最新复习解三角形均值不等式数列

基本（均值）不等式与其他知识相结合的9种方式基本（均值）不等式是解决函数、立体几何、三角函数、数列、向量、解三角形等知识领域重要的方法之一。

本资料整理高一知识融合试题，试题偏难，仅供强基计划学生选用。

一、不等式与三角函数1．已知αβγπ++=，β为锐角，tan 3tan αβ=，则11tan tan γα+的最小值为（ ） A ．12B ．43C ．32 D ．34解析：∵αβγπ++=， ∴2tan tan 4tan tan tan()1tan tan 13tan αββγαβαββ+=-+=-=---，22113tan 119tan 1tan tan 4tan 3tan 12tan ββγαβββ-+∴+=+= 31321tan 49tan 432ββ⎛⎫=+≥⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当1tan 9tan ββ=即1tan 3β=时取等号， 所以11tan tan γα+的最小值为12.故选：A.二、不等式与数列2.阅读：已知a 、b ∈(0,+∞)，a +b =1，求y =1a +2b 的最小值. 解法如下：y =1a +2b =(1a +2b )(a +b)=ba +2a b+3≥3+2√2，当且仅当ba =2ab，即a =√2−1,b =2−√2时取到等号，则y =1a +2b 的最小值为3+2√2. 应用上述解法，求解下列问题：（1）已知a,b,c ∈(0,+∞)，a +b +c =1，求y =1a +1b +1c 的最小值； （2）已知x ∈(0,12)，求函数y =1x +81−2x 的最小值；（3）已知正数a 1、a 2、a 3,⋯,a n ，a 1+a 2+a 3+⋯+a n =1， 求证：S =a 12a1+a 2+a 22a2+a 3+a 32a3+a 4+⋯+a n2an +a 1≥12.解析：（1）∵a +b +c ＝1，∴y =1a +1b +1c =（a +b +c ）(1a +1b +1c )=3+(b a+a b+c a+a c+c b+b c)≥3+2√b a⋅ab+2√ca ⋅a c +2√cb ⋅bc=9， 当且仅当a ＝b ＝c =13时取等号．即y =1a +1b +1c 的最小值为9． （2）y =22x +81−2x =(22x +81−2x )(2x +1−2x)=10+2⋅1−2x 2x+8⋅2x1−2x ，而x ∈(0，12)，∴2⋅1−2x 2x+8⋅2x 1−2x≥2√2(1−2x)2x⋅8⋅2x1−2x =8，当且仅当2(1−2x)2x =8⋅2x1−2x ，即x =16∈(0，12)时取到等号，则y ≥18，∴函数y =1x +81−2x 的最小值为18． （3）∵a 1+a 2+a 3+…+a n ＝1， ∴2S ＝（a 12a 1+a 2+a 22a 2+a 3+a 32a 3+a 4+⋯+a n 2a n +a 1）[（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+…+（a n +a 1）]=(a 12+a 22+⋯+a n 2)+[a 12a 1+a 2(a 2+a 3)+a 22a 2+a 3(a 1+a 2)+⋯+a n2an +a 1(a 1+a 2)+a 12a 1+a 2(a 3+a 4)+⋯]≥(a 12+a 22+⋯+a n 2)+（2a 1a 2+2a 2a 3+⋯+2a n a 1）=(a 1+a 2+⋯+a n )2=1．当且仅当a 1=a 2=⋯=a n =1n 时取到等号，则S ≥12．三、不等式与立体几何3.已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ）A B C D ．【解析】设球O 的半径为R ，AB x =，AC y =， 由2420R ππ=，得25R =． 如图：设三角形ABC 的外心为G ，连接OG ，GA ，OA ，可得112OG AD ==，则2AG ==．在ABC ∆中，由正弦定理可得：24sin120BCAG ==︒，即BC =由余弦定理可得，222221122()32BC x y xy x y xy xy ==+-⨯-=++，4xy ∴．则三棱锥A BCD -的体积的最大值为114sin120232⨯⨯⨯︒⨯=．故选：B ．4．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，AB BC E F ⊥,、是SC 上两个三等分点，记二面角E AB F --的平面角为α，则tan α（ ）A ．有最大值43B ．有最大值34C ．有最小值43D ．有最小值34【解析】将三棱锥放入长方体中，设AB a ，BC b =，AS c =，如图所示：过E 作EN ⊥平面ABC 与N ，NM AB ⊥与M ，连接ME ， 则EMN ∠为二面角E AB C --的平面角，设为1α，则13NE c =，23MN b =，故1tan 2cbα=. 同理可得：设二面角F AB S --的平面角为2α，2tan 2b cα=. 12121231tan tan 34tan tan 2tan tan 422c b b cααπααααα-⎛⎫=--==≤ ⎪+⎝⎭+，当22c b b c=，即b c =时等号成立. 故选：B .5.如图，已知四面体ABCD 为正四面体，AB =E ，F 分别是AD ，BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）A ．1BC ．2D ．【解析】把正四面体补为正方体，如图，根据题意，//KL BC ，//LM GH ，KL AL BC AB =，LM BLAD AB=， 所以KL AL =，LM BL =，故KL LM AL BL +=+=，222KL LM S KL LM +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭截面，当且仅当KL LM =时成立，故选：C.四、不等式证明6．设,,0x y z >，1114,4,4a x b y c z y z x=+=+=+，则,,a b c 三个数（ ） A ．都小于4 B ．至少有一个不大于4 C ．都大于4D ．至少有一个不小于4【解析】假设三个数144x y +<且144y z +<且144z x+<， 相加得：11144412x y z x y z+++++<， 由基本不等式得：144x x +；144y y +；144z z+；相加得：11144412x y z x y z+++++，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数14x y +、14y z +、14z x+至少有一个不小于4． 故选：D ．7.已知a ，b ，R c ∈，2221a b c ++=．()1证明：112ab bc ca -≤++≤． ()2证明：()()()22222222223a b c b c a c a b +++++≤．【解析】()1证明：由()222222212220a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=+++++=+++≥，得12ab bc ca ++≥-．另一方面，222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥， 所以222222222a b c ab bc ca ++≥++，即1ab bc ca ++≤．所以112ab bc ca -≤++≤．()2证明：()()()222222222a b c b c a c a b +++++()()()()2222224441111a a b b c c a b c =-+-+-=-++，因为()()24442222222224444442221a b c a b ca b b c c a a b b c c a ++=++---≥-+++++，即()44431a b c ++≥，则44413a b c ++≥， 所以()()()22222222223a bc b c a c a b +++++≤．8.已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++= 证明：（1）1119a b c++≥； （2）8.27ac bc ab abc ++-≤【解析】（1）1a b c ++=，故111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++ 332229b a c a c ba b a c b c =++++++≥+++=，当13a b c ===时等号成立. （2）易知10,10,10a b c ->->->.()()()()1111ac bc ab abc a b c ac bc ab abc a b c ++-=-+++++-=---31118327a b c -+-+-⎛⎫≤= ⎪⎝⎭.当13a b c ===时等号成立.9.设实数x ，y 满足2x y 1+=．()1若2y 12x 3--<，求x 的取值范围；()2若x 0>，y 0>，求证：1215x y 2+． 【解析】()1由21x y +=，得12y x =-，所以不等式2123y x --<，即为4123x x --<，所以有{1423x x x <-+<或1041423x x x ⎧≤≤⎪⎨⎪--<⎩或144123x x x ⎧>⎪⎨⎪--<⎩ 解得10x -<< 或10?4x ≤≤或 124x <<， 所x 的取值范围为()1,2x ∈-．()20x >，0y >，21x y +=所以()1212424448y xx y x y x y x y⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当4y x x y =，即122x y ==时取等号．又2122x y +≥-=-，当且仅当122x y ==时取等号，所以12152x y +≥，当且仅当122x y ==时取等号．10、在锐角ABC ∆中，证明：（1）tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；（2）tan tan tan A B C ⋅⋅≥证明：（1）tan tan tan tan()tan tan 1A BC A B A B +=-+=-∴tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=（5分）（2）解法1：tan ,(0,)2y x x π=∈是凸函数，∴tan tan tan A B C ≥解法2：3tan tan tan tan tan tan ()3A B C A B C ++≤，∴tan tan tan A B C ≥五、最值问题11.设0,0x y >>且4x y +=，则2212x y x y +++的最小值是 A ．167B ．73C ．2310D ．94【解析】∵4x y +=，∴（x+1）+(y+2)=7∴()()()()2222121124241212x x y y x y x y x y +-+++-+++=+++++=1+()1414x 1y 214y 24x 112216112?x 1y 2x 1y 277777x 17y 2777⎛⎫++++⎛⎫+=+++=++++≥+⨯= ⎪⎪++++++⎝⎭⎝⎭（）（） 12.已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（ ） A．34+ B．34+ C．36+ D．36+ 【解析】因为0,1a b >>满足5a b +＝，则()21211()1114a b a b a b +=++-⨯⎡⎤⎣⎦--()21113(3414b a a b -⎡⎤=++≥+⎢⎥-⎣⎦ 当且仅当()211b aa b -=-时取等号，故选：A ．13．设0a b >>，则()241ab b b a b ++-的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】因为00a b a b >>⇒->； 所以22224114()()ab ab b b b b a b b a b b ++=-+++--2214()2(246()b a b b b a b b a b b =-+++-=+=-．当且仅当1()()b a b b a b -=-，224b b=时取等号，∴241()ab b b a b ++-的最小值为6．故选：D ．六、不等式与函数14.已知()221f x x x =-++． （1）求不等式()6f x <的解集；（2）设,,m n p 为正实数，且()2m n p f ++=，求证：3mn np pm ++≤.【解析】（1）不等式2216x x -++<等价于不等式组1336x x <-⎧⎨-+<⎩或1256x x -≤≤⎧⎨-+<⎩或2336x x >⎧⎨-<⎩，所以不等式2216x x -++<的解集为()1,3-； （2）证明：因为3m n p ++=，所以()22222229m n p m n p mn mp np ++=+++++=， 因为,,m n p 为正实数，所以由基本不等式222m n mn +≥（当且仅当m n =时等号成立）， 同理22222,2m p mp p n pn +≥+≥，所以222m n p mn mp np ++≥++， 所以()22222229333m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++， 所以3mn mp np ++≤.15.已知函数()f x =的定义域为R .（1）求实数m 的取值范围；（2）设实数t 为m 的最大值，若实数,,a b c 满足2222a b c t ++=，求222111123a b c +++++的最小值. 【解析】（1）函数()f x =R .∴231x x m ---≥对任意的x ∈R 恒成立，令()231g x x x =---，则()()()()7,353,035,0x x g x x x x x ⎧-≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩，结合()g x 的图像易知()g x 的最小值为4-，所以实数m 的取值范围(],4-∞-.（2）由（1）得4t =-，则22216a b c ++=，所以()()()22212322a b c +++++=，()()()22222222211112311112312322a b c a b c a b c ⎛⎫⎡⎤+++++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭++=+++ 222222222322213132312132322b ac a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=922≥=，当且仅当222221233a b c +=+=+=，即2193a =，2163b =，2133c =时等号成立，∴222111123a b c +++++的最小值为922.七、不等式与向量16.若非零向量,m n 满足||||1m e m e n e n e --⋅=--⋅=（e 为单位向量），且m n ⊥，则||m n -的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】由非零向量,m n 满足m n ⊥，可设(,0)m a =，(0,)n b =，其中,a b 均不为0． 因为e 为单位向量，可设(cos ,sin )e θθ=，因为||(cos 1m e m e a a θ--⋅=-=，所以222222cos cos sin 12cos cos a a a a θθθθθ+=++-+，即2sin 4cos a θθ= ①， 同理，由||1n e n e --⋅=可得2cos 4sin b θθ= ②，由①②，可得22224416cos 16sin sin cos a b θθθθ+=+=42242244cos sin cos sin sin cos 16sin cos θθθθθθθθ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭42421116tan tan 16(22)64tan tan θθθθ⎛⎫=+++≥⨯+= ⎪⎝⎭当且仅当2tan 1θ=时，等号成立，所以当2tan 1θ=时，min ||8m n -=， 故选：D ．17.已知平行四边形ABCD的面积为，23πBAD ∠=，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且56AF AB AD λ=+，则AF 的最小值为___________． 