高中数学 北师大选修4-4 1.2.2《极坐标与直角坐标的互化》课件

- 1 - 2.2 点的极坐标与直角坐标的互化

1.了解极坐标系与直角坐标系的联系.

2.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别.(易错易混点)

3.能进行极坐标和直角坐标的互化.(重点)

[基础·初探]

教材整理 极坐标与直角坐标的互化

1.互化的前提条件

把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图1­2­3所示.

图1­2­3

2.互化公式

设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：

点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)

互化公式

 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ ρ2＝x2＋y2

tan θ＝yx(x≠0)

在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角.

把极坐标写成直角坐标，把直角坐标写成极坐标.

(1)2，π6________；(2)()1，3 ________； - 2 - (3)(0,2) ________；(4)4，－π3 ________.

【解析】 (1)x＝2cos π6＝3，y＝2sin π6＝1，∴直角坐标为(3，1).

(2)ρ＝1＋3＝2，tan θ＝3，∴θ＝π3，∴极坐标为2，π3.

(3)(0,2)在y轴上，∴ρ＝2，θ＝π2，∴极坐标为2，π2.

(4)x＝4cos－π3＝2，y＝4sin－π3＝－23.

∴直角坐标为(2，－23).

【答案】 (1)(3，1) (2)2，π3 (3)2，π2(4)(2，－23)

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

最新⼈教版⾼中数学选修4-4《极坐标系》教材梳理

庖丁巧解⽜

知识·巧学

⼀、极坐标系的概念1.在⽣活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等，经常⽤距离和⽅向来表⽰⼀点的位置.⽤距离和⽅向表⽰平⾯上⼀点的位置，就是极坐标.

极坐标系的建⽴：在平⾯内取⼀个定点O ，叫做极点.引⼀条射线Ox ，叫做极轴.再选定⼀个长度单位和⾓度正⽅向（通常取逆时针⽅向）.这样就建⽴了⼀个极坐标系.2.如图1-2-3，极坐标系内⼀点的极坐标的规定：对于平⾯上任意⼀点M ，⽤ρ表⽰线段OM 的长度，⽤θ表⽰从Ox 到OM 的⾓度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极⾓，有序数对(ρ,θ)就叫做M 的极坐标.

图1-2-3

深化升华 极点、极轴、长度单位、⾓度单位和它的正⽅向，构成了极坐标系的四要素，缺⼀不可.1.特别规定：当M 在极点时，它的极坐标ρ=0，θ可以取任意值.

2.平⾯上⼀点的极坐标是不唯⼀的，有⽆数种表⽰⽅法.坐标不唯⼀是由极⾓引起的.不同的极坐标可以写出统⼀表达式.

⼆、极坐标和直⾓坐标的互化1.互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直⾓坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位.2.互化公式??

≠=+===.0,t an ,,sin ,co s 222x x y y x y x θρθρθρ在进⾏两种坐标间的互化时,应注意以下⼏点:①两套公式是在三条规定下得到的;②由直⾓坐标求极坐标时,理论上不是唯⼀的,但这⾥约定只在主值范围内求值;③由直⾓坐标⽅程化为极坐标⽅程,最后要化简;④由极坐标⽅程化为直⾓坐标⽅程时要注意变形的等价性,通常总要⽤ρ去乘⽅程的两端,应该检查极点是否在曲线上,若在是等价变形,否则,不是等价变形.

问题·探究

问题1 平⾯内建⽴直⾓坐标系是⼈们公认的最容易接受并且被经常采⽤的⽅法，但为什么它并不是确定点的位置的唯⼀⽅法，为什么要使⽤极坐标?

探究:确定平⾯内⼀个点的位置时，有时是依靠⽔平距离与垂直距离这两个量，有时却是依靠距离与⽅位⾓（即“长度”与“⾓度”，这就是极坐标系的基本思想）这两个量.在⽣活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，甚⾄更贴近⽣活的如⼈听声⾳，不但有⾼低之分,还有⽅向之分.描述⼀个⼈所⾛的⽅向和路程，经常会这样说：从A 点出发向北偏东60°⽅向⾛了⼀段距离到B 点，再从B 点向南偏西15°⽅向⾏⾛……描述某飞机的位置：飞⾏⾼度1 200⽶，从飞机上看地平⾯控制点B 的俯⾓α=16°31′……这种位置的刻画能够给⼈⼀个很直观的形象.

1.2.2 极坐标与直角坐标的互化

一、教学目的：

1、掌握极坐标和直角坐标的互化关系式

2、会实现极坐标和直角坐标之间的互化

3、通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：

教学重点：会用极坐标和直角坐标的互化关系式进行坐标互化。

教学难点：互化关系式的掌握

三、教学过程：

（一）、复习引入：

1、知识回顾：极坐标的建立及其相关概念。（学生口答，教师作图）

2、三角函数的概念：如图，写出角θ的三角函数。

xyrxrytan,cos,sin

3、思考：

平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示，那么，这两种坐标之间有什么关系呢？

（二）、讲解新课：

直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的指教坐标与极坐标分别为),(yx和),(，则由三角函数的定义和勾股定理可以得到如下两组公式：

{sincosyx {

xyyxtan222

说明1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式

2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取≥0，0≤≤2。

3、互化公式的三个前提条件

（1）. 极点与直角坐标系的原点重合; （2）. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;

（3）. 两种坐标系的单位长度相同.

特殊角的三角函数值

（三）、举例应用：

例1、 将点M的极坐标（5，32）化为直角坐标。

）。，的直角坐标（所以，点，解：2352523532sin532cos5Myx

例2：将点M的直角坐标坐标（3，-1）化为极坐标。

）。，的极坐标为（因此，点。在第三象限，所以因为点。，）（）（解：67267333131tan2131322MM

1 第五课时 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化

一、教学目的：

知识目标：掌握极坐标系中直线和圆的方程，会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化

能力目标：巩固求曲线方程的方法和步骤、会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化

德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点：会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化

教学难点：寻找关于ρ，θ的等式

三、教学方法：启发、诱导发现教学.

四、教学过程：

（一）、复习引入：

问题情境：情境1：3cos , 5, 2sis, 43分别表示什么曲线？情境2：上述方程分别表示了直线与圆，把这些直线与圆一般化，它们的方程分别是什么？我们知道，同一条曲线在不同的坐标系中，会有不同的方程。为了研究问题方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程。根据点的直角坐标与极坐标互化关系式，曲线方程两种形式的互化便可以顺利完成。

（二）、题目探析，体会感受过程，归纳总结

1、基础巩固导练

（1）.已知点P的极坐标是（1，），则过点P且垂直极轴的直线极坐标方程是 .

（2）.在极坐标系中，曲线)3sin(4一条对称轴的极坐标方程 .

（3）.在极坐标中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线cos4于A、B两点.

则|AB|= .

（4）.已知三点A(5，2)，B(-8，611)，C(3，67)，则ΔABC形状为 .

（5）.已知某圆的极坐标方程为：ρ2 –42ρcon(θ-π/4)+6=0则：A.圆的普通方程 ；B.圆上所有点（x,y）中xy的最大值和最小值分别为 、 . 2 （1）.ρcosθ=