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1.2 反比例函数的图象与性质
第3课时 反比例函数的图象与性质的综合应用
1. 已知A 、B 两点关于y 轴对称，且点A 在双曲线x
y 3
=上，点B 在直线3+=x y 上。
若A 点坐标为（a ，b ），试求出式子b
a
a b +的值。
2. 如图，双曲线x
k
y =与直线)1(++-=k x y 交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，且△AOB 的面积为
2
3 ，（1）求双曲线与直线的解析式；（2）求△AOC 的面积。
【提示：x 2
+2x-3=(x+3)(x-1)】
3. 如图，已知双曲线x k
y =
(x ＞0)经过长方形OABC 的边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OCBF 的面积为3， （1）求k 的值；
（2）点E 是否线段BC
（3）求四边形OEBF 的面积
4. 如图，一次函数b ax y +=1与反比例函数x
k
y =2M （2，m ）、N （-1，-4）两点
（1）求出两个函数的解析式；（2）求不等式
0<-
+x
k
b ax 的解集； （3）求△MON 的面积。
5. 如图，点A 是反比例函数x
k
y =
1（x > 0）上一点，A B ⊥x 轴与点B ，C 是OB 的中点；一次函数b ax y +=2的图像经过A 、C 两点，并交y 轴于点D （0，-2），且△AOD 的面积为4。
4.1 第3课时 余 弦一、选择题1．若∠A 为锐角，cos A ＝22，则∠A 的度数为( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°2．用计算器计算cos44°的结果是(精确到0.01)( ) A ．0.90 B ．0.72 C ．0.69 D ．0.663．2019·湖州如图K －32－1，已知在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos B 的值是链接听课例1归纳总结( )图K －32－1A.35B.45C.34D.434．已知在Rt△ABC 中，∠C ＝90°.若sin A ＝12，则cos A 等于( )A.32 B.22 C.12D ．1 5．下列计算正确的是( ) A ．sin30°＋sin45°＝sin75° B ．cos30°＋cos45°＝cos75° C ．sin60°－cos30°＝cos30° D.sin60°cos30°－1＝0 6．下列式子正确的是( )A ．sin55°＜cos36°B ．sin55°＞cos36°C ．sin55°＝cos36°D ．sin55°＋cos36°＝17．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35，AC ＝32，则AC ＋AB 的值为( )A ．4B ．8C ．1D ．68．在直角坐标系中，直线y ＝－2(x －1)＋1与x 轴所夹锐角的余弦值是( ) A.12 B ．－12 C.55 D ．－559．因为cos60°＝12，cos240°＝－12，所以cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°；由此猜想、推理知：当α为锐角时，cos(180°＋α)＝－cos α，由此可知：cos210°＝( )A ．－12B ．－22C ．－32D ．－310．如图K －32－2，已知在Rt△ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 沿BC 自点B 向点C 运动(点D 与点B ，C 不重合)，作BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，则BE ＋CF 的值( )图K －32－2A ．不变B ．逐渐增大C ．逐渐减小D ．先变大再变小 二、填空题11．计算：sin60°×cos30°－12＝________.12．已知cos α＝0.25，则α≈________(精确到0.01°)． 13．用不等号连接下面的式子： (1)cos30°________cos28°；(2)sin45°________sin55°.链接听课例4归纳总结 14．已知32＜cos A ＜sin70°，则锐角A 的取值范围是________． 三、解答题15．求下列各式的值： (1)1＋sin 245°＋cos 245°；(2)2sin30°－2cos60°＋sin45°－cos45°.16．已知：如图K －32－3，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝9，∠A ＝48°.求AB 边上的高．(精确到0.01)图K －32－317．在△ABC 中，锐角∠A ，∠B 满足|2sin A －1|＋(2cos B －2)2＝0，求∠C 的度数． 18．如图K －32－4，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝5，CD ⊥AB 于点D ，AC ＝12，试求：(1)sin A 的值； (2)cos ∠ACD 的值； (3)CD 的长．图K －32－419．(1)锐角的正弦值和余弦值都随着锐角度数的确定(变化)而确定(变化)，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．(2)根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°角，正弦值的大小和余弦值的大小．(3)比较大小：若α＝45°，则sin α________cos α；若0°＜α＜45°，则sin α________cos α；若45°＜α＜90°，sin α________cos α.(填“>”“<”或“＝”)20阅读与分类讨论思想阅读下列解题过程：若锐角α满足45°＜α＜90°，且sin αcos α＝18，求sin α－cos α的值．解：由45°＜α＜90°，得sin α＞cos α， 即sin α－cos α＞0. 又sin 2α＋cos 2α＝1， 且sin αcos α＝18，∴(sin α－cos α)2＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝1－2×18＝34，∴sin α－cos α＝32.∴sin α－cos α的值为32. 解决问题：(1)若将条件中α的范围改为“0°＜α＜45°”，且sin αcos α＝18，求sin α－cos α的值；(2)若α为锐角，sin αcos α＝18，求sin α－cos α的值．1．[答案] C 2．[答案] B 3．[答案] A 4．[答案] A5．[解析] D sin 60°cos 30°－1＝3232－1＝1－1＝0.故选D .6．[解析] B △cos 36°＝sin (90°－54°)＝sin 54°，而sin 55°＞sin 54°，∴sin 55°＞cos 36°.故选B .7．[答案] A8．[解析] C 直线y ＝－2(x －1)＋1＝－2x ＋3，如图所示，可得BO ＝32，AO ＝3，在Rt △AOB 中，由勾股定理得AB ＝AO 2＋BO 2＝3 52， ∴直线y ＝－2(x －1)＋1与x 轴所夹锐角的余弦值是BO AB ＝32352＝55.故选C . 9．[解析] C △cos (180°＋α)＝－cos α，∴cos 210°＝cos (180°＋30°)＝－cos 30°＝－32.故选C . 10．[解析] C 方法一：△BE△AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，∴CF ∥BE ，∴∠DCF ＝△DBE.设△DCF ＝△DBE ＝α，∴CF ＝DC·cos α，BE ＝DB ·cos α，∴BE ＋CF ＝(DB ＋DC)cos α＝BC·cos α.∵∠ABC ＝90°，∴0°＜α＜90°.当点D 从点B 向点C 运动时，α是逐渐增大的，∴cos α的值是逐渐减小的，∴BE ＋CF ＝BC·cos α的值是逐渐减小的．故选C .方法二(面积法)：S △ABC ＝12·AD·CF ＋12·AD·BE ＝12·AD·(CF ＋BE)，∴CF ＋BE ＝2S △ABC AD .∵点D 沿BC 自点B 向点C 运动时，AD 逐渐增加，∴CF ＋BE 的值逐渐减小．11．[答案] 1412．[答案] 75.52° 13、[答案] (1)＜ (2)＜ 14．[答案] 20°＜△A ＜30° [解析] △32＜cos A ＜sin 70°，sin 70°＝cos 20°，△cos 30°＜cos A ＜cos 20°，∴20°＜△A ＜30°.故答案为20°＜△A ＜30°.15．解：(1)原式＝1＋(22)2＋(22)2＝2. (2)原式＝2×12－2×12＋22－22＝0.16．解：过点C 作CH△AB ，垂足为H. ∵在Rt △ACH 中，sin A ＝CHAC ，∴CH ＝AC·sin A ＝9sin 48°≈6.69. 17．解：△|2sin A －1|＋(2cos B －2)2＝0，∴2sin A －1＝0，2cos B －2＝0， ∴sin A ＝12，cos B ＝22，∴∠A ＝30°，∠B ＝45°，∴∠C ＝105°. 18．解：(1)由BC ＝5，AC ＝12， 得AB ＝BC 2＋AC 2＝13，所以sin A ＝513. (2)cos ∠ACD ＝sin A ＝513.(3)因为sin A ＝CDAC，所以CD ＝AC·sin A ＝12×513＝6013.或由面积公式，得12×13CD ＝12×5×12，解得CD ＝6013.19．解：(1)如图△，令AB 1＝AB 2＝AB 3，作B 1C 1⊥AC 于点C 1，B 2C 2⊥AC 于点C 2，B 3C 3⊥AC 于点C 3，显然有：B 1C 1＞B 2C 2＞B 3C 3，∠B 1AC ＞△B 2AC ＞△B 3AC.∵sin ∠B 1AC ＝B 1C 1AB 1，sin ∠B 2AC ＝B 2C 2AB 2，sin ∠B 3AC ＝B 3C 3AB 3，而B 1C 1AB 1＞B 2C 2AB 2＞B 3C 3AB 3，∴sin ∠B 1AC ＞sin ∠B 2AC ＞sin ∠B 3AC.如图△，已知Rt △ACB 3中，∠C ＝90°，cos ∠B 1AC ＝AC AB 1，cos ∠B 2AC＝AC AB 2，cos ∠B 3AC ＝AC AB 3.∵AB 3＞AB 2＞AB 1，∴AC AB 1＞AC AB 2＞ACAB 3，即cos ∠B 3AC ＜cos ∠B 2AC ＜cos ∠B 1AC.结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． (2)由(1)可知：sin 88°＞sin 62°＞sin 50°＞sin 34°＞sin 18°；cos 88°＜cos 62°＜cos 50°＜cos 34°＜cos 18°.(3)若α＝45°，则sin α＝cos α；若0°＜α＜45°，则sin α＜cos α；若45°＜α＜90°，则sin α＞cos α.故答案为＝，＜，＞.20解：(1)由0°＜α＜45°，得sin α＜cos α，即sin α－cos α＜0. sin α－cos α＝－（sin α－cos α）2＝－sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝－1－2×18＝－32.(2)△sin 2α＋cos 2α＝1，且sin αcos α＝18，∴(sin α－cos α)2＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝1－2×18＝34，∴|sin α－cos α|＝32. 当0°＜α＜45°时，sin α－cos α＜0， ∴sin α－cos α的值为－32； 当45°＜α＜90°时，sin α－cos α＞0，∴sinα－cosα的值为32.。
2.2 一元二次方程的解法2.2.1 配方法第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程◆随堂检测1、方程32x +9=0的根为（ ）A 、3B 、-3C 、±3D 、无实数根2、下列方程中，一定有实数解的是（ ）A 、210x +=B 、2(21)0x +=C 、2(21)30x ++=D 、21()2x a a -= 3、配方法解方程2x 2-43x-2=0应把它先变形为（ ） A 、（x-13）2=89 B 、（x-23）2=0 C 、（x-13）2=89 D 、（x-13）2=1094、若28160x -=，则x 的值是_________．5、解一元二次方程是22(3)72x -=．6、解关于x 的方程（x+m ）2=n ． ◆课下作业●拓展提高1、已知一元二次方程032=+c x ，若方程有解，则c ________．2、方程b a x =-2)(（b ＞0）的根是（ ）A 、b a ±B 、)(b a +±C 、b a +±D 、b a -±3、填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）24、若22(3)49x m x +-+是完全平方式，则m 的值等于________．5、解下列方程：（1）(1+x)2-2=0；(2)9(x-1)2-4=0．6、如果x 2-4x+y 2，求()zxy 的值． ●体验中考1、（丽水）一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是6x +=_____________.2、（太原）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．2(1)6x +=B ．2(1)6x -=C ．2(2)9x +=D ．2(2)9x -=。
第三章 图形的相似3.1 比例线段 第1课时 比例的基本性质1、一条线段的长度是另一条线段长度的6倍，则这两条线段之比是______2、一条线段的长度是另一条线段长度的53，则这两条线段之比是______3、已知某一时刻物体高度与其影长的比值为2：7，某天同一时刻测得一栋楼的影长为30米，则这栋楼的高度为多少？4、某地图上的比例尺为1：1000，甲，乙两地的实际距离为5500米，则在地图上甲、乙两地的距离为多少？5、已知线段a,d,b,c 是成比例线段，其中a=4,b=5,c=12，求线段d 的长。
6、已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,∠A ＝30°,斜边AB ＝2。
求⑴BC AB ，⑵ABAC3.1 比例线段 第2课时 成比例线段1.若互不相等的四条线段的长a,b,c,d 满足a b ＝cd ，m 为任意实数，则下列各式中，相等关系一定成立的是（ ）（A ） a ＋m b ＋m ＝c ＋md ＋m（B ）a ＋b b ＝c ＋dc（C ）a c ＝d b （D ）a －b a ＋b ＝c －d c ＋d2．已知（－3）：5＝（－2）：（x －1），则x ＝3．若x 是3、4、9的第四比例项，则x ＝ ，又x 是6和y 的比例中项，则y ＝4．已知a b ＝c d ＝e f ＝35 ，b ＋d ＋f ＝50，那么a ＋c ＋e ＝ 5．如果x y ＝73 ，那么x －y y = ,x ＋y y = , x ＋y x ＋y ＝6、（1）已知a:b:c=2:3:7，且a-b+c=12，求2a+b-3c 的值；（2）已知b+c a =c+a b =a+b c ，求a+bc 的值。
7（辽宁省鞍山市期末）13．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则FCEF等于8（北京市房山区期末）9．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且 DE ∥BC ， 若AD =5，DB =3，DE =4，则BC 等于 ．9（北京市延庆县期末）4. 如图，□ABCD 中，点E 是边 AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ：FC 等于 A ．1：1 B ．1：2 C ．1：3 D ．2：33.2 平行线分线段成比例1．如图，已知△ABC中，DE∥BC，则下列等式中不成立的是（）（A）AD：AB＝AE：AC（B）AD：DB＝AE：EC（C）AD：DB＝DE：BC（D）AD：AB＝DE：BC2.如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB＝3：2：1，则△ADE，四边形DFGE，四边形FBCG的面积比是（）（A）3：2：1（B）9：4：1（C）9：16：11（D）9：25：363.（北京市通州区期末）4.如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AB=3，DE=4，EF=2，则下列等式正确的是（）．A．BC：DE=1：2 B. ．BC：DE=2：3 C. ．BC：DE=8 D. ．BC：DE=64、如图，已知ΔABC中，DE∥BC,AD2=AB•AF,求证∠1=∠26、已知，如图，ΔABC 中,直线DEF 分别交BC,AD 于D,E ，交BA 的延长线于点F ，且BD CD = BFCE ，求证AF=AE7、已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC,点E,F 分别在AB,AC 上，EF ∥BC,EF 交AC 于G ，若EB=DF ，AE=9,CF=4,求BE,CD, GFAD 的值。
第一章 反比例函数§1.1反比例函数（1）一.自学导航：1.如果1xy =，那么x y 和成 关系。
2.一般地，如果两个变量y 与x 的关系可以表示成 （ ） 的形式，那么称y 是x 的 函数。
3. 也可以写成1(0)y kx x -=≠。
二、问题探究：问题一：正确理解反比例函数的表达式。
例1.下列函数中，属于反比例函数的是（ ）A ．3x y =- B ． 12y x = C ．23y x =+ D ．2y x =三、综合运用：1．下列函数中，属于反比例函数的是（ ）A ．3y x =B ． 2x y =- C ．2y x=- D ．122=+y x 2．如果反比例函数m y x=经过点（3，﹣2），那么m 的值是（ ） A ．6 B ．﹣6C ．23- D ．1 3．函数11+=x y 中自变量x 的取值范围是. A ．x ≠﹣1 B ．x ＞﹣1C ．x ≠1D ．x ≠04. 已知函数13m y x +=是反比例函数，那么m 的值是 。
5． 点（－3，5）在反比例函数xk y =的图象上，则k 的值是 。
6. 反比例函数xy 23=中，常数k 的值应该是 。
7．从下列式子中写出y 关于x 的函数的解析式，并且指出其中哪些是一次函数，哪些是反比例函数？⑴．3x y += ⑵. 3xy =⑶.15xy =- ⑷.15x y -=-8.若3231m y x n -=-+-是反比例函数，那么，试求35n y m x =-+的表达式。
