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r r的投影．所成的角．量积的几何意义：向量a r ，b r 的数量积等于a r 的长度||a r 与b r 在的乘积或等于br 的长度||b r 与a r 在b r方向上的投影||cos ,a a b <>r r r 的乘积、数量积的运算：()a b ×r r，R λÎ.A ．1-B ．1【答案】B【详解】由题意得1BD BA =uuuu r uuu r 则11(BD AC AD AB AA ×=-+uuuu r uuu r uuu r uuu r uuur 1111cos6011cos60=-+´´+´´o B故12EF DC BD DC ×=×=uuu r uuu r uuu r uuu r 故答案为：14-【变式1】（2024秋·浙江绍兴AB AM ×=uuu r uuuu r（ ）【答案】2,22éùêúëû【详解】由已知E 为棱1B C 因为111AE AB B E AB =+=u u u r u u u r u u u r u u u r 所以(AE AC AB BB ×=++u u u r u u u r u u u r u u u r 【答案】18-/-0.125因PA^平面ABC，BC 则BC^平面PAB，又【答案】66.【详解】记AB a uuu r r=，AD b =uuu r r ，1AA =uuur 12a b b c a c \×=×=×=r r r r r r ，BD b c a =+-uuuu r r r r Q ，AC a b =+uuu r r r ，(1)求EF uuu r的模长；(2)求EF uuu r ，GH uuur的夹角【答案】(1)22；（1）1AC 的长；【答案】22【详解】棱长为1的正方体ABCD 所以1111AB A C A C =×uuu r uuuu ruuuu r 11cos ,AB A C AB ×uuu r uuuu r uuu 向量 AB uuu r在向量 11AC uuuu r 方向上的投影向量是uuu r uuuu r uuuu r uuuu r【答案】32 BC uuu r【详解】PA^Q平面ABC，则PA BC^，()PC BC PA AB BC BC ×=++×= uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r向量uuu r在uuu r上的投影向量为【典例2】（2024春·,,60a c b c ==°r r r r，则A ．5B 【答案】D【详解】因为a b ^r r ，(1)用,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 表示OM uuuu r，并求出(2)求证：OM BC ^.【答案】(1)1126OM OA OB =+uuuu r uuu r uuu r (2)证明见解析【详解】（1）因为点G 是OBC △(1)EF ^平面11BB D D ；(2)平面1EFB ^平面11C D M 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）正方体ABCD(1)求线段1CA 的长；(2)求证：111CA B D ^．【答案】(1)11(2)证明见解析【详解】（1）设,CD a CB =uuu r r uuu r (1)求A B '和B C '的夹角；(2)求证：A A B C ''^．【答案】(1)60°(2)证明见解析【详解】（1）AB a uuu r r=，AD uuu r则(1PA PC PO ×=+uuu r uuuu r uuu r uuu Q 当P 为侧面1ABB 又11122OA AC ==uuu r uuuu r【详解】如图所示，在边长为1的正四面体CDEF 内切球半径为r ，取EF 中点为G ，13142-=,12333DO DG ==0DEF O CDE O CDF CEF V V V V ---=+++11143DEF DEF CO S OO ´=´´△△，所以设外接球球心为O，则uuuu r uuu r uuuu22=-=|||||MO OE MO由于点M在正方体的棱上运动即为正方体面对角线的一半，为uuur uuur的最小值为由题知，22216,9,AB AD AA '===uuu r uuu r uuur 43cos900AB AD ×=´´°=uuu r uuu r，AB AA ×uuu r uuur 1535cos 602AD AA '×=´´°=uuu r uuur .AC AB AD AA ''=++uuuu r uuu r uuu r uuur Q ，A ．14-【答案】D【详解】如图，因为D 为棱AB 的中点，所以()(1122P P C P A PB PA =××+=uuur uuu r uuu r uuu r uuuA．4B．5【详解】AM ，由棱柱性质，侧棱1AA ^2211415AA A M +=+=，又()()(1122AN AM AN AM =+×-=uuu r uuuu r uuu r uuuu rA ．112333MN a b c=++uuuu r r r r C ．111A B A C ^uuur uuuu r【答案】BD【详解】因为12BM A M =，1C N =11uuuur uuur uuu r uuurA. 由向量的加法运算得1A A uuur 确；B. 正方体的性质易知1A C ^C. 因为11A BC V 是等边三角形，且D. 由正方体的性质得过1,A D【答案】9【详解】因为1BB ^平面ABC 所以，(1EF BB EA AA ×=+uuu r uuur uuu r uuur 211111122BA BB BB A C =×++uuur uuur uuur uuuu r 故答案为：9.12．