【解析】由题可知，平行四边形ABCD 的图象如下：设DF kDE =，()=AF AD DF AD kDE AD k DC CE ∴=++=++，DC AB =，12CE DA =，则1+2AF AD k AB k DA =+， 所以11122AF k AB AD k AD k AB k AD ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，又56AF AB AD λ=+，则有：15126k k λ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：13k λ==，即1536AF AB AD =+， 平行四边形ABCD的面积为，即2sin3AB AD π⋅=18AB AD ∴⋅=， 2222151525369936AF AB AD AB AB AD AD ⎛⎫∴=+=+⋅+ ⎪⎝⎭，即：2221525cos 9936AF AB AB AD BAD AD ∴=+⋅∠+， 222221512512518=+599236936AF AB AD AB AD ⎛⎫∴=+⨯⨯-+- ⎪⎝⎭，即：222125=+5936AF AB AD -， 222212512552=218=1093618AB AD AB AD +≥⨯⨯⨯，即22125+10936AB AD ≥， 所以22125+55936AB AD -≥，25AF ∴≥，5AF ∴≥，当且仅当：22125=936AB AD 时，取等号，AF ∴的最小值为.18.平面向量,,a b c →→→满足||1a →≤，||1b →≤，|2()|||c a b a b →→→→→≤--+，则||c →的最大值为_______． 【解析】由绝对值不等式的性质可知，已知中|2()|||c a b a b -+≤-，可得|2|||||c a b a b -+≤-，即|2|||||c a b a b ≤++-，将a ，b 的起点移到同一点，以a ，b 为边构造平行四边形，则a b +，a b -为平行四边形的两条对角线，在平行四边形ABCD 中，2222||||||||AC AB AD AB AD ==++2||||cos AB AD BAD +⋅∠，由余弦定理可知222||||||2||||cos BD AB AD AB AD BAD -=+⋅∠，则22||||AC BD +=222||2||AB AD +，显然||||AC BD +若取最大值，则||AB ，||AD 应为最大1，即()()2222||||||||4||||||22||4||||2AC BD AC BD AC BD AC BD AC BD ++=⇒=--+=⇒由基本不等式可知()()()222|||||||||||282|||||||||4AC BD AC BD AC BD AC BD AC BD ++=≤⇒⇒++≤-≤当且仅当||||AC BD =时取等号，所以当||1a =，||1b =且||||a b a b +=-时，||||a b a b ++-取得最大值则|2|||||22c a b a b ≤++-≤，即||2c ≤，所以||c ．八、不等式与解三角形19．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c +=-，则1tan 2tan()CBC +-的最小值为（ ）AB ．2C ．1D．【解析】因为222sin()SA C b c +=-，即222sin S B b c =-，所以22sin sin ac B B b c =-，因为sin 0B ≠，所以22b c ac =+，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2cos a c B c -=， 再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C -=，因为sin 2sin cos sin()2sin cos sin()A C B B C C B B C -=+-=-， 所以sin()sin B C C -=，所以B C C -=或B C C π-+=， 得2B C =或B π=（舍去）.因为ABC ∆是锐角三角形，所以02022032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，得64C ππ<<，即tan C ∈，所以11tan tan 2tan()2tan C C B C C+=+≥-当且仅当tan C =，取等号. 故选:A20.已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a =，点O 为其外接圆的圆心.已知·15BO AC =，则当角C 取到最大值时ABC 的面积为（ ）A ．B ．CD ．【解析】设AC 中点为D ，则()BO AC BD DO AC ⋅=+⋅ BD AC =⋅ ()()12BC BA BC BA =+⋅- 221122BC BA =-，22111522a c ∴-=，即c = 由c a <知角C 为锐角，故222cos 2a b c C ab+-=2301301212b b b b +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 1212b ⨯=，当且仅当30b b =，即b =cos C 最小，又cos y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递减，故C 最大.此时，恰有222a b c =+，即ABC 为直角三角形，ABC12Sbc ==，故选A .21.在ABC 中,已知·9AB AC =,sin cos sin B A C =,6ABCS =,P 为线段AB 上的点,且CA CB CP xyCACB=+,则xy 的最大值为________.【解析】由sin cos sin B A C =得2222221622ABC b c a b c a b c S ab bc ∆+-=⇒+=⇒==所以由·9AB AC =得29,3,4AC b a =∴== 又P 为线段AB 上的点，且CA CB CP xyCACB=+,所以1,1,1334x y x y xy b a +=∴+=∴≥≤ ，当且仅当3,22x y ==时，等号成立即xy 的最大值为3.22.设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则()tan A B -的最大值为A．2B ．34C ．32D【解析】3cos cos 5a Bb Ac -=∴由正弦定理，得35sinAcosB sinBcosA sinC -=， C A B sinC sin A B π=-+⇒=+（）（），， ∴35sinAcosB sinBcosA sinAcosB cosAsinB -=+（），整理，得4sinAcosB sinBcosA =，同除以cosAcosB ， 得4tanA tanB = ， 由此可得23311144tanA tanB tanBtan A B tanAtanB tan BtanB tanB（），--===+++A B 、 是三角形内角，且tan A 与tanB 同号，A B ∴、 都是锐角，即00tanA tanB ＞，＞，144tanB tanB +≥= 33144tan A B tanB tanB-=≤+（），当且仅当14tanB tanB =，即12tanB = 时，tan A B -（）的最大值为34．故选B ．23.已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为（ ）A ．5B ．5C ．5D ．3【解析】因为a 2+b 2+2c 2＝8，所以22282a b c +=-，由余弦定理得222283cos 22a b c c C ab ab+--==，即22cos 83ab C c =-① 由正弦定理得in 12s S ab C =，即2sin 4ab C S =② 由①，②平方相加得()()()()()222222222483482ab c S abc =-+≤+=-，所以()()()()2222222222116556448283165525c c S c c c c ⎛⎫-+≤---=-≤= ⎪⎝⎭，即245S ≤，所以5S ≤， 当且仅当22a b =且221655c c -=即222128,55a b c ===时，取等号. 故选：B24.已知G 是ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点,M N ，且AM xAB =，AN y AC =，(),0x y >，则3x y +的最小值是( )A ．83B ．72C ．52D ．433+ 【解析】因为,,M G N 三点共线，故()1AG t AM t AN =+-，因为,AM x AB AN y AC ==，所以()1AG txAB t yAC =+-，又G 为重心，故1331AG AB AC =+，而,AB AC 不共线，所以()11,133tx t y =-=，也即是113x y +=.()1111333433y x x y x y x y x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由基本不等式可以得到：3y x x y +≥13x y ==+等号成立，故3x y +的最小值为433+，故选D .25.已知O 是ABC 的外心，45C ∠=︒,2,(,)OC mOA nOB m n R =+∈,则2214m n +的最小值为____．【解析】()2222222244OC mOA nOB OC mOA nOBm OA n OB mnOA OB =+∴=+=++⋅90045C AOB OA OB ∠=︒∴∠=︒∴⋅=故2241m n +=()2222222222414141644816m n n m m n mn m n ⎛⎫+=+=+++≥= ⎪⎭+⎝ 当222216n m m n=即2211,28n m ==时等号成立，故答案为：1626.在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若224sin 6b c bc A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，则tan tan tan A B C ++的最小值是______．【解析】由余弦定理，得2222cos b c a bc A +=+，则由224sin 6b c bc A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，得22cos 4sin 2cos )6a bc A bc A bc A A π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，所以2sin a A =，由正弦定理，得2sin sin sin A B C A =⋅⋅，所以sin sin A B C =，所以sin()sin B C B C +=，sin cos cos sin sin B C B C B C +=，tan tan tan B C B C +=．因为tan tan tan tan()tan tan 1B CA B C B C +=-+=-，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅，则tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1B C A B C B C B C B C +++=⋅⋅=⋅-．令tan tan 1B C m ⋅-=，而tan tan tan tan 1,0tan tan B CB C m A A⋅-=+∴> 则tan tan 1B C m ⋅=+，)221tan tan tan m m A B C m++++==1223(22)m m m ⎫=++=⎪⎭当且仅当1m =时，等号成立，故tan tan tan A B C ++的最小值为27.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且3cos cos 5a C c Ab -=，则tan()A C -的最大值为______． 【解析】因为3cos cos 5a Cc A b -=，由正弦定理得3sin cos sin cos sin 5A C C AB -=， 又()B AC π=-+，所以3sin cos sin cos sin[()]5A C C A A C -=-+π， 即3sin cos sin cos sin()5A C C A A C -=+， 所以5sin cos 5sin cos 3sin cos 3cos sin A C C A A C A C -=+，所以2sin cos 8cos sin A C A C =，当cos 0C ≤或cos 0A ≤时，等式不成立，所以,(0,)2A C π∈， 所以tan 4tan A C =， 所以2tan tan 3tan 3tan()11tan tan 14tan 4tan tan A C C A C A C C C C--===+++ 又tan 0C >，所以14tan tan C C +≥， 当且仅当14tan tan C C =，即1tan 2C =时，等号成立， 所以33tan()144tan tan A C C C -=≤+， 所以tan()A C -的最大值为34．28.已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且满足0,cos cos a b A B++=则2sin 2tan B C ⋅的取值范围是__________.【解析】0cos cos a b A B+=，即cos cos cos 0a B b A A +=，即sin cos sin cos cos 0A B B A C A ++=，()sin 10C A =，sin 0C ≠，故10A =，34A π=，故4B C π+=. ()()222222222cos 11cos sin 1sin 2tan cos 232cos cos cos cos C C C B C C C C C C --⎛⎫⋅=⋅==-+ ⎪⎝⎭， 0,4C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故21cos ,12t C ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，故132y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据双勾函数性质知：函数在1,22⎛ ⎝⎭上单调递增，在2⎫⎪⎢⎪⎣⎭上单调递减.故max 3y =-，当1t =时，0y = ，当12t =时，0y =，故(2sin 2tan 0,3B C ⋅∈-.故答案为：(0,3-.九、不等式与恒成立问题29.正数,a b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3,)+∞B ．(,3]-∞C ．(,6]-∞D ．[6,)+∞ 【解析】190,0,1a b a b>>+=，199()1010216b a b a b a b a b a b a ⎛⎫∴+=++=+++= ⎪⎝⎭当且仅当3a b =，即4, 12a b ==时，“=”成立，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则241816x x m -++-≤， 即242x x m -++≤对任意实数x 恒成立，2242(2)66x x x -++=--+≤ 6m ∴≥ 实数m 的取值范围是[6,)+∞30．数列{}n a 中，112a =，()()()*111n n n na a n n na +=∈++N ，若不等式()24110n n a n nλ++-≥恒成立，则实数λ的取值范围为__________. 【解析】由数列{} n a 满足112a =,1()(1)(1)x n n nna a n N n na +=∈++， 两边取倒数可得：1111(1)n n n a na +-=+，∴数列1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列, 公差为1, 首项为2 12(1)1n n n na ∴=+-=+，1(1)n a n n =+∴ 由241(1)0n n a n nλ++-恒成立,得221414(1)(1)n n n n n n n λ---⋅--=+, 当 n 为偶数时，(1)(4)4(5)n n n n nλ-++=-++, 则9λ≥-，当n 为奇数时，45n n λ++,则283λ ，∴实数λ的取值范围为289,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

