【雨神初三全3】二次函数手写大招笔记-2(终结篇)

中考数学二次函数超全知识点记忆口诀1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121一次函数与反比例函数考点一、平面直角坐标系 （3分） 1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ，，是常数,0a ≠）的函数,叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数,b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式()2y a x h k =-+的性质：a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

三、二次函数图象的平移1. 平移步骤: 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处,具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2。

平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减,上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移：向上（下)平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图。

初三数学二次函数知识点归纳在初中数学的学习中，二次函数是一个重要的内容，也是进一步深入学习代数的基础。

学好二次函数的性质和运用对于学生的数学能力的提升至关重要。

下面将对初三数学中二次函数的知识进行归纳总结。

一、二次函数及其图象的性质1. 二次函数的定义二次函数是一个以x的二次幂作为最高次幂的多项式函数，一般的二次函数表达式为： y = ax^2 + bx + c （其中 a, b, c 为常数且 a ≠ 0）。

2. 二次函数图象的平移二次函数图象的平移可以通过改变 a, b 和 c 的值来实现。

当将 a 的值变为 a'，则图象的开口方向和大小会有相应的改变；当将 b 的值变为 b'，则图象在 x 轴方向上平移；当将 c 的值变为 c'，则图象在y 轴方向上平移。

3. 二次函数图象的对称轴二次函数图象的对称轴是一个线段，记作 x = -b/2a，对称轴将图象分为两个对称的部分。

4. 二次函数的顶点二次函数的顶点就是图象的最高点或最低点，所有的二次函数图象都有一个顶点。

5. 二次函数图象的开口方向二次函数图象的开口方向由二次项的系数 a 的正负决定。

当 a > 0 时，图象开口向上；当 a < 0 时，图象开口向下；当 a = 0 时，不再是二次函数。

二、二次函数的求解1. 二次函数的零点二次函数的零点是指函数曲线与 x 轴相交的点，也就是函数的根。

求解二次函数的零点可以通过以下步骤进行：首先，将函数表达式设置为 y = 0；然后，应用求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) 计算 x 的值。

2. 二次函数的最值二次函数的最值通过求解顶点来确定。

当a > 0 时，函数有最小值，且最小值为顶点的纵坐标；当 a < 0 时，函数有最大值，且最大值为顶点的纵坐标。

三、二次函数的应用1. 抛物线二次函数的图象通常被称为抛物线。

初三数学 二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念： 一般地，形如 y ax 2bx c a ，b ，c是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。

这（里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数 y ax 2bx c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式 y a x h2k 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴性质ah ，kxh 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随向上X=hx 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ．ah ，kxh 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随向下X=hx 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h 2h ，k ；k ，确定其顶点坐标 ⑵ 保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 (h<0)】 向右 ( h>0) 【或左 ( h<0) 】 向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】平移 |k|个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 ( k>0) 【或下 ( k<0) 】平移 |k|个单位y=a( x-h)22向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a (x-h) +k2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴ yax 2 bx c 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 m 个单位， y ax 2 bx c 变成y ax 2bx c m （或 y ax 2bx c m ）⑵ y ax 2bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，y ax2bx c 变成y a( x m)2b(x m) c （或 y a(x m) 2b( x m ) c ）四、二次函数 y a x2k 与 y2bx c 的比较h ax从解析式上看，y a x h 2ax2bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前k 与 y2b2b，k4ac b 2者，即 y a x b4ac，其中 h．2a4a2a4a五、二次函数 y ax2bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c 化为顶点式y a(x h)2k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点0，c、以及 0 ，c关于对称轴对称的点2h ，c、与 x 轴的交点x1，0， x2，0 （若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数 y ax2bx c 的性质1. 当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b，顶点坐标为 b ，4ac b2．2a2a4a当x b时， y 随 x 的增大而减小；当x b时， y 随 x 的增大而增大；当x b时， y 有最小2a2a2a值4ac b24a．2. 当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x b，顶点坐标为 b ，4ac b 2．当 x b时， y 随2a2a4a2ax的增大而增大；当x b时， y 随 x 的增大而减小；当x b时， y 有最大值4ac b2．2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y ax 2bx c （a， b ，c为常数， a0 ）；2.顶点式：y a(x h)2k （a， h ， k 为常数， a0 ）；3.两根式：y a(x x1 )( x x2 ) （ a 0 ， x1， x2是抛物线与x轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b24ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 .八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a二次函数y ax2bx c 中，a作为二次项系数，显然 a 0 ．a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2.一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．ab 的符号的判定：对称轴 xb0 ，在y轴的右侧则 ab0 ，概括的说就是在 y 轴左边则ab2a“左同右异”3. 常数项c c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程 ax2bx c 0 是二次函数 y ax2bx c 当函数值 y0 时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数：① 当b24ac0 时，图象与x轴交于两点 A x1，0，B x2，0(x1x2 ) ，其中的 x1，x2是一元二次方程 ax2bx c 0 a0 的两根．这两点间的距离 AB x2x1 b 24ac .②当0 时，图象与x轴只有a一个交点；③ 当0 时，图象与x轴没有交点 .1'当 a0时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y0； 2' 当a 0时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有y 0．2. 抛物线 y ax2bx c 的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0 ， c) ；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数y ax2bx c 中a， b ，c的符号，或由二次函数中 a ，b， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数y ( m 2)x 2m2m 2 的图像经过原点，则m的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数 y kx b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y kx 2bx 1 的图像大致是（）y y y y110x-1 o x0 x0 1 xA B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)， (4,6) 两点，对称轴为x 5，求这条抛物线的解析式。

