上海交通大学2018年自主招生考试数学试题(含答案)

2018年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一、填空题（54分）1、不等式1>x 的解集为______________；2、计算：_________213lim=+-∞→n n n ；3、设集合{}20<<=x x A ，{}11<<-=x x B ，则________=B A ；4、若复数i z +=1（是虚数单位），则______2=+zz ； 5、已知{}n a 是等差数列，若1082=+a a ，则______753=++a a a ;6、已知平面上动点到两个定点()0,1和()0,1-的距离之和等于4，则动点的轨迹方程为_________;7、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，3=AB ，4=BC ，51=AA ，是11C A 的中点,则三棱锥11OB A A -的体积为_________；第7题图 第12题图8、某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩,则不同的安排方法种数为_____________（结果用数值表示)。

9、设R a ∈，若922⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 与92⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的二项展开式中的常数项相等，则_______=a ；10、设R m ∈，若是关于的方程0122=-++m mx x 的一个虚根，则-z 的取值范围是________;11、设0>a ，函数()()1,0),sin()1(2∈-+=x ax x x x f ,若函数12-=x y 与()x f y =的图像有且仅有两个不同的公共点，则的取值范围是__________；12、如图,在正方形ABCD 的边长为米，圆的半径为1米,圆心是正方形的中心,点、分别在线段AD 、上,若线段PQ 与圆有公共点，则称点在点的“盲区”中，已知点以1。

5米/秒的速度从出发向移动,同时，点以1米/秒的速度从出发向移动，则在点从移动到的过程中,点在点的盲区中的时长均为_____秒(精确到0。

2018年上海交通大学自主招生考试 1.设点0)P，已知曲线y x =≤≤上存在n 个点12,,,n A A A ，使得12,,,n PA PA PA构成公差为1(5d ∈的等差数列，求n 的最大值；2.已知△ABC 的面积为14，外接圆半径R=1111a b c++的大小3.已知等差数列{}n a ，满足2211n a a a ++≤，试求1221n n n a a a ++++++的最大值4.记6的小数部分为t，求t 6)的值 5.已知2113,12n n n a a a a +==-+，求122017111a a a +++的整数部份6.设X 为全集，A X ⊂,定义1,0,S A S Af S A ∈⎧=⎨∉⎩，对X 的真子集A 和B ，下列错误的是（ ）A . S SB A B A f f ⊆⇒≤ B .若B A ⋂≠φ，则S S S B S B A f f f ⋂≤≤C .忘记D . S S S B S B A f f f ⋃=≤7.在四面体中不同长度的棱长至少有______条8.在一个平面内，一条抛物线把平面最多分成2部分，两条抛物线把平面最多分成7部分，问四条抛物线把平面最多分成几部分？9.已知22(,)(53cos )(2sin )g a b a b a b =+-+-，求(,)g a b 的最小值 10.已知133a =，12n n a a n +-=，则当na n取最小值时，n =________ 11.已知动点A 在椭圆2212516x y +=上，动点B 在圆22(6)1x y -+=上，求AB 的最大值12.若100!12(*)n M M Z =∈，则当n 取最大值时，M 是否能被2,3整数13.设光线从点A （1,1）出发，经过y 轴反射到圆22(5)(7)1x y -+-=上一点P ，若光线从点A 到点P 经过的路程为R ，求R 的最小值14.正整数列1,2,3……，将其中的完全平方数和完全立方数都划去，求将剩下的数按照从小到大排列的第500个数是多少？。

2018年上海交通大学自主招生报考指南（2019可参考）一、申请条件招收具有学科特长和创新潜质，符合高考报名条件且满足以下条件之一的优秀高中毕业生：(1)高中阶段获得全国中学生奥林匹克竞赛(数学、物理、化学、信息学)省赛区一等奖(获奖名单须在教育部阳光平台公示);(2)高中阶段获得青少年科技创新大赛、“明天小小科学家”全国一、二等奖(获奖名单须在教育部阳光平台公示)。

二、招生专业2018年我校自主招生笔试科目为两门，笔试科目组与自主招生专业的对应关系见下表：三、考核方法1.初审对于按照要求提交有效申请材料的考生，我校将组织专家进行初审。

