高中数学解题技巧之一元多次不等式

一、引言一元二次不等式是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型之一。

掌握一元二次不等式的解法及基本不等式的运用，对于提高学生的数学水平和解题能力有着重要的作用。

本文将重点讲解一元二次不等式及基本不等式的常见题型及解题方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

二、一元二次不等式的基本概念1. 一元二次不等式的定义一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中a、b、c为常数，x为未知数，且a≠0。

一元二次不等式的解就是使不等式成立的x的取值范围。

2. 一元二次不等式的常见形式一元二次不等式的常见形式包括ax^2+bx+c>0、ax^2+bx+c≥0、ax^2+bx+c<0和ax^2+bx+c≤0等，需要根据具体情况选择合适的解题方法来解决。

三、一元二次不等式的解法及常见题型1. 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的常用方法有：利用一元二次函数的图像法、利用一元二次函数的根式关系法、利用配方法、利用因式分解法等。

需要根据具体不等式的形式和题目的要求选择合适的解题方法。

2. 一元二次不等式的常见题型及讲解(1) 一元二次不等式的根的情况讨论当一元二次不等式的根的情况为实数时，解法与一元二次方程类似，可以利用一元二次函数的图像法或根式关系法求解。

当根的情况为虚数时，需要利用配方法或因式分解法进行求解。

(2) 一元二次不等式的恒成立条件讨论对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0），当a>0时，条件为Δ<0；当a<0时，条件为Δ>0。

根据恒成立条件的讨论，可以快速判断一元二次不等式的解的范围。

(3) 一元二次不等式的应用题针对一元二次不等式的应用题，需要根据具体问题建立相应的不等式模型，再利用所学的解题方法进行求解，并得出相应的结论。

四、基本不等式的概念及应用1. 基本不等式的定义基本不等式是指在一定条件下成立的不等式，常见的基本不等式有算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦兹不等式等。

如何解一元多项式不等式1. 背景介绍一元多项式不等式是数学中常见的问题之一，它涉及到多项式函数的大小比较。

解一元多项式不等式的过程需要运用一些基本的代数知识和不等式性质，以得出不等式的解集。

2. 解一元多项式不等式的一般步骤解一元多项式不等式的一般步骤如下：步骤1：将不等式转化为标准形式将不等式中的一元多项式移项并合并同类项，使其等于零，得到标准形式。

步骤2：求解标准形式的零点将标准形式的多项式等于零，求解出多项式的零点。

步骤3：确定不等式的几何区域根据零点的位置，确定不等式的几何区域。

可以通过绘制数轴或作图的方式，辅助确定。

步骤4：判断不等式的符号在每个区域内选取一个测试点，代入不等式中，并根据测试点的结果判断不等式的符号。

符号取决于不等式中的不等号类型（大于或大于等于为正，小于或小于等于为负）。

步骤5：写出不等式的解集根据步骤4中得到的符号，将各个区域内满足不等式的数字表达出来，合并起来即为不等式的解集。

3. 示例以一元二次不等式为例，演示解一元多项式不等式的过程。

假设有一元二次不等式：x^2 - 2x > 3。

步骤1：转化为标准形式将不等式移项，得到：x^2 - 2x - 3 > 0。

步骤2：求解零点将标准形式的多项式等于零，求解出多项式的零点。

由于这是一元二次方程，可以使用因式分解、配方或求根公式等方法，得到零点为x = -1，x = 3。

步骤3：确定几何区域在数轴上，将零点 -1 和 3 标记出来。

-∞ -1 3 +∞步骤4：判断符号在区域 -∞ 到 -1 内选取一个测试点，例如 x = -2，代入不等式x^2 - 2x - 3 > 0 中得到 (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 7 > 0。

因此，在该区域内，不等式为正。

在区域 3 到+∞ 内选取一个测试点，例如 x = 4，代入不等式x^2 - 2x - 3 > 0 中得到 4^2 - 2(4) - 3 = 5 > 0。

一元二次不等式的求解方法一元二次不等式是高中数学中的重要知识点之一，掌握其求解方法对于解决数学题目和实际问题非常重要。

本文将介绍一元二次不等式的基本概念及其求解方法，帮助读者更好地理解和应用这一知识。

一、一元二次不等式的基本概念一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的不等式，其中a、b、c为已知实数，且a≠0。

