第六章 二次型 线性代数 课件PPT
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西北工业大学《线性代数》课件-第六章 二次型
第六章二次型本章共有三节内容：§1 二次型及其矩阵表示§2 化二次型为标准形§3 正定二次型§6.1二次型及其矩阵表示二次型的定义二次型的矩阵表示二次型的标准形合同矩阵一、二次型的定义12(,,,)n f x x x n 元二次型是指如下形式的二次齐次多项式211112121313112222232322222222n n n n nn n a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =++++++++++ 定义6.112,,,n x x x ；n 元二次型的特点：①含n 个自变量②二次齐次多项式：只含或的项，无一次项2i x i j x x 和常数项。
221212(,)5f x x x x =++不是二次型例如：特点：只含有变量的平方项，无混合乘积项。
222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 当a ij 为实数时，称f 为实二次型；当a ij 为复数时，称f 为复二次型。
本章仅讨论实二次型。
标准形：二、二次型的矩阵表示12,1(,,,)n n ij i ji j f x x x a x x ==∑ 若将改写成2()ij i j a x x i j <,ij i j ji j i a x x a x x +，其中ij ji a a =，则二次型可以表示为ij ji a a =即A 是对称矩阵，则二次型可用矩阵形式表示为：111211212222121212(,,)(,,)n n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x a a a x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠若令11121121222212,n n n n nn n a a a x a a a x a a a x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠A x ，其中T=x Ax 实对称矩阵A 称为二次型f 的矩阵，也把f 称为实对称矩阵A 的二次型,实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，二次型与实对称矩阵之间是一一对应的关系。
63二次型的规范型.ppt
第六章 二次型
中南财经政法大学信息系
一、 概念的引入
设
f x12 9x22 4x32 (标准型)
y1 x1
令
y2
3x2
y3 x3
z1 x1
令
z2
3x2
z3 2x3
f y12 y22 4 y32 f z12 z22 z32
所以, 二次型的标准型不唯一.
二、惯性定理
推论 :两个实对称矩阵合同的充要条件为它们的秩 和正负惯性指数相等.
例２
1
3
1
A 2 B 2 C 3
1
1
4
则 A与C合同,A与B不合同.
例３ 判断下列对称矩阵是否合同
1 2 0 1 0 0 A 2 1 0, B 0 2 0
0 0 1 0 0 1
解：
1 2 0
z3
则
f
z12
z
2 2
z32 .
所作的线性变换为
1 0
0
x1 1 3
x2 x3
2 2
3 3
2 5 15
0
2 4 5
45 45 45
3 0
0
1 18 0
0
z1 z2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 18
z3
1 9 2 9
2 9
2 3 10 1 3 10
0
1 5 9 z1
2 5 12
9 9
z2 z3
x1
即
1 2
y1
x2
1 8
1 8
y2
2 y3
y2 y3
x3 y3
且 有 f y12 y22 y32 .
。
中南财经政法大学信息系
一、 概念的引入
设
f x12 9x22 4x32 (标准型)
y1 x1
令
y2
3x2
y3 x3
z1 x1
令
z2
3x2
z3 2x3
f y12 y22 4 y32 f z12 z22 z32
所以, 二次型的标准型不唯一.
二、惯性定理
推论 :两个实对称矩阵合同的充要条件为它们的秩 和正负惯性指数相等.
例２
1
3
1
A 2 B 2 C 3
1
1
4
则 A与C合同,A与B不合同.
例３ 判断下列对称矩阵是否合同
1 2 0 1 0 0 A 2 1 0, B 0 2 0
0 0 1 0 0 1
解：
1 2 0
z3
则
f
z12
z
2 2
z32 .
所作的线性变换为
1 0
0
x1 1 3
x2 x3
2 2
3 3
2 5 15
0
2 4 5
45 45 45
3 0
0
1 18 0
0
z1 z2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 18
z3
1 9 2 9
2 9
2 3 10 1 3 10
0
1 5 9 z1
2 5 12
9 9
z2 z3
x1
即
1 2
y1
x2
1 8
1 8
y2
2 y3
y2 y3
x3 y3
且 有 f y12 y22 y32 .
