华东师大初中九年级数学上册《第22章一元二次方程》教案

第22章一元二次方程22.１一元二次方程一、素质教育目标（一）知识储备点理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式．（二）能力培养点培养学生观察、比较、归纳及逻辑思维的能力，通过将一元二次方程转化为一般形式，培养学生转化方程形式的能力，在对是否为一元二次方程的判断问题中培养学生不看表面形式、把握问题实质的分析问题的能力．（三）情感体验点让学生在实例中理解一元二次方程的概念，体验到自主探索、自主归纳的积极情感，让学生从本质中分析问题，加深基本概念的理解，形成认真探索问题的精神，感受一元二次方程一般形式的对称美、规律美，产生对学习新知识的追求欲望．通过本节课引入的教学，初步培养学生认识数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣．二、教学设想1．重点：一元二次方程的概念，正确识别一般式中的“项”及“系数”．2．难点：一元二次方程的一般形式．3．疑点：二次项系数a的取值范围．一元二次方程的含义．4．课型与基本教学思路：新授课．本节课通过生活中两个实例列出的方程，•总结出一元二次方程的基本概念，并能将一元二次方程转化为一般形式，能说出二次项系数、一次项系数和常数项．三、媒体平台1．教具、学具准备：自制投影胶片．2．多媒体课件撷英：【注意】课件要根据实际需要进行适当修改．四、课时安排１课时五、教学步骤（一）教学流程1．情境导入（投影显示）问题1：绿苑小区住宅设计，•准备在每两栋楼房之间开辟面积为900m2的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？问题2：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，•求这两年的年平均增长率？请问：我们可以运用方程来解决这些实际问题吗？2．课前热身提问：（1）什么是方程？什么是整式方程？（2）什么是一元一次方程？一元一次方程的一般形式是什么？3．合作探究（1）整体感知：学生分析问题1，设长方形绿地的宽为x，不难列出方程：x（•x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0；学生分析问题2，设这两年的年平均增长率为x，我们知道去年年底的图书数为5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，•同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）（1+x）=5（1+x）2万册，•可列得方程5（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0．教师引导学生思考这两个方程不同于一元一次方程，那么，这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？有什么共同的特点呢？教师概括：整式方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，•这样的方程叫做一元二次方程．一元二次方程可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a0）其中，a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．（2）四边互动互动1师：判断下列方程是不是一元二次方程：①3x2-13y=0；②253x-=1；③2xy-7=0；④3x=x2+4；⑤232x-+5＝3x；⑥（a-1）x2-13x=6生：由一元二次方程定义可知：①③含有两个未知数，②不是整式方程，故①②③都不是一元二次方程，④可化为x2-3x+4=0，⑤可化为3x2-2x+21=0，故④⑤是一元二次方程，⑥当a≠1时是一元二次方程．明确一元二次方程必须具备三个条件：①方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③含有未知数的项的最高次数是2．互动2学生活动：每两个同学一组，一个同学说出一个一元二次方程，另一个同学说出这个方程的二次项系数、一次项系数和常数项，看说出的方程是否符合一元二次方程的要求，是否符合方程系数的情况．明确一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项．•学生通过自己说出一个一元二次方程，另一个学生说出系数，加深对一元二次方程的概念的理解，会化成一般形式，活跃学习气氛，激发学生的学习兴趣．互动3理解一元二次方程的定义应注意：①二次项的系数不为零（a≠0）是一元二次方程的一个重要条件，也是解答有关一元二次方程问题的一个隐藏条件；②判断一个方程是不是一元二次方程，不能只看表面形式，要将方程化成一般形式，看它是否符合一元二次方程的三个条件；③任何一个一元二次方程都可化为一般形式，而且，只有将方程化为一般形式之后，才能确定它的二次项系数、一次项系数和常数项．