九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料)九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料)二次函数知识点总结一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a≠0），则称y为x的二次函数。

二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0），此时抛物线的顶点坐标为P（h，k）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）仅用于函数图像与x轴有两个交点时，x1、x2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A（x1，0）和B（x2，0）），对称轴所在的直线为x=注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：x1x22bb4ac-b2-bb2-4ach=-，k=；x1,x2=；x1+x2=-2a2a4a2a三、二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。

四、抛物线的性质1．抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-b，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点2aP。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）bb4ac-b24ac-b22．抛物线有一个顶点P，坐标为P（-，）。

当x=-时，y最值=，当a>02a2a4a4a时，函数y有最小值；当a6．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x 轴交点个数与方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。

Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x 轴没有交点，对应方程没有实数根。

五、二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. (5）抛物线 y ax2 bx c 中， a,b, c 的作用 ① a 决定开口方向及开口大小，这与 y ax2 中的 a 完全一样.
② b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是直线 xx2 2
x1 x2 2 4x1x2
b 2 4c a a
b2 4ac
a
a
知识点四：利用二次函数解决实际问题
7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利
用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研
二次函数 y ax2 bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1、 x2 ,是对应一元二次方 程 ax2 bx c 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的 根的判别式判定： ①有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交； ②有一个交点（顶点在 x 轴上） 0 抛物线与 x 轴相切； ③没有交点 0 抛物线与 x 轴相离. （4)平行于 x 轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点。当有 2 个交点时,两交点的纵坐标 相等，设纵坐标为 k ,则横坐标是 ax2 bx c k 的两个实数根。
的图象
的解
方程有两个相等实数 方程有两个不等实数
解 解
方程没有实数解
6。拓展：关于直线与抛物线的交点知识
(1） y 轴与抛物线 y ax2 bx c 得交点为 (0, c) 。 (2)与 y 轴平行的直线 x h 与抛物线 y ax2 bx c 有且只有一个交点（ h ， ah 2 bh c ). （3）抛物线与 x 轴的交点

