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第九章 参数估计

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参数估计知识点

参数估计知识点

参数估计知识点一、知识概述《参数估计》①基本定义：简单说，参数估计就是通过样本数据去猜总体的一些参数。

比如说，想知道全校学生的平均身高，不可能一个一个去量，那就找一部分学生（样本）量出他们的身高，然后根据这部分学生的身高数据来推测全校学生（总体）的平均身高，这个推测的过程就是参数估计。

②重要程度：在统计学里那可相当重要。

就像要了解一个大群体的情况，直接研究整体往往很难，通过参数估计从样本推测整体的情况就变得可行而且高效。

无论是搞市场调查，还是科学研究，这个工具相当好使。

③前置知识：得有点基本的数学知识，像平均数、方差这些概念要能明白，还得对抽样有点概念，知道怎么从一个大群体里抽取样本出来。

④应用价值：在各种实际场景里都有用。

比如企业想了解消费者对产品的满意度，不可能访谈每个消费者，抽样一部分做参数估计就好了。

还有估算农作物亩产量之类的，都可以用到。

二、知识体系①知识图谱：在统计学里，参数估计是推断统计的一部分，是和假设检验等方法相互联系的。

推断统计主要就是根据样本信息推断总体特征，而参数估计是其中很核心的一部分。

②关联知识：和抽样分布密切相关啊。

抽样分布是参数估计的理论基础，如果不知道抽样分布，那参数估计就像无根之木。

还和概率相关，毕竟在样本中各种数值出现是有概率的。

③重难点分析：掌握难度嘛，开始会觉得有点抽象。

关键在于理解样本和总体之间的关系，以及怎么根据不同的条件选择合适的估计方法。

④考点分析：在统计学考试里常考。

考查方式有直接给样本数据让进行参数估计，或者结合其他知识点，像给出抽样分布然后问参数估计的结果之类的。

三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：参数估计就是根据样本统计量去估计总体参数。

总体参数就是描述总体特征的数值，像总体均值、方差之类的。

样本统计量就是从样本里计算出来的值，比如说样本均值、样本方差等。

②特征分析：不确定性算一个特点吧。

毕竟样本不是总体，根据样本做的估计不可能完全精准。

参数估计知识点总结

参数估计知识点总结

参数估计知识点总结一、参数估计的基本概念参数估计是统计学中的一个重要问题，它是指从样本数据中估计总体参数的值。

在实际问题中，我们往往对总体的某个特征感兴趣，比如总体的均值、方差等，而这些特征通常是未知的。

参数估计就是利用样本数据来估计这些未知的总体参数值的方法。

在参数估计中，有两种主要的估计方法：点估计和区间估计。

点估计是指利用样本数据来估计总体参数的一个具体值，它通常用一个统计量来表示。

而区间估计则是利用样本数据来估计总体参数的一个区间范围，通常用一个区间来表示。

二、点估计点估计是参数估计中的一种方法，它是利用样本数据来估计总体参数的一个具体值。

在点估计中，我们通常使用一个统计量来表示参数的估计值，这个统计量通常是样本数据的函数。

1. 无偏估计无偏估计是指估计量的期望值等于所估计的总体参数的真实值。

对于一个无偏估计而言，平均来说，估计值和真实值是相等的。

无偏估计是统计学中一个很重要的性质，在实际问题中，我们希望能够得到一个无偏估计。

2. 一致估计一致估计是指当样本大小趋于无穷时，估计量收敛于真实参数的概率接近于1。

一致性是估计量的另一个重要性质，它保证了在样本较大的情况下，估计值能够越来越接近真实值。

3. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是利用样本数据来选择最有可能产生观测数据的参数值。

最大似然估计的原理是选择一个参数值，使得样本数据出现的概率最大。

最大似然估计的优点在于它的统计性质良好，且通常具有较好的渐近性质。

4. 贝叶斯估计贝叶斯估计是另一种常用的参数估计方法，它是基于贝叶斯定理的一种参数估计方法。

贝叶斯估计将参数视为随机变量，通过引入先验分布和后验分布来对参数进行估计。

贝叶斯估计的优点在于它能够利用先验知识对参数进行更为准确的估计。

三、区间估计区间估计是另一种常用的参数估计方法，它是利用样本数据来估计总体参数的一个区间范围。

区间估计的优点在于它能够提供参数值的估计范围，同时也能够反映估计的不确定性。

参数估计课件

参数估计课件

点估计
点估计
（概念要点）
1. 从总体中抽取一个样本，根据该样本的统计 量对总体的未知参数作出一个数值点的估计
▪ 例如: 用样本均值作为总体未知均值的估计值 就是一个点估计
• 2. 点估计没有给出估计值接近总体未 知参数程度的信息
3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、 最大似然法、最小二乘法等

1.96
0.15 9

21.302,21.498
我们可以95％的概率保证该种零件的平 均长度在21.302～21.498 mm之间
总体均值的区间估计
（非正态总体：实例）
【例】某大学从该 校学生中随机抽取 100 人 ， 调 查 到 他 们平均每天参加体 育 锻 炼 的 时 间 为 26 分 钟 。 试 以 95 ％ 的 置信水平估计该大 学全体学生平均每 天参加体育锻炼的 时间（已知总体方 差为36小时）。
总体1
抽取简单随机样 样本容量 n1 计算X1
所有可能样本 的X1-X2
1 1
2 2
计算每一对样本 的X1-X2
总体2
抽取简单随机样 样本容量 n2 计算X2
1 2
抽样分布
两个总体均值之差的估计
(12、22 已知)
• 1.
假定条件
▪ 两个样本是独立的随机样本
▪ 两个总体都服从正态分布
n(1- p )=60>5，= 0.95，Ｚ/2=1.96
pˆ Z 2
pˆ (1 pˆ ) n
样本。在对其进行访 问 时 ， 有 140 人 说 他 们离开该企业是由于
0.7 1.96 0.7(1 0.7) 200
同管理人员不能融洽
0.636,0.764

