第六章-二次型
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线性代数 第六章二次型
第六章 二次型1、二次型基本概念1º二次型：n 个变量n x x ,,1 的二次齐次多项式n n n x x a x x a x a x x f 11211221111),,(+++=n n x x a x x a 222112++++…+211n nn n n x a x x a ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x x 21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 ∴A A Axx x f T T ==且)( 例如：3221232221453x x x x x x x f -+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=52102132022A 结论：二次型与对称矩阵一一对应，称对称矩阵的秩为对应二次型的秩. 2º标准二次型：22111),(n n n y d y d y y f ++=3º规范二次型：2212211)(q P P p q p z z z z z z f +++-+=++4º秩与惯性指数惯性指数：在标准型或规范型中，正平方项的个数称为正惯性；负平方项的个数称为负惯性指数，且正负惯性指数之和为二次型的秩，正负惯性指数之差称为符号差。
化标准形式规范型：①配方；②合同变换二次型的矩阵的秩，正负惯性指数等相关题目思路：1）Ax x x x x f T n =),,(21 将，则秩f =秩A2）将),,(21n x x x f 用合同变换式配方法化为标准型221121),,(n n n y d y d x x x f ++= 负项的个数＝负惯性指数，秩f ＝平方项个数或化为规范型2221v p z z z f --++= 将 秩v f =正惯性指数为P ，负惯性指数为P v -例1. 1）二次型323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是 ，二次型的秩为 3 .2）实二次型2322213213),,(x x x x x x f +-=的秩为 ，正、负惯性指数分别为 例2.设)1()()()()(),,(212222121>++-+++=n x x nx nx nx x x x f n n n则f 的正负惯性指数之和为解：n n n x x x x x n x n f 1212221222)1()1(-----++-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=11111111111111122222222n n n n n n n n n n n A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→22220000111111111111n n n n2、将二次型化为标准形式已知标准形来求参数标准化方法1º配方法原理：配完全平方情形1：有平方项21⨯n a步骤：对所有含1x 的项配方，使得配方后余下的项不含1x ，如此继续，直至每一项均包含在平方项中。
二次型
例 6.2 二次型 f (x1, x2 , x3) = (x1 + x2 )2 + (x2 − x3)2 + (x3 + x1)2 ，求该二次型的秩。 【解答】
令 y1 = x1 + x2 ， y2 = x2 − x3 ， x3 = y3 ，则 x1 + x3 = y1 − y2 ，
f
( x1 ,
x2 ,
这样得到的矩阵记为 A1。 ② 如果 A1的第 2 列为零，这步跳过。
如果 A 的第 2 列非零。 (a) 如果 A 的第 2 列主对角元非零，则用初等行变换将主对角元以下元素全消为 零，做对应的初等列变换，将主对角元右边的元素全消为零。 (b) 如果 A 的第 2 列主对角元为零，在该列中寻找一个非零分量，例如，第 i 个， 将第 i 行加到第 2 行，将第 i 列加到第 2 列。(当然，也可以第 2 行减第 i 行，第 2 列 减第 i 列) 再用(a)中的步骤消元。 ③ 和前面一样的办法，一直做下去，直到得到对角阵为止。
只含平方项的二次型
f (x) = λ1x12 + λ2 x22 +" + λn xn2 称为标准二次型，简称标准形，其正平方项的个数称为正惯性指数，负平方项的 个数称为负惯性指数。正负惯性指数之和等于该二次型的秩。
特别地，若平方项的系数只有1, −1, 0 ，称这样的为规范形。
(2) 化二次型为其标准形 任何一个二次型都可以通过合同变换化为标准形。化二次型为标准形的方法
至于用于合同变换的矩阵 P ，也是简单易求的：将 A, E 写成分块矩阵的形
式：( A, E) ，对左边一块进行初等行变换时，对右边的也一起进行，对左边进行
88
第六章 二次型
定义2：设A,B为n阶方阵，若存在可逆方阵C，使得
CTAC=B 则称方阵A与方阵B合同，记做A∽B
合同矩阵必相似，但相似不一定合同。
性质： （1）反身性：A∽A
（Hale Waihona Puke ）对称性：若A∽B,则B∽A（3）传递性：若A∽B，B∽C,则若A∽C
8
定理1： 若A与B合同且A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，且R(A)=R(B).
