八年级数学上册 第十二章 分式和分式方程 12.4 分式方程习题课件 (新版)冀教版

……
x 1
解得：
x 3
检验：当x=1时，x-1=0.
∴ x=1是原方程的增根.
注意：验根的
格式步骤.
∴原方程无解.
解分式方程：
2 2x 3 x 2 2x
解：方程两边同乘x+2，得 2-(2-x)=3(x+2).
解这个整式方程，得 解得 x=-3. x=-3.
检验：当x=-3时，x+2≠0. 经检验，x=-3是原方程的根. ∴ x=-3是原方程的根.
回顾：解整式方程：
x 1 x 3 1 2 3
类比：解分式方程： x 1 x 3 1 x 1 1 x 解：方程两边同乘 x 1 得 ， x 1 x 3 x -1
解这个整式方程，得
3( x 1) 2x 3 6
解：方程两边同乘6，得
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
增根满足的两个条件：
1.去分母后整式方程的根；2.使最简公分母为0.
解分式方程的基本思想：
转化:即化分式方程为整式方程.
解分式方程的一般步骤：
一. 化 二. 解 三. 验
一.必做题：教科书P20：练习、习题；
二.选做题：
k 1 x 3 1. k为何值时，方程 x2 2 x 产生增根？
回顾：解整式方程：
x 1 x 3 1 2 3
类比：解分式方程： x 1 x 3 1 x 1 1 x 解：方程两边同乘 x 1 得 ， x 1 x 3 x -1
解这个整式方程，得
3( x 1) 2x 3 6
解：方程两边同乘6，得
2.若方程 为正数， 求m的取值范围.
3 m 2 x 3 x 3

---
1.相邻两个偶数之比为5:6,求这两个偶数.
2. 小红家与学校相距38km,小红从家 去学校总是先乘公共汽车,下车后再步 行 2km才能到学校,路途所用时间是 1h. 已知公共汽车的速度是小红步行速度的 9倍.求小红步行的速度.
【分式方程的定义】
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
整式方程的分母中不含有未知数. 分式方程的分母中含有未知数.
科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wul i/
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/she ngwu/
地理课件：/kejian/dili/
1
方程两边同乘x－1 当x＝1时x－1＝0
x+1＝－(x－3)＋(x－1)
方程两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分 母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
解分式方程一般需要哪几个步骤?
①去分母，化为整式方程.
②解整式方程. ③检验.
必须检验！
把未知数的值代入最简公分母，看结果是
不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的
2.拓展与延伸：（选做）
※已知:
1 1 1 1 2 2
1 11 23 2 3
1 11 34 3 4
根据你发现的规律
（１）写出第ｎ个式子
，
（２）利用规律计算：
1 x(x 1)
(x
1 1)(x
2)
(x
1 2)(x
3)
（３）利用规律解方程:
1 1 1 1 x 2 x(x 1) (x 1)(x 2)
历史课件：/kejian/lish i/
3x 2 22x 3 12
去括号，得 3x 6 4x 6 12

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1 1 1 1 x2 x(x1) (x1)(x2)
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内容(nèiróng)总结
12.4 分式方程(fāngchéng)。解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得。1.相邻两个偶数之比为 5:6,求这两个偶数.。回顾：解整式方程(fāngchéng)：。试一试：解分式方程(fāngchéng)：。检验：将x=5
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第二十页，共二十三页。
你认为解分式方程时容易(róngyì)犯的错误
有哪些？
(1)去分母(fēnmǔ)时，原方程的整式部分漏乘．
(2)约去分母后，分子是多项式时，没有注 意添括号．(因分数线有括号的作用） (3)增根不舍掉。
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布置作业
使最简公分母为零的根
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思考(sīkǎo)
1、上面两个(liǎnɡ
ɡè)分式方程中，为什么
100 20+V
=
60 20-V
去分母后得到的整式方程的解就是它的解，而
1 x-5
=
10 x2-25
去分母后得到的整式方程的解却不
是原分式方程的解呢？ 我们来观察去分母的过程
（6）2xx110 5
2x 1 3x 1 x
整式方程
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分式方程(fēn shì fānɡ chén
聪明的同学，你能为下列(xiàliè)方程找个家吗？
(1) x 2 x (2) 4 3 7 2 3 xy
(3) 1 x (4) x(x1) 1
x2 3
是去分：母

(3) a b ( ab
a2+ab a2b
).
y
5.若把分式 x y 的 x和 y 都扩大两倍,则分式的值( B )
A．扩大两倍 C．缩小两倍
B．不变 D．缩小四倍
xy
6.若把分式
中的 x和 y都扩大3倍,那么分式的值( A).
x y
A．扩大3倍 C．扩大4倍
B．扩大9倍 D．不变
课堂小结
典例精析
例1
计算：
6x 5y
10 y2 3x3
.
解：
6x 10y2
5y 3x3
6x (10y2 5y 3x3
)
4y x2
.
提示 计算分式的乘法，要按照分式的乘法法则进行运算， 注意约去分子、分母中的公因式，同时还要注意分解因 式和约分，计算的结果一定要化成最简形式.
例2
计算：
a2 a2
4a 2a
4 1
a a2
1 4
.
解： a2 4a 4 a 1 a2 2a 1 a2 4
(a 2)2 a 1 (a 1)2 (a 2)(a 2)
a2 1 (a 1) (a 2)
a2 a2 a
2
.
二 分式的乘方
问题 类比： (ab)n=anbn，那么 ( a )n ? b
分式的乘方法则
分式的特点 分式的特征是: ①分子、分母 都是 整式 ；
②分母中含有 字母 .
二 分式有（无）意义及分式值为0
观察与思考
探究 求下列分式的值：
x … -2 -1
0
1
2…
x x-2 …
1 2
1 3
0
无 -1 意 …
义