。
线性代数课件--第6章.二次型
2 1/ 2 1 0
A 1 / 2
0
0
2
1 0 1 0
0
2
0
5
一个二次型xTAx也可看成n维向量α的一个函数,即
f (α) xTAx
其中x=(x1, x2, … , xn)T是α在Rn的一组基下的坐标向量。
6.1 二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵
二次型的矩阵表示
所以二次型xTAx是向量α的n个坐标的二次齐次函数。 因此二次型作为n维向量α的函数，它的矩阵是与一组
6.2 化二次型为标准形
正交变换法 我们在5.3节讲过，对于任一个n阶实对称阵A，一定存 在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=Λ。由于Q-1=QT，所以有
QTAQ=diag(λ1, λ2, …, λn) 因此，对于任一个二次型f(x1, x2, … , xn)=xTAx，有下面 的重要定理。
6.2 化二次型为标准形
正定二次型和正定矩阵 定理：若A是n阶实对称矩阵，则下列命题等价： 1）xTAx是正定二次型（或A是正定矩阵） 2）A的正惯性指数为n，即A合同与I 3）存在可逆矩阵P，使得A=PTP 4）A的n个特征值λ1, λ2, …, λn全大于零
6.4 正定二次型和正定矩阵
正定二次型和正定矩阵 定理：若二次型xTAx正定，则 1）A的主对角元aij>0 (i=1,2,…,n) 2）A的行列式|A|>0
f(x1, x2, … , xn)=xTAx=xTBx 则必有A=B。因此，二次型和它的矩阵是相互唯一确定 的。 所以，研究二次型的性质转化为研究A所具有的性质。
6.1 二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵
二次型的矩阵表示
例1：设f(x1, x2, x3, x4)=2x12+x1x2+2x1x3+4x2x4+x32+5x42， 则它的矩阵为
线性代数二次型及其标准形PPT课件
第19页/共50页
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2
P1
1 3
1 2
2
P2
1 3
2 1
1
P3
1 3
2 2
(3) 写出正交变换
2 2 1
取正交矩阵
P P1
则得所欲求的正交变换
P2
P3
1 3
1 2
2 1
2 2
即
x1 x2 x3
1 3
2 1 2
2 2 1
第3页/共50页
例如： f ( x, y) x2 4xy 5 y2
f ( x, y, z) 2x2 y2 xz yz
都是二次型。
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x1x2 x2 x3 x2 x4
f (x, y) x2 y2 5 不是二次型。
f (x, y) 2x2 y2 2x
第4页/共50页
取 aij a ji 则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
则（1）式可以表示为
f a11 x12 a12 x1 x2 a21 x2 x1 a22 x22
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
kn xn
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在
中取1,值的1,标0准形
f
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
称为二次型的规范形。
(注：这里规范形要求系数为1的项
排
在前面，其次排系数为-1的第项10。页/)共50页
目的： 对给定的二次型
n
f x1, x2 ,, xn aij xi x j (1)
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2
P1
1 3
1 2
2
P2
1 3
2 1
1
P3
1 3
2 2
(3) 写出正交变换
2 2 1
取正交矩阵
P P1
则得所欲求的正交变换
P2
P3
1 3
1 2
2 1
2 2
即
x1 x2 x3
1 3
2 1 2
2 2 1
第3页/共50页
例如： f ( x, y) x2 4xy 5 y2
f ( x, y, z) 2x2 y2 xz yz
都是二次型。
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x1x2 x2 x3 x2 x4
f (x, y) x2 y2 5 不是二次型。
f (x, y) 2x2 y2 2x
第4页/共50页
取 aij a ji 则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
则（1）式可以表示为
f a11 x12 a12 x1 x2 a21 x2 x1 a22 x22
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
kn xn
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在
中取1,值的1,标0准形
f
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
称为二次型的规范形。
(注：这里规范形要求系数为1的项
排
在前面，其次排系数为-1的第项10。页/)共50页
目的： 对给定的二次型
n
f x1, x2 ,, xn aij xi x j (1)
第六章 二次型-PPT课件
一、二次型的定义
在高中数学课程中我们就学习过圆锥曲线，比如椭圆、 双曲线、抛物线等，从代数上看，它们的方程分别为
f(x ,y ) a x 2 2 b y 2 2 1 , f(x ,y ) x y 1 ,
实际上，它们是高等数学课程中学习过的 k 2的
二元 k 次齐次函数，即有 f( tx ,ty ) tk f(x ,y ) , t R
yT
3 0
0 7
y
因此得到椭圆的标准形
3y127y22 48
% ex6105.m h=ezplot('5*x1^2-4*x1*x2+5*x2^2-48'),hold on % 绘出二次型的几何图形，这里为椭圆 set(h,{‘Color’},{‘r’}); %颜色为红色 set(h,{'LineWidth'},{2}); %线宽为2 axis square; grid on; %产生正方形坐标轴，加上网格
x 1 ( a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 a 1 n x n ) x 2 ( a 2 1 x 1 a 2 2 x 2 a 2 3 x 3 a 2 n x n ) x n ( a n 1 x 1 a n 2 x 2 a n n x n )
[x1,x2,
a11x1 a12x2 ,xn]a21x1 a22x2
得 A 的特征值为 1 4 ,2 1 ,3 2 .
