异面直线夹角公式

高考数学必备必考公式大全一、集合1.并集的运算A∪B={x|x∈A,或x∈B}2. 并集的运算性质(1) A∪A=A(2)A∪∅=A(3)A∪B=B∪A(4) A∪B=A⇔B⊆A3. 交集的运算A∩B={x|x∈A,且x∈B}4. 交集的运算性质(1)A∩A=A(2)A∩∅=∅(3)A∩B=B∩A(4)A∩B=A⇔A⊆B5. 补集的运算∁U A={x|x∈U,且x∉A}6. 补集的运算性质(1) ∁U (∁U A)=A(2) ∁U U=∅,∁U∅=U(3)A∪(∁U A)=U,A∩(∁U A)=∅(4) ∁U (A∩B)=( ∁U A)∪(∁U B), ∁U (A∪B)=( ∁U A)∩(∁U B)二、函数与导数公式1. 有理数指数幂的运算性质（1）a r a s=a r+s(a>0,r,s∈Q)（2）=a r-s(a>0,r,s∈Q)（3）(a r)s=a rs(a>0,r,s∈Q)（4）(ab)r=a r b r(a>0,b>0,r∈Q)2.对数运算公式（1）对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:log a(M·N)=log a M+log a N;log a=log a M-log a N;log a M n=n log a M(n∈R)（2）对数恒等式a log aN =N(a>0,且a≠1,N>0)（3）对数运算的换底公式log a b=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)（4）换底公式的变形log a b·log b a=1,即log a b=lo b n=log a blog N M==（5）换底公式的推广log a b·log b c·log c d=log a d3.求导公式及运算法则(1)基本初等函数的导数公式a.若f(x)=c(c为常数),则f'(x)=0.b.若f(x)=x n(n∈Q*),则f'(x)=nx n-1.c.若f(x)=sin x,则f'(x)=cos x.d.若f(x)=cos x,则f'(x)=-sin x.e.若f(x)=a x,则f'(x)=a x ln a.f.若f(x)=e x,则f'(x)=e x.g.若f(x)=log a x,则f'(x)=.h.若f(x)=ln x,则f'(x)=.（2）导数运算法则a.[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)b.[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)c.[]'=(g(x)≠0)（3）复合函数的导数(理)设y=f(u),u=φ(x),则y'x=y'u u'x或记作f '[φ(x)]=f '(u)φ'(x).特别地，[f (ax +b )] '=a f' (ax+b).4.定积分的运算性质（理）（1）b a ⎰kf (x )d x=k b a ⎰f (x )d x (k 为常数)(2) b a ⎰[f (x )±g (x )]d x=b a ⎰f (x )d x±b a ⎰g (x )d x (3)b a ⎰f (x )d x=-a b ⎰f (x )d x(4）c a ⎰f (x )d x=b a ⎰f (x )d x+cb ⎰f (x )d x (a<b<c )三、三角函数1. 同角关系：(1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1.(2)商的关系:=tan α(α≠+k π,k ∈Z ). 2. 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。

还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解，这是高二数学人教版（B ）倡导的方法，下面举例说明两种方法的应用。

例：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。

解法1：平移法设A 1C 1与B 1D 1交于O ，取B 1B 中点E ，连接OE ，因为OE//D 1B ，所以∠C 1OE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角△C 1OE 中211E B C B E C 2312221BD 21OE 25C A 21OC 22212111221111=+=+==++⋅====()552325222325OEOC 2E C OE OC OE C cos 2221212211=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠所以55a r c c o sOE C 1=∠所以 所以异面直线111BD C A 与所成的角为55arccos图1解法2：补形法在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面BC 1上补上一个同样大小的长方体，将AC 平移到BE ，则∠D 1BE 或其补角就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角，在△BD 1E 中，BD 1=3，5BE =，5224E D 221=+=()()555325253BE BD 2E D BE BD BE D cos 2221212211-=⨯⨯-+=⋅-+=∠所以异面直线A 1C 1与BD 1所成的角为55arccos图2解法3：利用公式21cos cos cos θθθ⋅=设OA 是平面α的一条斜线，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 的任意一条直线，设OA 与OC 、OA 与OB 、OB 与OC 所成的角分别是θ、θ1、θ2，则21cos cos cos θθθ⋅=（注：在上述题设条件中，把平面α内的OC 换成平面α内不经过O 点的任意一条直线，则上述结论同样成立）D 1B 在平面ABCD 内射影是BD ，AC 看作是底面ABCD 内不经过B 点的一条直线，BD 与AC 所成的角为∠AOD ，D 1B 与BD 所成角为∠D 1BD ，设D 1B 与AC 所成角为θ，AOD cos BD D cos cos 1∠⋅∠=θ，55BD BD BD D cos 11==∠。