明确理解一元二次方程的定义，要注意它隐藏的重要条件a≠0，把握方程的实质，从一般形式中分析研究一元二次方程．互动4教材P27练习2，用试验的方法探索问题1所得方程x2+10x-900=0的解，方程有几个解？都是问题1的解吗？明确要求学生多次试验，引导学生从正数、负数两个方面试验，得出两个解，其中负数不符合题意，不是问题1的解，为以后解一元二次方程打下基础．4．达标反馈（1）选择题：①下列关于x 的方程中，一元二次方程的个数有（B ）2-23x ＝0 1x x-=2x -1 kx 2-3x+=0 x 2-x 2（x 2+1）-3=0 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3②已知关于x 的方程（k+3）x 2-3kx+2k -1=0它一定是（C ）A ．一元二次方程B ．一元一次方程C ．一元二次方程或一元一次方程D ．无法确定③下列方程中，一定是关于x 的一元二次方程的是（D ）A ．k （x 2-1）=2x （x+1）B ．（k 2-2）x 2-（3k+1）x -5=0C ．（k 2+2）x 2-（3k+1）x -5=0 D ．23512x x --=1 ④方程（x-1）（x+3）=12化为ax 2+bx+c=0形式后，a 、b 、c 的值为（C ）A ．1，-2，-15B ．1，-2，-15C ．1，2，-15D ．-1，2，-15⑤下列方程中是一元二次方程的有（B ）⑴3x 2=2x ； ⑵y 2-2x-8=0； ⑶22x -x-1=0； ⑷2x （x-5）=x （3x+1）；x 2+1）； •⑹25y A ．⑴⑸⑹ B ．⑴⑷⑸ C ．⑴⑶⑷ D ．⑵⑷⑸⑥若方程（m 2-1）x 2+x+m=0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（D ）A ．m ≠0B ．m ≠1C ．m ≠1或m ≠-1D ．m ≠1且m ≠-1（2）填空题＝-3x 2+5中二次项系数是 -3 ，常数项是 5 ． ②关于x 的方程（m 2-4）x 2-（m -2）x -1=0，当m ≠±2 时是一元二次方程；当m =-2 时是一元一次方程．③把关于x 的一元二次方程（m+1）x 2-2m （1-x ）+1=0化成一般形式是 （m+1）x 2+2mx-2m+1 ，二次项系数是 m+1 ，一次项系数是 2m ，常数项是 -2m+1 ． ④关于x 的方程ax 2-2m-3=x （2-x ）是一元二次方程，则a 的取值范围是 a≠-1 ． ⑤方程（x+4）2=2x-3化为一般式，二次项系数是 1 ，一次项系数是 6 ，常数项是 19 ．（3）解答题：①列方程：用一块长80cm ，宽60cm 的薄钢片，在四个角上载去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm 2的没有盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长．【答案】 15②列方程：两连续偶数的积是120，求这两个数．【答案】 10，12③列方程：已知两数的差是2，积等于323，求这两个数．【答案】 19，17或-17，-19④把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再指出其二次项、一次项及常数项．⑴5x 2=3x ； ）x+x 2-3=0；⑶（7x-1）2-3=0； ⑷（2x -1）（2x +1）=0； ⑸（6m-5）（2m+1）=m 2．【答案】 ⑴5x 2，-3x ，0 ⑵x 2，）x ，-3 ⑶49x 2，-14x ，-2 ⑷24x ，0，-1 ⑸11m 2，•-4m ，-5 ⑤已知关于x 的方程（a-2）2x 2-ax=x 2-1是一元二次方程，求a 的取值范围．【答案】 a ≠1且a ≠3⑥指出下列方程中哪些是一元二次方程⑴5x 2+6=3x （2x+1）； ⑵8x 2=x ；⑶23x=5； ⑷4x 2=3y ； ⑸-x 2=0； ⑹x （5x-1）=x （x+3）+4x 2．【答案】 ⑴⑵⑸5．学习小结（1）引导学生作知识总结：本节课学习了什么样的方程是一元二次方程，•一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，能分别说出二次项、一次项和常数项以及它们的系数．（2）教师扩展：（方法归纳）一元二次方程应满足三个条件，•另外一元二次方程只有转化为一般形式才能正确判断，并注意隐藏的重要条件a ≠0．（二）拓展延伸1．链接生活链接一：一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0（a ≠0），•在处理一元二次方程问题时，要会将方程化为一般形式，特别要注意左边是个二次三项式，右边是0，•一定还要有a ≠0这个条件．习惯上总把二次项系数符号化为正号，各项系数（包括常数项）化为整数． 对于一元二次方程一般式中各项的名称，如二次项、一次项、二次项系数、一次项系数、常数项等，应会准确地指出．