对于 1 4 ，解 (A1I)x0 ， 有
2 2 0 1 1 0 A4I2 3 2 0 1 2
0 2 4 0 0 0
可得特征向量
2
1
2
.
1
对于 2 1 ，解 (A2I)x0 ， 有
1 2 0 AI2 0 2
在高中数学课程中我们就学习过圆锥曲线，比如椭圆、 双曲线、抛物线等，从代数上看，它们的方程分别为
f(x ,y ) a x 2 2 b y 2 2 1 , f(x ,y ) x y 1 ,
实际上，它们是高等数学课程中学习过的 k 2的
二元 k 次齐次函数，即有 f( tx ,ty ) tk f(x ,y ) , t R
yT
3 0
0 7
y
因此得到椭圆的标准形
3y127y22 48
% ex6105.m h=ezplot('5*x1^2-4*x1*x2+5*x2^2-48'),hold on % 绘出二次型的几何图形，这里为椭圆 set(h,{‘Color’},{‘r’}); %颜色为红色 set(h,{'LineWidth'},{2}); %线宽为2 axis square; grid on; %产生正方形坐标轴，加上网格
x 1 ( a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 a 1 n x n ) x 2 ( a 2 1 x 1 a 2 2 x 2 a 2 3 x 3 a 2 n x n ) x n ( a n 1 x 1 a n 2 x 2 a n n x n )
[x1,x2,
a11x1 a12x2 ,xn]a21x1 a22x2
得 A 的特征值为 1 4 ,2 1 ,3 2 .
对于 1 4 ，解 (A1I)x0 ， 有
2 2 0 1 1 0 A4I2 3 2 0 1 2
0 2 4 0 0 0
可得特征向量
2
1
2
.
1
对于 2 1 ，解 (A2I)x0 ， 有
1 2 0 AI2 0 2
第六章二次型
第六章-二次型————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ第六章 二次型二次型就是二次齐次多项式,它的研究起源于解析几何中化二次曲线与二次曲面方程为标准形式的问题。
不仅在几何中,而且在数学的其它分支及物理、力学和网络计算中也常会碰到二次型问题。
在本章中,我们将利用矩阵工具讨论二次型的化简、惯性定理及正定二次型等基本理论。
§1 二次型定义１ n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式nn n x x a x x a x x a x a x x x f 1131132112211121222),,,(++++=+nn x x a x x a x a 223223222222++++…+)1.1(2nnn x a称为一个ｎ元二次型, 简称二次型。
当所有系数ij a 为复数时,f 称为复二次型;当ij a 都为实数时, f 称为实二次型。
本章中只讨论实二次型。
取ji a ＝ij a (n j i j i ,,2,1,, =<）则有i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2从而(1.1）式可写成∑==nj i j i ijn x x ax x x f 1,21),,,(＝n n x x a x x a x a 1121122111+++ n n x x a x a x x a 2222221221++++ ＋ (2)2211n nn n n n n x a x x a x x a ++++=)(12121111n n x a x a x a x +++ )(22221212n n x a x a x a x +++++…)(2211n nn n n n x a x a x a x ++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x22112222121121211121),,,( ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2121222211121121),,,( 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn n n n n x x x X a a a a a a a a a A21212222111211则用矩阵将二次型(1．1)可写成AX X x x x f n '=),,,(21 (1.２) 其中n n ij a A ⨯=)(为实对称矩阵,它的主对角线元素ii a 是二次型),,,(21n x x x f 中平方项2i x 的系数, 其余元素)(j i a a jiij ≠= 正是f 中交叉项j i x x 系数的一半。
线性代数(第六版)课件：二次型
ax2 by2 d ,
上述 x, y 由 x, y 的线性表达式给出，通常称为线性
变换。一般有下面的定义。
11
定义 关系式
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x2c21y1 c22 y2 c2n yn xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