异面直线所成角的正弦值公式正文:异面直线是指两条直线不在同一个平面内，它们之间的距离称为角度。

如果我们将异面直线上的两个点 A 和 B 连接起来，并且连接点 A 和 B 的线段与异面直线垂直，那么我们可以得到一个角θ，这个角是异面直线所成角。

正弦值是指一个角的正弦值，它是角的角度值与正弦值的比值。

在数学上，正弦值可以表示为:sinθ = 角度值 / 正弦值其中，角度值是指异面直线所成角的大小，正弦值是指这个角的正弦值。

异面直线所成角的正弦值公式可以通过以下方式得到:1. 假设两条直线分别为 A 和 B，它们之间的距离为 d，角度为θ。

2. 那么这两条直线的夹角β就是异面直线所成角。

3. 由于β是一个角度，所以它的正弦值可以用正弦公式计算: sinθ = 1 / 2 * (√(AB^2 + AA^2) - AA^2 / AB^2) 其中，AA 表示直线 A 的终点到直线 B 的起点的距离，AB 表示直线 A 和直线 B 之间的距离。

4. 由于β是异面直线所成角，所以它的余弦值可以用余弦公式计算:cosβ = (AA^2 + BB^2 - AB^2) / 2 * AA * BB其中，AA 和 BB 分别表示直线 A 和直线 B 的起点到终点的距离。

5. 最后，我们可以将上述两个公式联立起来，得到异面直线所成角的正弦值公式:sinθ = 1 / 2 * (√(AB^2 + AA^2) - AA^2 / AB^2) 其中，θ是异面直线所成角的大小，AB 是直线 A 和直线 B 之间的距离，AA 是直线 A 的起点到终点的距离。

拓展:异面直线所成角的余弦值公式也可以通过类似的步骤得到。

假设两条直线分别为 A 和 B，它们之间的距离为 d，角度为β。

那么，异面直线所成角的余弦值可以表示为:cosβ = (AA^2 + BB^2 - AB^2) / 2 * AA * BB其中，AA 和 BB 分别表示直线 A 和直线 B 的起点到终点的距离。

异面直线夹角取值范围
异面直线所成的角的范围是θ∈（0°,90°]。

过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角。

角的范围是θ∈（0°,90°]；直线a，b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线A//a,B//b,相交直线A，B所成的锐角（或直角）叫做异面直线a,b所成的角。

，异面直线所成角的计算如下：
（1）平移其中一条或两条使其相交。

（2）连接端点，使角在一个三角形中。

（或者平行四边形等可以轻易求出角与角关系的基本平面几何形中）
（3）计算三条边长，用余弦定理或正弦定理计算余弦值。

（4）若余弦值为负，则取其相反数。

扩展资料：
一、坐标法
选取空间坐标原点，建立空间坐标系并将两条直线上任意两点的坐标读出，并计算出两直线的向量，比较其是否为平行向量若是则两直线不异面。

并用具体条件证明其不相交即可证明两直线为异面直线。

二、判定定理
平面内一点和平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线互为异面直线。

例如平面ABC,D在面ABC外，那么AB和CD互为异面直线。

（AD和BC,BD和AC也都互为异面直线）。

高数异面直线的计算公式好的，以下是为您生成的文章：咱先来说说这高数里异面直线的计算公式，这可真是个让人又爱又恨的家伙！还记得我当年上高中的时候，有一次数学课，老师正在讲台上激情澎湃地讲着异面直线的知识。

