln 2x x a +<；（3）当12a =时，证明：对于任意11k e≤+，若12b <，则直线y kx b =+与曲线()y f x =有唯一公共点（注：当1k >时，直线y x k =+与曲线xy e =的交点在y 轴两侧）. 【答案】（1）0,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）需满足()0f x '…恒成立，只需()0f x ''…即可；（2）根据()g x 的单调性，构造新函数()(2)(2)()h x g ln a m g ln a m i m =--+=，并令12x ln a m =-，根据()i m 的单调性即可得证；（3）将问题转化为证明21()2xb e x kx j x =--=有唯一实数解，对()j x 求导，判断其单调性，结合题目条件与不等式的放缩，即可得证． 【详解】)2(x f x e ax '=-；令()()2x g x f x e ax ='=-，则()0g x …恒成立； ()2x g x e a '=-，()(2)2(12)0min g x g ln a a ln a ==-…； a ∴的取值范围是(0,]2e；（2）证明：由（1）知，()g x 在(,2)ln a -∞上单调递减，在(2,)ln a +∞上单调递增； 122x ln a x ∴<<；令()(2)(2)2(2)()m m h x g ln a m g ln a m a e e m i m -=--+=--=，0m >； 则()(0)0i m i <=；令12x ln a m =-，则21()()(2)(2)g x g x g ln a m g ln a m ==-<+； 22x ln a m ∴<+； 1222x x ln a ∴+<；（3）证明：()f x kx b =+，21()2xb e x kx j x =--=，要证明()b j x =有唯一实数解； 当m →+∞时，211(1)2me m m e --+→+∞；当m →-∞时，211(1)2me m m e--+→-∞；即对于任意实数b ，212xb e x kx =--一定有解； ()x j x e x k '=--；当1k >时，()j x 有两个极值点0m n <<；函数()j x 在(-∞，)(m n ⋃，)+∞上单调递增，在(,)m n 上单调递减； 又12b <； ∴只需21()2n b j n e n kn <=--，在11k e+…时恒成立； ∴只需211(1)2n b e n n e<--+；令2111((1))(1)()02n ne n n e n p n e e'--+=--+==，其中一个正解是0n ；0n >Q ，1((1))10n n e n e e'--+=->；()p n ∴单调递增，(0)0p <，p （1）0>； 001n ∴<<；∴0220000111111111(1)112222n e n n n n b e e e e e --+=--++>--++=>；综上得证． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数证明不等式，考查了转化思想、不等式的放缩，属难题．。
2019届浙江省绍兴市诸暨市高三下学期高考适应性考试数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4}A =，{}2,B x x n n A ==∈，则A B =I （ ） A ．{1,2} B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{2,3}【答案】B【解析】先求出集合B ，由此能求出A B I ． 【详解】Q 集合{1A =，2，3，4}，2{|B x x n ==，}{1n A ∈=，4，9，16}， {1A B ∴=I ，4}．故选：B ． 【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 2．已知(1)2i ai bi -=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则ab 等于（ ） A ．2 B ．-2 C ．12D ．12-【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解． 【详解】(1)2i ai bi -=+Q ，2a i bi ∴+=+，得2a =，1b =．2ab ∴=．故选：A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题． 3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）A ．3B ．36C ．3 D ．23【答案】C【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案． 【详解】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 其底面面积11(11)12S =⨯⨯+=，高3h =故体积133V Sh ==故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状． 4．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．12πC ．1112πD ．56π 【答案】B【解析】根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可．【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位， 得到sin 2()sin(22)y x x ϕϕ=+=+， 此时与函数sin(2)6y x π=+的图象重合， 则226k πϕπ=+，即12k πϕπ=+，k Z ∈，∴当0k =时，ϕ取得最小值为12πϕ=，故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键．5．已知21,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则21log 3f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．2B ．23 C ．23-D ．3【答案】A【解析】利用分段函数的性质逐步求解即可得答案． 【详解】Q 21log 03<，∴22211(log )log log 3033f =-=>；∴221[(log )](log 3)3123f f f ==-=；故选：A ． 【点睛】本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用． 6．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】Q 点P 不在直线l 、m 上，∴若直线l 、m 互相平行，则过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，即必要性成立，若过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，则直线l 、m 互相平行成立，反证法证明如下：若直线l 、m 互相不平行，则l ，m 异面或相交，则过点P 只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的充要条件， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．7．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）A ．625B ．627C 63-D ．962-【答案】D 【解析】设2x θ=，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．【详解】因为实数x ，y 满足2212xy +„，设2x θ=，sin y θ=，222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 627||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+2|cos 28|θθ-+，22cos 628(cos 32)100θθθ-+=-->Q 恒成立，222222|2||67|sin cos 628962962x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--…故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于962-故选：D ． 【点睛】本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．8．已知P 是双曲线22221x y a b-=渐近线上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，122F PF π∠=，记1PF ，PO ，2PF 的斜率为1k ，k ，2k ，若1k ，-2k ，2k 成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ） A 2 B 6C 3D 6【答案】B【解析】求得双曲线的一条渐近线方程，设出P 的坐标，由题意求得(,)P a b ，运用直线的斜率公式可得1k ，k ，2k ，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值． 【详解】设双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为b y x a =，且(,)bP m m a ，由122F PF π∠=，可得以O 为圆心，c 为半径的圆与渐近线交于P ，可得222()b m m c a+=，可取m a =，则(,)P a b ，设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则1bk a c =+，2b k a c =-，b k a=，由1k ，2k -，2k 成等差数列，可得124k k k -=+， 化为2242a a a c -=-，即2232c a =， 可得62c e a ==， 故选：B ． 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．9．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．()2112f t t f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>【答案】D【解析】根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可． 【详解】由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=∴函数()f x 关于直线1x =-对称；()f x Q 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <g ；又(2)(0)f f -=Q()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；223112()0224t t t ++-=++>Q ，21t t ∴++比12离对称轴远， ∴可得21(1)()2f t t f ++>，∴选项A 成立；22(3)(2)250t t t +-+=+>Q ，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；20t -<<Q ，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．