§1.1 反比例函数（2）一.自学导航：一般地，如果两个变量y与x 的关系可以表示成 （ ）的形式，那么称y 是x 的 函数。
二、问题探究：问题一：根据实际问题中的变量关系，建立反比例函数的模型。
例1. 当矩形的面积2100cm 的为时，它的相邻两条边长()y cm 和()x cm 有什么关系？y 是x 的反比例函数吗？问题二：根据实际问题中反比例函数两个变量的实际意义，求出自变量的取值范围。
湘教版九年级数学上册同步练习：4一、选择题(本大题共8小题，每题3分，共24分)图5－G －11．如图5－G －1，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝2，那么cos A 的值是( ) A.215 B.25 C.212 D.522．如图5－G －2，在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，那么以下结论中不正确的选项是( )A ．sinB ＝ADAB B ．sin B ＝AC BC C ．sin B ＝AD ACD ．sin B ＝CD AC图5－G －2 图5－G －33．如图5－G －3，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，那么sin A 的值为( ) A.12 B.55 C.1010 D.2 554．在Rt△ABC 中，cos A ＝12，那么sin A 的值是( )A.22 B.32 C.33 D.125．计算cos 245°＋sin 245°的结果是( ) A.12 B ．1 C.14 D.226．当锐角A ＞45°时，sin A 的值( ) A ．小于12 B ．大于 22C ．小于 32D ．大于 327．在△ABC 中，∠A ，∠B 为不相等的锐角，且sin A ＝cos B ，那么这个三角形是( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形8．在△ABC 中，AB ＝12 2，AC ＝13，cos B ＝22，那么BC 边的长为( ) A ．7 B ．8C ．8或17D ．7或17二、填空题(本大题共7小题，每题3分，共21分) 9．计算：sin60°－tan30°＝________．10．如图5－G －4，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，那么cos A 的值是________．图5－G －4 图5－G －511．如图5－G －5，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，那么tan∠AOB ＝________．12．在△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，假定tan A －3＋|22－sin B |＝0，那么∠C ＝________°.13．如图5－G －6，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，DE ＝6 cm ，sin A ＝35，那么菱形ABCD的面积是________ cm 2.图5－G －6 图5－G －714．如图5－G －7所示，△ABC 的三个顶点区分在边长为1的正方形网格的格点上，那么tan(α＋β)________tan α＋tan β.(填〝＞〞〝＝〞或〝＜〞)15．如图5－G －8，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin B ＝35，D 是BC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，CD ＝DE ，AC ＋CD ＝9，那么BC ＝________．图5－G －8三、解答题(本大题共5小题，共55分)16．(10分)计算：tan30°sin60°＋cos30°tan60°－sin 245°tan45°.17．(10分)在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，a ，b ，c 区分是∠A ，∠B ，∠C 所对的边，a ＋b ＝2，求边c .18．(10分)如图5－G －9，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，假定BC ＝14，AD ＝12，tan∠BAD ＝34，求sin C 的值． 图5－G －919．(12分)两角和的正切公式是tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，试求tan75°的值．20．(13分)如图5－G －10，△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝45，BC ＝8，D 是AB 的中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为E .(1)求线段CD 的长； (2)求cos∠ABE 的值．图5－G －101．B [解析] ∵Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝2，∴cos A ＝AC AB ＝25.应选B.2．C [解析] 在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°， ∴∠B ＋∠C ＝90°，sin B ＝ACBC .∵AD ⊥BC ， ∴∠DAC ＋∠C ＝90°，sin B ＝AD AB，∴∠B ＝∠DAC ，∴sin B ＝sin∠DAC ＝CD AC.综上，只要C 不正确．应选C.3．B4．B [解析] ∵cos A ＝12，∴∠A ＝60°，∴sin A ＝32. 5．B [解析] ∵cos45°＝sin45°＝22，∴cos 245°＋sin 245°＝(22)2＋(22)2＝12＋12＝1.6．B 7.D8．D [解析] ∵cos B ＝22，∴∠B ＝45°. 当△ABC 为钝角三角形时，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延伸线于点D ，如图①. ∵AB ＝12 2，∠B ＝45°，∴AD ＝BD ＝12. ∵AC ＝13，∴由勾股定理得CD ＝5， ∴BC ＝BD －CD ＝12－5＝7；当△ABC 为锐角三角形时，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，如图②，同理可得BC ＝BD ＋CD ＝12＋5＝17.应选D.9.3610.45[解析] ∵在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，∴AC ＝52－32＝4， ∴cos A ＝AC AB ＝45.11.12 [解析] 过点A 作AD ⊥OB ，垂足为D ， 在Rt△AOD 中，AD ＝1，OD ＝2，那么tan∠AOB ＝AD OD ＝12.12．7513．60 [解析] AD ＝DEsin A ＝10 cm ，所以菱形ABCD 的边长是10 cm ，那么菱形ABCD 的面积是10×6＝60(cm 2)．14．＞ [解析] 由正方形网格图可知，tan α＝13，tan β＝12，那么tan α＋tan β＝12＋13＝56. ∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°， ∴α＋β＝45°， ∴tan(α＋β)＝1，∴tan(α＋β)＞tan α＋tan β.15．8 [解析] 设DE ＝x ，那么CD ＝x ，AC ＝9－x . ∵sin B ＝35，DE ⊥AB ，∴BD ＝53x ，由勾股定理，得BE ＝4x 3，那么tan B ＝34，∴AC BC ＝34，即9－x x ＋53x ＝34，解得x ＝3， ∴BC ＝x ＋53x ＝8.故答案为8. 16．解：原式＝33×32＋32×3－(22)2×1＝12＋32－12＝32. 17．解：∵在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°， ∴∠B ＝30°，tan A ＝a b，∴a ＝b tan A ＝3b ，c ＝2b .又∵a ＋b ＝2，∴3b ＋b ＝2， ∴b ＝3－1，∴c ＝2b ＝2 3－2.18．解：∵在Rt△ABD 中，tan∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·34＝12×34＝9，∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5， ∴AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13， ∴sin C ＝AD AC ＝1213.19．解：tan75°＝tan(30°＋45°)＝33＋11－33＝2＋ 3.20．解：(1)在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∴sin A ＝BC AB ＝45，而BC ＝8，∴AB ＝10.∵D 是AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝5.(2)在Rt△ABC 中，∵AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6.∵D 是AB 的中点，∴BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ， ∴S △BDC ＝12S △ABC ，即12CD ·BE ＝12·12AC ·BC ， ∴BE ＝6×82×5＝245.在Rt△BDE 中，cos∠DBE ＝BE BD ＝2455＝2425，即cos∠ABE 的值为2425.。
第五章用样本推断总体5.1 总体平均数与方差的估计1.（江西模拟）小芳家今年6月份头6天的用电量如下表：请你根据统计知识，估计小芳家6月份总用电量是（）A．162 B．120 C．96 D．1232.（济宁中考）从总体中抽取一部分数据作为样本去估计总体的某种属性．下面叙述正确的是（）A．样本容量越大，样本平均数就越大B．样本容量越大，样本的方差就越大C．样本容量越大，样本的方差就越小D．样本容量越大，对总体的估计就越准确3.（怀化模拟）李大伯在承包的果园里种植了100棵樱桃树，今年已经进入收获期，从中任意采摘了6棵树上的樱桃，分别称得每棵树的产量（单位：千克）如下表：设这组数据的中位数为m，樱桃的总产量为n，则m，n分别为（）A．18，2000 B．19，1900C．18.5，1900 D．19，18504.（成都中考）在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1300名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1300名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是_____．5.为比较甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取10台进行测试．测试结果是两种电子钟的走时误差的平均数相同，方差分别是S甲2=6、S乙2=4.8，则走时比较稳定的是．（填“甲”、“乙”中的一个）6.甲、乙两台机床生产同一种零件，并且每天产量相等，在6天中每天生产零件中的次品数依次是：甲：3、0、0、2、0、1；乙：1、0、2、1、0、2．则甲、乙两台机床中性能较稳定的是．7.甲、乙两台包装机同时包装质量为500克的白糖，从中各随机抽出10袋，测得实际质量如下（单位：g）甲：501 500 503 506 504 506 500 498 497 495乙：503 504 502 498 499 501 505 497 502 499（1）分别计算两个样本的平均数；（2）分别计算两个样本的方差；（3）哪台包装机包装的质量较稳定？5.2 统计的简单应用第1课时用样本的“率”估计总体的“率”1、从甲、乙两种水稻苗中各抽取10株，分别测得它们的平均数和方差如下：甲种水稻苗的平均株高为：30cm，方差为104.2；乙种水稻苗的平均株高为：31cm，方差为：128.8.则可以估计___种水稻苗长的高，___种水稻苗长的齐。
2.1 一元二次方程1．一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ___，一次项系数为： ____，常数项为： _____。
2．关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ,当m ________时为一元一次方程；当m ___________时为一元二次方程。
3、在方程01314312=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x 中，如果设31+-=x x y ，那么原方程可以化为关于的整式方程是 ；4、下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）A.()()12132+=+x xB.02112=-+x xC.02=++c bx axD. 1222-=+x x x 5列一元二次方程(1)两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4cm ，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32cm 2，求大小两个正方形的边长。
(2)有一面积为150m 2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m ），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m ，求鸡场的长与宽各为多少。
(3)某商店将进货为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品按每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？2.2 一元二次方程的解法2.2.1 配方法第1课时用直接开平方法解一元二次方程●双基演练1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．4．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 5．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根6．解下列方程（1）x2-7=0 （2）3x2-5=0（3）4x2-4x+1=0 （4）12（2x-5）2-2=0；●能力提升7．解方程x2-23x+1=0，正确的解法是（）．A．（x-13）2=89，x=13B．（x-13）2=-89，原方程无解C．（x-23）2=59，x1=23x2D．（x-23）2=1，x1=53，x2=-138．已知a是方程x2-x-1=0的一个根，则a4-3a-2的值为_________．9．若（x+1x）2=254，试求（x-1x）2的值为________．10．解关于x的方程（x+m）2=n．聚焦中考11．方程x2-9=0的解是()A．x l=x2=3 B. x l=x2=9C．x l=3,x2=-3 D. x l=9,x2=-912．某工程队再我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。
3.1 比例线段[3.1.1 比例的基本性质]一.选择题1.用6，8，9，12可以组成的比例式是( )A.6∶8＝9∶12B.6∶8＝12∶9C.12∶6＝9∶8D.8∶12＝9∶62.2017·兰州已知2x ＝3y (y ≠0)，则下面的结论成立的是( ) A.x y ＝32 B.x 3＝2y C.x y ＝23 D.x 2＝y 33.如果x y ＝32，那么下列各式中成立的是( ) A .x ＋y y ＝5 B .y x －y ＝13C .x ＋3y ＋2＝23D .x －y x ＋y ＝154.如果x ∶(x ＋y )＝3∶5，那么x ∶y ＝( )A.85B.38C.23D.32二.填空题5.若a b ＝52，则a －b b的值是________. 6.若a b ＝c d ＝3(b ＋d ≠0)，则a ＋c b ＋d＝________. 7.已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝10，且1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a＝1417，则c a ＋b ＋a b ＋c ＋b c ＋a的值是________. 三.解答题8.已知四个非零实数a ，b ，c ，d 成比例.(1)若a ＝2，b ＝3，c ＝4，求d 的值；(2)若a ＝－4，b ＝2，d ＝3，求c 的值.9.(1)若x ∶(6－x )＝2∶3，求x 的值；(2)若x ＋y x －y ＝73，求x y的值.10.阅读理解型阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知x a －b ＝y b －c ＝z c －a(a ，b ，c 互不相等)，求x ＋y ＋z 的值.解：设x a －b ＝y b －c ＝z c －a＝k ， 则x ＝k (a －b )，y ＝k (b －c )，z ＝k (c －a )，∴x ＋y ＋z ＝k (a －b ＋b －c ＋c －a )＝k ·0＝0，∴x ＋y ＋z ＝0.依照上述方法解答下列问题：已知a ，b ，c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，当a ＋b －c c ＝a －b ＋c b＝－a ＋b ＋c a 时，求（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）abc的值.参考答案1.[答案] A2.[答案] A3.[答案] D4.[解析] D ∵x ∶(x ＋y )＝3∶5，∴5x ＝3x ＋3y ，2x ＝3y ，∴x ∶y ＝3∶2＝32，故选D . 5.[答案] 32[解析] ∵a b ＝52，∴a ＝52b ，∴a －b b ＝52b －b b ＝32，故答案为32. 6.[答案] 37.[答案] 8917[解析] ∵a ＋b ＋c ＝10，∴a ＝10－(b ＋c )，b ＝10－(a ＋c )，c＝10－(a ＋b )，∴c a ＋b ＋a b ＋c ＋b c ＋a ＝10－（a ＋b ）a ＋b ＋10－（b ＋c ）b ＋c＋10－（a ＋c ）c ＋a ＝10a ＋b ＋10b ＋c ＋10c ＋a －3.