其解集表示x的取值范围，以使得不等式成立。

解一元二次不等式的关键在于确定x的取值范围。

二、一元二次不等式的求解方法1. 图示法通过绘制一元二次函数的图像，可以直观地得到不等式的解集。

首先，将不等式化为等式ax^2 + bx + c = 0，求解得到方程的根，记为x1和x2。

然后，根据抛物线的凹凸性质和与x轴的交点情况，得到不等式的解集。

- 当a > 0时，抛物线开口向上，解集为x ∈ (-∞, x1) ∪ (x2, +∞)。

- 当a < 0时，抛物线开口向下，解集为x ∈ (x1, x2)。

2. 辅助函数法通过引入一个辅助函数来求解一元二次不等式。

根据不等式的性质，我们可以构造一个与原不等式等价的辅助方程。

具体步骤如下：- 对于ax^2 + bx + c > 0，构造辅助函数f(x) = ax^2 + bx + c，将不等式转化为f(x) > 0的形式。

- 求解辅助方程f(x) = 0，得到方程的根，记为x1和x2。

- 根据辅助方程的根和函数的凹凸性质，确定不等式的解集。

3. 判别式法判别式法是一种常用的简化计算的方法，适用于某些特定的一元二次不等式。

通过求解方程ax^2 + bx + c = 0，得到判别式D = b^2 - 4ac。

- 当D > 0时，不等式有两个不相等的实根x1和x2，解集为x ∈ (-∞, x1) ∪ (x2, +∞)。

- 当D = 0时，不等式有两个相等的实根x1 = x2，解集为x ∈ (-∞,x1) ∪ (x1, +∞)。

一元二次不等式全部解法一元二次不等式是高中数学中的一种常见题型，解决不等式问题需要运用一定的方法和技巧。

本文将介绍一元二次不等式的全部解法，帮助读者深入理解和掌握这一知识点。

一、基本概念一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b、c为实数，且a≠0。

解一元二次不等式，即找出不等式的解集。

二、判别式法判别式法是解一元二次不等式的基本方法之一。

对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0，可以先求出方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ=b^2-4ac，然后根据判别式的大小确定不等式的解集。

1. 当Δ > 0时，方程ax^2 + bx + c = 0有两个不相等的实根x1和x2。

此时，可以将一元二次不等式分解为两个一元一次不等式，即(ax-x1)(ax-x2) > 0或(ax-x1)(ax-x2) < 0。

根据一元一次不等式的性质，可以求得一元二次不等式的解集。

2. 当Δ = 0时，方程ax^2 + bx + c = 0有两个相等的实根x1=x2。

此时，可以将一元二次不等式分解为一个一元一次不等式(ax-x1)^2 > 0或(ax-x1)^2 < 0。

根据一元一次不等式的性质，可以求得一元二次不等式的解集。

3. 当Δ < 0时，方程ax^2 + bx + c = 0没有实根。

此时，一元二次不等式的解集为空集∅。

三、图像法图像法是解一元二次不等式的另一种常用方法。

对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0，可以将其对应的二次函数y = ax^2 + bx + c的图像画出，然后根据图像确定不等式的解集。

