三角函数高考题(文科)

α是第二象限角，因此23．（2013后得到函数5A．47 [,] 34B．12[,]43C．47[,]34D．13[,]34f(x-1)=f(|x-1|)|x-1|=t；f(t)≤，得到1/3≤；代入x解得选天津文)将函数f(x)=sin xω（其中）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点），则ω的最小值是35.（2014江苏）函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为π。

36.（2014江苏）已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是6π．37、(2017年新课标Ⅱ文)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为.【解析】f (x )＝2cos x ＋sin x ≤＝,∴f (x )的最大值为.38、（2017?新课标Ⅰ理）已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin （2x+），则下面结论正确的是（ D ）A 、把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2B 、把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2C 、把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2D 、把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 239、(2017年新课标Ⅱ卷理)函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是．【答案】1【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，函数取得最大值1. 40．（2014大纲）若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是.【简解】()f x '=cosx(a-4sinx)≤0在x ∈(,)62ππ恒成立；a ≤4sinx 。

(2016北京高考)(16)(本小题13分)已知函数f (x) =2sin cox cos cox-^- cos 2cox (co>0)的最小正周期为九(I )求①的值；(II)求/ (x)的单调递增区间.(2015北京高考)15、(木小题满分13分)已知函数/(x) = sin x- 2^3 sin2.(I )求/(x)的最小正周期；(II)求/(兀)在区间0卑］上的最小值.（2014北京高考）16. （13分）函数f （x） =3sin （2x+£）的部分图象如图所示.6（I ）写出f （x）的最小正周期及图中xo, yo的值;（II ）求f （x）在区间［-今，-診上的最人值和最小值.（2013北京高考）15.（本小题共13分）己知函数/（X）二（2cos2 x-l）sin 2x + *cos4x（1）求/（X）的最小正周期及最大值。

nz（2）若aw匸,兀）,且f（a）=——，求Q的值。

（2012北京高考）15.（本小题共13分）已知函数/G)」sinx-cosx)sin2= sinx(I )求/(x)的定义域及最小正周期；(II)求/(X)的单调递减区间。

(2011北京高考)(15)(木小题共13分) 己知函数/(x) = 4 cos x sin(x + —) -1.6(I)求/(兀)的最小正周期;TT JT(II)求/G)在区间-上二上的最大值和最小值。

6 4(2010北京高考)(15)(本小题共13分)已知函数/(x) = 2cos2x + sin2 x7T(I)求/(一)的值；(II)求/(兀)的最大值和最小值(2009北京高考)15.(本小题共12分)已知函数/(x) = 2sin(^-x)cos x.(I )求f(x)的最小正周期;(II)求/(兀)在区间-彳,彳上的最大值和最小值.(2016北京高考)(16)【答案】(I) (D—\ (II) k 兀----------- ,k7T H— ( Zr G Z ).L 8 8」【解析】试题分析：(I)运用两角和的正弦公式对f(x)化简整理，由周期公式求3的值;(II)根据函数?-sinx的单调递増区间对应求解即可.试题解析：(I)因为f (xj = 2 sin i2)xcosi^x+cos lox= sin 2o?x+cos2(yx=y/l sin ； 2tyx+fj，所以f(x)的最小正周期T = |^ = -・' 2D 0依题意〉—=71 ?解得CO =1 .(II)由(I) ^D/(x)=V2sin!2x+-j.、4丿TT 7T函数y = sinx的单调递增区间为2k兀 ---- 丄k兀——(ke Z )•' 2 2Jh TL JI由2k7T--<2x + -<2k7T + -,2 4 2得k兀 -- <x<k7C + —.8 87T所以/(x)的单调递增区间为k兀 -------- ，A TT —( Zr G Z ).8 8 考点：两和和的正弦公式、周期公式、三饬函数的单调性.(2015北京高考)【答案】(1) 2龙；(2) -V3.试题解析：(I ) T 7\x) = sin x +馆cos x -若=2sin(x + f)-\/5 , f(x)的最小正周期为2兀.2T T 7T 7T(II) V0<X< —, /.-<x + -<7T ・3 3 3yr 2TT当X + |=7T,即X 二#时，/(X )取得最小值.・•・“)在区间［o,琴］上的最小值为/(琴)=-书•考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.(2014北京高考)1T 16.解:(I ) Vf (x) =3sin (2x+——), 6・・・f (x)的最小正周期丁鼻务兀， 2n J*知yo 为函数的最大值3, x ()= 丫 ； 6（II ） 令'诵' ・・・2x+2Ee [■竺 6 6JTx= - 一^时，f (x)取最人值0, ,即12 当2x+=J -—,即x=-匹时，f (x)取最小值- 3 6 2 3（2013北京高考）15.（本小题共13分）, 1解：（1） /（兀）=（200$=-1）$帀2兀 +㊁cos4x=cos 2x sin 2兀 + 丄 cos 4x 2=—sin4x + — cos 4x2 2=—sin （4x + -） 2 47T 所以，最小正周期T = - = - 4 2x= 当 2x当4书=2炀+彳（心），即*些节蛀Z ）时(2)因为 f(a) = — sin(4cr +=—TT所以 sin(4a+—) = 1 e 也龙RRIU 9TF 7i \T 兀因为一vav%,所以一v4a + —v -------------------2 4 4 4 rr Hl 片 兀 5 中］ 9兀 所以46T + —=—,即& =——4 2 16 （2012北京高考）（15）（共 13 分）解：（I ）曲 sinx 工 0 得 x 工 kjr （ k w S故/（对的定义域为{*R 2皿”Z}・= 2cosx(sinx-cosx)= sin2x —cos2x-l*） TT所以/（x ）的瑕小正周期T = ^-=n.3 U函数尸sinx 的单.调递减区间为［2“ +才，2" +〒”辰Z ）・由2*严2—严2行号，“"（心）・所以/（x ）的单關递减区间为［"+匹，+ - ）（*eZ ）.8 % （2011北京高考）（15）（共 13 分） 因为/<x) = (sin x 一 cosx )5insinx(11 )解：(I )因为 /(x) = 4cos x sin(x + —) -1=4 cos x(——sin x + — cos x) 一 1=A /3 sin 2x + 2 cos 2 x 一 1=V3sin 2x + cos2x, 71-2 sin(2x H ——) 所以/(x)的最小正周期为龙(I 【)因为 ---- S 兀W —，所以 -- 5 2x H — 5 —• 6 4 6 6 3于是，当2x + f 二即兀二f 时，/(兀)取得最大值2； 6 2 6当2x + - = --,Wx = 一兰吋,/lx)取得最小值一1.6 6 6 (2010北京高考)(15)(共 13 分)解：(I ) f (―) = 2 cos — + sin 2— = -1 + —= -— 3 3 3 4 4(II) f (x) = 2(2 cos 2 x-1) + (1- cos 2 x)=3cos 2 X -1,XG R因为COSXG [-1,1],所以，当COSX = ±1时/(X )取最大值2；当COSX = 0时，/(X )去授小 值T 。

