复数平面直角坐标系

复数概念及公式总结复数是数学中一个重要的概念，它在代数、解析几何、微积分等多个数学分支中都有着重要的应用。

本文将对复数的概念及相关公式进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用复数。

一、复数的概念。

复数是由实数和虚数组成的数，一般表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i 为虚数单位，满足i²=-1。

复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，实部对应x 轴，虚部对应y轴。

复数的模长是指复数到原点的距离，记作|a+bi|=√(a²+b²)。

复数的共轭是指虚部取负，即a-bi。

二、复数的运算。

1. 加减法，实部和虚部分别相加减。

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。

(a+bi) (c+di) = (a-c) + (b-d)i。

2. 乘法，先用分配律展开，然后利用i²=-1化简。

(a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。

3. 除法，将分子有理化，然后利用共轭的性质进行化简。

(a+bi) / (c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)/(c²+d²)i。

三、复数的指数形式。

复数可以用指数形式表示，即a+bi = r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为幅角。

根据欧拉公式，e^(iθ) = cosθ + isinθ，所以复数也可以表示为a+bi = re^(i θ)。

四、复数的常见公式。

1. 欧拉公式，e^(iπ)+1=0，这是数学中最著名的等式之一，将自然对数的底e、圆周率π、虚数单位i、单位复数1组合在一起。

2. 范-诺伊曼级数，1+2+3+4+...=-1/12，这是一个看似荒谬但又被证明正确的等式，它涉及了复数的无穷级数求和。

3. 费马大定理，xⁿ+yⁿ=zⁿ在n大于2时无整数解，这是数论中著名的定理，它与复数的幂运算有着密切的联系。

1.2 复数的有关概念(二)学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以一一对应．梳理当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知识点二复数的几何意义知识点三复数的模或绝对值设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|＝a2＋b2.两个复数不全是实数不能比较大小，但可以比较它们模的大小．1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √)2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( ×)3．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.( ×)类型一复数的几何意义例1 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：(1)第三象限；(2)直线x－y－3＝0上．考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系解 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即当－3<x<2时，点Z 在第三象限．(2)z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应点Z(x 2＋x －6，x 2－2x －15)， 当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即当x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上． 引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在： (1)虚轴上；(2)第四象限． 解 (1)当实数x 满足x 2＋x －6＝0， 即当x ＝－3或2时，点Z 在虚轴上．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0，即当2<x<5时，点Z 在第四象限．反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值． 跟踪训练1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z. 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系解 若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0， 所以m ＝－1或m ＝2，所以z ＝6i 或z ＝0. 若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，所以m ＝1，所以z ＝－2.类型二 复数的模例2 已知复数z 1＝3－i ，z 2＝cosθ＋isi nθ. (1)求|z 1|及|z 2|，并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，点Z 为z 在复平面内所对应的点，则满足条件|z 2|≤|z|≤|z 1|的点Z 构成了什么图形？ 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模解 (1)|z 1|＝(3)2＋(－1)2＝2， |z 2|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1. 因为2>1，所以|z 1|>|z 2|.(2)由|z 2|≤|z|≤|z 1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示以O 为圆心，1为半径的圆的外部及其边界上所有点，|z|≤2表示以O 为圆心，2为半径的圆的内部及其边界上所有点，故符合题设条件的点构成了以O 为圆心，分别以1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括边界)．反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想． 跟踪训练2 已知0<a<3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z|的取值范围是( ) A ．(1，10) B ．(1，3) C ．(1,3)D ．(1,10)考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 A解析 0<a<3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)， 则|z|＝a 2＋1∈(1，10).1．当23<m<1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 D解析 ∵23<m<1，∴0<3m －2<1，m －1<0，∴复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于第四象限． 2．满足|z|2－2|z|－3＝0的复数z 的对应点的轨迹是( ) A ．一个圆 B ．线段 C ．两个点D ．两个圆考点 复数的几何意义的综合应用 题点 利用几何意义解决轨迹、图形 答案 A解析 由条件|z|2－2|z|－3＝0，得|z|＝3(|z|＝－1舍去)，|z|＝3表示一个圆．3．设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i(i 为虚数单位)，且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<－1或a>1 B ．－1<a<1 C ．a>1D ．a>0考点 复数的模的定义与应用 题点 利用模的定义求参数 答案 B解析 因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， 所以a 2＋4<5，即a 2＋4<5， 所以a 2<1，即－1<a<1.4．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z|＝________. 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 3解析 复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以m －2＝0且m ＋1≠0，解得m ＝2，所以z ＝3i ，所以|z|＝3.5．当实数m 为何值时，复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i(i 为虚数单位)在复平面中的对应点 (1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上． 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，得⎩⎪⎨⎪⎧m>5或m<3，－7<m<4，所以－7<m<3.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0，m 2＋3m －28＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3<m<5，m ＝－7或m ＝4，所以m ＝4.1．复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径． (1)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的对应点的坐标为(a ，b)而不是(a ，bi)；(2)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个． 2．复数的模(1)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的模|z|＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离.一、选择题1．在复平面内，复数z ＝cos3＋isin3的对应点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 B解析 ∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0，故复数z ＝cos3＋isin3的对应点位于第二象限．2．已知复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－3) 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m<1.3．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －ai 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 B解析 若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －4＝0，a －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ≠4，得a ＝－1，则复数a －ai ＝－1＋i 对应的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B. 4．已知0<a<1，复数z 的实数为a ，虚部为－2，则|z|的取值范围是( ) A ．(2,5) B ．(2,3) C ．(2，5)D ．(2，3)考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 C解析 由题知z ＝a －2i ，所以|z|＝a 2＋4， 又a ∈(0,1)，所以|z|∈(2，5)．5．复数z ＝(a 2－2a)＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2且a ≠1 C ．a ＝0或a ＝2 D ．a ＝0考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点在虚轴上， ∴a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.6．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z 等于( ) A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i考点 复数的模的定义与应用题点 利用模的定义求复数 答案 A解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a<0，由|z|＝2知，a 2＋(3)2＝2， 解得a ＝－1(舍正)，所以z ＝－1＋3i.7．在复平面内，复数z 1，z 2的对应点分别为A ，B.已知A(1,2)，|AB|＝25，|z 2|＝41，则z 2等于( ) A ．4＋5i B ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i考点 复数的模的定义与应用 题点 利用模的定义求复数 答案 D解析 设z 2＝x ＋yi(x ，y ∈R)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －2)2＝20，x 2＋y 2＝41.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝325.二、填空题8．若复数3－5i,1－i 和－2＋ai 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________． 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 5解析 由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a ＝5.9．已知复数z ＝x －2＋yi 的模是22，则点(x ，y)的轨迹方程是________________． 考点 复数的几何意义的综合应用 题点 利用几何意义解决轨迹、图形 答案 (x －2)2＋y 2＝8解析 由模的计算公式得(x －2)2＋y 2＝22， ∴(x －2)2＋y 2＝8.10．设(1＋i)x ＝1＋yi ，其中x ，y 是实数，则|x ＋yi|＝________. 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模答案 2解析 由(1＋i)x ＝1＋yi ，得x ＋xi ＝1＋yi ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y ，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋yi|＝x 2＋y 2＝ 2.11．若复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________． 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3 解析 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)， 因为该点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a<2.由条件得|z|＝(a －2)2＋(a ＋1)2＝2a 2－2a ＋5 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a ＋14＋92＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋92. 因为－1<a<2，所以|z|∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3. 三、解答题12．求实数m 的值，使复数z ＝m(m －1)＋(m －1)i 对应的点位于(1)实轴上；(2)第一象限；(3)第四象限． 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系解 (1)由复数z 对应的点位于实轴上，可得m －1＝0， 解得m ＝1，即当m ＝1时，复数z 对应的点位于实轴上．(2)由复数z 对应的点位于第一象限，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m (m －1)>0，m －1>0，解得m>1，即当m>1时，复数z 对应的点位于第一象限．(3)由复数z 对应的点位于第四象限，可得⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m －1<0，解得m<0，即当m<0时，复数z 对应的点位于第四象限．13．在复平面内，分别用点和向量表示复数1，－12＋12i ，－12－32i ，并求出它们的模．考点 复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模解如图所示，点A，B，C分别表示复数1，－12＋12i，－12－32i，与之对应的向量可用OA→，OB→，OC→来表示．|1|＝1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋12i＝⎝⎛⎭⎪⎫－122＋⎝⎛⎭⎪⎫122＝22，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－32i＝⎝⎛⎭⎪⎫－122＋⎝⎛⎭⎪⎫－322＝1.四、探究与拓展14．关于实数x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第________象限．考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案二解析因为不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m<0，(－1)＋2＝nm，(－1)×2＝pm，所以⎩⎪⎨⎪⎧m<0，p>0.故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．15．复数z满足|z＋3－3i|＝3，求|z|的最大值和最小值．考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决距离、角、面积解方法一|z＋3－3i|≥||z|－|3－3i||，又∵|z＋3－3i|＝3，|3－3i|＝12＝23，∴||z|－23|≤3，即3≤|z|≤33，∴|z|的最大值为33，最小值为 3.方法二|z＋3－3i|＝3表示以－3＋3i对应的点P为圆心，以3为半径的圆，如图所示，则|OP|＝|－3＋3i|＝12＝23，显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋3＝33，|z|min＝|OB|＝|OP|－3＝ 3.。