那天阳光透过窗户洒在课桌上，有点晃眼。

我强打着精神努力听着，心里却一直在犯嘀咕：这异面直线到底是个啥玩意儿？老师在黑板上画了两条看似毫无关联的直线，然后就开始推导计算公式。

那公式复杂得就像一团乱麻，我看着那些字母和符号，脑袋都大了。

可老师却讲得津津有味，一边写一边还不停地强调：“同学们，这个公式很重要，一定要记住！”我盯着黑板，手在本子上不停地跟着比划，心里却想着：这要是记不住可咋办？后来，经过老师一遍又一遍的讲解和练习，我终于慢慢摸到了点门道。

这异面直线的计算公式啊，其实就是用来求两条异面直线之间的距离或者夹角的。

比如说，如果有两条异面直线，我们设它们的方向向量分别为$\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，然后在这两条直线上分别取点 $A$ 和 $B$ ，那么这两条异面直线的距离 $d$ 就可以通过公式 $d = \frac{\vert(\vec{AB}) \cdot \vec{n} \vert}{\vert \vec{n} \vert}$ 来计算，其中$\vec{n}$ 是这两条异面直线的法向量。

再比如，要计算两条异面直线的夹角 $\theta$ ，那就可以用公式$\cos\theta = \frac{\vert \vec{a} \cdot \vec{b} \vert}{\vert \vec{a} \vert \vert \vec{b} \vert}$ 。

其实，刚开始学的时候，真觉得这些公式难记又难用。

但随着做的题目越来越多，就会发现，只要把那些基本的概念和定理搞清楚，这些公式用起来也就得心应手了。

就像上次我帮表弟辅导功课，他也遇到了异面直线的问题。

看着他那迷茫的小眼神，我仿佛看到了当年的自己。

两异面直线夹角公式为cosa=|m1m2+n1n2+p1p2|/[√(m1^2+n1^2+p1^2)√(m2^2+n2^2+p2^2）]，计算时代入具体的数据即可。

异面直线是不在同一平面上的两条直线，异面直线是既不相交，又不平行的直线，因为两条直线如果相交或平行，则它们必在同一平面上。

两条直线的夹角公式cos：k=(y2-y1)/(x2-x1)。

夹角公式是基本数学公式，分为正切公式和余角公式，正切公式用tan表示，余角公式用cos表示。

正切公式（直线的斜率公式）：k=(y2-y1)/(x2-x1)；
余弦公式（直线的斜率公式）：k=(y2-y1)/(x2-x1)。

两条直线的夹角公式cos公式推导：
1、A1X+B1Y+C1=0。

2、A2X+B2Y+C2=0。

则1的方向向量为u=(-B1，A1)，2的方向向量为v=(-B2，A2)。

由向量数量积可知，cosφ=u·v/|u||v|，即两直线夹角公式：cosφ=A1A2+B1B2/[√(A1^2+B1^2)√(A2^2+B2^2)]。

注：k1，k2分别L1，L2的斜率，即tan(α-β)=（tanα-tanβ）/（1+tan αtanβ）。

空间异面直线夹角公式是一个重要的数学概念，它可以用来计算两条不同平面上的直线之间的夹角。

这个公式最初是由法国数学家埃尔文·德·拉斐尔在1822年发明的，他将它命名为“拉斐尔夹角”。

该公式表明，如果在三维空间中有两条不同平面上的相交直线l1和l2，则它们之间的夹角α可以通过如下方法来表述：α=arccos[(u1•u2)/(|u1||u2|)]。

其中u1和u2是l1和l2的单位法向量。

该公式也可用于测量三维物体上不同面之间的夹角。

例如：当我们想要测量一个立方体上A、B、C、D四个面之间的夹角时（A、B、C属于一平面内部而D属于另一平面内部)；我们可以使用该公式来测量ABCD四者之间所形成的夹角大小。

