惠州市2020新高考高一数学下学期期末综合测试试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知1e ，2e 是两个单位向量，且夹角为23π，则12e te -与12te e -数量积的最小值为（ ） A ．32B ．32-C ．12D ．12-2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos a B b A c C ，2CB =，则CB在CA 方向上的投影为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．甲、乙、丙、丁4名田径选手参加集训，将挑选一人参加400米比赛，他们最近10次测试成绩的平均数和方差如下表；根据表中数据，应选哪位选手参加比赛更有机会取得好成绩？（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 59 57 59 57 方差 121210 10A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．直线330x y -+=的倾斜角是( ) A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 5．已知直线()1:3453l a x y a ++=-与()2:258l x a y ++=平行，则a 等于( ) A ．7-或1-B ．7或1C ．7-D ．1-6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1a =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．27．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．已知集合{|2}A x x =<，{|320}B x x =->，则（ ） A ．3|2A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭B ．{|2}A B x x ⋂=<C ．3|2A B x x ⎧⎫⋃=<⎨⎬⎩⎭D ．A B R =9．已知水平放置的ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中1B O C O ''''==，3A O ''=，那么原ABC 中ABC ∠的大小是（ ）．A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒10．在ABC 中，AB 2=，πC 6=，则AC 3BC +的最大值为( ) A ．47B ．37C ．27D 711．设*n N ∈，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件12．若0,0,a b c d >><<则一定有（ ） A ．a b c d> B ．a b c d< C ．a b d c> D ．a b d c< 二、填空题：本题共4小题13．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 14．设x 为实数，[]x 为不超过实数x 的最大整数，如[]2.662=，[]2.663-=-.记{}[]x x x =-，则{}x 的取值范围为[)0,1，现定义无穷数列{}n a 如下：{}1a a =，当0n a ≠时，11n n a a +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当0n a =时，10n a +=，若3a =2019a =________.15．如图为函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2ϕπ<，x ∈R ）的部分图像，则()y f x =函数解析式为________16．已知向量a 与b 的夹角为60︒ ，且1a =，2=b ；则⋅=a b __________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

广东省惠州市2020年高一下学期数学期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三上·九江开学考) 在平面直角坐标系中，点O（0，0），P（4，3），将向量绕点O 按顺时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是（）A . （，）B . （，）C . （，）D . （，）2. （2分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A . 7B . 9C . 10D . 153. （2分）某数学兴趣小组有3名男生和2名女生，从中任选出2名同学参加数学竞赛，那么对立的两个事件是（）A . 恰有1名男生与恰有2名女生B . 至少有1名男生与全是男生C . 至少有1名男生与至少有1名女生D . 至少有1名男生与全是女生4. （2分） (2018高一下·阿拉善左旗期末) 已知，且，则（）A .B .C .D .5. （2分）为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50m．由此可推断我国13岁男孩的平均身高为（）A . 1.57mB . 1.56mC . 1.55mD . 1.54m6. （2分）表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t 的值为（）x3456y 2.5t4 4.5A . 3B . 3.15C . 3.5D . 4.57. （2分）如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f（x）=sinxcosx；②f（x）=2sin（x+）；③f（x）=sinx+cosx；④f（x）=sin2x+1．