2020年高考——三角函数1.(20全国Ⅰ文18)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ABC △的面积；（2）若sin A C ，求C .2. （20全国Ⅱ文17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ；（2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形．3.（20全国Ⅱ理 17）ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值．4.（20新高考Ⅰ17）在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B ，6C π=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．5.(20天津16)（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c === （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求πsin(2)4A +的值．6.(20浙江18)（本题满分14分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2sin 0b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．7.（20江苏16）（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒． （1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．8.（20全国Ⅱ理21）(12分)已知函数f (x )= sin 2x sin2x ．（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性； （2）证明: 33()f x ≤； （3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤34nn ．9.(20北京17)（本小题13分）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．参考答案：1.解：（1）由题设及余弦定理得2222832cos150c c =+-⨯︒，解得2c =-（舍去），2c =，从而a =ABC △的面积为12sin1502⨯⨯︒=（2）在ABC △中，18030A B C C =︒--=︒-，所以sin sin(30)sin(30)A C C C C =︒-=︒+，故sin(30)C ︒+=而030C ︒<<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒.2．解：（1）由已知得25sin cos 4A A +=，即21cos cos 04A A -+=． 所以21(cos )02A -=，1cos 2A =．由于0A <<π，故3A π=．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin B C A -．由（1）知23B C π+=，所以2sin sin()33B B ππ--．即11sin 22B B =，1sin()32B π-=．由于03B 2π<<，故2B π=．从而ABC △是直角三角形．3．解：（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，①由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅，② 由①，②得1cos 2A =. 因为0πA <<，所以2π3A =.（2）由正弦定理及（1）得sin sin sin AC AB BCB C A===从而AC B =，π)3cos AB A B B B =--=-.故π33cos 3)3BC AC AB B B B ++=++=++.又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值3+4．解：方案一：选条件①．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =．由①ac =1a b c ==．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 方案二：选条件②．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =，6B C π==，23A π=．由②sin 3c A =，所以6c b a ===．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c =方案三：选条件③．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =．由③c =，与b c =矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．5．（Ⅰ）解：在ABC △中，由余弦定理及5,a b c ===222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =．（Ⅱ）解：在ABC △中，由正弦定理及π,4C a c ===，可得sin sin 13a C A c ==．（Ⅲ）解：由a c <及sin A =cos A == 进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 113A A A A A ===-=．所以，πππ125sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=．6.（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin B A A ，故sin B =， 由题意得π3B =. （Ⅱ）由πA B C ++=得2π3C A =-， 由ABC △是锐角三角形得ππ(,)62A ∈.由2π1cos cos()cos 32C A A A =-=-得11π13cos cos cos cos sin()]22622A B C A A A ++++=++∈.故cos cos cos A B C ++的取值范围是3]2.7.解：（1）在ABC △中，因为3,45a c B ===︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b =+-⨯︒=，所以b =在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，，所以sin C =（2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角，而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角.故cos C =则sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠==，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠.从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯8．解：（1）()cos (sin sin 2)sin (sin sin 2)f x x x x x x x ''=+22sin cos sin 22sin cos2x x x x x =+ 2sin sin3x x =．当(0,)(,)33x π2π∈π时，()0f x '>；当(,)33x π2π∈时，()0f x '<． 所以()f x 在区间(0,),(,)33π2ππ单调递增，在区间(,)33π2π单调递减．（2）因为(0)()0f f =π=，由（1）知，()f x 在区间[0,]π的最大值为()3fπ=，最小值为()3f 2π=．而()f x 是周期为π的周期函数，故|()|f x ≤． （3）由于32222(sin sin 2sin 2)nx xx333|sin sin 2sin 2|n x xx =23312|sin ||sin sin 2sin 2sin 2||sin 2|n n n x x x x x x -= 12|sin ||()(2)(2)||sin 2|n n x f x f x f x x -=1|()(2)(2)|n f x f x f x -≤，所以22223333sin sin 2sin 2()4n nnn x xx ≤=．9.。