（2024秋·山东菏泽·高二统考期末）如图所示，在平行六面体【答案】12+/21+【详解】向量的拆分，11112D E AE AD AA =-=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r 122cos 23AA AB AD p =×=´´=u r u u u r u u u r ，22211124AB AA AD AB AA ++-×-u u r u u u r u u u r u u u r u u u r【答案】AB uuu r，2a 【详解】因为PC AB ×uuu r uuu 又||AB a =uuu r，所以PC uuu r 在AB uuu r上的投影向量为：uuu r uuu r uuu r 【答案】证明见解析【详解】因为CD OA ^，所以因为AB α^，CD αÌ，所以又OA AB OB +=uuu r uuu r uuu r，所以CD OB ×uuu r uuuA ．1B ．2C ．3D ．【答案】C【详解】解：过B 和D 分别作BE AC ^，DF AC ^，Q 在矩形,1,3ABCD AB BC ==，\Q ABC ADC S S =△△，1122AB BC AC \×=32BE DF \==，则1AE CF ==，即211EF =-=，(1)试用向量,,a b c r r r 表示向量OE uuu r；(2)若4,3,OA OC OB AOC Ð===【答案】(1)111236OE a b c =++uuu r r r r；(2)83-.【详解】（1）因为点E 为AD 的中点，所以(1)确定PC uuu r在平面ABC (2)确定PC uuu r 在AB uuu r上的投影向量，并求【答案】(1)PC uuu r在平面(2)PC uuu r 在AB uuu r 上的投影向量为【详解】（1）因为A ．1111AB AC AD D B ´=´uuur uuu r uuuu r uuuur C ．111A C A D ´uuuu r uuuu r 与1BD uuuu r 共线【答案】ACD【详解】设正方体棱长为1，3．（2024春·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期中）在空间中，不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角uuu r uuu r uuu r【答案】10【详解】作母线CEAF CE，所以因为//EC^平面ABC，又由已知得AC^所以BC^平面ACEF5．（2024春·江苏常州Ð=Ð形，且1C CB【答案】1【详解】解：如图所示：设1,0CD x x CC =>，11CC =，则因为1A C ^平面1C BD ，11,C B C D Ì平面1C BD ，所以11C D C C CD =+u u u u r u u u u r u u u r ，11A C A =u u u r u u 由110A C C D ×=u u u r u u u u r ，得(AD +u u u r。
1.1.2 空间向量的数量积运算
（基础知识+基本题型）
知识点一 空间向量的夹角 1．概念
如图3.1-26，已知两个非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作 OA a =，OB b =，则么AOB ∠叫做向量,a b 的夹角，记,a b <>.
2．范围
[],0,a b π<>∈． 3．特别地，如果,2
a b π
<>=
，那么向量,a b 互相垂直，记作a b ⊥．
对空间两个向量的夹角的理解，应注意以下几点：
(1)由概念，知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π，故,0a b <>=(或π)//a b ⇔(,a b 为非零向量)．
(2)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a 都是共线的，即0∥a ．两非零向量的夹角是唯一确定的．
(3)对空间任意两个向量,a b ，有；
①,,,a b a b b a <>=<-->=<-->；②,,,a b a b a b π<->=<->=-<>；③AB AC BACA AB AC π<>=<>=-<>．．．．
拓展
若两个向量,a b 所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为θ， (1)向量夹角的范围是0<<,a b ><π，异面直线的夹角θ的范围是0<θ<
2
π
，
(2)当两向量的夹角为锐角时，,a b θ=<>；当两向量的夹角为2
π
时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，,a b θπ=-<>. 知识点二 空间向量的数量积
定义
已知两个非零向量,a b ，则||||cos ,a b a b <>叫做向量,a b 的数量积，记作a b ⋅，
即||||cos ,a b a b a b ⋅=<>.
零向量与任意向量的数量积为0，即00a ⋅=.
几何意义
向量,a b 的数量积等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos ,b a b <>的乘
积或等于b 的长度||b 与a 在b 的方向上的投影||cos ,a a b <>的乘积.
运算律
()()a b a b λλ⋅=⋅
a b b a ⋅=⋅（交换律）
()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）
1． 对于空间向量的数量积，我们可以从以下几个方面理解：
(1)向量,a b 的数量积记为a b ⋅．而不能表示为a b ⨯或ab ;
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：当θ为锐角时，
a b ⋅>0，但当a b ⋅>0时， θ也可能为0；当θ为钝角时．a b ⋅<0，但当a b ⋅<0时，θ也可能为π：
(3)当θ≠0时， a b ⋅=0不能推出b 一定是零向量，这是因为对于任一个与a 垂直的非零向量b ．都有a b ⋅=0．
2． 在考向量数量积的运算律时，要准确区分两向量的数量积与向量的数乘 、实数与实数的乘积之问的差
异.