高斯平面直角坐标系是数学中一个重要的概念，它与平面直角坐标系有着一定的区别。

下面我们通过以下几个方面来详细分析高斯平面直角坐标系与数学中的平面直角坐标系的区别。

1. 坐标系定义：高斯平面直角坐标系是由德国数学家高斯在复数分析中引入的一种坐标系，它是复平面上的直角坐标系，以复数的实部和虚部作为坐标轴的坐标值。

而数学中的平面直角坐标系是由两条垂直的坐标轴构成的，其中横轴为x轴，纵轴为y轴，以点的横纵坐标来确定点的位置。

2. 坐标轴单位：在高斯平面直角坐标系中，横轴和纵轴的单位都是复数单位i，而在数学中的平面直角坐标系中，横轴和纵轴的单位分别是实数单位和虚数单位。

3. 笛卡尔坐标系变换：在高斯平面直角坐标系中，可以将复平面上的点(x, y)表示为复数z=x+iy的形式，而在数学中的平面直角坐标系中，点(x, y)的坐标可以表示为(x, y)。

4. 应用领域：高斯平面直角坐标系主要应用于复数分析、电磁学、控制论等领域，在这些领域中，复数的运算和分析是非常重要的。

而数学中的平面直角坐标系则主要应用于几何、代数、微积分等数学学科中，其中二维平面上的点的位置关系是重要的研究对象。

5. 图形表示：在高斯平面直角坐标系中，图形通常表示为复平面上的曲线和点，通过复数的实部和虚部来确定图形的位置和形状。

而在数学中的平面直角坐标系中，图形表示为二维平面上的曲线、点和图形，通过点的横纵坐标来确定图形的位置和形状。

总结起来，高斯平面直角坐标系与数学中的平面直角坐标系有着明显的区别，主要体现在坐标系定义、坐标轴单位、笛卡尔坐标系变换、应用领域和图形表示等方面。

了解这些区别有助于我们更深入地理解复数分析和坐标系的概念，同时也有助于我们更好地应用和理解这些概念在不同领域中的具体问题。

高斯平面直角坐标系与数学中的平面直角坐标系之间的区别并不仅仅体现在其定义、坐标轴单位、坐标系转换、应用领域和图形表示方面。

事实上，它们之间的差异还体现在许多其他重要方面，这些区别对于我们理解和应用这两种坐标系都具有重要意义。

复数的几何意义与三角形式复数是数学中重要的概念，它包含了一个实部和一个虚部，可以表示为$a+bi$，其中$a$是实部，$b$是虚部，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。