初三数学二次函数知识点总结一、 二次函数概念：21•二次函数的概念：一般地，形如y ax bx c( a ,b ,。

是常数，a 0)的函数，叫做二次函数。

里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0，而b , c 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2.二次函数y ax 2 bx c 的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2.⑵a ,b ,c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项.二、 二次函数的基本形式2二次函数的基本形式 y ax h k 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0向上h , kX=hx h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随 x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k .a 0向下 h , k X=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k .三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：2方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ，确定其顶点坐标 h , k ；⑵保持抛物线y ax 2的形状不变，将其顶点平移到h , k 处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上 ’h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二： ⑴y ax 2bx c 沿y 轴平移：向上(下)平移 m 个单位，y y=ax 2向右(h>0)【或左(h<0)]平移|k|个单位y=a(x h)22y=a (x-h)2+k2 ax bx c 变成向上(k>0)【或下(k<0)] 向右(h>0)【或左(*0)]平移|k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)] 平移|k|个单位向上(k>0)【或向下y2ax bx cm (或y 2ax bx cm )⑵ y ax 2bxc 沿轴平移:向左（右）平移 m个单位，yax 2 bx c 变成y a(x m)2 b(x m)c (或 y a(xm)2b(x m) c )x 的增大而增大；当 x 一时，y 随x 的增大而减小；当x2a七、 二次函数解析式的表示方法21. 一般式：y ax bx c （ a , b , c 为常数，a 0）; 2•顶点式：y a （x h ）2 k （ a , h , k 为常数，a 0）;3. 两根式：y a （x xj （x X 2） （ a 0 ,论,x ?是抛物线与x 轴两交点的横坐标）•注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与x轴有交点，即b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式 的这三种形式可以互化•八、 二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y ax 2 bx c 中，a 作为二次项系数，显然 a 0 . a 决定了抛物线开口的大小和方向，a四、二次函数y 2a x hk 与 y ax 2bx从解析式上看， y a x h $ k 与 y2ax 者, 即 y a x —24ac b ，其中h b2a4a2ac 的比较 C 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前24ac b 4a二次函数 y axbx c 图象的画法五点绘图法： 对称轴及顶点坐标， 的交点0, c 、以及0, c 关于对称轴对称的点没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）利用配方法将二次函数 y然后在对称轴两侧，2 2ax bx c 化为顶点式y a （x h ）左右对称地描点画图•一般我们选取的五点为：2h ，c 、与x 轴的交点 x 1，0 ， x 2，k ，确定其开口方向、顶点、与y 轴 0 （若与x 轴画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、 二次函数y ax 2 bx c 的性质1•当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为诗，顶点坐标为b 4ac b 22a ' 4ax —时，y 随x 的增大而减小；当 2a 值4ac 『.4a舟时，y 随x 的增大而增大；当—2a时，y 有最小2•当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为—，顶点坐标为 2ab 4ac b 2 2a' 4a一时，y 随 2ay 有最大值4ac b 2 4abx 2，k的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴.b、ab 的符号的判定：对称轴 x在y 轴左边则ab 0，在y 轴的右侧则ab 0 ,概括的说就是2a“左同右异” 3. 常数项cc 决定了抛物线与 y 轴交点的位置.总之，只要a, b , c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的. 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法•用待定系数法求二次函数的解析式必须根 据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程ax 2 bx c 0是二次函数y ax 2 bx c 当函数值y 0时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：①当 b 2 4ac 0时，图象与x 轴交于两点, 0 , B x ?, 0 （论x ?），其中的人,x ?是一元二次方交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如:已知以x 为自变量的二次函数 y （m 2）x 2 m 2 m 2的图像经过原点，则m 的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查 两个函数的图像，试题类型为选择题，如：程 ax 2 bx c0的两根.这J b 2 4ac .②0时，图象与x 轴只有一个交点；③0时，图象与x 轴没有交点.1'当a 0时,图象落在 x 轴的上方，无论x 为任 何实数，都有0 ； 2'当a 0时，图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数，都有2. 抛物线y3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶根据图象的位置判断二次函数断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称， 2axbx c 的图象与2ax bx c 中a ， b ， c 的符号，或由二次函数中a ，b ， 可利用这一性质， 求和已知一点对称的点坐标， 或已知与c 的符号判 x 轴的一个如图，如果函数y kx b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y kx2 bx 1的图像大致是（3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选 拔性的综合题，如：5已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x，求这条抛物线的解析式。