∵1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝1417，∴原式＝1417×10－3＝14017－3＝8917，故填8917. 8.解：(1)因为a ，b ，c ，d 成比例，所以a b ＝c d ，即23＝4d，解得d ＝6.(2)因为a ，b ，c ，d 成比例，所以a b ＝c d ，即－42＝c 3，解得c ＝－6 2.9.解：(1)由比例的基本性质，得2(6－x )＝3x ，化简，得5x ＝12，解得x ＝125. (2)由已知得3x ＋3y ＝7x －7y ，∴4x ＝10y ，∴x y ＝104＝52. 10.解：设a ＋b －c c ＝a －b ＋c b ＝－a ＋b ＋c a＝k ， 则a ＋b －c ＝kc ，①a －b ＋c ＝kb ，②－a ＋b ＋c ＝ka ，③由①＋②＋③，得a ＋b ＋c ＝k (a ＋b ＋c ).∵a ＋b ＋c ≠0，∴k ＝1，∴a ＋b ＝2c ，b ＋c ＝2a ，c ＋a ＝2b ，∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）abc ＝2c ·2a ·2b abc＝8.第3章 图形的相似3.1 比例线段3.1.1 比例的基本性质01 基础题知识点1 比例及其有关概念1.已知a ＝3，b ＝13，则a 与b 的比是(A)A.313B.133C.3013D.13302.下列选项中，与3∶(－2)比值相等的是(C) A.3∶ 2 B.(－13)∶12C.(－12)∶13D.18∶1103.请用2，4，6，3写一个比例式2∶4＝3∶6，其中4和3称为比例内项，2和6称为比例外项.(答案不唯一)知识点2 比例的基本性质4.把ad ＝bc 写成比例式，不正确的是(C)A.a b ＝c dB.a c ＝b dC.b d ＝c aD.b a ＝d c5.若a ∶b ＝5∶3，则下列a 与b 关系的叙述，正确的是(A)A.a 为b 的53倍B.a 为b 的35C.a 为b 的58D.a 为b 的85倍 6.若a ∶3＝b ∶4，则(A)A.a ∶b ＝3∶4B.a ∶b ＝4∶3C.b ∶a ＝3∶4D.4∶b ＝a ∶37.若a b ＝23，则a －b b 的值为(A)A.－13B.23C.43 D.538.填空：(1)如果7a ＝6b ，那么a ∶b ＝67；(2)如果9a ＝5b ，那么b ∶a ＝95； (3)如果35a ＝49b ，那么a ∶b ＝2027； (4)如果38a ＝0.45b ，那么b ∶a ＝56.9.已知四个数a ，b ，c ，d 成比例.(1)若a ＝－2，b ＝3，c ＝4，求d ；(2)若a ＝3，b ＝4，d ＝12，求c.解：(1)d ＝－6.(2)c ＝9.10.求下列各式中x 的值：(1)3∶8＝15∶x ；解：x ＝40.(2)9x ＝4.50.8； 解：x ＝1.6.(3)14∶18＝x ∶110. 解：x ＝15. 02 中档题11.若x ∶y ＝2∶3，则下列各式中正确的是(A)A.3x ＝2yB.2x ＝3yC.x 3＝y 2D.x －y y ＝1312.若m ＋n n ＝52，则m n的值是(D) A.52 B.23C.25D.3213.已知b a ＝513，则a －b a ＋b的值是(D) A.23 B.32C.94D.4914.(牡丹江中考)若x ∶y ＝1∶3，2y ＝3z ，则2x ＋y z －y的值是(A)A.－5B.－103C.103D.515.已知5a ＝4b ，求下列各式的值：(1)a －b b ；(2)a ＋b b ；(3)a －ba ＋b .解：由5a ＝4b ，得a b ＝45.∴(1)a －b b ＝a b －1＝－15.(2)a ＋b b ＝a b ＋1＝95.(3)由(1)÷(2)，得a －b a ＋b ＝－1595＝－19.16.已知三个数2.4.8，请你再添上一个数，使它们成比例，求出所有符合条件的数.解：设添加的数为x ，当x ∶2＝4∶8时，x ＝1；当2∶x ＝4∶8时，x ＝4；当2∶4＝x ∶8时，x ＝4，当2∶4＝8∶x 时，x ＝16，所以可以添加的数有1，4，16.17.已知b a ＝c d ≠1，求证：b ＋ab －a ＝c ＋dc －d .证明：设b a ＝c d ＝k(k≠1)，则b ＝ak ，c ＝dk ，将其代入左右两边可得：左边＝ak ＋a ak －a ＝k ＋1k －1，右边＝dk ＋ddk －d ＝k ＋1k －1，∵左边＝右边，∴b ＋ab －a ＝c ＋dc －d .03 综合题18.求比例式的值常用的方法有“设参消参法”.“代入消元法”.“特殊值法”.例：已知x 2＝y 5＝z 7，求x －2y ＋3zx －4y ＋5z 的值.方法1：设x 2＝y 5＝z 7＝k ，则x ＝2k ，y ＝5k ，z ＝7k. 所以x －2y ＋3z x －4y ＋5z ＝2k －10k ＋21k 2k －20k ＋35k ＝13k 17k ＝1317. 方法2：由x 2＝y 5＝z 7，得y ＝52x ，z ＝72x.代入x －2y ＋3z x －4y ＋5z，得 x －2y ＋3z x －4y ＋5z ＝x －5x ＋212x x －10x ＋352x ＝132x 172x ＝1317. 方法3：取x ＝2，y ＝5，z ＝7，则x －2y ＋3z x －4y ＋5z ＝2－10＋212－20＋35＝1317. 参考上面的资料解答下列问题：已知a.b.c 为△ABC 的三条边，且(a －c)∶(a ＋b)∶(c －b)＝－2∶7∶1，a ＋b ＋c ＝24.(1)求a.b.c 的值；(2)判断△ABC 的形状.解：(1)设a －c ＝－2k ，a ＋b ＝7k ，c －b ＝k ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝－2k ，a ＋b ＝7k ，c －b ＝k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，∵a ＋b ＋c ＝24，∴3k ＋4k ＋5k ＝24.∴k ＝2.∴a ＝6，b ＝8，c ＝10. (2)∵a 2＋b 2＝100，c 2＝100， ∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 是直角三角形.3.1.2 成比例线段01 基础题 知识点1 线段的比1.已知：线段a ＝5 cm ，b ＝2 cm ，则ab＝(C)A.14B.4C.52D.252.如图，若点A.B.C 在同一直线上，且AC ∶BC ＝3∶2，则AB ∶BC ＝(C)A.2∶1B.5∶3C.5∶2D.3∶1 3.根据图示求线段的比：AB BC .AC AD .BC CD.解：AB BC ＝24＝12，AC AD ＝614＝37， BC CD ＝48＝12. 知识点2 比例线段4.下列各组中的四条线段成比例线段的是(A) A.1 cm ，2 cm ，20 cm ，40 cm B.1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cm C.4 cm ，2 cm ，1 cm ，3 cm D.5 cm ，10 cm ，15 cm ，20 cm5.在比例尺是1∶38 000的南京交通游览图上，玄武湖公园与雨花台烈士陵园之间的距离约为20厘米，则它们之间的实际距离约为(D) A.19 000厘米 B.0.76千米 C.1.9千米 D.7.6千米6.已知a ，b ，c ，d 是成比例线段. (1)若a ＝4，b ＝1，c ＝12，求d ； (2)若a ＝1.5，b ＝2.5，d ＝2，求c ； (3)若b ＝3，c ＝2，d ＝33，求a.解：(1)∵a b ＝c d ，∴41＝12d .∴d ＝3.(2)∵a b ＝c d ，∴1.52.5＝c2.∴c ＝1.2.(3)∵a b ＝c d ，∴a 3＝233.∴a ＝23.知识点3 黄金分割7.如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，则下列等式不正确的是(D)A.AC AB ＝BC ACB.ACAB ≈0.618C.AC ＝5－12ABD.BC ＝5－12AB8.一条线段的黄金分割点有2个.9.如图，乐器上的一根弦AB ＝80 cm ，两个端点A.B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，求C.D 之间的距离(结果保留根号).解：∵点C 是靠近点B 的黄金分割点，点D 是靠近点A 的黄金分割点， ∴AC ＝BD ＝80×5－12＝405－40. ∴CD ＝AC ＋BD －AB ＝2BD －AB ＝805－160.答：C.D之间的距离为(805－160)cm.02 中档题10.已知成比例的四条线段的长度分别为6 cm，12 cm，x cm，8 cm，且△ABC的三边长分别为x cm，3 cm，5 cm，则△ABC是(C)A.等边三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.无法判定11.已知线段AB上有两点C.D，且AC∶CB＝1∶5，CD∶AB＝1∶3，则AC∶CD等于(A)A.1∶2B.1∶3C.2∶3D.1∶112.如图所示，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a cm，宽BC＝b cm，E，F分别为AB，CD的中点，这张纸片沿直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于(A)A.2∶1B.1∶ 2C.3∶1D.1∶ 313.将两块长为a 米，宽为b 米的长方形红布，加工成一个长c 米，宽d 米的长方形，有人就a ，b ，c ，d 的关系写出了如下四个等式，不过他写错了一个，写错的那个是(D) A.2a c ＝d b B.a c ＝d 2bC.2a d ＝c bD.a 2c ＝d b14.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.如图，某女士身高165 cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为(C)A.4 cmB.6 cmC.8 cmD.10 cm15.甲.乙两地的图上距离是15 cm ，实际距离是750 km ，则比例尺为1∶5__000__000.16.已知三条线段的长分别为3 cm ，6 cm ，8 cm ，如果再增加一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长可以为多少？解：设这条线段长为x cm ，若x.3.6.8成比例，则x 3＝68，解得x ＝94；若3.x.6.8成比例，则3x ＝68，解得x ＝4；若3.6.x.8成比例，则36＝x8，解得x ＝4；若3.6.8.x 成比例，则36＝8x，解得x ＝16.综上所述，这条线段的长可以为4 cm ，16 cm 或94cm.17.我们知道：选用同一长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么就说两条线段的比AB ∶CD ＝m ∶n ，如果把mn 表示成比值k ，那么ABCD＝k ，或AB ＝kCD.请完成以下问题：(1)四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a b ＝cd ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫作成比例线段.(2)已知a b ＝c d ＝2，那么a ＋b b ＝3，c ＋dd＝3；(3)如果a b ＝c d ，那么a －b b ＝c －dd 成立吗？请用两种方法说明其中的理由.解：成立.方法一：∵a b ＝cd ，∴a b －1＝c d －1，即a －b b ＝c －d d . 方法二：设a b ＝cd ＝k ，则a ＝kb ，c ＝kd.∴a －b b ＝kb －b b ＝k －1，c －d d ＝kd －d d ＝k －1.∴a －b b ＝c －d d .03 综合题18.已知线段AB ，试作线段AB 的黄金分割点C. 作法：(1)作BD ⊥AB ，且使BD ＝12AB ；(2)连接AD ，以D 为圆心，BD 长为半径画弧交AD 于点E ； (3)以A 为圆心，AE 长为半径画弧交AB 于点C.点C 就是线段AB 的黄金分割点.请你探究：点C 为什么是线段AB 的黄金分割点？解：设DB ＝x ，则AB ＝2x ， AD ＝x 2＋（2x ）2＝5x.又∵DE ＝x ，∴AE ＝5x －x ，即AC ＝5x －x. ∴AC AB ＝5x －x 2x ＝5－12. ∴点C 是线段AB 的黄金分割点.3.2 平行线分线段成比例01 基础题知识点1 平行线分线段成比例1.(杭州中考)如图，已知a ∥b ∥c ，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F .若AB BC ＝12，则DE EF ＝(B )A.13B.12C.23D.12.如图，直线l 1∥l 2∥l 3，若AB ＝2，BC ＝3，DE ＝1，则EF 的长为(B ) A.23 B.32C.6D.163.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论中，正确的是(C ) A.CD EF ＝AC AE B.AC AE ＝BD DFC.AC BD ＝CE DFD.AC BD ＝DF CE4.(湘潭中考)如图，直线a ∥b ∥c ，点B 是线段AC 的中点，若DE ＝2，则EF ＝2.5.如图，直线CD ∥EF ，若OC ＝3，CE ＝4，则OD OF 的值是37.6.如图，已知AD ∥BE ∥CF ，BC ＝3，DE ∶EF ＝2∶1，则AC ＝9.知识点2 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例7.(兰州中考)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD DB ＝23，则AEEC ＝(C )A.13B.25C.23D.358.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为(B )A.1B.2C.3D.49.如图，已知BD ∥CE ，则下列等式不成立的是(A ) A.AB BC ＝AD AE B.AB AC ＝AD AEC.AB BC ＝AD DED.AC BC ＝AE DE10.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若AD ∶AB ＝3∶4，AE ＝6，则AC 等于8.02 中档题11.如图，若AB ∥CD ∥EF ，则下列结论中，与ADAF相等的是(D )A.AB EFB.CD EFC.BO OED.BC BE12.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，连接EF ，分别交AD ，CD 于点G ，H ，则下列结论错误的是(C )A.EA BE ＝EG EFB.EG GH ＝AG GDC.AB AE ＝BC CFD.FH EH ＝CF AD13.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AC ∶CE ＝2∶3，BF ＝15，那么BD ＝6.14.(扬州中考)如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A .B .C 都在横格线上，若线段AB ＝4 cm ，则线段BC ＝12cm .15.已知，如图，l 1∥l 2∥l 3，AB ＝3，BC ＝5，DF ＝16，求DE 和EF 的长.解：∵l 1∥l 2∥l 3， ∴DE DF ＝AB AC ＝AB AB ＋BC ， 即DE 16＝33＋5，∴DE ＝6，∴EF ＝DF －DE ＝16－6＝10.16.如图，在△ABC 中，点D 是AB 上的一点，过点D 作DE ∥BC 交边AC 于点E ，过点E 作EF ∥DC 交AD 于点F .已知AD ＝2 6 cm ，AB ＝8 cm .求：(1)AEAC 的值； (2)AFAB 的值. 解：(1)∵DE ∥BC ，∴AE AC ＝AD AB. ∵AD ＝26，AB ＝8， ∴AE AC ＝268＝64. (2)∵EF ∥DC ，∴AF AD ＝AE AC ＝64，即AF 26＝64. 解得AF ＝3.∴AF AB ＝38. 03 综合题17.在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上任意一点，BE 交AD 于点O ，李瑞同学在研究这一问题时，发现了如下的事实： (1)当AE AC ＝12＝11＋1时，有AO AD ＝23＝22＋1(如图1)；(2)当AE AC ＝13＝11＋2时，有AO AD ＝24＝22＋2(如图2)；(3)当AE AC ＝14＝11＋3时，有AO AD ＝25＝22＋3(如图3)；在图4中，当AE AC ＝11＋n 时，参照上述研究结论，请你猜想用n (n 是正整数)表示AOAD 的一般结论，并证明.解：猜想：AO AD ＝2n ＋2.证明：作DF ∥BE 交AC 于F . ∵DF ∥BE ，∴CF EF ＝CDBD＝1.∴EF ＝CF .∵AE AC ＝11＋n ，∴AE EC ＝1n . ∴AE EF ＝AE 12EC ＝2n. ∵OE ∥DF ，∴AO OD ＝AE EF ＝2n .∴AO AD ＝2n ＋2.3.3 相似图形01 基础题知识点1 相似图形的概念1.下列选项中，是相似图形的本质属性的是(C ) A.大小不同 B.大小相同 C.形状相同 D.形状不同2.观察如图所示的四组图形，不相似的图形是(C )知识点2 相似三角形的概念及性质3.如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，BC ＝3，B ′C ′＝1.8，那么△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为(D )A.5∶3B.3∶2C.2∶3D.3∶5 4.如图所示，若△ABC ∽△DEF ，则∠E 的度数为(C )A.28°B.32°C.42°D.52°5.已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3∶2，若A ′B ′＝10 cm ，则AB 等于(B )A.203 cm B.15 cmC.30 cmD.20 cm 6.两个相似三角形的对应边的比值叫作相似比.7.两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别是40°.60°，那么另一个三角形的最大角为80°，最小角为40°. 8.如图，△ABC ∽△AED ，找出对应角并写出对应边的比例式.解：对应角：∠B 与∠E ；∠C 与∠D ；∠BAC 与∠DAE ；对应边的比例式：AB AE ＝AC AD ＝BCED .知识点3 相似多边形的概念及性质 9.如下的各组多边形中，相似的是(B )A.