复数的几何意义是指将复数表示在复平面上的点。

复平面是一个平面直角坐标系，实轴表示实部，虚轴表示虚部。

复数$a+bi$在复平面上的位置可以由其实部和虚部决定。

例如，复数$3+4i$在复平面上的位置是实轴上3的位置，再向上移动4个单位。

使用复数的三角形式可以更方便地表示复数在复平面上的位置。

复数$a+bi$的三角形式可以表示为$r(\cos\theta+i\sin\theta)$，其中$r$是复数的模长，表示复数到原点的距离，$\theta$是复数的辐角，表示复数与实轴的夹角。

这种表示方法的优势在于可以使用三角函数来直接计算复数的运算，更加简洁和直观。

在三角形式中，可以使用指数形式进一步简化复数的运算。

根据欧拉公式，$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$，将三角形式中的$\cos\theta$和$\sin\theta$替换为指数形式可以得到$r \cdote^{i\theta}$。

这种形式方便了复数的乘法和幂运算。

例如，两个复数$r_1 \cdot e^{i\theta_1}$和$r_2 \cdot e^{i\theta_2}$的乘积可以表示为$r_1r_2 \cdot e^{i(\theta_1+\theta_2)}$，两个复数的幂可以表示为$(r \cdot e^{i\theta})^n=r^n \cdot e^{in\theta}$。