对于形式复杂一些的，也要会分析，特别是字母系数的一元二次方程，也要分清哪个是未知数，如关于x 的方程mx 2-•nx-•mx+nx 2=p （m+n ≠0）中，先整理为（m+n ）x 2-（m+n ）x-p=0（m+n ≠0），则二次项为（m+n ）x 2，一次项为-（m+n ）x ，常数项为-p ，而二次项系数为（m+n ），一次项系数为-（m+n ）．链接二：根据一元二次方程的定义，你能猜想一下，一元三次方程、一元四次方程的定义及其一般形式吗？试着写一下．2．巩固练习（1）选择题：①方程3x 2-4=-2x 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（B ）A ．3，-4，-2B ．3，2，-4C ．3，-2，-4D ．2，-2，0②一元二次方程（3x-1）（2x+2）=x 2+1化为一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，abc 的值分别为（C ）A ．6，4，3B ．6，-4，-3C ．5，4，-3D ．5，-4，-3③一元二次方程2x2-（a+1）x=x（x-1）-1化成一般式后，二次项系数为1，•一次项系数为-1，则a的值为（B）A．-1 B．1 C．-2 D．2（2）解答题：①列方程：一个长方形的长和宽是连续整数，面积是210cm2，•求这个长方形的长和宽．【答案】14，15②把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出二次项、一次项、常数项．⑴8x2-3=5x；⑵4-7x2-11x=0；⑶3y（y+1）=7（y+2）-5；⑷（（）+（t-2）2=•7-5t；⑸（5x-1）2=4（x-3）2．【答案】⑴8x2，-5x，-3 ⑵-7x2，-11x，4 ⑶3y2，-4y，-9 ⑷2t2，0，-3•⑸21x2，14x，-35④把下列关于x的方程化成一元二次方程的一般式，并指出它的二次项系数、•一次项系数及常数项．⑴abx2=cx+d（ab≠0）；⑵（p-q）x2=p+q（p≠q）；⑶3-px+2x2=p2-p-1；⑷（m+3）x2-kx=2x2-1．【答案】⑴ab，-c，-d ⑵（p-q），0，-（p+q）⑶-p，-p2+p+4 ⑷（m+1），-k，1⑤下列关于x的方程是否为一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，•请分别指出二次项系数、一次项系数及常数项．⑴ax2-（a≠0）；⑵5x2=8px；⑶（m+1）x2-6mx=3m+1；⑷（k2+1）x2+k x-k=9．【答案】⑴当a≠0时，是；a，-⑵是；5，-8p，0⑶当m≠1时，是；m+1，-6m，-3m-1，m=1时，不是⑷是；k2+1，k，-k-9（三）板书设计§22．1 一元二次方程1．一元二次方程一元二次方程的定义：_________ 例题讲解：________注意事项：__________________ 学生练习：________六、资料下载初等数学在中国发展的历史中国古代是一个世界上数学先进的国家，用近代科目来分类的话，可以看出无论在算术、代数、几何和三角各方面都十分发达．现在就让我们来简单回顾一下初等数学在中国发展的历史．（一）属于算术方面的材料大约在3000年以前中国已经知道自然数的四则运算，这些运算只是一些结果，被保存在古代的文字和典籍中．乘除的运算规则在后来的“孙子算经”（公元三世纪）内有了详细的记载．中国古代是用筹来计数的，在我们古代人民的计数中，已利用了和我们现在相同的位率，用筹记数的方法是以纵的筹表示单位数、百位数、万位数等；用横的筹表示十位数、千位数等，在运算过程中也很明显地表现出来．“孙子算经”用十六字来表明它，“一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当”．和其他古代国家一样，乘法表的产生在中国也很早．乘法表中国古代叫九九，估计在2500年以前中国已有这个表，在那个时候人们便以九九来代数数学．现在我们还能看到汉代遗留下来的木简（公元前一世纪）上面写有九九的乘法口诀．现有的史料指出，中国古代数学书“九章算术”（约公元一世纪前后）的分数运算法则是世界上最早的文献，“九章算术”的分数四则运算和现在我们所用的几乎完全一样．古代学习算术也从量的衡量开始认识分数，“孙子算经”（公元三世纪）和“夏侯阳算经”（公元六七世纪）在论分数之前都开始讲度量衡，“夏侯阳算经”卷上在叙述度量衡后又记着：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，万乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，万除退四等．”这种以十的方幂来表示位率无疑地也是中国最早发明的．小数的记法，元朝（公元十三世纪）是用低一格来表示，如13.56作1356．在算术中还应该提出由公元三世纪“孙子算经”的物不知数题发展到宋朝秦九韶（公元1247年）的大衍求一术，这就是中国剩余定理，相同的方法欧洲在十九世纪才进行研究．宋朝杨辉所著的书中（公元1274年）有一个1～300以内的因数表，例如297•用“三因加一损一”来代表，就是说297=3×11×9，（11=10+1叫加一，9=10-1•叫损一）．