含有绝对值的不等式的解法

含有绝对值的不等式解法

江苏省启东中学 王建彬

知识精讲

1.含绝对值的不等式的同解原理源于实数绝对值的定义． 若x∈R，a∈R＋，|x|≥0恒成立；axaax||恒成立；axax||或ax恒成立．

2.理解不等式||||ba≤||ba≤||||ba，正确应用||||ba≤||ba≤||||ba，重视“取等号”的条件．

3.解含绝对值的不等式的思路是：将含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式去解．

4.解题的过程仍是转换，化归、化简的过程，具体地表现于运算． 由于绝对值符号束缚了运算，故应化去绝对值符号，以获得运算的自由． 化去绝对值符号的常用方法有：定义化简法、区间化简法、平方化简法、分类讨论法等．

解含有两个或两个以上绝对值符号，并且其形式是和或差的不等式可用零点分段法来分段讨论求解，但在求解过程中，注意不要丢掉区间端点的讨论．

处理与绝对值有关的不等式的基本思路是依据绝对值的定义或性质，化归为不含绝对值的问题来解决． 如解绝对值不等式的基本模式是：

)()()(|)(|xgxfxgxf或)()(xgxf；

)()()()(|)(|xgxfxgxgxf；

22)]([)]([|)(||)(|xgxfxgxf．

对含多个绝对值的不等式可按照定义，分段讨论． 对于含绝对值的客观题（选择题、填空题等）有时可用特殊化法处理.

数学思想 含绝对值的不等式中蕴含了丰富的数学思想方法，其中涉及的有①分类讨论思想.如分区间讨论去绝对值符号，运用的就是分类讨论的思想;②数形结合思想.如利用绝对值的几何意义解决某些最值问题;③等价转化思想.这是我们处理绝对值不等式的基本思想.对数学思想的灵活应用，是数学学习走向更深层次的一个标志.它能指导我们有效地应用数学知识探索解题方法.

典例精析 例1 不等式组xxxxx2233,0

１ 含绝对值的不等式解法

一. 预习知识

1、知识链接：

实数x的绝对值的定义是：

绝对值的意义是：x

归纳：.若a>0,则xa xa

若c>0,则baxc cbax

二. 典型例题

例1.解不等式：75x22

练习. 解不等式：92x2

２ 例2.解不等式：xx21

练习. 解不等式：1x1x2

例3.解不等式：123x2x

练习. 解不等式：64x1x

３ 三. 基础训练

1.不等式3x21的解集是

2.不等式63x1的解集是

3.已知不等式82ax的解集为5x3x则a

4.已知集合21xxA，11xxB则BA

5.解下列不等式

（1）138x3

（2）12x43

４ 归纳总结：

1．绝对值的几何意义：||x是指数轴上点x到原点的距离；12||xx是指数轴上12,xx两点间的距离

2．当0c时，||axbcaxbc或axbc，

||axbccaxbc；

当0c时，||axbcxR，||axbcx．

3．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，去掉绝对值的主要方法有：

（1）公式法（2）类比转化法（3）零点分段法（4）数形结合法

（5）两边平方法

解下列不等式：

（1）4|23|7x；

（2）|2||1|xx；

（3）|21||2|4xx．

含绝对值的不等式

1．不等式|x|＋|x－1|＜2的解集是________．

2．已知方程x2－ax＋b＝0的两根分别为1和2，则不等式||ax－b≤1的解集为________(用区间表示)．

3．不等式x－3x－1

4．关于x的不等式|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集为空集，则实数a的取值范围是________．

5．若不等式x＋1x＞|a－2|＋1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是______．

6．对任意x∈R，不等式|2－x|＋|3＋x|≥a2－4a恒成立，则a的取值范围是________．

7．已知a∈R，若关于x的方程x2＋x＋a－14＋||a＝0有实根，则a的取值范围是______________．

8．若不等式Rxaxx对|1||2|恒成立，则实数a的取值范围是 （ ）

A．),3( B．),3[ C．（－，3） D．]3,(

9．若不等式|4||3|xxa的解集为非空集合，则实数a的取值范围是（ ）

A．7a B．17a C．1a D．1a 变式题一：若不等式axx43的解集为R,则实数a的取值范围是（ ）

A．7a B．17a C．1a D．1a

变式题二：若不等式axx43无解,则实数a的取值范围是（ ）

A．7a B．1a C．1a D．1a

10．不等式2|3||1|3xxaa对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）

A．[1,4] B．(,2][5,)

C．(,1][4,) D．(,1][2,)

含有绝对值的不等式案例

一、主题与背景

不等式是中职数学学习的重要内容之一。本节课是中职数学基础模块（人教版）第二章不等式第四节的第一课时。解含绝对值的不等式的基本思想是:去掉绝对值符号，化归为不含绝对值符号的不等式。含有绝对值不等式的学习，是在初中一元一次不等式的基础上进行的，是集合知识的应用和巩固，对培养学生分析问题、解决问题的能力、理解能力、培育思维的灵活性有很大的帮助，同时能使学生养成多角度认识事物的习惯；并通过不等式变换的等价性培养思维的可容性。

本节体现了数形结合、等价转化、整体代换等重要的数学思想，对学生的数学核心素养的培养有重要作用。

二、情景再现

（一）创设情景，引入新课，提出问题

师：（拿出一包小吃，展示出来，观察它的质量）按商品质量规定，商店出售的标明50g这个袋装食品，其实际数与所标数相差不能超过5g，这包小吃的质量在哪个范围内呢？

生：45--55g

师：如何表达实际数与所标数的关系呢？实际数是多少我们不知道，所以可以设为xg,所标的数有50和5，怎样表示他们的关系呢？

生：50-x≤5,

生：x-50≤5；

师：咦!怎么得出两种关系了呢？ 生：如果实际数比50大，则用x-50≤5,如果实际数比50小，就用50-x≤5

师：很好！所以综合起来就是|x-50|≤5，像这种含有绝对值的不等式怎么解呢？这就是我们这节课要解决的问题。

（二）复习旧知，数形结合，分析问题

师：我们先来看|x|=5？x=?

生：5或-5

师：绝对值的几何意义是什么？

生：x的绝对值表示数x这个点到原点的距离。

师：|x|=5的几何意义是什么？并在数轴上表示出来。

生：x这个点到原点的距离是5个单位，表示在数轴上是5和-5。

师:很好！我们知道了|x|=5，那么如何解绝对值不等式|x|≤5呢？

生：（思考）

师：看我们画的数轴，根据绝对值的几何意义我们知道：到原点的距离为5的点是5和-5，那么到原点的距离比5小的是哪部分呢？到原点的距离比5大的又是哪部分呢？我叫一个同学在数轴上指出来。