复数的几何意义在很多数学和工程应用中都非常重要。

首先，复数可以用来表示平面上的向量。

向量有大小和方向，复数的实部可以表示向量的大小，复数的虚部可以表示向量与实轴的夹角。

复数在向量运算中具有很好的性质，可以方便地进行加法、减法、乘法和除法。

其次，复数的几何意义在电路分析中扮演了重要角色。

复数与平面几何的综合练习题本文将为读者提供一系列综合练习题，涉及复数与平面几何的相关知识。

通过解答这些题目，读者将巩固对复数及其在平面几何中的应用的理解，并通过实践提高解决问题的能力。

1. 设复数 z = 4 + 3i，其中 i 是虚数单位。

求 z 的共轭复数，并将其表示在平面直角坐标系中。

解析：复数的共轭是将复数的虚部取负。

因此，z 的共轭复数为 4 -3i。

在平面直角坐标系中表示，可以将实部 4 作为横坐标，虚部 -3 作为纵坐标，将这两个点连线，即可表示 z 及其共轭复数。

2. 已知复数 z = 2 + i 和 w = -1 + 3i，求 zw 和 z/w 的结果，并将其表示在平面直角坐标系中。

解析：复数的乘法即两个复数的实部和虚部的乘积，复数的除法可以通过乘以其倒数来实现。

根据计算，zw = (2 + i)(-1 + 3i) = -5 + 5i，而z/w = (2 + i) / (-1 + 3i) = (1 - i) / 2。

将这两个结果表示在平面直角坐标系中，可以得到两个点 (-5, 5) 和 (0.5, -0.5)，分别连接原点和这两个点，即可表示 zw 和 z/w。

3. 设 A、B、C 为复平面上的三个不共线点，且坐标分别为 z1, z2,z3。

证明：向量 AB、AC 的夹角等于向量 z2 - z1 和 z3 - z1 的辐角的差。

解析：向量 AB 可以表示为 z2 - z1，向量 AC 可以表示为 z3 - z1。

根据向量的夹角性质以及复数的辐角表示，可知这两个向量的夹角等于其辐角的差。

4. 已知复数 z = 3 + 4i，求 z 的模长、辐角、共轭复数和倒数，并将它们表示在极坐标系中。

解析：复数的模长可以通过求复数与原点的距离得到，即 |z| =√(3^2 + 4^2) = 5。

复数的辐角可以通过求复数与实轴正方向的夹角得到，即tanθ = 4/3，所以θ = arctan(4/3)。

复数的几何表示与解析表示复数是数学中一个重要的概念，由实数部分和虚数部分组成。

在几何上，复数可以用向量表示，同时也可以用解析式表示。

本文将介绍复数的几何表示和解析表示，并探讨它们的联系和应用。

一、复数的几何表示复数的几何表示主要依赖于向量的概念。

我们知道，向量由大小和方向组成，可以用有向线段来表示。

同样地，复数也可以看作是一个向量，在数学上常用平面直角坐标系表示。

在平面直角坐标系中，复数可以表示为 z = a + bi，其中 a 为实数部分，b 为虚数部分。

a和b可以看作是复平面的横轴和纵轴坐标，复数z 位于复平面上的一个点。

我们可以使用复数的模长和辐角来准确表示复数在复平面上的位置。

复数的模长表示复数的大小或长度，记作 |z| = sqrt(a^2 + b^2) 。

辐角表示复数的方向，可以用弧度或角度来表示，记作 arg(z)。

二、复数的解析表示复数的解析表示是一种基于数学形式化的表示方法。

我们可以用复数的实部和虚部的形式来表示复数。

例如，复数 z 可以表示为 z = a + bi。

在复数的解析表示中，实部 a 和虚部 b 可以是任意实数。

实部表示复数的实数部分，而虚部表示复数的虚数部分。

通过解析表示，我们可以进行复数的加减乘除等运算，更方便地进行复数的计算。

三、几何表示与解析表示的联系几何表示和解析表示是两种不同的方式，但它们之间存在着密切的联系。

首先，通过几何表示可以很方便地得出复数的模长和辐角。

复数 z 的模长可以由几何表示的长度得出，而辐角可以由几何表示的方向得出。

其次，通过解析表示可以方便地进行复数的运算。

复数的加减乘除等运算可以通过解析表示直接进行，无需对几何表示进行操作。

最后，几何表示和解析表示可以相互转化。

通过知道复数的实部和虚部，我们可以得到复数在复平面上的位置；而通过复数在复平面上的位置，我们也可以得到复数的实部和虚部。

四、几何表示与解析表示的应用几何表示和解析表示在数学中有广泛的应用。

高考数学中复数在平面几何中的应用有哪些在高考数学的广阔领域中，复数这一重要概念不仅在代数运算中发挥着关键作用，还在平面几何问题的解决中展现出独特的魅力和强大的应用价值。

首先，我们来了解一下复数的基本概念。

复数通常可以表示为 a ＋bi 的形式，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位，满足 i²＝－1。

在平面直角坐标系中，复数可以与平面上的点一一对应，实部 a 对应 x 轴上的坐标，虚部 b 对应 y 轴上的坐标。

那么，复数在平面几何中到底有哪些具体的应用呢？一个常见的应用是用复数来表示平面上的向量。

假设平面上有一个向量，起点为坐标原点，终点坐标为（a, b)，那么这个向量就可以用复数 a ＋ bi 来表示。

利用复数的加法和数乘运算，我们可以方便地进行向量的加法、减法以及与实数的乘法运算。

比如，有两个向量分别对应复数 z₁＝ 2 ＋ 3i 和 z₂＝ 4 2i，那么它们的和向量对应的复数就是 z₁＋ z₂＝（2 ＋ 4) ＋（3 2)i ＝ 6 ＋i。

复数在平面几何中的另一个重要应用是求两点之间的距离。

对于平面上的两个点 A、B，分别对应复数 z₁＝ a₁＋ b₁i 和 z₂＝ a₂＋b₂i，那么 A、B 两点之间的距离可以表示为｜z₁ z₂|。

例如，点 A 对应复数 1 ＋ 2i，点 B 对应复数 4 3i，那么它们之间的距离就是｜（1 ＋ 2i) （4 3i)｜＝｜－3 ＋ 5i| ＝√（（－3)²＋ 5²) ＝√34。

在求解三角形的问题中，复数也能大显身手。

以三角形的三个顶点对应的复数为 z₁、z₂、z₃，我们可以通过计算复数的差来得到三角形的边所对应的向量，进而利用向量的模长和夹角公式来求解三角形的边长、角度等相关问题。

比如，已知三角形三个顶点分别对应复数 1 ＋ i、2 2i、－1 ＋ 3i，那么边 AB 对应的向量为 z₂ z₁＝（2 2i) （1 ＋ i) ＝ 1 3i，边 BC 对应的向量为 z₃ z₂＝（－1 ＋ 3i) （2 2i) ＝－3 ＋ 5i。

利用复数求解直线关于直线对称的题一、引言在解析几何中，直线关于直线的对称是一个重要的概念。

利用复数解题是一种常见且实用的方法。

本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨利用复数求解直线关于直线对称的题，帮助读者更深入地理解这一概念。

二、直线关于直线的对称在平面直角坐标系中，设直线L的方程为a1x+b1y+c1=0，直线M 的方程为a2x+b2y+c2=0。

若点(z)关于直线L对称的点为(z')，则有以下等式成立：(z')=-(z) + 2 * (z - z_L)/(z_M - z_L) * (z_M - z_L)其中z_L和z_M分别表示直线L和M对应的复数，也可以表示为直线L和M的斜率，这个公式是由复数的性质推导而来的，具体推导过程在此不做赘述。

三、基础示例考虑一个简单的例子：设定直线L的方程为3x+4y-5=0，直线M的方程为2x-3y+6=0。

那么直线L和M的斜率分别为-3/4和2/3，对应的复数分别为(-3/4i)和(2/3i)。

如果给定一个点z0=2+3i，求z0关于直线L和M的对称点。

我们首先计算z0关于直线L的对称点(z_L)，利用上面提到的公式，可以得到：(z_L)=-z0 + 2 * (z0 - (-3/4i))/(2/3i - (-3/4i))(z_L)=-(2+3i) + 2 * (2+3i - (-3/4i))/(2/3i - (-3/4i))(z_L)=(-2-3i) + 2 * (2+3i + 3/4i)/(2/3i + 3/4i)(z_L)=(-2-3i) + 2 * (2+3i + 3/4i)/(2/3i + 3/4i)(z_L)=(-2-3i) + 2 * (2+15/4i)/(2/3i + 3/4i)(z_L)=(-2-3i) + 2 * (8/3 + 15/4i)/(2/3i + 3/4i)(z_L)=(-2-3i) + 2 * (8/3 + 15/4i)/(2/3i + 3/4i)接下来，我们计算z0关于直线M的对称点(z_M)，同样利用上面提到的公式：(z_M)=-z0 + 2 * (z0 - (2/3i))/(2/3i - (2/3i))(z_M)=-(2+3i) + 2 * (2+3i - (2/3i))/(2/3i - (2/3i))(z_M)=(-2-3i) + 2 * (2+3i - 2/3i)/(0)(z_M)=(-2-3i) + 2 * (6/3i)/(0)(z_M)=(-2-3i) + 12/3 i四、深入探讨在上面的示例中，我们已经简单地介绍了利用复数求解直线关于直线对称的方法。