数 学C 单元 三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式17．C2 设a ∈R ，b ∈ 由sin(3x －π3)＝sin(3x －π3＋2π)＝sin(3x ＋5π3)，得(a ，b )＝(3，5π3).由sin(3x －π3)＝sin ＝sin(－3x ＋4π3)，得(a ，b )＝(－3，4π3).因为b ∈ 若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.456．D cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－191＋19＝45. 11．C2 sin 750°＝________．11.12 sin 750°＝sin (2×360°＋30°)＝sin 30°＝12. 14．C2，C5 已知θ是第四象限角，且sin θ＋π4＝35，则tan θ－π4＝________．14．－43 方法一：因为θ是第四象限角，且sin(θ＋π4)＝35>0，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos(θ＋π4)＝1－sin 2（θ＋π4）＝45，所以tan （θ－π4）＝tan （θ＋π4－π2）＝－cot （θ＋π4）＝－4535＝－43. 方法二：由sin （θ＋π4）＝35，得sin θ＋cos θ＝352，两边分别平方得2sin θcosθ＝－725，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝3225.因为θ是第四象限角，所以sin θ－cos θ＝－452，所以tan （θ－π4）＝tan θ－11＋tan θ＝sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝－452352＝－43. 15．C2、C5、C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A . (1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．15．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得a sin B ＝b sin A ，又由a sin 2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6. (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin ＝sin(A ＋B )＝sin(A ＋π6)＝32sinA ＋12cos A ＝26＋16. C3 三角函数的图象与性质4．B6，B7，C3 下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x4．D 选项A 中函数y ＝11－x ＝－1x －1在区间(－1，1)上是增函数；选项B 中函数y＝cos x 在区间(－1，0)上是增函数，在区间(0，1)上是减函数；选项C 中函数y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，1)上是增函数；选项D 中函数y ＝2－x＝(12)x 在区间(－1，1)上是减函数．4．C3 为了得到函数y ＝sin(x ＋π3)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度4．A 根据“左加右减”的原则，要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像，只需把y ＝sin x 的图像向左平移π3个单位长度．17．C3、C7 设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g （π6）的值．17．解：(1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sinx cos x )＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin （2x －π3）＋3－1.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是(k ∈Z )或（k π－π12，k π＋5π12）(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝2sin （2x －π3）＋3－1，把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin （x －π3）＋3－1的图像， 再把得到的图像向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图像， 即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g （π6）＝2sin π6＋3－1＝ 3.9．C3 定义在区间上的函数y ＝sin 2x 的图像与y ＝cos x 的图像的交点个数是________．9．7 方法一：令sin 2x ＝cos x ，即2sin x cos x ＝cos x ，解得cos x ＝0或sin x ＝12， 即x ＝k π＋π2或x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π(k ∈Z )，又x ∈，故x ＝π2，3π2，5π2或x ＝π6，5π6，13π6，17π6，共7个解，故两个函数的图像有7个交点．方法二：在同一个坐标系内画出这两个函数的图像，由图像可得交点有7个．16．C3，C5，C6 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．16．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin(2ωx ＋π4)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π4).函数y ＝sin x 的单调递增区间为(k ∈Z )， 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为(k ∈Z )．C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质3．C4 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像如图1­1所示，则( )图1­1A ．y ＝2sin （2x －π6）B ．y ＝2sin （2x －π3）C ．y ＝2sin （x ＋π6）D ．y ＝2sin （x ＋π3）3．A 由图知，A ＝2，最小正周期T ＝π，所以ω＝2ππ＝2，所以y ＝2sin(2x ＋φ)．又因为图像过点（π3，2），所以2sin （2×π3＋φ）＝2，即2π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，当k ＝0时，得φ＝－π6，所以y ＝2sin （2x －π6）.6．C4 将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y ＝2sin(2x ＋π4)B ．y ＝2sin(2x ＋π3)C ．y ＝2sin(2x －π4)D ．y ＝2sin(2x －π3)6．D 函数y ＝2sin(2x ＋π6)的周期为2π2＝π，将函数 y ＝2sin(2x ＋π6)的图像向右平移14个周期，即平移π4个单位，所得图像对应的函数为y ＝2sin ＝2sin(2x －π3).14．C4 函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝2sin x 的图像至少向右平移________个单位长度得到．14.π3 函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin （x －π3）的图像可由函数y ＝2sin x 的图像至少向右平移π3个单位长度得到．11．C4 已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________．11. 2 1 2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin （2x ＋π4）＋1，故A ＝2，b ＝1.5．C4 若函数f (x )＝4sin x ＋a cos x 的最大值为5，则常数a ＝________．5．±3 根据题意得f (x )＝16＋a 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a4，故函数f (x )的最大值为16＋a 2，则16＋a 2＝5，解得a ＝±3.12．C4，F3 如图1­1，已知点O (0，0)，A (1，0)，B (0，－1)，P 是曲线y ＝1－x 2上一个动点，则OP →·BA →的取值范围是________．图1­112． 由题意，设P (cos α，sin α)，α∈，则OP →＝(cos α，sin α)．又BA →＝(1，1)，所以OP →·BA →＝cos α＋sin α＝2sin(α＋π4)∈．C5 两角和与差的正弦、余弦、正切14．C2，C5 已知θ是第四象限角，且sin θ＋π4＝35，则tan θ－π4＝________．14．－43 方法一：因为θ是第四象限角，且sin(θ＋π4)＝35>0，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos(θ＋π4)＝1－sin 2（θ＋π4）＝45，所以tan （θ－π4）＝tan （θ＋π4－π2）＝－cot （θ＋π4）＝－4535＝－43. 方法二：由sin （θ＋π4）＝35，得sin θ＋cos θ＝352，两边分别平方得2sin θcosθ＝－725，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝3225.因为θ是第四象限角，所以sin θ－cos θ＝－452，所以tan （θ－π4）＝tan θ－11＋tan θ＝sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝－452352＝－43. 15．C2、C5、C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A . (1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．15．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得a sin B ＝b sin A ，又由a sin 2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6.(2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin ＝sin(A ＋B )＝sin(A ＋π6)＝32sinA ＋12cos A ＝26＋16. 15．C8、C5 在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos A －π6的值．15．解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－452＝35， 由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos(B ＋π4)＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210，因此cos(A －π6)＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.16．C3，C5，C6 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．16．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin(2ωx ＋π4)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π4).函数y ＝sin x 的单调递增区间为(k ∈Z )，由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为(k ∈Z )． C6 二倍角公式12．B12，C6，E3 若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．12．C 方法一：对函数f (x )求导得f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x＋53，因为函数f (x )在R 上单调递增，所以f ′(x )≥0，即－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0恒成立．设t ＝cos x ∈，则g (t )＝4t 2－3at －5≤0在上恒成立，所以有⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝4×（－1）2－3a ×（－1）－5≤0，g （1）＝4×12－3a ×1－5≤0，解得－13≤a ≤13. 方法二：取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23<0，不满足f (x )在(－∞，＋∞)单调递增，排除A ，B ，D ，故选C.6．C2、C6 若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.456．D cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－191＋19＝45. 11．C6 函数f (x )＝cos 2x ＋6cos π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．711．B 由已知得f (x )＝－2sin x －322＋112，而sin x ∈，所以当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.8．C6，C7 方程3sin x ＝1＋cos 2x 在区间上的解为________． 8.π6或5π6化简3sin x ＝1＋cos 2x 得3sin x ＝2－2sin 2x ，所以2sin 2x ＋3sin x －2＝0，解得sin x ＝12或sin x ＝－2(舍去)，所以原方程在区间上的解为π6或5π6.16．C3，C5，C6 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．