杨辉还用“连身加”这个名词来说明201～300以内的质数．（二）属于代数方面的材料从“九章算术”卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的成就．“九章算术”方程章首先解释正负术是确切不移的，正像我们现在学习初等代数时从正负数的四则运算学起一样，负数的出现便丰富了数的内容．我们古代的方程在公元前一世纪的时代已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种．一元二次方程是借用几何图形而得到证明的．不定方程的出现在两千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年．具有x3+px2+qx=A和x3+px2＝A形式的三次方程，中国在公元七世纪的唐代王孝通“辑古算经”已有记载，用“从开立方除之”而求出数字解答（可惜原解法失传了），不难想像王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金．十一世纪的贾宪已发明了和霍纳（1786-1837）方法相同的数字方程解法，•我们也不能忘记十三世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献．在世界数学史上对方程的原始记载有着不同的形式，但比较起来不得不推中国天元术的简洁明了．四元术是天元术发展的必然产物．级数是古老的东西，两千多年前的“周髀算经”和“九章算术”都谈到算术级数和几何级数．十四世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价，他的有些工作欧洲在十八九世纪的著作内才有记录．十一世纪时代，中国已有完备的二项式系数表，并且还有系数表的编制方法．历史文献揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传往欧洲的．内插法的计算，中国可上溯到六世纪的刘焯，并且七世纪末的僧一行有不等间距的内插法计算．十四世纪以前，属于代数方面许多问题的研究，中国是先进国家之一．就是到十八九世纪由李锐（1773-1817），汪莱（•1768-•1813）•到李善兰（•1811-1882），他们在这一方面的研究上也都发表了很多的名著．（三）属于几何方面的材料自明朝后期（十六世纪）欧几里得“几何原本”中文译本一部分出版之前，中国的几何早已在独立发展着．应该重视古代的许多工艺品以及建筑工程、水利工程上的成就，其中蕴藏了丰富的几何知识．中国的几何有着悠久的历史，可靠的记录从公元前十五世纪谈起，甲骨文内已有规和矩两个字，规是用来画圆的，矩是用来画方的．汉代石刻中矩的形状类似现在的直角三角形，大约在公元前二百年左右，中国已记载了有名的勾股定理（勾、股两个字的起源比较迟）．圆和方的研究在古代中国几何发展中占了重要位置．墨子对圆的定义是：“圜，一中同长也．”一个中心到圜周相等的叫圜，这个解释要比欧几里得还早一百多年．在圆周率的计算上有刘歆（？－23）、张衡（78-139）、刘徽（生卒年不详）、•王蕃（219-257）、祖冲之（429-500）、赵友钦（公元十三世纪）等人，其中刘徽、•祖冲之、赵友钦的方法和所得的结果举世闻名．祖冲之所得的结果 ＝355133要比欧洲早一千多年．在刘徽的“九章算术”注中曾多次显露出他对极限概念的天才．在平面几何中用直角三角形或正方形和在立体几何中用锥体和长方柱体进行移补，这构成中国古代几何的特点．中国数学家善于把代数上的成就运用到几何上，而又用几何图形来证明代数，数值代数和直观几何有机地配合起来，在实践中获得良好的效果．正好说明十八九世纪中国数学家对割圜连比例的研究和项名达（1789-1850）用割圜连比例求出椭圆周长．这都是继承古代方法加以发挥而得到的（当然吸收外来数学的精华也是必要的）．（四）属于三角方面的材料三角学的发生由于测量，首先是天文学的发展而产生了球面三角，中国古代天文学很发达，因为要决定恒星的位置很早就有了球面测量的知识；平面测量术在“周髀算经”内已记载着用矩来测量高深远近．刘徽的割圆术以半径为单位长求圆内正六边形、十二边形等的每一边长，其答数是和2sinA的值相符（A是圆心角的一半），以后公元十二世纪赵友钦用圆内正四边形起算也同此理，我们可以从刘徽、赵友钦的计算中得出7.5°、15°、22.5•°、30°、45°等的正弦函数值．在古代历法中有计算二十四个节气的日晷影长，地面上直立一个八尺长的“表”，太阳光对这“表”在地面上的射影由于地球公转而每一个节气的影长都不同，这些影长和“八尺之表”的比，构成一个余切函数表（不过当时还没有这个名称）．在十七世纪后期中国数学家梅文鼎（1633－1721）已编了一本平面三角和一本球面三角的书，平面三角的书名叫“平三角举要”，包含下列内容：（1）•三角函数的定义；（2）解直角三角形和斜三角形；（3）三角形求积，三角形内容圆和容方；•（4）测量．这已经和现代平面三角的内容相差不远，•梅文鼎还著书讲到三角上有名的积化和差公式．十八世纪以后，中国还出版了不少三角学方面的书籍．。