1. 当a > 0时，二次函数的图像开口向上，形状为抛物线。

专题讲解:一元二次不等式及其解法知识点一:一元二次不等式的定义我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式.知识点2:一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意:一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式.知识点3:一元二次不等式、一元二次方程以及二次函数的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系. 一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是: （1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点.（2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点.具体关系见下页表（1）所示.一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围;（2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围. 表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:由上表可知:一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点4:一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意:一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.其中,①当0>∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;②当0=∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅;③当0<∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为R ;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅.知识点5:一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a . 例1. 解下列不等式:（1）03722>++x x ; （2）542--x x ≤0. 解:（1）∵02532472>=⨯⨯-=∆∴方程03722=++x x 的两个根为3,2121-=-=x x∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<->321x x x 或;（2）∵()()03651442>=-⨯⨯--=∆∴方程0542=--x x 的两个根为1,521-==x x ∴原不等式的解集为{}51≤≤-x x . 一元二次不等式的解法,可借助于因式分解. 另解:（1）()()0123>++x x∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<->321x x x 或;（2）()()51-+x x ≤0∴原不等式的解集为{}51≤≤-x x .例2. 解下列不等式:（1）91242-+-x x ≥0; （2）053212>-+-x x . 解:（1）原不等式可化为91242+-x x ≤0 ∴()232-x ≤0∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=23x x ;（2）原不等式可化为01062<+-x x∵()04101462<-=⨯⨯--=∆∴方程01062=+-x x 无实数根 ∴原不等式的解集为∅.例3. 解不等式:02322<-+-x x .解:原不等式可化为02322>+-x x ∵()0722432<-=⨯⨯--=∆∴方程02322=+-x x 无实数根 ∴原不等式的解集为R .习题1: 解下列不等式:（1）0652>--x x ; （2）672>+-x x ;（3）()()032<+-x x ; （4）()()x x x x ->+-412242.习题2. 不等式()02>-x x 的解集为【 】（A ）{}0>x x （B ）{}2<x x （C ）{}02<>x x x 或 （D ）{}20<<x x习题3. 已知集合{}{}06,028322>--=≤--=x x x N x x x M ,则=N M ____________. 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,一般情况下均需要进行分类讨论.根据讨论对象的不同,分为以下三种情形:一、二次项系数含有参数,对二次项系数的讨论 例4. 解不等式:()0122>+++x a ax .解:当0=a 时,原不等式为012>+x ,其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->21x x ;当0≠a 时,()044222>+=-+=∆a a a解方程()0122=+++x a ax 得:aa a x a a a x 242,2422221+---=++--= ①当0>a 时,原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 24224222或;②当0<a 时,原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 24224222.例5. 解不等式:()00652≠>+-a a ax ax . 解:∵0≠a∴()0245222>=--=∆a a a解方程0652=+-a ax ax 得:3,221==x x 分为以下两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为{}23<>x x x 或; ②当0<a 时,原不等式的解集为{}32<<x x .二、对判别式∆的符号的讨论 例6. 解不等式042>++ax x . 解:162-=∆a当0>∆,即4>a 或4-<a 时方程042=++ax x 的两根分别为21621-+-=a a x ,21622---=a a x ,显然21x x >,所以原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---<-+->21621622a a x a a x x 或;当0=∆,即4±=a 时原不等式可化为()022>+x 或()022>-x ,所以原不等式的解集为{}2-≠x x 或{}2≠x x ;当0<∆,即44<<-a 时方程042=++ax x 无实数根,所以原不等式的解集为R . 例7. 解不等式()14122+-+x x m ≥0()R m ∈. 解:∵2m ≥0 ∴012>+m()()222412144m m -=+--=∆当0>∆,即33<<-m 时,原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--≤+-+≥1321322222m m x m m x x 或; 当0=∆,即3±=m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21x x ; 当0<∆,即3>m 或3-<m 时,原不等式的解集为R . 三、对一元二次方程两根大小的讨论例8. 解不等式0112<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x a a x ()0≠a .