此外，该公式也常常应用在几何学中寻找物体表面上不同区域之间所形成的几何形态时使用。

例如:我们想要测量一个球体表面上A,B,C,D四者所形成几何形态时;我们也能使用该公式来得出ABCD四者之前所形成几何彩态大小.
总而言之：空闲异面直线夹角具有很好应电力能力;它能帮助人们快速有效计算三庭物理对象中不各化化郭勇气员已前所生样子大尊;这样人士便能快速有效获得想要信息.。

异面直线上两点间的距离公式的应用异面直线上两点间的距离公式在传统教材中以例题出现，仅用于求异面直线上两点的距离或异面直线的距离，在新课标教材中，这部分内容近一步加强，但仍只以例题的形式分散于多个地方，一般不会引起学生和老师的重视，本文总结、介绍这个知识点在“空间计算”中的应用。

一、异面直线上两点间的距离公式：如图1，a 、b 是两条异面直线，夹角为θ，MN 是公垂线，P 、Q 分别是a 、b 上的点，则由向量知识得：><+++=++=NQ PM NQ PM NQ MN PM NQ MN PM PQ ,cos 2222（1）其中θπθ-,或>=<NQ PM ，若MN=d,MP ＝ｍ，NQ=n,PQ=ｌ则ｌ=θcos 2222mn n m d ±++ (2)，公式（1）、（2）分别是异面直线上两点间的向量公式，数量公式，基本构图为两条异面直线及公垂线，符合上述基本构图即数量关系，即可用公式来解决问题，下面介绍几种常见用法二、公式的应用1.求异面直线上两点间的距离例1，如图2:600的二面角的棱上有A,B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于A,B ，已知AB=4，AC=6，BD=8，求CD 的长？分析：AC ，BD 是两异面直线，AB 是公垂线，AC 与BD 的夹角即是二面角的平面角，θ=60,0符合基本构图即数量关系，代公式即得CD=172 2.求异面直线的距离由公式（2）变形得d=θcos 2222mn n m c --3.求异面直线的夹角由公式（2）变形得cos θ=mn c n m d 22222-++4.求二面角在直角坐标系xoy 中A （-2,3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后112=AB ，求θ的大小？分析：分别过A 、B 作AA ˊ⊥x 轴于A ˊ，BB ˊ⊥x 轴于B ˊ，翻折后，AA ˊ与BB ˊ为异面直线，A ˊB ˊ为公垂线，而><B B A A ','=θ，AA ˊ=3，A ˊB ˊ=5，B ˊB=2则==∴cos ><B B AA ','=21∴><B B AA ','=600∴θ=1200 5.求直线与平面所成的角如图4，线段AB 在平面α内，线段AC ⊥面α，BD ⊥AB ，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD 与平面α所成的角分析：图中AC ，BD 是两条异面直线，AB 是公垂线段，符合基本构图，又直线BD 与平面α所成的角θ与异面直线AC ，BD 所成的角满足关系：sin θ=><BD AC ,cos 利用上述关系及公式即可得出θ=300。