复数的指数表达式
复数的指数表达式是指数形式的复数表示方式，常见于数学和物理领域。

复数指数表达式的一般形式为a+bi，其中a和b分别表示实部和虚部，i表示虚数单位，满足i²=-1。

复数的指数形式是一种方便且易于计算的复数表示方式。

它允许我们
使用指数规律和三角函数公式简化复数的计算。

复数的指数形式可以
转换为三角形式或直角坐标形式，这使得我们可以更加直观地理解复
数的几何特征。

对于一个复数z=a+bi，它的指数形式为re^(iθ)，其中r=|z|表示z的模长，θ是z在平面直角坐标系中与x轴的夹角，e表示自然对数底数。

因此，可得出以下公式：
r = |z| = √(a²+b²)
θ = tan⁻¹(b/a) (当a>0时)或θ = tan⁻¹(b/a) + π (当a<0时)
e^(iθ) = cosθ+isinθ
则有：
z = re^(iθ) = a+bi
同样地，如果我们已知一个复数的指数形式re^(iθ)，则可以转换为直角坐标形式a+bi，其中a=r(cosθ)，b=r(sinθ)。

总的来说，复数的指数表达式是一种非常实用的方式，可以使复数的运算和处理更加简便和规范。

在实际应用中，特别是在电气工程、通信工程和控制工程等领域，复数的指数表达式得到广泛应用。

复数的平面表示与乘法公式复数在数学中扮演着重要的角色，它们不仅可以通过平面上的向量来表示，并且拥有一套完整的乘法规则。

本文将详细介绍复数的平面表示以及乘法公式的应用。

一、复数的平面表示复数可以用平面上的向量表示，其中向量的模表示复数的绝对值，向量的方向表示复数的辐角。

具体而言，我们假设复数z的实部为x，虚部为y，则可以表示为z=x+yi，其中i为虚数单位，i²=-1。

在平面直角坐标系中，我们可以将复数z对应的向量OZ的起点放在原点O(0,0)，并将Z的终点坐标设为(z1, z2)，其中z1表示实部x方向上的长度，z2表示虚部y方向上的长度。

这样，向量OZ就完整地表示了复数z。

二、复数的乘法公式复数的乘法公式是复数的重要性质之一，它可以帮助我们计算两个复数的乘积。

假设有两个复数z₁=x₁+y₁i和z₂=x₂+y₂i，我们需要计算它们的乘积z=z₁z₂。

利用复数的定义，我们可以将z₁和z₂展开成实部和虚部的形式，即z₁=x₁+yi和z₂=x₂+y₂i。

根据乘法运算的性质，我们可以按照以下步骤来计算复数的乘积：1. 计算实部的乘积：z₁z₂的实部为(x₁+yi)(x₂+y₂i)的实部，即Re(z)=x₁x₂-y₁y₂。

2. 计算虚部的乘积：z₁z₂的虚部为(x₁+yi)(x₂+y₂i)的虚部，即Im(z)=x₁y₂+x₂y₁。

3. 结合实部和虚部的结果：将步骤1和步骤2得到的结果合并，即可得到复数z的具体表达形式。

三、复数乘法的几何解释复数的乘法公式不仅可以通过代数方法计算，还可以通过几何方法进行解释。

对于给定的复数z₁和z₂，将它们所对应的向量终点分别设为A和B，则复数乘法的几何解释如下：1. 复数的模的乘积：|z₁z₂|=|z₁||z₂|，即复数乘法的模等于乘积的模的乘积。

2. 复数的辐角的和：arg(z₁z₂)=arg(z₁)+arg(z₂)，即复数乘法的辐角等于乘积的辐角之和。

通过这些几何解释，我们可以更好地理解复数乘法的性质以及其在平面上的作用。

复数的坐标表示方法（最新版2篇）篇1 目录1.复数的基本概念2.复数的坐标表示方法3.复数的几何意义4.复数的运算规则5.复数在实际应用中的重要性篇1正文复数是我们数学中一个重要的概念，它是实数的扩展。

复数是由实部和虚部组成的，形式为 a+bi，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位，满足 i^2=-1。

复数的坐标表示方法是一种直观且易于理解的方法，它将复数与平面直角坐标系中的点一一对应。

复数的坐标表示方法是这样的：在平面直角坐标系中，横坐标表示实部，纵坐标表示虚部。

例如，复数 3+4i 在坐标系中的位置就是 (3, 4)。

这个方法使得我们可以直观地看到复数在平面上的位置，也可以帮助我们更好地理解复数的几何意义。

复数的几何意义也非常重要。

我们可以将复数看作是平面上的向量，实部是向量在 x 轴上的分量，虚部是向量在 y 轴上的分量。

这样，复数的加法和减法就可以看作是向量的加法和减法，复数的乘法可以看作是向量的数量积。

这种几何意义使得我们可以通过几何方法来理解复数的运算规则。

复数在实际应用中也有着重要的地位。

例如，在电气工程中，复数可以用来表示电流和电压；在信号处理中，复数可以用来表示信号和系统；在量子力学中，复数也是描述粒子状态的重要工具。

篇2 目录1.复数的基本概念2.复数的坐标表示法3.复数的几何意义4.复数的运算与坐标表示5.复数的应用篇2正文1.复数的基本概念复数是实数的扩展，它由实部和虚部组成，通常表示为 a+bi 的形式，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位，满足 i^2=-1。