海南大学《概率论与数理统计》课件 第九章 点估计

海南大学《概率论与数理统计》课件 第九章 点估计

令 X ,
则 ˆ x 1 (0 75 1 90 6 1) 1.22
250
二.极大似然估计法 特点：适用总体的分布类型已知的统计模型
极大似然估计法是求估计用的最多的方法， 它最早是由高斯在1821年提出，但一般将之归 功于费舍尔(R.A.Fisher)，因为费舍尔在1922 年再次提出了这种想法，并证明它的一些性质， 从而使得极大似然法得到了广泛的应用。
18
第二节 估计方法
矩估计法 极大似然估计法
19
一.矩估计法 定义：用样本矩来代替总体矩,从而得到总体 分布中参数的一种估计.这种估计方法称为 矩估计法.它的思想实质是用样本的经验分 布和样本矩去替换总体的分布和总体矩.也 称之为替换原则.
特点：不需要假定总体分布有明确的分布类型。
20
设总体X具有已知类型的概率函数 f(x;θ), θ=(θ1,…,θk) ∈Θ是k个未知参数.(X1,X2,…,Xn)是 来自总体X的一个样本.
2
参数估计的分类：
参 点估计 估计未知参数的值
数
估 计
估计未知参数的取值范围，
区间估计 并使此范围包含未知参数的
真值的概率为给定的值
3
这里所指的参数是指如下三类未知参数：
1.分布中所含的未知参数 .
如：两点分布B（1，p）中的概率p;
正态分布 N (, 2 )中的,． 2、分布中所含的未知参数的函数. 如：服从正态分布N (, 2 )的变量X不超过给定值a的
Xi＝１，反之记 Xi＝ ０ i 1,, n ．则
X1, X2 , , Xn 就是样本．总体分布为二点分
布 B1, ，参数空间 0,1 ，容易得到统计
模型
n
xi
i1

《参数估计方法》课件

《参数估计方法》课件
《参数估计方法》ppt 课件
目录
• 参数估计方法概述 • 点估计 • 区间估计 • 最大似然估计法 • 最小二乘估计法 • 贝叶斯估计法
01
参数估计方法概述
参数估计方法的定义
参数估计方法的定
义
参数估计方法是一种统计学中的 方法，它通过分析样本数据来估 计未知的参数值。这些参数可以 描述总体特性的程度，如平均值 、方差等。
使得它容易进行统计推断。
最小二乘估计法的应用场景
线性回归分析
最小二乘估计法是线性回归分析中最常用的 参数估计方法，用于预测一个因变量与一个 或多个自变量之间的关系。
时间序列分析
在时间序列分析中，最小二乘估计法可用于拟合和 预测时间序列数据，例如ARIMA模型。
质量控制
在质量控制中，最小二乘估计法可用于拟合 控制图，以监测过程的稳定性和预测异常情 况。
区间估计
区间估计是一种更精确的参数估计方法，它给出未知参数的一个置信区间，即有较大的把握认为未知参数落在这个区 间内。例如，用样本均值和标准差来估计总体均值的置信区间。
贝叶斯估计
贝叶斯估计是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，它根据先验信息和样本数据来推断未知参数的后验 概率分布。贝叶斯估计能够综合考虑先验信息和样本数据，给出更加准确的参数估计结果。
贝叶斯估计法的性质
01
02
03
贝叶斯估计法是一种主观概率估 计方法，因为它依赖于先验信息 的可信度和准确性。
先验信息的不确定性可以通过引 入一个先验分布来表达，该分布 描述了先验信息中未知参数的可 能取值及其概率。
贝叶斯估计法的后验概率分布可 以用于推断未知参数的估计值和 不确定性程度。
贝叶斯估计法的应用场景
3

参数估计PPT课件

参数估计PPT课件
如何根据数据选择合适的模型，以及如何进行有效的假设检验是 参数估计面临的重要挑战。
高维数据问题
随着数据维度的增加，参数估计的准确性和稳定性面临更大的挑战 。
异方差性和非线性问题
在实际应用中，数据往往存在异方差性和非线性关系，这增加了参 数估计的难度。
参数估计的发展趋势与未来研究方向
1 2 3
贝叶斯推断
区间估计是一种统计推断方法， 它利用样本信息来估计未知参数 的可能取值范围。
区间估计的性质
区间估计给出的是未知参数的一 个可能取值范围，而不是一个具 体的点估计值。
区间估计的优缺点
优点
区间估计能够给出未知参数的一个可能取值范围，从而为决 策者提供更多的信息，有助于理解参数的不确定性。
缺点
由于区间估计给出的范围较宽，可能会引入较大的误差。此 外，对于某些复杂模型，构造有效的区间估计可能比较困难 。
在贝叶斯估计中，先验分布代表了我们对未知参数的先验知识或信念，而后验分布 则是结合先验信息和样本数据后对未知参数的更新信念。
贝叶斯估计的核心思想是将参数看作随机变量，并利用概率论来描述我们对参数的 认知不确定性。
贝叶斯估计的优缺点
优点
贝叶斯估计能够综合考虑先验信息和样本数据，给出参数的后验分布，从而为决 策提供更全面的信息。此外，贝叶斯估计方法灵活，可以适用于不同类型的数据 和问题。
点估计的优缺点
总结词
点估计的优缺点
详细描述
点估计的优点在于它提供了一个简洁的表示未知参数的方法，并且可以利用各种统计方法进行推断和分析。然而 ，点估计也存在一些缺点，如它可能会受到样本误差的影响，导致估计结果不够准确；另外，当样本容量较小时 ，点估计的效果可能会较差。
点估计的常见方法：矩估计、最小二乘法等

