高中数学 第一章 坐标系 1.2 极坐标系 1.2.1 极坐标系的概念 1.2.2 点的极坐标与直角

- 1 - 2.2 点的极坐标与直角坐标的互化

1.了解极坐标系与直角坐标系的联系.

2.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别.(易错易混点)

3.能进行极坐标和直角坐标的互化.(重点)

[基础·初探]

教材整理 极坐标与直角坐标的互化

1.互化的前提条件

把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图1­2­3所示.

图1­2­3

2.互化公式

设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：

点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)

互化公式

 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ ρ2＝x2＋y2

tan θ＝yx(x≠0)

在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角.

把极坐标写成直角坐标，把直角坐标写成极坐标.

(1)2，π6________；(2)()1，3 ________； - 2 - (3)(0,2) ________；(4)4，－π3 ________.

【解析】 (1)x＝2cos π6＝3，y＝2sin π6＝1，∴直角坐标为(3，1).

(2)ρ＝1＋3＝2，tan θ＝3，∴θ＝π3，∴极坐标为2，π3.

(3)(0,2)在y轴上，∴ρ＝2，θ＝π2，∴极坐标为2，π2.

(4)x＝4cos－π3＝2，y＝4sin－π3＝－23.

∴直角坐标为(2，－23).

【答案】 (1)(3，1) (2)2，π3 (3)2，π2(4)(2，－23)

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

极坐标的概念

（⼀）极坐标概念

确定平⾯内的点的位置有各种⽅法，⽤⼀对实数确定平⾯内的点位置的⽅法称为直⾓坐标⽅法，因其⽅法简捷且应⽤⼴泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）⽽成为解析⼏何中最主要的内容；⽤⽅向（⾓）和距离来确定平⾯内的点的位置是极坐标的基本思想。极坐标在⼯程中和军事上也有⼴泛应⽤。1.1极坐标系定义

在平⾯上选⼀定点O，由O出发的⼀条射线OX，规定⼀个长度单位和⾓的正⽅向（通常以反时针旋转为正⽅向）合称⼀个极坐标系。其中O为极点，射线OX为极轴，由极径和极⾓两个量构成点的极坐标，⼀般记作（ρ，θ）。1.2平⾯内的点与极坐标系的关系

平⾯内有⼀点P，|OP|⽤ρ表⽰，ρ称为P点的极径；OX到OP的⾓θ

叫极⾓，P（ρ，θ）为极坐标。(1)有⼀组极坐标（ρ，θ）能在极坐标系中找唯⼀的点与其对应；

(2)在极坐标系中有⼀个点P，则有⽆数组极坐标与其对应。

①P点固定后，极⾓不固定。（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ）（k∈z）表⽰同⼀点坐标；

②P点固定后，ρ的值可正、可负。ρ＞0时，极⾓的始边为OX轴，终边为线；ρ＜0，极轴始边为OX轴，终边为的反向延长线；规定：ρ=0时，极⾓为任意⾓，如（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ)及（-ρ，2kπ+π+θ)(k∈z)表⽰同⼀点。

∴极坐标与极坐标平⾯内的点不⼀⼀对应。

例1.在极坐标系中，点P（ρ，θ）与Q（-ρ，2π-θ）的位置是（）A.关于极轴所在直线对称

B.关于极点对称

C.重合

D.关于直线（ρ∈R）对称

分析：Q（-ρ，2π-θ）与（ρ,π-θ）表⽰同⼀点，它与点P（ρ，θ）关于直线（ρ∈R）（过极点⽽垂直于极轴的直线）对称。故选D。

例2.在极坐标系中，如果等边三⾓形的两个顶点是，

，那么C的坐标可能是（）A. B.

C. D.（3，π）

分析：∵,极径相同，极⾓相差π，A、B以极点对称，⼜|AB|=4，△ABC为等边△，，，C对应极⾓为.

∴或故选B 。

例3.A、B两点的极坐标分别为A(ρ1，θ

极坐标运动学-概述说明以及解释

1.引言

1.1 概述

极坐标运动学是运动学的一个重要分支，它研究了极坐标系下物体的运动规律和运动属性。极坐标系是一种常用的坐标系，它通过极径和极角来描述物体的位置。相比直角坐标系，极坐标系在某些问题的描述上更加简洁和方便。

在极坐标系中，物体的位置由距离原点的极径和与一个参考方向之间的极角来表示。通过极径和极角的变化，我们可以得到物体在极坐标系中的位置变化情况以及速度、加速度等相关参数的变化规律。极坐标运动学正是研究这些问题的数学工具和方法。

本文将介绍极坐标运动学的基本概念和原理，并探讨其在实际应用中的重要性。我们将首先对极坐标系进行简单介绍，包括其定义、基本属性和运动规律。然后，我们将讨论极坐标运动学的基本概念，包括极坐标运动学方程和相关参数的表示方法。接着，我们将详细探讨极坐标运动学在各个领域中的具体应用，如机械工程、天文学、物理学等。最后，我们将展望极坐标运动学的发展趋势，并提出一些可能的研究方向和挑战。

通过对极坐标运动学的研究，我们可以更深入地了解物体在极坐标系中的运动规律和变化规律。这对于许多领域的研究和应用都具有重要意义，能够为相关领域的工程设计、数据分析和问题解决提供理论支持和实践指导。本文希望能够对读者对极坐标运动学有一个全面的了解，激发更多有关极坐标运动学的研究和探索。

1.2文章结构

1.2 文章结构

本文将按照以下结构进行论述极坐标运动学的相关内容：

1.2.1 简要介绍极坐标系概念：首先，我们将简单介绍什么是极坐标系以及它的基本特点。通过引入极坐标系的概念，我们能够更好地理解接下来要讨论的极坐标运动学概念。

1.2.2 论述极坐标运动学的基本概念：在本节中，我们将详细讨论极坐标运动学的基本概念和相关理论。包括描述极坐标下物体运动的方法、极坐标坐标系与直角坐标系的转换关系等。通过深入理解这些基本概念，我们能够为后续的应用和发展提供更坚实的基础。

第一讲 坐标系

发言人：杨海霞

简单曲线的极坐标方程

【基础知识导学】

1、极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C上任一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(f，并且坐标适合方程0),(f的点都在曲线C上，那么方程0),(f叫做曲线C的极坐标方程。

1． 直线与圆的极坐标方程

① 过极点，与极轴成角的直线极坐标议程为tantan)(或R

②以极点为圆心半径等于r的圆的

极坐标方程为 r

【知识迷航指南】

例1求（1）过点)4,2(A平行于极轴的直线。

（2）过点)3,3(A且和极轴成43角的直线。 x

O

解（1）如图，在直线l上任取一点),(M，因为)4,2(A，所以|MH|=224sin

在直角三角形MOH中|MH|=|OM|sin即2sin，所以过点)4,2(A平行于极轴的直线为2sin。

（2）如图 ，设M),(为直线l上一点。

)3,3(A， OA=3，3AOB

由已知43MBx ，所以125343OAB，所以127125OAM

又43MBxOMA 在∆MOA中，根据正弦定理得

127sin)43sin(3

又426)34sin(127sin 将)43sin(展开化简可得23233)cos(sin

所以过)3,3(A且和极轴成43角的直线为：23233)cos(sin

〔点评〕求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件。将它用坐标表示。再通过代数变换进行化简。

例2（1）求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程。（2）从极点O作圆C的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程。

解：（1）设),(p为圆C上任意一点。圆C交极轴于另一点A。由已知