数列、向量、斜三角形、均值不等式(易错题警示)1．设｛a n ｝是等差数列，｛b n ｝为等比数列，其公比q ≠1, 且b i ＞0(i=1、2、3 …n) 若a 1=b 1,a 11=b 11则 ( )A a 6=b 6B a 6＞b 6C a 6＜b 6D a 6＞b 6或 a 6＜b 62．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于（ ）A. 22B. 21C. 19D. 183．已知S k 表示{a n }的前K 项和，S n —S n+1=a n （n ∈N +），则{a n }一定是( )A 、等差数列B 、等比数列C 、常数列D 、以上都不正确4．已知数列—1，a 1，a 2，—4成等差数列,—1，b 1,b 2,b 3,—4成等比数列，则212b a a -的值为( ) A 、21 B 、—21 C 、21或—21 D 、41 5．数列{}n a 的前n 项和为s n =n 2+2n-1，则a 1+a 3+a 5+……+a 25=( )A 350B 351C 337D 3386．在等差数列||,0,0}{10111110a a a a a n >><且中，则在S n 中最大的负数为（ ）A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 207．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．88．数列}{n a 满足121,12210,2{1<≤-<≤=+n n n n n a a a a a ，若761=a ，则2004a 的值为（ ） A.76 B. 75 C. 73 D.71 9．已知数列}{n a 的前n 项和为)15(21-=n n S n ，+∈N n ，现从前m 项：1a ，2a ，…，m a 中抽出一项（不是1a ，也不是m a ），余下各项的算术平均数为37，则抽出的是( )A ．第6项B ．第8项C ．第12项D ．第15项10.}{n a 是实数构成的等比数列，S n 是其前n 项和，则数列}{n S 中 （ ）A 、任一项均不为0B 、必有一项为0C 、至多有有限项为0D 、或无一项为0，或无穷多项为011．数列1，1+2，1+2+4，…，1+2+4+…+2n 各项和为（ C ）A 、2n+1－2－nB 、2n －n －1C 、2n+2－n －3D 、2n+2－n －212.．在∆ABC 中，c b a ,,为C B A ∠∠∠,,的对边，且1)cos(cos 2cos =-++C A B B ，则（ ）。

高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)第十三讲均值不等式(解析版)在高中数学的学习中，均值不等式是一条非常重要的数学定理。