复数在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。

2.复数的坐标表示法复数在复平面上的坐标表示法是一种直观的表示方法。

复平面与直角坐标系类似，不同的是，复平面的横坐标表示实部，纵坐标表示虚部。

例如，复数 3+4i 在复平面上的坐标为 (3, 4)。

3.复数的几何意义复数在复平面上的坐标表示法具有几何意义。

3．3复数的几何意义[对应学生用书P43]复平面的定义问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？提示：可以．问题2：试说明理由．提示：因复数z＝a＋b i(a，b∈R)与有序实数对(a，b)惟一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．问题1：在复平面内作出复数z 所对应的点Z . 提示：如图所示．问题2：向量OZ u u u r和点Z 有何关系？提示：有一一对应关系．问题3：复数z ＝a ＋b i 与OZ u u u r有何关系？提示：也是一一对应．1．复数与点，向量间的对应关系2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ u u u r ，则OZ u u u r的模叫做复数z 的模(或绝对值)，记作|z |，且|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.复数加减法的几何意义如图1OZ u u u r 、2OZ u u u u r分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应．问题1：试写出1OZ u u u r 、2OZ u u u u r 及1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r 、1OZ u u u r －2OZ u u u u r的坐标． 提示：1OZ u u u r ＝(a ，b )，2OZ u u u u r＝(c ，d )，1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r ＝(a ＋c ，b ＋d )，1OZ u u u r －2OZ u u u u r＝(a －c ，b －d )． 问题2：向量1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r 及1OZ u u u r －2OZ u u u u r所对应的复数分别是什么？提示：(a ＋c )＋(b ＋d )i 及(a －c )＋(b －d )i.1．复数加法的几何意义设向量1OZ u u u r ，2OZ u u u u r 分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且1OZ u u u r 和2OZ u u u u r不共线．如图，以1OZ u u u r ，2OZ u u u u r为邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，则其对角线OZ所表示的向量OZ u u u r OZ u u u r就是复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．2．复数减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设1OZ u u u r ，2OZ u u u u r 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 相对应，且1OZ u u u r，2OZ u u u u r不共线，如图．则这两个复数的差z 1－z 2与向量1OZ u u u r －2OZ u u u u r (等于21Z Z u u u u r)对应，这就是复数减法的几何意义．3．设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．1．复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同的．[对应学生用书P44]复数的几何意义[例1] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在下列位置？(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x －y －3＝0上？[思路点拨] 利用复数与复平面内点之间的对应关系求解．若已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则当a <0且b <0时，复数z 对应的点在第三象限；当a >0且b <0时，复数z 对应的点在第四象限；当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．[精解详析] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数． 若已知复数z ＝a ＋b i ，则当a ＜0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第三象限； 当a ＞0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第四象限； 当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 在第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 在第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值．1．(湖北高考改编)在复平面内，复数 z ＝2i1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应点位于第________象限．解析：z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i (1－i )2＝i ＋1的共轭复数为1－i ，对应的点为(1，－1)在第四象限．答案：四2．求当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上．解：(1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5，－7<m <4.即－7<m <3.故当－7<m <3时，复数z 的对应点位于第四象限．(2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0 ①m 2＋3m －28＝0 ②由②得m ＝－7或m ＝4. 因m ＝－7不适合不等式①， m ＝4适合不等式①， 所以m ＝4.故当m ＝4时，复数z 的对应点位于x 轴的负半轴上．复数模及其几何意义的应用[例2] 已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|的值并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点z 的集合是什么图形．[思路点拨] 由复数的模长公式求出|z 1|及|z 2|，然后比较大小；(2)根据点数模的几何意义画出图形．[精解详析] (1)|z 1|＝|3－i|＝(3)2＋(－1)2＝2， |z 2|＝⎪⎪⎪⎪－12＋32i ＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1，所以|z 1|＞|z 2|.(2)由(1)知1≤|z |≤2，因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．[一点通] (1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离．3．(辽宁高考改编)复数z ＝1i －1的模为________． 解析：∵z ＝1－1＋i ＝－1－i (－1＋i )(－1－i )＝－1－i2＝－12－12i ，∴|z |＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22. 答案：224．已知z ＝3＋a i ，且|z －2|＜2，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵z ＝3＋a i ，∴z －2＝1＋a i ， ∴|z －2|＝1＋a 2<2，即1＋a 2<4，∴a 2<3，即－3<a < 3. 答案：(－3，3)5．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？ 解：法一：由|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ u u u r的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以5为半径的圆． 法二：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2. ∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25，∴点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．[例3] 已知▱OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) AO u u u r 表示的复数；(2) CA u u r表示的复数；(3)点B 对应的复数．[思路点拨] 点O ，A ，C 对应的复数――――――→向量的坐标表示AO u u u r ，CA u u r ，OBu u u r的坐标形式――――――→复数在复平面上与向量一一对应AO u u u r ，CA u u r ，OBu u u r 对应的复数[精解详析] (1)AO u u u r ＝－OA u u r ，故AO u u u r表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)CA u u r ＝OA u u r －OC u u u r ，故CA u u r表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB u u u r ＝OA u u r ＋AB u u u r ＝OA u u r ＋OC u u ur ，故OB u u u r 表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即点B 对应的复数为1＋6i.[一点通] (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．6．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB u u u r对应的复数z ，z 在平面内对应的点在第几象限？解：z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ， ∵z 的实部－1<0，虚部1>0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内．7．在复平面内，点A 、B 、C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i.以AB 、AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．解：如图，由复数加减法的几何意义， AD u u u r ＝AB u u u r ＋AC u u ur ，即z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)． 所以z 4＝z 2＋z 3－z 1＝7＋3i.|AD |＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.1．复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径． (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i)；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ u u u r是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ u u u r相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离．[对应学生用书P45]一、填空题1．若OA u u r 、OB u u u r 对应的复数分别是7＋i,3－2i ，则|AB u u u r|＝________.解析：∵OA u u r ＝(7,1)，OB u u u r＝(3，－2)， ∴AB u u u r ＝OB u uu r －OA u u r ＝(－4，－3)，∴|AB u u u r|＝5.答案：52．(重庆高考改编)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于第________象限． 解析：i(1－2i)＝2＋i 对应的点为(2,1)，位于第一象限． 答案：一3．若z ＋|z |＝2＋8i ，则z ＝________. 解析：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8，所以z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部． 于是|z |＝(2－|z |)2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i. 答案：－15＋8i4．已知z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，若z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________. 解析：z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝5＋(a ＋1)i ，由z 1＋z 2所对应的点在实轴上可知a ＋1＝0，即a ＝－1. 答案：－15．(新课标全国卷Ⅰ改编)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝________.解析：11＋i ＋i ＝1－i(1＋i )·(1－i )＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22. 答案：22二、解答题6．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．解：由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －2>0，－(4m 2－8m ＋3)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32. 7．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB u u u r ，BC u u ur ，AC u u u r 对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解：(1)AB u u u r对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i. BC u u u r对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.AC u u u r对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB u u u r|＝|1＋i|＝2，|BC u u u r |＝|－3＋i|＝10，|AC u u u r |＝|－2＋2i|＝22， ∴|AB u u u r|2＋|AC u u u r |2＝|BC u u u r |2.故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB u uu r |·|AC u u u r |＝12×2×22＝2.8．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，求|z －2－2i|的最小值．解：已知|z－(－2＋2i)|＝1中，z的对应点轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，|z－(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)之间的距离，最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径，易得值为3.。