感悟新知
知3－讲
特别解读 对增根的理解： (1) 增根一定是分式方程化为的整式方程的解； (2)若分式方程有增根，则它使最简公分母的值
为0.
感悟新知
知3－练
例3
[母题
教材
P19
观察与思考]
解方程：
x +1 x－1
+1
4 －
x2=1.
解：方程两边同乘(x － 1)(x ＋ 1)，
得( x ＋ 1) 2 － 4=( x － 1)(x ＋ 1) .
方程两边同乘 x( x＋2)(x－2)，
得 4(x－2)+7x=6 ( x＋2) ，解得 x=4.
检验：当 x=4 时， x ( x＋2)(x－2)≠ 0.
所以原分式方程的解为 x=4.
感悟新知
知2－练
2-1. [ 中考·淮安 ]方程2xx－＋11=1 的解是__x_＝__－__2_ .
感悟新知
感悟新知
知1－练
1-1. [ 中考·台州 ]3 月12 日植树节期间，某校环保小卫 士组织植树活动．第一组植树12 棵；第二组比第 一组多 6 人，植树 36 棵；结果两组平均每人植树 的棵数相等，则第一组有 __3___人 .
课堂小结
分式方程的 应用
分式方程 的应用
一般步骤 常见类型
审、设、列、解、验、答
感悟新知
2. 解分式方程的一般步骤
知2－讲
感悟新知
知2－讲
特别提醒 1. 解分式方程的关键是去分母.去分母时不要漏
乘不含分母的项，当分子是多项式时要用括 号括起来 . 2. 解分式方程一定要检验，对于使最简公分母 为0的解必须舍去.
感悟新知
3. 检验方程解的方法

20．已知点A，B在数轴上，它们所表示的数分别是 －4和 3xx＋－25，且它们关于原点对称．求x的值． 解：由题意得 3xx＋－25＋(－4)＝0. 去分母，得x＋2－4(3x－5)＝0，
解得x＝2.
经检验，x＝2是原分式方程的解．
所以x的值为2.
21．已知关于 x 的分式方程x－2 1＋（x－1）m（x x＋2）＝x＋1 2.
⑤πx＋2xπ＝4.
其中是分式方程的是( D )
A．①②
B．②③
C．③④
D．②③④
2．【2020·四川成都】已知x＝2是分式方程 kx＋xx－－31＝1的 解，那么k的值为( B )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．【2020·河北】若
（92－1）（112－1） k
＝8×10×12，则
k＝( B )
第12章 分式和分式方程
12.4 分式方程
1D 2B 3B 4C 5见习题 10 D
答案显示
11 D 12 1 13 见习题 14 D 15 B
16 C 17 B 18 见习题 19 见习题 20 见习题
答案显示
21 见习题
答案显示
1．下列方程：①x－5 3＝1；②3x＝2；③15＋ ＋xx＝12；④x2＋x2＋2 1＝5；
解：方程y2－y 9＋3－1 y＝y＋3 3的两边同时乘 y2－9，得 y－(y＋3) ＝3(y－3)．解得 y＝2.
经检验，y＝2 是原分式方程的解． 所以 k＝2.将 k＝2 代入x＋2 3＝x＋3 k－1，得x＋2 3＝x＋3 2－1，
去分母，得3(x＋3)＝2(x＋2)－6. 去括号，得3x＋9＝2x＋4－6. 移项，得3x－2x＝4－6－9. 合并同类项，得x＝－11.

一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,
它沿江以最大航速顺流航行120千米所用时间,与
以最大航速逆流航行80千米所用时间相等,江水
的流速为多少? 分析：设江水的流速为x千米／时，填空： 轮船顺流航行速度为＿(2＿0+＿x)千米／时，逆流航行 速度为＿(＿20＿-x)千米／时，顺流航行120千米所用
移项、合并同类项， b-1 0，
检验：当 x =
ab-2a b -1
时，x-a
0，
∴
x=
ab-2a b -1
．
所以，x =
ab-2a b -1
是原分式方程的解．
解：方程两边同乘以（x-2）,
得1-x=-k-2(x-2 )
去括号，得1-x=-k-2x+4
移项，合并同类项，得x=3-k
要使方程有增根(无解），必须使 分母x-2=0,即x=2.
因为要使方程无解
3-k=2
化简得k=1
随堂练习：
2.a为何值时，分式方程 a 4 0有增根x=2. x2 x24
解：方程两边同乘以(x2 -4),得
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月31日星期二2021/8/312021/8/312021/8/31 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/312021/8/31August 31, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/31

