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２０２３~２０２４学年度高三元月调考数学试卷参考答案一㊁选择题:１．B ㊀㊀２．C ㊀㊀３．A㊀㊀４．A㊀㊀５．C ㊀㊀６．B ㊀㊀７．B ㊀㊀８．A 二㊁选择题:９．B C ㊀㊀１０．A C D㊀㊀１１．A B D㊀㊀１２．A C D 三㊁填空题:１３．１１或１７㊀㊀㊀㊀㊀㊀１４．２３６,１３３éëêêöø÷１５．５６２３㊀㊀㊀㊀㊀１６．２＋１２四㊁解答题:１７．(１)已知２c o s B ＋C ()b c ＝c o s B a b ＋c o s C a c,由B ＋C ＝π－A ,有c o s B ＋C ()＝－c o s A ,所以－２c o s A b c ＝c o s B a b ＋c o s Ca c,两边同乘以a b c 得:－２a c o s A ＝c c o s B ＋b c o s C ．由正弦定理得:－２s i n A c o s A ＝s i n C c o s B ＋c o s C s i n B ＝s i n B ＋C ()＝s i n A ．由A ɪ０,π(),s i n A ʂ０,所以c o s A ＝－１２,A ＝２π３．(２)因为D 在B C 边上,且B D ＝３D C ,所以A D ң＝A B ң＋B D ң＝A B ң＋３４B C ң＝A B ң＋３４A C ң－A B ң()＝１４A B ң＋３４A C ң．因为D A ʅB A ,所以A D ң A B ң＝０,则１４A B ң＋３４A C ңæèçöø÷ AB ң＝０即A B ң２＋３AC ң A B ң＝０,得A Bң２＝－３A C ң A B ң c o s A ,所以c ２＝３２b c ,２c ＝３b ．不妨设b ＝２,c ＝３．在әA B C 中,由余弦定理:a ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ＝４＋９＋６＝１９,所以a ＝１９．由余弦定理:c o s C ＝a ２＋b ２－c ２２a b ＝１９＋４－９２ˑ１９ˑ２＝７１９３８．１８．(１)因为四边形A B C D 为平行四边形,且әA D E 为等边三角形,所以øB C E ＝１２０ʎ．又因为E 为C D 的中点,则C E ＝E D ＝D A ＝C B ,所以әB C E 为等腰三角形,可得øC E B ＝３０ʎ,øA E B ＝１８０ʎ－øA E D －øB C E ＝９０ʎ,即B E ʅA E ,因为平面A P E ʅ平面A B C E ,平面A P E ɘ平面A B C E ＝A E ,B E ⊂平面A B C E ,则B E ʅ平面A P E ,且A P ⊂平面A P E ,所以A P ʅB E ．１(２)作P O ʅA E ,过O 作O y ʊEB ,由面A P E ʅ面A BC E 得P O ʅ面A B CE则O A ,O y ,O P 两两垂直,建立如图所示空间直角坐标系．P (０,０,３),A (１,０,０),E (－１,０,０)B (－１,２３,０),C (－２,３,０)设平面P A C 的一个法向量为 m ＝(x １,y １,z １)由 m P A ң＝０ m A C ң＝０{知x １＝３z １y １＝３x １{可取 m ＝(３,３,１)同理得平面P B E 的一个法向量 n ＝(－３,０,１)．设平面P A C 与平面P B E 的夹角为θ．则c o s θ＝mn | m ||n |＝－３＋１１３ˑ２＝１３１３．ʑ面P A C 与面P B E 夹角的余弦值为１３１３．１９．(１)函数f x ()＝e －a ()e x ＋x a ɪR (),x ɪR ,则f ᶄ(x )＝(e －a )e x＋１,当e －a ȡ０,即a ɤe 时,f ᶄ(x )＞０恒成立,即f (x )在R 上单调递增;当e －a ＜０,即a ＞e 时,令f ᶄ(x )＝０,解得x ＝－l n (a －e),x(－¥,－l n (a －e))－l n (a －e )(－l n (a －e ),＋¥)fᶄ(x )＋０－f (x )↗极大值↘综上所述,当a ɤe 是,f (x )在R 上单调递增;当a ＞e 时,f (x )在(－¥,－l n (a －e ))上单调递增,在(－l n (a －e ),＋¥)上单调递减．(２)f (x )ɤλa 等价于(e －a )e x ＋x －λa ɤ０,令h (x )＝(e －a )e x＋x －λa ,当a ɤe 时,h (１＋λa )＝(e －a )e １＋λa ＋１＞０,所以h (x )ɤ０不恒成立,不合题意．当a ＞e 时,f (x )ɤλa 等价于λa ȡf (a )m a x ,由(１)可知f (x )m a x ＝f (－l n (a －e ))＝－１－l n (a －e ),所以λa ȡ－１－l n (a －e ),对a ＞e 有解,所以λȡ－１－l n (a －e)a对a ＞e 有解,因此原命题转化为存在a ＞e ,使得λȡ－１－l n (a －e)a．