16．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin(2ωx ＋π4)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π4).函数y ＝sin x 的单调递增区间为(k ∈Z )， 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为(k ∈Z )． C7 三角函数的求值、化简与证明8．C6，C7 方程3sin x ＝1＋cos 2x 在区间上的解为________． 8.π6或5π6化简3sin x ＝1＋cos 2x 得3sin x ＝2－2sin 2x ，所以2sin 2x ＋3sin x －2＝0，解得sin x ＝12或sin x ＝－2(舍去)，所以原方程在区间上的解为π6或5π6.17．C3、C7 设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g （π6）的值．17．解：(1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sinx cos x )＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin （2x －π3）＋3－1.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是(k ∈Z )或（k π－π12，k π＋5π12）(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝2sin （2x －π3）＋3－1，把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin （x －π3）＋3－1的图像， 再把得到的图像向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图像， 即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g （π6）＝2sin π6＋3－1＝ 3.C8 解三角形8．C8 △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4 D.π68．C ∵b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，∴2b 2sin A ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝2b 2cos A ，∴tan A ＝1，即A ＝π4.4．C8 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．34．D 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.9．C8 在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( )A.310 B.1010 C.55 D.310109．D 作AD ⊥BC 交BC 于点D ，设BC ＝3，则有AD ＝BD ＝1，AB ＝2，由余弦定理得AC ＝ 5.由正弦定理得5sinπ4＝3sin A ，解得sin A ＝3×225＝31010.14．C8、E6 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．14．8 方法一：∵sin A ＝2sin B sin C ，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sinC ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，两边同除以cos B cos C ，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ， tan A tan B tan C ＝－tan(B ＋C )tan B tan C ＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C·tan B tan C ＝2（tan B tan C ）2tan B tan C －1，由三角形为锐角三角形得tan B >0，tan C >0，tan A ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1>0，即tan B tan C－1>0.令tan B tan C －1＝t (t >0)，则tan A tan B tan C ＝2（t ＋1）2t ＝2t ＋1t＋2≥8，当t ＝1，即tan B tan C ＝2时取等号．方法二：同方法一可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋(1－tan B tan C )·tan(B ＋C )＝tan A －tan A ＋tanA tanB tanC ＝tan A tan B tan C ，所以tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ⇒tan A tan B tan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan B tan C ＝4时取等号．10．C8 已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．10.733 利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为32＋52－722×3×5＝－12，所以此角的正弦值为32.设三角形外接圆的半径为R ，由正弦定理得2R ＝732，所以R ＝733. 15．C8 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．15.2113 因为cos A ＝45，cos C ＝513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365.又因为a sin A ＝bsin B，所以b ＝a sin B sin A ＝2113.13．C8 在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________． 13．1 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得，3c 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，整理得(b c )2＋bc －2＝0，解得b c ＝1或b c＝－2(舍去)．15．C2、C5、C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A . (1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．15．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得a sin B ＝b sin A ，又由a sin 2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6. (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin ＝sin(A ＋B )＝sin(A ＋π6)＝32sinA ＋12cos A ＝26＋16. 16．E5 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．16．C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值．16．解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ， 故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ， 所以A ＝2B .(2)由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.15．C8、C5 在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos A －π6的值．15．解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－452＝35，由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos(B ＋π4)＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210，因此cos(A －π6)＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.14．C8、E6 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．14．8 方法一：∵sin A ＝2sin B sin C ，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sinC ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，两边同除以cos B cos C ，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ， tan A tan B tan C ＝－tan(B ＋C )tan B tan C ＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C·tan B tan C ＝2（tan B tan C ）2tan B tan C －1，由三角形为锐角三角形得tan B >0，tan C >0，tan A ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1>0，即tan B tan C－1>0.令tan B tan C －1＝t (t >0)，则tan A tan B tan C ＝2（t ＋1）2t ＝2t ＋1t＋2≥8，当t ＝1，即tan B tan C ＝2时取等号．方法二：同方法一可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋(1－tan B tan C )·tan(B ＋C )＝tan A －tan A ＋tanA tanB tanC ＝tan A tan B tan C ，所以tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ⇒tan A tan B tan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan B tan C ＝4时取等号． C9 单元综合8．C9 已知函数f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R .若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A ．(0，18]B ．(0，14]∪[58，1)C ．(0，58 ]D ．(0，18]∪[14，58]8．D f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12sin ωx －12cos ωx＝22sin(ωx －π4). 因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，所以T 2>2π－π，即πω>π，所以0<ω<1.当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4.若函数f (x )在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－π4<k π<2ωπ－π4(k ∈Z )，即k 2＋18<ω<k ＋14(k ∈Z )．当k ＝0时，18<ω<14；当k ＝1时，58<ω<54.所以函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点时，0<ω≤18或14≤ω≤58.18．C9 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .18．解：(1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ， 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以sin A sin B ＝sin C .(2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4.1. sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°＝( ) A. －32 B. －12 C. 32 D. 121. D sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°＝sin 18°·sin 78°＋cos 18°·cos 78°＝cos ()78°－18°＝cos 60°＝12.1. 要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像( )A. 向左平移π2个单位长度B. 向右平移π2个单位长度C. 向左平移π4个单位长度D. 向右平移π4个单位长度1. C 易知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6， 故把g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位长度，就可得到f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像．1. f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＋cos 2x 的振幅和最小正周期分别是( )A. 3，π2 B. 3，πC. 2，π2D. 2，π1. B f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＋cos 2x ＝12cos 2x －32sin 2x ＋cos 2x ＝32cos 2x －32sin2x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故振幅A ＝3，最小正周期T ＝2π2＝π.。