参数估计概率统计学

参数估计概率统计学

参数估计概率统计学概率统计学是一门研究随机现象的发展规律和统计推断的科学。

参数估计是概率统计学中的一项基本任务，其目的是通过对样本的观测结果进行分析，来估计总体的未知参数。

本文将详细介绍参数估计的概念、方法和应用。

一、概念参数估计是指在一定的统计模型假设下，通过样本数据对总体未知参数进行估计。

总体是指我们想要研究的对象，例如全国人口数量、其中一种产品的平均售价等。

总体参数是对总体性质的数值特征进行度量的统计量，例如总体的均值、方差等。

二、方法参数估计的方法可以分为点估计和区间估计两大类。

1. 点估计：点估计是通过单个数值来估计总体参数。

最常见的点估计方法是最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）。

最大似然估计的思想是选择使得样本观测值出现概率最大的参数值作为估计值。

此外，还有矩估计和贝叶斯估计等方法。

2.区间估计：区间估计是通过一个区间来估计总体参数，其范围表示了参数估计的不确定性。

常见的区间估计方法有置信区间估计和最小二乘法估计。

置信区间估计是在一定置信水平下，通过样本数据获得一个包含未知参数真值的区间。

最小二乘法估计是通过最小化样本观测值与参数估计值之间的误差平方和，来估计参数。

三、应用参数估计在概率统计学中有广泛的应用。

以下是参数估计在实际问题中的几个常见应用：1.市场调研：在市场调研中，研究人员通常通过对一定样本进行数据收集，来估计市场上其中一种产品的平均售价、市场份额等参数，从而为企业做出决策和市场定位提供依据。

2.医学研究：在医学研究中，参数估计可以用来估计其中一种药物的治疗效果、其中一种疾病的发病率等。

通过收集病例数据，可以对总体患病情况进行估计，为医学研究和临床实践提供依据。

3.金融领域：在金融领域，参数估计可以用来估计一些金融指标的未来走势，例如股票价格的波动率、利率等。

通过对过去的市场数据进行分析，可以估计未来金融指标的分布和波动范围，为投资者决策提供参考。

第九章 参数估计

第九章 参数估计

第九章 参数估计本章开始介绍统计推断，即依据母总体中取得的一个简单随机子样队总体进行分析和推断。

统计推断分成两大部分，一是参数估计，另一是假设检验。

参数估计又分点估计与区间估计两种。

前者是用一个适当的统计量作为参数的近似值，我们称之为该参数的估计量，后者则是用两个统计量所界定的区间来指出真实参数值的大致范围。

这里所指的参数是指如下三类未知参数：⒈分布中所含的未知参数θ，如：二点分布(1,)b p 中的概率p ；正态分布2(,)N μσ中的μ和2.σ⒉分布中所含的未知参数θ的函数。

如：服从正态分布2(,)N μσ的变量X 不超过某给定值a 的概率()()a X a μσ-≤=ΦP 是未知参数,μσ的函数；单位产品的缺陷数X 通常服从泊松分布()P λ，则单位产品合格（无缺陷）的概率(0)X e λ==-P 是未知参数λ的函数。

⒊分布的各种特征数也都是未知参数，如：均值()E X ，方差()D X ，分布中位数等。

一般场合，常用θ表示参数，参数θ所有可能取值组成的集合称为参数空间，常用Θ表示，参数估计问题就是根据样本对上述各种未知参数做出估计。

参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。

这里我们先从点估计开始。

设1,,n X X 是来自总体的一个样本，我们用一个统计量1ˆˆ(,,)n X X θθ=的取值作为θ的估计值，ˆθ称为θ的点估计（量），简称估计。

这里如何构造统计量ˆθ并没有明确的规定，只要它满足一定的合理性即可。

这就涉及两个问题：⑴其一是如何给出估计，即估计的方法问题；⑵其二是如何对不同的估计进行评价，即估计的好坏判断标准。

下面介绍一些点估计的方法。

§9.1点估计和估计量的求法人们可以运用各种方法构造出很多θ的估计，本节介绍两种最为常用的点估计方法：矩法和最大似然法。

9.1.1替换原理和矩法估计1900年统计学K.Pearson 家提出了一个替换原则，后来人们称此方法为矩法。

参数估计 教学PPT课件

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• 2.极大似然估计法
•（1）写出总体X的分布律或密度函数f(x,θ)
•（2）写出Biblioteka 然函数L( x1,n
, xn, ) f (xi , )
i 1
•（3）对似然函数取对数 ln L(x1,, xn , )
•（4）对 ln L(x1,, xn , ) 求导得似然方程
•（5）解似然方程，得极大似然估计量
(n
1))
又 X ?, S ? n 16, 0.1, t1 2 (n 1) ?
区间估计例题
• 例2：从自动机床加工的同类产品中随 机抽取16件，测得长度值为：12.50， 12.12，12.01，12.28，12.09，12.16， 12.03，12.01，12.06，12.13，12.07， 12.11，12.08，12.01，12.03，12.06，
0.90的置信区间：
（1）如果已知σ＝0.01 （2）如果σ未知
区间估计例题
解：（1）σ＝0.01已知，a的置信度为1-α的置
信区间为
0.01 ( X n u1 2 )
又 X ?, n 16, 0.1, u1 2 1.645
（2）σ未知，a的置信度为1-α的置信区间为
(X
S n
1
t1
2
ˆ ˆ(X1,, X n )
极大似然估计法例题
例1：设总体X~(0-1)分布,求p的极大似然估计.
解：总体X的分布律 P(X x) px (1 p)1x, x 0,1
似然函数 取对数
n
L( p) pxi (1 p)1xi pnx (1 p)nnx i 1
ln L( p) nx ln p (n nx) ln(1 p)
设产品长度X～N(a,σ2). 求σ2的置信区间（α＝0.05）