其中“同簇函数”的是（）A . ①②B . ①④C . ②③D . ③④8. （2分） (2016高一下·太谷期中) 已知ABCD为矩形，E是DC的中点，且 = ， = ，则=（）A .B .C .D .9. （2分）设不等式组表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于的概率是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高三上·闽侯期中) 某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是（）A .B .C .D .11. （2分）甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）A . 21.5分钟B . 分钟C . 分钟D . 2.15分钟12. （2分）已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，那么的最小值等于.（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高三上·潍坊期末) 已知平面向量，，若，则=________．14. （1分） (2017高三上·湖南月考) 若的展示式中的系数为4，则________．15. （1分）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数能被3整除的概率为________．16. （1分） (2019高三上·瓦房店月考) 已知函数（）为奇函数，是其图像上两点，若的最小值是，则 ________三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2018高一上·海安月考) 如图，在四边形中，．（1）若△ 为等边三角形，且，是的中点，求；（2）若，，，求．18. （15分） (2017高一上·山西期末) 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y1：12：13：44：519. （5分）已知sinθ+cosθ= ，θ∈（0，π），求tanθ的值．20. （10分）在△ 中，角的对边分别为、、，完成下列问题：（1）若，求证：；（2）若，求的最大值．21. （15分）(2018·朝阳模拟) 某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治选考方案确定的有8人884211男生选考方案待确定的有6人430100选考方案确定的有10人896331女生选考方案待确定的有6人541001（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（2）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；（3）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量求的分布列及数学期望．22. （10分）(2018·徐州模拟) 某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图 1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°而成，如图 2.已知圆的半径为，设，圆锥的侧面积为 .（1）求关于的函数关系式；（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积最大.求取得最大值时腰的长度.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。

广东省惠州市2019-2020学年高一下期末综合测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若直线22(0,0)mx ny m n -=->>被圆222410x y x y ++-+=截得弦长为4，则41m n+的最小值是（ ） A ．9 B ．4 C ．12D ．14【答案】A 【解析】 【分析】圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心在已知直线上，代入圆心坐标得,m n 满足的关系，用“1”的代换结合基本不等式求得41m n+的最小值． 【详解】圆标准方程为22(1)(2)4x y ++-=，圆心为(1,2)C -，半径为2r，直线被圆截得弦长为4，则圆心在直线上，∴222m n --=-，1m n +=， 又0,0m n >>， ∴41414()()5n m m n m n m n m n +=++=++59≥+=，当且仅当4n m m n =，即21,33m n ==时等号成立． ∴41m n+的最小值是1． 故选：A ． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题时需根据直线与圆的位置关系求得,m n 的关系1m n +=，然后用“1”的代换法把41m n+凑配出可用基本不等式的形式，从而可求得最值． 2．已知直线l 经过()2,1A ，()1,3B -两点，则直线l 的斜率为 A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】C 【解析】 【分析】由两点法求斜率的公式2121y y k x x -=-可直接计算斜率值．【详解】直线l 经过()2,1A ，()1,3B -两点，∴直线l 的斜率为312123-=---.【点睛】本题考查用两点法求直线斜率，属于基础题．3．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A ．2B ．2C ．2-D ．2-【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为AB CD CD⋅==，故选A ．4．在等比数列{}n a 中，11a =，2q ，16n a =，则n 等于()A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】直接利用等比数列公式计算得到答案. 【详解】111216,5n n n a a q n --====故选：C 【点睛】本题考查了等比数列的计算，属于简单题.5．