解:原不等式可化为:()01<⎪⎭⎫ ⎝⎛--a x a x当aa 1=,即1±=a 时,原不等式的解集为∅; 当aa 1>,()()()()011,011,012>-+>-+>-a a a a a a a a ,即101><<-a a 或时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1;当a a 1<,即101<<-<a a 或时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1. 例9. 解不等式()006522≠>+-a a ax x . 解:原不等式可化为:()()032>--a x a x 方程()()032=--a x a x 的解为a x a x 3,221== ∵0≠a ,∴21x x ≠.当a a 32>,即0<a 时,原不等式的解集为{}a x a x x 32<>或; 当a a 32<,即0>a 时,原不等式的解集为{}a x a x x 23<>或. 例10. 解关于x 的不等式:()0112<---x a ax . 解:当0=a 时,原不等式为01<-x ,其解集为{}1<x x ;当0≠a 时,原不等式可化为:()()011<-+x ax ,方程()()011=-+x ax 的根为1,121=-=x ax当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧<<-11x a x ;当0<a 时,①若11=-a,即1-=a ,则原不等式的解集为{}1≠x x ; ②若11>-a ,即01<<-a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->11x a x x 或;③若11<-a ,即1-<a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>a x x x 11或.注意:一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有着直接的关系. 知识点:一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解.例11. 已知关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为{}21<<x x ,解关于x 的不等式012>++ax bx 的解集.解:∵02<++b ax x 的解集为{}21<<x x∴2,121==x x 是方程02=++b ax x 的两个根由根与系数的关系定理可知:⎩⎨⎧⨯=+=-2121b a ,解之得:⎩⎨⎧=-=23b a代入不等式012>++ax bx 得:01322>+-x x ∴()()0112>--x x ,解之得:211<>x x 或 ∴012>++ax bx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>211x x x 或. 习题4. 已知方程022=++bx ax 的两根为21-和2. （1）求b a 、的值;（2）解不等式012>-+bx ax .例12. 若关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<212x x x 或,求02>+-c bx ax 的解集.解:∵02<++c bx ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<212x x x 或∴0<a ,且2-和21-是方程02=++c bx ax 的两个根 由根与系数的关系定理可知:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=--=-212212ac a b ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==125a c a b∵0<a∴02>+-c bx ax 可化为:02<+-acx a b x ∴01252<+-x x ,解之得:221<<x∴02>+-c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x .习题5. 已知关于x 的不等式02<++q px x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ,求关于x 的不等式012>++px qx 的解集.习题6. 若不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-221x x ,则=a _________,=b _________.习题7. 解下列不等式:（1）()x x -7≥12; （2）()122->x x .知识点: 一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a . 例13. 关于x 的不等式()1122+<+++x m mx x m 对∈x R 恒成立,求实数m 的取值范围. 解:原不等式可化为:012<-++m mx mx 当0=m 时,01<-,符合题意; 当m 0≠时,则有:()⎩⎨⎧<--=∆<01402m m m m ,解之得:0<m 综上所述,实数m 的取值范围为{}0≤m m .注意:若二次项系数中含有参数,不要忽略对二次项系数的讨论. 重要结论:（1）对于一元二次不等式02>++c bx ax ,它的解集为R 的条件为:⎩⎨⎧<∆>00a ;（2）对于一元二次不等式c bx ax ++2≥0,它的解集为R 的条件为: ⎩⎨⎧≤∆>00a ;（3）对于一元二次不等式02>++c bx ax ,它的解集为∅的条件为:⎩⎨⎧≤∆<00a .习题8. 若关于x 的不等式0222>++x ax 在R 上恒成立,求实数a 的取值范围.习题9. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）[]4,4- （B ）()4,4-（C ）]([)∞+-∞-,44, （D ）()()+∞-∞-,44,习题10. 已知函数()422)(2+-+=x a x x f ,如果对一切∈x R 恒成立,求实数a 的取值范围.第11页 例14. 若函数344)(2++-=x mx x x f 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）()+∞∞-, （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛34,0 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,34 （D ⎢⎣⎡⎪⎭⎫34,0 分析:本题仍是与不等式有关的恒成立问题. 函数344)(2++-=x mx x x f 的定义域为R ,即分母0342≠++x mx 恒成立.此时,当0≠m 时,方程0342=++x mx 无实数根或二次函数342++=x mx y 的图象与x 轴无交点.不要忽略对m 的讨论.解:当0=m 时,函数344)(+-=x x x f ,其定义域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,4343, ,不符合题意; 当0≠m 时,则有01216<-=∆m ,解之得:34>m ∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,34. 习题11. 已知函数1)(2++=mx mx x f 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是 【 】（A ）](4,0 （B ）][1,0 （C ）[)∞+,4 （D ）[]4,0习题12. 已知函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-,则=a _________,=b _________. 习题13. 已知函数13122+++=kx x k kx y 的定义域为R ,则实数k 的值为_________. 习题14. 函数()()6131)(22+-+-=x a x a x f .（1）若)(x f 的定义域为[]1,2-,求实数a 的值;（2）若)(x f 的定义域为R ,求实数a 的取值范围.。