2 2 2 那么上式就变为f d 1 y1 d 2 y2 ... d n yn
上面的问题就转化为：
求一个正交矩阵 , 使得Q T AQ ,即 Q 将f ( x ) X T AX标准化 求正交矩阵Q将实对称矩阵 对角化 A
7
由前章的内容知，任意实对称矩阵A,一定存在正交矩阵Q，使 QTAQ=，因而实二次型f (x)=XTAX一定可以化为标准型。
例1：将二次型写成矩阵形式
2 2 2 f ( x) 2 x1 3 x2 x3 4 x1 x2 10x2 x3
通常，称二次型
2 2 2 f x1 , x 2 ,... x n d 1 x1 d 2 x 2 ... d n x n
d1 X T X (
4
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ( x1 , x 2 ,..., x n ) .......... .......... .......... .. a x a x ... a x n2 2 nn n n1 1 a11 a12 ... a1n x1 a 21 a 22 ... a 2 n x 2 x1 , x 2 ,..., x n ... ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn x n 令 a11 a 21 A ... a n1 则 a12 a 22 ... an2 ... a1n x1 ... a 2 n x2 , x ... ... ... x ... a nn n
二次型
第六章 二次型§1. 二次型的定义二次型就是一个二次齐次多项式，其来源是平面解析几何中的有心二次曲线和空间解析几何中的二次曲面。
一个系数取自数域F 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式：=),,,(21n x x x f n n x x a x x a x x a x a 11311321122111222++++n n x x a x x a x x a x a 22422432232222222+++++ 2n nn x a ++称为数域F 上的一个n 元二次型，简称二次型。
令ji ij a a =，则上述二次型可以写成对称的形式： =),,,(21n x x x f ∑∑==n i nj j i ijx x a11把上式的系数排成一个n 阶方阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a aa a a A 212222111211称这矩阵为二次型),,,(21n x x x f 的矩阵。
由于ji ij a a =，所以矩阵A 是对称矩阵，因此二次型的矩阵都是对称的。
由此二次型可以写成矩阵的形式： AX X x x x f T n =),,,(21 式中()Tn x x x X ,,,21 =。
定理1：若A 、B 为n 阶对称方阵，且AX X T BX X T =，则A=B 。
这定理说明二次型和它的矩阵是相互唯一确定的。
例1：设23322221213214422),,(x x x x x x x x x x f ++++=，则它的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=420221011A例2：设323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=，则它的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011102120A例3：设二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=031331111A ，则对应的二次型为：32223121213216322),,(x x x x x x x x x x x f --+-= 和在几何中一样，在处理许多其它问题时也经常希望通过变量的线性替换来简化有关的二次型。
第六章_二次型简介
2 2 17 2 A E 2 14 4 18 9 2 4 14
23
从而得特征值 2．求特征向量
1 9, 2 3 18.
1 (1 2,1,1)T . 将2 3 18代入 A E x 0, 得基础解系 T T 2 ( 2,1,0) , 3 ( 2,0,1) .
a11 a 21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 a12 a1n x1 x a22 a2 n 2 an 2 ann xn
7
a11 a 令 A 21 a n1
11
－2 A 例2：求对称矩阵 A 所对应的二次型。 3 1 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 解：
1 3 2 1 0 0 －1
2 x x x 2 3 x1 x2 x1 x3
2 1 2 2 2 3
例3：已知二次型 f 的秩为2，求参数c。
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
x1 x2 X xn
则 f X T AX
二次型的矩阵表示
其中 A 为对称矩阵。
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 3 x3 2 4 x1 x2 x2 x3 例如：二次型
1 -2 ( x1 , x2 , x3 ) -2 0 1 0 2 0 x1 1 x2 2 x3 -3 8
在二次型的矩阵表示中， 任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型． 这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
第六章二次型
第六章-二次型————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ第六章 二次型二次型就是二次齐次多项式,它的研究起源于解析几何中化二次曲线与二次曲面方程为标准形式的问题。
不仅在几何中,而且在数学的其它分支及物理、力学和网络计算中也常会碰到二次型问题。
在本章中,我们将利用矩阵工具讨论二次型的化简、惯性定理及正定二次型等基本理论。