统计学参数估计PPT课件

统计学参数估计PPT课件
实际应用中需要注意的问题
在应用参数估计时，需要注意样本的代表性、数据的准确性和可靠性等问题， 以保证估计的准确性和可靠性。
对未来研究的建议
01
进一步探讨参数估计的理论基础
可以进一步探讨参数估计的理论基础，如大数定律和中心极限定理等，
以更好地理解和掌握参数估计的方法和原理。
02
探索新的估计方法
随着统计学的发展，可以探索新的参数估计方法，以提高估计的准确性
指导决策
评估效果
基于参数估计结果，制定科学合理的 决策。
利用参数估计，评估政策、项目等实 施效果。
预测未来
通过参数估计，预测未来的趋势和变 化。
02
参数估计的基本概念
点估计
定义
点估计是用一个单一的数值来估 计未知参数的值。
举例
在调查某班级学生的平均身高时， 我们可能使用所有学生身高的总 和除以人数来估计平均身高，这 里的总和除以人数就是点估计。
最小二乘法的缺点是假设误差项独立 同分布，且对异常值敏感，可能影响 估计的稳定性。
最小二乘法的优点是简单易行，适用 于线性回归模型，且具有优良的统计 性质。
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法是一种基于贝叶 斯定理的参数估计方法，通过 将先验信息与样本数据相结合 来估计参数。
贝叶斯估计法的优点是能够综 合考虑先验信息和样本数据， 给出更加准确的参数估计。
高维数据的参数估计问题
1 2 3
高维数据对参数估计的影响
随着数据维度的增加，参数估计的复杂度和难度 也会相应增加，容易出现维度诅咒等问题。
高维数据参数估计的方法
针对高维数据，可以采用降维、特征选择、贝叶 斯推断等方法进行参数估计，以降低维度对估计 的影响。

医学统计学课件：参数估计

医学统计学课件：参数估计

医学统计学课件：参数估计xx年xx月xx日contents •参数估计概述•参数估计方法•参数估计在医学中的应用•参数估计的优缺点•参数估计的相关计算•医学统计学的未来发展目录01参数估计概述定义与意义参数估计利用样本信息对总体参数进行推断和估计。

意义通过参数估计，利用样本信息对总体特征进行推断、解释和预测，为研究设计和医学实践提供重要依据。

参数估计与点估计的关系参数估计包括点估计和区间估计。

点估计：用样本统计量估计总体参数的方法，是参数估计的基础。

区间估计：在点估计的基础上，给出总体参数的估计区间，是参数估计的拓展。

确定研究问题和研究假设。

设计研究方案和收集数据。

对样本数据进行分析，得到样本统计量和样本信息。

根据样本统计量和样本信息，构造合适的统计量（点估计）或区间估计量（区间估计）。

对所构造的统计量或区间估计量进行假设检验，判断其是否具有统计意义和实际意义。

根据参数估计的结果，进行推断分析和决策。

参数估计的基本步骤02参数估计方法1点估计23点估计是一种对总体参数的数值近似，通常用一个单一的数值来表示。

定义常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。

方法点估计的优点是简单、直观，但可能存在精度不足的问题。

特点03特点区间估计的优点是能够给出总体参数的精度范围，但可能存在精度不足的问题。

区间估计01定义区间估计是一种对总体参数的区间范围的估计，通常用一个置信区间来表示。

02方法基于样本统计量和样本容量的信息，利用置信区间的计算公式来得到总体参数的置信区间。

定义贝叶斯估计是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，通常将总体参数看作是一个随机变量。

方法首先需要建立一个关于总体参数的先验分布，然后结合样本信息进行后验分布的计算，最后利用后验分布进行参数的估计。

特点贝叶斯估计的优点是能够充分利用先验知识和样本信息，从而得到更加精确的参数估计结果。

但是，贝叶斯估计方法需要更多的主观判断和计算成本。

贝叶斯估计03参数估计在医学中的应用样本均数和标准差估计通过分析临床试验数据，可以估计治疗组和对照组的均数和标准差，从而了解治疗效果和病情变化情况。

概率论——参数估计

概率论——参数估计
24
极大似然估计法 —具体解法
当总体含有k个参数时，似然函数
L(1 ,2 , ,k )
为多元函数，选取使得似然函数
L( x1 , x2 , , xn;1 ,2 , ,k )
达到最大值的点 1( x1 , x2 , , xn ),
2 ( x1 , x2 , , xn ), ,k ( x1 , x2 , , xn )分别
1 2A1 1 2X .
A1 1 X 1
设x1, x2 , , xn是一个样本值.似然函数为
L
n 1
i 1
xi
1 n
x1 x2
xn ,
ln L nln 1
n i 1
ln
xi
.
令
d ln L
n
d 1
n i 1
ln
xi
0,
27
解得
1 n
20
极大似然估计法 —似然函数
设连续型随机变量X的概率密度为f ( x; )， X1 , X 2 , , X n是来自总体的样本，则称参数
n
的函数 L( ) f ( xi ; )为样本的似然函数. i 1 设离散型随机变量X的分布律为： P{ X x} P( x; )，
X1 , X 2 , , X n是来自总体的样本，则称参数
n
的函数 L( ) P( xi ; )为样本的似然函数. i 1 21
极大似然估计法 —基本思想
在已知总体X 概率分布时，对总体进行n次
观测，得到总体的一个样本 X1, X2 , , Xn .
极大似然估计法就是选取使得似然函数
L( x1 , x2 , , xn; )达到最大值的点ˆ( x1, x2 , , xn ) 作为未知参数的估计值的方法.