称为由变量 x1, x2 ,, xn 到 y1, y2 ,, yn 的一个线性变换。
《线性代数》
（第六版）
1
二次型
2
本章讨论把一个n元二次齐次多项式
化为仅含有完全平方项的和的形式，并 研究有关的性质。
3
第一节 二次型与对称矩阵
(一) 二次型及其矩阵
定义 含有n个变量 x1, x2 ,, xn的二次齐次多项式 f ( x1 , x2 ,, xn )
a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
的问题。
下面介绍二次型化为标准形的方法。
17
1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形
拉格朗日配方法的基本步骤：
1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 xi 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性变换，就得到标准形;
2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0 (i j), 则先作可逆线性变换
令
y2
x2 x3
x2
y2 y3
y3
x3
x3
y3
x1 1 1 0 y1
x2 0 1 1 y2
x3
0
0
1
y3
标准形为
f
y12
y
2 2
y32
线性代数课件：第六章实二次型
线性代数课件第六章实二次型
目录 Contents
• 实二次型的定义与性质 • 实二次型的标准型 • 实二次型的正定性 • 实二次型与矩阵的关系 • 实二次型的几何意义
01
实二次型的定义与性质
定义
实二次型
对于一个实数域上的线性空间V，如果存在一个由V上的线性函数f组成的双线 性函数Q，使得对于V中的任意元素x和y，有Q(x,y)=f(x)*f(y)，则称Q为V上的 一个实二次型。
实二次型的正定性的应用
判断矩阵的正定性
通过判断矩阵对应的二次型是否正定，可以确定矩阵的正定性。
判断向量组的线性无关性
如果一个向量组在正定二次型下线性无关，则该向量组一定是线性 无关的。
优化问题
在优化问题中，正定二次型常常被用作目标函数的约束条件，以保 证优化问题的解是唯一的。
04
实二次型与矩阵的关系
实二次型的性质
实二次型的矩阵表示
实二次型可以表示为一个矩阵和向量 的乘积，其中矩阵是二次型中各项系 数的矩阵，向量是变量构成的向量。
实二次型具有对称性，即对于任意两 个变量x和y，x和y的系数相等。
实二次型的标准型转换
线性变换
通过线性变换可以将实二次型转 换为标准型。线性变换是通过一 个可逆矩阵左乘原二次型矩阵得
二次型的矩阵表示
对于任意向量x=[x1,x2,...,xn]^T，如果将f(x)表示为矩阵A与向量x的乘积形式 f(x)=Ax，那么二次型Q(x,y)可以表示为Q(x,y)=x^TAy。
性质
实对称性
实二次型总是实对称的，即对于 任意向量x和y，有Q(x,y)=Q(y,x)
。
正定性
如果对于所有的非零向量x，都有 Q(x,x)>0，则称实二次型为正定的 。
目录 Contents
• 实二次型的定义与性质 • 实二次型的标准型 • 实二次型的正定性 • 实二次型与矩阵的关系 • 实二次型的几何意义
01
实二次型的定义与性质
定义
实二次型
对于一个实数域上的线性空间V，如果存在一个由V上的线性函数f组成的双线 性函数Q，使得对于V中的任意元素x和y，有Q(x,y)=f(x)*f(y)，则称Q为V上的 一个实二次型。
实二次型的正定性的应用
判断矩阵的正定性
通过判断矩阵对应的二次型是否正定，可以确定矩阵的正定性。
判断向量组的线性无关性
如果一个向量组在正定二次型下线性无关，则该向量组一定是线性 无关的。
优化问题
在优化问题中，正定二次型常常被用作目标函数的约束条件，以保 证优化问题的解是唯一的。
04
实二次型与矩阵的关系
实二次型的性质
实二次型的矩阵表示
实二次型可以表示为一个矩阵和向量 的乘积，其中矩阵是二次型中各项系 数的矩阵，向量是变量构成的向量。
实二次型具有对称性，即对于任意两 个变量x和y，x和y的系数相等。
实二次型的标准型转换
线性变换
通过线性变换可以将实二次型转 换为标准型。线性变换是通过一 个可逆矩阵左乘原二次型矩阵得
二次型的矩阵表示
对于任意向量x=[x1,x2,...,xn]^T，如果将f(x)表示为矩阵A与向量x的乘积形式 f(x)=Ax，那么二次型Q(x,y)可以表示为Q(x,y)=x^TAy。
性质
实对称性
实二次型总是实对称的，即对于 任意向量x和y，有Q(x,y)=Q(y,x)
。
正定性
如果对于所有的非零向量x，都有 Q(x,x)>0，则称实二次型为正定的 。
北京工业大学《线性代数》课件-第六章 二次型
推论：数域P上任意一个对称矩阵都合同于一 个对角阵．
定义：如果对称矩阵A合同于一个对角阵，则
称这个对角阵是A的合同标准形． 问题：由定理可知，将一个二次型化为标准 形，关键是要找到可逆替换，如何找?