§1 二次型定义１ n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式nn n x x a x x a x x a x a x x x f 1131132112211121222),,,(++++=+nn x x a x x a x a 223223222222++++…+)1.1(2nnn x a称为一个ｎ元二次型, 简称二次型。
当所有系数ij a 为复数时,f 称为复二次型;当ij a 都为实数时, f 称为实二次型。
本章中只讨论实二次型。
取ji a ＝ij a (n j i j i ,,2,1,, =<）则有i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2从而(1.1）式可写成∑==nj i j i ijn x x ax x x f 1,21),,,(＝n n x x a x x a x a 1121122111+++ n n x x a x a x x a 2222221221++++ ＋ (2)2211n nn n n n n x a x x a x x a ++++=)(12121111n n x a x a x a x +++ )(22221212n n x a x a x a x +++++…)(2211n nn n n n x a x a x a x ++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x22112222121121211121),,,( ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2121222211121121),,,( 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn n n n n x x x X a a a a a a a a a A21212222111211则用矩阵将二次型(1．1)可写成AX X x x x f n '=),,,(21 (1.２) 其中n n ij a A ⨯=)(为实对称矩阵,它的主对角线元素ii a 是二次型),,,(21n x x x f 中平方项2i x 的系数, 其余元素)(j i a a jiij ≠= 正是f 中交叉项j i x x 系数的一半。
第六章 二次型
a12 = a21 1 ∴ A = 2 0
= 2, a13 = a 31 = 0 , a 23 = a 32 = −3. 2 0 2 − 3 . − 3 − 3
1 2 0 x1 f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 , x2 , x3 ) 2 2 −3 x2 = X T AX 0 −3 −3 x 3
称 x1, x2,⋯ xn的 个 二 型 为 , 一 n元 次
实 次 ： 数 ij为 数 二 型 简 二 型 二 型 系 a 实 的 次 ， 称 次
2 2 例：f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + 4 x2 + 5 x3 − 4 x1 x3 是二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3
第六章
二次型
第一节 二次型的概念 第二节 化二次型为标准型 第三节 第四节 惯性律、 惯性律、二次型的规范形 二次型的正定性
第一节 二次型的概念
定 6.1 义 n元 次 二 型
含 个 量 1, x2,⋯ xn的 次 次 项 n 变 x , 二 齐 多 式
2 f (x1, x2,⋯ xn ) = a11x1 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 +⋯+ 2a1nx1xn , 2 + a22x2 + 2a23x2x3 +⋯+ 2a2nx2xn 2 +⋯+ 2annxn
是二次型
令 aij = aji
(i < j)
2 a x1 + a12x1x2 +⋯+ a nx1xn 11 1 2 + a21x2x1 + a22x2 +⋯+ a2nx2xn
北京工业大学《线性代数》课件-第六章 二次型
推论：数域P上任意一个对称矩阵都合同于一 个对角阵．
定义：如果对称矩阵A合同于一个对角阵，则
称这个对角阵是A的合同标准形． 问题：由定理可知，将一个二次型化为标准 形，关键是要找到可逆替换，如何找?
3
二．化二次型为标准形的方法 1．配方法 ⑴ 二次型 含有变量的平方项 例1 用配方法化二次型 (P193---例6.5.1)
为实二次型. 如：
f ( x1, x2 ) x12 2x1 x2 3x22 是二元实二次型．
f ( x1 , x2 , x3 ) ix12 2 x22 3 x1 x2 7 x2 x3
是三元复二次型．
f ( x, y) x 2 xy 3 y2 5x 1 不是二次型．
4
二.二次型的矩阵形表示
( x1 x2 x3 )2 ( x2 2 x3 )2 5 x32.
5
令
y1 y2 y3
x1
x2 x2 2
x3 x3 x3
,
则有 f y12 y22 5 y32 ,
所作的可逆替换是
x1 x2 x3
1 0 0
1 1 0
1 1
2 1
y1 y2 y3
即
x1 x2
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
为标准形，并求出可逆线性替换．
4
解：用配方法把变量x1, x2, x3 逐个配成完全平方 的形式：
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
,
X
x1 x2 xn
,
5
则二次型可以写成：
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX ⑵
定义：如果对称矩阵A合同于一个对角阵，则
称这个对角阵是A的合同标准形． 问题：由定理可知，将一个二次型化为标准 形，关键是要找到可逆替换，如何找?
3
二．化二次型为标准形的方法 1．配方法 ⑴ 二次型 含有变量的平方项 例1 用配方法化二次型 (P193---例6.5.1)
为实二次型. 如：
f ( x1, x2 ) x12 2x1 x2 3x22 是二元实二次型．
f ( x1 , x2 , x3 ) ix12 2 x22 3 x1 x2 7 x2 x3
是三元复二次型．
f ( x, y) x 2 xy 3 y2 5x 1 不是二次型．
4
二.二次型的矩阵形表示
( x1 x2 x3 )2 ( x2 2 x3 )2 5 x32.
