含绝对值的不等式解法

含有绝对值的不等式解法

江苏省启东中学 王建彬

知识精讲

1.含绝对值的不等式的同解原理源于实数绝对值的定义． 若x∈R，a∈R＋，|x|≥0恒成立；axaax||恒成立；axax||或ax恒成立．

2.理解不等式||||ba≤||ba≤||||ba，正确应用||||ba≤||ba≤||||ba，重视“取等号”的条件．

3.解含绝对值的不等式的思路是：将含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式去解．

4.解题的过程仍是转换，化归、化简的过程，具体地表现于运算． 由于绝对值符号束缚了运算，故应化去绝对值符号，以获得运算的自由． 化去绝对值符号的常用方法有：定义化简法、区间化简法、平方化简法、分类讨论法等．

解含有两个或两个以上绝对值符号，并且其形式是和或差的不等式可用零点分段法来分段讨论求解，但在求解过程中，注意不要丢掉区间端点的讨论．

处理与绝对值有关的不等式的基本思路是依据绝对值的定义或性质，化归为不含绝对值的问题来解决． 如解绝对值不等式的基本模式是：

)()()(|)(|xgxfxgxf或)()(xgxf；

)()()()(|)(|xgxfxgxgxf；

22)]([)]([|)(||)(|xgxfxgxf．

对含多个绝对值的不等式可按照定义，分段讨论． 对于含绝对值的客观题（选择题、填空题等）有时可用特殊化法处理.

数学思想 含绝对值的不等式中蕴含了丰富的数学思想方法，其中涉及的有①分类讨论思想.如分区间讨论去绝对值符号，运用的就是分类讨论的思想;②数形结合思想.如利用绝对值的几何意义解决某些最值问题;③等价转化思想.这是我们处理绝对值不等式的基本思想.对数学思想的灵活应用，是数学学习走向更深层次的一个标志.它能指导我们有效地应用数学知识探索解题方法.

典例精析 例1 不等式组xxxxx2233,0

绝对值不等式

一、绝对值三角不等式

1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

二、绝对值不等式的解法

1．含绝对值的不等式|x|a的解集

不等式 a>0 a＝0 a<0

|x|

|x|>a x>a或x<－a x≠0 R

2．|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .

3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型

不等式的解法

方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．

方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．

二、绝对值不等式的解法

1．含绝对值的不等式|x|a的解集

不等式 a>0 a＝0 a<0

|x|

|x|>a x>a或x<－a x≠0

R

2．|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；

(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .

3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型

不等式的解法

方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．

方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．

例1：解不等式x＋|2x－1|<3.

解：原不等式可化为 2x－1≥0， x＋(2x－1)<3或 2x－1<0，x－(2x－1)<3.解得12≤x<43或－2

含绝对值的不等式的解法

一、 基本解法与思想

解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

（一）、公式法：即利用ax与ax的解集求解。

主要知识：

1、绝对值的几何意义：x是指数轴上点x到原点的距离；21xx是指数轴上1x，2x两点间的距离.。

2、ax与ax型的不等式的解法。

当0a时，不等式x的解集是axaxx或,

不等式ax的解集是axax;

当0a时，不等式ax的解集是Rxx

不等式ax的解集是;

3．cbax与cbax型的不等式的解法。

把 bax 看作一个整体时，可化为ax与ax型的不等式来求解。

当0c时，不等式cbax的解集是cbaxcbaxx或,

不等式cbax的解集是cbaxcx;

当0c时，不等式cbax的解集是Rxx

不等式cbxa的解集是;

例1 解不等式32x

分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2x”

看着一个整体。答案为51xx。(解略)

（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).aaaaaa去掉绝对值再解。

例2。解不等式22xxxx。

分析:由绝对值的意义知，aaa≥0，aaa≤0。

解:原不等式等价于2xx＜0x(x+2)＜0-2＜x＜0。

（三）、平方法:解()()fxgx型不等式。

例3、解不等式123xx。

解:原不等式22(1)(23)xx22(23)(1)0xx

(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0(3x-4)(x-2)<0 423x。

说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。

绝对值不等式的解法及应用

绝对值不等式在数学中具有重要的应用价值，在各个领域中都有广泛的运用。本文将对绝对值不等式的解法进行简要说明，并介绍其在实际问题中的应用。

一、绝对值不等式的解法

1. 求解一元绝对值不等式

对于形如 |x|0 ，我们可以将其分解为两个简单的不等式，即 x

例如，对于 |x|<3 这个不等式，我们可以拆分为 x<3 和 -x<3 ，再分别求解这两个不等式，得到解的范围为 -3

2. 求解含有绝对值不等式的方程

对于形如 |f(x)|=g(x) 的方程，可以通过以下步骤求解：

Step 1: 根据绝对值的定义，将绝对值拆解为两个条件，即 f(x)=g(x)

和 f(x)=-g(x) 。

Step 2: 分别求解这两个条件对应的方程，得到解的范围。

Step 3: 将 Step 2 中得到的解进行合并，得到最终的解集。

例如，对于 |x-2|=3 这个方程，我们可以拆解为 x-2=3 和 x-2=-3 ，然后求解这两个方程得到 x=5 和 x=-1 ，最终的解集为 {5, -1} 。

二、绝对值不等式的应用 绝对值不等式在实际问题中有广泛的应用，下面将介绍其中两个常见的应用领域。

1. 绝对值不等式在不等式求解中的应用

在不等式求解中，绝对值不等式是一种常见的工具。通过合理地运用绝对值不等式，可以简化不等式的求解过程，提高解题效率。下面通过一个例子来说明。

例题：求解不等式 |2x-1|<5 。

解：根据绝对值的定义，将不等式拆分为两个条件，即 2x-1<5 和

2x-1>-5 。

然后分别求解这两个条件对应的方程，得到 x<3 和 x>-2 。

最后将这两个解的范围进行合并，得到最终的解集为 -2

2. 绝对值不等式在数列问题中的应用

在数列问题中，绝对值不等式可以用来求解数列的范围，帮助我们找到数列的性质和规律。下面通过一个例子来说明。

例题：已知数列 {an} 满足 |an-3|<2 ，其中 n∈N* 。