3
二．化二次型为标准形的方法 1．配方法 ⑴ 二次型 含有变量的平方项 例1 用配方法化二次型 (P193---例6.5.1)
为实二次型. 如：
f ( x1, x2 ) x12 2x1 x2 3x22 是二元实二次型．
f ( x1 , x2 , x3 ) ix12 2 x22 3 x1 x2 7 x2 x3
是三元复二次型．
f ( x, y) x 2 xy 3 y2 5x 1 不是二次型．
4
二.二次型的矩阵形表示
( x1 x2 x3 )2 ( x2 2 x3 )2 5 x32.
5
令
y1 y2 y3
x1
x2 x2 2
x3 x3 x3
,
则有 f y12 y22 5 y32 ,
所作的可逆替换是
x1 x2 x3
1 0 0
1 1 0
1 1
2 1
y1 y2 y3
即
x1 x2
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
为标准形，并求出可逆线性替换．
4
解：用配方法把变量x1, x2, x3 逐个配成完全平方 的形式：
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
,
X
x1 x2 xn
,
5
则二次型可以写成：
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX ⑵
定义：如果对称矩阵A合同于一个对角阵，则
称这个对角阵是A的合同标准形． 问题：由定理可知，将一个二次型化为标准 形，关键是要找到可逆替换，如何找?
3
二．化二次型为标准形的方法 1．配方法 ⑴ 二次型 含有变量的平方项 例1 用配方法化二次型 (P193---例6.5.1)
为实二次型. 如：
f ( x1, x2 ) x12 2x1 x2 3x22 是二元实二次型．
f ( x1 , x2 , x3 ) ix12 2 x22 3 x1 x2 7 x2 x3
是三元复二次型．
f ( x, y) x 2 xy 3 y2 5x 1 不是二次型．
4
二.二次型的矩阵形表示
( x1 x2 x3 )2 ( x2 2 x3 )2 5 x32.
5
令
y1 y2 y3
x1
x2 x2 2
x3 x3 x3
,
则有 f y12 y22 5 y32 ,
所作的可逆替换是
x1 x2 x3
1 0 0
1 1 0
1 1
2 1
y1 y2 y3
即
x1 x2
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
为标准形，并求出可逆线性替换．
4
解：用配方法把变量x1, x2, x3 逐个配成完全平方 的形式：
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
,
X
x1 x2 xn
,
5
则二次型可以写成：
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX ⑵
线性代数第6章二次型
3 2 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 4 1 25
> > A:=matrix([[1,-1,1],[-1,-3,-3],[1,3,4]]);C:=matrix([[1,1/2,-3/2],[0,1/2,1/2],[0,0,1]]);CTAC:=multiply(transpose(C),A, C);
1 1 2 3 2 1 1 2 0 0 1 1 1 1 1 0 1 3 3 0 2 2 1 3 4 1 0 0 0 2
1 2 1 2 0
3 2 1 2 1
1 0 0 0 0 1 0 0 B. 3
20
§2 化二次型为标准形
一 、用配方法化任意二次型为标准形 二、用正交替换化实系数二次型为标准形
21
一 、用配方法化任意二次型为标准形 2 2 p p 配方法 2 x px q x q . 2 4
2 1 2 2 2 3
则得 f y y 4 y . 反解
x3 y3 , x2 (1/ 2) y2 (1/ 2) y3 , x1 y1 x2 x3 y1 (1/ 2) y2 (1/ 2) y3 y3 y1 (1/ 2) y2 (3 / 2) y3 .