22.1 一元二次方程-华东师大版九年级数学上册教案一、教材内容概述本课程主要介绍了一元二次方程的概念、基本形式、适用范围以及解法等内容。

在内容上，主要分为以下几个方面：•一元二次方程的概念与基本形式•一元二次方程的根的判别式•一元二次方程的解法二、学习目标通过本章的学习，学生应该掌握以下几个方面的知识和技能：•掌握一元二次方程的定义和基本形式•掌握判别式的计算方法，能够判断方程解的情况•掌握一元二次方程的解法，能够正确解决一些实际问题三、教学重点•一元二次方程的定义和基本形式•一元二次方程的根的判别式四、教学难点•一元二次方程的解法五、教学过程5.1 自主学习•学生自主学习一元二次方程相关的知识，找出其中的难点与疑问。

5.2 导入新知识•通过复习一元一次方程的解法，引入一元二次方程。

5.3 讲解新知识•讲解一元二次方程的定义和基本形式，引出一元二次方程根的概念。

5.4 练习与展示•让学生分组进行练习，每组派出一名代表进行展示。

5.5 拓展•讲解一元二次方程解法中常用的方法和技巧，鼓励学生探究解题思路。

5.6 提高•针对一些解法困难的问题，给出帮助与指导，提高学生的解题能力。

5.7 小结•对本节课的内容进行小结，帮助学生回顾所学知识。

六、课后练习•练习册第22页1~10题七、教学反思本节课的教学过程中，我主要采用了讲解和练习相结合的方式，通过引导学生自主学习、分组讨论和展示等方式，调动了学生的学习积极性，提高了学生的学习效果。

但在授课时，我发现有些学生对一元二次方程的概念和解法还有些陌生，需要通过分组训练和个人指导来加强学生的认识和理解。

同时，在课堂练习中也出现了一些问题，需要在下一节课中进行修正和纠正。

一元二次方程（回顾与思考一）【教学目标】:知识目标：.进一步理解一元二次方程的定义，一般形式以及各项系数. 理解一元二次方程的四种解法以及根的判别式及其应用、根与系数的关系及其应用，能力目标：能灵活运用四种解法解一元二次方程，能够运用它们去解决实际问题，综合性问题.情感目标：培养认识事物从特殊到一般的认识过程，培养学生学习数学思维缜密，严谨的学习态度。