复数几何意义及运算一、知识梳理1.复数的有关概念2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ→.3.复数的运算设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a＋b ic＋d i＝（a＋b i）（c－d i）（c＋d i）（c－d i）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0).小结：1.i 的乘方具有周期性i n＝⎩⎨⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3(k ∈Z ).2.复数的模与共轭复数的关系 z ·z －＝|z |2＝|z －|2. 3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.2C.1或2D.－1解析 依题意，有⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2，故选B.答案 B3.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2的共轭复数是( )A.2－iB.2＋iC.3－4iD.3＋4i解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）2＝(2＋i)2＝3＋4i ，所以其共轭复数是3－4i. 答案 C4.(2017·全国Ⅱ卷)3＋i 1＋i ＝( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i解析3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i. 答案 D5.(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.答案 D6.(2019·青岛一模)已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则z ＋2z 2＋z＝________. 解析 ∵z ＝－1＋i ，则z 2＝－2i ，∴z ＋2z 2＋z ＝1＋i －1－i ＝（1＋i ）（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－22＝－1. 答案 －1考点一 复数的相关概念【例1】 (1)(2019·上海崇明区质检)已知z ＝2－ii ，则复数z 的虚部为( ) A.－iB.2C.－2iD.－2(2)已知在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z 的共轭复数z －＝( ) A.2－i B.2＋i C.1－2iD.1＋2i(3)(2019·大连一模)若复数z ＝1＋i1＋a i为纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.0C.－12D.－1解析 (1)∵z ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）i·（－i ）＝－1－2i ，则复数z 的虚部为－2.故选D.(2)∵复数z 对应的点是Z (1，－2)，∴z ＝1－2i ，∴复数z 的共轭复数z －＝1＋2i ，故选D. (3)设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0， 则1＋i 1＋a i＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ， ∴1＝－ab ，且1＝b ， 解得a ＝－1，故选D. 答案 (1)D (2)D (3)D【训练1】 (1)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A.15－35i B.15＋35i C.13－iD.13＋i(2)(2019·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i1＋i ，则实数a ＝( )A.2B.1C.0D.－1解析 (1)由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，∴z －＝15＋35i.故选B. (2)∵1－i ＝2＋a i1＋i，∴2＋a i ＝(1－i)(1＋i)＝2， 解得a ＝0.故选C. 答案 (1)B (2)C考点二 复数的几何意义【例2】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内，复数z 对应的点与21－i对应的点关于实轴对称，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋iD.1－i解析 (1)由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限.(2)∵复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，∴z ＝1－i.故选D. 答案 (1)D (2)D【训练2】 (1)设i 是虚数单位，则复数11＋i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)如图，若向量OZ→对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i解析 (1)11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，则复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，在第四象限，故选D.(2)由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D.答案 (1)D (2)D考点三 复数的运算【例3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i B.－3＋i C.3－iD.3＋i(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A.0B.12C.1D.2(3)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A.2iB.－2iC.2D.－2(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 解析 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝1－2i －12＋2i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.故选C.(3)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i 2i ＝2.故选C.(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.答案 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i【训练3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝( ) A.3－2i B.3＋2i C.－3－2iD.－3＋2i(2)已知i 为虚数单位，则1＋i3－i ＝( )A.2－i 5B.2＋i 5C.1－2i 5D.1＋2i 5(3)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z ＝( ) A.1＋3i B.1－3i C.－1＋3iD.－1－3i解析 (1)i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D. (2)1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i5. (3)因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i 2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z ＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C.答案 (1)D (2)D (3)C三、课后练习1.(2019·烟台检测)设a ，b ∈R ，a ＝3＋b i3－2i(i 是虚数单位)，则b ＝( )A.－2B.－1C.1D.2解析 因为a ＝3＋b i 3－2i ＝（3＋b i ）（3＋2i ）（3－2i ）（3＋2i ）＝9－2b 13＋（6＋3b ）i13，a ∈R ，所以6＋3b13＝0⇒b ＝－2，故选A. 答案 A2.设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 由复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数， 得⎩⎨⎧x 2－4＝0，x ＋2≠0，解得x ＝2， 所以“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的充要条件，故选B. 答案 B3.计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝( )A.－2iB.0C.2iD.2解析 ∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝(i 4)504·i 3＋[(－i)4]504·(－i)3＝－i ＋i ＝0.答案 B4.(2019·湖南三湘名校联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i，则以下为真命题的是( )A.z 的共轭复数为75－4i5B.z 的虚部为85 C.|z |＝3D.z 在复平面内对应的点在第一象限 解析 ∵z ＝3＋2i 2－i ＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i5， ∴z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75， |z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限，故选D. 答案 D。