令u (a )＝－l n (a －e )－１a,a ＞e ,则λȡu (a )m i n ,u ᶄ(a )＝－a a －e －l n (a －e )a ２＋１a ２＝l n (a －e )－ea －ea２,２令φ(a )＝l n (a －e )－e a －e ,则φᶄ(a )＝１a －e ＋e(a －e)２＞０,所以φ(a )在(e ,＋¥)上单调递增,又φ(２e )＝－e ２e －e ＋l n (２e －e )＝０,所以当e ＜a ＜２e 时,φ(a )＜０,u ᶄ(a )＜０,故u (a )在(e ,２e )上单调递减,当a ＞２e 时,φ(a )＞０,u ᶄ(a )＞０,故u (a )在(２e ,＋¥)上单调递增,所以u (a )m i n ＝u (２e )＝－１e ,所以λȡ－１e ,即实数λ的取值范围是－１e ,＋¥éëêêöø÷．２０．(１)设b n ＝a n ＋－１()n ,则b １＝－１,b n ＋１＝a n ＋１＋－１()n ＋１＝－a n ２＋１２－１()n －－１()n ＝－a n２－１２－１()n ＝－１２b n ．因此数列a n ＋－１()n{}是首项为－１,公比为－１２的等比数列,且a n ＋－１()n＝－－１２æèçöø÷n －１．(２)由(１),a n ＝－１()n －１－－１２æèçöø÷n －１,所以S n ＝１－－１()n １－－１()－１－－１２æèçöø÷n１－－１２æèçöø÷＝－１６－１２－１()n ＋２３－１２æèçöø÷n．取数列r n ＝－２３－１２æèçöø÷n ,则r n {}是等比数列,并且S n ＋r n ＝－１６－１２－１()n ．因此集合S n ＋r n |n ɪN ∗{}＝－２３,１３{}．所以数列S n {}具有P ２()性质．２１．解:(１)n ＝３㊀即３次摸换球后ξ的可能取值为１,２,３当ξ＝１㊀即３次摸球都摸到黑球P (ξ＝１)＝１３ˑ１３ˑ１３＝１２７当ξ＝２㊀即３次摸球中有且仅有２次摸到黑球,１次白球P (ξ＝２)＝P (黑黑白)＋P (黑白黑)＋P (白黑黑)＝１３ˑ１３ˑ２３＋１３ˑ２３ˑ２３＋２３ˑ２３ˑ２３＝１４２７当ξ＝３㊀即３次摸球中有且仅有１次摸到黑球,２次白球P (ξ＝３)＝P (黑白白)＋P (白黑白)＋P (白白黑)＝１３ˑ２３ˑ１３＋２３ˑ２３ˑ１３＋２３ˑ１３ˑ１＝１２２７３ʑ分布列为ξ１２３P１２７１４２７１２２７(２)n ＝k (k ȡ３)时,即k 次摸球换球后,黑球个数ξ可能取值为１,２,３同(１)当ξ＝１,即k 次摸球都摸到黑球P (ξ＝１)＝(１３)k当ξ＝２,即k 次摸球有且仅有 k －１ 次摸到黑球,１次摸到白球P (ξ＝２)＝P (白黑 黑)＋P (黑白黑 黑)＋ ＋P (黑黑 黑白)＝２３ˑ(２３)k －１＋１３ˑ２３ˑ(２３)k －２＋ ＋(１３)k －１ˑ２３＝１３k (２k ＋２k －１＋ ＋２)＝１３k２(１－２k)１－２＝２ ２k －１３k当ξ＝３,P (ξ＝３)＝１－P (ξ＝１)－P (ξ＝２)＝１－(１３)k －２(２k－１)３k＝１－２k ＋１－１３kʑE ξ＝(１３)k ＋４(２k －１)３k ＋３－３(２k ＋１－１)３k ＝３－２ ２k３k＝３－２(２３)k２２．(１)设M (x ０,y ０),A (x １,y １),B (x ２,y ２)．则切线MA 方程为y －y １＝x １２(x －x １)整理得x １x ＝２(y ＋y １)同理,M B 方程为x ２x ＝２(y ＋y ２)又M 在MA ,M B 上ʑx １x ０＝２(y ０＋y １)x ２x ０＝２(y ０＋y ２){ʑl A B :x ０x ＝２(y ０＋y )ȵM (x ０,y ０)在x ２＝４(y ＋１)上㊀㊀ʑy ０＝x ０２４－１４ʑl A B :x ０x ＝２(y ＋x ０２４－１)(２)设l M F :y ＝k x ＋１,D (x ３,y ３)联立y ＝k x ＋１x ２＝４(y ＋１){㊀ʑx ２－４k x －８＝０㊀ʑx ０＋x ３＝４k x ０x ３＝－８{ʑ|MD |＝１＋k ２|x ０－x ３|＝１＋k ２１６k ２＋３２＝４１＋k ２k ２＋２设A ㊁B 到l M F 的距离为d １㊁d ２．则d １＋d ２＝|k x １－y １＋１|１＋k ２＋|k x ２－y ２＋１|１＋k ２＝|k (x １－x ２)－(y １－y ２)|１＋k ２＝k (x １－x ２)－x １２－x ２２４１＋k ２＝|x １－x ２|４１＋k２|４k －(x １＋x ２)|联立x ２＝４yx ０x ＝２(y ０＋y ){㊀㊀ʑx ２－２x ０x ＋４y ０＝０㊀㊀ʑx １＋x ２＝２x ０x １x ２＝４y ０{ʑd １＋d ２＝４x ０２－１６y ０４１＋k ２|４k －２x ０|＝２|２k －x ０|１＋k２,(其中４x ０２－１６y ０＝４ˑ４(y ０＋１)－１６y ０＝２)ʑS 四边形M A D B ＝１２|MD |(d １＋d ２)＝２１＋k ２２＋k ２ ２|２k －x ０|１＋k ２＝４２＋k ２|２k －x ０|又x ０２＝４(y ０＋１)(y ０＞０)k ＝y ０－１x ０ìîíïïïï㊀ʑk ＝x ０２－８４x ０代入得ʑS 四边形M A D B ＝４２＋１１６(x ０－８x ０)２x ０２－８２x ０－x ０＝１２(x ０－８x ０)２＋３２ x ０＋８x ０＝１２(x ０＋８x ０)２ȡ１２(２８)２＝１６当且仅当x ０＝２２,即M (２２,１)取最小值．５。