二次函数知识点九年级
二次函数是初中数学中的重要内容之一，以下是九年级二次函数知识点的总结：
1. 二次函数的定义：形如f(x)=ax^2+bx+c (a≠0)的函数称为二次函数。

其中a、b、c为常数，且a≠0。

2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一个抛物线，其形状由
a、b、c的值决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3. 二次函数的性质：二次函数具有以下性质：对称轴为x=-frac{b}{2a};顶点坐标为(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a});最大值或最小值为f(\frac{b}{2a})=\frac{4ac-b^2}{4a}$。

4. 二次函数的应用：二次函数在实际生活中有很多应用，例如计算物体的最大高度、最远距离等。

此外，二次函数还可以用于解决一些实际问题，例如求最大利润、最小成本等。

初三二次函数总结版(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初三二次函数总结版(word 版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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授课时间： 5月26日 授课地点：东岗路 年级：初三 课型：一对一 上课人数：1课题:二次函数概念、性质、对称、平移、图像教学目标：1。

掌握二次函数的概念及其考察方式2.掌握二次函数的性质及其与各系数的关系3.掌握二次函数的对称和平移,会用平移解化计算4.掌握二次函数图像的相关题型解题原理教学过程：一、 二次函数概念的考查（二次项系数不能为零）例1：函数f （x ）与x 轴有且只有一个焦点，求未知量的取值范围；(先通过例题引入）二、二次函数三个系数的作用（简单分析）三、 二次函数解析式的确定思路---———先介绍三种方法(一）三点式。

例：已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3,0），B （32，0）,C(0,-3)三点，求抛物线的解析式。

(二）顶点式.例：已知抛物线y= x 2-2ax+ a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式.（三)交点式。

例:已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0）,（1，0）求抛物线y=21a(x —2a)(x-b)的解析式.（四）定点式。

例:在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线2225212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ，直线2)2(+-=x a y 经过点Q ，求抛物线的解析式.（五）平移式.例：将抛物线32-+-=x x y 向上平移，使平移后的抛物线经过点C （0,2),求平移后抛物线的解析式.（六）距离式。

初三数学二次函数知识点总结归纳二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y 轴平行或重合于y轴的抛物线，如果令y值等于零，则可得一个二次方程。

下面是小编为大家整理的关于初三数学二次函数知识点总结，希望对您有所帮助!初三数学二次函数知识点总结1二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数.如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函数.注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式;(2)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数;(3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数;(4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x，故它不是二次函数.2二次函数解析式的几种形式(1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).(3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点3二次函数y=ax2+c的图象与性质(1)抛物线y=ax2+c的形状由a决定，位置由c决定.(2)二次函数y=ax2+c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴.当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y 最小值=c.在y轴左侧，y随x的增大而减小;在y轴右侧，y随x增大而增大.当a<0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y 最大值=c.在y轴左侧，y随x的增大而增大;在y轴右侧，y随x增大而减小.(3)抛物线y=ax2+c与y=ax2的关系.抛物线y=ax2+c与y=ax2形状相同，只有位置不同.抛物线y=ax2+c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到.当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动.初三二次函数知识点总结1二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

九年级上册数学知识点二次函数九年级上册数学知识点二次函数精选2篇（一）九年级上册数学的知识点二次函数包括以下内容：1. 二次函数的定义：二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。

2. 二次函数的图像特征：二次函数的图像一般是一个开口朝上或朝下的抛物线。

当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。

3. 二次函数的顶点：二次函数的顶点是抛物线的最低点（对于开口朝上的抛物线）或最高点（对于开口朝下的抛物线）。

顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = f(-b/2a)。

4. 二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是经过顶点且与抛物线垂直的直线。

对称轴的方程为x = -b/2a。

5. 二次函数的零点：二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点，即使得f(x) = 0的x值。

二次函数一般有两个零点。

6. 二次函数的判别式：二次函数的判别式是b^2 - 4ac。

判别式的值决定了二次函数的图像与x轴的相交情况：当判别式为正时，函数图像与x轴有两个交点，即有两个不同的实数根；当判别式为零时，函数图像与x轴有一个交点，即有一个重根；当判别式为负时，函数图像与x轴没有交点，即无实数根。