复平面和平面直角坐标系
复平面和平面直角坐标系是数学中非常重要的概念，它们在许
多领域都有着广泛的应用。

复平面是由实数平面扩展而来的，它包
括了实数平面上的每一个点，并且引入了虚数单位i，使得每个点
都可以表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数。

这样，复数就可
以用平面上的点来表示，这个平面就是复平面。

而平面直角坐标系是用来描述平面上的点的工具，它由x轴和
y轴组成，每个点都可以用(x, y)的形式来表示，其中x和y分别
表示该点在x轴和y轴上的投影。

这样，我们可以用平面直角坐标
系来描述复平面上的点，将实部和虚部分别对应到x轴和y轴上。

复平面和平面直角坐标系的结合为我们提供了一种非常直观的
方式来理解复数的性质和运算规则。

通过在复平面上画出复数的位置，我们可以更加清晰地看到它们之间的关系，进行加减乘除等运
算也更加直观。

同时，复平面和平面直角坐标系也为我们提供了一
种直观的方式来理解复数的几何意义，比如复数的模和幅角等概念。

在物理学、工程学、信号处理、控制论等领域，复平面和平面
直角坐标系也有着广泛的应用。

它们为我们提供了一种非常方便的
工具来描述和分析这些领域中的问题，使得复数的运用更加直观和
便利。

综上所述，复平面和平面直角坐标系是数学中非常重要的概念，它们不仅为我们提供了一种直观的方式来理解复数，还在许多领域
中有着广泛的应用。

因此，对于学习数学和相关领域的人来说，理
解和掌握这两个概念是非常重要的。

平面直角坐标系第一象限平面直角坐标系第一象限是一种坐标系统，它由两个垂直的直线组成，这两条线分别被称为x轴和y轴，在这个坐标系中，x轴和y 轴的交点就成为原点，它的四个象限分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

第一象限位于原点右上角，它是一个象限，有正数和负数组成，正数位于x轴和y轴上方，负数位于x轴和y轴下方。

第一象限是一个特殊的象限，它具有很多重要的应用，比如克莱姆法则，这是一种应用在平面直角坐标系中的圆计算模型，它能够求出一个固定半径的园的圆心位置、周长和面积，这些数据都将被用来计算出圆的圆心坐标位于第一象限的平面上。

此外，第一象限还有许多数学意义，比如，函数在第一象限上是一种单调函数，它表明x轴和y轴上的点是有关联的，即当x轴上的点发生变化时，y轴上的点也会有相应的变化；此外，定积分也可以在第一象限中来计算出一个函数的积分结果，以及还有一些其他的数学应用，比如复数函数、矩阵乘法等。

第一象限不仅仅有数学意义，它也有许多实际应用，比如机器人移动系统中，程序员可以利用平面直角坐标系第一象限来实现机器人在有限空间内运动，编码器可以把机器人从原点走到x轴和y轴上任意一点，通过改变编码器的设定，机器人可以在x和y轴上移动任意距离，可以运行指定的程序，比如把物体从一个位置移动到另一个位置，或者在有限空间内完成一定的任务。

第一象限对我们的生活也有重要的作用，比如路径规划，程序员可以利用平面直角坐标系第一象限来实现路径规划，把一条路径分成若干个点，每个点都有其在平面直角坐标系中的x和y坐标，程序员可以根据这些坐标点来控制机器人在一定空间内沿着一条路线行走，最终实现路径规划。

综上所述，平面直角坐标系第一象限具有重要的计算意义及实际应用，它不仅在数学理论领域有重要的意义，而且在许多行业也有广泛的应用，因此研究平面直角坐标系第一象限非常重要。

数学六年级下册复数知识点一、引言复数是数学中一个重要的概念，它在代数学中有着广泛的应用。

在六年级下册的学习中，我们将接触到关于复数的知识点。

本文将系统地介绍数学六年级下册的复数知识点。

二、复数的基本概念1. 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a和b是实数，i为虚数单位，满足i²=-1。

2. 复数的实部和虚部对于复数a+bi，a为实部，bi为虚部。

三、复数的运算1. 复数的加法和减法复数的加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

复数的减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

2. 复数的乘法和除法复数的乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

复数的除法：(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)/(c²+d²))+((bc-ad)/(c²+d²))i。

四、复数的性质1. 复数的共轭对于复数a+bi，它的共轭复数是a-bi。

2. 纯虚数和实数如果复数a+bi中a=0，则该复数是纯虚数。

如果复数a+bi中b=0，则该复数是实数。

3. 相等性质两个复数相等，当且仅当它们的实部相等且虚部相等。

五、复数的应用1. 虚数单位i的应用虚数单位i在数学中起到重要的作用，它可以简化复杂数学问题的求解过程，例如在解二次方程时经常会用到虚数单位i。

2. 复数在坐标系中的表示复数可以在平面直角坐标系中表示，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。

通过将复数转化为坐标，我们可以更好地理解和解释复数运算。

六、小结通过本文的学习，我们对数学六年级下册的复数知识点有了基本的了解。

复数的定义、基本运算、性质以及应用等方面的知识都被系统地介绍了。

掌握了这些知识，我们将能更好地解决与复数相关的数学问题。

希望同学们通过不断的练习和深入的探究，能够更加熟练地运用复数知识，提高数学的学习成绩。