大题专项练(一)三角函数A组基础通关1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c cos B+(b-2a)cos C=0.(1)求角C的大小;(2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值.因为c cos B+(b-2a)cos C=0,所以sin C cos B+(sin B-2sin A)cos C=0,所以sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C,所以sin(B+C)=2sin A cos C.又因为A+B+C=π,所以sin A=2sin A cos C.又因为A∈(0,π),所以sin A≠0,所以cos C=12.又C∈(0,π),所以C=π3.(2)由(1)知,C=π3,所以c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab.又c=2,所以4=a2+b2-ab.又a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,所以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S△ABC)max=(12absinC)max=12×4×sinπ3=√3.2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°.(1)若∠AMB=60°,求BC ;(2)设∠DCM=θ,若MB=4MC ,求tan θ.由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°.在Rt △ABM 中,MB=2AM=4;在Rt △CDM 中,MC=2MD=2.在△MBC 中,由余弦定理,得BC 2=BM 2+MC 2-2BM ·MC ·cos ∠BMC=12,BC=2√3. (2)因为∠DCM=θ,所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°.在Rt △MCD 中,MC=1; 在Rt △MAB 中,MB=2sin (60°-θ),由MB=4MC ,得2sin(60°-θ)=sin θ, 所以√3cos θ-sin θ=sin θ, 即2sin θ=√3cos θ,整理可得tan θ=√32.3.已知向量m =(2a cos x ,sin x ),n =(cos x ,b cos x ),函数f (x )=m ·n -√32,函数f (x )在y 轴上的截距为√32,与y轴最近的最高点的坐标是(π12,1). (1)求函数f (x )的解析式;(2)将函数f (x )的图象向左平移φ(φ>0)个单位,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin x 的图象,求φ的最小值.f (x )=m ·n -√32=2a cos 2x+b sin x cos x-√32,由f (0)=2a-√32=√32,得a=√32,此时,f (x )=√3cos 2x+bsin 2x ,由f (x )≤√34+b24=1,得b=1或b=-1,当b=1时,f (x )=sin (2x +π3),经检验(π12,1)为最高点;当b=-1时,f (x )=sin (2x +2π3),经检验(π12,1)不是最高点.故函数的解析式为f (x )=sin (2x +π3).(2)函数f (x )的图象向左平移φ个单位后得到函数y=sin 2x+2φ+π3的图象,横坐标伸长到原来的2倍后得到函数y=sin x+2φ+π3的图象,所以2φ+π3=2k π(k ∈Z ),φ=-π6+k π(k ∈Z ),因为φ>0,所以φ的最小值为5π6.4.函数f (x )=A sin (ωx +π6)(A>0,ω>0)的最大值为2,它的最小正周期为2π.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若g (x )=cos x ·f (x ),求g (x )在区间[-π6,π4]上的最大值和最小值.由已知f (x )最小正周期为2π,所以2πω=2π,解得ω=1. 因为f (x )的最大值为2,所以A=2,所以f (x )的解析式为f (x )=2sin (x +π6).(2)因为f (x )=2sin (x +π6)=2sin x cos π6+2cos x sin π6=√3sin x+cos x ,所以g (x )=cos x ·f (x )=√3sin x cos x+cos 2x=√32sin 2x+1+cos2x2=sin (2x +π6)+12.因为-π6≤x ≤π4,所以-π6≤2x+π6≤2π3,于是,当2x+π6=π2,即x=π6时,g (x )取得最大值32;当2x+π6=-π6,即x=-π6时,g (x )取得最小值0. 5.已知函数f (x )=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的一系列对应值如表:(1)求f (x )的解析式;(2)若在△ABC 中,AC=2,BC=3,f (A )=-12(A 为锐角),求△ABC 的面积.由题中表格给出的信息可知,函数f (x )的周期为T=3π4−(-π4)=π,所以ω=2ππ=2.注意到sin(2×0+φ)=1,也即φ=π2+2k π(k ∈Z ), 由0<φ<π,所以φ=π.所以函数的解析式为f (x )=sin (2x +π2)=cos 2x.(2)∵f (A )=cos 2A=-12,且A 为锐角,∴A=π3.在△ABC 中,由正弦定理得,BC sinA=ACsinB, ∴sin B=AC ·sinABC=2×√323=√33,∵BC>AC ,∴B<A=π3,∴cos B=√63,∴sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=√3×√6+1×√3=3√2+√3, ∴S △ABC =12·AC ·BC ·sin C=12×2×3×3√2+√36=3√2+√32. 6.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,C=π4,b=4,△ABC 的面积为6. (1)求c 的值; (2)求cos(B-C )的值.已知C=π4,b=4,因为S △ABC =1ab sin C ,即6=12×4a ×√22,解得a=3√2,由余弦定理,得c 2=b 2+a 2-2ab cos C=10,解得c=√10.(2)由(1)得cos B=a 2+c 2-b22ac=√55,由于B 是三角形的内角,得sin B=√1-cos 2B =2√55,所以cos(B-C )=cos B cos C+sin B sin C=√55×√22+2√55×√22=3√1010.B 组 能力提升7.如图,在凸四边形ABCD 中,C ,D 为定点,CD=√3,A ,B 为动点,满足AB=BC=DA=1.(1)写出cos C 与cos A 的关系式;(2)设△BCD 和△ABD 的面积分别为S 和T ,求S 2+T 2的最大值.在△BCD 中,由余弦定理,得BD 2=BC 2+CD 2-2·BC ·CD cos C=4-2√3cos C ,在△ABD 中,BD 2=2-2cos A ,所以4-2√3cos C=2-2cos A ,即cos A=√3cos C-1.(2)S=12·BC ·CD ·sin C=√3·sinC2,T=12AB ·AD sin A=12sin A ,所以S 2+T 2=34sin 2C+14sin 2A=34(1-cos 2C )+14(1-cos 2A )=-32cos 2C+√32cos C+34=-32(cosC -√36)2+78.由题意易知,C ∈(30°,90°),所以cos C ∈(0,√32),当cos C=√36时,S 2+T 2有最大值78.8.某城市在进行规划时,准备设计一个圆形的开放式公园.为达到社会和经济效益双丰收,园林公司进行如下设计,安排圆内接四边形ABCD 作为绿化区域,其余作为市民活动区域.其中△ABD 区域种植花木后出售,△BCD 区域种植草皮后出售,已知草皮每平方米售价为a 元,花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍.若BC=6 km,AD=CD=4 km .(1)若BD=2√7 km,求绿化区域的面积;(2)设∠BCD=θ,当θ取何值时,园林公司的总销售金额最大.在△BCD 中,BD=2√7,BC=6,CD=4,由余弦定理,得cos ∠BCD=BC 2+CD 2-BD 22BC ·CD=62+42-(2√7)22×6×4=12.因为∠BCD ∈(0°,180°),所以∠BCD=60°, 又因为A ,B ,C ,D 四点共圆, 所以∠BAD=120°.在△ABD 中,由余弦定理,得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos ∠BAD , 将AD=4,BD=2√7代入化简,得AB 2+4AB-12=0, 解得AB=2(AB=-6舍去).所以S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =12×2×4sin 120°+12×4×6sin 60°=8√3(km 2), 即绿化空间的面积为8√3 km 2.(2)在△BCD 、△ABD 中分别利用余弦定理得 BD 2=62+42-2×6×4cos θ, ① BD 2=AB 2+42-2×4AB cos(π-θ),②联立①②消去BD ,得AB 2+8AB cos θ+48cos θ-36=0, 得(AB+6)(AB+8cos θ-6)=0, 解得AB=6-8cos θ(AB=-6舍去).因为AB>0,所以6-8cos θ>0,即cos θ<34.S △ABD =12AB ·AD sin(π-θ)=12(6-8cos θ)×4sin θ=12sin θ-16sin θcos θ,S △BCD =12BC ·CD sinθ=12×6×4sin θ=12sin θ.因为草皮每平方米售价为a 元,则花木每平方米售价为3a 元,设销售金额为y 百万元. y=f (θ)=3a (12sin θ-16sin θcos θ)+12a sin θ=48a (sin θ-sin θcos θ),f'(θ)=48a (cos θ-cos 2θ+sin 2θ)=48a (-2cos 2θ+cos θ+1)=-48a (2cos θ+1)(cos θ-1),令f'(θ)>0,解得-12<cos θ<1,又cos θ<34,不妨设cos θ0=34,则函数f (θ)在(θ0,2π3)上为增函数; 令f'(θ)<0,解得cos θ<-12,则函数f (θ)在(2π3,π)上为减函数,所以当θ=2π3时,f (θ)max =36√3a.答:(1)绿化区域的面积为8√3 km 2;(2)当θ=2π3时,园林公司的销售金额最大,最大为36√3a 百万元.。