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B 【解析】 【分析】根据Y aX b =+，则2()()D Y a D X =即可求解. 【详解】因为样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，21(1,2,10)i i y x i =-=所以1y ，2y ，…，10y 的方差为()(21)4()8D y D x D x =-==，故选B. 【点睛】本题主要考查了方差的概念及求法，属于容易题. 6．若数列{a n }是等比数列，且a n ＞0，则数列*12()n n n b a a a n N =⋅⋅∈也是等比数列. 若数列{}n a 是等差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为( ).A ．12nn a a a b n⋅⋅⋅=是等差数列B ．12...nn a a a b n+++=是等差数列C ．12n n n b a a a =⋅⋅⋅是等差数列D ．12nnn a a a b n+++=是等差数列【答案】B 【解析】试题分析：本题是由等比数列与等差数列的相似性质，推出有关结论：由“等比”类比到“等差”，由“几何平均数”类比到“算数平均数”；所以，所得结论为是等差数列.考点：类比推理.7．已知等差数列｛a n ｝的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于 A ．－10 B ．－8C ．－6D ．－4 【答案】C 【解析】试题分析：有题可知，a 1，a 3，a 4成等比数列，则有，又因为｛a n ｝是等差数列，故有，公差d=2，解得；考点：•等差数列通项公式 等比数列性质8．在空间中，给出下列说法：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；④过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ） A ．①③ B ．②④C ．①④D ．②③【答案】B 【解析】 【分析】说法①：可以根据线面平行的判定理判断出本说法是否正确；说法②：根据线面垂直的性质和面面平行的判定定理可以判断出本说法是否正确；说法③：当α与β相交时，是否在平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，进行判断；说法④：可以通过反证法进行判断.【详解】①平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知②正确；③若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知④正确.故选B.【点睛】本题考查了线线位置关系、面面位置关系的判断，分类讨论是解题的关键，反证法是经常用到的方程. 9．已知x，y是两个变量，下列四个散点图中，x，y虽负相关趋势的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由图可知C选项中的散点图描述了y随着x的增加而减小的变化趋势，故选C10．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为1．则它的弧长为（）A．53πB．23πC．52πD．2π【答案】C【解析】【分析】直接利用扇形弧长公式求解即可得到结果. 【详解】由扇形弧长公式得：55362 L rππα==⨯=本题正确选项：C 【点睛】本题考查扇形弧长公式的应用，属于基础题.11．如图所示，某汽车品牌的标志可看作由两个同心圆构成，其中大、小圆的半径之比为3:2，小圆内部被两条互相垂直的直径分割成四块.在整个图形中任选一点，则该点选自白色部分的概率为（ ）A ．23πB ．29C ．8π D ．12【答案】B 【解析】 【分析】设大圆半径为3r ，小圆半径为2r ，求出白色部分面积和大圆面积，由几何概型概率公式可得． 【详解】设大圆半径为3r ，小圆半径为2r ，则整个图形的面积为29S r π=，白色部分的面积为221422S r r ππ=⨯=白，所以所求概率29S P S ==白.故选：B. 【点睛】本题考查几何概型，考查面积型的几何概型，属于基础题．12．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是 A ．两次都中靶 B ．至少有一次中靶 C ．两次都不中靶 D ．只有一次中靶 【答案】A 【解析】 【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解． 【详解】一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是两次都中靶． 故选：A ． 【点睛】本题考查互事件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用． 二、填空题：本题共4小题13．关于函数f （x ）=4sin （2x+）（x ∈R ），有下列命题：①y=f （x ）的表达式可改写为y=4cos （2x ﹣）；②y=f （x ）是以2π为最小正周期的周期函数； ③y=f （x ）的图象关于点对称； ④y=f （x ）的图象关于直线x=﹣对称．其中正确的命题的序号是 ． 【答案】①③ 【解析】 【分析】 【详解】∵f （x ）=4sin （2x+）=4cos （）=4cos （﹣2x+）=4cos （2x ﹣），故①正确；∵T=，故②不正确； 令x=﹣代入f （x ）=4sin （2x+）得到f （﹣）=4sin （+）=0，故y=f （x ）的图象关于点对称，③正确④不正确；故答案为①③．14．已知四面体ABCD 的四个顶点均在球O 的表面上，AB 为球O 的直径，4,2AB AD BC ===，四面体ABCD 的体积最大值为____ 【答案】2 【解析】 【分析】AB 为球O 的直径，可知ABD ∆与ABC ∆均为直角三角形，求出点C 到直线AB 3可知点C 在球上的运动轨迹为小圆. 