明目标、知重点 1.理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.3.体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲．1．两条异面直线所成的角：当直线l 1、l 2是异面直线时，在直线l 1上任取一点A 作AB ∥l 2，我们把l 1和直线AB 的夹角叫做异面直线l 1与l 2的夹角．已知l 1、l 2的方向向量分别为s 1、s 2，当0≤〈s 1，s 2〉≤π2时，l 1与l 2的夹角等于〈s 1，s 2〉；当π2<〈s 1，s 2〉≤π时，l 1与l 2的夹角等于π－〈s 1，s 2〉． 2．直线和平面的夹角是指这条直线与它在这个平面内的投影的夹角，其范围是⎣⎡⎦⎤0，π2，斜线与平面的夹角是这条直线与平面内的一切直线所成角中最小的角．直线和平面所成的角可以通过直线的方向向量与平面的法向量求得，若设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与平面的法向量的夹角为φ，则有sin θ＝|cos_φ|.3.如图所示，平面π1与π2相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R ，在平面π1上作直线l 1⊥l ，在平面π2上作直线l 2⊥l ，则l 1∩l 2＝R .我们把直线l 1和l 2的夹角叫作平面π1与π2的夹角． 已知平面π1和π2的法向量分别为n 1和n 2.当0≤〈n 1，n 2〉≤π2时，平面π1与π2的夹角等于〈n 1，n 2〉；当π2<〈n 1，n 2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n 1，n 2〉．探究点一 求两条异面直线的夹角 思考1 怎样求两条异面直线的夹角？答 (1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解．(2)向量法：设a 、b 分别为异面直线l 1、l 2上的方向向量，θ为异面直线的夹角，则异面直线的夹角公式cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a·b ||a||b |.思考2 两条异面直线的夹角和两条异面直线的方向向量夹角有什么区别？答 两条异面直线的夹角为锐角或直角，而两向量夹角的范围是[0，π]，两条异面直线的夹角与它们的方向向量的夹角相等或互补．例1 如图所示，三棱柱OAB —O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1夹角的余弦值．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，O 1(0，1，3)，A (3，0,0)，A 1(3，1，3)，B (0,2,0)， ∴A 1B →＝(－3，1，－3)， O 1A →＝(3，－1，－3)． ∴|cos 〈A 1B →，O 1A →〉| ＝|A 1B →·O 1A →||A 1B →|·|O 1A →|＝|(－3，1，－3)·(3，－1，－3)|7·7＝17.∴异面直线A 1B 与AO 1夹角的余弦值为17.反思与感悟 建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线夹角计算思路简便，要注意角的范围．跟踪训练1 如图，四棱锥P ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，P A 与平面ABCD 所成的角为60°，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B 、P 的坐标； (2)求异面直线P A 与BC 夹角的余弦值．解 (1)如图，建立空间直角坐标系． ∵∠ADC ＝∠DAB ＝90°， AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2.∴A (2,0,0)，C (0,1,0)，B (2,4,0)． 由PD ⊥平面ABCD ，得∠P AD 为P A 与平面ABCD 所成的角，∴∠P AD ＝60°. 在Rt △P AD 中，由AD ＝2，得PD ＝2 3. ∴P (0,0,23)．(2)由(1)得，P A →＝(2,0，－23)，BC →＝(－2，－3,0)， ∴|cos 〈P A →，BC →〉|＝|2×(－2)＋0×(－3)＋(－23)×0|4×13＝1313，即P A 与BC 夹角的余弦值为1313. 探究点二 求平面间的夹角思考 怎样利用向量法求两个平面夹角的大小？答 (1)基向量法：利用定义在棱上找到两个能表示二面角的向量，将其用一组基底表示，再做向量运算；(2)法向量：建立适当的空间直角坐标系，求得相关两个平面的法向量，再借助平面的法向量求解．设n 1、n 2分别是面α、β的法向量，θ为平面间的夹角，实际上θ与〈n 1，n 2〉可能相等，也可能互补，所以cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|. 例2 在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′.求平面BCD ′A ′与平面ABCD 的夹角θ.解 设平面BCD ′A ′与平面ABCD 的法向量分别是n 1和n 2，取n 2＝(0,0,1)．因为A ′(0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，所以 A ′B →＝(0,1，－1)，BC →＝(1,0,0)．设n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A ′B →＝0，n 1·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，x ＝0.取n 1＝(0,1,1)，得cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝22.此时〈n 1，n 2〉＝π4，因此，平面BCD ′A ′与平面ABCD 的夹角θ＝〈n 1，n 2〉＝π4.若取平面BCD ′A ′的法向量n 1＝(0，－1，－1)，则 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－22.此时〈n 1，n 2〉＝3π4，因此，平面BCD ′A ′与平面ABCD 的夹角θ＝π－〈n 1，n 2〉＝π4.反思与感悟 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的． (2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角．跟踪训练2 若P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，BC ＝2，求平面P AB 与平面PBC 夹角的余弦值．