20xx 高考试题分类汇编：4：三角函数一、选择题1.【20xx 高考安徽文7】要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象 （A ） 向左平移1个单位 （B ） 向右平移1个单位 （C ） 向左平移 12个单位 （D ） 向右平移12个单位 【答案】C【解析】 cos 2cos(21)y x y x =→=+左+1，平移12。

2.【20xx 高考新课标文9】已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4 【答案】A 【解析】因为4π=x 和45π=x 是函数图象中相邻的对称轴，所以2445T=-ππ，即ππ2,2==T T .又πωπ22==T ，所以1=ω，所以)sin()(ϕ+=x x f ，因为4π=x 是函数的对称轴所以ππϕπk +=+24，所以ππϕk +=4，因为πϕ<<0，所以4πϕ=，检验知此时45π=x 也为对称轴，所以选A. 3.【20xx 高考山东文8】函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2 (B)0 (C)－1 (D)1-【答案】A【解析】因为90≤≤x ，所以6960ππ≤≤x ，369363πππππ-≤-≤-x ，即67363ππππ≤-≤-x ，所以当336πππ-=-x 时，最小值为3)3s in (2-=-π，当236πππ=-x 时，最大值为22sin2=π，所以最大值与最小值之和为32-，选A.4.【20xx 高考全国文3】若函数()sin([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ （A ）2π（B ）32π （C ）23π （D ）35π【答案】C【解析】函数)33sin(3sin )(ϕϕ+=+=x x x f ，因为函数)33sin()(ϕ+=x x f 为偶函数，所以ππϕk +=23，所以Z k k ∈+=,323ππϕ,又]2,0[πϕ∈，所以当0=k 时，23πϕ=，选C. 5.【20xx 高考全国文4】已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）2524【答案】B【解析】因为α为第二象限，所以0cos <α，即54sin 1cos 2-=--=αα，所以25125354cos sin 22sin -=⨯-==ααα，选B.6.【20xx 高考重庆文5】sin 47sin17cos30cos17-（A ）2-（B ）12-（C ）12（D ）2 【答案】C【解析】sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos30sin17sin17cos30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====，选C.7.【20xx 高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】由题意，y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即解析式为y=cosx+1，向左平移一个单位为y=cos （x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos （x-1)，利用特殊点,02π⎛⎫⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，选A. 8.【20xx 高考上海文17】在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定【答案】A【解析】根据正弦定理可知由C B A 222sin sin sin <+,可知222c b a <+，在三角形中02cos 222<-+=abc b a C ，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形，选A.9.【20xx 高考四川文5】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）（1）10B 、10C 、10D 、15【答案】B【解析】 2EB EA AB =+=，EC ===3424EDC EDA ADC πππ∠=∠+∠=+=，由正弦定理得sin sin 5CED DC EDC CE ∠===∠，所以3sin sin sin 4CED EDC π∠=∠==10.【20xx 高考辽宁文6】已知sin cos αα-=α∈(0，π)，则sin 2α=(A) -1 (B) 2- (C) 2(D) 1 【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。

15．（全国I 卷）将函数y =2sin (2x +π6)旳图像向右平移14个周期后，所得图像对应旳函数为（ ）（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)16．（沪春招）既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减旳函数是（ ） （A ）sin y x = （B ）cos y x = （C ）sin 2y x = （D ）cos 2y x =17.（四川）函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)旳部分图象如图所示，则ω，φ旳值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π318.(四川理) 为了得到函数sin(21)y x =+旳图象，只需把函数sin 2y x =旳图象上所有旳点（ ）A 、向左平行移动12个单位长度 B 、向右平行移动12个单位长度 C 、向左平行移动1个单位长度 D 、向右平行移动2个单位长度19.（全国II 卷）函数=sin()y A x ωϕ+旳部分图像如图所示，则（ ）（A ）2sin(2)6y x π=- （B ）2sin(2)3y x π=- （C ）2sin(2+)6y x π= （D ）2sin(2+)3y x π=20.(天津文) 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上旳最小值为( )47[,]34 12[,]43 47[,]34 13[,]34天津文) 将函数（其中ω>0）旳图象向右平移4π个单位长度，所得图象通过点0），则ω旳最小值是（A ）13（B ）1 C ）53（D ）229.(新标) 已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

则ω旳取值范围是（ ）()A 15[,]24 ()B 13[,]24 ()C 1(0,]2()D (0,2]30.(新标文) 已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象旳两条相邻旳对称轴，则ϕ=（ ）（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π431、(天津卷文)设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><．若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 旳最小正周期不小于2π，则（A ）2π,312ωϕ==（B ）211π,312ωϕ==- （C ）111π,324ωϕ==-（D ）17π,324ωϕ==32.(新标1文) 在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π旳所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③ 33．（安徽）若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭旳图象向右平移ϕ个单位，所得图象有关y 轴对称，则ϕ旳最小正值是________.34.（福建文）函数)4sin()(π-=x x f 旳图象旳一条对称轴是（ ）A ．4π=x B ．2π=x C ．4π-=x D ．2π-=x35.（江苏）函数)42sin(3π+=x y 旳最小正周期为 。