(1)(2)(3)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(2)10.两个相似多边形一组对应边分别为3 cm ，4.5 cm ，那么它们的相似比为(A )A.23B.32C.49D.9411.若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是(C ) A.60° B.75° C.87° D.120°12.如图，正五边形FGHMN 与正五边形ABCDE 相似，若AB ∶FG ＝2∶3，则下列结论正确的是(B )A.2DE ＝3MNB.3DE ＝2MNC.3∠A ＝2∠FD.2∠A ＝3∠F02 中档题13.给出四个判断：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的直角三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似.其中判断正确的个数是(B ) A.1 B.2 C.3 D.4 14.下列命题是真命题的是(B ) A.所有的等腰三角形都相似B.所有的对角线互相垂直平分且相等的四边形都相似C.四个角都是直角的两个四边形一定相似D.四条边对应成比例的两个四边形相似15.如图所示，△ABC ∽△ADE ，且∠ADE ＝∠B ，则下列比例式正确的是(D )A.AB BE ＝AD DCB.AE AB ＝AD ACC.AD AC ＝DE BCD.AE AC ＝DE BC16.如图，有两个相似的星星图案，则x的值是(D)A.15B.12C.10D.817.(南岸区一模)如图，△ABC∽△CBD，CD＝2，AC＝3，BC＝4，那么AB的值等于(B)A.5B.6C.7D.418.如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝5 cm，EC＝3 cm，BC＝7 cm，∠BAC ＝45°，∠C＝40°.(1)求∠AED和∠ADE的大小；(2)求DE的长.解：(1)∠AED＝40°，∠ADE＝95°.(2)∵△ABC∽△ADE，∴AE AC ＝DE BC ，即55＋3＝DE 7， ∴DE ＝358cm .19.如图，已知四边形ABCD ∽四边形A ′B ′C ′D ′，求∠A 的度数及x 的值.解：∵四边形ABCD ∽四边形A ′B ′C ′D ′，∠A ′＝107°，AB ＝5，AD ＝4，A ′B ′＝2，∴∠A ＝∠A ′，AB A′B′＝ADA′D′，即∠A ＝107°，52＝4x .∴x ＝85.03 综合题20.我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫作相似体.如图，甲.乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比：a ∶b ，设S 甲，S 乙分别表示这两个正方体的表面积，则S 甲S 乙＝6a 26b 2＝(a b )2，又设V 甲，V 乙分别表示这两个正方体的体积，则V 甲V 乙＝a 3b 3＝(a b)3.(1)下列几何体中，一定属于相似体的是(A ) A.两个球体 B.两个圆锥体 C.两个圆柱体 D.两个长方体 (2)请归纳出相似体的3条主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)长之比等于相似比； ②相似体表面积之比等于相似比的平方； ③相似体体积之比等于相似比的立方.3.4 相似三角形的判定与性质3.4.1 相似三角形的判定第1课时 相似三角形的判定的预备定理01 基础题知识点 用基本定理判定两个三角形相似1.如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，DE 与AC ，BC 的交点分别为D ，E ，若CD AC ＝25，则DEAB等于(B) A.23 B.25C.32D.352.(贵阳中考)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝13，BC ＝12，则DE 的长是(B)A.3B.4C.5D.63.如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中与△DEF 相似的三角形共有(B)A.1 个B.2个C.3个D.4个4.(威海中考)如图，在▱ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点F ，则AF ∶CF ＝(A)A.1∶2B.1∶3C.2∶3D.2∶55.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝3 cm ，BC ＝5 cm ，则△ADE 与△ABC 的相似比为35.6.(1)如图1, DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC ，对应边的比例式是： ADAB ＝AE AC ＝DE BC；(2)如图2, A′B′∥AB ，则△OA′B′∽△OAB ，对应边的比例式是：A′O OA ＝B′O OB ＝A′B′AB. 7.如图，∠ADE ＝∠B ，求证：△ADE ∽△ABC.证明：∵∠ADE ＝∠B ，∴DE ∥BC. ∴△ADE ∽△ABC.8.如图，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD ＝4，DB ＝8，DE ＝3.求BC 的长.解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AD AB ，即3BC ＝44＋8. ∴3BC ＝13. ∴BC ＝9. 02 中档题9.在△ABC 中，若点D.E 分别在AB.BC 上，DE ∥AC ，ADDB ＝2，DE ＝4 cm ，则AC 的长为(D)A.8 cmB.10 cmC.11 cmD.12 cm10.如图，在△ABC 中，D.E 分别为AB.AC 边上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论一定正确的是(A)A.AD AB ＝AE ACB.DF FC ＝AE ECC.AD DB ＝DE BCD.DF BF ＝EF FC11.(邵阳中考)如图，在▱ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP ∥DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形：△ABP ∽△AED ∽△BEF ∽△CDF(任写一组即可).12.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，连接DE ，线段BE ，CD 相交于点O ，若OD ＝2，则OC ＝4.13.如图，A.B 两点被池塘隔开，在AB 外取一点C ，连接AC.BC ，在AC 上取点M ，使AM ＝3MC ，作MN ∥AB 交BC 于N ，量得MN ＝38 m ，求AB 的长.解：∵MN ∥AB ，∴△CMN ∽△CAB. 又∵AM ＝3MC ， ∴CM AC ＝14. ∴MN AB ＝CM AC ，即38AB ＝14. ∴AB ＝38×4＝152(m).14.如图，已知▱ABCD 中，E 为AD 延长线上的一点，AD ＝23AE ，BE 交DC 于F ，指出图中各对相似三角形及其相似比.解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AE ∥BC ，DC ∥AB. ∴△DEF ∽△CBF ，其相似比为DE CB ＝DE AD ＝AE －AD AD ＝13AE23AE ＝12.∵DC∥AB ，∴△DEF ∽△AEB ， 其相似比为DE AE ＝13AE AE ＝13.∴△CBF ∽△AEB ，其相似比为CB AE ＝AD AE ＝23.03 综合题15.如图，AD ∥EG ∥BC ，EG 分别交AB ，DB ，AC 于点E ，F ，G ，已知AD ＝6，BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5，求EG ，FG 的长.解：∵在△ABC 中，EG ∥BC ， ∴△AEG ∽△ABC ， ∴EG BC ＝AE AB. ∵BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5， ∴EG 10＝35，∴EG ＝6. ∵在△BAD 中，EF ∥AD ， ∴△BEF ∽△BAD ，∴EF AD ＝BEAB .∵AD ＝6，AE ＝3，AB ＝5， ∴EF 6＝5－35，∴EF ＝125. ∴FG ＝EG －EF ＝185.第2课时相似三角形的判定定理101 基础题知识点两角分别相等的两个三角形相似1.如图，D是BC上的点，∠ADB＝∠BAC，则下列结论正确的是(B)A.△ABC∽△DACB.△ABC∽△DBAC.△ABD∽△ACDD.以上都不对2.如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE，交CD于F，连接BF，则图中与△ABE一定相似的三角形是(B)A.△EFBB.△DEFC.△CFBD.△EFB和△DEF3.∠1＝∠2是下列四个图形的共同条件，则四个图中不一定有相似三角形的是(D)4.(长春中考)如图，∠ABD ＝∠BDC ＝90°，∠A ＝∠CBD ，AB ＝3，BD ＝2，则CD 的长为(B)A.34B.43C.2D.35.如图，锐角△ABC 的边AB 和AC 上的高线CE 和BF 相交于点D.请写出图中的一对相似三角形：答案不唯一，如△ABF ∽△DBE 或△ACE ∽△DCF 或△EDB ∽△FDC 等.6.如图，∠C ＝∠E ＝90°，AD ＝10，DE ＝8，AB ＝5，则AC ＝3.7.(怀化中考)如图，已知在△ABC 与△DEF 中，∠C ＝54°，∠A ＝47°，∠F ＝54°，∠E ＝79°，求证：△ABC ∽△DEF.证明：在△ABC中，∠B＝180°－∠A－∠C＝79°，∴∠B＝∠E.又∵∠C＝∠F，∴△ABC∽△DEF.8.如图，点 B.D.C.F在一条直线上，且AB∥EF，AC∥DE，求证：△ABC∽△EFD.证明：∵AB∥EF，AC∥DE，∴∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF.∴△ABC∽△EFD.02 中档题9.(江阴模拟)下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是(C)A.都含有一个30°的内角B.都含有一个45°的内角C.都含有一个60°的内角D.都含有一个80°的内角10.(安徽中考)如图，△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为(B)A.4B.4 2C.6D.4 311.如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：∠C ＝∠E 或∠B ＝∠ADE(答案不唯一)，使△ABC ∽△ADE.12.如图，等边三角形ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且BP ＝1，点D 为AC 边上一点，若∠APD ＝60°，则CD 的长为23.13.如图，AD.BE 是钝角△ABC 的边BC.AC 上的高，求证：AD BE ＝ACBC.证明：∵AD.BE 是钝角△ABC 的高，∴∠BEC ＝∠ADC ＝90°. 又∵∠DCA ＝∠ECB ， ∴△DAC ∽△EBC. ∴AD BE ＝AC BC. 14.如图，在矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于点F. (1)△ABE 与△DFA 相似吗？请说明理由；(2)若AB ＝6，AD ＝12，AE ＝10，求DF 的长. 解：(1)△ABE ∽△DFA. 理由：∵四边形ABCD 是矩形， DF ⊥AE ，∴∠B ＝∠DFA ＝90°.∴∠FAD ＋∠FDA ＝90°，∠BAE ＋∠FAD ＝90°. ∴∠BAE ＝∠FDA. ∴△ABE ∽△DFA.(2)∵△ABE ∽△DFA ， ∴AB DF ＝AE AD. ∴DF ＝AB·AD AE ＝6×1210＝7.2.03 综合题15.在△ABC 中，P 为边AB 上一点.(1)如图1，若∠ACP ＝∠B ，求证：AC 2＝AP·AB； (2)若M 为CP 的中点，AC ＝2.①如图2，若∠PBM ＝∠ACP ，AB ＝3，求BP 的长；②如图3，若∠ABC ＝45°，∠A ＝∠BMP ＝60°，直接写出BP 的长. 解：(1)证明：∵∠ACP ＝∠B ，∠BAC ＝∠CAP ， ∴△ACP ∽△ABC. ∴AC AB ＝APAC . ∴AC 2＝AP·AB .(2)①作CQ∥BM 交AB 的延长线于点Q.∴∠PBM＝∠AQC . ∵∠PBM＝∠ACP， ∴∠AQC＝∠ACP . 又∵∠PAC＝∠CAQ， ∴△APC∽△ACQ .∴AC AP ＝AQAC .∴AC 2＝AP·AQ .∵M 为PC 的中点，BM∥CQ， ∴PB PQ ＝PM PC ＝12. 设BP ＝x ，则PQ ＝2x ，BQ ＝x ， ∴22＝(3－x)(3＋x)，解得x 1＝5，x 2＝－5(不合题意，舍去). ∴BP＝ 5. ②BP＝7－1.第3课时 相似三角形的判定定理201 基础题知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1.能判定△ABC ∽△A′B′C′的条件是(B) A.AB A′B′＝AC A′C′B.AB AC ＝A′B′A′C′且∠A ＝∠A′C.AB BC ＝A′B′A′C′且∠B ＝∠CD.AB A′B′＝AC A′C′且∠B ＝∠B′2.如图，四边形ABCD 的对角线AC.BD 相交于O ，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若OA ∶OC ＝OB ∶OD ，则下列结论中一定正确的是(C)A.①②相似B.①③相似C.①④相似D.②④相似3.在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，在△DEF 中，DE ＝4，DF ＝3，要运用“两边对应成比例，且夹角相等”判定△ABC 与△DEF 相似，需添加的一个条件是∠A ＝∠D.4.如图，AB 与CD 相交于点O ，OA ＝3，OB ＝5，OD ＝6.当OC ＝185时，△OAC ∽△OBD.5.如图，求证：△AEF ∽△ABC.证明：∵AE AB ＝12，AF AC ＝12，∴AE AB ＝AF AC . 又∠EAF ＝∠BAC ， ∴△AEF ∽△ABC.6.如图，AB ＝3AC ，BD ＝3AE ，BD ∥AC ，点B ，A ，E 在同一条直线上.求证：△ABD ∽△CAE.证明：∵BD ∥AC ，点B ，A ，E 在同一条直线上， ∴∠DBA ＝∠CAE. 又∵AB CA ＝BDAE ＝3，∴△ABD ∽△CAE.7.如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CD ＝CDBD.(1)求证：△ACD ∽△CBD ； (2)求∠ACB 的大小.解：(1)证明：∵CD 是边AB 上的高， ∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°. 又∵AD CD ＝CD BD ，∴△ACD ∽△CBD. (2)∵△ACD ∽△CBD ， ∴∠A ＝∠BCD.在△ACD 中，∠ADC ＝90°. ∴∠A ＋∠ACD ＝90°.∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，即∠ACB ＝90°. 02 中档题8.(南通模拟)如图，已知∠C ＝∠E ，则不一定能使△ABC ∽△ADE 的条件是(D)A.∠BAD ＝∠CAEB.∠B ＝∠DC.BC DE ＝AC AED.AB AD ＝AC AE9.如图，已知∠ACB ＝∠CBD ＝90°，AC ＝8，CB ＝2，当BD ＝12时，△ACB ∽△CBD.10.如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线BD ，AC 相交于点E ，问△AED 与△BEC 是否相似？有一位同学这样解答：∵AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠CDE ，∠BAE ＝∠DCE. ∴△AEB ∽△CED. ∴AE CE ＝BE DE. 又∵∠AED ＝∠BEC ，∴△AED ∽△BEC. 请判断这位同学的解答是否正确？并说明理由. 解：不正确.∵由已知条件不能得到AE BE ＝DECE ，∴不能证得△AED ∽△BEC.11.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点.△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F.(1)求证：△ACB ∽△DCE ； (2)求证：EF ⊥AB.证明：(1)∵AC DC ＝32，BC EC ＝64＝32，∴AC DC ＝BC EC. 又∵△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上， ∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°. ∴△ACB∽△DCE .(2)∵△ACB∽△DCE，∴∠ABC＝∠DEC . 又∵∠ABC＋∠A＝90°，∴∠DEC＋∠A＝90°. ∴∠EFA＝90°.∴EF⊥AB .12.如图，在△ABC 中，AC ＝8 cm ，BC ＝16 cm ，点P 从点A 出发，沿着AC 边向点C 以1 cm/s 的速度运动，点Q 从点C 出发，沿着CB 边向点B 以2 cm/s 的速度运动，如果P 与Q 同时出发，经过几秒△PQC 和△ABC 相似？解：设经过x 秒，两三角形相似， 则CP ＝AC －AP ＝8－x ，CQ ＝2x ， ①当CP 与CA 是对应边时，CP CA ＝CQ CB ，即8－x 8＝2x 16，解得x ＝4.②当CP 与CB 是对应边时，CP CB ＝CQ CA ，即8－x 16＝2x 8，解得x ＝85. 故经过4 s 或85 s ，△PQC 和△ABC 相似.03 综合题13.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB ＝6 cm ，CD ＝4 cm ，BD ＝14 cm ，点P 在直线BD 上，由B 点到D 点移动.。