一元三次不等式是高中数学中比较基础的数学知识之一，对于学习不等式的同学来说，是必须要掌握的内容。

而在实际应用中，常常被用来解决生活中的一些实际问题，例如求解不等式解集，判断当前方案是否可行等等，因此的学习对于我们的综合素质提升有着重要的意义。

以一元的幂次最高项为三次幂，最低项为常数项组成，其一般形式为：$ax^3+bx^2+cx+d>0$（其中a, b, c, d均为实数且$a\neq 0$）。

解通常有以下两个步骤：1. 求数轴上的关键点关键点是指方程的左侧取零的点，也就是说当$x\to$关键点时，方程左侧的符号会发生改变。

为了求方程左侧的符号，在数轴上必须确定所有可能的关键点。

通常情况下，关键点分为两类：思考方程的不等式形式，当$x$的值在哪些区间时，不等式左侧大于零，哪些区间时不等式左侧小于零，以及不等式左侧等于零的点是什么。

一旦确定了关键点的位置，就能根据题目要求，利用这些关键点的位置确定不等式的解集。

2. 根据关键点判断不等式解集经过求解可以得到存有关键点的数轴，通过判断关键点附近的符号确定不等式的解集。

具体来说，如果关键点左侧不等式符号一致，右侧的解集也符号一致，否则右侧的解集符号相反。

值得注意的是，解集中也可能存在两个关键点之间的区间，此时需要将这些区间当做一个整体的进行考虑，需要在求解过程中进行特别记号。

总之，在生活中应用极为广泛，例如在一些经济学模型中，不等式不仅可以用于表达条件，而且还可以通过反推该不等式的解，来研究当前经济状况。

关于不等式的进一步深入学习和应用，可以帮助我们更好地理解生活中的各种模型，并且可以帮助我们更好地进行数学建模，用数学的方法解决现实生活中的实际问题。

一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法一元二次不等式在给定区间上恒成立问题是高中数学中的一个重要知识点，它涉及到一元二次不等式的求解和区间的概念。

在解决这类问题时，我们需要灵活运用一元二次不等式的性质和求解方法，并结合区间的特性进行分析。

本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法，帮助读者更深入地理解这一知识点。

1. 一元二次不等式的基本形式在开始讨论一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法之前，我们先来回顾一下一元二次不等式的基本形式。

一元二次不等式通常可以写成以下形式：ax^2 + bx + c > 0其中，a、b、c为实数且a ≠ 0，x为变量。

在求解一元二次不等式时，我们通常需要先将不等式化为标准形式，再根据不等式的性质和判定条件进行求解。

2. 一元二次不等式的解题思路对于一元二次不等式在给定区间上恒成立问题，我们首先需要确定该区间，并根据不等式的特性进行分析。

在求解过程中，我们需要考虑以下几点：（1）对一元二次不等式进行因式分解，寻找合适的解题方法；（2）利用一元二次不等式的图象和判定条件，确定不等式在给定区间上的变化趋势；（3）结合区间的特性，分析不等式在给定区间上的取值范围；（4）判断一元二次不等式在给定区间上是否恒成立，给出相应的解法。

3. 求解方法举例接下来，我们通过一个具体的例子来演示一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法。