它能够帮助我们找到一组数的平均值与其他特定的数值之间的关系。

本文将详细解析高中数学人教版必修5中的第十三讲——均值不等式。

一、均值不等式的定义和性质均值不等式实际上是按平均值来衡量一组数与其他数值之间的大小关系。

它包含了算术平均值、几何平均值和平方平均值等不同的形式。

算术平均值是最为熟悉的一种形式，它表示一组数相加后除以元素个数得到的结果。

几何平均值是将一组数相乘后开根号得到的结果。

平方平均值是将一组数的平方相加后除以元素个数再开根号得到的结果。

在不等式的关系中，对于正实数来说，有以下几个性质：1. 当所有元素相等时，算术平均值、几何平均值和平方平均值相等。

2. 当所有元素不相等时，算术平均值大于几何平均值，而几何平均值大于平方平均值。

3. 对于正实数来说，算术平均值大于几何平均值，并且它们都大于平方平均值。

二、均值不等式的应用均值不等式在数学问题的解决中具有广泛的应用。

它可以帮助我们证明和推导其他重要的数学关系。

1. 证明与推导在证明和推导方面，均值不等式可以帮助我们解决一些复杂的不等式问题。

通过运用不同形式的均值不等式，我们可以逐步地推导出更为严格的不等式关系。

例如，在求证某个不等式问题时，我们可以使用算术平均值与几何平均值之间的关系来逐步推导出正确的结论。

2. 理解与比较均值不等式还能够帮助我们理解和比较数列的大小关系。

通过对数列的算术平均值、几何平均值和平方平均值的比较，我们可以得出一些关于数列性质的结论。

例如，当一组数的算术平均值大于几何平均值时，就能够说明这组数存在着某种程度的波动和不均匀性。

三、均值不等式的例题解析下面，我们将通过一些例题来具体解析均值不等式的应用。

例题1：已知a、b、c为正实数，证明(a+b)(a+c)(b+c)≥8abc。

解析：我们可以通过均值不等式来证明这个不等式关系。

均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

专题24 解三角形中的最值、范围问题解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换及解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-=（2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-变式：()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值 4、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：其中由cos cos>⇔>仅在A B A B>⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sinA B A B一个三角形内有效.5、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）（2）利用均值不等式求得最值【经典例题】例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形中，，设及面积分别为，则的最大值为_____.【答案】【解析】分析：利用余弦定理推，求出的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围，求的最大值即可．点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得．例2.【2018届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在中，角A,B,C所对的边分别为，则实数a 的取值范围是____________.【答案】.【解析】由，得，所以，则由余弦定理，得，解得，又，所以的范围是.例3.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．【答案】2例4.【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．【答案】【解析】由的三边分别为，，可得：可知：，例5.【2018届湖南省株洲市高三检测（二）】已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小；(2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.【答案】(1)(2).【解析】分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此可求角的大小；（2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.（2）因为所以当时， 取最大值，此时， 由正弦定理得，例6.【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.学/科/*网（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值. 【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值. 详解：(Ⅰ)由己知(Ⅱ)由己知，当有且只有一解时，或,所以；当时，为直角三角形，当 时，由正弦定理 ， 所以，当时，综上所述，.例7.【2018届四川省资阳市高三4月（三诊）】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a b A B +- ()sin sin c C B =-．（1）求A ．（2）若4a =，求22b c +的取值范围．【答案】（1）3A π=；（2）(]16,32.221616b c bc +=+>，进而可得结果.试题解析：（1）根据正弦定理得()()a b a b +- ()c c b =-，即222a b c bc -=-，则222122b c a bc +-=，即1cos 2A =，由于0πA <<， 【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解及三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.例8．【2018届甘肃省张掖市高三三诊】已知3cos ,cos 44x x m ⎛⎫=⎪⎝⎭，sin ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， c 成等比数列，求()f B 的取值范围．【答案】(1) 424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈．(2) ⎛ ⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）由题()13cos ,cos sin ,cos sin 4444262x x x x x f x m n π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，根据正弦函数的性质222262x k k πππππ-≤+≤+可求其单调增区间；（2）由题2b ac =可知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=， （当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤， 6263B πππ<+≤，由此可求 ()f B 的取值范围．（当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤， 6263B πππ<+≤， ()311f B +<≤，综上， ()f B 的取值范围为311,2⎛⎤⎥⎝⎦． 例9.【2018届吉林省吉林市高三第三次调研】锐角ABC ∆中， ,,A B C 对边为,,a b c ， ()()()222sin 3cos b a c B C ac A C --+=+（1）求A 的大小； （2）求代数式b c a+的取值范围.【答案】（1）3π（2）32b ca+≤ 【解析】试题分析：（1）由()()()222sin 3cos b a c B C ac A C --+=+及余弦定理的变形可得2cos sin 3cos B A B -=，因为cos 0B ≠，故得3sin 2A =，从而可得锐角ABC∆中3A π=．（2）利用正弦定理将所求变形为2sin sin 32sin sin 6B B b c B a A ππ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭，然后根据6B π+的取值范围求出代数式b c a+的取值范围即可．试题解析：（1）∵2222cos b a c ac B --=-， ()()()222sin 3cos b a c B C ac A C --+=+， ∵ABC ∆为锐角三角形，且3A π= ∴02{02B C ππ<<<<，即02{ 2032B B πππ<<<-<, 解得62B ππ<<，∴2,363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭．2b c a +<≤．故代数式b c a +的取值范围2⎤⎦．点睛：（1）求b c a+的取值范围时，可根据正弦定理将问题转化为形如()sin y A x ωϕ=+的函数的取值范围的问题解决，这是在解三角形问题中常用的一种方法，但在解题中要注意确定角x ωϕ+的范围．（2）解答本题时要注意“锐角三角形”这一条件的运用，根据此条件可的求得6B π+的范围，然后结合函数的图象可得sin 6B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围，以达到求解的目的．例10.【2018届衡水金卷信息卷（一）】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-，且//m n .（1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆的外接圆半径为3，求ABC ∆周长的取值范围.【答案】(1) 3A π= (2) (]4,6【解析】试题分析：（1）由//m n ，得62)0c cosA acosB -+=（，利用正弦定理统一到角上易得1cos 2A =；（2）根据题意，得2sin 2a R A ==，由余弦定理，得()223a b c bc =+-，结合均值不等式可得()216b c +≤，所以b c +的最大值为4，又2b c a +>=，从而得到ABC ∆周长的取值范围.得1cos 2A =.又()0,A π∈，所以3A π=.（2）根据题意，得4332sin 232a R A ==⨯=.由余弦定理，得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，即()223432b c bc b c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，整理得()216b c +≤，当且仅当2b c ==时，取等号，所以b c +的最大值为4.又2b c a +>=，所以24b c <+≤，所以46a b c <++≤. 所以ABC ∆的周长的取值范围为(]4,6.【精选精练】1.【2018届东莞市高三第二次考试】在中，若，则的取值范围为( ) A.B.C.D. 【答案】D【解析】因为，所以，即，即，2．【2018届湖南省衡阳市高三二模】在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )A. B.C.D. 【答案】C【解析】，，，，又，，，，故选C.3．【2018届四川省绵阳市高三三诊】四边形ABCD 中， 2AB =，1BC CD DA ===，设ABD ∆、BCD ∆的面积分别为1S 、2S ，则当2212S S +取最大值时， BD =__________．【答案】102【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式的应用,考查同角三角函数关系,考查利用余弦定理解三角形,考查二次函数最值的求法.首先根据题目所求,利用三角形面积公式,写出面积的表达式,利用同角三角函数关系转化为余弦值,利用余弦定理化简,再利用配方法求得面积的最值,并求得取得最值时BD 的值.4．【2018届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为________.【答案】5．【2018届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设的内角所对的边分别为且+,则的范围是__________．【答案】【解析】由+得,所以，即，再由余弦定理得，即，解得，又，所以的范围是.点睛：在解三角形问题中，一般需要利用余弦定理结合均值不等式，来求两边和的取值范围或者是三角形的面积的最值，只需运用余弦定理，并变形为两边和及两边积的等式，在利用均值不等式转化为关于两边和或两边积的不等式，解不等式即可求出范围.6．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知锐角ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且2cos 2,2a C c b a +==,则ABC ∆的最大值为__________．即4bc ≤，所以ABC ∆的最大值为max 11sin 422S bc A ==⨯=． 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.7．【2018届宁夏石嘴山市高三4月适应性测试（一模）】已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且sin cos b A B =.（1）求角B ；（2）若b =，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3B π=；（2）.【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得到tan B =，从而得解；（2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 2212a c ac =+-结合222a c ac +≥即可得最值. 试题解析： （1）∵sin cos b A B =，∴由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，即ABC面积的最大值为33. 8．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.（Ⅰ）求角；（II）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A的值. （II）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m的取值范围，再写出S的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知由余弦定理得，所以，即,，所以.由正弦定理，，所以，当时，综上所述，.点睛：本题在转化有且只有一解时,容易漏掉m=2这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.9．【衡水金卷信息卷（二）】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin 3cos a C c A =.（1）求角A 的大小；（2）若2b =，且43B ππ≤≤，求边c 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) 31⎡⎤⎣⎦. 在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin b cB C=，∴22sin 2sin 3cos 3311sin sin B C B c B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+=，∵43B ππ≤≤，∴1tan 3B ≤≤231c ≤≤，即c 的取值范围为31⎡⎤⎣⎦.10．【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三三模】已知ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， ABC ∆的面积S 满足2223a b c =+-． （1）求角C 的值；（2）求()cos2cos A A B +-的取值范围． 【答案】（1）23π；（2）(3tan 3C =-，又0C π<<， 23C π∴=.（2）()33cos2cos =cos2cos 2cos2322A A B A A A A π⎛⎫+-+-=+ ⎪⎝⎭=3sin 23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭11．【2018届江苏省姜堰、溧阳、前黄中学高三4月联考】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =.（1）求b 的值；（2）若4B π=， S 为ABC ∆的面积，求82cos cos S A C +的取值范围.【答案】(1) 4b =(2) (【解析】试题分析：（1）利用正余弦定理， sin cos 3cos sin A C A C =可转化为2222b ac -=，又222a c b -=，从而得到b 的值；（2）由正弦定理1sin sin 2S bc A A C ==，故324S AcosC A π⎛⎫+=-⎪⎝⎭限制角A的范围，求出cos S A C +的取值范围. （2）由正弦定理sin sin b c B C=得114sin 4sin sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=在ABC ∆中，由3040{202A A C A Cπππ<<<<<<> 得3,82A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭320,44A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，3cos 2,142A π⎛⎫⎛⎫∴-∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12．【衡水金卷信息卷 （五）】在锐角ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且25sin 2sin 224B C A π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）若a =ABC ∆周长的取值范围.【答案】(1) 3A π=(2) (3试题解析：（1）∵252224B C sin A sin π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，∴()15224cos B C cos A -+-=-， ∴2152124cosA cos A +--=-，整理，得28210cos A cosA --=，∴14cosA =-或12cosA =，∵02A π<<，∴12cosA =，即3A π=.（2）设ABC ∆的外接圆半径为r，则22a r sinA===，∴1r =.∴ABC ∆周长的取值范围是(3+.。

本讲主要复习了必修（5）数列、解三角形、不等式等三部分知识要点和考点。

在利用这些知识点解决问题时注重函数的思想、数与形结合的思想、方程的数学思想、分类讨论的数学思想、等价转化的数学思想及配方法、特值法、分离参数法等数学思想方法的应用。

考点一：数列、不等式、解三角形等基础知识的考查例1、在下列命题中，把正确命题的序号填在题后的横线上。

（1）当三角形的各角的余切成等差数列时，各角所对边的平方成等差数列（2）已知不等式①②x2－6x+8<0 ③2x2－9x+m<0若同时满足①②的x值也满足③，则m9.（3）一个等差数列和一个等比数列，其首项是相等的正数，若其第（2n+1）项是相等的，则这两个数列的第（n+1）项也是相等的。

（4）方程有解时a的取值范围是在上述命题中正确命题的序号是。

分析：（1）设三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c.由已知条件得：2cotB=cotA+cotC然后化为正、余弦。

通分再利用正、余弦定理可证：2b2=a2+c2.（2）可用特值法：先求不等式①②解集的交集。

再对m取特值验证。

也可利用二次函数的图像解决。

（3）利用等差、等比数列的通项公式表示这两个数列的第（n+1）项，然后比较大小。

或取特值验证。

（4）分离参数法：把a分离出来，用表示a，再用均值不等式求解。

解析：（1）由已知得：2cotB=cotA+cotC.利用正、余弦定理可证：2b2=a2+c2.故命题（1）是正确的。

（2）不等式①②的交集是（2，3），取m=0时，不等式化为：显然当2<x<3时，不等式成立。

故命题（2）错误另解：利用二次函数图像求解：设f（x）=2x2－9x+m，如图由已知得：（3）设数列分别是等差数列、等比数列。

首项分别是>0公差和公比分别是d、q，取n=2，q=2，由已知：即：，故==－=故，故命题（3）错误。

（4）由方程得：－（4+a）=.故此命题错误。

考点二：不等式与数列的综合应用的考查例2、已知数列{a}是首项a1＞0，q＞－1且q≠1的等比数列，设数列{b}的通项为b=a－ka（n∈N），数列{a}、{b}的前n项和分别为S，T．如果T＞kS对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．分析：由探寻T和S的关系入手谋求解题思路。