7. 二次函数的求解：用二次函数的零点和其他已知条件可以求得函数的具体表达式。

可以通过配方法、因式分解、公式法等来求解二次函数。

这些是九年级上册数学中关于二次函数的主要知识点，了解并掌握这些内容可以帮助你正确理解和应用二次函数。

九年级上册数学知识点二次函数精选2篇（二）九年级上册物理知识点（北师大版）主要包括以下内容：1. 物理学科的基本概念和基本原理：介绍物理学的定义、研究对象、基本方法，并介绍了物理学中的基本物理量和其相互关系。

2. 运动的描述和测量：介绍了力、质量、速度、加速度等基本物理量的概念和计算方法，以及如何选择适当的物理量进行描述和测量。

3. 力的作用和效应：介绍了力的作用和效应的基本概念，如受力物体的力学平衡、力的合成与分解等。

★二次函数知识点汇总★1. 定义：一般地，假如y ax 2bx c(a,b, c 是常数， a 0) ，那么y叫做 x 的二次函数 .2.二次函数y ax2的性质(1) 抛物线y ax （a0）y轴.(2)y ax22的极点是坐标原点，对称轴是函数的图像与 a 的符号关系.①当 a 0 时抛物线张口向上极点为其最低点；②当a0时抛物线张口向下极点为其最高点3.二次函数y ax 2bx c 的图像是对称轴平行于( 包含重合 ) y轴的抛物线 .4.二次函数y ax 2bx c 用配方法可化成：y a x h 2k 的形式，此中hb， k 4 ac b 2.2 a 4 a5.二次函数由特别到一般，可分为以下几种形式：① y ax 2；② y ax 2k ；③ y a x h 2；④ y a x h 2k ；⑤ y ax 2bx c .6.抛物线的三因素：张口方向、对称轴、极点.①a 决定抛物线的张口方向：当 a 0 时，张口向上；当 a 0 时，张口向下； a 相等，抛物线的张口大小、形状同样 .②平行于y 轴(或重合)的直线记作x h .特别地，y 轴记作直线x 0.7.极点决定抛物线的地点 . 几个不一样的二次函数，假如二次项系数a同样，那么抛物线的张口方向、张口大小完整同样，不过极点的地点不一样 .8. 求抛物线的极点、对称轴的方法b 22b 4ac b2(1) 公式法：y ax2bx c4ac ba x4a，∴极点是 （2a，），对称2a4a轴是直线 xb.2a(2) 配方法：运用配方法将抛物线的分析式化为y a x h 2 k 的形式，获得极点为 ( h , k ) ，对称轴是 xh .(3) 运用抛物线的对称性：因为抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，因此对称轴的连线的垂直均分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是极点 .★用配方法求得的极点，再用公式法或对称性进行考证，才能做到万无一失★9. 抛物线 y ax 2 bx c 中， a,b,c 的作用(1) a 决定张口方向及张口大小，这与 y ax 2 中的 a 完整同样 .(2)b 和 a 共同决定抛物线对称轴的地点. 因为抛物线 y ax 2 bx c 的对称轴是直线 xb, 故：2a① b0 时，对称轴为 y 轴；② b0 ( 即 a 、b 同号 ) 时, 对称轴在 y 轴左边；a③ b0 ( 即 a 、 b 异号 ) 时, 对称轴在 y 轴右边 .a(3)c 的大小决定抛物线 y ax 2bxc 与 y 轴交点的地点 .当 x0时， y c ，∴抛物线 yax 2 bx c 与 y 轴有且只有一个交点(0 ，c ) ：① c0 ，抛物线经过原点 ; ② c 0 , 与 y 轴交于正半轴； ③ c 0 , 与 y 轴交于负半轴 .以上三点中，当结论和条件交换时，仍建立. 如抛物线的对称轴在 y 轴右边，则b0 .a10. 几种特别的二次函数的图像特点以下：函数分析式张口方向 对称轴极点坐标y ax 2x 0 ( y 轴 )(0,0) y ax 2 k 当 a0 时0 ( y 轴 )(0,k )xya xh 2张口向上( h ,0)xhy a x h 2当 a0 时( h , k )kx h张口向下b (b 4acb 2yax 2bx cx2a2a ，)4a11. 用待定系数法求二次函数的分析式(1) 一般式： yax 2 bx c . 已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，往常选择一般式 .(2) 极点式： y a x h 2 k . 已知图像的极点或对称轴，往常选择极点式 .(3) 交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 1 、 x 2 ，往常采用交点式：ya x x 1 x x 2 .12. 直线与抛物线的交点(1) y 轴与抛物线 y ax 2 bx c 得交点为 ( 0 , c )(2) 与 y 轴平行的直线x h 与抛物线y ax 2bxc 有且只有一个交点(h ,ah 2bhc ).(3) 抛物线与 x 轴的交点二次函数y ax 2bx c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax 2bx c 0的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点状况能够由对应的一元二次方程的根的鉴别式判断：①有两个交点0抛物线与 x 轴订交；②有一个交点 ( 极点在x轴上 )0 抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与 x 轴相离.