湘教版九年级数学上册同步练习 44.3 解直角三角形知识点1 一边一角解直角三角形1．如图4－3－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)∠A 和c ，那么a ＝________，b ＝________；(2)∠B 和b ，那么a ＝________，c ＝________．2．在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，那么AC ＝( )A ．3sin40°B ．3sin50°C ．3tan40°D ．3tan50°图4－3－1图4－3－23．如图4－3－2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，那么BC 的长是( ) A.4 33B ．4C ．8 3D ．4 3 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，∠B ＝60°，求∠A ，b ，c .知识点2 两边解直角三角形5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AC ＝6，那么AB ＝________，∠A ＝______°，∠B ＝________°.6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 区分是∠A ，∠B ，∠C 的对边，假设a ＝2，b ＝2 3，求c 及∠B .知识点3 一边和锐角三角函数解直角三角形7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝32，BC ＝5，那么∠B ＝________°，AB ＝________． 8．2021·岳阳如图4－3－3是教学用三角尺，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，那么边BC 的长为( )A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm9．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，那么AC 边的长是( ) A ．6 B ．2 5C ．3 5D ．2 13图4－3－3图4－3－4知识点4 〝双直角三角形〞效果10．如图4－3－4，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB ＝8，∠ABD ＝30°，∠CAD ＝45°，那么BC 的长为( )A ．4 3B ．4 3＋4C ．4 3－4D ．411．教材习题4.3第3题变式如图4－3－5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，∠BDC ＝45°，BD ＝10 2，AB ＝20，求∠A 的度数．图4－3－512．如图4－3－6所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．AB ＝10，tan B＝34，那么BC 的长为( ) A ．6 B ．8 C ．12 D ．16图4－3－6图4－3－713．如图4－3－7，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，AB ＝8 cm ，BC ＝10 cm ，那么tan ∠EAF ＝________．14．如图4－3－8，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，D 是边AB 上一点，∠BDC ＝45°，AD ＝4.求BC 的长．(结果保管根号)图4－3－815．如图4－3－9，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝2，OB ＝1，OA 与x 轴的正方向的夹角为30°，求A ，B 两点的坐标．图4－3－916．如图4－3－10，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝45°，点E 在BC 上，且∠AEB ＝60°，假定AB ＝2 3，AD ＝1，求CD 和CE 的长．(结果保管根号)图4－3－1017．如图4－3－11，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 与CD ，CB 区分相交于点H ，E ，AH ＝2CH .(1)求sin B 的值；(2)假设CD ＝5，求BE 的长．图4－3－11详解详析1．(1)c ·sin A c ·cos A(2)b tan B b sin B2．D [解析] ∵∠C ＝90°，∠A ＝40°，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－40°＝50°.又∵tan B ＝AC BC，∴AC ＝BC ·tan B ＝3tan50°. 应选D.3．D [解析] ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，cos B ＝BC AB，即cos30°＝BC 8， ∴BC ＝8×32＝4 3.应选D. 4．解：∠A ＝90°－∠B ＝30°，c ＝a sin A＝16，b ＝a ·tan B ＝8 3. 5．2 2 30 606．解：在Rt △ABC 中，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2＝22＋(2 3)2＝42，∴c ＝4.∵sin B ＝b c ＝2 34＝32，∴∠B ＝60°.7．60 108．C [解析] ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴tan ∠BAC ＝BC AC. 又∵AC ＝30 cm ，tan ∠BAC ＝33， ∴BC ＝AC ·tan ∠BAC ＝30×33＝10 3(cm)． 应选C.9．B [解析] ∵在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，∴sin A ＝23＝BC AB ＝4AB，∴AB ＝6，∴AC ＝36－16＝2 5.10．B [解析] 首先解Rt △ABD ，求出AD ，BD 的长，再解Rt △ADC ，求出DC 的长，然后由BC ＝BD ＋DC 即可求解．11．解：∵在Rt △BDC 中，∠BDC ＝45°，BD ＝10 2，∴BC ＝BD ·sin ∠BDC ＝10 2×22＝10. ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝20，∴sin A ＝BC AB ＝1020＝12， ∴∠A ＝30°.12．D [解析] ∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴tan B ＝AD BD ＝34，∴AD ＝34BD .∵AD 2＋BD 2＝AB 2， ∴(34BD )2＋BD 2＝102，∴BD ＝8，∴BC ＝16.应选D. 13.12[解析] ∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ＝AB ＝8 cm ，AD ＝BC ＝10 cm. ∵折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，∴AF ＝AD ＝10 cm ，DE ＝EF ，∠AFE ＝∠D ＝90°.在Rt △ABF 中，BF ＝AF 2－AB 2＝6 cm ，∴FC ＝BC －BF ＝4 cm.设EF ＝x cm ，那么DE ＝x cm ，CE ＝CD －DE ＝(8－x )cm.在Rt △CEF 中，∵CF 2＋CE 2＝EF 2，∴42＋()8－x 2＝x 2，解得x ＝5，即EF ＝5 cm.在Rt △AEF 中，tan ∠EAF ＝EF AF ＝510＝12. 14．解： 设BC ＝x ，在Rt △BCD 中，∠DBC ＝90°，∠BDC ＝45°，∴BD ＝BC ＝x . ∵AD ＝4，∴AB ＝4＋x .在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝x ，AB ＝4＋x .∵tan A ＝BC AB ，即33＝x 4＋x，解得x ＝2 3＋2， ∴BC 的长为2 3＋2.15．解：过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D .在Rt △AOC 中，AC ＝2sin30°＝1，OC ＝2cos30°＝3， 所以点A 的坐标为(3，1)．由于∠AOB ＝90°，∠AOC ＝30°，所以∠BOC ＝60°.同理，BD ＝OB ·sin60°＝32，OD ＝OB ·cos60°＝12. 由于点B 在第四象限，所以点B 的坐标为(12，－32)． 16．解：过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F .∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，DF ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠ABC ＝∠DFB ＝90°，∴四边形ABFD 为矩形，∴DF ＝AB ＝2 3，BF ＝AD ＝1.∵在Rt △DFC 中，∠C ＝45°，∴DF ＝FC ＝2 3，CD ＝2DF ＝2 6，∴BC ＝FC ＋BF ＝AB ＋AD ＝2 3＋1.在Rt △ABE 中，BE ＝AB tan60°＝2， ∴CE ＝BC －BE ＝2 3＋1－2＝2 3－1.即CD ＝2 6，CE ＝2 3－1.17．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°， ∴∠CAB ＋∠B ＝90°.∵AE ⊥CD ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°.∵CD 是斜边AB 上的中线，∴CD ＝AD ，∴∠DAC ＝∠ACD ，∴∠B ＝∠CAH ，∴sin B ＝sin ∠CAH .又∵AH ＝2CH ，∴AC ＝5CH ，∴sin B ＝sin ∠CAH ＝CH AC ＝55. (2)∵CD ＝5，∴AB ＝2 5.∵sin B ＝55， ∴AC ＝2，∴BC ＝4.又∵sin B ＝sin ∠CAH ＝CE AE ＝55，AC ＝2， ∴CE ＝1，∴BE ＝BC －CE ＝4－1＝3.。
2.2.2公式法课前预习要点感知1 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac 时，它的根是x= ，这个式子称为一元二次方程的求根公式，这种运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的解的方法，叫作.要点感知2 运用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把方程化成一般形式，确定a，b，c的值；(2)求出b2-4ac的值；(3)若b2-4ac≥0，则把a，b及b2-4ac的值代入求根公式中，求出x1，x2；若b2-4ac<0，则此方程 .预习练习2-1 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)能用公式法求解，那么必须满足的条件是( )A.b2-4ac≥0B.b2-4ac≤0C.b2-4ac＞0D.b2-4ac＜02-2 用公式法解方程2x2-7x+1=0，其中b2-4ac= ，x1= ，x2= .2-3 解方程x2=3x+2时，有一位同学解答如下：∵a=1，b=3，c=2，b2-4ac=32-4×1×2=1，∴x=2ba-=312-±.∴x1=-1，x2=-2.请你分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程.当堂训练知识点用公式法解一元二次方程1.用公式法解-x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为( )A.-1，3，-1B.1，-3，-1C.-1，-3，-1D.-1，3，12.方程x2+x-1=0的根是( )B.12-D.12-±3.一元二次方程2x2-3x-1=0的根是(C)A.x=B.x=C.x=D.x=4.(2013·日照)已知一元二次方程x2-x-3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是( )A.-2＜x1＜-1B.-3＜x1＜-2C.2＜x1＜3D.-1＜x1＜05.已知一元二次方程2x2-3x=1，则b2-4ac= .6.已知关于x的方程x2+3mx+m2=0的一个根是x=1，那么m= .7.解下列方程：(1)(2013·兰州)x2-3x-1=0；(2)3x2-4x-2=0.课后作业8.(2011·百色)关于x的方程x2+mx-2m2=0的一个根为1，则m的值为( )A.1B.12 C.1或12 D.1或-129.(2012·庆阳)方程x2-x-12=0的解是.10.用公式法解下列方程：(1)(2011·武汉)x2+3x+1=0；(2)(x-1)(1+2x)=2；(3)2x2-5x-7=0.11.先化简再计算：22121(x)x xx x x--÷-+，其中x是一元二次方程x2-x-2=0的正数根.12.(2013·南充)关于x的一元二次方程为(m-1)x2-2mx+m+1=0.(1)求出方程的根；(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？挑战自我13.阅读下面的例题：分解因式x2+2x-1.解：令x2+2x-1=0，得到一个关于x的一元二次方程. ∵a=1，b=2，c=-1，∴x==22-±=-1解得，∴x2+2x-1=(x-x1)(x-x2) =参考答案课前预习要点感知1 ≥0公式法要点感知2 无实数根预习练习2-1 A 2-2 41442-3 错误之处在于：没有先把方程化成一般形式.正确解法：x2-3x-2=0，∵a=1，b=-3，c=-2，b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=17，∴x=2b a -±=. ∴x1=，x2=.当堂训练1.A2.D3.C4.A5.176.-32 7.(1)x2-3x-1=0，a=1，b=-3，c=-1，∴b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=13.∴x=2b a -±=-21-⨯（3），∴x1=2，x2=2.(2)x1=，x2=. 课后作业8.D 9.x1=4，x2=-310.(1)x1=3-+22，x2=3-2. (2)x1=-1，x2=32.(3)x1=-1，x2=72.11.原式=22(x 1)(x 1)2111·(x 1)(x 1)1x x x x x x x x +--+-÷==+--. 解方程x2-x-2=0，得x1=2＞0，x2=-1＜0，所以原式=11211=-=1.12.(1)根据题意，得m ≠1，b2-4ac=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4，∴x=2b a -±=2212(m 1)1m m m ±+=--.∴x1=11m m +-，x2=1.(2)由(1)知，x1=11m m +-=211m +-， ∵方程的两个根都为正整数， ∴21m -是正整数，∴m-1=1或m-1=2，解得m=2或3.即m 为2或3时，此方程的两个根都为正整数.13.令x2-3x+1=0，得到一个关于x 的一元二次方程.∵a=1，b=-3，c=1，∴x=2b a -±=32，解得x1=32，x2=32.∴x2-3x+1=(x-x1)(x-x2)=(x-32)(x-32).。
湘教版九年级数学上册同步练习3知识点 1 平行线分线段成比例1．2021·湘潭如图3－2－1，直线a ∥b ∥c ，B 是线段AC 的中点，假定DE ＝2，那么EF ＝________．图3－2－1图3－2－22．如图3－2－2，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线区分交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .AB ＝1，BC ＝3，DE ＝2，那么EF 的长为( )A ．4B ．5C ．6D ．83．如图3－2－3，直线AB ∥CD ∥EF ，假定AC ＝3，CE ＝4，那么BD BF的值是( ) A.34 B.43 C.37 D.47图3－2－3图3－2－44．如图3－2－4，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线区分交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，AB BC ＝23，DE ＝6，那么EF ＝________． 5．如图3－2－5，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 依次交l 1，l 2，l 3于A ，B ，C 三点，直线DF依次交l 1，l 2，l 3于D ，E ，F 三点，假定AB AC ＝47，DE ＝2，求EF 的长． 图3－2－5知识点 2 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例6．2021·常德期中如图3－2－6，在△ABC 中，DE ∥BC ，假定AD DB ＝23，那么AE EC等于( ) A.13 B.25 C.23 D.35图3－2－6图3－2－77．如图3－2－7，假定BC ∥DE ，那么以下比例式不成立的是( )A.AB BD ＝AC CEB.AB AD ＝AC AEC.AB BD ＝BC DED.AD BD ＝AE CE8．如图3－2－8，在△ABC 中，DE ∥BC ，假设AD ＝2，BD ＝1，那么AE AC的值为( ) A.12 B.14 C.13 D.23图3－2－8图3－2－9.如图3－2－9，在△ABC 中，点D 在AB 边上，且AD ＝2BD ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E .假定AE ＝2，那么AC 的长是( )A ．4B ．3C ．2D ．110．教材习题3.2第1题变式如图3－2－10，DE ∥BC ，EC ＝AD ，AE ＝2 cm ，AB ＝7.5 cm ，求BD 的长．图3－2－10图3－2－1111．如图3－2－11，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 区分交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF区分交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG ＝2，GB ＝1，BC ＝5，那么DE EF的值为( )A.12 B ．2 C.25 D.3512．线段a ，b ，求作线段x ，使x ＝2b 2a，正确的作法是( ) 图3－2－12图3－2－1313．如图3－2－13，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横格线上．假定线段AB ＝4 cm ，那么线段BC ＝________ cm.14．