故选：D ． 【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．如图，ABC V 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，B D '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β> 【答案】A【解析】根据题意作出垂线段，表示出所要求得α、β角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案． 【详解】由题可得过点B 作BE AD ⊥交AD 于点E ，过B ′作CD 的垂线，垂足为O ，则易得B AO α=∠'，B DO β=∠'． 设1CD =，则有2BD AD ==，1DE =，3BE =∴可得23AB AB '==，2B D BD '==．sin ,sin OB OB AB DB αβ''==''Q ， sin 3sin βαα∴=>，βα∴>；Q 3]OB '∈，∴1sin [0,]2α∈； Q 2sin 22sin cos 2sin 1sin αααα==-，221[3,2]sin α-，∴sin 23sin ααβ=…，2αβ∴…．综上可得，2αβα<„． 故选：A ． 【点睛】本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二、填空题11．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元． 【答案】7 53【解析】根据物品价格不变，可设共有x 人，列出方程求解即可 【详解】 设共有x 人，由题意知 8374x x -=+， 解得7x =，可知商品价格为53元. 即共有7人，商品价格为53元. 【点睛】本题主要考查了数学文化及一元一次方程的应用，属于中档题.12．已知268765432876543210(1)()()x x a a x a x a x a x a x a x a x a x a a R +-=++++++++∈，若10a =，则012345678a a a a a a a a a ++++++++=________.【答案】256【解析】由题意先求得a 的值，可得26878710(1)(3)x x a x a x a x a +-=++⋯++g ，再令1x =，可得结论． 【详解】已知2687654321876543210(1)()()x x a a x a x a x a x a x a x a x a x a a R +-=++++++++∈，651260a a a =-=Q ，3a ∴=，26878710(1)(3)x x a x a x a x a ∴+-=++⋯++g ，令1x =，可得80123456782256a a a a a a a a a ++++++++==， 故答案为：256． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．13．已知a r ，b r ，e r 是平面向量，e r 是单位向量.若2a e ⋅=r r ，3b e ⋅=r r，且0a b ⋅=r r ，则a b +r r 的取值范围是________.【答案】[5,)+∞【解析】先由题意设向量的坐标，再结合平面向量数量积的运算及不等式可得解． 【详解】由e r 是单位向量．若2a e =r rg ，3b e =r r g ，设(1,0)e =r，则(2,)a m =r，(3,)b n =r ， 又0a b =r r g ，则6mn =-，则(5,)a b m n +=+rr ，则2||25()a b m n +++rr ，又2()0m n +…， 所以||5a b +rr …，（当6,6m n ==-或6,6m n ==即||a b +rr的取值范围是[5，)+∞， 故答案为：[5，)+∞． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14．假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款，则有________种不同的支付方式. 【答案】6【解析】按照个位上的9元的支付情况分类，三个数位上的钱数分步计算，相加即可． 【详解】9元的支付有两种情况，522++或者5211+++， ①当9元采用522++方式支付时，200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式， 10元的支付只能用1张10元， 此时共有1313⨯⨯=种支付方式； ②当9元采用5211+++方式支付时：200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式， 10元的支付只能用1张10元， 此时共有1313⨯⨯=种支付方式； 所以总的支付方式共有336+=种． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于中档题．做题时注意分类做到不重不漏，分步做到步骤完整．三、双空题15．已知随机变量的ξ的分布列如图所示，则x y +=________；若()1E ξ=，则()D ξ=________.ξ0 1 2p x13y【答案】23 23【解析】利用分布列的性质以及期望，列出方程，求出y 与x 的值即可得到结果． 【详解】由题意可知：113x y ++=，11213y ⨯+⨯=，解得13y =，13x =， 所以23x y +=，2221112()(01)(11)(21)3333D ξ=-+⨯-+⨯-=．故答案为：23；23． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望与方差的求法，属于基本知识的考查．16．已知x ，y 满足约束条件026(03)x y x y x y a a -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥<≤⎩，当3a =时，3z x y =+的最小值是________.若2z y x =-的最大值是-1，则a =________. 【答案】3 2【解析】3a =时画出约束条件0263x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩…„…表示的平面区域，作直线:30l x y +=，将直线l 在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合求得最优解，计算z 的最小值；画出约束条件026(03)x y x y x y a a -⎧⎪+⎨⎪+<⎩…„厔表示的平面区域，作直线:20l y x '-=，将直线l '在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合求出最优解，计算z 的最大值．【详解】当3a =时，画出约束条件0263x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩…„…表示的平面区域，如图所示；作直线:30l x y +=，将直线l 在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合知，当直线过点C 时，直线l 在y 轴上的截距最小，此时z 最小，由263x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，所以(3,0)C ， 此时3z x y =+的最小值为3303min z =+⨯=．画出约束条件026(03)x y x y x y a a -⎧⎪+⎨⎪+<⎩…„厔表示的平面区域，如图所示；作直线:20l y x '-=，将直线l '在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合知，当直线过点A 时，直线l '在y 轴上的截距最大，此时z 最大，由0x y a x y +=⎧⎨-=⎩，解得22a x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以(2a A ，)2a ，此时2z y x =-的最大值为21222max a a az =-⨯=-=-，解得2a =． 故答案为：3，2． 【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域，以及求目标函数的最值应用问题，是基础题．17．已知数列{}n a 的各项都是正数，()2*11n n n a a a n N++-=∈.若数列{}na 各项单调递增，则首项1a 的取值范围是________；当123a =时，记1(1)1n n nb a --=-，若1220191k b b b k <+++<+L ，则整数k =________.【答案】(0,2) 4-【解析】本题根据正数数列{}n a 是单调递增数列，可列出211120n n n n a a a a +++-=-<，通过求出1n a +的取值范围，得到2a 的取值范围，逆推出1a 的取值范围；第二空主要是采用裂项相消法求出122019b b b ++⋯+的表达式，然后进行不等式范围计算，即可得到结果． 【详解】由题意，正数数列{}n a 是单调递增数列，且211n n n a a a ++-=，∴211120n n n n a a a a +++-=-<，解得1(0,2)n a +∈，2(0,2)a ∴∈．∴21221[,2)4a a a =-∈-．10a >Q ，102a ∴<<．又由211n n n a a a ++-=，可得：2111111111n n n n n a a a a a ++++==---． ∴111111n n n a a a ++=+-． Q 1(1)1n n n b a --=-，∴122019123201911111111b b b a a a a ++⋯+=-+-⋯+---- 112232017201820182019111111111()()()()1a a a a a a a a a =-+++-⋯-+++- 1122320172018201820191111111111a a a a a a a a a =--++-⋯--++- 1120191111a a a =-+- 2019912a =-+．Q 123a =，且数列{}na 是递增数列， 20192(,2)3a ∴∈，即2019113(,)22a ∈， 201991432a ∴-<-+<-．∴整数4k =-．故答案为：(0,2)；-4． 【点睛】本题考查了数列递推关系、裂项相消法的应用和数列的周期性，考查了推理能力与不等式的计算能力，属于较难的中档题．四、解答题18．已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若满足()2f B =，8a =，5c =，求cos A . 【答案】（1）,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）17【解析】（1）化简得到()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，取222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得答案.