【详解】如图所示，四面体ABCD 内接于球O ，AB 为球O 的直径，2ADB ACB π∴∠=∠=，4,2AB AD BC ===，23BD AC ∴==C 作CE AB ⊥于E ，∴11223322AB CE BC AC CE ⋅⋅=⋅⇒=∴点C 在以E 为圆心，3CE =当面ABD ⊥面ABC 时，四面体ABCD 的体积达到最大，max 11111()(232)3233232ABD V S CE BD AD CE ∆∴=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=.【点睛】立体几何中求最值问题，核心通过直观想象，找到几何体是如何变化的？本题求解的突破口在于找到点C 的运动轨迹，考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力.15．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 【答案】2 【解析】试题分析：设扇形圆心角的弧度数为α， 则扇形面积为S=12αr 2=12α×22=4 解得：α=2考点：扇形面积公式．16．8-和2的等差中项的值是______. 【答案】3- 【解析】 【分析】根据等差中项性质求解即可 【详解】设等差中项为x ，则2826x =-+=-，解得3x =- 故答案为：3- 【点睛】本题考查等差中项的求解，属于基础题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年广东省惠州市高一下学期期末数学试题一、单选题1．不等式2230x x +-<的解集为（ ） A ．()3,1-B ．()1,3-C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．31x -<<【答案】A【解析】先因式分解，再解一元二次不等式即可. 【详解】解：∵2230x x +-<，∴()()310x x +-<， 解得31x -<<.用集合表示为()3,1-. 故选：A. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，是基础题.2．已知等差数列{}n a 中，41a =，88a =，则12a 的值是（ ） A ．7 B ．12C ．15D ．64【答案】C【解析】利用等差数列{}n a 的性质可得：84122a a a =+，即可得出. 【详解】解：由等差数列{}n a 的性质可得：84122a a a =+， 又41a =，88a =，∴1228115a =⨯-=. 故选：C. 【点睛】此题考查等差数列性质的应用，属于基础题3．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（ ）A ．B C ．83D ．8【答案】C【解析】利用正四棱锥的体积公式直接求解.【详解】∵正四棱锥的底面边长和高都等于2， ∴该四棱锥的体积211822333V Sh ==⨯⨯=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查棱锥的体积的求法，属于基础题.4．不等式组111y x y x y ≤+⎧⎪≤-+⎨⎪≥-⎩构成的区域面积为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】C【解析】由二元一次不等式的几何意义画出平面区域，然后结合三角形面积公式求解 【详解】根据题意，对于不等式组111y x y x y ≤+⎧⎪≤-+⎨⎪≥-⎩，直线1y x =+与直线1y x =-+相交于点()0,1，设()0,1A ； 直线1y x =+与直线1y =-相交于点()2,1--，设()2,1B --； 直线1y x =-+与直线1y =-相交于点()2,1-，设()2,1C -；则不等式组111y x y x y ≤+⎧⎪≤-+⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为ABC 的内部区域及边界.如图所示:又由直线AB 与AC 垂直，又由4422AB AC ==+= 则112222422S AB AC =⨯⨯=⨯=； 故选：C . 【点睛】本题主要考查二元一次不等式组与平面区域，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.5．关于x 的不等式210x mx -+>的解集为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()0,4B ．()(),22,-∞-+∞C ．[]22-,D ．()2,2-【答案】D【解析】根据题意可得出∆<0，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】不等式210x mx -+>的解集为R ，所以∆<0，即240m -<，解得22m -<<. 因此，实数m 的取值范围是()2,2-. 故选：D. 【点睛】本题考查利用一元二次不等式恒成立求参数，考查计算能力，属于基础题. 6．在ABC 中，2BC =，3AC =30BCA ∠=︒，则A ∠等于（ ） A ．90° B ．60°C ．45°D ．120°【答案】A【解析】直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果. 【详解】解：ABC 中，2BC =，3AC =，30BCA ∠=︒， 所以由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，解得1c =. 利用正弦定理sin sin a cA C=，解得sin 1A =， 所以90A =︒. 故选：A. 【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，考查运算能力，是基础题.7．已知()2,0A ，()0,2B ，若直线()2y k x =+与线段AB 有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．[)1,+∞ C ．[]0,1 D ．(][)0,11,--+∞【答案】C【解析】先求出直线MA 的斜率和直线MB 的斜率，再根据题意求得k 的范围. 