【教学重难点】:重点：对一元二次方程的理解，掌握一元二次方程的四种解法 难点：一元二次方程根的判别式的应用和根与系数的关系的应用. 【教学准备】：电子白板 教学学案 【教学过程】 【知识梳理】考点一：一元二次方程的相关概念一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根注：判断一个方程是不是一元二次方程，应化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中。

考点二：一元二次方程的常用解法： 1．基本思想一元二次方程 （--------------------）一元一次方程 2．基本解法（1）直接开平方法（2）配方法（3）公式法（4）因式分解注：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．0 a考点三：一元二次方程根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.考点四：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注（1）它的使用条件为a≠0，Δ≥0.（2）一元二次方程根与系数的应用很多：1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．【题型演练】类型一：一元二次方程的相关概念例1已知a是一元二次方程的根．求代数式的值【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算原式，然后根据方程根的定义可得，再结合化简后的式子整体代入求解即可．解：，∵a是一元二次方程的根，∴，即，∴原式．归纳拓展：本题考查了一元二次方程根的定义、整式的乘法运算和代数式求值，熟练掌握整式的运算法则、掌握整体代入的方法是解题关键．练习1．下列方程中是一元二次方程的有（ ）①9 x 2=7 x ①=8 ① 3y(y -1)=y(3y+1) ① x 2-2y+6=0①( x 2+1)= ①-x -1=0 A ． ①①① B. ①①① C. ①①① D. ①①①2．方程-的二次项系数是，一次项系数是 ，常数项是 . 3．关于的一元二次方程中，则一次项系数是 .4.三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程 的根，则该三角形的周长为-------类型二：一元二次方程的常用解法 例2解方程分析：选择恰当的方法是快速解方程的有效途径.解：（1）直接开平方，得所以方程的解为（2）由题意，得x -1=0或2x+5=0, 所以方程的解为 (3)整理，得所以方程的解为（4）化为一般式，得所以32y 21024x 3(1)0x x +=x 1(3)(1)30n n xn x n +++-+=所以方程的解为归纳拓展：在解一元二次方程时，要观察方程的结构特点，在没给出解法要求时，解法选择的顺序是直接开平方法、因式分解法、公式法.配方法用得较少，但若二次项系数为1，一次项系数为偶数时，用配方法也比较简单练习5 解方程：（1）(2)（3）（4）（5）类型三：一元二次方程根的判别式及一元二次方程根与系数关系例3 已知关于x的方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根.（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解.分析：（1）要证一元二次方程有两个不相等的实数根，只需说明Δ>0即可.（2）两根互为相反数，说明两实根之和为零.（1）证明：因为所以，无论m取何值,Δ>0恒成立.所以，方程有两个不相等的实数根.（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以根据方程的根与系数的关系，得解得m=-2.所以原方程可化为解得归纳拓展：在实数范围内运用一元二次方程根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提条件，而应用判别式Δ的前提条件是二次项的系数a≠0.因此，解题时要注意分析题中有没有隐含Δ≥0,a≠0.在具体解题时，可先利用根与系数的关系，求出字母系数的值，然后代入判别式进行检验，把使判别式小于零的值舍去.要注意，只求出一个值，也要检验.练习6.已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．(1) 求k 的取值范围； (2) 当 k=1时，用配方法解方程．7．关于的一元二次方程的一个根为1，则实数=（ ） A ．B ．或C ．D ．8. 已知关于 的一元二次方程．（1）求证无论实数 取何值，此方程一定有两个实数根； （2）设此方程的两个实数根分别为x 1，x 2 ，若 ，求m 的值．【课堂小结】本节课同学们有何收获？【分层布置作业】A: «探究从书»p64—65 B: «探究从书»p66能力提升x 225250x x p p -+-+=p 40211-。