参数估计的方法与原理

参数估计的方法与原理

参数估计的方法与原理参数估计是统计学中的重要概念，用于根据样本数据来估计总体参数的值。

在统计分析中，我们经常需要通过对样本数据的分析来推断总体的性质。

而参数估计的方法和原理则帮助我们确定如何从样本数据中得出总体参数的估计值。

一、参数估计的概念参数估计是统计学中的基本问题，在研究中起到了至关重要的作用。

参数是用来描述总体特征的数值，如平均值、方差等。

参数估计则是根据从总体中抽取的样本数据，对总体参数进行估计。

参数估计可以分为点估计和区间估计两种方式。

1. 点估计点估计是通过样本数据得到总体参数的一个单一数值估计。

常用的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。

最大似然估计是指在给定模型的条件下，选择使观测数据出现的可能性最大的参数值作为估计值。

矩估计则是通过样本矩对总体矩的估计来得到参数的估计值。

2. 区间估计区间估计是指对总体参数进行一个区间的估计，该区间包含了真实参数值的可能范围。

常用的区间估计方法有置信区间估计和贝叶斯区间估计。

置信区间估计是通过样本数据得到参数的一个区间估计，该区间中的值有一定的置信度可以包含真实参数值。

贝叶斯区间估计则基于贝叶斯定理，通过样本数据和先验信息来得到参数的一个区间估计。

二、参数估计的方法参数估计的方法包括最大似然估计、矩估计、贝叶斯估计等。

不同的方法适用于不同的情况和模型。

1. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它假设样本数据是独立同分布的。

最大似然估计的基本思想是找到使观测数据概率最大的参数值。

具体而言，最大似然估计是通过求解目标函数的最大值来得到参数的估计值。

最大似然估计具有一致性、渐进正态性等良好的统计性质，在实际应用中广泛使用。

2. 矩估计矩估计是一种基于样本矩对总体矩的估计来得到参数的方法。

矩估计的基本思想是将总体矩与样本矩相等，然后解方程得到参数的估计值。

矩估计方法简单易用，但在样本较小或模型复杂的情况下可能存在偏差较大的问题。

3. 贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，它将样本数据和先验信息结合起来得到参数的估计值。

参数估计Parametersestimation

参数估计Parametersestimation
一、有关区间估计的几个概念 1. 置信区间：区间估计是求所谓置信区间的方法。置 信区间就是我们为了增加参数被估计到的信心而在 点估计两边设置的估计区间。 2. 显著性水平 ：用置信区间来估计的不可靠程度。
3. 置信度（水平） ：用置信区间估计的可靠性 （把握度） 4. 抽样平均误差 与概率度 Z 抽样平均误差 ：样本均值抽样分布的标准差。 反映在参数周围抽样平均值的平均变异程度。
练习
1、根据居民100户抽样家计调查，居民用于食品 费用占总收入的比例平均为45%，比例的标准差为 20%。求食品费用占居民总收入比例的区间估计（置 信度为95%）。 2、根据某大学100名学生的抽样调查，每月平均 用于购买书籍的费用为4.5元，标准差为5元，求大学 生每月用于购买书籍费用的区间估计（置信度为 95%）。 3、某工厂根据200名青年职工的抽样调查，其中60% 参加各种形式的业余学习。求青年职工参加业余学习 比例的区间估计（置信度为95%）。 （0.41，0.49）（3.52，5.48）（0.54，0.66）
＝170±1.47
因此，有95％的把握，该校学生的平均身高在 168.5 ~ 171.5厘米之间。
第三节 其他类型的置信区间
1. 小样本，且为正态总体 ，总体均值的区间估计(用 分布)
[例] 在一个正态总体中抽取一个容量为25的样本， 其均值为52，标准差为12，求置信水平为95％的总体 均值的置信区间。 [解] 根据题意，总体方差未知，且为小样本，故 用 分布统计量。由95％置信水平查 分布表得概
因此，有95％的把握，该厂妇女的平均从事家务 劳动的时间在2.87 ~ 2.43小时之间。
从来自在“白领犯罪与罪犯生涯：一些初步
研究结果”的一项研究报告的数据表明，白领犯 罪可能是年纪较大者，并且显示比街头罪犯有较 低的犯罪率。给出数据为：白领犯罪发作平均年 龄为54岁， =100，标准差被估计为7.5岁。建立

医学统计学-第九章计数资料的参数估计与卡方检验

医学统计学-第九章计数资料的参数估计与卡方检验

率的标准误的计算公式：
p
(1-)
n
式中，δp 为率的标准误，π为总体率,n为样本含量
在实际工作中，由于总体率π很难知道，常用样本率P来代 替，故公式变为：
sp
Sp为率的标准误的估计值
p(1 p)
n
p为样本率
n为样本含量
方法： 1.查表法：当样本含量较小(如n≤50),特别是np或n(1-p）较小时，p呈偏态 分布， 可根据样本含量n和阳性数x，查相关统计学教材“百分率的可信区间” 表，求得总体率可信区间。 2.正态近似法：当样本含量足够大（如n﹥50），且样本率p或1-p均不太小， 如np和n（1-p）均≥5时，样本率的分布近似正态分布,可按下列公式计算 ：
第二步：计算检验统计量
2 ( A T )2
T
式中： A 为实际频数（actual frequency）T 为理论频数（theoretical frequency）
第三步：确定 P 值，得出结论
x2=9.32
ν=（R-1）（C-1）=（2-1）（2-1） 由 2界值表查得 20.05，1 = 3.84 ，
组别 有效 无效 合计
H0成立下的有效率（%）
中药
T11
T12
160
西药
T21
T22
140
72.7% 72.7%
合计 218
82
300
72.7%
T11 =160 ×72.7%= 160×（218/300）=116.3 T12 =160 ×(1-72.7%)= 160×（82/300）=43.7 T21 =140 ×72.7%= 140×（218/300）=101.8 T22 =140×(1-72.7%)= 140×（82/300）=38.2