【详解】由于直线()2y k x =+的斜率为k ，且经过定点()2,0-，设此定点为M ，直线MA 的斜率为()00022-=--，直线MB 的斜率为()20102-=--，如下图所示，故01k ≤≤， 故选：C .【点睛】本题主要考查直线的概率的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 8．设ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形【答案】B【解析】根据余弦定理表示出cos C ，与已知等式联立，化简求解. 【详解】由余弦定理得222cos 2a b c C ab+-=，又2cos a b C =，所以得：22222222a b c a b c a b ab a+-+-=⋅=， ∴2222a a b c =+-， ∴22c b =.又b 和c 都大于0， 则b c =，即三角形为等腰三角形. 故选：B . 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题.9．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑[nào ].如图，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥面BCD ，1AB CD ==，2BC =，3BD =，则下列选项中，不正确的是（ ）A ．面ABC ⊥面ACDB ．二面角D ABC --6C ．AD 与面BCD 所成角为30D ．三棱锥A BCD -外接球的表面积为π 【答案】D【解析】对于A ，证明CD ⊥面ABC ，利用面面垂直的判定定理可得面ABC ⊥面ACD ；对于B ，由AB ⊥面BCD 得AB BD ⊥，AB BC ⊥，可得CBD ∠就是二面角D AB C --的平面角，解三角形BCD 即可；对于C ，AB ⊥面BCD 易得AD 与面BCD 所成角为ADB ∠；对于D ，取AD 的中点为M ，则1MA MB MC MD ====，可得外接球的半径为1，即得表面积. 【详解】∵1AB CD ==，2BC =，3BD =，∴222BC CD BD +=，∴BC CD ⊥， 可得223AC AB CB =+=，222AD AB BD =+=，则有222AC CD AD +=，∴AC CD ⊥.对于A ，∵AB ⊥面BCD ∴AB CD ⊥，又CD AC ⊥，ABAC A =，得CD ⊥面ABC ，又CD ⊂平面ACD ，∴面ABC ⊥面ACD 故正确；对于B ，∵AB ⊥面BCD ，∴AB BD ⊥，AB CB ⊥，∴CBD ∠就是二面角D AB C --的平面角，余弦值为2633BC DB ==，故正确； 对于C ，∵AB ⊥面BCD ，∴AD 与面BCD 所成角为30ADB ∠=︒，故正确； 对于D ，取AD 的中点为M ，则1MA MB MC MD ====，所以三棱锥A BCD -外接球的球心为M ，半径为1，其表面积244S R ππ==，故错. 故选：D.【点睛】本题考查面面垂直的判定定理和线面角，二面角的求法，考查多面体外接球的表面积，考查推理能力和计算能力，属于基础题.10．已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比q 是正整数，前n 项和为n T ，若211,a d b d ==，且222123123a a a b b b ++++是正整数，则298S T 等于（ ）A ．4517B ．13517C ．9017D ．27017【答案】B【解析】试题分析：∵数列{a n }是以d 为公差的等差数列，且a 1=d ，;又数列{b n }是公比q 的等比数列，且b 1=d 2， ∴;∴222123123a a ab b b ++++∈N ．又∵q 是正整数，∴1+q+q 2=7，解得q=2．∴298S T ；故选B ．【考点】等差数列的性质．二、多选题11．若0a b >>，下列不等式成立的是（ ） A ．22a b < B ．2a ab <C ．1b a< D ．11a b< 【答案】CD【解析】通过反例、作差法、不等式的性质可依次判断各个选项即可. 【详解】解：由0a b >>，取2a =，1b =，则可排除A 、B ， 因为0a b >>，所以0b a -< ， 所以10b b aa a --=<，即1b a<，故C 正确；所以11b aa b ab--=<，即11a b<，故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查不等式的性质和作差法比较大小，是基础题.12．如图，直线1l，2l，3l的斜率分别为1k，2k，3k，倾斜角分别为1α，2α，3α，则下列选项正确的是（）A．132k k k<<B．321k k k<<C．132ααα<<D．321ααα<<【答案】AD【解析】根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论.【详解】解：如图，直线1l，2l，3l的斜率分别为1k，2k，3k，倾斜角分别为1α，2α，3α，则230k k>>，1k<，故232παα>>>，且1α为钝角，故选：AD.【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率，考查数形结合思想，是基础题.三、填空题13．已知数列{}n a的通项公式为2nna=，则{}n a的前6项和为__.【答案】126【解析】利用数列的通项公式推导出数列{}n a是等比数列，求出该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得该数列的前6项和.【详解】数列{}n a的通项公式为2nna=，则11222nnnnaa++==，且12a=，所以，数列{}n a 是等比数列，且首项为2，公比也为2， 因此，数列{}n a 的前6项和为()621212612-=-.故答案为：126. 【点睛】本题考查等比数列求和，要确定等比数列的首项和公比，考查计算能力，属于基础题. 14．函数2241y x x =++的最小值为__. 【答案】3【解析】将函数转化为()224111y x x =++-+，运用基本不等式求解. 