5
令
y1 y2 y3
x1
x2 x2 2
x3 x3 x3
,
则有 f y12 y22 5 y32 ,
所作的可逆替换是
x1 x2 x3
1 0 0
1 1 0
1 1
2 1
y1 y2 y3
即
x1 x2
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
为标准形，并求出可逆线性替换．
4
解：用配方法把变量x1, x2, x3 逐个配成完全平方 的形式：
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
,
X
x1 x2 xn
,
5
则二次型可以写成：
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX ⑵
第六章 二次型
则
2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi
于是可将二次型（4）写成
6.1 二次型及其矩阵表示
或写成 其中
f (x1, x2 , , xn ) x1 (a11x1 a12 x2 a1n xn )
x2 (a21x1 a22 x2 a2n xn )
)
，
nn
x
x2 x
（3） （4）
6.1 二次型及其矩阵表示
因为当i j 时有aij a j，i 所以 A 为对称矩阵. 称（4）式为二次型f(x ) f
(x1,x 2, ,x n ) 的矩阵表示式，对称矩阵A则称为二次型 f (x) 的矩阵.
容易看出，a
ii
是
x
2 i
项的系数，aij
a ji（当 i
B CT AC
则称矩阵 A 与B是合同的.
6.2 二次型的标准形
合同是矩阵之间的关系，容易看出，合同关系具有以下性质：
（i）反身性：每个方阵与自己合同.
（ii）对称性：如果矩阵A与 B 合同，则矩阵B与A也合同.
（iii）传递性：如果矩阵A与B 合同，且B与C合同，则矩阵A与 C 合同.
事实上，（i）因为有 A ET AE，所以反身性成立.
6.1 二次型及其矩阵表示
6.1.1 二次型的定义
在解析几何中，为了便于研究二次曲线
ax2 2bxy cy 2 1
（1）
的几何性质，我们可以选择适当的坐标旋转变换
x xcos ysin
y
x s in
yc
os
把方程化为标准方程
1x2 2 y2 1
从而判定曲线的类型，研究曲线的性质.
别 地 ， 如 果 矩 阵C 为 正 交 矩 阵 ， 则 （ 1 ） 式 就 称 为 正 交 的 线 性 替 换 .
线性代数第6章二次型
3 2 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 4 1 25
> > A:=matrix([[1,-1,1],[-1,-3,-3],[1,3,4]]);C:=matrix([[1,1/2,-3/2],[0,1/2,1/2],[0,0,1]]);CTAC:=multiply(transpose(C),A, C);
1 1 2 3 2 1 1 2 0 0 1 1 1 1 1 0 1 3 3 0 2 2 1 3 4 1 0 0 0 2
1 2 1 2 0
3 2 1 2 1
1 0 0 0 0 1 0 0 B. 3
20
§2 化二次型为标准形
一 、用配方法化任意二次型为标准形 二、用正交替换化实系数二次型为标准形
21
一 、用配方法化任意二次型为标准形 2 2 p p 配方法 2 x px q x q . 2 4
2 1 2 2 2 3
则得 f y y 4 y . 反解
x3 y3 , x2 (1/ 2) y2 (1/ 2) y3 , x1 y1 x2 x3 y1 (1/ 2) y2 (1/ 2) y3 y3 y1 (1/ 2) y2 (3 / 2) y3 .
2 n 2 n1
2an1n xn1 xn
5
把二次型写成矩阵形式
a1n x1 a11 a12 a a a x 21 22 2 n 2 f ( x1 , , xn ) ( x1 , , xn ) . ann xn a n1 a n 2 an x1 a11 a12 x a a a 2 21 2 2n X ,A , ann xn a n1 a 2 T f ( X ) X AX . A称为二次型的矩阵.二次型和其矩阵一一对应 6 矩阵A的秩称为二次型的秩.
