第6章 二次型(第1-2节课)

2 + ������������������ ������������
(6.1.1)
⎨ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎩������������ = ������������1 ������1 + ������������2 ������2 + ⋯ + ������������������ ������������
2 再对������3 配方消去所有含������3 的项������2 ，������3 ： ������ 2 = (������1 + ������2 + ������3 )2 − ������������������ ������ − 4������2 ������3 − 2������3 + ������������������
2 = (������1 + ������2 + ������3 )2 − 4������2 ������3 − 2������3
2 + ������22 ������2
一 个 系 数 取 自 数 域 ������ 含 有 个 ������ 变 量
2 + 2������12 ������1 ������2 + ⋯ + 2������1������ ������1 ������������ = ������11 ������1
+ ⋯ + 2������2������ ������2 ������������ ⋯⋯⋯⋯⋯
′ ′ ������1 ，������′ 2 ， ⋯ ，������������ (II)
线性表示为：
������′ 2 = ������12 ������1 + ������22 ������2 + ⋯ + ������������2 ������������
′ ������1 = ������11 ������1 + ������21 ������2 + ⋯ + ������������1 ������������
2 2 2 ������1 ������1 + ������2 ������2 + ⋯ + ������������ ������������
回顾：线性替换与基变换公式比较 定义 4.4.3 过渡矩阵 设 ������1 ，������2 ， ⋯ ，������������ (I)
7
′ ′ ������维线性空间������ 中的两组基。������1 ，������′ 2 ， ⋯ ，������������ 经基(I)
+ ⋯ + 2������2������ ������2 ������������
6
⋯⋯⋯⋯⋯ ⎧ ⎪ ������2 = ������21 ������1 + ������22 ������2 + ⋯ + ������2������ ������������ ������1 = ������11 ������1 + ������12 ������2 + ⋯ + ������1������ ������������
(6.1.2)
容 易 看 出 把 (6.1.2) 式 代 入 二 次 型 �������������1 ，������2 ， ⋯ ，������������ � 得到的关于 ������1 ，������2 ， ⋯ ，������������ 的多 项式仍然是齐二次的。 我们将只含平方项，不含混合项的二次型称为标 准 形 ，研 究如何 通 过 非 退 化 的 线 性 替 换 将 二 次 型 �������������1 ，������2 ， ⋯ ，������������ �化为标准形 是本章主旨之一。
⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯⋯⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯
称为基(I)到(II)的过渡矩阵。 称 为基变换公式。 称 为坐标变换公式。
⎡ ⎢������21 ������ = ⎢ ⋮ ⎢ ⎣������������1
������22 ������������2
⎤ ������2������ ⎥ ⋮ ⎥ ⎥ ������������������ ⎦
2 + ������22 ������2
有 ������ 个 变 量 ������1 ，������2 ， ⋯ ，������������ 的 二 次 型
2 = ������11 ������1 + 2������12 ������1 ������2 + ⋯ + 2������1������ ������1 ������������
2 + ������������������ ������������
(6.1.1)
地当������ = ������时称为实二次型；当������ = ������时为复二次型 。 二次型相等 �������������1 ，������2 ， ⋯ ，������������ � 和 �������������1 ，������2 ， ⋯ ，������������ � 相 等 当 且 仅当它们所有同类项������������ ������������ 的系数全相等。从而若
+ ⋯ + 2������2������ ������2 ������������ ⋯⋯⋯⋯⋯
2 + ������������������ ������������
二次型一个重要议题就是化二次型为标准形，即 用变量的线性替换化简一个二次型使它只含平方项。 二次型的研究起于解析几何中化二次曲线和二次 曲面的方程为标准形的问题。回忆一下平面解析几何 中，以坐标原点为中心的二次有心曲线方程为 方程的左端是两个变量的二次型。选取适当的旋转变 换ℛ ������ ，可将它化为标准形： 例如二次曲线 5������ 2 + 5������ 2 − 6������������ = 4 ������1 ������ ′2 + ������2 ������ ′2 = 1 ������������ 2 + 2������������������ + ������������ 2 = 1
的矩阵
′ ′ 以������1 ，������′ 2 ， ⋯ ，������������ 在基 (I) 下的坐标作为列向量构成
������′ ������ = ������1������ ������1 + ������2������ ������2 + ⋯ + ������������������ ������������ ������11 ������12 ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ������1������
0 0 0 0 0 0 �������������1 ，������2 ， ⋯ ，������������ � = �������������1 ，������2 ， ⋯ ，������������ �
5
定义 6.1.2 线性替换、非退化的(满秩的)线性替换 系数在数域������中的一组关系式 设������1 ，������2 ， ⋯ ，������������ ； ������1 ，������2 ， ⋯ ，������������ 是两组变量， ������1 = ������11 ������1 + ������12 ������2 + ⋯ + ������1������ ������������ ⎧ ⎪ ������2 = ������21 ������1 + ������22 ������2 + ⋯ + ������2������ ������������
3
曲线在新的坐标系下的方程为 1 ′2 ������ + 2������ ′2 = 1 2
������ ′ ������
将原坐标系逆时针旋转45°而成新坐标系， 这样该二次
������ = ������ ′ cos45° − ������ ′ sin45° � ������ = ������ ′ sin45° + ������ ′ cos45°
�������������1 ，������2 ，������3 �
2 2 2 2 = ������1 + ������2 + ������3 + 2������1 ������2 + 2������1 ������3 + ������������������ ������������ − ������������������ ������������ − 2������3
������ ′
������
������
二次型不仅在几何中出现，而且在数学的其它分 支以及物理、力学中也常常碰到。因而二次型的理论 有着广泛的应用。 本章要讨论两个问题： 化二次型为标准形 实二次型的分类以及正定二次型和正定矩阵的一 些性质
4
§6.1 配方法化二次型为标准形 定义 6.1.1 二次型、实二次型、复二次型 ������1 ，������2 ， ⋯ ，������������ 的二次齐次多项式 �������������1 ，������2 ， ⋯ ，������������ �
′ ′ ，������′ �������1 2 ， ⋯ ，������������ � = �������1 ，������2 ， ⋯ ，������������ �������
������ ′ = ������−1 ������
本节将介绍配方法。
8
例 6.1.1 化二次型 �������������1 ，������2 ，������3 �
0 0 0 ，������2 ， ⋯ ，������������ ∈ ������有 则对任意的������1
称为数域������上的一个������元二次型，简称为二次型。特别