例题：求解不等式x^2 - 4x + 3 > 0在区间(1, 3)上是否恒成立。

解：我们对不等式x^2 - 4x + 3 > 0进行因式分解，得到(x - 1)(x - 3) > 0。

我们可以利用一元二次不等式的图象和判定条件来分析不等式在区间(1, 3)上的变化趋势。

当x属于区间(1, 3)时，(x - 1)和(x - 3)的取值分别为正和负，或者为负和正。

第4讲 不等式的解法一、简单一元高次不等式解法（解一元高次不等式，一般采取数轴标根法） 其步骤如下：（1）将f(x)的最高次项的系数化为正数；（2）将f(x)分解为若干个一次因式的积；（3）将每一个根顺次表在数轴上，再从右到左依次标出区间；（4）f(x)>0时取奇数区间；f(x)<0时取偶数区间.例1、解不等式（1）2 >0； （2）（x+4） <0.解析：（1）原式=x （2 -x-15）>0⟹x （x-3）（2x+5）>0，得不等式的解集为奇数区间，即{x ∣- <x <0或x >3}.（2）学生自行解决.答案：{x ∣x <-5或-5<x <-4或x >2}.二、分式不等式的解法例2、解不等式： > . 解析：原式变为 >0，通分 （ ） （ ）>0， ⟹ （ ）（ ）>0⟹ >0⟹ 或0<x<1. 练习：1、解下列不等式（1）2 ； （2）-4 ；（3）（x-2）( ；（4）（x-3）(x+2) (x-4)>0.2、解不等式：<0. 三、无理不等式解法 （1） g(x)⇔ 或 ；-5/203（2）g(x)⇔ ；（3）f(x)>g(x)0.例3、若不等式+的解集为（4，b），求a、b的值.解析：设=u，则原不等式为u>a+，即a-u+<0，∵不等式的解集为（4，b），∴方程a-u+=0的两个根分别为2，，由韦达定理得解得.练习：解不等式（1）<x-1；（2）>x+3.解析：（1）<x-1，⟹x∈(2，3]；①等价转化法：⟹或②换元法：设t=（t0）x=3-，即t<3--1， ⟹（t-1）(t+2)<0，-2<t<1，故0t<1,0<1⟹2<x3.③求补集法：x-1⟹ 或⟹x2或x>3，故原不等式解集为(2，3].<即x∈（2，3].（2）>x+3，解析:用①②③④种方法由学生完成.答案：（-∞，-）.四、指数、对数不等式的解法例4、解关于x的不等式lg(2ax)-lg(a+x)<1.解析：⟹a>0，x>0⟹ lg(2ax)<lg(10a+10x)⟹2ax<10a+10x，即（a-5）x<5a.当0<a<5时，a-5<0，x>0当a=5时，不等式0x<25，得x>0；当a>5时，a-5>0，解得0<x<.五、含绝对值不等式的解法例5、解不等式：∣∣x+1∣+∣x-1∣∣<+1.解析：+1>0恒成立，x>-2.①当x1时，原不等式可以变形为2x<+1，，无解；②当-1x<1时，∣∣x+1∣+∣x-1∣∣=2，则原不等式可变形为无解；③当-2<x<-1时，原不等式可以变形为，无解.综合①②③可知，原不等式无解.六、含参不等式的解法例4、试求不等式>-1对一切实数x恒成立的θ取值范围.解析：∵>0，故原不等式变为（θθ）θθθθ>0，令θθ=t，则t∈[-，]，不等式变为（t+1）-(t-4)x+t+4>0对x∈R恒成立，由二次函数可知，∴t>0或t<(舍)，故0<θθ ，即2k-<θ2k+（k∈Z）.练习：1、解不等式（1）2ax>5-x(a∈R)；（2）mx>k-nx （m、n、k∈R）解析：（1）（2a+1）x>5，（2）（m+n）x>ka>-时，x>；m+n>0，x>；a<- 时，x<；m+n<0，x<；a=- 时，x∈∅. m+n=0，，∈，∈∅.2、解不等式>1.解析：原不等式变为>0⟹[(a-1)x-(a-2)]（x-2）>0，⟹（a-1）[x-](x-2)>0，当a>1时，[x-](x-2)>0⟹（-∞，）∪（2，+∞）；当a<1时，[x-](x-2)<0，∵2-=，①当0<a<1时，解是（2，）②当a=0时，解为空集，即x∈∅；③a<0时，解为（，2）.课外练习：一、选择题1、若0<a<1，则不等式（a-x）(x- )>0的解集为（）A 、{x∣a<x<}；B、{x∣<x<a}；C、{x∣x>或x<a}；D、{x∣x<或x>a}.2、不等式∣x+1∣(2x-1)0的解集为（）A、{x∣x=-1或x}；B、{x∣x-1或x}；C、{x∣x}；D、{x∣-1x}.3、若a>1且0<b<1，则不等式的解集为（）A、x>3；B、x<4；C、3<x<4；D、x>4.4、不等式2的解集是（）A、[-3，]；B、[- ,3]；C、[,1）∪（1,3]；D、[- ,1）∪（1,3].5、已知∣a-c∣<∣b∣，则（）A、a<b+c；B、a>c-b；C、∣a∣>∣b∣-∣c∣；D、∣a∣<∣b∣+∣c∣.6、设f(x)，，则不等式f(x)>2的解集为（）A、（1,2）∪（3，+∞）；B、（，+∞）；C、（1,2）∪（，+∞）；D、（1,2）.二、填空题7、不等式-∣x∣<0的解集是 .8、不等式的解集是.9、定义符号函数sgn x=，当x∈R时，则不等式x+2>的解集为.三、解答题10、解不等式（∣3x-1∣-1）（.11、已知函数f(x)=，当a>0时，解关于x的不等式f(x)<0.12、设有关于x的不等式lg（∣x+3∣+∣x-7∣）>a.（1）当a=1时，解此不等式；（2）求当a为何值时，此不等式的解集为R.。