初审结果预计于2018年4月底在报名系统内公布并在我校本科招生网、教育部阳光高考平台公示，公示无异议后初审结果生效。

初审结果分为优秀、通过、不通过三档。

初审结果优秀者将在具有特别突出的学科特长或创新潜质，且综合素质优异的考生中产生。

初审结果通过者将参加我校组织的笔试，请考生及时查询初审结果并及时确认是否参加笔试，未按时完成确认的考生视为放弃笔试资格。

确认参加笔试的考生，需通过报名系统下载打印笔试准考证，打印开放时间请见报名网站公告。

2.笔试我校笔试拟于2018年6月11日左右举行;笔试的具体时间、地点及相关说明等详见报名系统中下载的准考证。

我校将依据考生的第一志愿专业分别确定上海交通大学校本部与医学院面试资格线。

若考生的笔试成绩同时达到校本部和医学院的面试资格线，则面试通过后，可在全校自主招生专业范围内，依据其专业志愿认定为自主招生人选。

3.面试初审结果优秀或笔试通过的考生需参加我校的面试。

集中面试预计于2018年6月16—18日在上海举行。

面试的具体时间、地点及相关说明等详见报名系统中下载的准考证。

面试主要考察考生的综合素质、学科特长、学习与认知的能力、理想抱负与社会责任感等，由多位学科专家独立打分，综合评价。

4.优惠认定方法与认定结果的公布、确认和生效我校依据面试成绩认定自主招生人选，认定名单由我校招生工作领导小组讨论通过后于2018年6月22日前在报名系统内公布，并在我校本科招生网、教育部阳光高考平台公示。

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题（每小题5分，共50分）1．设函数满足，则．2．设均为实数，且，则．3．设且，则方程的解的个数为．4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为．5．．6．设不等式与的解集分别为M和N．若，则k的最小值为．7．设函数,则．8．设，且函数的最大值为，则．9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定,且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为．10．已知函数,对于，定义,若,则．二、计算与证明题（每小题10分，共50分）11．工件内圆弧半径测量问题．为测量一工件的内圆弧半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度，试写出用表示的函数关系式，并计算当时,的值．12．设函数，试讨论的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在内的图像．13．已知线段长度为,两端均在抛物线上,试求的中点到轴的最短距离和此时点的坐标．参考答案：1. 2。

3。

2 4. 5. 6。

27. 8。

9. 10.11.,12.；偶函数;;；周期为 13。

；14。

略；反证法 15. 2；3；2008年交大冬令营数学试题参考答案2008。

1.1 一．填空题1．若，，则．22．函数的最大值为__________．3．等差数列中,，则前项和取最大值时,的值为__________．20 4．复数,若存在负数使得，则．5．若，则．6．数列的通项公式为，则这个数列的前99项之和．7．……中的系数为．39212258．数列中,，，,,，，,，，此数列的通项公式为．9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80％，乙厂生产的占20％;甲厂商品的合格率为95％，乙厂商品的合格率为90％．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为．10．若曲线与错误!未定义书签。

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题(每小题5分，共50分)1 设函数f(x)满足2f(3x) f (2 3x) 6x 1，贝卩f(x) ________________________ .2.设a,b,c均为实数，且3a 6b 4，则1丄.a b3 .设a 0且a 1 ,则方程a x 1 x2 2x 2a的解的个数为____________ .4. _______________________________________________ 设扇形的周长为6,则其面积的最大值为___________________________ .5. 1 1! 2 2! 3 3! L n n! ____________________ .6•设不等式x(x 1) y(1 y)与x2 y2 k的解集分别为M和N.若M N ,贝H k的最小值为___________ .7 设函数f(x)- , 则xS 1 2 f (x) 3f2(x) L nf n1(x) _____________ .8 .设a 0 ,且函数f (x) (a cosx)(a sin x)的最大值为空,则2a ________________ .9. 6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 _______________ .10. 已知函数f1(x)気」，对于n 1,2,L，定义f n 1(x) f1(f n(x))，若x 1f35 ( x) f s(x)，贝S f28(X) _____________ .二、计算与证明题(每小题10分，共50分)11.工件内圆弧半径测量问题.为测量一工件的内圆弧半径R，工人用三个半径均为r的圆柱形量棒O1Q2Q3放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒02顶侧面的垂直深度h，试写出R用h表示的函数关系式，并计算当r 10mm, h 4mm 时，R 的值.12. 设函数f(x) |sinx cosx，试讨论f(x)的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值，并作出其在0,2内的图像.13. 已知线段AB长度为3，两端均在抛物线x y2上，试求AB的中点M 到y轴的最短距离和此时M点的坐标.参考答案:1. 2x 12. 1丄3. 2 4. n 1 ! 1 6. 242410.7. 11. !n n 12n11 2n 1 42 2R r r ,h12.1^.21k 2d min14.略; 反证法x 08.x 060mm15. 2 29.；周期为2；3; 3 43 45222n2008年交大冬令营数学试题参考答案 1.若 f(x)2 1 3厂，g(x) f1(x)'则 g(5)2x 3 5 3x2008.1.1xH 的最大值为 ------------ .13 .等差数列中，5a 8 3^3，则前n 项和S n 取最大值时,2.函数y.204 .复数|z| 1 ,若存在负数a 使得z 2 2az a 25.若 cosx sin xcos 3x2.3sin x111613.n 的值为a 0，则6.数列a.的通项公式为a n1 nn 1 (n 1). n,则这个数列的前 99乙厂生产的占20%甲厂商品的合格率为95%乙厂商品的合格率为 90%若某人购买了此商品发现为次品，贝眦次品为甲厂生产的概率10.若曲线C i ：x 2 y 2 0与C 2：(x a)2 y 2 1的图像有3个交点，则a _______ . 1二.解答题1. 30个人排成矩形，身高各不相同.把每列最矮的人选出，这些人 中最高的设为a ;把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为 b .(1) a 是否有可能比b 咼？ (2)a 和b 是否可能相等？1. 解：1不可能① 若a 、b 为同一人，有a b ;② 若a 、b 在同一行、列，则均有a b ;③ 若a 、b 不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记a所在列与b 所在行相交的人为x 。