2 n 2 n1
2an1n xn1 xn
5
把二次型写成矩阵形式
a1n x1 a11 a12 a a a x 21 22 2 n 2 f ( x1 , , xn ) ( x1 , , xn ) . ann xn a n1 a n 2 an x1 a11 a12 x a a a 2 21 2 2n X ,A , ann xn a n1 a 2 T f ( X ) X AX . A称为二次型的矩阵.二次型和其矩阵一一对应 6 矩阵A的秩称为二次型的秩.
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a 22 ... an2
... ... ...
a2n ... a nn
,
X
x2 ... xn
，则f
X T AX .
线性代数
§6.1 二次型及矩阵表示
[注] 1）二次型 f 与对称矩阵A是一一对应的,也 就是说, 二次型 f 可以表示成矩阵形式 f X T AX , 这里矩阵A是惟一确定的； 反之，给定n阶对称矩阵A，可以惟一 确定一个n元二次型 f X T AX .
例1 给定二次型
f
17 x12
4x1 x2
4x1 x3
14
x
2 2
14
x
2 3
8x2x3
求正交变换X=QY，将二次型化成标准形。
线性代数
§6.2 化二次型为标准形
2 / 5 2 / 3 5 1 / 3
取Q 1
2
3
1/ 5 0
4 / 3 5 2 / 3, X QY . 5 / 3 5 2 / 3
3 C 2
2 1
1 3
y3 x1 3 x2 2 x3
1 3 2
C 0 C不可逆，
f
14( x1
1 2
x2
1 2
x3 )2
21 2
(
x
2
x3 )2
注意：所作的线性变换一定要可逆！！
线性代数
§6.2 化二次型为标准形
三、初等变换法（合同变换法）
f
X T AX
X
C
CY
0
(CY
y
n
将
其化成
标准形.
xn cn1 y1 cn2 y2 ... cnn yn
线性变换可以写成：则X=CY.
线性代数
§6.1 二次型及矩阵表示
1.基本概念
定义3 设A与B都是n阶矩阵，如果存在一个n 阶可逆矩阵C，使得 B C T AC , 则称A与 B是合同的.
[注] 1）矩阵的合同关系也是一种等价关系.
可见，标准形的矩阵为对角矩阵。其秩等于 系数中非零元素的个数。同理，对角矩阵所对
应的二次型是标准形。 二、合同矩阵
对于二次型 f X T AX，可以通过可逆的线性
x1 c11 y1 c12 y2 ... c1n yn
变换
x
2
c21 y1 c22 y2 ... c2n ..........................................
其标准形不惟一，但用正交变换法化二次型为
标准形，其系数除了次序外，是唯一确定的，
且是A的特征值。
线性代数
§6.3 惯性定理与二次型的正定性
§6.3 惯性定理与二次型的正定性 一、惯性定理
一个二次型的标准形不是惟一的。
例如 对于实二次型
f
(x1, x2 ,
x3 )
x12
2x1 x2
2x1 x3
3
x
2 2
线性代数
§6.1 二次型及矩阵表示
§6.1 二次型及矩阵表示 一、基本概念
定义1 n个变量 x1 , x 2 ,..., xn的一个二次齐次函数
f ( x1 , x 2 ,..., x n ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 ... 2a1n x1 xn
a
22
线性代数
§6.1 二次型及矩阵表示
例2
设矩阵A
6 2
2 5
02 ，
2 0 7
求 相 应 二 次 型f ( x1 , x2 , x3 ).
线性代数
§6.1 二次型及矩阵表示
定义2
形式为
f
(
y1 ,
y2 ,
,
yn
)
d1
y12
d2
y
2 2
...
dn
y
2 n
(只含平方项)的二次型称为标准形(或法式)。
写
成
如
下
形
式：
a1 j x1 x j
f ( x1 , x2 ,..., xn )
a11 x12
a12
x1 x2
a13
x1 x3
j1
...
a1n
x1 xn
n
a2 j x2 x j
j1
a21 x2 x1
a
22
x
2 2
a23 x2 x3
...