（2）()2si 2n 26f B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=，解得3B π=，根据余弦定理得到7b =，再用一次余弦定理解得答案. 【详解】（1）()223cos 2cos 132cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=-+=-=-⎪⎝⎭. 取222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得,,63x k k k Z ππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()2si 2n 26f B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=, 因为()110,,2,666B B ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭， 故262B ππ-=，3B π=. 根据余弦定理：2222cos 49b a c ac B =+-=，7b =.2222225781cos 22577b c a A bc +-+-===⨯⨯.【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，余弦定理，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，2PB PD ==（1）证明：平面PAC ⊥平面ABCD ； （2）设H 在AC 上，13AH AC =，若63PH =，求PH 与平面PBC 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）63【解析】（1）记AC BD O =I ，连结PO ，推导出BD PO ⊥，BD ⊥平面PAC ，由此能证明平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）推导出PH AC ⊥，PH ⊥平面ABCD ，连结HB ，由题意得H 为ABD ∆的重心，BC BH ⊥，从而平面PHB ⊥平面PBC ，进而HPB ∠是PH 与平面PBC 所成角，由此能求出PH 与平面PBC 所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：记AC BD O =I ，连结PO ，PBD ∆中，OB OD =，PB PD =，BD PO ∴⊥，BD AC ⊥Q ，AC PO O =I ，BD ∴⊥平面PAC ，BD ⊂Q 平面ABCD ，∴平面PAC ⊥平面ABCD ．（2）POB ∆中，2POB π∠=，1OB =，2PB =1PO ∴=，3AO =Q ，33OH =， 2262()3PH ∴==，222PH PO OH ∴=+， PH AC ∴⊥，PH ∴⊥平面ABCD ，∴PH ∴⊥BC ，连结HB ，由题意得H 为ABD ∆的重心， 6HBO π∴∠=，2HBC π∠=，BC BH ∴⊥，BC ∴⊥平面PHB ∴平面PHB ⊥平面PBC ，∴H 在平面PBC 的射影落在PB 上，HPB ∴∠是PH 与平面PBC 所成角，Rt PHB ∴∆中，6PH =，2PB =，23BH ∴=，236sin 2BH BPH BP ∴∠==⨯=． PH ∴与平面PBC 所成角的正弦值为6．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知数列{}n a 满足12a =，()*122n n n a a n N +=+∈，其前n 项和为n S .（1）通过计算12a ，212a ，322a ，猜想并证明数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}nb 满足11b =，()*12n n n b b n N n +=∈+，()*n n n t c S b n N n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，若数列{}n c 是单调递减数列，求常数t 的取值范围. 【答案】（1）1(1)2n n a n -=+⋅，证明见解析；（2）1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）首先利用赋值法求出312013,,222a a a 的值，进一步利用定义求出数列的通项公式；（2）首先利用叠乘法求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数t 的范围． 【详解】（1）数列{}n a 满足12a =，122(*)n n n a a n N +=+∈，其前n 项和为n S ． 所以21226a a =+=，2322216a a =+=， 则1022a =，232a =，3242a =， 所以猜想得：1(1)2n n a n -=+g ．证明：由于122nn n a a +=+，所以111222n n n n a a ++=+，则：111222n n n n a a ++-=（常数）， 所以数列{}2n n a是首项为1，公差为12的等差数列． 所以111(1)2222n n a nn =+-=+，整理得1(1)2n n a n -=+g ． （2）数列{}n b 满足11b =，1(*)2n n nb b n N n +=∈+， 所以12n n b nb n +=+， 则121211221143n n n n b b b n n b b b n n -----⋯=⋯+g g g ， 所以2(1)n b n n =+．则22()(1)nn t c n n n n =-+g ， 所以1122422()2()2(2)2121n n n n n c c t t t t n n n n ++-=---=--+++++， 所以42021t n n --<++，整理得24222221323n t n n n n n n>-==++++++， 由于236n n ++…，所以21333n n++„，即13t >． 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型． 21．已知抛物线2:4C x y =与直线:220l x y --=. （1）求抛物线C 上的点到直线l 距离的最小值；（2）设点()00,P x y 是直线l 上的动点，()1,1Q 是定点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点为A ，B ，求证A ，Q ，B 共线；并在3AQ QB =u u u r u u u r时求点P 坐标.【答案】（135；（2）证明见解析，(0,1)P -或(2,0)P 【解析】（1）根据点到直线的公式结合二次函数的性质即可求出；（2）)设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，表示出直线PA ，PB 的方程，利用0x 表示出1x ，2x ，即可求定点P 的坐标．【详解】（1）设抛物线C 上点的坐标为2(,)4t t ，则22|2|535224)5tt d t t --==-+…，(1t =时取等号）， 则抛物线C 上的点到直线l 距离的最小值3510； （2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，214y x =Q ， 12y x ∴'=， ∴直线PA ，PB 的方程为分别为111()2x y y x x -=-，222()2x y y x x -=-，由两条直线都经过点P 点得1x ，2x 为方程200240x x x y -+=的两根1202x x x +=，1204x x y =，直线AB 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，1211()4x x y y x x +-=-，01212121101(1)1104442x x x x x x xy x y ++---=-+=-+=， A ∴，Q ，B 共线．又1213(1)x x -=-， 1243x x ∴=-，102012032224x x x x x x x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， 解00x =，02x =，Q 点0(P x ，0)y 是直线l 上的动点，00x ∴=时，01y =-，02x =时，00y =，(0,1)P ∴-，或(2,0)P ．【点睛】本题考查抛物线的方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线过定点的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．22．已知函数2()(0)x f x e ax a =->（其中e 2.718=L 是自然对数的底数） （1）若()f x 在R 上单调递增，求正数a 的取值范围；（2）若()f x f （x ）在()1212,x x x x x =<处导数相等，证明：122ln 2x x a +<；（3）当12a =时，证明：对于任意11k e≤+，若12b <，则直线y kx b =+与曲线()y f x =有唯一公共点（注：当1k >时，直线y x k =+与曲线xy e =的交点在y 轴两侧）.【答案】（1）0,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）需满足()0f x '…恒成立，只需()0f x ''…即可；（2）根据()g x 的单调性，构造新函数()(2)(2)()h x g ln a m g ln a m i m =--+=，并令12x ln a m =-，根据()i m 的单调性即可得证；（3）将问题转化为证明21()2xb e x kx j x =--=有唯一实数解，对()j x 求导，判断其单调性，结合题目条件与不等式的放缩，即可得证． 【详解】)2(x f x e ax '=-；令()()2x g x f x e ax ='=-，则()0g x …恒成立； ()2x g x e a '=-，()(2)2(12)0min g x g ln a a ln a ==-…； a ∴的取值范围是(0,]2e；（2）证明：由（1）知，()g x 在(,2)ln a -∞上单调递减，在(2,)ln a +∞上单调递增； 122x ln a x ∴<<；令()(2)(2)2(2)()m m h x g ln a m g ln a m a e e m i m -=--+=--=，0m >； 则()(0)0i m i <=；令12x ln a m =-，则21()()(2)(2)g x g x g ln a m g ln a m ==-<+； 22x ln a m ∴<+； 1222x x ln a ∴+<；（3）证明：()f x kx b =+，21()2xb e x kx j x =--=，要证明()b j x =有唯一实数解； 当m →+∞时，211(1)2me m m e --+→+∞；当m →-∞时，211(1)2me m m e--+→-∞；即对于任意实数b ，212xb e x kx =--一定有解； ()x j x e x k '=--；当1k >时，()j x 有两个极值点0m n <<；函数()j x 在(-∞，)(m n ⋃，)+∞上单调递增，在(,)m n 上单调递减； 又12b <； ∴只需21()2n b j n e n kn <=--，在11k e+…时恒成立； ∴只需211(1)2n b e n n e<--+；令2111((1))(1)()02n ne n n e n p n e e'--+=--+==，其中一个正解是0n ；0n >Q ，1((1))10n n e n e e'--+=->；()p n ∴单调递增，(0)0p <，p （1）0>； 001n ∴<<；∴0220000111111111(1)112222n e n n n n b e e e e e --+=--++>--++=>；综上得证． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数证明不等式，考查了转化思想、不等式的放缩，属难题．。