在四边形ABCD 中，AD ∥MN ∥BC ，MN 与边AB ，DC 区分交于点M ，N ，AM ∶MB ＝2∶3，CD ＝15，求DN 的长．15．如图3－2－14，直线ED ∥GH ∥BC .(1)假定AE ＝4，AC ＝6，AD ＝5，求BD 的长；(2)假定EC ＝5，HC ＝2，DG ＝4，求BG 的长．图3－2－1416．如图3－2－15，在△ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC .求证：AF ∶FD ＝AD ∶DB .图3－2－1517．：如图3－2－16，在△ABC 中，点D 在AC 上，且AD ∶DC ＝1∶2，E 为BD 的中点，AE 的延伸线交BC 于点F .求证：BF ∶FC ＝1∶3.图3－2－161．2 [解析] ∵a ∥b ∥c ，∴AB BC ＝DE EF .又∵B 是线段AC 的中点，DE ＝2，∴11＝2EF，解得EF ＝2.2．C [解析] ∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB BC ＝DE EF .∵AB ＝1，BC ＝3，DE ＝2，∴13＝2EF，解得EF ＝6.3．C4． 9 [解析] ∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB BC ＝DE EF ，即23＝6EF，∴EF ＝9. 5．解：∵l 1∥l 2∥l 3，直线AC 依次交l 1，l 2，l 3于A ，B ，C 三点，直线DF 依次交l 1，l 2，l 3于D ，E ，F 三点，∴AB AC ＝DE DF. ∵AB AC ＝47，DE ＝2，∴47＝2DF ， 解得DF ＝3.5，∴EF ＝DF －DE ＝3.5－2＝1.5.6．C [解析] 在△ABC 中，由于DE ∥BC ，所以AD DB ＝AE EC .又AD DB ＝23，所以AE EC ＝23. 7．C 8.D9．B [解析] ∵DE ∥BC ，AD ＝2BD ，∴AE CE ＝AD BD ＝2，∴CE ＝12AE ＝1，∴AC ＝AE ＋CE ＝3.应选B.10．解：∵DE ∥BC ，∴BD AB ＝EC AC. 设BD ＝x cm ，∵EC ＝AD ，AE ＝2 cm ，AB ＝7.5 cm ，∴x 7.5＝7.5－x 2＋7.5－x， 解得x 1＝4.5，x 2＝12.5(不合题意，舍去)，∴BD ＝4.5 cm.11．D [解析] ∵AG ＝2，GB ＝1，∴AB ＝AG ＋GB ＝3.∵直线l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝AB BC ＝35. 12．C13． 12 [解析] 如图，过点A 作AE ⊥CE 于点E ，交BD 于点D ，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴AB BC ＝AD DE ，即4BC ＝26，∴BC ＝12(cm)．故答案为12.14．解：如图，∵AD ∥MN ∥BC ，∴AM AB ＝DN CD. ∵AM ∶MB ＝2∶3，∴AM AB ＝25，∴DN CD ＝25， ∴DN 15＝25，∴DN ＝6. 15．解：(1)∵直线ED ∥GH ∥BC ，AE ＝4，AC ＝6，AD ＝5， ∴AE AC ＝AD AB ，即46＝5AB ，解得AB ＝152， ∴BD ＝AB ＋AD ＝152＋5＝252. (2)∵直线ED ∥GH ∥BC ，且EC ＝5，HC ＝2，DG ＝4，∴CH CE ＝BG BD ，即25＝BG BG ＋4， 解得BG ＝83. 16．证明：∵EF ∥CD ，DE ∥BC ，∴AF FD ＝AE EC ，AD DB ＝AE EC ，∴AF FD ＝AD DB， 即AF ∶FD ＝AD ∶DB .17．证明：∵AD ∶DC ＝1∶2，∴AD ∶AC ＝1∶3.作DG∥AF交BC于点G，∴ADAC＝FGFC＝13.又E是BD的中点，∴EF是△BGD的中位线，∴BF＝FG，∴BFFC＝13，即BF∶FC＝1∶3.。
1.3 反比例函数的应用课时作业（五）夯实基础过关检测一、选择题1 •矩形的面积为6，它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可表示为（）2•某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为 1.2万元，前期付款4000元，后期每个月分期付一定的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数x之间的函数表达式是（）A. y =8000（X取正整数）XB.C. 8000D. y = 8000x3.某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图K—5-2所示，则下列说法正确的是（）A.该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B.当该村总人口为 50人时，人均耕地面积为 1公顷B. 若该村人均耕地面积为 2公顷，则总人口为100人C.该村人均耕地面积 y 与总人口 x 成正比例4•某人对地面的压强 p 与他和地面的接触面积 S 的函数关系如图 K — 5-3所示•若某 一沼泽地地面能承受的压强不超过300 Pa ，则此人必须站立在面积为多大的木板上才不至于下陷(木板的重量忽略不计)()2 2A.至少2 m B .至多2 m C.大于2 m D .小于2 m、填空题撬动石板.6.—个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，33气体的密度也会随之改变.已知密度p (单位：kg/m )是体积V (单位：m)的反比例函数，它. .. .33的图象如图K — 5 — 4所示.当V= 2 m 时，气体的密度是 __________ kg/m.图K — 5— 4 7.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p (kPa)是气体5.用杠杆撬一块石板，阻力是 800 N,阻力臂长为0.5 m,则杠杆平衡时，动力 F 与动力臂长L 之间的函数表达式是________ ;若动力臂长为2m ，则需要 _______ N 的动力才能f 巩 kg/m ，） O\ 1 2 3 4 5~体积V(m3)的反比例函数，其图象如图K—5—5所示，则当气球内气体体积V(m3)的范围是0.8 v V v 2时，气体的压强p(kPa)的范围是____________ .图K— 5 -5三、解答题& 2017 •丽水丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t 小时，平均速度为v千米/时(汽车行驶速度不超过100千米/时).根据经验，V, t的一组对应值如下表：链接听课例1归纳总结v(千米/时) 7585909580t(时) 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16⑴根据表中的数据，求出平均速度v(千米/时)关于行驶时间t(时)的函数表达式；⑵汽车上午7: 30从丽水出发，能否在上午10: 00之前到达杭州市场？请说明理由;(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5 < t < 4,求平均速度v的取值范围.9•某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15〜20 C的新品种•如图K— 5 —6是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y(C)随时间x(h)k变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y=-的一部分，请根据图中信息解答下列问题：B.当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷(1) 求k的值；(2) 恒温系统在一天内保持大棚里温度在15 C及15 C以上的时间有多少小时？链接听课例2归纳总结图K— 5 -610.工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到800 C,然后停止煅烧进行锻造操作. 第8 min时，材料温度降为600 C .煅烧时，温度y( C) 与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(C)与时间x(min)成反比例函数关系(如图K— 5 —7).已知该材料的初始温度是32 C.(1) 分别求出材料煅烧和锻造时y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(2) 根据工艺要求，当材料温度低于480 C时，必须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？图K—5—7分类讨论与方程思想一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/时）与所用时间t（时）之间的函数关系如图K—5 —8所示，其中60W v < 120.（1）直接写出v与t之间的函数表达式.（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇.①求两车的平均速度；②甲、乙两地间有两个加油站A, B,它们相距200千米，当客车进入B加油站时，货素养提升］铝维拓展能力提升车恰好进入A加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与B加油站的距离.图K—5—8详解详析【作业高效训练】［课堂达标］1. ［解析］D由题意，得y = -(x >0)，所以y是x的反比例函数，图象在第一象限，X故选D2. ［解析］A •••购买的电脑价格为 1.2万元，交了首付4000元之后每期付款y元，x8000个月结清余款，••• xy + 4000 = 12000 ,A y = —(-取正整数)，故选A—3. ［解析］B由题图知人均耕地面积y(单位：公顷/人)与总人口x(单位：人)的函数k 关系是反比例函数，它的图象在第一象限，• y随—的增大而减小，• A, D错误.设y = -(k—50>0, x>0)，把x= 50, y = 1代入得k = 50, • y =—.把y = 2代入上式得—=25, •- C错误.由—图象知B正确.故答案为B.4. 解析］A 设函数的表达式为p = £•••函数图象经过点(10 , 60),•- F= pS= 10X 60= 600,•p= 600，当p w 300 时，S> 2,故选A5. ［答案］F = 400 200［解析］阻力X阻力臂=动力X动力臂.6. ［答案］47. ［答案］48 V p v 120k［解析］设函数表达式为p = V，・••点A(0.8 , 120)在函数图象上，将点A的坐标代入可k 96 96得120=丽,• k= 0.8 X 120= 96,二函数表达式为P=p.：当V= 0.8 时，p=碍=120,96当V= 2时，p=2 = 48.又p随V的增大而减小，所以48 V p v 120.故答案为：48 V p v 120.冲(千*/肘｝(3J6.95) ：11(333,90) r\(3.53P &5) ；F\O.75,«0)&解：（1）根据表中的数据，可画出 v 关于t 的函数图象（如图所示），根据图象形状， 选择反比例函数模型进行尝试.设v 与t 的函数表达式为v = k , •••当v = 75时，t = 4 , • k=4X7 5= 300,.・.v = 将点(3.75 , 80) , (3.53 , 85) , (3.33 , 90) , (3.16 , 95)的坐标 代入v =学验证：300= 3.75 , 300-3.53,晋~3.33,罟~3.16, • v 与t 的函数表达式 是 v = 300(t >3).v = 200 = 120> 100, •汽车上午7: 30从丽水出发,2.5 不能在上午10: 00之前到达杭州市场.9 .解：⑴把B （12 , 20）代入k = 12X 20= 240.⑵设线段AD 所在直线的函数表达式为把(0 , 10) , (2 , 20)代入 y = mx + n 中，得•线段AD 所在直线的函数表达式为 y = 5x + 10. 当 y = 15 时，15= 5x + 10,解得 x = 1; 240240 15= ，解得 x == 16,x15⑵••• 10- 7.5 = 2.5 ,••• t = 2.5 时, ⑶ 由图象或反比例函数的性质,得当3.5 w t <4 时，75W v < 67°.答：平均速度v 的取值范围是75Wv W600 7n = 10, 2m ^ n = 20, m = 5,解得n = 10,•••16— 1 = 15( h ).答：恒温系统在一天内保持大棚里温度在15 C 及15 C 以上的时间有15 h .10.解：⑴ 设锻造时y 与x 之间的函数表达式为 y = X ，贝y 600 =善,• k1 = 4800, 4800 y =•煅烧时y 与x 之间的函数表达式为 y = 128x + 32(0 <x<6). 4800⑵当y = 480时，x =硕=10, 10— 6= 4( min ),•锻造的操作时间有 4 min . ［素养提升］s解：(1)设v 与t 之间的函数表达式为 v = ~.•.•当 t = 5 时，v = 120, • - s = 120X 5= 600, 「 」 600•••当 v = 60 时，t == 10, 60• v 与t 之间的函数表达式为 v =-厂(5 < t < 10).⑵①依题意，得 3(v + v — 20) = 600,解得v = 110,当 y = 800 时，800 =4800•••点B 的坐标为(6 , 800).•••锻造时的函数表达式4800y = — (x > 6).入设煅烧时的函数表达式为 y = k 2x + b ,则 I 32,6k 2 + b = 800, 解得k 2= 128, b = 32,经检验，v = 110符合题意.当v = 110 时，v—20= 90.答：客车和货车的平均速度分别为110千米/时和90千米/ 时.②当A加油站在甲地和B加油站之间时，110t—(600—90t) =200，解得t = 4,此时110t = 110X 4= 440;当B加油站在甲地和A加油站之间时，110t＋200＋90t=600,解得t = 2,此时110t = 110X 2= 220.答：甲地与B加油站的距离为220千米或440千米.。
第1章反比例函数1.1反比例函数一㊁旧知链接1.下面的函数是反比例函数的是().A.y=3x+1B.y=x2+2xC.y=x2D.y=3x2.形如y=k x(k是常数,)的函数称为,其中x是,y是.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.3.下列函数中,属于反比例函数的是.①y=2x+1;②y=2x2;③y=15x;④y=-23x;⑤x y=3;⑥2y=x;⑦x y=-1.二㊁新知速递1.在函数y=3x中,自变量x的取值范围是().A.xʂ0B.x>0C.x<0D.一切实数2.若函数y=k x k-2是反比例函数,则k=.3.列出下列问题中的函数表达式,并指出它们是什么函数.(1)某农场的粮食总产量为1500t,则该农场人数y(人)与平均每人占有粮食x(t)的函数表达式;(2)在加油站,加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元,总价从0元开始随着加油量的变化而变化,则总价y(元)与加油量x(L)的函数表达式;(3)小明完成100m赛跑时,时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数表达式.1.在反比例函数y=2x中,自变量x的取值范围是().A.xʂ0B.x>0C.x<0D.一切实数2.当路程s一定时,速度v与时间t之间的函数关系是().A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数3.函数y=2k+1x是反比例函数,则k的取值范围是().A.kʂ-12B.k>-12C.k<-12D.kʂ04.若y与x成正比例,y与z成反比例,则下列说法正确的是().A.z是x的正比例函数B.z是x的反比例函数C.z是x的一次函数D.z不是x的函数5.下列说法正确的是().A.圆面积公式S=πr2中,S与r成正比例关系B.三角形面积公式S=12a h中,当S是常量时,a与h成反比例关系C.y=1x+1中,y与x成反比例关系D.y=x-12中,y与x成正比例关系6.在温度不变的情况下,一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例,当V=200时,p=50,则p =25时,V=.7.在平面直角坐标系x O y中,点P到x轴的距离为3个单位长度,到原点O的距离为5个单位长度,则经过点P的反比例函数的表达式为.8.已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=-6.(1)求y与x的函数表达式;(2)当x=4时,求y的值.基础训练1.下列问题中两个变量间的函数表达式是反比例函数的是().A.小红1分钟可以制作2朵花,x分钟可以制作y朵花B.体积10c m3的长方体,高为h c m时,底面积为S c m2C.用一根长50c m的铁丝弯成一个矩形,一边长为x c m时,面积为y c m2D.小李接到一次检修管道的任务,已知管道长100m,设每天能完成10m,x天后剩下的未检修的管道长为y m2.若函数y=(m+2)x2m+1是反比例函数,则m的值为().A.-2B.1C.2或1D.-13.若y与-3x成反比例,x与z成正比例,则y是z的().A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.不能确定4.已知y 是x 的反比例函数,当x =-4时,y =2.当x =-2时,y = .5.反比例函数y =m -2()x 2m +1的函数值为3时,求自变量x 的值.拓展提高6.已知y 与(2x +1)成反比例,且x =1时,y =2,那么当x =0时,y = .7.已知梯形的面积为60c m2,其上底是下底的13,设下底长为x c m ,高为y c m .(1)求y 与x 的函数关系式;(2)当y =6时,求x 的值.发散思维8.若y =(m +2)x m -2是反比例函数.(1)求此反比例函数的关系式;(2)当x =1时,求y 的值;(3)当y =2时,求x 的值.1.2 反比例函数的图象与性质(1)一㊁旧知链接1.函数y =(m -1)x m-2为反比例函数,则m 为( ).A .1B .ʃ1C .0D .-12.反比例函数的图象是 .3.对于双曲线y =k x (k ʂ0),当k >0时,双曲线分布在 象限,且在每个象限内,y 随x 的增大而 .