2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)2018年___自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.√16的平方根是()A.4B.±4C.22.若√(1−x)2=x−1成立，则x满足()A.x≥1B.x≥C.x≤1D.±23.已知x=√5−1，则x2+2x的值是()A.2B.3C.4D.54.如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，d与水平线垂直，取向右为正方向；直线c、以其中一条为y轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数x=xx2+2xx+2(x≠0)的图象如图，则下面结论正确的是()A.a为x轴，c为y轴B.a为x轴，d为y轴C.b为x轴，c 为y轴D.b为x轴，d为y轴5.如图，已知AB为圆的直径，C为半圆上一点，D为半圆的中点，xx⊥xx，垂足为H，HM平分∠xxx，HM交AB于x.若xx=3，xx=1，则MH长为()A.1B.1.5C.0.5D.0.76.如图，△xxx中，∠x=90°，D是BC边上一点，∠xxx=3∠xxx，xx=8，xx=7.则AB的值为()A.15B.20C.2√2+7D.2√2+√7二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）7.已知实数x、y满足x+2x=5，则x−x=3.8.分解因式：x2+4xx+4x2+x+2x−2=(x+2x+1)2−3.9.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(x,3)，(3x−1,3)，若线段AB与直线x=2x+1相交，则m的取值范围为(0,1)。

10.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是9cm。

11.如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D、N处，B在同一直线上，分别落在M、F与BE交于点G.设AB=√3，那么△xxx的周长为4+4√3.12.如图，已知点x1，x2，…，xx均在直线x=x−1上，点x1，x2，…，xx均在双曲线x=−x上，x1x1⊥x并且满足：x1x2⊥x轴，x2x2⊥x轴，…，xx−1xx⊥x轴，xxxx⊥x轴，且x1x2=x2x3=…=xx−1xx，则n的最小值为2.1.由题意可知，点B在x轴负半轴，点A在x轴正半轴，且AB垂直于x轴，因此AB的斜率为0，即AB为x轴，所以B的纵坐标为0.又因为B在x轴负半轴，所以其横坐标为负数，设为-a。

XXX2018-2019年自招真题数学试卷(含答案)1.已知$a$、$b$、$c$是一个三角形的三边，则$a+b+c-2ab-2bc-2ca$的值是（）。

A。

恒正 B。

恒负 C。

可正可负 D。

非负答案：选B根据三角形两边之和大于第三边的性质，可得$a+b-c>0$，$a-b+c>0$，$a+b+c>0$，$-a+b+c>0$。

将其代入原式，得$(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a+b+c-2ab-2bc-2ca)<0$，因此原式恒为负数，选B。

2.设$m$，$n$是正整数，满足$m+n>mn$，给出以下四个结论：①$m$，$n$都不等于1；②$m$，$n$都不等于2；③$m$，$n$都大于1；④$m$，$n$至少有一个等于1，其中正确的结论是（）。

A。

① B。

② C。

③ D。

④答案：选D将$m+n-mn>0$移项得$(m-1)(n-1)<1$。

因为$m$，$n$是正整数，所以只有$m=1$，$n=1$或$m=1$，$n=2$或$m=2$，$n=1$不满足条件，而$m=1$，$n$任意或$m$任意，$n=1$都满足条件，因此选D。

3.已知关于$x$的方程$2x+a=x+a$有一个根为1，则实数$a$的值为（）。

A。

$\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$ B。

$0$ C。

$1$ D。

以上答案都不正确答案：选A将$x=1$代入方程，得$2+a=1+a$，解得$a= \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。

当$a=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$时，方程化简后为$2x^2+2x+(1+\sqrt{5})=0$，无实根，舍去；当$a=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$时，方程化简后为$x^2-x-(1+\sqrt{5})=0$，有一个根为1，因此选A。

4.已知$a$，$b$，$c$是不完全相等的任意实数，若$x=a-2b+c$，$y=a+b-2c$，$z=-2a+b+c$，则关于$x$，$y$，$z$的值，下列说法正确的是（）。