《大学物理2》 磁场习题课2

得
分离变量并两边积分
1 g sin Hv ln t H gsin
此即为导体棒下滑的稳 定速度，也是导体棒能 够达到的最大速度，其 v－t 图线如图所示。
1978年全国高考物理试题
由此得导体在t时刻的速度
v
mgRsin B 2l 2 cos2
B 2l 2 cos2 t mR (1 e )

0 I 0 a l2 t l1 ln e 2 a
在中固定a，仅对 t求导数得感生电动势
感生
7
3.有两根相距为d 的无限长平行直导线，它们通以大小相等 流向相反的电流，且电流均以dI/dt的变化率增长。若有一边 长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示。 求线圈中的感应电动势。
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7.电磁涡流制动器是一个电阻率为 ，厚度为b的圆盘，此盘绕 通过其中心的垂直轴旋转，且有一覆盖小面积为a2的均匀磁场 B垂直于圆盘，小面积离轴r（r>>a）．当圆盘角速度为时， 试导出阻碍圆盘转动的磁力矩的近似表达式。 B 解: 将圆盘与磁场相对的部分当成 长、宽和高分别为a、a和b的小导 S 体，其横截面积为 S = ab，
d (v B) d l v B sin900 cos d l v B cosR d
d vBR
/2
-/2
cos d 2 Rv B
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解3：连接OP使导线构成一个闭合回路。由于磁场是均匀的， 在任意时刻，穿过回路的磁通量
BS 常数
解1：穿过面元dS的磁通量为 d B d S B1 d S B2 d S
2 ( x d )
0 I
ddx
0 I ddx 2x
因此穿过线圈的磁通量为 2d 2 d Id 0 Id 0 Id 3 0 Φ dΦ dx dx ln d 2 ( x d ) d 2x 2 4 dΦ 0 d 3 dI 再由法拉第电磁感应定律，有 ln dt 2 4 dt
解1：如图所示，假想半圆形导线 OP在宽为2R的静止在“[”形导轨 上滑动，两者之间形成一个闭合回 路。设顺时针方向为回路正向，任 一时刻端点O或端点P距“[”形导 轨左侧距离为x，
B
p
R
v
o
v x
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穿过该闭合回路的磁通量：
1 2 Φ (2Rx R ) B 2

d dx 2RB 2RvB dt dt
由上式可知，当
t
mgR sin v vm 2 2 B l cos 2
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9.在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向 与柱的轴线平行。如图所示，有一长为l 的金属棒放在磁 场中，设B随时间的变化率为常量。试证：棒上感应电动 势的大小为
解:如果在直导线中通以稳恒电流I，在距离为 I r处产生的磁感应强度为B =0I/2r．在矩形 线圈中取一面积元dS=bdr，通过线圈的磁通 量为 c a c 0 Ibdr 0 Ib a c BdS ln 2 r 2 c M12=M21=M S c 互感系数为
参考：习题16.4
感应电流所受安培力的方向？
B
v B
I dl B
v

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如图所示，导体棒在下滑过程中除受重力P和导轨支持力FN 外，还受到一个与下滑速度有关的安培力FA ，这个力是阻碍 导体棒下滑的。根据安培定律，该力的大小为
B 2l 2 FA BIl Bl vcos (1) R R
a
l2
l1
v
0l1I (t ) a l2 v l2 ln a a(a l ) 2 2
5
d 0l1I (t ) a l2 v l2 ln a a(a l ) dt 2 2
I (t ) I 0et
B
p
R
v
由于静止的“[”形导轨 上的电动势为零，则
o
2 RvB
式中负号表示电动势的方向 为逆时针，对OP段来说瑞点 P的电势较高。
v x
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y
解2：建立如图所示的坐标 系，在导体上任意处取导体 元 dl，则 由矢量
B
v B
dl
p
o R

v
x
(v B )
o
的指向可知，端点P的电势较高。
M
a b

I

0b a c ln 2 c
dI M dt
M=？
当线圈中通以交变电流I = I0sint 0b ac (In ) I 0 cos t 时，直导线中的感应电动势大小为 2 c
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6.如图所示，把一半径为R的半圆形导线OP置于磁感应强度 为B 的均匀磁场中，当导线以速率v水平向右平动时，求导线 中感应电动势的大小，哪一端电势较高？
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解2:当两长直导线有电流I通过时，穿过线圈的磁通量为
0 Id 3 Φ In 2 4
线圈与两长直导线间的互感为
Φ 0d 3 M ln I 2 4
当电流以 dI/dt 变化时，线圈中的互感电动势为
dI 0 d 3 dI M ln dt 2 4 dt
d