浙江省选考科目考试绍兴市适应性试卷（2019年3月）技术参考答案第一部分信息技术（共50分）一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）题号123456789101112答案D A B C D A B D C B A C 二、非选择题（本大题共5小题，其中第13小题4分，第14小题5分，第15小题8分，第16小题3分，第17小题6分，共26分）13．（1）厂商或列C（1分）（2）1（1分）（3）重新选择数据区域B2,B17:B21,F2,F17:F21建立图表（1分）（4）C（1分）14．（1）B（1分）（2）①i<=Len(s)或i<=Len(Text1.Text)（1分）②h=Val(temp)（2分）（3）“1.58”（1分）15．（1）B（1分）（2）A（1分）（3）把“控制”图层第1帧移动到第60帧（或最后一帧）（1分）（4）有（1分）（5）AD（2分）（注：全部选对的得2分，选对但不全的得1分，不选或有选错的得0分）（6）stopAllsounds();getURL(“作者简介.txt”);（2分）16．（1）j=n（1分）（2）xb(j)=xb(j-1)And xm(j)<xm(j-1)（2分）17．（1）2,3,2（1分）（2）①4（1分）②num=x((i-1)*n+j)（2分）③a(j)=i或i=a(j)（2分）第二部分通用技术（共50分）一、选择题（每题2分，共26分）题号12345678910111213答案C D C D C D B C B C C B D 二、非选择题（第14题6分，第15题9分，第16题3分，第17题6分，共24分）14．（1）C；（1分）（2）B；（1分）（3）B；（1分）（4）A；（1分）（5）C；（1分）（6）B；（1分）15．（1）C；（2）B；（3）C；（3分）（4）参考草图如图所示，共4分，具体评分如下。
能实现使用时水平，不用时能翻转靠墙；（2分）；结构牢固可靠，调节方便；（1分）；能清楚表达细节、有立体感；（1分）；主要标注安装孔间距60mm；孔径可标6-8mm，其中有2个标注合理得2分；共2分。
2019绍兴市一模参考答案一、语言文字运用(共20分)l.(3分)A.(B.俯查一俯察;C.潜qian;D.描摩一描摹)2.(3分)C.(“温情”为名词,此处应用“温暖”等形容词)3.(2分)B.“人性”后面的逗号应改为分号,以区分并列复句之间的层次4.(3分)D.(A.“秉持……宗旨”与“以……为宗旨”句式杂糅;B.第二分句主语残缺;C.“实属是”重复累赘)5.(5分)内容:描摹了一朵花从含苞到怒放并被风吹落满地的全过程。
(2分)创意:用“花”字的由小到大的变化来表现花朵盛开的过程,用对“花”这个字的笔画的拆解来表现花瓣被吹散零落的情状,形象而富有新意。
(3分)6.(4分)①臣民奉献了一切之后,靠什么活着?(或:臣民奉献了一切之后,就没法活了。
语意大致相符即可)(2分)②他们的理论虽然崇高,但却无视多数人的利益。
(或:虽然他们的理论很崇高,但他们的品质很有些问题。
语意大致相符即可)(2分)二、现代文阅读(共30分)(一)阅读下面的文字,完成7-9题。
(10分)不大7.(3分)B(A项“疾病预防层面”错,支持率最低的是“改变肤色,提高智商”等增强项目。
C项没有“需要提升公众的认知水平”一说。
D项“公众期待差异不大”错,图表显示了不同人群对该技术运用的不同期待。
)8.(3分)D(D项“终止演化”错误,原文“拉开它的DNA和演化命运之间的差距”是指人类操控了自然演化的进程,并非指不再演化。
)9.(4分)①前景:预防、治疗疾病,延缓衰老,强化智慧和想象力等,甚至操控本身演化进程,由此发展或凌驾于其他生物之上的物种。
(2分)②问题:带来不可知的社会后果;不知觉地改变了人性。
(2分)(二)阅读下面的文字,完成10-13题。
(20分)10.(4分)(1)我羡慕平凡的石匠借助石狮子使自己的生命有了价值。
(或:我希望自己平凡的生命能够陪伴一位崇敬的英雄而永存。
意思相近即可。
)(2分)(2)我不清楚石匠牺牲自己的生命而投注到了一块石头中是否可悲(值得)。
浙江省选考科目考试绍兴市2019届高三3月适应性考试数学试题姓名 准考证号 本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页，满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式: 如果事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+V S h =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那 13V Sh =么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()(1)(0,1,2,,)k k n kn nP k C p p k n -=-=⋅⋅⋅ 球的表面积公式 台体的体积公式24πS R =121()3V S S h =球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表 34π3V R = 示台体的高 其中R 表示球的半径第I 卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若全集2{1,0,1,2}{|20}U P x x x =-=-=，，则U C P =A ．{1,1}-B ．{0,2}C ．{1,2}-D ．{1,0,2}-2．已知i 为虚数单位，则3(1i)i 1i+=- A ．1- B ．1 C ．1i -+D ．1i +3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A．3B．C．3D ．4．已知双曲线22214y x b-=的焦点到渐近线的距离为1， 则渐近线方程是 A ．12y x =±B．y x = C．y = D ． 2y x =±5．函数3()ln ||y x x x =-的图象是ABCD6. 已知数列{}n a 是等比数列，则“2564a a a <”是“01q <<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．袋中有m 个红球，n 个白球，p 个黑球(51,4)n m p ≥>≥≥，从中任取1个球（每个球取到的机会均等），设1ξ表示取出红球个数，2ξ表示取出白球个数，则 A ．1212()(),()()E E D D ξξξξ>> B ．1212()(),()()E E D D ξξξξ>< C ．1212()(),()()E E D D ξξξξ<>D ．1212()(),()()E E D D ξξξξ<<（第3题图）8．如图，圆O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，若Q P ,是圆O 上两个动点，则CQ AP ·的取值范围是A.]0,223[--B.]1,223[---C.]0,5[-D.]1,5[--9．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1,,AB AC AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M N ，是线段11,BB CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为π6，当1||B M 最小时，AMB ∠=A ．5π12B ．π3C ．π4D ． π610．已知数列{}n a 满足：111()2n n a a f a +==，，*N n ∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足100100S <，则()f x 不可能是 A ．2()f x x =B ．1()2=+-f x x xC ．()1xf x e x =--D ．()ln 1f x x x =++第II 卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11．我国古代数学家贾宪使用了抽象分析法，在解决勾股问题时，他提出了“勾股生变十三图”．十三名指勾（a ）、股（b ）、弦（c ）、股弦较（c b -）、勾股和（a b +）、勾弦和（a c +）、弦和和（()c a b ++）等等． 如图，勾（a ）、股（b ）、弦（c ）中，已知7a b +=，8a c +=，则c b -= ▲ ，()c a b ++=(勾)b (股)A▲ ．12．若,x y 满足约束条件0,0,2,1,x y y x x y ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪+≤⎩则y 的最大值为 ▲ ．此约束条件所表示的平面区域的面积为 ▲ ．13．已知多项式5543243210(2)(1)x x a x a x a x a x a +=++++++，则0a = ▲ ，1a = ▲ ．14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1cos 3A =，23b c =，且△ABCb = ▲ ，sin C = ▲ ．15．有甲乙丙三项任务，甲乙各需一人承担，丙需2人承担且至少一个是男生，现从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是 ▲ ．（用数字作答） 16．函数223,0,(),0,x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩若0a b >>，且()()f a f b =，则()f a b +的取值范围是 ▲ ．17．如图，(1,0)M ，,P Q 是椭圆2214x y +=的点（Q 在第一象限），且直线,PM QM 的斜率互为相反数，设||2||PM QM =，则直线QM 的斜率的 ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 18．(本小题满分15分)已知函数()cos()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，其图象经过点π1(,)62M -，且与x 轴两个相邻交点的距离为π． （Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）若3()35f πθ+=-，求sin θ的值．x19．(本小题满分15分)四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，四边形ABCD 是矩形，且==2=3PA AB AD ，，E BC 是线段上的动点，F 是线段PE 的中点.（Ⅰ）求证：PB ADF ⊥平面；（Ⅱ）若直线DE 与平面ADF 所成角为30，求CE 的长．20．(本小题满分15分)已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，且1523,1,1a a a ++成等比数列.数列{}n b 满足：11222n n b b b ++++=-L .（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令数列{}n c 的前n 项和为n T ,且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+为偶数为奇数n b n a a c nn n n ,1,12，若对*∈N n ，k n T T 22≥恒成立，求正整数k 的值；B21.(本小题满分15分)直线:10l x ty -+=和抛物线2:4C y x =相交于不同两点,A B ．（Ⅰ）求实数t 的取值范围；（Ⅱ）设AB 的中点为M ，抛物线C 的焦点为F .以MF 为直径的圆与直线l 相交另一点为N ，且满足||||MN MF =，求直线l 的方程．22．(本小题满分14分)已知函数()2ln(),f x ax b =+其中,a b R ∈.（Ⅰ）若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值.（Ⅱ）设1b =，若方程222()(2)1f x a x a a x a =++++有两个不相等的实根，求a 的最大整数值.（5ln 0.2234≈）.。
浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷（2019年3月）数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若全集0，1，，，则A. B. C. D. 0，【答案】A【解析】解：全集0，1，，，则．故选：A．化简集合P，根据补集的定义写出本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.已知i为虚数单位，则A. B. 1 C. D.【答案】B【解析】解：．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.某几何体的三视图如图所示单位：，则该几何体的体积单位：是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：根据三视图知，该几何体是半圆锥体，如图所示；且底面圆的半径为2，高为；所以该锥体的体积为：．故选：C．根据三视图知该几何体是半圆锥体，结合图中数据求得该锥体的体积．本题考查了根据三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．4.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则渐近线方程是A. B. C. D.【答案】D【解析】解取一个焦点坐标为，渐近线方程为：，焦点到渐近线的距离为1，，双曲线的渐近线方程为，故选：D．先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．5.函数的图象是A. B.C. D.【答案】C【解析】解：，函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，函数的定义域为，由，得，即，即，即函数有两个零点，排除D，，排除A，故选：C．判断函数奇偶性和对称性，求出函数的零点以及特殊值的符号是否对应，利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，结合函数值的符号进行排除是解决本题的关键．6.已知数列是等比数列，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：已知数列是等比数列，由，可得：，即，所以且，又”且“是“”的必要不充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B．由等比数列的通项公式得：，由不等式的解法得：，即，所以且，由充分必要条件得：”且“是“”的必要不充分条件，得解．本题考查了等比数列的通项公式及不等式的解法，充分必要条件，属中档题7.袋中有m个红球，n个白球，p个黑球，从中任取1个球每个球取到的机会均等，设表示取出红球个数，表示取出白球个数，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】解：设袋中有1个红球，5个白球，4个黑球，从中任取1个球每个球取到的机会均等，设表示取出红球个数，表示取出白球个数，则的可能取值为0或1，，，，，的可能取值为0或1，，，，，，故选：D．设袋中有1个红球，5个白球，4个黑球，从中任取1个球每个球取到的机会均等，设表示取出红球个数，表示取出白球个数，则的可能取值为0或1，，，由此求出，；的可能取值为0或1，，，，，由此能求出，本题考查两个离散型随机变量的数学期望、方差的大小的比较，考查离散型随机变量的数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.如图，圆O是边长为2的正方形ABCD的内切圆，若P，Q是圆O上两个动点，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：以O为坐标原点建立如图坐标系则P，Q在以O为圆心的单位圆上，设，，又，，当且且时，则有最小值，此时且且，能取到最小值，夹角范围是，故有最大值0，故选：A．通过图形可以看出夹角范围是，故有最大值0，最小值可以转化为三角函数利用三角函数的有界性处理．本题主要考查了向量的夹角与向量数量积的关系，向量的坐标运算，三角恒等变换等知识，用到了转化思想，属于中档题．9.如图，在三棱柱中，AB，AC，两两互相垂直，，M，N是线段，上的点，平面AMN与平面ABC所成锐二面角为，当最小时，A.B.C.D.【答案】B【解析】解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设，，则0，，0，，0，，0，，0，，1，，设平面AMN的法向量y，，，取，得，平面ABC的法向量0，，平面AMN与平面ABC所成锐二面角为，，解得，当最小时，，，，．故选：B．以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的大小．本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.已知数列满足：，，是数列的前n项和，且满足，则不可能是A. B.C. D.【答案】C【解析】解：，，可得：，数列是等比数列，首项为，公比为．B.，，可得，以此类推可得：，可得：．C.，，时，单调递减．，，则，，，可得．D.，在上单调递增，，，则，，以此类推可得．因此不满足．故选：C．A.，，可得：，可得数列是等比数列，首项为，公比为．B.，可得，可得，以此类推可得：，可得：．C.，，时，单调递减，，可得，，可得．D.，在上单调递增，，，通过计算可得，，以此类推可得．本题考查了数列递推关系、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.我国古代数学家贾宪使用了抽象分析法，在解决勾股问题时，他提出了“勾股生变十三图”十三名指勾、股、弦、股弦较、勾股和、勾弦和、弦和和等等如图，勾、股、弦中，已知，，则______，______．【答案】1 12【解析】解：，，又解可得，，，，故答案为：1，12由，，结合，联立方程可求a，b，进而可求．本题主要考查了三角形中的基本运算，属于基础试题．12.若x，y满足约束条件则y的最大值为______此约束条件所表示的平面区域的面积为______．【答案】【解析】解：根据题意，若x，y满足约束条件其表示的可行域为如图四边形ABCO及其内部，其中，，，则y的最大值为，，故答案为：，．根据题意，作出不等式组表示的可行域，求出交点的坐标，据此分析可得答案．本题考查线性规划的应用，注意x、y满足的可行域，属于基础题．13.已知多项式，则______，______．【答案】31 75【解析】解：对于多项式，令，可得，则．即展开式，中x的系数，为，故答案为：31；75．在所给的等式中，令，可得的值即展开式中，x的系数，为，计算求得结果．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．14.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且的面积是，则______，______．【答案】【解析】解：，，，且的面积是，，，，，由余弦定理可得，，，，故答案为：，．由已知结合同角平方关系可求，然后结合可求b，c，然后余弦定理可得，可求a，c，进而可求．本题主要考查了同角平方关系，三角形的面积公式，正弦定理等知识的简单应用，属于基础试题．15.有甲乙丙三项任务，甲乙各需一人承担，丙需2人承担且至少一个是男生，现从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是______用数字作答【答案】144【解析】解：若丙选择一名男生一名女生，甲乙任意选，故有种，若丙选择两名男生，甲乙任意选，故有种，根据分步计数原理可得共有种，故答案为：144．由题意，分两类，若丙选择一名男生一名女生，若丙选择两名男生，根据分类计数原理即可求出．本题考查分类分步计数原理，关键是分类，属于基础题16.函数若，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：设，作出的图象，由图象知，，由，得，由，得，则，，，则，即，此时，即的取值范围是，故答案为：设，用t表示a，b，然后计算的范围，再次代入分段函数进行求解即可．本题主要考查分段函数的应用，根据函数值相等，设出相同变量t，并表示出a，b，求出的范围是解决本题的关键．17.如图，，P，Q是椭圆的点在第一象限，且直线PM，QM的斜率互为相反数，设，则直线QM的斜率的______．【答案】【解析】解：延长PM交椭圆于N，由对称性可知，设直线PM的斜率为k，则直线PM的方程为，联立方程组，消元得：，设，，则，，．，即，，把代入椭圆方程得：，解得，，直线QM的斜率为．故答案为：．设直线PM斜率为k，得出直线PM的方程，联立方程组消元，得出N点坐标，代入椭圆方程计算k的值即可得出OM的斜率．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，难度中档．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数，其图象经过点，且与x轴两个相邻交点的距离为．Ⅰ求的解析式；Ⅱ若，求的值．【答案】解：Ⅰ函数，与x轴两个相邻交点的距离为，解得；其图象经过点，，解得，函数．Ⅱ若，，当，，即，时，，；当，，即，时，，；综上，或．【解析】Ⅰ根据题意求得函数的周期T、和的值，即可写出的解析式；Ⅱ根据函数解析式求得的值，再利用求出三角函数值．本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．19.四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是矩形，且，，E是线段BC上的动点，F是线段PE的中点公众号浙考神墙750Ⅰ求证：平面ADF；Ⅱ若直线DE与平面ADF所成角为，求CE的长．【答案】证明：Ⅰ取PB，PC的中点分别为M，N，连结AM，MN，ND，，，平面PAB，平面PAB，，且，平面ADF．