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3设 ，
证明如果 与 合同， 与 合同，则A与B合同。
4用正交变换法化下面二次型为标准形
（1） ；
（2） 。
5用可逆线性变换化下列二次型为标准形
（1）
（2）
6求二次型 的秩与符号差。
7下列矩阵是否合同，为什么？
（1） 与 ；
（2） 与 ；
（3） 与 。
8证明正定矩阵的对角线元素全大于零。
9仿照定理1和定理2，给出 负定的等价条件。
例1用正交变换化下面的二次型为标准形:
并判断二次曲面 的类型。
解二次型 的矩阵为
在第五章§3例1中,我们已求得 的特征值为 ,并求出使 相似于对角矩阵的正交矩阵
根据定理1,作正交变换 ,就可以使二次型化为标准形
二次曲面 ,经正交变换 化为标准形
因此二次曲面 表示旋转双曲面。
二、配方法
用正交变换法化二次型为标准形,通常计算量比较大。如果不要求作正交变换,而只要求作一般的可逆线性代换的话,那么化二次型为标准形可用一种简便的方法——配方法。下面我们用具体例子来说明这种方法。
（3.4）
其中 ，即 。令 ，则有
（3.5）
在上式中，令： ， 得
（3.6）
（3.6）式是一个齐次线性方程组，其方程个数 未知数个数n，从而有非零解，设其中一个非零解为
显然， 不全为0。将此非零解代入（3.4）式左端，得到
（3.7）
再将非零解
代入（3.5）式，得到 一组值 ， ，再将这组值 代入（3.4）式右端，可得
证因为矩阵 是实对称阵,由第五章§3定理3可知,一定存在正交矩阵 ,使得
其中 是矩阵 的全部特征值。作正交变换 ,则
在解析几何中二次曲线或二次曲面的化简时经常用到定理1,通常称为主轴定理。可以证明,正交变换保持线段的长度不变,所以用正交变换化二次型为标准形,具有保持几何形状不变的优点,因此正交变换法无论在理论上还是在实际应用中都十分重要。
定理2任何一个二次型都可以经过可逆线性变换化为标准形。
§3惯性定理
任何一个二次型都可以经过可逆线性变换化为标准形，但是，如果所用的变换不同，那么所得到的二பைடு நூலகம்型的标准形也可能不相同，即二次型的标准形是不唯一的。例如§2例2（1）中的二次型：
经可逆线性变换：
化为标准形
。
另一方面
作可逆线性变换
即
则原二次型 又可化为标准形
10判别下列二次型的正定性
（1）
（2）
11证明实对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵C，使 。
12设A是n阶正定矩阵，试证明 。
（2） （3）显然。
（3） （1）设A的n个特征值 ＞0，则标准形
是正定二次型，从而二次型 是正定的。
最后，介绍一个直接从二次型的矩阵A本身判别它是否正定的方法。
定理2n元实二次型 正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都大于0，即
， ，…，
，…，
证略。
例1判断下列二次型是否正定
解二次型 的矩阵为
A的各阶主子式为
称为标准形式的二次型,简称为标准形。
显然,标准形是最简单的一种二次型。下面介绍化二次型为标准形的二种常用方法:正交变换法和配方法。
一、正交变换法
定理1任意一个n元二次型 ( 实对称),总可以经过正交变换 ( 为正交矩阵)化为标准形
, (2.1)
其中 是矩阵 的全部特征值。式(2.1)称为二次型在正交变换下的标准形。
，
，
根据定理2， 是正定的。
例2证明：n阶矩阵A正定的充分必要条件是存在n阶正定矩阵B，使 。
证充分性假设存在n阶正定矩阵B，使 。由B对称得A对称。再根据B正定，则B的n个特征值 都大于0，从而A的n个特征值 都大于0，根据定理1，A是正定矩阵。
必要性设A是n阶正定矩阵，则A必是实对称矩阵，从而存在正交矩阵 ，使得
§4正定二次型与正定矩阵
在实二次型中，正定二次型具有重要的地位，本节介绍它的定义和常用的几个判别方法。
定义1实二次型 ，如果对于任何非零向量 ，都有 （或 ），则称二次型 为正定（或负定）二次型，其对应的矩阵A称为正定（或负定）矩阵，记为 （或 ）。
例如实二次型 显然为正定二次型，而 和 就不是正定二次型，因为 ， 。
(1.5)
在处理许多问题时,常常希望通过变量的线性变换来简化有关二次型。如果对二次型(1.1)进行可逆线性变换 ,则
记 ,上式为
因为 是对称矩阵,所以
即 也是对称矩阵,从而 是一个关于变量 的n元二次型,于是得到下面的定理
定理1二次型 经可逆线性变换 之后,仍然是一个二次型,且新的二次型的矩阵为 。