文科人教版数学三角函数复习资料姓名：院、系：数学学院专业: 数学与应用数学8．[2019·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π28．C [解析]tan α＝1＋sin βcos β＝⎝⎛⎭⎫cos β2＋sin β2cos2β2－sin2β2＝cos β2＋sin β2cos β2－sin β2＝1＋tanβ21－tanβ2＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋β2，因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以π4＋β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2且tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋β2，所以α＝π4＋β2，即2α－β＝π2.16．[2019·新课标全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a＝2，且(2＋b )·(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．16.3 [解析]根据正弦定理和a ＝2可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，故得b 2＋c 2－a 2＝bc ，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3.根据b 2＋c 2－a 2＝bc 及基本不等式得bc≥2bc －a 2，即bc ≤4，所以△ABC 面积的最大值为12×4×32＝ 3.[2019·新课标全国卷2]4.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2，则AC=( )A. 5B.5C. 2D. 1【答案】B【解】[2019·新课标全国卷2]14.函数()()()s i n 22s i n co s f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. 【答案】1 【解析】[2019·新课标全国卷1]15.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______15．【解析】∵()f x =sin 2cos x x -=5255(sin cos )55x x - 令cos ϕ=55，25sin 5ϕ=-，则()f x =5(sin cos sin cos )x x ϕϕ+=5sin()x ϕ+，当x ϕ+=2,2k k z ππ+∈，即x =2,2k k z ππϕ+-∈时，()f x 取最大值，此时θ=2,2k k z ππϕ+-∈，∴cos θ=cos(2)2k ππϕ+-=sin ϕ=255-. [2019·新课标全国卷1]17.（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB=3，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°(1)若PB=12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠P BA17．【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=o60，∴∠PBA=30o，在△PBA 中，由余弦定理得2PA =o 11323cos3042+-⨯⨯=74，∴PA=72； （Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得，PB=sin α，在△PBA 中，由正弦定理得，o o3sin sin150sin(30)αα=-，化简得，3cos 4sin αα=， (2019课标全国Ⅱ，理15)设θ为第二象限角，若π1tan 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin θ＋cos θ＝__________.15．答案：105-解析：由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得tan θ＝13-，即sin θ＝13-cos θ. 将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得210cos 19θ=.因为θ为第二象限角，所以cos θ＝31010-，sin θ＝1010，sin θ＋cos θ＝105-.17．(2019课标全国Ⅱ，理17)(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值 17．解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ．① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B ， 又B ∈(0，π)，所以π4B =. (2)△ABC 的面积12sin 24S ac B ac ==.由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－π2cos 4ac . 又a 2＋c 2≥2ac ，故422ac ≤-，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2+1.[2019新课标全国卷]（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