(4)平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同 (3) 同样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2bx c k 的两个实数根.(5) 一次函数y kx n k0 的图像l 与二次函数y ax 2bx c a0 的图像G 的交点，由方程组y kx n的解的数量来确立：y ax 2bx c①方程组有两组不一样的解时l 与 G 有两个交点;②方程组只有一组解时l 与 G 只有一个交点；③方程组无解时l 与 G 没有交点.(6) 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax2bx c 与 x 轴两交点为 A x1，0 ，B x2，0，因为 x1、x2是方程 ax 2bx c0 的两个根，故x1x2b,x1 x2ca a2b2AB x x2x x2x x 24x x2b4c4ac112121a a a a13．二次函数与一元二次方程的关系：(1) 一元二次方程y ax2bx c 就是二次函数y ax 2bx c 当函数y 的值为 0 时的状况．(2)二次函数y ax 2bx c 的图象与x 轴的交点有三种状况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y ax 2bx c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y 0 时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2bx c0 的根．(3)当二次函数 y ax 2 bx c 的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程 y ax 2bx c 有两个不相等的实数根；当二次函数 y ax 2bx c 的图象与 x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2bx c0 有两个相等的实数根；当二次函数y ax 2bx c 的图象与 x 轴没有交点时，则一元二次方程 ax 2bx c0 没有实数根14.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这种问题实质上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包含以下方面：剖析和表示不一样背景下实质问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实质问题中的最大(小)值．15.解决实质问题时的基本思路： (1) 理解问题； (2) 剖析问题中的变量和常量； (3) 用函数表达式表示出它们之间的关系；(4) 利用二次函数的相关性质进行求解；(5) 查验结果的合理性，对问题加以拓展等．。

【数学知识点】初三二次函数知识点总结梳理二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c(a≠0)二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。

它的定义是一个二次多项式(或单项式)。

如果令y值等于零，则可得一个二次方程。

该方程的解称为方程的根或函数的零点。

一般式：y=ax²+bx+c (a≠0)顶点式：y=a(x-h)²+k 顶点坐标为(h,k)交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂) 函数与图像交于(x₁，0)和(x₂，0)二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)推导过程：y=ax^2+bx+cy=a(x^2+bx/a+c/a)y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4ay=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)1.二次函数图像是轴对称图形，对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P。

a,b同号，对称轴在y轴左侧; a,b异号，对称轴在y轴右侧。

2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)。

3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

当a>0时，二次函数图象向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

4.二次函数图像与y轴交于(0,C)点注意：顶点坐标为(h,k)，与y轴交于(0,C)。

加左减右，加上减下。

y=a(x+b)²+c，只要将y=ax²的函数图像按以下规律平移。

(1)b>0时，图像向左平移b个单位(加左)。

(2)b<0时，图像向右平移b个单位(减右)。

(3)c>0时，图像向上平移c个单位(加上)。