参数估计

参数估计

结论：不管总体X服从何种分布， 结论：不管总体X服从何种分布，总体期望和方差 的矩估计量分别为样本均值、样本方差， 的矩估计量分别为样本均值、样本方差，即
1 n µ = X = ∑ Xi n i =1 1 n σ 2 = ∑ ( X i − X ) 2 = Sn2 n i =1
估计值为
1 n µ = x = ∑ xi n i =1
ˆ L( x1 , x2 ,L , xn , θ ) = max L( x1 , x2 ,L , xn , θ )
ˆ 为参数θ的极大似然估计值。 则称 θ 为参数θ的极大似然估计值。
参数的极大似然估计法
求解方法： 求解方法： （1）构造似然函数 L(θ ) = f ( x1 , x2 ,L , xn , θ ) = Π f ( xi , θ ) ） （2）取自然对数 ） （3）令 ）
$ 将样本观测值 x1 , x2 ,L , xn 代入 θ ( X 1 , X 2 ,L , X n ) ， $ 参数θ 称为参数 的估计值。 得到的值 θ ( x1 , x2 ,L , xn ) 称为参数θ的估计值。
点估计（ 如果构造一个统计量 点估计（point estimation) ：如果构造一个统计量
试估计该批钢件的平均屈服点及其方差。 试估计该批钢件的平均屈服点及其方差。 解 由数字特征法，得屈服点及方差的估计值为 由数字特征法，
1 20 µ = x = ∑ xi = 5.21 20 i =1 1 20 2 2 2 σ =S = ∑ ( xi − 5.21) = 0.049 20 − 1 i =1
n
ln L( x1 , x2 ,L , xn ,θ ) = ∑ ln f ( xi , θ )
i =1
n

概率论与数理统计课件：参数估计

概率论与数理统计课件：参数估计

n
n
p( X xi; ) p(xi; ).
i 1
i 1
事实上，它们仅是参数 的函数，称为似然函数，记
为L( ) ，即 L( ) L(x1, x2,
或
n
, xn; ) f (xi; ), i 1
n
L( ) L( X x1, X x2, , X xn; ) p(xi; ). i 1
一个随机变量，其服从 0的泊松分布，即X ~ P()，
其中， 为未知参数. 已知在某小时进入该商场的人数的
样本值见表7.1，试求参数 的点估计值.
表7.1 在某小时进入某商场人数的统计情况
每分钟平均一秒钟进 入该商场的人数 0
1
2
3
4
5
6
7 8
分钟数
6 18 17 9 5 2 2 1 0
参数估计
解：因为X E( 1) ，所以 E( X ) .
由于仅有一个未知参数 ，故仅列一个方程
即可.
1( ) A1
因为1( ) E(X ) 和 A1 X ，所以ˆ X .
参数估计
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例7.1.3 设随机变量X在区间[a, b]中均匀取值，即 X U (a,b) ，其中，a 与 b均为未知参数，试求 a与 b的
i 1
i 1
参数估计
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(3) 似然函数 L( ) 与经自然对数变换后的函数 ln L( ) 等价，即求L( )的最大值点等价于求 ln L( )的最大值 点. 函数ln L( ) 对未知参数 求导数，并令其为0，即
d ln L( ) 0.
d
(4) 求解上述方程，得到参数 的最大似然估计值 ˆ(x1, x2 , , xn ),

《统计学参数估计》课件

《统计学参数估计》课件

4
点估计例子及应用
点估计可应用于各种领域，如经济学、医学研究和市场调查中的参数估计。
区间估计
区间估计的定义和原理
区间估计是用一个区间来估计总 体参数值，表示对参数的估计有 一定的不确定性。
置信区间的计算方法
置信区间的计算方法通常基于样 本统计量和抽样分布的特性。
区间估计例子及应用
区间估计可用于估计总体均值、 比例和方差等参数，并提供参数 估计的可信区间。
《统计学参数估计》PPT 课件
统计学参数估计PPT课件。介绍统计学中参数估计的基本概念和方法。本课 程将帮助您深入了解参数估计的重要性和应用前景。
参数估计概述
什么是参数估计？
参数估计是根据样本数据推 断总体参数的过程。
参数的概念和含义
参数是总体分布中的数值特 征，可以用于描述总体的中 心位置和离散程度。
参数估计的意义和应用
参数估计可以帮助我们了解 总体，并作出统计推断和预 测。
点估计
1
点估计的定义和原理
点估计是通过一个点估计总体参数值的方法，通常使用样本统计量来估计。
2
最大似然估计法
最大似然估计法是一种常用的点估计方法，根据样本数据选择使似然函数最大化的参数值。
3
最小乘法
最小乘法是一种点估计方法，通过最小化预测值与真实值之间的差距来估计参数。
参数估计是统计学中重要的工具，可以帮助我们 了解总体和做出合理的推断。
统计学参数估计的应用前景
统计学参数估计在各个领域都有广泛的应用，可 以提供实用的数据分析和决策支持。
假设检验
1 假设检验的基本概念和原理
假设检验是通过对统计数据进行检验来评估关于总体参数的假设。
2 假设检验的步骤和方法