22.2.6一元二次方程的解法(六)教学目标：1、使学生会列出一元二次方程解有关变化率的问题。

2、培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学应用的意识。

重点难点： 本节课的重点和难点都是列出一元二次方程，解决有关变化率的实际问题。

教学过程：一、创设问题情境 百分数的概念在生活中常常见到，而量的变化率更是经济活动中经常接触，下面，我们就来研究这样的问题。

问题：某商品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率一样。

求每次降价的百分率。

（精确到0.1%）二、探索解决问题分析：“两次降价的百分率一样”，指的是第一次和第二次降价的百分数是一个相同的值，即两次按同样的百分数减少，而减少的绝对数是不相同的，设每次降价的百分率为x ，若原价为a ，则第一次降价后的零售价为(1)a ax a x -=-，又以这个价格为基础，再算第二次降价后的零售价。

思考：原价和现在的价格没有具体数字，如何列方程？请同学们联系已有的知识讨论、交流。

解 设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得(1－x) 2＝21 解这个方程，得 x ＝222± 由于降价的百分率不可能大于1，所以x ＝222+不符合题意，因此符合本题要求的x 为 222-≈29.3%.答：每次降价的百分率为29.3%.三、拓展引申某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）解，设原价为a 元，每次升价的百分率为x ，根据题意，得2(1) 1.2a x a +=解这个方程，得3015x =-±由于升价的百分率不可能是负数，所以3015x =--不符合题意，因此符合题意要求的x 为3019.5%5x =-+≈答：每次升价的百分率为9.5%。

四、巩固练习Ｐ37 练习1、2小结：关于量的变化率问题，不管是增加还是减少，都是变化前的数据为基础，每次按相同的百分数变化，若原始数据为a ，设平均变化率为x ，经第一次变化后数据为(1)a x ±；经第二次变化后数据为2(1)a x ±。

《一元二次方程》教学案一、教学时间：一课时二、教学目标（一）知识与技能目标1、理解一元二次方程的概念2、掌握一元二次方程的一般形式，能分清一元二次方程的二次项及系数、一次项及系数、常数项。

（二）过程与方法1、通过观察，归纳一元二次方程概念2、使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式。

（三）情感态度与价值观1、通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。

2、感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

三、教学重点、难点1、教学重点一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程有关概念解决问题。

2、教学难点正确认识一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项以及一元二次方程的解。

四、教学准备多媒体课件五、教学过程（一）情景引入1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.（二）自主探究1、问题：（1）这两个方程都是不是一元一次方程？（2）那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？（3）它们有什么共同特点呢？2、问题：（1）上面两个方程整理后是整式方程吗？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？归纳：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程， 经过整理， 都能化成如下形式02=++c bx ax ()0≠a ．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成02=++c bx ax ()0≠a 后，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．3、追问条件，由一般式得出特殊式（1）为什么0≠a ？b 和c 能等于0吗？（2）特殊式：02=ax02=+bx ax02=+c ax（三）例题示范，巩固提高例1．将方程（8-2x ）（5-2x ）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是02=++c bx ax ()0≠a 因此，方程 （8-2x ）（ 5-2x ）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项、合并同类项等．1.下列方程中哪些是一元二次方程？例2．将方程（x+1）2+（x -2）（x+2）= 1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边都相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。