【详解】函数2241y x x =++， 即()224111y x x =++-+1413≥=-=， 当且仅当212+=x ，即1x =±时，取等号， 则函数的最小值为3， 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查基本不等式求函数的最值，属于基础题.15．已知直线l 过点()2,4P ，且与直线310--=x y 平行，则直线l 的方程为__. 【答案】3100x y -+=【解析】根据题意，设直线l 的方程为30x y m -+=，将P 的坐标代入计算可得m 的值，将其代入直线l 的方程，计算即可得答案. 【详解】解：根据题意，直线l 与直线310--=x y 平行，设直线l 的方程为30x y m -+=， 又由直线l 经过点()2,4P ，则有2340m -⨯+=，解可得10m =； 故直线l 的方程为3100x y -+=， 故答案为：3100x y -+=.【点睛】此题考查由两直线的位置关系求直线方程，属于基础题16．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西45︒方向上，另一灯塔在南偏西60︒方向上，则该船的速度是____海里/小时. 【答案】()1031+【解析】由题意，设BA x =，得到CA x =，然后在Rt BDA 中，利用正弦定理求解. 【详解】 如图所示：设船的初始位置为A ，半小时后行驶到B ，两个港口分别位于C 和D ， 所以45BCA ∠=︒，15CBD ∠=︒， 则30CDB ∠=︒， 设BA x =，则CA x =，在Rt BDA 中，10DA x =+. 所以利用正弦定理10sin 60sin 30x x+=︒︒，解得)531x =所以船速为()()153110312÷=.故答案为：)1031【点睛】本题主要考查正弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.四、解答题 17．（1）求1tan151tan15-︒+︒的值；（2）求函数()()2sin cos 2f x x x =++的最大值.【答案】（1（2）()max 4f x =. 【解析】（1）直接利用两角差的正切公式的逆用求解.（2）先利用平方关系和二倍角的正弦公式将函数转化为()sin 23f x x =+，再利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）1tan15tan 45tan151tan151tan 45tan15-︒︒-︒=+︒+︒︒，()tan 4515tan 303=︒-︒=︒=. （2）函数()()2sin cos 2f x x x =++，12sin cos 2sin 23x x x =++=+. 当()222x k k Z ππ=+∈，即()4x k k Z ππ=+∈，()f x 取得最大值4. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．已知数列{}n a 满足11a =，1n n a a n -=+（其中2n ≥且*n N ∈）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1n nb a =，求数列{}n b 前n 项和n S . 【答案】（1）()12n n n a +=；（2）21n n +. 【解析】（1）由已知得1n n a a n --=（2n ≥，*n N ∈），利用累加法求通项公式； （2）写出n b ，利用裂项相消法求n S .【详解】（1）1n n a a n --=（2n ≥，*n N ∈）∴()()()()12132111232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=，（*n N ∈），当1n =时满足上式，∴()12n n n a +=. （2）()1211211n n b a n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭ ∴12n n S b b b =+++111111212122311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21n n =+. 【点睛】 本题考查累加法求数列的通项公式、裂项相消法求数列的前n 项和，属于中档题. 19．一条光线从点()6,4P 射出，与x 轴相交于点()2,0Q ，经x 轴反射后与y 轴交于点H .（1）求反射光线QH 的方程；（2）求三角形PQH 的面积.【答案】（1）2y x =-+，其中(],2x ∈-∞；（2）8.【解析】（1）直接利用点关于线的对称，求出对称的点的坐标，再利用反射定理，求出直线的方程；（2）首先根据（1）中直线方程求出点H 的坐标，求出三角形的边长，再利用三角形的面积公式求出结果.【详解】（1）如图所示，作点()6,4P 关于轴的对称点的坐标()6,4P -，则反射光线所在的直线过点P '和Q ，所以40162P Q k '--==--， 所以直线P Q '的直线方程为()2y x =--.所以反射光线的QH 的直线方程为2y x =-+，其中(],2x ∈-∞.（2）由（1）得知()0,2H ，1PQ QH k k ⋅=-，所以PQ QH ⊥，所以QH ==PQ ==所以.11822PQH S PQ QH =⨯=⨯=△. 【点睛】 本题主要考查了点关于直线对称、求直线方程、三角形面积问题.20．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3C π=，5b =，ABC的面积为（1）求a ，c 的值；（2）求sin 6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭+的值. 【答案】（1）8a =；7c =；（2）1314.【解析】（1）利用3C π=，5b =，ABC 的面积为a ，然后再利用余弦定理求解. （2）结合（1）利用余弦定理求得cos A 的值，再由平方关系求得sin A 的值，然后利用正弦的两角和公式求解.【详解】（1）由已知，3C π=，5b =， 因为1sin 2ABC S ab C =，即15sin 23a π=⋅， 解得8a =.