例1将二次型 表示为矩阵形式,并写出 的矩阵
和 的秩。
解
=
因此, 的矩阵为
由于矩阵 的秩为2,从而二次型 的秩为2。
定义2设变量 能用变量 线性地表示,即存在常数 ,使
(1.3)
成立。则称此关系式为由变量 到变量 的一个线性变换,或简称线性变换。
设
则(1.3)可以写成以下矩阵形式
(1.4)
当 时,称 为可逆(或非退化)线性变换。显然,可逆线性变换是一一对应的
证首先证明系数不为0的平方项的个数 。
标准形的矩阵 是对角矩阵，而对角矩阵 的秩等于对角线上非零元素的个数 ，
二次型 的秩 =矩阵 的秩＝矩阵 的秩＝ ，即 。
其次证明正平方项的个数 唯一确定。
设二次型 经过二个不同的可逆线性变换
和 （3.1）
分别化为以下标准形
（3.2）
（3.3）
其中 。
用反证法证明 。假设 。由（3.2）、（3.3）式，我们有
§2例2中的二次型（1），其正、负惯性指数都是1，符号差为0，秩为2；二次型（2），其正、负惯性指数分别是2和1，符号差为1，秩为3。
由惯性定理可得下面的推论。
推论1对于任何二次型 ，都存在可逆线性变换 ，使
（3.9）
其中 、 分别为 的正、负惯性指数。
（3.9）式右端称为二次型 的规范形，显然，它是唯一的。
根据定义1，可得以下二个结论：
(1)标准形实二次型 正定的充要条件是 （ ）。
证充分性
对于任意 ，必有
＞0
为正定二次型。
必要性 为正定二次型
对非零向量 ，有：
（ ）。
(2)实二次型 经可逆线性交换后其正定性不变。
证设 为正定二次型，在可逆线性变换 后变为
。
对于任意非零向量 ，由于C可逆，从而对应的 是非零向量（反证，若 ＝0，则 ，从而 ，矛盾）。根据 是正定的，从而 ，即 是正定二次型。
+
+…
+
称为一个n元二次型,简称二次型。当所有系数 为复数时, 称为复二次型；当 都为实数时, 称为实二次型。本章中只讨论实二次型。
取 = ( )则有
从而(1.1)式可写成
=
+…
=
+…
=
=
令
则用矩阵将二次型(1.1)可写成
（1.2）
其中 为实对称矩阵,它的主对角线元素 是二次型 中平方项 的系数,其余元素 正是 中交叉项 系数的一半。由此容易看出,二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,我们称对称阵 为二次型 的矩阵,称矩阵 的秩为二次型 的秩。
即
代入可得
再用（1）中的配方法，先对含 的项配完全方，然后对含 的项配完全平方，得到
令
即
综合以上两个可逆线性变换，得
所以，在可逆线性变换 下， 化为标准形
一般地，任何一个二次型，要么某个平方项 的系数不为0，要么某个交叉项 的系数不为0，所以一次或多次使用例2中（1）、（2）的方法，经有限次配方后，总可以化为标准形，即有下面的定理。
即
其中 是A的n个特征值，且都大于0，
取 ，则 ，
又B的n个特征值 都大于0，所以B是正定矩阵，从而命题得证。
习题六
1用矩阵形式表示下列二次型
（1） ；
（2） 。
2设A是一个n阶方阵，证明
(1)若A为对称方阵，且对任意的n维向量X都有 ，则A＝0；
(2)若A、B都是对称矩阵，且对任意的n维向量都有 ，则A＝B。
比较 的二个标准形，可以发现f的标准形虽然不唯一，但是 的不同标准形中不但系数不为零的平方项的个数是一样的，而且正平方项、负平方项的个数也相同，这不是偶然的，它就是下面的惯性定理。
定理1 (惯性定理）对于秩为 的n元二次型 ，不论用什么可逆线性变换。把 化为标准形，其中正平方项的个数 和负平方项的个数 都是唯一确定的，且 。
例2用可逆线性变换化下列二次型为标准形，并用矩阵形式写出所用线性变换。
（1）
（2）
解（1）因为 中的 系数不为零，故把含 的项集中起来，配方可得
上式右端除第一项外已不再含 ，继续配方，可得
令
即
用矩阵形式表示为
令
， ，
则 ，故 为可逆线性变换，且将二次型 化为标准形
（2）因为二次型 中没有平方项，无法像（1）那样直接配方，所以先作一个可逆线性变换，使其出现平方项。由于含有 交叉项。故令
第六章二次型
二次型就是二次齐次多项式,它的研究起源于解析几何中化二次曲线与二次曲面方程为标准形式的问题。不仅在几何中,而且在数学的其它分支及物理、力学和网络计算中也常会碰到二次型问题。在本章中,我们将利用矩阵工具讨论二次型的化简、惯性定理及正定二次型等基本理论。
§1二次型
定义1n个变量 的二次齐次多项式
根据以上二个结论可以得到判别二次型是否正定的几个等价条件。
定理1对于n元实二次型 ，以下命题等价。
（1） 是正定二次型（或A是正定矩阵）；