高中数学解解不等式的常用技巧和方法在高中数学学习中，不等式是一个重要的知识点，也是考试中常常出现的题型。

解不等式需要我们掌握一些常用的技巧和方法，本文将介绍一些常见的解不等式的技巧，并通过具体的例题加以说明。

一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式形式，其解法与一元一次方程类似。

我们以以下例题为例：例题1：解不等式2x + 1 > 5。

解法：首先将不等式转化为等价的形式：2x + 1 - 5 > 0，化简得2x - 4 > 0。

然后解这个一元一次方程，得到x > 2。

所以不等式2x + 1 > 5的解集为x > 2。

这个例题中的关键是将不等式转化为等价的形式，然后通过解方程的方法得到解集。

这是解一元一次不等式的常用技巧。

二、一元二次不等式一元二次不等式是高中数学中较为复杂的不等式形式，我们需要通过一些特殊的方法来解决。

以下是一个例题：例题2：解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。

解法：首先我们需要求出不等式的零点，即将不等式转化为等式x^2 - 4x + 3 = 0。

通过因式分解或配方法，我们得到(x - 1)(x - 3) > 0。

然后我们需要绘制函数图像来确定不等式的解集。

绘制函数y = x^2 - 4x + 3的图像，我们可以发现函数的零点为x = 1和x = 3，这两个点将实数轴分成了三个区间：(-∞, 1)，(1, 3)，(3, +∞)。

然后我们取每个区间内的一个测试点，例如选取x = 0，2，4。

将这些测试点代入原不等式，我们可以得到以下结果：当x = 0时，左边为3，右边为0，不满足不等式；当x = 2时，左边为-1，右边为0，不满足不等式；当x = 4时，左边为3，右边为0，满足不等式。

根据测试点的结果，我们可以得到不等式的解集为x < 1或x > 3。

这个例题中的关键是通过绘制函数图像和选取测试点的方法确定不等式的解集。

高中数学不等式解题技巧高中数学不等式解题技巧有哪些呢，同学们清楚吗，不清楚的话，快来小编这里瞧瞧。

下面是由小编为大家整理的“高中数学不等式解题技巧”，仅供参考，欢迎大家阅读。

高中数学不等式解题技巧1)熟练掌握一元一次不等式(组),一元二次不等式(组)的解法(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式,特别要注意因式的处理方法(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式,指数和对数不等式的几种基本类型的解法(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法(5)在解不等式的过程中,要充分运用自己的分析能力,把原不等式等价地转化为易解的不等式(6)对于含字母的不等式,要能按照正确的分类标准,进行分类讨论不等式的基本性质是什么不等式的基本性质有对称性，传递性，加法单调性，即同向不等式可加性;乘法单调性;同向正值不等式可乘性;正值不等式可乘方;正值不等式可开方;倒数法则。

通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )(其中不等号也可以为中某一个)，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

不等式的基本性质：1、对称性。

2、如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)。

3、如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变。

4、如果x>y，z>0，那么xz>yz ,即不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的整式，不等号方向不变。

5、不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的整式，不等号方向改变。

6、如果x>y，m>n，那么x+m>y+n。

7、如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn。

8、如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)。

高二数学必修一知识点：不等式的解法【导语】是承上启下的一年，是成绩分化的分水岭，成绩往往形成两极分化：行则扶摇直上，不行则每况愈下。

在这一年里学生必须完成学习方式的转变。

为了让你更好的学习为你整理了《数学必修一知识点：不等式的解法》希望你喜欢！（1）一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对进行讨论：（2）绝对值不等式：若，则；；注意：(1）解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；(2).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。

(3）.含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。

（4）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；（5）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。

（6）解含有参数的不等式：解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为（或更多）但含参数，要讨论。

【导语】右脑整理《知识点：物质运动和能量交换2》，以及最全的备考资料，有语文、数学、、物理、化学、生物、政治、、地理、文综、理综复习学习资料，复习讲义、听力材料、，历年真题下载及答案解析，完备的资料库为广大考生提供全面的备考参考。