基础篇一、单变量部分1、 求)0(1>+=x xx y 最小值及对应的x 值答案当x=1最小值2 2、 2、（添负号）求)0(1<+=x xx y 最大值-23、（添系数）求)31,0()31(∈-=x x x y 最大值1214、（添项）求)2(24>-+=x x x y 最小值65、（添根号）02>≥x 求24x x y -=最大值26、（取倒数或除分子）求)0(12>+=x x x y 最大值217、（换元法）求)1(132>-+=x xxx y 最大值-9 8、（换元法）求)2(522->++=x x x y 最大值42二、多变量部分1、（凑系数或消元法）已知041>>a ，b>0且4a+b=1求ab 最大值161 2、（乘“1”法或拆“1”法）已知x>0,y>0，x+y=1求yx 94+最小值25 3、（放缩法）已知正数a ，b 满足ab=a+b+3则求ab 范围),9[+∞ 三、均值+解不等式1. 若正数a,b 满足ab=a+2b+6则ab 的取值范围是______),18[+∞_________2、已知x>0,y>0, x+2y+2xy=8则x+2y 的最小值__________4__________ 练习1. 已知x>0，y>0，且182=+yx 则xy 的最小值_______64_______ 2.)0(1324>++=k kk y 最小值_________2_________ 3. 设0≥a ，0≥b ，1222=+b a ，则21b a +的最大值为_________423_________4. 已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值________1________ 5. 已知x>0,y>0且191=+yx 求x+y 的最小值______16__________ 6. 已知)0,0(232>>=+y x yx 则xy 的最小值是___6_____ 7. 已知a>0,b>0,a+b=2，则b a y 41+=的最小值______29________ 8. 已知+∈R y x ,且满足143=+yx 则xy 的最大值________3_______11、已知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,则2y xz=_____________D_______ A 、最小值8 B 、最大值8C 、最小值81D 、最大值81注:消y12、设R y x ∈,则)41(12222y xy x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的最小值是_______9_________ 13、若R b a ∈,,且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（D ）A 、ab b a 222>+ B 、ab b a 2≥+C 、abb a 211>+ D 、2≥+b a a b 14、若a,b,c,d,x,y 是正实数，且cd ab +=P ，ydx b cy ax Q +⋅+=则有（C ）A 、P=QB 、Q P ≥C 、Q P ≤D 、P>Q15、已知25≥x 则4254)(2-+-=x x x x f 有（D ）A 、有最大值45 B 、有最小值45 C 、最大值1 D 、最小值116、建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为1760元 17、函数y=x(3-2x))10(≤≤x 的最大值为89 18、函数1)(+=x xx f 的最大值是（C ）A 、52B 、21C 、22D 、119、已知正数x,y 满足141=+yx 则xy 有（C ）A 、最小值161B 、最大值16C 、最小值16D 、最大值16120、若-4<x<1，则当22222-+-x x x 取最大值时，x 的值为（A ）A 、-3B 、-2C 、-1D 、021、若122=+yx ，则x+y 的取值范围是（D ） A 、[0,2] B 、[-2,0] C 、),2[+∞- D 、]2,(--∞22、某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(300≤<t )的关系大致满足1610)(2++=t t t f 则该商场前t 天月饼的平均销售量最少为18 23、已知点P （x,y ）在直线x+3y-2=0上，那么代数式yx273+的最小值是6提高篇一、函数与均值 1、)2(21>-+=a a a m ,)0(2122<⎪⎭⎫ ⎝⎛=-x n x 则m,n 之间关系_____m ≥n______________2、 设x ≥0,x x P -+=22,2)cos (sin x x Q +=则（ C ） A 、Q P ≥ B 、Q P ≤ C 、P>Q D 、P<Q3、已知函数()x a x f 21+-=若()02≥+x x f 在()+∞,0上恒成立，则a 的取值范围是__),41[)0,(+∞⋃-∞_4、若对任意x>0,a x x x≤++132恒成立，则a 的取值范围是_______51≥a ____________5、函数xxxy 2log 2log +=的值域_______),3[]1,(+∞⋃--∞___________ 6、设a,b,c 都是正实数，且a,b 满足191=+ba 则使cb a ≥+恒成立的c 的取值范围是_D__A 、]8,0(B 、（0,10] C(0,12] D 、（0,16] 7、已知函数())1,0(log 1)1(≠>+=-a a ax f x 的图象恒过定点P ，又点P的坐标满足方程mx+ny=1,则mn 的最大值为_________81_____________ 8、已知函数()()),0(22+∞∈++=x xax x x f⑴当21=a 时，求f(x)的最小值答案：22+⑵若对任意),0(+∞∈x ，f(x)>6恒成立，求正实数a 的取值范围___a>4__ 9、0)1(42>-++x k x 对]3,1[∈x 恒成立，求k 的范围 10、若a+b=2则ba33+的最小值为______6___________11、设x,y,z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则yzx z lg lg lg 4lg +的最小值为A A 、89 B 、49 C 、29D 、9 12、已知a>1，b>1，且lga+lgb=6，则b a lg lg ⋅的最大值为（B ）A 、6B 、9C 、12D 、1813、R y x ∈,且x+y=5,则yx33+的最小值为（D ） A 、10 B 、36 C 、64 D 、31814、设a>0,b>0,若3是a 3与b3的等比中项，则ba 11+的最小值为（B ） A 、8 B 、4 C 、1 D 、4115、函数)1,0(1≠>=-a a ay x的图象恒过点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0（mn>0）上，则nm 11+的最小值为4 16、当x>1时，不等式a x x ≥-+11恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）A 、]2,(-∞B 、),2[+∞C 、),3[+∞D 、]3,(-∞17、函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+2=0上，其中m>0,n>0,则nm 12+的最小值为（D ） A 、22 B 、4 C 、25 D 、29二、数列与均值1、已知x>0,y>0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则cdba2）（+的最小值是__4_2、已知等比数列{a n}中a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是。

第6章核心考点·精准研析考点一利用均值不等式求最值命题精解读考什么：(1)考查求最值，证明不等式等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、逻辑推理的【核心素养】.怎么考：求式子的最值，证明不等式、与函数结合考查求函数的值域，与解析几何结合求面积等几何量的最值.新趋势：与函数相结合求值域.学霸好方法1.求最值的解题思路(1)拼凑法：拼凑成积或和为定值，利用均值不等式求相应的最值.(2)构造法：通过对已知条件的变形，构造定值，代入后利用均值不等式求值.(3)消元法：当要求最值的式子中含有多个字母时，应考虑利用已知条件减少字母的个数，以达到利用均值不等式求最值的目的.2.交汇问题与方程、不等式交汇时，涉及恒成立问题、参数的X围等.通过拼凑定值求最值【典例】已知a,b>0,则+的最小值为__________.【解析】因为a,b>0,方法一:原式=+1+-1=+-1≥2-1=4-1=3, 当且仅当=,a=b时取等号.方法二:所以+=+1+-1≥2-1=3,当且仅当+1=,即a=b时取等号.答案:3本例不能直接运用均值不等式时怎么办？提示：通过分子分母同除以a统一式子的结构或直接加1变形，再观察拼凑定值利用均值不等式求最小值.通过常值代换求最值【典例】(2019·某某模拟)已知a>1,b>0,a+b=2,则+的最小值( )A.+B.+C.3+2D.+【解析】选A.已知a>1,b>0,a+b=2,可得(a-1)+b=1,a-1>0,则+=[(a-1)+b]=1+++≥+2=+;当且仅当=,a+b=2时取等号.则+的最小值为+.将条件进行变形目的是什么？提示：将已知条件变形，变形的方向是要证明的式子，特别是与式子分母相关的定值，将定值变为1后相乘，再利用均值不等式求最值.通过消元求最值【典例】(2020·某某模拟)若正数x,y满足x+4y-xy=0,则的最大值为世纪金榜导学号( )A. B. C. D.【解析】选B.因为正数x,y满足x+4y-xy=0,所以y=>0,解得x>4,所以===≤=,当且仅当x-4=,x=6时等号成立,所以的最大值为.将其中一个字母利用另一个字母表示，代入后的变形方向如何？提示：构造定值以利用均值不等式求最值.构造二次不等式求最值【典例】(2019·某某模拟)已知a,b,c均为正实数,且ab+2a+b=6,则2a+b的最小值为________.【解析】因为a,b,c均为正实数,且ab+2a+b=6,所以6-2a-b=ab=×2ab≤,所以(2a+b)2+8(2a+b)-48≥0,所以2a+b≥4,当且仅当a=1,b=2时取等号,所以2a+b的最小值为4.答案:4本题利用均值不等式，将已知式子进行转换的目标是什么？提示：转化成关于2a+b的二次不等式，通过解不等式求最值.1.设x,y∈R,且xy≠0,则的最小值为( )A.-9B.92.(2020·某某模拟)已知0<x<1,当+取得最小值时x= ( )B.-1C.D.3.(2019·某某模拟)已知a>0,b>0,且2a+b=ab-1,则a+2b的最小值为( )A.5+2B.84.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是( )A.1B.3【解析】1.选B.=5++x2y2≥5+2=9, 当且仅当xy=±时,上式取得等号,可得最小值为9.2.选D.因为0<x<1,所以1-x>0,所以+=(x+1-x)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即x=时取等号,所以+取得最小值时x=.3.选A.因为a>0,b>0,且2a+b=ab-1,所以a=>0,所以b>2,所以a+2b=+2b=2(b-2)++5≥5+2=5+2,当且仅当2(b-2)=,即b=2+时取等号.所以a+2b的最小值为5+2.2+2xy-3=0,所以y=,所以2x+y=2x+==+≥2=,即x=1时取等号.1.已知点A(1,2)在直线ax+by-1=0(a>0,b>0)上,若存在满足该条件的a,b,使得不等式+≤m2+8m成立,则实数m的取值X围是( )A.(-∞,-1]∪[9,+∞)B.(-∞,-9]∪[1,+∞)C.[-1,9]D.[-9,1]【解析】选 B.点A(1,2)在直线ax+by-1=0(a>0,b>0)上,可得a+2b=1,+=(a+2b)=5++≥5+2=9,当且仅当a=b=时取得等号,即+的最小值为9,则9≤m2+8m,解得m≥1或m≤-9.2.以点(-1,-1)为圆心且与曲线C:xy=1(x>0)有公共点的圆称之为C的“望圆”,则曲线C的所有“望圆”中半径最小值为( )A.4B.【解析】选D.根据题意,设为曲线C上任意一点,“望圆”的半径为r,若“望圆”与曲线C有公共点,则r2=(t+1)2+=t2++2+2≥2+2×2+2=8,当且仅当t=时,等号成立,则r的最小值为2.考点二均值不等式在实际问题中的应用【典例】经测算,某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y=当该型号汽车的速度为________ km/h时,每小时耗油量最少,最少为每小时________ L.世纪金榜导学号【解析】当x∈[50,80)时,y=(x2-130x+4 900)=[(x-65)2+675],所以当x=65时,y取得最小值,最小值为×675=9.当x∈[80,120]时,函数y=12-单调递减,故当x=120时,y取得最小值,最小值为12-=10.因为9<10,所以当x=65,即该型号汽车的速度为65 km/h时,可使得每小时耗油量最少,最少为每小时9 L.答案:65 9有关实际问题中的最值问题(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用均值不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值X围.(3)在应用均值不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x=3-.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和, 则该公司最大月利润是________万元.【解析】由题意知t=-1(1<x<3),设该公司的月利润为y万元,则y=x-32x-3-t=16x--3=16x-+≤=37.5,当且仅当x=时取等号,即最大月利润为37.5万元.答案:考点三均值不等式的交汇应用【典例】1.已知A,B是函数y=2x的图象上不同的两点,若点A,B到直线y=的距离相等,则点A,B的横坐标之和的取值X围是( )A.(-∞,-1)B.(-∞,-2)C.(-∞,-3)D.(-∞,-4)2.已知等差数列{a n}中,a3=7,a9=19,S n为数列{a n}的前n项和,则的最小值为________.世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题由A,B是图象上两点,想到设出点的坐标;由点A,B到直线距离相等想到构造等式条1件2 由a3,a9想到基本量的运算,由S n,a n想到求出代入【解析】1.选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设x1<x2.函数y=2x为单调增函数，若点A，B到直线y=的距离相等，则-y1=y2-，即y1+y2=1，即+=1.由均值不等式得1=+≥2，当且仅当x1=x2=-1时取等号，则≤，解得x1+x2<-2(因为x1≠x2，所以等号取不到).2.因为a3=7，a9=19，所以d===2，所以a n=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1，所以S n==n(n+2)，因此==≥×2=3，当且仅当n=2时取等号.故的最小值为3.答案:3关于均值不等式与其他知识点的交汇利用其他知识点的知识进行条件转化，表示出要求最值的式子，根据条件，利用均值不等式求最值.1.已知a>b>1,且2log a b+3log b a=7,则a+的最小值为( )A.3B.C.2D.【解析】a b=t,由a>b>1得0<t<1,2log a b+3log b a=2t+=7,得t=,即log a b=,a=b2,所以a+=a-1++1≥2+1=3,当且仅当a=2时取等号.故a+的最小值为3.2.设等差数列{a n}的公差是d,其前n项和是S n,若a1=d=1,则的最小值是________. 【解析】由题意a n=a1+(n-1)d=n,S n=,所以==≥=,当且仅当n=4时取等号.所以的最小值是.答案:。