解：Ⅱ由Ⅰ知平面AMND，在平面PBC内作，交MN于H，则平面AMND，连结DH，则是直线DE与平面ADF所成角，直线DE与平面ADF所成角为，，，，，，，，．的长为2．【解析】Ⅰ取PB，PC的中点分别为M，N，连结AM，MN，ND，推导出，，由此能证明平面ADF．Ⅱ推导出平面AMND，在平面PBC内作，交MN于H，则平面AMND，连结DH，则是直线DE与平面ADF所成角，从而，由此能求出CE的长．本题考查线面垂直的证明，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.已知数列是公差为2的等差数列，且，，成等比数列数列满足：．Ⅰ求数列，的通项公式；Ⅱ令数列的前n项和为，且，若对，恒成立，求正整数k的值；【答案】解：Ⅰ数列是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，可得，即，解得，即；数列满足：，可得，，，对也成立，则，；Ⅱ，，设，，可得为递减数列，且，，，，，可得，，，，，则中T8取得最小值，恒成立，可得．【解析】Ⅰ由等比数列中项性质和等差数列的通项公式，可得首项，可得；再由数列递推式可得数列的通项公式；Ⅱ运用裂项相消求和和等比数列的求和公式，可得，判断单调性，结合不等式恒成立问题解法，可得k的值．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的裂项相消求和，考查数列的单调性和不等式恒成立问题解法，属于中档题．21.直线l：和抛物线C：相交于不同两点A，B．Ⅰ求实数t的取值范围；Ⅱ设AB的中点为M，抛物线C的焦点为以MF为直径的圆与直线l相交另一点为N，且满足，求直线l的方程．【答案】解：Ⅰ由，消去x得，，解得或，故t的范围为，Ⅱ等价于，设，，，则，，，，即，又直线FN：，与联立，解得，，又，则由，得，解得．直线l的方程为．【解析】Ⅰ根据判别式即可求出t的范围，Ⅱ等价于，设，，，根据韦达定理，点与点的距离，即可求出．本题考查了直线和抛物线的位置关系，韦达定理，距离的计算，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．22.已知函数，其中a，．Ⅰ若直线是曲线的切线，求ab的最大值．Ⅱ设，若方程有两个不相等的实根，求a的最大整数值．【答案】解：Ⅰ设直线和相切于点，，则，故，又P在切线上，故，故，，故，设，则由，解得：，故在递增，在递减，故，故ab的最大值是；Ⅱ原方程即为，设，则上述方程等价于，设，则函数要有2个不同的零点，在递减，且在上存在唯一实根，即，即，故当时，，当时，，故在递增，在递减，若，则，，不合题意，舍，若，则，当时，则，取，则，当时，则，取，则，由此，且，，要使函数有2个不同的零点，则只需，故只需是关于的增函数，且，，故存在使得，故当时，，是关于的减函数，故，又，故a的最大整数值是．【解析】Ⅰ求出函数的导数，结合切线方程得到，设，根据函数的单调性求出函数的最大值即可；Ⅱ问题等价于，设，根据函数的单调性求出a的最大整数值即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．。
绝密★启用前2019届浙江省绍兴市诸暨市高三下学期高考适应性考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{1,2,3,4}A =，{}2,B x x n n A ==∈，则A B =I （ ） A ．{1,2} B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{2,3}答案：B先求出集合B ，由此能求出A B I ． 解：Q 集合{1A =，2，3，4}，2{|B x x n ==，}{1n A ∈=，4，9，16}， {1A B ∴=I ，4}．故选：B ． 点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 2．已知(1)2i ai bi -=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则ab 等于（ ） A ．2 B ．-2 C ．12D ．12-答案：A利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解． 解：(1)2i ai bi -=+Q ，2a i bi ∴+=+，得2a =，1b =．2ab ∴=．故选：A ． 点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．3．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（）A．3B．36C．3D．233答案：C由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案．解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面面积11(11)12S=⨯⨯+=，高3h=故体积133V Sh==故选：C．点评：本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．4．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．12πC ．1112πD ．56π 答案：B根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可． 解：将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位， 得到sin 2()sin(22)y x x ϕϕ=+=+， 此时与函数sin(2)6y x π=+的图象重合， 则226k πϕπ=+，即12k πϕπ=+，k Z ∈，∴当0k =时，ϕ取得最小值为12πϕ=，故选：B ． 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键．5．已知21,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则21log 3f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．2B ．23 C ．23-D ．3答案：A利用分段函数的性质逐步求解即可得答案． 解：Q 21log 03<，∴22211(log )log log 3033f =-=>；∴221[(log )](log 3)3123f f f ==-=；故选：A ． 点评：本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用．6．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解：Q 点P 不在直线l 、m 上，∴若直线l 、m 互相平行，则过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，即必要性成立，若过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，则直线l 、m 互相平行成立，反证法证明如下：若直线l 、m 互相不平行，则l ，m 异面或相交，则过点P 只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的充要条件， 故选：C ． 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．7．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）A ．5B ．7C -D ．9-答案：D设x θ=，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．解：因为实数x ，y 满足2212xy +…，设x θ=，sin y θ=，222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+2|cos 8|θθ-+，22cos 8(cos 100θθθ-+=-->Q 恒成立，222222|2||67|sin cos 899x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--…故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于9-. 故选：D ． 点评：本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．8．已知P 是双曲线22221x y a b-=渐近线上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，122F PF π∠=，记1PF ，PO ，2PF 的斜率为1k ，k ，2k ，若1k ，-2k ，2k 成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ）A B C D答案：B求得双曲线的一条渐近线方程，设出P 的坐标，由题意求得(,)P a b ，运用直线的斜率公式可得1k ，k ，2k ，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值． 解：设双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为b y x a =，且(,)bP m m a ，由122F PF π∠=，可得以O 为圆心，c 为半径的圆与渐近线交于P ，可得222()b m m c a+=，可取m a =，则(,)P a b ，设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则1bk a c =+，2b k a c =-，b k a=，由1k ，2k -，2k 成等差数列，可得124k k k -=+， 化为2242a a a c -=-，即2232c a =，可得2c e a ==，故选：B ． 点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．9．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．()2112f t t f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>答案：D根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可． 解： 由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+= ∴函数()f x 关于直线1x =-对称；()f x Q 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <g ；又(2)(0)f f -=Q()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立； 223112()0224t t t ++-=++>Q ，21t t ∴++比12离对称轴远， ∴可得21(1)()2f t t f ++>，∴选项A 成立；22(3)(2)250t t t +-+=+>Q ，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；20t -<<Q ，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．