参数估计PPT课件

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参数估计
目录
• 参数估计简介 • 最小二乘法 • 最大似然估计法 • 贝叶斯估计法 • 参数估计的评估与选择
01 参数估计简介
参数估计的基本概念
参数估计是一种统计学方法，用于估计未知参数的值。通过使用样本数据和适当的统计模型，我们可 以估计出未知参数的合理范围或具体值。
参数估计的基本概念包括总体参数、样本参数、点估计和区间估计等。总体参数描述了总体特征，而 样本参数则描述了样本特征。点估计是使用单一数值来表示未知参数的估计值，而区间估计则是给出 未知参数的可能范围。
到样本数据的可能性。
最大似然估计法的原理是寻找 使似然函数最大的参数值，该 值即为所求的参数估计值。
最大似然估计法的计算过程
确定似然函数的表达式
根据数据分布和模型假设，写出似然函数的表达式。
对似然函数求导
对似然函数关于参数求导，得到导数表达式。
解导数方程
求解导数方程，找到使似然函数最大的参数值。
确定参数估计值
04
似然函数描述了样本数据与参数之间的关系，即给定参数值下观察到 样本数据的概率。
贝叶斯估计法的计算过程
首先，根据先验信息确定参数的先验分布。 然后，利用样本信息和似然函数计算参数的后验分布。 最后，根据后验分布进行参数估计，常见的估计方法包括最大后验估计（MAP）和贝叶斯线性回归等。
贝叶斯估计法的优缺点
参数估计的常见方法
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的线性回归分析方法，通过最小化误差的平方和来估计未知参数。这种方法适用于线性回归模 型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
极大似然法
极大似然法是一种基于概率模型的参数估计方法，通过最大化样本数据的似然函数来估计未知参数。这种方法适用于 各种概率模型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
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第九章 参数估计本章开始介绍统计推断，即依据母总体中取得的一个简单随机子样队总体进行分析和推断。

统计推断分成两大部分，一是参数估计，另一是假设检验。

参数估计又分点估计与区间估计两种。

前者是用一个适当的统计量作为参数的近似值，我们称之为该参数的估计量，后者则是用两个统计量所界定的区间来指出真实参数值的大致范围。

这里所指的参数是指如下三类未知参数：⒈分布中所含的未知参数θ，如：二点分布(1,)b p 中的概率p ；正态分布2(,)N μσ中的μ和2.σ⒉分布中所含的未知参数θ的函数。

如：服从正态分布2(,)N μσ的变量X 不超过某给定值a 的概率()()a X a μσ-≤=ΦP 是未知参数,μσ的函数；单位产品的缺陷数X 通常服从泊松分布()P λ，则单位产品合格（无缺陷）的概率(0)X e λ==-P 是未知参数λ的函数。

⒊分布的各种特征数也都是未知参数，如：均值()E X ，方差()D X ，分布中位数等。

一般场合，常用θ表示参数，参数θ所有可能取值组成的集合称为参数空间，常用Θ表示，参数估计问题就是根据样本对上述各种未知参数做出估计。

参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。

这里我们先从点估计开始。

设1,,n X X 是来自总体的一个样本，我们用一个统计量1ˆˆ(,,)n X X θθ=的取值作为θ的估计值，ˆθ称为θ的点估计（量），简称估计。

这里如何构造统计量ˆθ并没有明确的规定，只要它满足一定的合理性即可。

这就涉及两个问题：⑴其一是如何给出估计，即估计的方法问题；⑵其二是如何对不同的估计进行评价，即估计的好坏判断标准。

下面介绍一些点估计的方法。

§9.1点估计和估计量的求法人们可以运用各种方法构造出很多θ的估计，本节介绍两种最为常用的点估计方法：矩法和最大似然法。

9.1.1替换原理和矩法估计1900年统计学K.Pearson 家提出了一个替换原则，后来人们称此方法为矩法。

一、矩法估计替换原理常指如下两句话：⒈用样本矩去替换总体矩，这里的矩可以是原点矩也可以是中心矩；⒉用样本矩的函数去替换相应的总体矩的函数。

根据这个替换原理，在总体分布形式未知场合也可以对各种参数做出估计，譬如：⒈用样本均值X 估计总体均值()E X ，即ˆ()EX X =； ⒉用样本方差2n S *估计总体方差()D X ，即2ˆ()nD X S *=； ⒊用事件A 出现的频率估计事件A 发生的概率；⒋用样本的p 分位数估计总体的p 分位数，特别，用样本中位数估计总体中位数。

矩法估计的统计思想（替换原理）十分简单明确，众人都能接受，使用场合甚广，它的实质是用经验分布函数去替换总体分布，其理论基础是格里纹科定理。

二、概率函数(;)p x θ已知时未知参数的矩法估计 设总体具有已知的概率函数11(;,,),(,,)k k p x θθθθ∈Θ是未知参数或参数向量，1,,n X X 是样本，假定总体的k 阶原点矩k μ存在，则对所有的,0,j j j k μ≤≤都存在，若假设1,,k θθ能够表示成1,,k μμ的函数1(,,)j j k θθμμ=，则可给出诸j θ的矩法估计：1ˆ(,,),1,,,j j kj k θθαα== 其中1,,k αα是前k 个样本原点矩：11nj j i i X n α==∑。

进一步，如果我们要估计1,,k θθ的函数1(,,)k g ηθθ=，则可直接得到η的矩法估计1ˆˆˆ(,,),kg ηθθ= 当1k =时，我们通常可以由样本均值出发对未知参数进行估计；如果2k =，我们可以由一阶、二阶原点矩（或二阶中心距）出发估计未知参数。

例9.1.1正态总体的分布是2(,)N μσ。

求2,μσ的矩估计。

由2(),()E X D X μσ==可得22ˆˆ,n X S μσ*== 例9.1.2在泊松分布()P λ的总体中，求λ的矩估计 由()E X λ=可得ˆX λ= 例9.1.3在二项分布(,)b n p 的总体中，n 是已知的，求p 的估计量。

由()E X np =，有ˆX np=，所以第九章 参数估计3ˆXpn= 例9.1.4设总体X 具有Γ分布，其密度为1, 0(;,)()0, 0xx e x f x x ααββαβα--⎧>⎪=Γ⎨⎪≤⎩其中0,0αβ>>，试求,αβ的矩估计。