解 如图所示建立空间直角坐标系，则 A (0,0,0)，B (2，1,0)， C (0,1,0)，P (0,0,1)，故AP →＝(0,0,1)，AB →＝(2，1,0)， CB →＝(2，0,0)，CP →＝(0，－1,1)， 设平面P AB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP →＝0，m ·AB →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(0，0，1)＝0，(x ，y ，z )·(2，1，0)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，2x ＋y ＝0， 令x ＝1，则y ＝－2，故m ＝(1，－2，0)． 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0，n ·CP →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x ′，y ′，z ′)·(2，0，0)＝0，(x ′，y ′，z ′)·(0，－1，1)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x ′＝0，－y ′＋z ′＝0. 令y ′＝－1，则z ′＝－1，故n ＝(0，－1，－1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m||n|＝33. ∴平面P AB 与平面PBC 夹角的余弦值为33. 探究点三 求直线和平面的夹角思考1 直线和平面的夹角的范围是什么？答 直线和平面的夹角的范围是[0°，90°]；若直线和平面斜交，所成的角为锐角． 思考2 直线与平面的夹角θ和直线方向向量a 与平面法向量b 的夹角有什么关系？ 答 直线方向向量与平面法向量所夹的锐角α和直线与平面所成的角θ互为余角，即θ＝π2－α.因此sin θ＝cos α＝|a ·b ||a ||b |.思考3 当一条直线l 与一个平面α的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？ 答 不一定，这条直线还可能与平面平行．例3 如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，E ，F 分别是B ′C ′，A ′D ′的中点．求直线AC 与平面ABEF 的夹角θ的正弦值．解 因为A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，F (0，12，1)，所以AC →＝(1,1,0)．设平面ABEF 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，因为AB →＝(1,0,0)，AF →＝(0，12，1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，12y ＋z ＝0.取n ＝(0,1，－12)，得cos 〈n ，AC →〉＝n ·AC →|n ||AC →|＝152×2＝210＝105＞0，故〈n ，AC →〉＜π2，所以直线AC 与平面ABEF 的夹角θ＝π2－〈n ，AC →〉．所以sin θ＝sin(π2－〈n ，AC →〉)＝cos 〈n ，AC →〉＝105.反思与感悟 借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系．跟踪训练3 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，M 为A 1B 1的中点，求BC 1与平面AMC 1的夹角的正弦值．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，M (0，a2，2a )，C 1(－32a ，a2，2a )，B (0，a,0)， 故AC 1→＝(－32a ，a 2，2a )，AM →＝(0，a 2，2a )，BC 1→＝(－32a ，－a 2，2a )．设平面AMC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧AC 1→·n ＝0，AM →·n ＝0.∴⎩⎨⎧－32ax ＋a2y ＋2az ＝0，a 2y ＋2az ＝0，令y ＝2，则z ＝－22，x ＝0.∴n ＝(0,2，－22)． 又BC 1→＝(－32a ，－a 2，2a )，∴cos 〈BC 1→，n 〉＝BC 1→·n |BC 1→||n |＝－a －a 3a ×92＝－269.设BC 1与平面AMC 1的夹角为θ， 则sin θ＝|cos 〈BC 1→，n 〉|＝269.1．若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线的夹角等于( ) A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．以上均错答案 A2．已知向量m ，n 分别是直线l 的方向向量和平面α的法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案 A解析 设l 与α的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12.∴θ＝30°.3．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为( ) A.24 B.23 C.63 D.32答案 C解析 建系如图，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，A (1,0,0)，∴BC 1→＝(－1,0,1)，AC 1→＝(－1,1,1)，A 1B →＝(0,1，－1)， A 1D →＝(－1,0，－1)． ∴AC 1→·A 1B →＝1－1＝0，AC 1→·A 1D →＝1－1＝0.∴AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．∴cos 〈BC 1→，AC 1→〉＝BC 1→·AC 1→|BC 1→||AC 1→|＝1＋12×3＝63.∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63. 4．已知点A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,3)，则平面ABC 与平面xOy 夹角的余弦值为________． 答案 27解析 AB →＝(－1,2,0)，AC →＝(－1,0,3)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由n ·AB →＝0，n ·AC →＝0知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，－x ＋3z ＝0.