故选：D ． 点评：本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．如图，ABC V 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，B D '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β> 答案：A根据题意作出垂线段，表示出所要求得α、β角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案． 解：由题可得过点B 作BE AD ⊥交AD 于点E ，过B ′作CD 的垂线，垂足为O ，则易得B AO α=∠'，B DO β=∠'．设1CD =，则有2BD AD ==，1DE =，3BE =，∴可得23AB AB '==，2B D BD '==．sin ,sin OB OB AB DB αβ''==''Q ， sin 3sin βαα∴=>，βα∴>；QOB '∈，∴1sin [0,]2α∈； Qsin 22sin cos 2sin ααα==，2]，∴sin 2sin ααβ=，2αβ∴…．综上可得，2αβα<„． 故选：A ． 点评：本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二、填空题11．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元． 答案：7 53根据物品价格不变，可设共有x 人，列出方程求解即可 解： 设共有x 人，由题意知 8374x x -=+， 解得7x =，可知商品价格为53元. 即共有7人，商品价格为53元. 点评：本题主要考查了数学文化及一元一次方程的应用，属于中档题. 12．已知268765432876543210(1)()()x x a a x a x a x a x a x a x a x a x a a R +-=++++++++∈，若10a =，则012345678a a a a a a a a a ++++++++=________.答案：256由题意先求得a 的值，可得26878710(1)(3)x x a x a x a x a +-=++⋯++g ，再令1x =，可得结论．解：已知2687654321876543210(1)()()x x a a x a x a x a x a x a x a x a x a a R +-=++++++++∈，651260a a a =-=Q ，3a ∴=，26878710(1)(3)x x a x a x a x a ∴+-=++⋯++g ，令1x =，可得80123456782256a a a a a a a a a ++++++++==， 故答案为：256． 点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．13．已知a r ，b r ，e r 是平面向量，e r 是单位向量.若2a e ⋅=r r ，3b e ⋅=r r ，且0a b ⋅=r r，则a b +r r的取值范围是________.答案：[5,)+∞先由题意设向量的坐标，再结合平面向量数量积的运算及不等式可得解． 解：由e r 是单位向量．若2a e =r rg ，3b e =r r g ， 设(1,0)e =r，则(2,)a m =r，(3,)b n =r ， 又0a b =r r g ，则6mn =-，则(5,)a b m n +=+rr ，则||a b +rr ，又2()0m n +…，所以||5a b +rr …，（当m n ==m n ==即||a b +rr 的取值范围是[5，)+∞，故答案为：[5，)+∞． 点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 14．假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款，则有________种不同的支付方式. 答案：6按照个位上的9元的支付情况分类，三个数位上的钱数分步计算，相加即可． 解：9元的支付有两种情况，522++或者5211+++， ①当9元采用522++方式支付时，200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式，10元的支付只能用1张10元， 此时共有1313⨯⨯=种支付方式； ②当9元采用5211+++方式支付时：200元的支付方式为2100⨯，或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式，10元的支付只能用1张10元， 此时共有1313⨯⨯=种支付方式； 所以总的支付方式共有336+=种． 故答案为：6． 点评：本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于中档题．做题时注意分类做到不重不漏，分步做到步骤完整．三、双空题15．已知随机变量的ξ的分布列如图所示，则x y +=________；若()1E ξ=，则()D ξ=________.答案：23 23利用分布列的性质以及期望，列出方程，求出y 与x 的值即可得到结果．解：由题意可知：113x y ++=，11213y ⨯+⨯=，解得13y =，13x =， 所以23x y +=，2221112()(01)(11)(21)3333D ξ=-+⨯-+⨯-=．故答案为：23；23． 点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望与方差的求法，属于基本知识的考查．16．已知x ，y 满足约束条件026(03)x y x y x y a a -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥<≤⎩，当3a =时，3z x y =+的最小值是________.若2z y x =-的最大值是-1，则a =________. 答案：3 23a =时画出约束条件0263x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩…„…表示的平面区域，作直线:30l x y +=，将直线l 在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合求得最优解，计算z 的最小值；画出约束条件026(03)x y x y x y a a -⎧⎪+⎨⎪+<⎩…„厔表示的平面区域，作直线:20l y x '-=，将直线l '在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合求出最优解，计算z 的最大值． 解：当3a =时，画出约束条件0263x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩…„…表示的平面区域，如图所示；作直线:30l x y +=，将直线l 在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合知，当直线过点C 时，直线l 在y 轴上的截距最小，此时z 最小， 由263x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得3x y =⎧⎨=⎩，所以(3,0)C ，此时3z x y =+的最小值为3303min z =+⨯=．画出约束条件026(03)x y x y x y a a -⎧⎪+⎨⎪+<⎩…„厔表示的平面区域，如图所示；作直线:20l y x '-=，将直线l '在不等式组表示的平面区域内平移，由数形结合知，当直线过点A 时，直线l '在y 轴上的截距最大，此时z 最大，由0x y a x y +=⎧⎨-=⎩，解得22a x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以(2a A ，)2a ，此时2z y x =-的最大值为21222max a a az =-⨯=-=-，解得2a =． 故答案为：3，2． 点评：本题考查了二元一次不等式组表示平面区域，以及求目标函数的最值应用问题，是基础题．17．已知数列{}n a 的各项都是正数，()2*11n n n a a a n N++-=∈.若数列{}na 各项单调递增，则首项1a 的取值范围是________；当123a =时，记1(1)1n n nb a --=-，若1220191k b b b k <+++<+L ，则整数k =________.答案：(0,2) 4-本题根据正数数列{}n a 是单调递增数列，可列出211120n n n n a a a a +++-=-<，通过求出1n a +的取值范围，得到2a 的取值范围，逆推出1a 的取值范围；第二空主要是采用裂项相消法求出122019b b b ++⋯+的表达式，然后进行不等式范围计算，即可得到结果． 解：由题意，正数数列{}n a 是单调递增数列，且211n n n a a a ++-=，∴211120n n n n a a a a +++-=-<，解得1(0,2)n a +∈，2(0,2)a ∴∈．∴21221[,2)4a a a =-∈-．10a >Q ，102a ∴<<．又由211n n n a a a ++-=，可得：2111111111n n n n n a a a a a ++++==---． ∴111111n n n a a a ++=+-． Q 1(1)1n n n b a --=-，∴122019123201911111111b b b a a a a ++⋯+=-+-⋯+---- 112232017201820182019111111111()()()()1a a a a a a a a a =-+++-⋯-+++- 1122320172018201820191111111111a a a a a a a a a =--++-⋯--++- 1120191111a a a =-+-2019912a =-+．Q 123a =，且数列{}na 是递增数列， 20192(,2)3a ∴∈，即2019113(,)22a ∈， 201991432a ∴-<-+<-．∴整数4k =-．故答案为：(0,2)；-4． 点评：本题考查了数列递推关系、裂项相消法的应用和数列的周期性，考查了推理能力与不等式的计算能力，属于较难的中档题．四、解答题18．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若满足()2f B =，8a =，5c =，求cos A . 答案：（1）,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）17（1）化简得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得答案.（2）()2si 2n 26f B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=，解得3B π=，根据余弦定理得到7b =，再用一次余弦定理解得答案. 解：（1）()2cos 2cos 12cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=-+=-=-⎪⎝⎭. 