这里2,k =计算数学期望和方差可得2(),()E X D X ααββ== 因而22ˆˆ,ˆˆn X S ααββ*== 解方程得222ˆˆ,n nX X S S αβ**== 例9.1.5设总体为指数分布，其密度函数为(;),0x f x e x λλλ=>-1,,n X X 是样本，此处1,k =由于1()E X λ=，即1()E X λ=，故λ的矩法估计为 1ˆXλ= 另外，由于21()D X λ=，其反函数为λ=λ的矩法估计也可取为11ˆnS λ*= 这说明矩估计可能是不唯一的，这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。

例9.1.61,,n X X 是来自(,)a b 上的均匀分布(,)U a b 的样本，,a b 均是未知参数，这里2,k =由于2()(),()212a b b a E X D X ==+-不难推出()()a E X b E X ==由此可得,a b 的矩估计ˆ,n na Xb X **== 若从均匀总体(,)U a b 获得如下一个容量为5的样本：4.5 5.04.7 4.0 4.2，经计算，有 4.48,0.3962n X S *==，于是可得,a b 的矩估计为ˆ 4.48 3.7938,ˆ 4.48 5.1662.ab=-==+=使用矩法估计的一个前提是总体存在适当阶的矩，阶数应不小于待估参数的个数（或者是参数空间的维数），但这不总是可以做到的。

例9.1.7柯西分布（Cauchy ）设总体具有密度函数21(;),(1())f x x x θπθ=∞<<∞-++- 显然它的各阶矩皆不存在，因此不能用矩法估计来估计参数θ，另外尽管矩法估计简便易行，且只要n 充分大，估计的精度也很高，但它只用到总体的数字特征的形式，而未用到总体的具体分布形式，损失了一部分很用的信息，因此在很多场合下显的粗糙和过于一般。

9.1.2最大似然估计最大似然估计是求估计用的最多的方法，它最早是由高斯在1821年提出，但一般将之功归功于费希尔（R.A.Fisher ），因为费希尔在1922年再次提出了这种想法并证明了它的一些性质而使最大似然法得到了广泛的应用。

先通过一个实例介绍最大似然估计。

例9.1.8设有一大批产品，其废品率为(01)p p <<。

今从中随意地取出100个，其中有10个废品，试估计p 的数值。

若正品用“0”表示，废品用“1”表示。

此总体X 的分布为{1},{0}1X p X p ====-P P即1{}(1),0,1x x X x p p x ==-=-P取得的子样记为1,,n X X ，其中10个是“1”，90个是“0”。

出现此子样的概率为第九章 参数估计5112211112211*********{,,,}{}{}{}(1)(1)(1)(1)(1)n n nniii i n n n n x x x x x x x n x X x X x X x X x X x X x p p p p p p p p p p ==========∑∑==---------P P P P这个概率随p 的数值不同而不同。

自然选择使此概率达到最大的p 值作为真正废品率的估计值。

记1090()(1)L p p p =-。

用高等数学中求极值的方法，由'9901089989()10(1)90(1)(1)[10(1)90]0L p p p p p p p p p =---=---=得10ˆ100p= 此例求解的思想方法是：选择参数的值使抽得的子样值出现的可能性最大，用这个值作为未知参数的估计值。

这种求估计量的方法称为最大似然估计法，也称为最大或然估计法或者极大似然估计法。

显然，如果在此例中取一个容量为n 的子样，其中有m 个废品，用最大似然估计法可得ˆmpn=。

下面就离散总体分布和连续总体分布两种情形分别介绍最大似然估计法。

⒈离散总体分布情形 设总体X 的分布列为{},1,2,i X x i ==P或112{}(;,,),,,k X x P x x x x θθ===P其中1,,k θθ是未知参数，如果取得子样值1,,n x x ，那么出现此子样值的概率为1112211221(,,;,,){,,,}{}{}{}()n k i n n n n ni i L x x X x X x X x X x X x X x P x θθ==========∏P P P P选择1,,k θθ使11(,,;,,)n k L x x θθ达到最大，即 11(,,;,,)max n k L x x θθ=这样获得的1,,k θθ值作为相应未知参数的估计值。

这种求估计值的方法称为最大似然估计法。

简记为MLE （Maximum Likelihood Estimate ）。

求得的未知参数的估计量1ˆˆ,,kθθ称为最大似然估计量。

L 称为似然函数。

如果L 对1,,k θθ的偏导数存在，那么可以采用高等数学中求极值的方法计算估计值，只要从似然方程组0,1,2,,iLi k θ∂==∂解出1(,,)i i n x x θθ=，并i θ将换成ˆi θ即可。

需要指出，有时利用对数函数是单调增函数，选择1,,k θθ，使ln max L =较为方便。

通常ln L 亦称为对数似然函数。

易知L 与ln L 在同一处ˆθ达到极大，因此这样做不会改变极大点。

⒉连续总体分布情形 设总体X 的分布密度是1(;,,)k f x θθ，其中1,,k θθ是未知参数，取得子样值为1,,n x x 。

我们知道当总体是连续型随机变量时，谈所谓样本值1,,nx x 出现的概率是没有什么意义的，因为任何一个具体样本出现的概率都是零概率事件。

这时我们考虑样本在它任意小的邻域中出现的概率，这个概率越大，就等价于此样本处的概率密度越大。

因此，考虑概率11112222111111111{,,,}{}{}[(;,,)][(;,,)]n n n n n n n n ni k i i n i k ni x dx X x x dx X x x dx X x x dx X x x dx X x f x dx f x dx dx θθθθ-<≤-<≤<≤=<≤<≤≈=∏∏==---P P P这里取的小区间1,,n dx dx 长度都是固定的量。