令x ＝2，则y ＝1，z ＝23.∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(2,1，23)．平面xOy 的一个法向量为OC →＝(0,0,3)．由此易求出平面ABC 与平面xOy 夹角的余弦值cos θ＝n ·OC →|n |·|OC →|＝23×73＝27.5.如图，在三棱锥V —ABC 中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A 、B 、V 分别在x 、y 、z 轴上，D 是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，∠VDC ＝π3，求异面直线AC 与VD 夹角的余弦值． 解 由于AC ＝BC ＝2，D 是AB 的中点，所以 C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，D (1,1,0)． 在Rt △VCD 中，CD ＝2，tan ∠VDC ＝3， 故V (0,0，6)．所以AC →＝(－2,0,0)，VD →＝(1,1，－6)． 所以cos 〈AC →，VD →〉＝AC →·VD →|AC →||VD →|＝－22·22＝－24.所以异面直线AC 与VD 夹角的余弦值为24.[呈重点、现规律]利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清所求角和两个向量夹角之间的关系．一、基础过关1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l 与平面α的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．以上均错答案 B2．直线l 1，l 2的方向向量分别是v 1，v 2，若v 1与v 2的夹角为θ，直线l 1，l 2的夹角为α，则( ) A ．α＝θ B ．α＝π－θ C ．cos θ＝|cos α| D ．cos α＝|cos θ| 答案 D3．在正四面体ABCD 中，E 为棱AD 的中点，则CE 与平面BCD 夹角的正弦值为( ) A.12 B.23 C.32D.73 答案 B4．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 的夹角为( ) A ．60° B ．90° C ．105° D ．75° 答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0,0,1)， B 1⎝⎛⎭⎫62，22，0，C 1(0，2，0)， B ⎝⎛⎭⎫62，22，1. ∴AB 1→＝⎝⎛⎭⎫62，22，－1，C 1B →＝⎝⎛⎭⎫62，－22，1，∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0，即AB 1与C 1B 的夹角为90°.5．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD 的夹角是________． 答案 30°解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (1，2，0)，PC →＝(1，2，－1)，平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， 所以cos 〈PC →，n 〉 ＝PC →·n |PC →|·|n |＝－12，所以〈PC →·n 〉＝120°，所以斜线PC 与平面ABCD 的法向量所在直线的夹角为60°， 所以斜线PC 与平面ABCD 的夹角为30°.6．若两个平面α，β的法向量分别是n ＝(1,0,1)，ν＝(－1,1,0)，则这两个平面的夹角是________． 答案 60°解析 ∵cos 〈n ，ν〉＝－12·2＝－12.∴〈n ，ν〉＝120°.故两平面的夹角为60°.7.如图，已知点P 在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′的夹角；(2)求DP 与平面AA ′D ′D 的夹角．解 如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系Dxyz .则DA →＝(1,0,0)， CC ′→＝(0,0,1)． 连接BD ，B ′D ′.在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于H .设DH →＝(m ，m,1) (m >0)，由已知〈DH →，DA →〉＝60°，由DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉，可得2m ＝2m 2＋1. 解得m ＝22，所以DH →＝⎝⎛⎭⎫22，22，1. (1)因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22， 所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，即DP 与CC ′的夹角为45°.(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0,1,0)．因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12， 所以〈DH →，DC →〉＝60°.可得DP 与平面AA ′D ′D 的夹角为30°.二、能力提升8．已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 夹角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.23答案 C解析 令正四棱锥的棱长为2，建立如图所示坐标系，则A (1，－1,0)，D (－1，－1,0)，S (0,0，2)，E (12，12，22)， ∴AE →＝(－12，32，22)， SD →＝(－1，－1，－2)，∴|cos 〈AE →，SD →〉|＝|AE →·SD →||AE →||SD →|＝|－33|＝33. ∴AE 、SD 夹角的余弦值为33. 9．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为________． 答案 0解析 OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|cos π3－|OA →|·|OB →|·cos π3＝12|OA →|(|OC →|－|OB →|)＝0. ∴cos 〈OA →·BC →〉＝|OA →·BC →||OA →||BC →|＝0. 10．