基本(均值)不等式与其他知识相结合的9种方式基本(均值)不等式是解决函数、立体几何、三角函数、数列、向量、解三角形等知识领域重要的方法之一.本资料整理高一知识融合试题，试题偏难，仅供强基计划学生选用.一、不等式与三角函数1.已知α+β+γ=π，β为锐角，tan α=3tan β，则1tan γ+1tan α的最小值为()A.12B.43C.32 D.34解析：∵α+β+γ=π，∴tan γ=-tan (α+β)=-tan α+tan β1-tan αtan β=-4tan β1-3tan 2β，∴1tan γ+1tan α=3tan 2β-14tan β+13tan β=9tan 2β+112tan β=34tan β+19tan β≥34×23=12，当且仅当tan β=19tan β即tan β=13时取等号，所以1tan γ+1tan α的最小值为12.故选：A .二、不等式与数列2.阅读：已知a 、b ∈(0,+∞)，a +b =1，求y =1a +2b的最小值.解法如下：y =1a +2b =(1a +2b )(a +b )=b a +2ab +3≥3+22，当且仅当b a =2a b ，即a =2-1,b =2-2时取到等号，则y =1a +2b的最小值为3+2 2.应用上述解法，求解下列问题：(1)已知a ,b ,c ∈(0,+∞)，a +b +c =1，求y =1a +1b+1c 的最小值；(2)已知x ∈(0,12)，求函数y =1x +81-2x的最小值；(3)已知正数a 1、a 2、a 3,⋯,a n ，a 1+a 2+a 3+⋯+a n =1，求证：S =a 21a 1+a 2+a 22a 2+a 3+a 23a 3+a 4+⋯+a 2na n +a 1≥12.解析：(1)∵a +b +c =1，∴y =1a +1b +1c =(a +b +c )(1a +1b +1c )=3+(b a +a b +c a +a c +c b+bc )≥3+2b a ⋅a b +2c a ⋅a c +2c b ⋅b c =9，当且仅当a =b =c =13时取等号．即y =1a +1b+1c 的最小值为9．(2)y =22x +81-2x =(22x +81-2x )(2x +1-2x )=10+2⋅1-2x 2x +8⋅2x1-2x，而x ∈(0，12)，∴2⋅1-2x 2x +8⋅2x1-2x≥22(1-2x )2x ⋅8⋅2x 1-2x =8，当且仅当2(1-2x )2x =8⋅2x 1-2x ，即x =16∈(0，12)时取到等号，则y ≥18，∴函数y =1x +81-2x的最小值为18．(3)∵a 1+a 2+a 3+…+a n =1，∴2S =(a 12a 1+a 2+a 22a 2+a 3+a 32a 3+a 4+⋯+a n2a n +a 1)[(a 1+a 2)+(a 2+a 3)+…+(a n +a 1)]=(a 21+a 22+⋯+a 2n )+[a 21a 1+a 2(a 2+a 3)+a 22a 2+a 3(a 1+a 2)+⋯+a 2n a n +a 1(a 1+a 2)+a 21a 1+a 2(a 3+a 4)+⋯]≥(a 21+a 22+⋯+a 2n )+(2a 1a 2+2a 2a 3+⋯+2a n a 1)=(a 1+a 2+⋯+a n )2=1．当且仅当a 1=a 2=⋯=a n =1n 时取到等号，则S ≥12．三、不等式与立体几何3.已知三棱锥A -BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ,∠BAC =120°，AD =2，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A -BCD 的体积的最大值为()A.33B.233C.3D.23【解析】设球O 的半径为R ，AB =x ，AC =y ，由4πR 2=20π，得R 2=5．如图：设三角形ABC 的外心为G ，连接OG ，GA ，OA ，可得OG =12AD =1，则AG =R 2-1=2．在ΔABC 中，由正弦定理可得：BCsin120°=2AG =4，即BC =23，由余弦定理可得，BC 2=12=x 2+y 2-2xy ×(-12)=x 2+y 2+xy ≥3xy ，∴xy ≤4．则三棱锥A -BCD 的体积的最大值为13×12×4×sin120°×2=233．故选：B ．4.如图，在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ,E 、F 是SC 上两个三等分点，记二面角E -AB -F 的平面角为α，则tan α()A.有最大值43B.有最大值34C.有最小值43D.有最小值34【解析】将三棱锥放入长方体中，设AB =a ，BC =b ，AS =c ，如图所示：过E 作EN ⊥平面ABC 与N ，NM ⊥AB 与M ，连接ME ，则∠EMN 为二面角E -AB -C 的平面角，设为α1，则NE =13c ，MN =23b ，故tan α1=c2b .同理可得：设二面角F -AB -S 的平面角为α2，tan α2=b 2c.tan α=tan π2-α1-α2 =1-tan α1tan α2tan α1+tan α2=34c 2b+b2c ≤34，当c 2b=b 2c ，即b =c 时等号成立.故选：B .5.如图，已知四面体ABCD 为正四面体，AB =22，E ，F 分别是AD ，BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为()A.1B.2C.2D.22【解析】把正四面体补为正方体，如图，根据题意，KL //BC ，LM //GH ，KL BC =AL AB ，LM AD =BLAB ，所以KL =AL ，LM =BL ，故KL +LM =AL +BL =22，S 截面=KL ⋅LM ≤KL +LM 2 2=2，当且仅当KL =LM 时成立，故选：C .四、不等式证明6.设x ,y ,z >0，a =4x +1y ,b =4y +1z ,c =4z +1x，则a ,b ,c 三个数()A.都小于4B.至少有一个不大于4C.都大于4D.至少有一个不小于4【解析】假设三个数4x +1y <4且4y +1z <4且4z +1x<4，相加得：1x +4x +1y +4y +1z+4z <12，由基本不等式得：1x +4x ≥4；1y +4y ≥4；1z+4z ≥4；相加得：1x +4x +1y +4y +1z+4z ≥12，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数4x +1y 、4y +1z 、4z +1x 至少有一个不小于4．故选：D ．7.已知a ，b ，c ∈R ，a 2+b 2+c 2=1．1 证明：-12≤ab +bc +ca ≤1．2 证明：a 2b 2+c 2 +b 2c 2+a 2 +c 2a 2+b 2 ≤23．【解析】1 证明：由a +b +c 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =1+2ab +2bc +2ca ≥0，得ab +bc +ca ≥-12．另一方面，a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，c 2+a 2≥2ca ，所以2a 2+2b 2+2c 2≥2ab +2bc +2ca ，即ab +bc +ca ≤1．所以-12≤ab +bc +ca ≤1．2 证明：a 2b 2+c 2 +b 2c 2+a 2 +c 2a 2+b 2 =a 21-a 2 +b 21-b 2 +c 21-c 2 =1-a 4+b 4+c 4 ，因为a 4+b 4+c 4=a 2+b 2+c 2 2-2a 2b 2-2b 2c 2-2c 2a 2≥1-a 4+b 4+b 4+c 4+c 4+a 4 ，即3a 4+b 4+c 4 ≥1，则a 4+b 4+c 4≥13，所以a 2b 2+c 2 +b 2c 2+a 2 +c 2a 2+b 2 ≤23．8.已知a ,b ,c 为正数，且满足a +b +c =1. 证明：(1)1a +1b+1c ≥9；(2)ac +bc +ab -abc ≤827.【解析】(1)a +b +c =1，故1a +1b +1c =a +b +c a +a +b +c b+a +b +cc =3+b a +a b +c a +a c +c b+b c ≥3+2+2+2=9，当a =b =c =13时等号成立.(2)易知1-a >0,1-b >0,1-c >0.ac +bc +ab -abc =1-a +b +c +ac +bc +ab -abc =1-a 1-b 1-c≤1-a +1-b +1-c 3 3=827.当a =b =c =13时等号成立.9.设实数x ，y 满足2x +y =1．1 若2y -1 -2x <3，求x 的取值范围；2 若x >0，y >0，求证：1x +2y -2xy ≥152．【解析】1 由2x +y =1，得y =1-2x ，所以不等式2y -1 -2x <3，即为4x -1 -2x <3，所以有1-4x +2x <3x <0 或0≤x ≤141-4x -2x <3 或x >144x -1-2x <3解得-1<x <0或 0≤x ≤14 或14<x <2，所x 的取值范围为x ∈-1,2 ．2 ∵x >0，y >0，2x +y =1所以1x +2y =1x +2y 2x +y =4+y x +4xy≥4+4=8当且仅当y x =4x y ，即2x =y =12时取等号．又-2xy ≥-2x +y 2=-12，当且仅当2x =y =12时取等号，所以1x +2y -2xy ≥152，当且仅当2x =y =12时取等号．10.1在锐角ΔABC 中，证明：(1)tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ；(2)tan A ⋅tan B ⋅tan C ≥3 3.证明：(1)∵tan C =-tan (A +B )=tan A +tan Btan A tan B -1∴tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ,(2)解法1：∵y =tan x ,x ∈(0,π2)是凸函数，∴tan A tan B tan C ≥3 3.解法2：∵tan A tan B tan C ≤(tan A +tan B +tan C 3)3，∴tan A tan B tan C ≥33五、最值问题11.设x>0,y>0且x+y=4，则x2x+1+y2y+2的最小值是A.167B.73C.2310D.94【解析】∵x+y=4，∴(x+1)+(y+2)=7∴x2x+1+y2y+2=x+12-2x+1+1x+1+y+22-4y+2+4y+2=1+1x+1+4y+2=1+1x+1+4 y+2x+17+y+27=1+17+47+y+27(x+1)+4(x+1)7y+2≥127+2×27= 16712.已知实数a>0,b>1满足a+b=5，则2a+1b-1的最小值为()A.3+224 B.3+424 C.3+226 D.3+426【解析】因为a>0,b>1满足a+b=5，则2a+1b-1=(2a+1b-1)a+b-1×14=143+2b-1a+ab-1≥14(3+22)当且仅当2b-1a=ab-1时取等号，故选：A．13.设a>b>0，则ab+4b2+1b a-b的最小值是()A.2B.3C.4D.6【解析】因为a>b>0⇒a-b>0；所以ab+4b2+1b(a-b)=ab-b2+1b(a-b)+b2+4b2=b(a-b)+1b(a-b)+b2+4b2≥2b(a-b)×1b(a-b)+2b2×4b2=2+4=6．当且仅当b(a-b)=1b(a-b)，b2=4b2时取等号，∴ab+4b2+1b(a-b)的最小值为6．故选：D．六、不等式与函数14.已知f x =2x-2+x+1．(1)求不等式f x <6的解集；(2)设m,n,p为正实数，且m+n+p=f2 ，求证：mn+np+pm≤3.【解析】(1)不等式2x-2+x+1<6等价于不等式组x<-1-3x+3<6或-1≤x≤2-x+5<6或x>23x-3<6，所以不等式2x-2+x+1<6的解集为-1,3；(2)证明：因为m+n+p=3，所以m+n+p2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，因为m,n,p为正实数，所以由基本不等式m2+n2≥2mn(当且仅当m=n时等号成立)，同理m2+p2≥2mp,p2+n2≥2pn，所以m2+n2+p2≥mn+mp+np，所以m+n+p2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3mn+3mp+3np，所以mn+mp+np≤3.15.已知函数f x =2x -3 -x -m -1的定义域为R .(1)求实数m 的取值范围；(2)设实数t 为m 的最大值，若实数a ,b ,c 满足a 2+b 2+c 2=t 2，求1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3的最小值.【解析】(1)∵函数f x =2x -3 -x -m -1的定义域为R .∴2x -3 -x -1≥m 对任意的x ∈R 恒成立，令g x =2x -3 -x -1，则g x =x -7,x ≥3 5-3x ,0<x <3 5-x ,x ≤0，结合g x 的图像易知g x 的最小值为-4，所以实数m 的取值范围-∞,-4 .(2)由(1)得t =-4，则a 2+b 2+c 2=16，所以a 2+1 +b 2+2 +c 2+3 =22，1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3=1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3a 2+1 +b 2+2 +c 2+3 22=3+b 2+2a 2+1+a 2+1b 2+2+c 2+3a 2+1+a 2+1c 3+3+c 2+3b 2+2+b 2+2c 2+322≥3+2b 2+2a 2+1×a 2+1b 2+2+2c 2+3a 2+1×a 2+1c 2+3+2c 2+3b 2+2×b 2+2c 2+322=922，当且仅当a 2+1=b 2+2=c 2+3=223，即a 2=193，b 2=163，c 2=133时等号成立，∴1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3的最小值为922.七、不等式与向量16.若非零向量m ,n 满足|m -e |-m ⋅e =|n -e |-n ⋅e =1(e 为单位向量)，且m ⊥n ，则|m -n|的最小值是()A.1B.2C.4D.8【解析】由非零向量m ,n 满足m ⊥n ，可设m =(a ,0)，n=(0,b )，其中a ,b 均不为0．因为e 为单位向量，可设e =(cos θ,sin θ)，因为|m -e |-m ⋅e=(a -cos θ)2+sin 2θ-a cos θ=1，所以a 2-2a cos θ+cos 2θ+sin 2θ=1+2a cos θ+a 2cos 2θ，即a sin 2θ=4cos θ①，同理，由|n -e |-n ⋅e=1可得b cos 2θ=4sin θ②，由①②，可得a 2+b 2=16cos 2θsin 4θ+16sin 2θcos 4θ=16cos 4θ+sin 2θcos 2θsin 4θ+ sin 4θ+sin 2θcos 2θcos 4θ=161tan 4θ+1tan 2θ+tan 4θ+tan 2θ ≥16×(2+2)=64当且仅当tan 2θ=1时，等号成立，所以当tan 2θ=1时，|m -n |min =8，故选：D ．17.已知平行四边形ABCD 的面积为93，∠BAD =2π3，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且AF =λAB +56AD ，则AF 的最小值为___________．