（2） 的正惯性指数 （或A合同单位矩阵E）；
（3）A的n个特征值 全大于0。
证明如果 与 合同， 与 合同，则A与B合同。
4用正交变换法化下面二次型为标准形
（1） ；
（2） 。
5用可逆线性变换化下列二次型为标准形
（1）
（2）
6求二次型 的秩与符号差。
7下列矩阵是否合同，为什么？
（1） 与 ；
（2） 与 ；
（3） 与 。
8证明正定矩阵的对角线元素全大于零。
9仿照定理1和定理2，给出 负定的等价条件。
例1用正交变换化下面的二次型为标准形:
并判断二次曲面 的类型。
解二次型 的矩阵为
在第五章§3例1中,我们已求得 的特征值为 ,并求出使 相似于对角矩阵的正交矩阵
根据定理1,作正交变换 ,就可以使二次型化为标准形
二次曲面 ,经正交变换 化为标准形
因此二次曲面 表示旋转双曲面。
二、配方法
用正交变换法化二次型为标准形,通常计算量比较大。如果不要求作正交变换,而只要求作一般的可逆线性代换的话,那么化二次型为标准形可用一种简便的方法——配方法。下面我们用具体例子来说明这种方法。
（3.4）
其中 ，即 。令 ，则有
（3.5）
在上式中，令： ， 得
（3.6）
（3.6）式是一个齐次线性方程组，其方程个数 未知数个数n，从而有非零解，设其中一个非零解为
显然， 不全为0。将此非零解代入（3.4）式左端，得到
（3.7）
再将非零解
代入（3.5）式，得到 一组值 ， ，再将这组值 代入（3.4）式右端，可得
证因为矩阵 是实对称阵,由第五章§3定理3可知,一定存在正交矩阵 ,使得
其中 是矩阵 的全部特征值。作正交变换 ,则
在解析几何中二次曲线或二次曲面的化简时经常用到定理1,通常称为主轴定理。可以证明,正交变换保持线段的长度不变,所以用正交变换化二次型为标准形,具有保持几何形状不变的优点,因此正交变换法无论在理论上还是在实际应用中都十分重要。
定理2任何一个二次型都可以经过可逆线性变换化为标准形。
§3惯性定理
任何一个二次型都可以经过可逆线性变换化为标准形，但是，如果所用的变换不同，那么所得到的二பைடு நூலகம்型的标准形也可能不相同，即二次型的标准形是不唯一的。例如§2例2（1）中的二次型：
经可逆线性变换：
化为标准形
。
另一方面
作可逆线性变换
即
则原二次型 又可化为标准形
10判别下列二次型的正定性
（1）
（2）
11证明实对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵C，使 。
12设A是n阶正定矩阵，试证明 。
（2） （3）显然。
（3） （1）设A的n个特征值 ＞0，则标准形
是正定二次型，从而二次型 是正定的。
最后，介绍一个直接从二次型的矩阵A本身判别它是否正定的方法。
定理2n元实二次型 正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都大于0，即
， ，…，
，…，
证略。
例1判断下列二次型是否正定
解二次型 的矩阵为
A的各阶主子式为
称为标准形式的二次型,简称为标准形。
显然,标准形是最简单的一种二次型。下面介绍化二次型为标准形的二种常用方法:正交变换法和配方法。
一、正交变换法
定理1任意一个n元二次型 ( 实对称),总可以经过正交变换 ( 为正交矩阵)化为标准形
, (2.1)
其中 是矩阵 的全部特征值。式(2.1)称为二次型在正交变换下的标准形。
，
，
根据定理2， 是正定的。
例2证明：n阶矩阵A正定的充分必要条件是存在n阶正定矩阵B，使 。
证充分性假设存在n阶正定矩阵B，使 。由B对称得A对称。再根据B正定，则B的n个特征值 都大于0，从而A的n个特征值 都大于0，根据定理1，A是正定矩阵。
必要性设A是n阶正定矩阵，则A必是实对称矩阵，从而存在正交矩阵 ，使得
§4正定二次型与正定矩阵
在实二次型中，正定二次型具有重要的地位，本节介绍它的定义和常用的几个判别方法。
定义1实二次型 ，如果对于任何非零向量 ，都有 （或 ），则称二次型 为正定（或负定）二次型，其对应的矩阵A称为正定（或负定）矩阵，记为 （或 ）。
例如实二次型 显然为正定二次型，而 和 就不是正定二次型，因为 ， 。
(1.5)
在处理许多问题时,常常希望通过变量的线性变换来简化有关二次型。如果对二次型(1.1)进行可逆线性变换 ,则
记 ,上式为
因为 是对称矩阵,所以
即 也是对称矩阵,从而 是一个关于变量 的n元二次型,于是得到下面的定理
定理1二次型 经可逆线性变换 之后,仍然是一个二次型,且新的二次型的矩阵为 。
例1将二次型 表示为矩阵形式,并写出 的矩阵
和 的秩。
解
=
因此, 的矩阵为