a2n x2 xn
a31 x3 x1
a32 x3 x2
a
33
2x1 x2
2x1 x3
3
x
2 2
6x2 x3
3
x
2 3
化为标准形。
线性代数
§6.2 化二次型为标准形
二、配方法
1.含有平方项的二次型
例3 将二次型
f (x1, x2 , x3 )
x
2 1
2x1 x2
2x1 x3
3
x
2 2
6x2 x3
3
x
2 3
化为标准形，并求出所作的可逆线性变换。
2. 不含平方项的二次型
线性代数
第六章、二次型
第六章 二次型
• 二次型及其矩阵表示 矩阵合同 • 化二次型为标准形 • 惯性定理和二次型的正定性
线性代数
第六章、二次型
在平面解析几何中，为了便于研究二次曲线 ax 2 bxy cy 2 d的几何特性，我们可以选择适 当的坐标旋转变换，可逆的线性变换也是正交的
变换：
x x cos y sin源自yx siny cos
就元从其在把是二而中经方一次很济a程个齐x容管化2二次易理为次式b判的标x齐的y别许准次问二 多形c式题y次 实2a、。是曲 际x组如一线 问2 合组个的 题c预合二类 中y测证次2，型的券齐也。D误投次常差资多常平的项遇方风式到和险。n
也是二次齐次式等。本章我们讨论一般n元二次 型及其标准形、正定二次型及其应用。
i1 j1
将其表示成矩阵向量的形式：
a11 a12 ... a1n x1
f (x1
x2
...
x
n
)
a 21 ... a n1
a 22 ... an2
... a2n x2
... ...
... a nn
... xn
a11 a12 ... a1n
x1
记A
a 21 ... a n1
6x2 x3
3
x
2 3
令
x1 x2
y1
1 2
1 2
y2 y2
3 2
1 2
y3 y3
x3
y3
标准形
f
y12
y
2 2
3
y
2 3
线性代数
§6.3 惯性定理与二次型的正定性
2
1
x1
6 y1
3 y2
正交变换 x2
1 6
y1
1 3 y2
1 2 y3
x
3
1 6 y1
1 3 y2
1 2 y3
2x2
x3)
(
x
2 2
4x2 x3
4
x
2 3
)
(注x1意：x作2 可x逆3 )的2 线( x性2 变 换2 x！3 )！2 ！
f (3x1 2x2 x3 )2 (2x1 x2 3x3 )2 (x1 3x2 2x3 )2
y1 y2
3x1 2x1
2x2 x2
3
x3 x3
逆线性变换Y=CX化为标准形.
f
d1
y
2 1
d
2
y
2 2
...
d
r
y
2 r
其中d1 , d2 ,..., dr均非零，r R( A) n.
化二次型为标准形的方法很多，其中有配方
法、正交变换法和初等变换法等。
线性代数
§6.2 化二次型为标准形
一、正交变换法
对于实对称矩阵A，必存在正交矩阵Q，使得 Q 1 AQ Q T AQ 为对角矩阵。可以用正交变 换法将其化为标准形。
得到正交变换：
x1
2 /
x2 1/
5 y1 2 / 3 5 y2 1/ 3 y3 5 y1 4 / 3 5 y2 2 / 3 y3
x1
5/ 3 5y2 2/ 3y3
化成标准形：
f
18 y12
18
y
2 2
9
y
2 3
例2 用正交变换，将实二次型
f (x1, x2 , x3 )
x
2 1
例4 将二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x1 x3 x2 x3 化为标准形，并求出所作的可逆线性变换。
线性代数
§6.2 化二次型为标准形
[注] 1）要搞清楚配方法的原理，配方要配完整；
2）化二次型为标准形，关键是求出所作的可 逆线性变换。
一般n元二次型，用配方法化为标准形的步骤是：
① （自反性） A与A合同；
线性代数
§6.1 二次型及矩阵表示
②（对称性）若A与B合同，则B与A也合同；
③ （传递性）若A与B合同，且B与D合同， 则A与D也合同。
2）对于二次型 f X T AX 作可逆线性变换
X=CY， 变为 f Y T BY，则A与B合同。
线性代数
§6.1 二次型及矩阵表示
对于f X T AX，作正交变换X QY，则
f
1
y
2 1
2
y
2 2
...
n
y
2 n
其 中1 , 2 ,..., n都 是 系 数 矩 阵A的 特 征 值.