第十三页，共19页。
课堂(kètáng) 解分式小方结程的一般步骤:
1.在方程的两边(liǎngbiān)都乘最简公分母, 约去分母,化为整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不 是零;使最简公分母为零的根不是原方程的根, 必须舍去.
第十四页，共19页。
检测反馈
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速(liúsù)为多少?
解：设江水的流速为v千米/时,则轮船顺流航行的
速度为(30+v)千米/时,逆流航行的速度为(30-v)千
米/时,顺流航行90千米所用的时间为 90 小时,逆
x
(4) y ; (5) 1 2x 5 x5 x
根据定义可得：（1）（2）是整式方程， （3）是分式(fēnshì)，（4）（5）是分式 (fēnshì)方程．
第六页，共19页。
例2 解方程
1 x 1. 5 x 2
解:两边(liǎngbiān)同乘最简公分母 2(x+5)得:
2(x+1)=5+x,
2 x
1
呢？
解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式 方程,具体做法是“去分母”,即方程两边 (liǎngbiān)乘最简公分母,这是解分式方程的一 般方法.
第五页，共19页。
判断下列(xiàliè)各式哪个是分式方程．
（1）x y 5；（2）x 2 2 y z ; (3) 1 ;
5
3
第八页，共19页。
【拓展延伸】分式方程与整式方程的定义(dìngyì)区
特点
说明
举例
整式 方程

巩固练习
例2 解方程： 2 2 x 3 .
x2 2x
解：方程两边同乘x+2，得2- (2-x)＝3(x+2)， 解这个整式方程，得 x＝-3， 经检验，x＝-3是原分式方程的解.
回顾反思
本节课我们主要学习了哪些内容？与同学交流你的想法。
1.分式方程的定义： 分母中含有未数的方程叫做分式方程 2.解分式方程： 解分式方程的一般步骤：一化 二解
巩固练习
例1 解方程:
（1）318−−x2＝9×
2 x
；（2）
389−x2＋
2 x
＝1.
解：(1) 方程两边同乘x(1-x),得36x＝18(1－x).
解这个整式方程，得 x＝ 13.
经检验，x＝
1 3
是原分式方程的解.
巩固练习
例1 解方程:
（1）318−−x2＝9×
2 x
；（2）
389−x2＋
2 x
＝1.
解： (2) 方程两边同乘9x,得36＋18＝9x， 解这个整式方程，得x＝6. 经检验，x＝6 是原分式方程的解.
探究新知
学生活动三 【观察与思考】
下列是小华解方程
x x
1 1
x3 1 x
1的过程：
方程两边同乘x－1，得x＋1＝－(x－3)＋(x－1).
解这个整式方程，得x＝1 你认为x＝1是方程 x 1 x 3 1的解吗？为什么?
探究新知
学生活动一 【一起探究】
1.上述问题中有哪些等量关系？ (1)小红乘公共汽车的时间+小红步行的时间 =小红上学路上的时间； (2)公共汽车的速度=9×小红步行的速度.
探究新知
2.根据你所发现的等量关系，设未知数并列出方程.

14．点 A，B 在数轴上，它们表示的数分别是x－x 1和 x23－x－6xx＋2 9，且 A，B 两点关于原点对称，求 x 的值．
【点拨】结合数轴可知A，B表示的数互为相反 数，列出分式方程求解即可．
解：由题意得x－x 1＋x23－x－6xx＋2 9＝0，即x－x 1－x－x 3＝ 0.解得 x＝34.经检验，x＝34是原方程的根，则分式方程 的解为 x＝34.所以 x 的值为34.
6．【中考·株洲】关于 x 的分式方程2x＋x－3 a＝0 的解为 x＝4，则常数 a 的值为( D ) A．a＝1 B．a＝2 C．a＝4 D．a＝10
*7.【中考·黑龙江】已知关于 x 的分式方程2xx－－3m＝1 的解是非正数，则 m 的取值范围是( ) A．m≤3 B．m<3 C．m>－3 D．m≥－3
轨 x 米，则根据题意所列的方程是( A )
6 A.
0x00－x6＋00200＝15
B.x6＋00200－6 0x00＝15
6 C.
0x00－x6－00105＝20
D.x6－00105－6 0x00＝20
3．把分式方程x＋2 4＝1x转化为一元一次方程时，方 程两边需同乘( D )
A．x
B．2x
C．x＋4
D．x(x＋4)
4．【中考·淄博】解分式方程1x－ －x2＝2－1 x－2 时， 去分母变形正确的是( D ) A．－1＋x＝－1－2(x－2) B．1－x＝1－2(x－2) C．－1＋x＝1＋2(2－x) D．1－x＝－1－2(x－2)
5．【中考·哈尔滨】方程3x2－1＝3x的解为( C ) A．x＝131 B．x＝131 C．x＝37 D．x＝73
15．解方程：xx＋ ＋21＋xx＋ ＋87＝xx＋ ＋65＋xx＋＋34.