第22章一元二次方程22.1 一元二次方程※教学目标※【知识与技能】1.理解一元二次方程的概念.￿2.掌握一元二次方程的一般形式，能分清一元二次方程的二次项及系数、一次项及系数、常数项.￿【过程与方法】￿通过观察,归纳一元二次方程的概念.￿【情态态度】￿进一步感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义.￿【教学重点】￿一元二次方程的概念及其一般形式.￿【教学难点】￿正确认识一元二次方程中二次项系数、一次项系数，常数项和列一元二次方程.￿※教学过程※￿一、情境导入￿问题1：绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？（只列方程）￿分析：我们已经知道可以运用方程解决实际问题.￿设绿地的宽为x米，不难列出方程：￿x(x+10)=900.￿整理，得+10x-900=0.￿①￿问题2：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率.（只列方程）￿分析：设这两年的年平均增长率为x.￿已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册.同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的(1+x)倍，即5(1+x)(1+x)=5(万册).￿可得出方程：5=7.2.￿整理可得5+10x-2.2=0. ②￿￿二、探索新知￿1.请回答下面问题：￿（1）上面两个方程整理后是整式方程吗？含有几个未知数？￿（2）按照整式中的多项式的规定，它们的最高次数是几？（学生分组讨论，然后各组交流）￿答：这两个方程（1）都是整式方程；（2）都只含一个未知数；（3）含未知数的项的最高次数都是2.￿2.一元二次方程的定义：￿一个整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.￿【例1】下列方程哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？￿（1）3x+2=5x-3;(2)=4;(3)(x-1)(x-2)=+8;(4)(x+3)(3x-4)=;￿(5)+2-3=0;(6)+2x=x(+x)+3.￿￿分析：（1）、（3）、（4）、（6）需要先整理成最简形式再进行判断.￿解：其中（1）、（3）是一元一次方程；（2）、（4）、（6）是一元二次方程.￿3.一元二次方程的一般形式：￿a+bx+c=0(a、b、c是已知数，a≠0).其中a叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项.￿￿【例2】把方程3x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项.￿解：去括号，得3-3x=2x+4+8.￿化简，得3-5x-12=0.￿二次项系数是3，一次项系数是-5，常数项是-12.￿￿【说明】通过例题的讲解，让学生明确一元二次方程的一般形式具有的两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0.此外二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的，不同的一元二次方程的差异实质上是系数的差异.但同一个一元二次方程写出的一般形式可能不同（只是符号不同），一般我们写二次项的系数为正的那个.￿三、巩固练习￿1.下列方程中哪些是关于x的一元二次方程？￿（1）-4x+2=0;(2)+x-=0;(3)=0(x,y都是未知数);（4）+x=0;￿(5)=(x-1)(x+1);(6)=+2.￿￿2.将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项：￿￿;￿答案：1.(1)(6)￿2.（1）原方程变形为=0.二次项系数为3，一次项系数为-1,常数项为-2.￿(2)原方程变形为+3=0.二次项系数为2，一次项系数为-7,常数项为3.￿(3)整理，得=0.二次项系数为1，一次项系数为-5,常数项为0.￿(4)整理，得-11=0.二次项系数为2，一次项系数为-5,常数项为-11.￿￿四、应用拓展￿【例3】方程在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？￿解：当a≠2时是一元二次方程；当a=2，b≠0时是一元一次方程.￿￿【例4】已知关于x的一元二次方程有一根为2，求m.￿分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程.￿解：将x=2代入原方程，得4(m-1)+6-5m+4=0.解得m=6.￿￿五、归纳小结￿1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.￿2.一元二次方程的一般形式为，一元二次方程的项及系数都是根据一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.￿￿3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.￿※课后作业※￿1.教材习题22.1第1、2、3题.￿。

华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》教学设计一. 教材分析《一元二次方程》是华师大版数学九年级上册第22章的内容，本章主要让学生掌握一元二次方程的解法、性质和应用。

一元二次方程是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。

通过本章的学习，学生能理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能运用一元二次方程解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于方程的概念和解法有一定的了解。

但是，对于一元二次方程的性质和应用，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程，并通过例子让学生感受一元二次方程的应用。

三. 教学目标1.了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法。

2.理解一元二次方程的性质，能运用一元二次方程解决实际问题。

3.培养学生的抽象思维能力，提高学生运用数学解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.一元二次方程的概念和性质。

2.一元二次方程的解法。

3.一元二次方程在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。

2.利用数形结合法，帮助学生理解一元二次方程的性质。

3.运用实例讲解法，让学生感受一元二次方程的应用。

4.采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生学习一元二次方程。

2.准备一元二次方程的例题，用于讲解一元二次方程的解法。

3.准备一元二次方程的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过呈现一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。

例如，某商品打8折后售价为120元，求原价。

2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的定义和性质，让学生了解一元二次方程的概念。

同时，通过例子讲解一元二次方程的解法，让学生掌握解一元二次方程的方法。

3.操练（15分钟）让学生独立完成一些一元二次方程的练习题，巩固所学知识。