由于矩阵 的秩为2,从而二次型 的秩为2。
定义2设变量 能用变量 线性地表示,即存在常数 ,使
(1.3)
成立。则称此关系式为由变量 到变量 的一个线性变换,或简称线性变换。
设
则(1.3)可以写成以下矩阵形式
(1.4)
当 时,称 为可逆(或非退化)线性变换。显然,可逆线性变换是一一对应的
证首先证明系数不为0的平方项的个数 。
标准形的矩阵 是对角矩阵，而对角矩阵 的秩等于对角线上非零元素的个数 ，
二次型 的秩 =矩阵 的秩＝矩阵 的秩＝ ，即 。
其次证明正平方项的个数 唯一确定。
设二次型 经过二个不同的可逆线性变换
和 （3.1）
分别化为以下标准形
（3.2）
（3.3）
其中 。
用反证法证明 。假设 。由（3.2）、（3.3）式，我们有
§2例2中的二次型（1），其正、负惯性指数都是1，符号差为0，秩为2；二次型（2），其正、负惯性指数分别是2和1，符号差为1，秩为3。
由惯性定理可得下面的推论。
推论1对于任何二次型 ，都存在可逆线性变换 ，使
（3.9）
其中 、 分别为 的正、负惯性指数。
（3.9）式右端称为二次型 的规范形，显然，它是唯一的。
根据定义1，可得以下二个结论：
(1)标准形实二次型 正定的充要条件是 （ ）。
证充分性
对于任意 ，必有
＞0
为正定二次型。
必要性 为正定二次型
对非零向量 ，有：
（ ）。
(2)实二次型 经可逆线性交换后其正定性不变。
证设 为正定二次型，在可逆线性变换 后变为
。
对于任意非零向量 ，由于C可逆，从而对应的 是非零向量（反证，若 ＝0，则 ，从而 ，矛盾）。根据 是正定的，从而 ，即 是正定二次型。
+
+…
+
称为一个n元二次型,简称二次型。当所有系数 为复数时, 称为复二次型；当 都为实数时, 称为实二次型。本章中只讨论实二次型。
取 = ( )则有
从而(1.1)式可写成
=
+…
=
+…
=
=
令
则用矩阵将二次型(1.1)可写成
（1.2）
其中 为实对称矩阵,它的主对角线元素 是二次型 中平方项 的系数,其余元素 正是 中交叉项 系数的一半。由此容易看出,二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,我们称对称阵 为二次型 的矩阵,称矩阵 的秩为二次型 的秩。
即
代入可得
再用（1）中的配方法，先对含 的项配完全方，然后对含 的项配完全平方，得到
令
即
综合以上两个可逆线性变换，得
所以，在可逆线性变换 下， 化为标准形
一般地，任何一个二次型，要么某个平方项 的系数不为0，要么某个交叉项 的系数不为0，所以一次或多次使用例2中（1）、（2）的方法，经有限次配方后，总可以化为标准形，即有下面的定理。
即
其中 是A的n个特征值，且都大于0，
取 ，则 ，
又B的n个特征值 都大于0，所以B是正定矩阵，从而命题得证。
习题六
1用矩阵形式表示下列二次型
（1） ；
（2） 。
2设A是一个n阶方阵，证明
(1)若A为对称方阵，且对任意的n维向量X都有 ，则A＝0；
(2)若A、B都是对称矩阵，且对任意的n维向量都有 ，则A＝B。
比较 的二个标准形，可以发现f的标准形虽然不唯一，但是 的不同标准形中不但系数不为零的平方项的个数是一样的，而且正平方项、负平方项的个数也相同，这不是偶然的，它就是下面的惯性定理。
定理1 (惯性定理）对于秩为 的n元二次型 ，不论用什么可逆线性变换。把 化为标准形，其中正平方项的个数 和负平方项的个数 都是唯一确定的，且 。
例2用可逆线性变换化下列二次型为标准形，并用矩阵形式写出所用线性变换。
（1）
（2）
解（1）因为 中的 系数不为零，故把含 的项集中起来，配方可得
上式右端除第一项外已不再含 ，继续配方，可得
令
即
用矩阵形式表示为
令
， ，
则 ，故 为可逆线性变换，且将二次型 化为标准形
（2）因为二次型 中没有平方项，无法像（1）那样直接配方，所以先作一个可逆线性变换，使其出现平方项。由于含有 交叉项。故令
第六章二次型
二次型就是二次齐次多项式,它的研究起源于解析几何中化二次曲线与二次曲面方程为标准形式的问题。不仅在几何中,而且在数学的其它分支及物理、力学和网络计算中也常会碰到二次型问题。在本章中,我们将利用矩阵工具讨论二次型的化简、惯性定理及正定二次型等基本理论。
§1二次型
定义1n个变量 的二次齐次多项式
根据以上二个结论可以得到判别二次型是否正定的几个等价条件。
定理1对于n元实二次型 ，以下命题等价。
（1） 是正定二次型（或A是正定矩阵）；
（2） 的正惯性指数 （或A合同单位矩阵E）；
（3）A的n个特征值 全大于0。