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为______． 答案 60°解析 由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2.∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，〈CA →，BD →〉＝120°， ∴二面角的大小为60°.11.如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD . (1)求异面直线BF 与DE 的夹角；(2)证明：平面AMD ⊥平面CDE ；(3)求平面ACD 与平面CDE 的夹角的余弦值．(1)解 如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M (12，1，12)．BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.所以异面直线BF 与DE 的夹角为60°.(2)证明 由AM →＝(12，1，12)，CE →＝(－1,0,1)，AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE 平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)解 设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)．所以，cos 〈u ，v 〉＝u·v |u||v |＝0＋0＋13×1＝33.所以平面ACD 与平面CDE 夹角的余弦值为33.12.如图，四棱锥F —ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC ＝2，BD ＝ 2.CF 与平面ABCD 垂直，CF ＝2.求平面ABF 与平面ADF 的夹角．解 过点A 作AE ⊥平面ABCD .以A 为坐标原点，BD →、AC →、AE →方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．于是B ⎝⎛⎭⎫－22，1，0， D ⎝⎛⎭⎫22，1，0，F (0,2,2)． 设平面ABF 的法向量n 1＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB →＝0，n 1·AF →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ －22x ＋y ＝0，2y ＋2z ＝0.令z ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1. 所以n 1＝(－2，－1,1)． 同理，可求得平面ADF 的法向量n 2＝(2，－1,1)．由n 1·n 2＝0知，平面ABF 与平面ADF 垂直，所以平面ABF 与平面ADF 的夹角为π2. 三、探究与拓展13．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ＝2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的正弦值．(1)证明 如图，取AB 的中点O ，连接CO 、A 1O .∵CA ＝CB ，∴CO ⊥AB ，又∵AA 1＝AB ，∴AA 1＝2AO ，又∠A 1AO ＝60°，∴∠AOA 1＝90°，即AB ⊥A 1O ，∴AB ⊥平面A 1OC ，∴AB ⊥A 1C .(2)解 以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OA 1所在直线为y 轴，OC 所在直线为z 轴，建立如图直角坐标系，则A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，B (－1,0,0)，C (0,0，3)，B 1(－2，3，0)，则BC →＝(1,0，3)，BB 1→＝(－1，3，0)，A 1C →＝(0，－3，3)，设n ＝(x ，y ，z )为平面BB 1C 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BC →＝0n ·BB 1→＝0，所以n ＝(3，1，－1)为平面BB 1C 1C 的一个法向量，所以直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值sin θ＝|cos 〈A 1C →，n 〉|＝105.。

异面直线的夹角-线面角(含答案)空间角1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。

异面直线所成的角的范围：]2,0(π几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。

基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。

常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

例1在正方体ABCD A B C D ''''-中，E 是AB 的中点，（1）求BA /与CC /夹角的度数. （2）求BA /与CB /夹角的度数．(3)求A /E 与CB /夹角的余弦值．例2：长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的余弦值。

直接平移：常见的利用其中一个直线a 和另一个直线b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a 的平行线。

解法一：如图④，过B 1点作BE ∥BC 1交CB 的延长线于E 点。

则∠DB 1E 就是异面直线DB 1与BC 1所成角，连结DE 交AB 于M ，DE=2DM=35，cos∠DB1E=734解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=35，cos∠C1BE=734170课堂思考：1.如图，PA 矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。

DC1B1A1CD2.在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=3，求D B和AC所成角的余弦值.例3 如图所示，长方体A1B1C1D1-ABCD中，∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°,求异面直线A1B与AD1所成的角的度数.课堂练习如图空间四边形ABCD中，四条棱AB，BC，CD，DA及对角线AC，BD均相等，E为AD的中点，F为BC中，（1）求直线AB和CE 所成的角的余弦值。