二㊁新知速递1.(2016㊃兰州)反比例函数y =2x的图象在( ).A .第一㊁二象限B .第一㊁三象限C .第二㊁三象限D .第二㊁四象限图1-2-122.图1-2-12是一个反比例函数的图象,它的函数表达式可能是( ).A .y =x2B .y =4xC .y =-3xD .y =12x3.(2017㊃柳州)若点A (2,2)在反比例函数y =k x(k ʂ0)的图象上,则k =.1.反比例函数y =-1x的图象位于().A .第一㊁三象限B .第二㊁三象限C .第二㊁四象限D .第三㊁四象限2.反比例函数的图象经过点(3,2),下列各点中,在此函数图象上的点是( ).A .(3,-2)B .(-3,2)C .(-3,-2)D .(-2,3)3.已知点(1,1)在反比例函数y =k x(k 为常数,k ʂ0)的图象上,则这个反比例函数的大致图象是( ).4.已知反比例函数y =1x,下列结论不正确的是( ).A .图象经过点(1,1)B .图象在第一㊁三象限C .当x >1时,0<y <1D .当x <0时,y 随x 的增大而增大5.若点(-1,y 1),(2,y 2),(3,y 3)均在函数y =6x的图象上,则y 1,y 2,y3的大小关系是 .6.如图1-2-13,它是反比例函数y =m -5x图象的一支,根据图象可知常数m 的取值范围是.图1-2-137.如图1-2-14,反比例函数y =k x (k ʂ0)经过点A (1,3).图1-2-14(1)求反比例函数的表达式;(2)在x 轴正半轴上有一点B ,若әA O B 的面积为6,求直线A B 的解析式.基础训练1.在同一直角坐标系中,正比例函数y =x 与反比例函数y =2x的图象大致是( ).2.点A (-1,y 1),B (-2,y 2)在反比例函数y =2x 的图象上,则y 1,y2的大小关系是( ).A .y 1>y2B .y 1=y2C .y 1<y2D .不能确定3.已知两点A (x 1,y 1),B (x 2,y2)在反比例函数y =4x 的图象上,当x 1>x 2>0时,下列结论正确的是( ).A .0<y 1<y2B .0<y 2<y1C .y 1<y2<0D .y 2<y1<04.(2014㊃常德)下列关于反比例函数y =21x 的三个结论:①它的图象经过点(7,3);②它的图象在每个象限内,y 随x 的增大而减小;③图象在二㊁四象限内.其中正确的是 .5.如图1-2-15,直线y =k x 与双曲线y =2x(x >0)交于点A (1,a ),则k =.图1-2-15图1-2-16拓展提高6.如图1-2-16,一次函数y 1=k 1x +b 的图象与反比例函数y 2=k 2x的图象交于A (1,2),B (-2,-1)两点,若y 1<y2,则x 的取值范围是( ).A .x <1B .x <-2C .-2<x <0或x >1D .x <-2或0<x <17.对于反比例函数y =2x,下列说法正确的是( ).A .图象经过点(1,-2)B .图象在第二㊁四象限C .当x >0时,y 随x 的增大而增大D .图象是轴对称图形8.在反比例函数y =1-2m x的图象上有A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,当x 1<0<x 2时,有y 1<y2,则m 的取值范围是( ).A .m <0B .m >0C .m <0.5D .m >0.59.如图1-2-17,一次函数y 1=x +1的图象与反比例函数y 2=k x 的图象交于A (m ,2)㊁B 两点.图1-2-17(1)求A 点的坐标及反比例函数的表达式;(2)求S әA O B .发散思维10.已知反比例函数y =k -1x(k 为常数,k ʂ1).(1)若点A (1,2)在这个函数的图象上,求k 的值;(2)若在每个象限内,y 随x 的增大而减小,求k 的取值范围;(3)若k =13,试判断点B (3,4),C (2,5)是否在这个函数的图象上,并说明理由.图1-2-1811.(2015㊃沈阳)如图1-2-18,已知一次函数y =32x -3与反比例函数y =k x 的图象相交于点A (4,n ),与x 轴相交于点B .(1)填空:n 的值为 ,k 的值为 .(2)以A B 为边作菱形A B C D ,使点C 在x 轴正半轴上,点D 在第一象限,求点D 的坐标.(3)观察反比例函数y =k x的图象,当y ȡ2时,请直接写出自变量x 的取值范围.1.2反比例函数的图象与性质(2)一㊁旧知链接1.反比例函数y=k x(k为常数,kʂ0)的图象是由两支曲线围成的,这两支曲线称为.2.当k<0时,反比例函数y=k x的图象与的图象关于x轴对称.3.当k<0时,反比例函数y=k x的图象由分别在第象限内的两支曲线组成,它们与x轴㊁y轴都,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而.二㊁新知速递1.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=k x(k>0)的图象上的两点,若x1<0<x2,则有().A.y1<0<y2B.y2<0<y1C.y1<y2<0D.y2<y1<02.若A(a1,b1),B(a2,b2)是反比例函数图象上的两个点,且a1<a2,则b1与b2的大小关系是().A.b1<b2B.b1=b2C.b1>b2D.大小不确定3.函数y=-2x的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若0<x1<x2,则().A.y1<y2B.y1>y2C.y1=y2D.y1㊁y2的大小不确定1.下列函数中,y随x的增大而减小的是().A.y=-1xB.y=-2xC.y=-3x(x>0)D.y=4x(x<0)2.若点(-1,4)是反比例函数y=k x图象上一点,则此函数图象必经过点().A.(2,2)B.(2,-2)C.(-4,-1)D.(-1,-4)3.若反比例函数y=k-1x的图象位于第二㊁四象限,则k的取值可能是().A.0B.2C.3D.44.已知反比例函数y=k x的图象经过P(-1,2),则这个函数的图象位于().A.第二㊁三象限B.第一㊁三象限C.第三㊁四象限D.第二㊁四象限5.点A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函数y=-2x的图象上,若x1<x2,则y1与y2的大小关系是().A.y1=y2B.y1>y2C.y1<y2D.无法确定6.若正比例函数y =-2x 与反比例函数y =k x 图象的一个交点坐标为(-1,2),则另一个交点的坐标为.图1-2-307.反比例函数y =3m -1x 的图象如图1-2-30,A (-1,n 1),B (-2,n 2)是该函数图象上两点.(1)比较n 1与n 2的大小;(2)求m 的取值范围.基础训练1.若反比例函数y =k x(k ʂ0)的图象经过P (-2,3),则该函数的图象不经过的点是( ).A .(3,-2)B .(1,-6)C .(-1,6)D .(-1,-6)2.已知A (-1,y 1),B (2,y 2)两点在双曲线y =3+2m x上,且y 1>y 2,则m 的取值范围是( ).A .m >0B .m <0C .m >-32D .m <-323.在同一直角坐标系中,一次函数y =k x -k 与反比例函数y =k x(k ʂ0)的图象大致是( ).4.反比例函数y =3x 关于x 轴对称的图象的函数表达式为 .5.如图1-2-31,直线x =-2与双曲线y =-2x 和y =1x分别交于点A ,B ,若P 是y 轴上任意一点,则әP A B 的面积为.图1-2-31拓展提高6.若函数y =m -1x的图象在同一象限内,y 随x 的增大而增大,则m 的值可以是 .(写出一个即可)7.如图1-2-32,点P ,Q ,R 是反比例函数y =k x 的图象上任意三点,P A ʅy 轴于A ,Q B ʅx 轴于B ,R C ʅx 轴于C ,S 1,S 2,S 3分别表示әO A P ,әO B Q ,әO C R 的面积,则S 1㊁S 2㊁S 3的大小关系是 .8.如图1-2-33,A ,B 两点在反比例函数y =k 1x 的图象上,C ,D 两点在反比例函数y =k 2x的图象上,A Cʅy 轴于E ,B D ʅy 轴于F ,A C =2,B D =1,E F =3,则k 1-k 2的值是.图1-2-32图1-2-339.如图1-2-34,若点A 在反比例函数y =k x (k ʂ0)的图象上,AM ʅx 轴于M ,әAM O 的面积为3.图1-2-34(1)求k 的值;(2)当A 点在反比例函数图象上运动时,其他条件不变,әAM O 的面积会发生变化吗?说明你的理由.发散思维10.如图1-2-35,点A 为双曲线y =2x 的图象上一点,过A 作A B ʊx 轴交双曲线y =-4x于点B ,连接A O ,B O ,求әA O B 的面积.图1-2-3511.如图1-2-36,已知在平面直角坐标系x O y中,O是坐标原点,点A(2,5)在反比例函数y=k x的图象上,过点A的直线y=x+b交x轴于点B.(1)求k和b的值;(2)求әA O B的面积.图1-2-361.2反比例函数的图象与性质(3)一㊁旧知链接1.对于函数y=1x,下列说法错误的是().A.它的图象分布在一㊁三象限B.它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C.当x>0时,y随x的增大而增大D.当x<0时,y随x的增大而减小2.若点A(1,y1)和B(2,y2)在反比例函数y=1x图象上,则y1与y2的大小关系是y1y2(选填 > < 或 = ).3.若反比例函数y=k x的图象过点(-1,2),则k=.二㊁新知速递1.如果点A(-2,y1),B(-1,y2),C(2,y3)都在反比例函数y=k x(k>0)的图象上,那么y1,y2,y3的大小关系是().A.y1<y3<y2B.y2<y1<y3C.y1<y2<y3D.y3<y2<y12.已知函数y=m x的图象如图1-2-63,以下结论:①m<0;②在每一个分支上y随x的增大而增大;③若点A(-1,a),点B(2,b)在图象上,则a<b;④若点P(x,y)在图象上,则点P1(-x,-y)也在图象上.其中正确的个数是().A.4B.3C.2D.1图1-2-63图1-2-643.已知一次函数y=k x+b的图象如图1-2-64,那么正比例函数y=k x和反比例函数y=b x在同一坐标系中的图象大致是().1.已知正比例函数y=k1x(k1ʂ0)与反比例函数y=k2x(k2ʂ0)的图象有一个交点的坐标为(-2,-1),则它们另一个交点的坐标是( ).A .(2,1)B .(-2,-1)C .(-2,1)D .(2,-1)2.一次函数y 1=x -1与反比例函数y 2=2x的图象交于点A (2,1),B (-1,-2),则使y 1>y2的x 的取值范围是( ).A .x >2B .x >2或-1<x <0C .-1<x <2D .x >2或x <-13.关于x 的函数y =k (x +1)和y =k x(k ʂ0)在同一坐标系中的图象大致是( ).4.如图1-2-65,A 是反比例函数图象上一点,过点A 作A B ʅy 轴于B ,点P 在x 轴上,әA B P 的面积为2,则该反比例函数的表达式是.图1-2-65图1-2-66图1-2-675.如图1-2-66,直线y =2x 与双曲线y =k x (x >0)的图象交于点A ,且O A =5,则k 的值是 .6.如图1-2-67,直线y =x 向右平移b 个单位后得直线l ,l 与双曲线y =6x(x >0)相交于点A ,与x 轴相交于点B ,则O A 2-O B 2的值是 .7.如图1-2-68,一次函数y 1=k x +b 的图象与反比例函数y 2=m x 的图象相交于点A (2,5)和点B ,与y 轴相交于点C (0,7).图1-2-68(1)求这两个函数的解析式;(2)当x 取何值时,y 1<y2;8.如图1-2-69,一次函数y =k x +b 与反比例函数y =m x 的图象交于A (2,3)㊁B (-3,n )两点.图1-2-69(1)求一次函数与反比例函数的表达式;(2)根据所给条件,请直接写出不等式k x +b >m x的解集;(3)过点B 作B C ʅx 轴,垂足为C ,求S әA B C.基础训练1.若反比例函数y =k x经过点(-1,2),则一次函数y =-k x +2的图象一定不经过第( )象限.A .一B .二C .三D .四2.已知一次函数y 1=k x +b (k <0)与反比例函数y 2=m x(m ʂ0)的图象相交于A ,B 两点,其横坐标分别是-1和3,当y 1>y2时.实数x 的取值范围是( ).A .x <-1或0<x <3B .-1<x <0或0<x <3C .-1<x <0或x >3D .0<x <33.函数y =x +m 与y =m x(m ʂ0)在同一坐标系内的图象可以是( ).4.如图1-2-70,点B 为双曲线y =k x(x >0)上一点,直线A B 平行于y 轴交直线y =x 于点A ,若O B 2-A B 2=4,则k 的值是.图1-2-705.如图1-2-71,已知反比例函数y =k x (k ʂ0)的图象经过点A (-2,8).图1-2-71(1)求这个反比例函数的表达式;(2)若(2,y 1),(4,y 2)是这个反比例函数图象上的两个点,请比较y 1,y2的大小,并说明理由.拓展提高6.如图1-2-72,点A 为双曲线y =-2x (x <0)上一点,A B ʊx 轴交直线y =x 于点B ,则A B 2-O A 2的值是.图1-2-727.如图1-2-73,一次函数y 1=x +1的图象与反比例函数y 2=k x (k 为常数,且k ʂ0)的图象都经过点A (m ,2).图1-2-73(1)求点A 的坐标及反比例函数的表达式;(2)结合图象直接比较:当x >0时,y1与y 2的大小.8.如图1-2-74,一次函数y =k x +b (k ʂ0)的图象过点P -32,0æèçöø÷,且与反比例函数y =m x(m ʂ0)的图象相交于点A (-2,1)和点B .图1-2-74(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)求点B 的坐标,并根据图象回答:当x 在什么范围内取值时,一次函数的函数值小于反比例函数的函数值?9.如图1-2-75,在直角坐标系x O y 中,直线y =m x 与双曲线y =n x相交于A (-1,a ),B 两点,B C ʅx 轴,垂足为C ,әA O C 的面积是1.图1-2-75(1)求m ,n 的值;(2)求直线A C 的解析式.发散思维10.如图1-2-76,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,矩形O A B C 的边O A ,O C 分别在x 轴,y 轴上,其中O A =6,O C =3.已知反比例函数y =k x(k >0)的图象经过B C 边中点D ,交A B 于点E.图1-2-76(1)k 的值为 ;(2)猜想әO C D 的面积与әO B E 的面积之间的关系,并说明理由.11.(2017㊃深圳)如图1-2-77,一次函数y =k x +b 与反比例函数y =m x (x >0)交于点A (2,4),B (a ,1),与x 轴,y 轴分别交于点C ,D.图1-2-77(1)直接写出一次函数y =k x +b 的表达式和反比例函数y =m x(x >0)的表达式;(2)求证:A D =B C .1.3反比例函数的应用一㊁旧知链接常见的与实际相关的反比例:(1)面积一定时,矩形的成反比例.(2)面积一定时,三角形的一边长与成反比例.(3)体积一定时,柱(锥)体的成反比例.(4)工作总量一定时,成反比例.(5)总价一定时,与商品的件数成反比例.(6)溶质一定时,溶液的成反比例.二㊁新知速递1.下列各问题中两个变量之间的关系,不是反比例函数的是().A.小明完成百米赛跑时,所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系B.长方形的面积为24,它的长y与宽x之间的关系C.压力为600N时,压强p(P a)与受力面积S(m2)之间的关系D.一个容积为25L的容器中,所盛水的质量m(k g)与所盛水的体积V(L)之间的关系2.在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强,如下表:体积x/m L10080604020压强y/k P a6075100150300则可以反映y与x之间的关系的式子是().A.y=3000xB.y=6000xC.y=3000xD.y=6000x3.一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个 E 图案,如图1-3-7,设小矩形的长和宽分别为x,y,剪去部分的面积为20,若2ɤxɤ10,则y与x的函数图象是().图1-3-71.已知三角形的面积一定,则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是().2.已知甲㊁乙两地相距s (k m ),汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶的时间t (h )与行驶速度v (k m/h )的函数关系的图象大致是( ).3.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会改变.密度ρ(单位:k g/m 3)是体积V (单位:m 3)的反比例函数,它的图象如图1-3-8,则当体积V =10m 3时,气体的密度为( ).图1-3-8A .5k g /m 3B .2k g/m 3C .100k g /m 3D .1k g/m 34.汽车油箱中有油20升,汽车行驶过程中每小时耗油x 升,则20升油能让汽车行驶的时间y (小时)与x (升)之间的函数关系式为( ).A .y =20x B .y =20xC .y =x20D .y =20-x 5.用电器的输出功率P 与通过的电流I ㊁用电器的电阻R 之间的关系是P =I 2R ,下面说法正确的是( ).A .P 定值,I 与R 成反比例B .P 为定值,I2与R 成反比例C .P 定值,I 与R 成正比例D .P 为定值,I2与R 成正比例6.已知某品牌电视机的寿命大约为3.65ˑ104h ,这种电视机可观看的天数d 与平均每天所看的小时数t 之间的函数关系为 ,如果平均每天看电视5h ,则这种电视机大约可使用 年.7.A ,B 两城相距720k m ,一列火车从A 城去往B 城.(1)火车的速度v (k m /h )和行驶的时间t (h)之间的函数关系是 ;(2)若到达目的地后,按原路匀速返回,并要求在3小时内回到A 城,则返回的速度不能低于 .8.将油箱注满k 升油后,轿车可行驶的总路程s (单位:千米)与平均耗油量a (单位:升/千米)之间是反比例函数关系s =k a (k 是常数,k ʂ0).已知某轿车油箱注满油后,以平均耗油量为每千米耗油量0.1升的速度行驶,可行驶700千米.(1)求该轿车可行驶的总路程s 与平均耗油量a 之间的函数式;(2)当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶多少千米?