线面直线所成的角

1 专题二：直线与平面所成角的求法

直线与平面所成角是空间三大角之一，它既是教与学的难点，又是高考的热点，为帮助同学们学好这一内容，本文系统介绍求直线与平面所成角的常用方法。

【复习回顾】1、直线和平面所成角的定义及范围：

求直线和平面所成角的步骤：

一、直接法

直接法就是根据斜线与平面所成角的定义，直接作出斜线在平面内的射影，则斜线与射影所成角就是斜线与平面所成角，这是解题时首先要考虑的方法，直接法的关键是确定斜线在平面内的射影，下列结论常作为找斜线在平面内射影的依据。

（1）定理：一条直线与一个平面内的 直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

（2）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线与另一个平面垂直。

（3）三垂线定理：在 的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和这条斜线垂直。

（4）三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这个斜线的射影垂直。

(5) （教材P23〃例4）如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在平面内的射影在这个角的平分线上。

（6）（教材P25〃T6）经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，设它和已知角的两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在平面的射影是这个角的平分线。

（7）若三棱锥的三条侧棱相等，则其顶点在底面上的射影是底面三角形的 。

例1、已知正四面体ABCD中，E为AD的中点，求EC与平面BCD所成角的大小。

2

例2、如图2，在正方体中，E、F分别是AB与的中点，求与平面所成角的大小。

图2

总结：直接法的关键在于确定斜线在平面上的射影，一般用以下几种方法来确定：

（1）利用几何体本身的特殊性，如正棱锥的顶点在底面上的射影在底面中心上；三条侧棱相等的三棱锥的顶点在底面上的射影在底面外心等。

第 1 页 共 2 页 直线与平面所成的角

1、直线和平面所成的角，应分三种情况：

（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；

（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；

（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．

显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．

2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：

（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；

（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；

（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．

（4）答﹣﹣回答求解问题．

在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．

3、斜线和平面所成角的最小性：

斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．

用空间向量直线与平面所成角的求法：

（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内 第 2 页 共 2 页 的射影，通过解直角三角形求得．

- 1 - 线面所成角公式

每个人对几何学的理解都不完全相同，但都会看到几何学中的基本概念与公式。比如，线面所成角公式就是几何学中的重要公式之一。

线面所成角公式又称线棱关系，指的是两条直线形成一个面，从而形成一个几何体，这个几何体就是线面所成角。线面所成角公式就是用来描述这种线棱关系的。

线面所成角公式描述的线棱关系，包括两个层面：一个是表面关系，即线棱的视觉关系，另一个是数学关系，即线棱的空间几何关系。就表面关系而言，线棱的视觉关系指的是一个平面上两条直线形成的角度，也就是线棱所成角的视觉关系；就数学关系而言，线棱的空间几何关系，是指一个空间中三维直线形成的角度，也就是线棱所成角的数学表征。

线面所成角公式描述了线棱关系，用数学表示可以表示为：若有两条直线 l和 l所成角，则有：cosθ = (ll)/(|l||l|)，其中表示点乘运算，||表示绝对值运算。也就是说，只要知道两条直线的点乘结果与绝对值运算结果，就可以求出它们所形成角度的余弦值，这就是线面所成角公式。

线面所成角公式应用非常广泛，多用于几何学中，比如多边形几何学中，就常常会用线面所成角公式计算多边形内角相关的参数。此外，线面所成角公式还应用于曲线几何学中，比如计算曲线上两点和余弦值相关的参数，常常就会借助线面所成角公式。

当然，线面所成角公式还可以用于三维几何学中，比如计算多种 - 2 - 几何体的表面积、体积等，都可以利用线面所成角公式。另外还可以用于物理场景中，比如天文学中求取行星自转轨道，利用线面所成角公式可以更精确地求取轨道相关参数。

综上所述，线面所成角公式是一个重要的几何学公式，既可以应用到几何学中，也可以应用到物理学中，为我们理解和研究几何学和物理学景况提供了重要的参考。

浅谈线线角、线面角、面面角的定义方式

北京市顺义区第九中学 101300

高中阶段在学习空间线、面位置关系的时候，会给出线线角、线面角及面面角的定义，本文以角形成的定义方式及蕴含的基本思想为主，进行研究。

1、直线与直线所成的角：

（1）共面：同一平面内的两直线所成角，是利用两直线位置关系，平行、重合所成角为0度，如果相交就取交线所构成的锐角（或直角）。

（2）异面：如图所示，已知两条异面直线a和b,经过空间任一点O分别作直线 a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与 b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。

θ

定义方式：是发生定义法（即构造定义方式）

定义中的“空间中任取一点O”，意味着：角的大小与O 点选取的位置无关；通过平移把异面直线所成角转化成两相交直线，是将空间图形问题转化成平面图形问题的定义方式，体现了定义的纯粹性和完备性。

2、直线和平面所成的角：

如图，一条直线 和一个平面 相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面 引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角。

3、面面所成的角：

(1)在二面角 的棱l上任取一点O，以该点O为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的角 称为二面角的平面角.

( 2)作二面角的平面角的方法

方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角α­a­β的平面角．

方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．