（1）向量的数量积的运算不满足消去律，即a b ⋅=b c ⋅推不出a c =， （2）向量数量积的运算不满足结合律，即()a b c ⋅⋅不一定等于()
a b c ⋅ ． （3）向量数量积的运算不满足除法，即对于向量a b ⋅，若a b ⋅=k ，不能得到k a b =
（或k
b a
=）．例如，当非零向量a b ⋅垂直时，a b ⋅=0，但0
a b
=
显然是不正确的．
知识点三 空间向量数量积的性质
若,a b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ为a 与e 夹角，则： (l) cos e a a e a θ⋅=⋅=. (2) 0a b a b ⊥⇔⋅=
(3)若a 与b 同向，则a b a b ⋅=；若a 与b 反向，则a b a b ⋅=-．特别地，2
=a a a a a a ⋅=⋅或． (4)若θ为a 与b 的夹角．则cos =
a b a b
θ⋅.
(5)a b a b ⋅≤. 拓展
空间向量数量积的性质可以看作数量积的定义的．引申和拓展，空间向量数量积与向量的模和夹角有关，更多的是以它为工具解决立体几何中与夹角和距离有关的问题．例如．
（1）求空间中两点间的距离或线段的长度，可以理解为求解为求相应线段所对应的向量的模． (2)求空间中两条直线的夹角（特别是两条异面直线所成的角），即求这两条直线所对应的两个向量的夹角或其补角．
(3)证明线线垂直问题时，可以通过计算两条直线所对应的两向量的数量积为零来说明这两条直线垂直．
考点一 空间向量数量积的运算问题
例1 已知向量,a b 之间的夹角为30，且a =3，b =4，求22
,,,(2)()a b a b a b a b ⋅+⋅-．
解：0cos ,34cos3063a b a b a b ⋅==⨯⨯=，2
2
9a a a a =⋅==，2
2
16b b b b =⋅==
22
(2)()2963326323a b a b a a b b +⋅-=+⋅-=+-=-
总结：有关向量数量积的运算应注意的问题：
⑴要与数乘运算区分开，数乘运算的结果仍是向量，向量的数量积为实数． ⑵书写规范：不能写成a b ⨯，也不能写成ab ． ⑶向量数量积运算不满足结合律，也不满足消去律．
(4)向量数量积与实数运算有很多是相同的，如平方差公式、完全平方公式、多项式展开法则等，但也有很多区别，要注意总结．
考点二 利用向量的数量积求角
例2如图3．1—30．在正方体1111ABCD A B C D -中，求向量1BC 与AC 的夹角的大小．
解：方法1：因为11AD BC =，所以1CAD ∠的大小就等于1,BC AC
因为△1CAD 为等边三角形，所以0160CAD ∠=，所以1BC 与AC 的夹角的大小为60︒． 方法2．设正方体的棱长为1，()()()()
111BC
AC BC
CC AB BC AD AA AB AD ⋅=+⋅+=+⋅+ 2
2
2
110001AD AB AD AA AB AA AD AD AD =⋅++⋅+⋅=+++==
又因为12,2BC AC ==，所以cos 11111,2
22
BC AC BC AC BC AC
⋅=
=
=
⨯⋅， 因为[]1,0,BC AC π∈，所以1BC 与AC 的夹角的大小为60︒．
求两个向量的夹角有两种方法：⑴结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；⑵先求a b ⋅，再利用公式cos ,a b a b a b
⋅<>=
，求cos ,a b <>，最后确定,a b <>．
考点三 利用向量的数量积求距离
例 3 已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD AB ⊥，且与α所成的角是30︒，如果
,AB a AC BD b ===，求C ，D 间的距离．
解：如图，由AC α⊥，知AC AB ⊥，过点D 作'DD α⊥于点'D ，连接'BD ，
则
'30,,120DBD CA BD ∠=︒=︒，所以22||()CD CD CD CA AB BD ==++2||CA =+
22222222||||2222cos120AB BD CA AB CA BD AB BD b a b b a b ++++=+++︒=+
故22CD a b =+．
总结：（1）线段长度的计算通常有两种方法：一是构建三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量（一般向几何体的棱上转化）．
（2）应牢记并能熟练地考公式
2222||()||||||222a b c a b c a b c a c a b b c ++=++=+++++．
考点四 利用向量的数量积证明垂直
例4 如图，在四面体O ABC -中，M,N,P,Q 分别为BC ，AC ，OA ，OB 的中点，若AB OC =，求证：
PM QN ⊥．
分析：欲证PM QN ⊥，只要证明0PM QN =，需将PM QN 用其他向量表示后再进行计算． 证明：如图3．1-34，连接OM ，设,,OA a OB b OC c ===．
因为P ，M 分别为OA ，BC 的中点，所以111
()[()]222PM OM OP b c a b a c =-=+-=-+．
同理，连接ON ，所以111
()[()]222QN a c b b a c =+-=--+．
所以22111
[()]{[()]}(||||)224PM QN b a c b a c b a c =-+⋅--+=---．
又因为AB OC =，所以||||b a c -=
所以0PM QN =，所以PM QN ⊥，即PM QN ⊥．。