基础训练1.甲㊁乙两地相距2500千米,如果把汽车从甲地到乙地所用的时间y(小时),表示为汽车的平均速度x (千米/小时)的函数,则此函数的图象大致是().2.一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系,当x=2时,y= 20,则y与x的函数图象大致是().3.已知广州的土地总面积是7434k m2,人均占有的土地面积S(单位:k m2/人)随着全市人口n(单位:人)的变化而变化,则S与n的函数关系式为.4.某同学要到离家2000米外的学校上学,那么他每分钟走m(米)和所用时间t(分钟)之间的函数表达式为.5.在某一电路中,电源电压U(V)保持不变,电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图1-3-9.(1)写出I与R之间的函数表达式;图1-3-9(2)结合图象回答:当电路中的电流不超过12A时,电路中的电阻R的取值范围是什么?拓展提高6.某人用一根撬棒撬动一块大石头,已知阻力臂和阻力不变,分别为0.5m和1000N,当动力臂l为2 m时,撬动这块大石头需用的动力F为.7.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(k P a)是气球体积V(m3)的反比例函数,其图象如图1-3-10,当气球内的气压大于16.0k P a时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应().第2章 一元二次方程A .不大于0.6m3B .不大于96m3C .不小于0.6m3D .不小于96m38.如图1-3-11,科技小组准备用材料围建一个面积为60m 2的矩形科技园A B C D ,其中一边A B 靠图1-3-11墙,墙长12m .设A D 的长为x m ,D C 的长为y m .(1)求y 与x 之间的函数表达式;(2)若围成矩形科技园A B C D 的三边材料总长不超过26m ,材料A D 和D C 的长都是整米数,求出满足条件的所有围建方案.发散思维9.一辆汽车匀速通过某段公路,所需时间t (h )与行驶速度v (k m /h)满足函数关系t =k v ,其图象为如图1-3-12所示的一段曲线,且端点为A (40,1)和B (m ,0.5).图1-3-12(1)求k 和m 的值;(2)若行驶速度不超过60k m /h ,则汽车通过该路段最少需要多少时间?10.某药品研究所开发一种抗菌新药,经多年动物实验,首次用于临床人体实验.测得成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药时间x (时)之间的函数关系如图1-3-13(当4ɤx ɤ10时,y 与x 成反比).图1-3-13(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数表达式;(2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时?第2章一元二次方程2.1一元二次方程一㊁旧知链接只含有未知数,并且未知数的次数是,系数不等于,像这样的整式方程叫一元一次方程.二㊁新知速递1.判断下列方程是否为一元二次方程:(1)1-x2=0;(2)2(x2-1)=3y;(3)2x2-3x-1=0;(4)1x2-2x=0;(5)(x+3)2=(x-3)2;(6)9x2=5-4x.2.下列方程中,是一元二次方程的是().A.x-y2=1B.x2-1=0C.1x2-1=0D.x22-x-13=03.将方程(4-x)(5-2x)=9化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数㊁一次项系数及常数项.1.方程5x2+7x-3=0中二次项的系数,一次项系数及常数项分别是().A.5,7,3B.5,7,-3C.5,-7,3D.5,-7,-32.(2016㊃武汉)将方程x2-8x=10化为一元二次方程的一般形式,其中二次项系数为1,一次项系数㊁常数项分别是().A.-8,-10B.-8,10C.8,-10D.8,103.方程(x+1)(x-1)=2x2-4x-6化为一般形式为().A.x2-4x+5=0B.x2+4x+5=0C.x2-4x-5=0D.x2+4x-5=04.已知关于x的方程(m+2)x m+3x+m=0是一元二次方程,则m=.第2章一元二次方程5.方程2x2-3x=5的二次项系数是,一次项系数是,常数项是.6.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x.(2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x;(3)一个直角三角形的斜边长为10,两条直角边相差2,求较长的直角边长x.基础训练1.下列方程:(1)a x2+b x+c=0;(2)x2+1x2=0;(3)(x-1)(x-2)=0;(4)x2=(x-1)2;(5)3x2-2x y -5y2=0.其中是关于x的一元二次方程的有().A.1个B.2个C.3个D.4个2.方程3x2-7x+4=0中二次项的系数㊁一次项的系数及常数项分别是().A.3,7,4B.3,7,-4C.3,-7,4D.3,-7,-43.方程3x2-3=2x+1的二次项系数为,一次项系数为,常数项为.拓展提高4.p x2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程,则().A.p=1B.p>0C.pʂ0D.p为任意实数发散思维5.已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0.(1)m为何值时,此方程是一元一次方程?(2)m为何值时,此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程的二次项系数㊁一次项系数及常数项.2.2一元二次方程的解法2.2.1配方法(1)一㊁旧知链接1.对于方程x2=p.(1)当p>0时,根据平方根的意义,此方程有的实数根,即.(2)当p=0时,此方程有两个相等的实数根,即.(3)当p<0时,此方程实数根.2.解一元二次方程,实质上是把一元二次方程 降次 为两个一元一次方程,再解这两个一元一次方程.二㊁新知速递1.16的平方根是().A.4B.-4C.ʃ4D.ʃ82.下列方程中,不能根据平方根的意义求解的是().A.x2-5=0B.(x+2)2-3=0C.x2+4x=0D.(x+2)2=(2x+1)23.一元二次方程4(x-2)2=9的两个根分别是().A.ʃ32B.32,-1C.72,12D.-72,-121.若关于x的方程x2=m的解是有理数,则实数m不能取().A.1B.4C.14D.122.方程x2-3=0的根是().A.3B.-3C.ʃ3D.ʃ33.已知一元二次方程(x-3)2=1的两个解恰好分别是等腰әA B C的两条边长,则әA B C的周长是().A.8B.10C.9D.8或104.方程(x-1)2=0的解是().A.x1=1,x2=-1B.x1=x2=1C.x1=x2=-1D.x1=1,x2=-25.一元二次方程14x2=9的解是.6.若一元二次方程a x2-b x-2018=0有一根为x=-1,则a+b=.7.解下列方程:(1)(x-3)2-9=0;(2)(2x+3)2-25=0.第2章一元二次方程8.用平方根的意义解一元二次方程4(2x-1)2-25(x+1)2=0.解:移项,得4(2x-1)2=25(x+1)2.①根据平方根的意义,得2(2x-1)=5(x+1).②ʑx=-7.③上述解题过程,有无错误?如有,错在第几步,原因是什么?请写出正确的解答过程.基础训练1.下列方程能用直接开平方法求解的是().A.5x2+2=0B.4x2-2x+1=0C.(x-2)2=4D.3x2+4=22.方程(x-1)2=9的解是().A.x1=1,x2=-3B.x1=4,x2=-4C.x1=4,x2=-2D.x=33.若1是一元二次方程x2+x-m2=0的一个根,则m为.4.直接写出方程的解:①(x+1)2-9=0的解是;②(x-3)2=16的解是.5.解下列方程:(1)(x-3)2=(2x+1)2;(2)36-3x2=0.拓展提高6.对于方程(x+3)2=5,可转化成的两个一元一次方程为或.7.方程2(x-3)2-72=0的解是.8.若方程(x-2)2=a-5可用平方根的意义求解,则a的取值范围是.9.在实数范围内定义一种运算 җ ,其规则为aҗb=a2-b2,根据这个规则,求方程(x+2)җ5=0的解.发散思维10.自由下落的物体下落的高度h(米)与下落的时间t(秒)的关系为h=4.9t2,现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落,到达地面需要多少秒?y的方程14y2-c=0的根.第2章一元二次方程2.2.1配方法(2)一㊁旧知链接1.下列各式是完全平方式的是().A.x2+x+1B.x2+2x-1C.x2+2x+1D.x2-2x-12.解一元二次方程的基本思路是降次,方程x2+4x+4=1可以转化为(x+)2=1,然后利用平方根的性质进行降次.3.填空:(1)x2-2x+=(x-)2;(2)x2+6x+=(x+)2;二㊁新知速递1.将二次三项式x2+6x+7进行配方,正确的结果是().A.(x+3)2+2B.(x-3)2+2C.(x+3)2-2D.(x-3)2-22.若x2+p x+16是一个完全平方式,则p的值为.3.填空:(1)x2-5x+=(x-)2;(2)x2-3m x+=(x-)2.1.(2015㊃随州)用配方法解一元二次方程x2-6x-4=0,下列变形正确的是().A.(x-6)2=-4+36B.(x-6)2=4+36C.(x-3)2=-4+9D.(x-3)2=4+92.配方法解方程2x2-4x-6=0,变形正确的是().A.(x+2)2=10B.(x-2)2=10C.(x+1)2=4D.(x-1)2=43.用配方法解方程x2-2x-5=0时,原方程应变形为().A.(x+1)2=6B.(x-1)2=6C.(x+2)2=9D.(x-2)2=94.一元二次方程x(x-4)=-4的根是().A.x=-2B.x=2C.x=2或x=-2D.x=-1或x=25.若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m=.6.已知m是关于x的方程x2+x-1=0的一个根,则式子m3+2m2+2017的值为.7.用配方法解下列方程:(1)2y2-4y=4;(2)x2+3=23x.8.解下列方程:(1)x2+4x+2=0;(2)x2+6x-7=0;(3)x2-6x-6=0;(4)x2-2x-5=0.基础训练1.若代数式x 2+k x +9是完全平方式,则k 的值为( ).A .6B .-6C .ʃ6D .ʃ92.若方程x 2+k x +64=0的左边是完全平方式,则k 的值是( ).A .ʃ8B .16C .-16D .ʃ163.下列配方错误的是( ).A .x 2-2x -70=0化为(x -1)2=71B .x 2+6x +8=0化为(x +3)2=1C .x 2-3x -70=0化为x -32æèçöø÷2=7112D .x 2-2x -99=0化为(x -1)2=1004.一元二次方程x 2-2x -1=0的解是( ).A .x 1=x 2=1B .x 1=1+2,x 2=-1-2C .x 1=1+2,x 2=1-2D .x 1=-1+2,x 2=-1-25.用配方法解下列关于x 的方程:(1)x 2-x -6=0;(2)x 2=4x +12;(3)x 2+2=23x .拓展提高6.已知一元二次方程x 2+m x +3=0配方后为(x +n )2=22,那么一元二次方程x 2-m x -3=0配方后为( ).A .(x +5)2=28B .(x +5)2=19或(x -5)2=19C .(x -5)2=19D .(x +5)2=28或(x -5)2=287.已知三角形两边的长是3和4,第三边长是方程x 2-12x +35=0的根,则该三角形的周长为 .8.把方程x 2-12x +p =0配方,得到(x +m )2=49.(1)求常数p 与m 的值;(2)求此方程的解.9.已知:实数x ,y 满足(x +1)2=y 2-6y +9.(1)求y 与x 之间的关系式;(2)求(x -y +4)(2x +2y -4)的值.第2章一元二次方程发散思维10.先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题:例题:求代数式y2+4y+8的最小值.解:y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4.ȵ(y+2)2ȡ0,ʑ(y+2)2+4ȡ4.ʑy2+4y+8的最小值是4.请你仿照上述方法求代数式m2+m+4的最小值.11.阅读材料解答问题:为解方程(x2+2)2-2(x2+2)-3=0,可先将x2+2看成一个整体,设x2+2=y,则有y2-2y-3=0,配方得y2-2y+1=3+1,(y-1)2=4,ʑy1=3,y2=-1.当y=3时,x2+2=3,ʑx=ʃ1.当y=-1时,x2 +2=-1,x2=-3<0,ʑ此方程没有实数解,ʑ原方程的解为x1=1,x2=-1.请利用上述方法解方程:(x2 -2)2+3(x2-2)-4=0.2.2.1 配方法(3)一㊁旧知链接1.当k = 时,x 2-3x +k 是一个完全平方式.2.填空:x 2-43x + =(x - )2.3.方程x (x -2)=1的解为 .二㊁新知速递1.用配方法解方程2x 2-4x =3时,把二次项系数化为1,然后方程的两边都应加上( ).A .1B .2C .3D .52.将方程3x 2-12x -1=0进行配方,配方正确的是( ).A .3(x -2)2=5B .(3x -2)2=13C .(x -2)2=5D .(x -2)2=1333.利用配方法解一元二次方程:(1)2x 2+1=3x ;(2)2y 2-4y =4.1.用配方法解方程2x 2-3=-6x ,正确的解法是( ).A .x +32æèçöø÷2=154,x =-32ʃ152B .x -32æèçöø÷2=154,x =32ʃ152C .x +32æèçöø÷2=-154,原方程无解D .x +32æèçöø÷2=74,x =-32ʃ722.用配方法解下列方程时,变形错误的是( ).A .x 2+2x -1=0化为(x +1)2=2B .2x 2-7x -4=0化为x -74æèçöø÷2=8116C .x 2-2x -8=0化为(x -1)2=9D .3x 2-4x -2=0化为x -23æèçöø÷2=293.已知x ,y ,z 满足x 2-4x +y 2+6y +z +1+13=0,则代数式(x y )z的值是 .4.如果(x -y )2-2(x -y )+1=0,那么x 与y 的关系是 .5.已知实数x ,y 满足x 2+y 2+4x -6y +13=0,则y x的值是 .6.解下列方程:(1)3(y -1)2=75;(2)x 2-2x +1=5;(3)5(x -3)2-125=0第2章 一元二次方程7.用配方法解下列方程:(1)4x 2-4x +1=5;(2)2x 2-7x +6=0;(3)3x 2+8x -3=0.8.利用配方法解下列方程:(1)2x 2+4x =8;(2)2x 2-4x -1=0;(3)2x 2+2x -6=0.基础训练1.配方法解方程2x 2-43x -2=0,变形正确的是( ).A .x-13æèçöø÷2=89B .x -23æèçöø÷2=0C .x +13æèçöø÷2=109D .x -13æèçöø÷2=1092.(2017㊃唐山)一元二次方程x 2-6x -5=0配方后可变形为( ).A .(x -3)2=14B .(x -3)2=4C .(x +3)2=14D .(x +3)2=43.用配方法解下列方程时,配方错误的是( ).A .2m 2+m -1=0化为m +14æèçöø÷2=916B .2x 2+1=3x 化为x -34æèçöø÷2=116C .2t 2-3t -2=0化为t -32æèçöø÷2=2516D .3y 2-4y +1=0化为y -23æèçöø÷2=194.用配方法解下列方程:(1)2t 2-6t +3=0;(2)23x 2+13x -2=0;(3)(2x -1)2=x (3x +2)-7.拓展提高5.方程(2x -5)(x +2)=3x -5的根为( ).A .2ʃ142B .0或-1C.2ʃ142D.以上均不对6.把方程2x2+4x-1=0配方后,得(x+m)2=k,则m=,k=.7.已知y1=4x2+5x+1,y2=2x2-x,则当x=时,y1=y2.8.解下列方程:(1)3x2-2x-4=0;(2)6x+9=2x2.发散思维9.用配方法说明:不论x取何值,代数式3x2+3x的值总比代数式x2+7x-4的值大,并求出当x为何值时,两代数式的差最小.第2章 一元二次方程2.2.2 公式法一㊁旧知链接1.如果一元二次方程a x 2+b x +c =0(a ʂ0)能用公式法求解,那么必须满足的条件是( ).A .b 2-4a c ȡ0B .b 2-4a c ɤ0C .b 2-4a c >0D .b 2-4a c <02.一元二次方程a x 2+b x +c =0(a ʂ0)在b 2-4a c ȡ0的条件下,它的根为:x = ,(b 2-4a c ȡ0).我们通常把这个式子叫作一元二次方程a x 2+b x +c =0(a ʂ0)的求根公式.3.运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法叫作 .二㊁新知速递1.用公式法解方程-x 2+3x =1时,先求出a ,b ,c 的值,则a ,b ,c 依次为( ).A .-1,3,-1B .1,-3,-1C .-1,-3,-1D .-1,3,12.用公式法解方程3x 2+4=12x 时,下列代入公式正确的是( ).A .x =12ʃ122-3ˑ42B .x =12ʃ122ˑ3ˑ42ˑ3C .x =12ʃ122+3ˑ42D .x =-(-12)ʃ(-12)2-4ˑ3ˑ42ˑ33.用公式法解下列方程:(1)x 2-3x -1=0;(2)3x 2+6x -5=0.1.用公式法解x 2+3x =1时,先求出a ,b ,c 的值,则a ,b ,c 依次为( ).A .1,3,-1B .1,-3,-1C .1,-3,1D .1,3,12.一元二次方程x 2-x -2=0的解是( ).A .x 1=1,x 2=2B .x 1=1,x 2=-2C ..x 1=-1,x 2=-2D .x 1=-1,x 2=23.下列方程,有两个不相等的实数根的是( ).A .x 2=3x -8B .x 2+5x =-10C .7x 2-14x +7=0D .x 2-7x =-5x +34.方程x 2+3x =2的正根是( ).A .3+172B .3-172C .-3-172D .-3+1725.方程5x 2+1=5x 中的b 2-4a c = .6.用公式法解下列方程:(1)x 2-5x +2=0; (2)x 2=6x +1; (3)2x 2-3x =0.。