取222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得,,63x k k k Z ππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()2si 2n 26f B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=,因为()110,,2,666B B ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭， 故262B ππ-=，3B π=. 根据余弦定理：2222cos 49b a c ac B =+-=，7b =.2222225781cos 22577b c a A bc +-+-===⨯⨯.点评：本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，余弦定理，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，2PB PD ==.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABCD ； （2）设H 在AC 上，13AH AC =，若6PH =PH 与平面PBC 所成角的正弦值. 答案：（1）见解析；（2）63（1）记AC BD O =I ，连结PO ，推导出BD PO ⊥，BD ⊥平面PAC ，由此能证明平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）推导出PH AC ⊥，PH ⊥平面ABCD ，连结HB ，由题意得H 为ABD ∆的重心，BC BH ⊥，从而平面PHB ⊥平面PBC ，进而HPB ∠是PH 与平面PBC 所成角，由此能求出PH 与平面PBC 所成角的正弦值． 解：（1）证明：记AC BD O =I ，连结PO ，PBD ∆中，OB OD =，PB PD =，BD PO ∴⊥，BD AC ⊥Q ，AC PO O =I ，BD ∴⊥平面PAC ，BD ⊂Q 平面ABCD ，∴平面PAC ⊥平面ABCD ．（2）POB ∆中，2POB π∠=，1OB =，2PB =，1PO ∴=，3AO =Q ，33OH =， 2262()3PH ∴==，222PH PO OH ∴=+， PH AC ∴⊥，PH ∴⊥平面ABCD ，∴PH ∴⊥BC ，连结HB ，由题意得H 为ABD ∆的重心， 6HBO π∴∠=，2HBC π∠=，BC BH ∴⊥，BC ∴⊥平面PHB ∴平面PHB ⊥平面PBC ，∴H 在平面PBC 的射影落在PB 上，HPB ∴∠是PH 与平面PBC 所成角，Rt PHB ∴∆中，6PH =，2PB =，23BH ∴=，236sin 2BH BPH BP ∴∠==⨯=． PH ∴与平面PBC 所成角的正弦值为6．点评：本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知数列{}n a 满足12a =，()*122n n n a a n N +=+∈，其前n 项和为n S .（1）通过计算102a ，212a ，322a ，猜想并证明数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}nb 满足11b =，()*12n n n b b n N n +=∈+，()*n n n t c S b n N n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，若数列{}n c 是单调递减数列，求常数t 的取值范围. 答案：（1）1(1)2n n a n -=+⋅，证明见解析；（2）1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭（1）首先利用赋值法求出312013,,222a a a 的值，进一步利用定义求出数列的通项公式；（2）首先利用叠乘法求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数t 的范围． 解：（1）数列{}n a 满足12a =，122(*)n n n a a n N +=+∈，其前n 项和为n S ． 所以21226a a =+=，2322216a a =+=， 则1022a =，232a =，3242a =， 所以猜想得：1(1)2n n a n -=+g ．证明：由于122nn n a a +=+，所以111222n n n n a a ++=+， 则：111222n n n n a a ++-=（常数）， 所以数列{}2n n a是首项为1，公差为12的等差数列． 所以111(1)2222n n a n n =+-=+，整理得1(1)2n n a n -=+g ． （2）数列{}n b 满足11b =，1(*)2n n nb b n N n +=∈+， 所以12n n b nb n +=+， 则121211221143n n n n b b b n n b b b n n -----⋯=⋯+g g g ， 所以2(1)n b n n =+．则22()(1)nnt c n n n n =-+g ， 所以1122422()2()2(2)2121n n n n n c c t t t t n n n n ++-=---=--+++++， 所以42021t n n --<++，整理得24222221323n t n n n n n n>-==++++++， 由于236n n ++…，所以21333n n++„，即13t >．点评：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型．21．已知抛物线2:4C x y =与直线:220l x y --=. （1）求抛物线C 上的点到直线l 距离的最小值；（2）设点()00,P x y 是直线l 上的动点，()1,1Q 是定点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点为A ，B ，求证A ，Q ，B 共线；并在3AQ QB =u u u r u u u r时求点P 坐标.答案：（1）10；（2）证明见解析，(0,1)P -或(2,0)P （1）根据点到直线的公式结合二次函数的性质即可求出；（2）)设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，表示出直线PA ，PB 的方程，利用0x 表示出1x ，2x ，即可求定点P 的坐标．解：（1）设抛物线C 上点的坐标为2(,)4t t ，则22|2|24)t t d t t --=-+…，(1t =时取等号）， 则抛物线C 上的点到直线l； （2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，214y x =Q ， 12y x ∴'=， ∴直线PA ，PB 的方程为分别为111()2x y y x x -=-，222()2x y y x x -=-，由两条直线都经过点P 点得1x ，2x 为方程200240x x x y -+=的两根1202x x x +=，1204x x y =，直线AB 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，1211()4x x y y x x +-=-，01212121101(1)1104442x x x x x x xy x y ++---=-+=-+=， A ∴，Q ，B 共线．又1213(1)x x -=-，1243x x ∴=-，102012032224x x x x x x x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， 解00x =，02x =，Q 点0(P x ，0)y 是直线l 上的动点，00x ∴=时，01y =-，02x =时，00y =，(0,1)P ∴-，或(2,0)P ．点评：本题考查抛物线的方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线过定点的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．22．已知函数2()(0)xf x e ax a =->（其中e 2.718=L 是自然对数的底数） （1）若()f x 在R 上单调递增，求正数a 的取值范围；（2）若()f x f （x ）在()1212,x x x x x =<处导数相等，证明：122ln 2x x a +<； （3）当12a =时，证明：对于任意11k e≤+，若12b <，则直线y kx b =+与曲线()y f x =有唯一公共点（注：当1k >时，直线y x k =+与曲线xy e =的交点在y 轴两侧）. 答案：（1）0,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）见解析；（3）见解析（1）需满足()0f x '…恒成立，只需()0f x ''…即可；（2）根据()g x 的单调性，构造新函数()(2)(2)()h x g ln a m g ln a m i m =--+=，并令12x ln a m =-，根据()i m 的单调性即可得证；（3）将问题转化为证明21()2xb e x kx j x =--=有唯一实数解，对()j x 求导，判断其单调性，结合题目条件与不等式的放缩，即可得证． 解：)2(x f x e ax '=-；令()()2x g x f x e ax ='=-，则()0g x …恒成立；()2x g x e a '=-，()(2)2(12)0min g x g ln a a ln a ==-…； a ∴的取值范围是(0,]2e；（2）证明：由（1）知，()g x 在(,2)ln a -∞上单调递减，在(2,)ln a +∞上单调递增； 122x ln a x ∴<<；令()(2)(2)2(2)()m m h x g ln a m g ln a m a e e m i m -=--+=--=，0m >； 则()(0)0i m i <=；令12x ln a m =-，则21()()(2)(2)g x g x g ln a m g ln a m ==-<+； 22x ln a m ∴<+； 1222x x ln a ∴+<；（3）证明：()f x kx b =+，21()2xb e x kx j x =--=，要证明()b j x =有唯一实数解； 当m →+∞时，211(1)2me m m e --+→+∞；当m →-∞时，211(1)2me m m e--+→-∞；即对于任意实数b ，212xb e x kx =--一定有解； ()x j x e x k '=--；当1k >时，()j x 有两个极值点0m n <<；函数()j x 在(-∞，)(m n ⋃，)+∞上单调递增，在(,)m n 上单调递减； 又12b <； ∴只需21()2n b j n e n kn <=--，在11k e+„时恒成立； ∴只需211(1)2n b e n n e<--+；令2111((1))(1)()02n ne n n e n p n e e'--+=--+==，其中一个正解是0n ；0n >Q ，1((1))10n n e n e e'--+=->；()p n ∴单调递增，(0)0p <，p （1）0>；001n ∴<<； ∴0220000111111111(1)112222n e n n n n b e e e e e --+=--++>--++=>； 综上得证．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数证明不等式，考查了转化思想、不等式的放缩，属难题．。