（1）大气对太阳辐射的削弱作用：①吸收作用：具有选择性，臭氧吸收紫外线，水汽和二氧化碳吸收红外线。

对可见光吸收的很少。

②反射作用：云层和颗粒较大的尘埃。

一元高次不等式的解法一元高次不等式的解法，这个话题听起来可能有点吓人，但实际上，它就像是在烹饪一道新菜，开始的时候看着食材一堆堆的，有点头疼，但慢慢捣鼓着，最终能做出一桌好菜来。

哎，别急，咱们慢慢来，先从基础说起。

一元高次不等式，其实就是涉及到一个未知数的高次多项式不等式，听起来很复杂，但其实很简单。

比如说，我们常见的形式就像是 ( ax^n + bx^{n1 + ldots + k > 0 )，其中的( n ) 是个大于一的整数。

大家可以想象一下，就像是一个花园里种满了不同的花，每一朵花代表一个不同的系数，它们的组合让这个花园充满了色彩。

咱们要做的，就是找到那些能让花园更加繁茂的“种子”，也就是找到满足这个不等式的 ( x ) 值。

咱们得搞清楚这个不等式的“门道”。

高次多项式可能会有多个零点，像是迷宫一样，让人转头找不到北。

这时候，大家可以用代数的方法，把它的零点给找出来。

想象一下，零点就像是魔法钥匙，能打开不同的花园区域，找到合适的 ( x ) 值。

我们可以通过求导，找出函数的极值点，看看在这些关键点附近，函数的变化情况。

哎，你要是发现了，极值点旁边的值都大于零，那这块区域就算是合格的了！然后，再者就是图像。

画出这个多项式的图像，咱们就像是把花园的全貌都展现出来。

图像上高高的山峰和低低的谷底，就是不等式成立和不成立的地方。

你要是看到函数图像从上往下穿过 x 轴，这说明不等式在这个区间是不成立的。

就像是你家门口的路，某些地方车水马龙，另一些地方则是冷冷清清。

找到这些区域，咱们就能确定不等式的解集。

解完了还得检验一遍。

就像是厨师做完菜，得先尝一口。

我们随便选一个( x ) 值，带回不等式里看一下，看看它到底成立不成立。

如果成立，恭喜你，说明这个值可以进花园里尽情玩耍了。

如果不成立，别沮丧，再去试试其他的。

一元高次不等式还会跟一些特殊的条件绑定，比如说小于零、大于零，或者等于零。

这个时候，大家就得细心一点，像个小侦探，仔细观察每一个可能的情况。

一元高次不等式的解法一、可解的一元高次不等式的标准形式（1）左边是关于x 的一次因式的积；（2）右边是0；（3）各因式最高次项系数为正。

二、一元高次不等式的解法数轴标根法：1、将高次不等式变形为标准形式；2、求根12,,,n x x x ，画数轴，标出根；3、从数轴右上角开始穿根，穿根时的原则是“奇穿偶回”4、写出所求的解集。

三、典型例题例1、0)3)(2)(1(<---x x x解：方程0)3)(2)(1(=---x x x 为1，2，3标根穿根解集为(,1)(2,3)-∞例2、2(1)(2)(1)0x x x x --+≥解：方程2(1)(2)(1)0x x x x --+=的根为0，1，2，—3 标根穿根解集为[1,0]{1}(2,)-+∞例3、(1)(2)(3)0x x x -+->例4、2(2)(3)(21)0x x x x -+--≥例5、2(1)(2)(45)0x x x x ---+≥注意：∵2245(2)10x x x -+=-+>∴原不等式变形为标准形式(1)(2)0x x --≥例6、322210x x x --+≤【练习】1、2(1)(3)(68)0x x x x +--+≥ 注意： 1、奇穿偶回。

2、得解集不要忘了1. 将二次三项式尽量因式分解为一次式 二次三项式不能因式分解且二次项系数为正，则此式一定为正数不等式左边尽量因式分解为一次式将一次项系数化为正数。

2、22(328)(12)0x x x x +-+-≤3、22(23)(67)0x x x x ----≥4、22(45)(1)0x x x x --++≤5、23(2)(3)(6)(8)0x x x x -+-+≥6、43220x x x +-->7、32330x x x +-->。