a l2 a
参考：习题16.10
I (t ) I 0et
Bl1 d r
a l2
a
I (t ) a l2 0 I (t ) l1 ln l1 d r 0 2 a 2r
其中a也是随时间变化的，而且da/dt=v，有
d 0l1 d I (t ) a l2 d a l2 ln I (t ) ln dt 2 d t a d a
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解：由各种原因在回路中所引起的感应电动势，均可由 法拉第电磁感应定律求解，即
d d BdS dt dt S
但在求解时应注意下列几个问题：
1．回路必须是闭合的，所求得的电动势为回路的总电动势。
2．应该是回路在任意时刻或任意位置处的磁通量。它由 B d S 计算。对于均匀磁场则有 S B d S BS cos 其中 S cos S S 为闭会回路在垂直于磁场的平面内的投影面积。
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4.如图所示，用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆。使这根 半圆形导线在磁感应强度为B的匀强磁场中以频率f 旋转，整 个电路的电阻为R，求感应电流的表达式和最大值。 解：由于磁场是均匀的，故任意时 刻穿过回路的磁通量为 (t ) 0 BS cos
B
r

其中Φ 0等于常量，S为半 圆面积， G t 0 2ft 0 1 (t ) 0 Br 2 cos(2ft 0 ) 2 d 2r 2 fB sin(2ft 0 ) 根据法拉第电磁感应定律，有 dt 因此回路中的感应电流为 则感应电流的最大值为
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方向与速度方 向相反．产生 的磁力矩为
8.如图所示，一长为，质量为m的导体棒CD，其电阻为R， 沿两条平行的导电轨道无摩擦地滑下，轨道的电阻可忽略不 计，轨道与导体构成一闭合回路。轨道所在的平面与水平面 成 角，整个装置放在均匀磁场中，磁感应强度B的方向为 竖直向上。求：（1）导体在下滑时速度随时间的变化规律； （2）导体棒CD的最大速度vm。
I (t )

R

2 r 2 fB
R
sin(2ft 0 )
Im
2 r 2 fB
R
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5. 长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平 行，矩形线圈的边长分别为a、b，它到直导线的距离为c （如图），当矩形线圈中通有电流I = I0sint时，求直导线中 的感应电动势。 参考：习题16.17

dB d d ( S1 cos1 S2 cos2 ) ( BS1 cos1 BS2 cos2 ) dt dt dt B ( S1 cos1 S2 cos2 ) 4.91 10 4V t
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0 ，说明感应电动势方向与回路正向一致。
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d 0l1I 0 a l2 vl2 t 以顺时针为正方向 ln a a(a l ) e dt 2 2
动生 (v B) d l
I (t ) I 0et
1 2
vB1l1 vB2l1 vl1 ( B1 B2 )
p
v
R
由法拉第电磁感应定律
d dt
B
可知: 0
又因 即
op直线 po半圆
op直线 po半圆 2RvB
o
Up>U0
由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路平动所 产生的动生电动势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势 就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势。
2. 如图所示，真空中一长直导线通有电流 I t I 0 e t ，式 中为t 时间，I0 、为正常量；另一长为l1、宽为l2的矩形导线 框与长直导线平行共面。设时刻 t 二者相距为a，矩形框正以 速率v向右运动，求此时刻线框内的感应电动势。 解:取线框面积的正法向垂直纸面向里，则通 过线框的磁通量（由长直电流所提供）为
由法拉第电磁感应定律得
a
d 0l1I 0 a l2 vl2 t ln a a(a l ) e dt 2 2
l1 l2
v
显然，它是大于零的，表明感应电动势在线框内取顺 时针方向，可以通过楞次定律进行验证。 通常用法拉第电磁感应定律来计算闭合路径中的感应 电动势，得出的是整个回路的总感应电动势，它可能 是动生与感生电动势的总和。
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