【解析】由题可知，平行四边形ABCD 的图象如下：设DF =kDE ，∴AF =AD +DF =AD +kDE =AD+k DC +CE ，∵DC =AB ，CE =12DA，则AF =AD +kAB +12kDA ，所以AF =kAB +AD -12kAD =kAB +1-12k AD ，又∵AF =λAB +56AD ，则有：k =λ1-12k =56，解得：k =λ=13，即AF =13AB +56AD ，∵平行四边形ABCD 的面积为93，即∵AB ⋅AD sin 2π3=93，∴AB ⋅AD =18，∴AF 2=13AB +56AD2=19AB 2+59AB ⋅AD +2536AD 2，即：∴AF 2=19AB 2+59AB ⋅AD cos ∠BAD +2536AD2，∴AF 2=19AB 2+59×18×-12 +2536AD 2=19AB2+2536AD 2-5，即：AF2=19AB2+2536AD 2-5，∵19AB 2+2536AD 2≥219AB 2×2536AD 2=2×518×18=10，即19AB 2+2536AD 2≥10，所以19AB 2+2536AD2-5≥5，∴AF 2≥5，∴AF ≥5，当且仅当：19AB 2=2536AD2时，取等号，∴AF 的最小值为 5.18.平面向量a ,b ,c 满足|a |≤1，|b |≤1，|2c -(a +b )|≤|a -b |，则|c |的最大值为_______．【解析】由绝对值不等式的性质可知，已知中|2c -(a +b )|≤|a -b |，可得|2c |-|a +b |≤|a -b |，即|2c |≤|a+b |+|a -b |，将a ，b 的起点移到同一点，以a ，b 为边构造平行四边形，则a +b ，a -b 为平行四边形的两条对角线，在平行四边形ABCD 中，|AC |2=|AB +AD |2=|AB |2+|AD |2+2|AB |⋅|AD|cos ∠BAD ，由余弦定理可知|BD |2=|AB |2+|AD |2-2|AB |⋅|AD |cos ∠BAD ，则|AC |2+|BD |2=2|AB |2+2|AD |2，显然|AC |+|BD |若取最大值，则|AB |，|AD |应为最大1，即|AC |2+|BD |2=4⇒|AC |+|BD | 2-2|AC ||BD |=4⇒|AC |+|BD | 22-2=|AC ||BD |由基本不等式可知|AC |+|BD | 22-2=|AC ||BD |≤|AC |+|BD |24⇒|AC |+|BD | 2≤8⇒|AC |+|BD |≤22当且仅当|AC |=|BD |时取等号，所以当|a |=1，|b |=1且|a +b |=|a -b |时，|a +b |+|a -b|取得最大值22，则|2c |≤|a +b |+|a -b |≤22，即|c |≤2，所以|c |的最大值为2．故答案为：2八、不等式与解三角形19.在锐角ΔABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，ΔABC 的面积为S ，若sin (A +C )=2Sb 2-c 2，则tan C +12tan (B -C )的最小值为()A.2B.2C.1D.22【解析】因为sin (A +C )=2S b 2-c 2，即sin B =2Sb 2-c 2，所以sin B =ac sin Bb 2-c 2，因为sin B ≠0，所以b 2=c 2+ac ，由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，可得a -2c cos B =c ，再由正弦定理得sin A -2sin C cos B =sin C ，因为sin A -2sin C cos B =sin (B +C )-2sin C cos B =sin (B -C )，所以sin (B -C )=sin C ，所以B -C =C 或B -C +C =π，得B =2C 或B =π(舍去).因为ΔABC 是锐角三角形，所以0<C <π20<2C <π20<π-3C <π2，得π6<C <π4，即tan C ∈(33,1)，所以tan C +12tan (B -C )=tan C +12tan C ≥2，当且仅当tan C =22，取等号.故选:A20.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =6，点O 为其外接圆的圆心.已知BO ·AC=15，则当角C 取到最大值时△ABC 的面积为()A.35B.25C.30D.56【解析】设AC 中点为D ，则BO ⋅AC =BD +DO ⋅AC =BD ⋅AC =12BC +BA⋅BC -BA=12BC 2-12BA 2 ，∴12a 2-12c 2=15，即c =6，由c <a 知角C 为锐角，故cos C =a 2+b 2-c 22ab =30+b 212b =112b +30b≥112×2b ⋅30b =306，当且仅当b =30b，即b =30时cos C 最小，又y =cos x 在0,π2 递减，故C 最大.此时，恰有a 2=b 2+c 2，即△ABC 为直角三角形，S △ABC =12bc =35，故选A .21.在△ABC 中,已知AB ·AC =9,sin B =cos A sin C ,S △ABC =6,P 为线段AB 上的点,且CP =x CA CA +y CBCB ,则xy 的最大值为________.【解析】由sin B =cos A sin C 得b =c b 2+c 2-a 22bc⇒a 2+b 2=c 2⇒S ΔABC =12ab =6所以由AB ·AC =9得AC 2=9,∴b =3,a =4又P 为线段AB 上的点，且CP =x CA CA +y CBCB ,所以x b+y a =1,∴x3+y 4=1,∴1≥2x 3⋅y 4∴xy ≤3，当且仅当x =32,y =2时，等号成立即xy 的最大值为3.22.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且a cos B -b cos A =35c ，则tan A -B 的最大值为A.32B.34C.32D.3【解析】∵a cos B -b cos A =35c ∴由正弦定理，得sin A cos B -sin B cos A =35sin C ，∵C =π-(A +B )⇒sin C =sin (A +B )，，∴sin A cos B -sin B cos A =35(sin A cos B +cos A sin B )，整理，得sin A cos B =4sin B cos A ，同除以cos A cos B ，得tan A =4tan B ，由此可得tan (A -B )=tan A -tan B 1+tan A tan B =3tan B 1+4tan 2B=31tan B+4tan B ，∵A 、B 是三角形内角，且tan A 与tan B 同号，∴A 、B 都是锐角，即tan A >0，tan B >0，∵1tan B+4tan B ≥21tan B ⋅4tan B =4tan (A -B )=31tan B+4tan B ≤34，当且仅当1tan B =4tan B ，即tan B =12时，tan (A -B )的最大值为34．故选B ．23.已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2=8，则△ABC 面积的最大值为()A.55B.255C.355D.53【解析】因为a 2+b 2+2c 2=8，所以a 2+b 2=8-2c 2，由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =8-3c 22ab，即2ab cos C =8-3c 2①由正弦定理得S =12ab sin C ，即2ab sin C =4S ②由①，②平方相加得4ab 2=8-3c 2 2+4S 2≤a 2+b 2 2=8-2c 2 2，所以4S 2≤8-2c 2 2-8-3c 2 2=16-5c 2 c 2≤1516-5c 2+5c 222=645，即S 2≤45，所以S ≤255，当且仅当a 2=b 2且16-5c 2=5c 2即a 2=b 2=125,c 2=85时，取等号.故选：B24.已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点M ,N ，且AM =xAB ，AN =yAC，x ,y >0 ，则3x +y 的最小值是()A.83B.72C.52D.43+233【解析】因为M ,G ,N 三点共线，故AG =tAM +1-t AN ，因为AM =xAB ,AN =yAC ，所以AG =txAB+1-tyAC ，又G 为重心，故AG =13AB +13AC ，而AB ,AC 不共线，所以tx =13,1-t y =13，也即是1x +1y=3.3x +y =133x +y 1x +1y =134+y x +3x y，由基本不等式可以得到：y x +3x y ≥23，当且仅当x =3+39,y =33+13等号成立，故3x +y 的最小值为43+233，故选D .25.已知O 是△ABC 的外心，∠C =45°,OC =2mOA +nOB ,(m ,n ∈R ),则1m 2+4n2的最小值为____．【解析】OC =2mOA +nOB ∴OC 2=2mOA +nOB 2=4m 2OA 2+n 2OB 2+4mnOA ⋅OB∠C =45°∴∠AOB =90°∴OA ⋅OB=0故4m 2+n 2=11m 2+4n 2=1m 2+4n 2 4m 2+n 2=4+n 2m 2+16m 2n 2+4≥216+8=16当n 2m 2=16m 2n 2即n 2=12,m 2=18时等号成立，故答案为：1626.在锐角三角形ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若b 2+c 2=4bc sin A +π6，则tan A +tan B +tan C 的最小值是______．【解析】由余弦定理，得b 2+c 2=a 2+2bc cos A ，则由b 2+c 2=4bc sin A +π6 ，得a 2+2bc cos A =4bc sin A +π6=2bc (3sin A +cos A )，所以a 2=23bc sin A ，由正弦定理，得sin 2A =23sin B ⋅sin C ⋅sin A ，所以sin A =23sin B sin C ，所以sin (B +C )=23sin B sin C ，sin B cos C +cos B sin C =23sin B sin C ，tan B +tan C =23tan B tan C ．因为tan A =-tan (B +C )=tan B +tan Ctan B tan C -1，所以tan A +tan B +tan C =tan A ⋅tan B ⋅tan C ，则tan A +tan B +tan C =tan B +tan C tan B tan C -1⋅tan B ⋅tan C =23tan B tan Ctan B tan C -1⋅tan B ⋅tan C ．令tan B ⋅tan C -1=m ，而tan B ⋅tan C -1=tan B tan A +tan Ctan A,∴m >0则tan B ⋅tan C =m +1，tan A +tan B +tan C =23(m +1)2m =23m 2+2m +1 m =23m +1m+2 ≥23(2m ⋅1m +2)=83，当且仅当m =1时，等号成立，故tan A +tan B +tan C 的最小值为83．27.已知ΔABC 的内角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ，且a cos C -c cos A =35b ，则tan (A -C )的最大值为______．【解析】因为a cos C -c cos A =35b ，由正弦定理得sin A cos C -sin C cos A =35sin B ，又B =π-(A +C )，所以sin A cos C -sin C cos A =35sin [π-(A +C )]，即sin A cos C -sin C cos A =35sin (A +C )，所以5sin A cos C -5sin C cos A =3sin A cos C +3cos A sin C ，所以2sin A cos C =8cos A sin C ，当cos C ≤0或cos A ≤0时，等式不成立，所以A ,C ∈(0,π2)，所以tan A =4tan C ，所以tan (A -C )=tan A -tan C 1+tan A tan C =3tan C 1+4tan 2C =31tan C+4tan C 又tan C >0，所以1tan C +4tan C ≥21tan C ⋅4tan C =4，当且仅当1tan C =4tan C ，即tan C =12时，等号成立，所以tan (A -C )=31tan C +4tan C ≤34，所以tan (A -C )的最大值为34．28.已知ΔABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足a cos A+b +2c cos B =0,则sin2B ⋅tan 2C 的取值范围是__________.【解析】a cos A+b +2c cos B =0，即a cos B +b cos A +2c cos A =0，即sin A cos B +sin B cos A +2sin C cos A =0，sin C 1+2cos A =0，sin C ≠0，故1+2cos A =0，A =3π4，故B +C =π4.sin2B ⋅tan 2C =cos2C ⋅sin 2C cos 2C =2cos 2C -1 1-cos 2C cos 2C =3-2cos 2C +1cos 2C，C ∈0,π4 ，故t =cos 2C ∈12,1 ，故y =3-2t +1t，根据双勾函数性质知：函数在12,22上单调递增，在22,1 上单调递减.故y max =3-22，当t =1时，y =0，当t =12时，y =0，故sin2B ⋅tan 2C ∈0,3-22 .故答案为：0,3-22 .九、不等式与恒成立问题29.正数a,b满足1a+9b=1，若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.(-∞,6]D.[6,+∞)【解析】∵a>0,b>0,1a+9b=1，∴a+b=(a+b)1a+9b=10+b a+9a b≥10+2b a⋅9a b=16当且仅当3a=b，即a=4,b=12时，“=”成立，若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立，则-x2+4x+18-m≤16，即-x2+4x+2≤m对任意实数x恒成立，∵-x2+4x+2=-(x-2)2+6≤6∴m≥6实数m的取值范围是[6,+∞)30.数列a n中，a1=12，a n+1=na nn+1na n+1n∈N*，若不等式4n2+1n+-1nλa n≥0恒成立，则实数λ的取值范围为__________.【解析】由数列 a n满足a1=12,a n+1=na n(n+1)(na n+1)(n∈N x)，两边取倒数可得：1(n+1)a n+1-1nan=1，∴数列1nan是等差数列, 公差为1, 首项为2∴1nan =2+(n-1)=n+1，∴a n=1n(n+1)由4n2+1n+(-1)nλa n≥0恒成立,得(-1)n⋅1n(n+1)λ≥-4n2-1n=-4-nn2,当n为偶数时，λ≥-(n+1)(n+4)n=-(n+4n+5), 则λ≥-9，当n为奇数时，λ≤n+4n+5,则λ≤283，∴实数λ的取值范围为-9,283。