2015《三角函数》高考真题总结1．(2015·四川卷5)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A ．y ＝sin (2x ＋π2)B ．y ＝cos (2x ＋π2) C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x2．(2015·陕西卷9)设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数 3．（2015·北京卷3）下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x 4．（2015·安徽卷4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ．y ＝ln xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝sin xD ．y ＝cos x5．(2015·广东卷3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin 2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x＋12x D ．y ＝x 2＋sin x6．(2015·广东卷5)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．22C ．2 D.37．（2015·福建卷6）若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－5128．（2015·重庆卷6）若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则 tan β＝( )A.17B.16C.57D.569.（2015·山东卷4）要得到函数y ＝sin(4x －π3)的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位10.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )(2015·新课标8)A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 11.(2015·江苏卷8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．12.（2015·北京卷11）在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________.13.（2015·安徽卷12）在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.14.(2015·福建卷14)若△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC＝___________．15.（2015·四川卷13）已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．16.（2015·重庆卷13）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝__________. 17.(2015·浙江卷11)函数f (x )＝sin 2 x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．18.(2015·湖北卷13)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为__________19.（2015·湖南卷15）已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.20．(2015·陕西卷17)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a, 3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．21.(2015·浙江卷16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan(π4＋A )＝2.(1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．22.(2015·江苏卷15)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.(1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．23.(2015·广东卷16)已知tan α＝2.(1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．24.(2015·湖南卷17)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .25.(2015·新课标I 卷17)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．26.(2015·天津卷16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6的值．27．(2015·新课标Ⅱ卷17)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.(1)求sin Bsin C；(2)若∠BAC＝60°，求∠B.28.（2015·山东卷17）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B＝33，sin(A＋B)＝69，ac＝23，求sin A和c的值．29.(2015·四川卷19)已知A，B，C为△ABC的内角，tan A，tan B是关于x的方程x2＋3px－p＋1＝0(p∈R)的两个实根．(1)求C的大小；(2)若AB＝3，AC＝6，求p的值．30.（2015·安徽卷16）已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．31．（2015·北京卷15）已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0，2π3]上的最小值．32.(2015·重庆卷18)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求g (x )的值域．33．(2015·湖北卷18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)．．．．．．．．．．．，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．34.(2015·福建卷21)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a >0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2.①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0.2015《三角函数》高考真题答案1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】D6.【解析】由余弦定理得：，及，可得7.【答案】D 【解析】由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==，则sin tan cos ααα=512=- 8.【答案】A 【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯9.【答案】B 【解析】因为sin(4)sin 4()312y x x ππ=-=-，所以，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位，故选B .10.【答案】D11.【答案】3【解析】12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 12.【解析】由正弦定理，得sin sin a b A B =，=所以sin B =所以4B π∠=. 13.【解析】由三角形内角和和正弦定理可知：14.οοοο45sin )]4575(180sin[ACAB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC οο【解析】由题意得0018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BCB A=，则sin sin AC ABC B=，所以BC ==．15.【答案】－1【解析】由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－22sinαcosα－cos 2α＝22222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα----===-+++16.【答案】4【解析】由3sin 2sin A B =及正弦定理知：32a b =,又因为2a =,所以2b =， 由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以4c =;17.【答案】π 【解析】()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+3)42x π=-+，所以22T ππ==；min 3()2f x =. 18.【答案】2 19.【答案】2πω=【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为12211154242k k k k Z ππππωω+++-∈（（，），（（，），， , 距离最短的两个交点一定在同一个周期内，(22221522442πππωω∴=-+--∴=（）（）， .20.试题解析：(I)因为//m n u r r，所以sin cos 0a B A -=由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A =，又sin 0B ≠，从而tan A =，由于0A π<< 所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为1sin 2bc A =.2sin B=从而sin B =又由a b >知A B >，所以cos B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =. 21.【答案】(1)25；(2)9 试题解析：(1)由tan(A)24π+=，得1tan 3A =，所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.(2)由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 22.【答案】（1（223.【答案】（1）；（2）．（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭- （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+- 22tan tan tan 2ααα=+-222222⨯=+-1=24.【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C ===o o o25.【答案】（I ）14（II ）1 试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac =. 又a b =，可得2b c =,2a c =,由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==.（II ）由(1)知22b ac =.因为B =90°，由勾股定理得222a c b +=.故222a c ac +=，得c a == 所以D ABC 的面积为1.26.【答案】（I ）a =8,sin C =（II试题解析:（I ）△ABC 中,由1cos ,4A =-得sin A = 由1sin 2bc A =,得24,bc = 又由2,b c -=解得6, 4.b c == 由2222cos a b c bc A =+- ,可得a =8.由sin sin a cA C=,得sin C =(2))2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,=27.【解析】（I ）由正弦定理得因为AD 平分BAC ,BD =2DC ,所以.（II ）因为 所以 由（I ）知, 所以 28.【解析】在ABC ∆中，由cos B =sin B = 因为A B C π++=，所以sin sin()C A B =+=， 因为sin sin C B <，所以C B <，C为锐角，cos C =因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=+=. 由,sin sin a cA C =可得sin sin c A a C ===，又ac =，所以1c =. ,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD ==∠∠∠∠∠sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=oo()1sin sin sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠2sin sin B C ∠=∠tan 30.3B B ∠=∠=o29.【解析】(Ⅰ)由已知，方程x 2px －p ＋1＝0的判别式 △＝p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0所以p ≤－2或p ≥23由韦达定理，有tanA ＋tanB，tanAtanB ＝1－p 于是1－tanAtanB ＝1－(1－p )＝p ≠0 从而tan (A ＋B )＝tan tan 1tan tan A B A B +==-所以tanC ＝－tan (A ＋B )所以C ＝60° (Ⅱ)由正弦定理，得sinB＝sin AC C AB ==解得B ＝45°或B ＝135°(舍去) 于是A ＝180°－B －C ＝75°则tan A ＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==+- 所以p(tanA ＋tanB )＋1)＝－130.【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅰ）最大值为1+，最小值为0 【解析】（Ⅰ）x x x x x x x x f 2cos 2sin 12cos cos sin 2cos sin )(22++=+++=1)42sin(2++=πx所以函数)(x f 的最小正周期为ππ＝＝22T . （Ⅰ）由（Ⅰ）得计算结果，1)42sin(2)(++=πx x f当]2,0[π∈x 时，]45,4[42πππ∈+x由正弦函数x y sin =在]45,4[ππ上的图象知，当242ππ=+x ，即8π=x 时，)(x f 取最大值12+；当4542ππ=+x ，即4π=x 时，)(x f 取最小值0.综上，)(x f 在[0,]2π上的最大值为12+，最小值为0.31.解析（Ⅰ）∵()f x =x sin +3cos x －3=2sin (x +3π)－3 ∴()f x 的最小正周期为2π.（Ⅱ）∵203x π≤≤，∴33x πππ≤+≤. 当3x ππ+=，即23x π=时，()f x 取得最小值.∴()f x 在区间2[0,]3π上的最小值为2()3f π=.32.【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为p ，最小值为-（Ⅱ）.试题解析： (1) 211()sin 2sin 2cos 2)22f x x x x x =-=-+1sin 22sin(2)23x x x p =--=--,因此()f x 的最小正周期为p ，最小值为-.(2)由条件可知：g()sin()3x x p =--. 当[,]2x p p Î时，有2[,]363x p p p-?， 从而sin()3x p -的值域为1[,1]2，那么sin()3x p --的值域为.故g()x 在区间[,]2pp上的值域是.33.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：5A =，32ππωϕ+=，5362ππωϕ+=，解得π2,6ωϕ==-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.34.【解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即． 由知，存在，使得． 由正弦函数的性质可知，当时，均有． 因为的周期为，所以当（）时，均有． 2π()10sin 8g x x =-0x ()00g x >0x 010sin 80x ->04sin 5x >452<003πα<<04sin 5α=()00,x απα∈-4sin 5x >sin y x =2π()002,2x k k παππα∈++-k ∈Z 4sin 5x >因为对任意的整数，，所以对任意的正整数，都存在正整数000(2,2)x k k παππα∈++-，使得04sin 5x >．亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得．k ()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>k 0x ()00g x >。

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.83(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.24(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1B.23-1C.32D.1-35(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.46(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.327(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f (x )=sin2x 和g (x )=sin 2x -π4，下列说法正确的有()A.f (x )与g (x )有相同的零点B.f (x )与g (x )有相同的最大值C.f (x )与g (x )有相同的最小正周期D.f (x )与g (x )的图像有相同的对称轴9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，则sin (α+β)=.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x -3cos x 在0,π 上的最大值是．2024年高考真题汇总一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.22(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.783(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f (x )=(3sin x +cos x )cos x -12，若f (x )在区间-π4,m 上的值域为-32,1，则实数m 的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π125(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cos ωx x ∈R 在0,π 内恰有两个对称中心，f π =1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若f α +g α =35，则cos 4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-19256(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f (x )=sin2ωx +cos2ωx (ω>1)的一个零点是π2，且f (x )在-π6,π16 上单调，则ω=()A.54 B.74C.94D.1147(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin 2x +φ ϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0 ，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π29(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sinωx+3cosωx(ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y=f x -2logπx有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y=f x+φ为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y=f x 在0,π3上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y=f x 在0,π上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256 .A.1B.2C.3D.410(2024·河北保定·二模)已知tanα=3cosαsinα+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-7911(2024·河北衡水·三模)已知sin(3α-β)=m sin(α-β)，tan(2α-β)=n tanα，则m，n的关系为()A.m=2nB.n=m+1m C.n=mm-1D.n=m+1m-112(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin2α2+sinα的值是()A.25B.45C.65D.8513(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sinα+β=2cosα+β，sinαsinβ-3cosαcosβ=0，则tanα-β=()A.-1B.-32C.-12D.12二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-30815(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-1219(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为1222(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.25(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.。