均值不等式在解三角形问题中的应用在数学中，均值不等式是一种常见的不等式，它可以被广泛地应用于各种数学问题中，包括三角形几何。

均值不等式提供了一种有效的方法来解决三角形中的一些问题，特别是在涉及到三角形的边长、角度或面积时。

在本文中，我们将探讨均值不等式在解三角形问题中的应用，并举例说明其在实际问题中的作用。

首先，让我们回顾一下均值不等式的基本概念。

均值不等式是指对于任意一组非负实数，它们的算术平均数永远不会小于它们的几何平均数，这就是均值不等式的基本形式。

具体而言，对于任意一组非负实数 a1, a2, ..., an，均值不等式可以表示为：( a1 + a2 + ... + an ) / n ≥ ( a1 a2 ... an )^(1/n)。

这个不等式告诉我们，对于给定的一组非负实数，它们的算术平均数不会小于它们的几何平均数。

这个性质在三角形几何中有着重要的应用。

在三角形中，我们经常需要比较三角形的边长、角度或面积。

均值不等式可以帮助我们对这些量进行比较，并且在解决一些三角形问题时提供了简洁而有效的方法。

例如，我们可以利用均值不等式来证明三角形中任意两边之和大于第三边的基本不等式。

假设 a, b, c 分别表示三角形的三条边长，根据均值不等式，我们有：(a + b) / 2 ≥ √(ab)。

(b + c) / 2 ≥ √(bc)。

(c + a) / 2 ≥ √(ca)。

将以上三个不等式相加得到：(a + b + c) / 2 ≥ √(ab) + √(bc) + √(ca)。

这个不等式告诉我们，三角形的任意两边之和不会小于第三边。

这是三角形中一个非常重要的性质，而均值不等式为我们提供了一个简洁的证明方法。

除了边长之和的比较外，均值不等式还可以在三角形的角度或面积比较中发挥作用。

例如，我们可以利用均值不等式来证明三角形内角的平均值大于60度，或者证明三角形的面积与边长之间的关系。

这些都是三角形几何中常见的问题，而均值不等式为我们提供了一种简单而有效的方法来解决这些问题。