由余弦定理可得：2642580cos493c π=+-=，所以7c =.（2）由（1）及余弦定理有4925641cos 707A +-==， 因为A 是三角形的内角，所以 243sin 1cos 7A A =-=， 所以4331113sin sin cos cos sin 6667214A A A πππ⎛⎫+=+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题主要考查余弦定理，三角形面积公式和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．已知几何体ABCDEF 中，//AB CD ，//FC EA ，AD AB ⊥，AE ⊥面ABCD ，2AB AD EA ===，4CD CF ==.（1）求三棱锥F BCD -的体积；（2）求证：平面⊥BDF平面BCF . 【答案】（1）163；（2）证明见解析. 【解析】（1）推导出FC ⊥平面ABCD ，即FC 为三棱锥F BCD -的高，由AD AB ⊥，//AB CD ，得AD CD ⊥AD CD ⊥，由此能求出三棱锥F BCD -的体积.（2）推导出BD FC ⊥，取DC 中点M ，由已知可得//AB DM ，2AB DM ==，取DC 中点M ，由已知得//AB DM ，2AB DM ==，则//BM AD ，2BM AD ==，从而BM MC ⊥，再推导出BD BC ⊥，从而BD ⊥平面BCF ，由此能证明平面⊥BDF 平面BCF .【详解】解：（1）解：∵//FC EA ，且AE ⊥平面ABCD ，∴FC ⊥平面ABCD ，即FC 为三棱锥F BCD -的高，AD AB ⊥，//AB CD ，∴AD CD ⊥，1142422DBC S DC AD =⨯⨯=⨯⨯=△， ∴111644333F BCD DBC V S FC -=⨯=⨯⨯=△. （2）证明：由（1）知FC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BD FC ⊥，取DC 中点M ，由已知可得//AB DM ，2AB DM ==，则//BM AD ，2BM AD ==，∴BM MC ⊥，∴22BC =，∵222BD BC CD +=，∴BD BC ⊥，∵FC BC C =，∴BD ⊥平面BCF ，∵BD ⊂平面BDF ，∴平面⊥BDF 平面BCF .【点睛】此题考查三棱锥体积的求法，考查面面垂直的证明，考查推理能力，属于中档题 22．如图，某公司拟购买一块地皮建休闲公园，从公园入口A 沿AB 、AC 方向修建两条小路，休息亭P 与入口两点间相距32a 米（其中a 为正常数），过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步行道，步行道交两条小路于E 、F 处，已知45BAP ∠=︒，5cos 13BAC ∠=.（1）设AE x =米，AF y =米，求y 关于x 的函数关系式；（2）若地皮单价为定值，试确定E 、F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低.【答案】（1）1347ax y x a =-，7,4a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭；（2）当72a AE =米，132a AF =米时，三条路围成的AEF 地皮购价最低.【解析】（1）由已知求得sin FAP ∠，利用AEF AEP AFP S S S =+△△△，可得1347ax y x a =-，再由x ，y 大于0求得函数定义域，则y 关于x 的函数关系式可求；（2）设三条路围成地皮购价为T 元，地皮单价为k 元/平方米，则AEF T k S =⋅△（k 为常数），要使T 最小，只要AEF S最小，写出三角形AEF 的面积，换元后利用基本不等式求最值.【详解】（1）由5cos 13CAB =∠，CAB ∠为锐角，得12sin 13CAB =∠， ()()sin sin sin 45FAP CAB PAE CAB ∠=∠-∠=∠-︒，sin cos45cos sin 45CAB CAB =∠⋅︒-∠⋅︒，12513213226=⨯-⨯=. 由图可知，AEF AEP AFP S S S =+△△△. ∴111sin sin sin 222AE AF CAB AE AP PAE AF AP FAP ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠.得1121121322226x y x y ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅. 整理得，1347ax y x a =-. 由013047x ax y x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩，得7,4a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. ∴y 关于x 的函数关系式为1347ax y x a =-，7,4a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭； （2）设三条路围成地皮购价为T 元，地皮单价为k 元/平方米.则AEF T k S =⋅△（k 为常数），要使T 最小，只要AEF S最小， 由题意可知，1112613sin 22131347AEF ax S AE AF CAB xy x x a=⋅⋅∠=⋅=⋅-△2647ax x a=-，7,4a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. 令47t x a =-， 则2222763144934941488AEF t a a a t at a a a S t a t t t +⎛⎫ ⎪⎛⎫++⎝⎭==⋅=++ ⎪⎝⎭△23211482a a a ⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭（当且仅当7t a =，即72a x =时等号成立）. ∴当72a x =，132a y =时，AEF S 最小，即T 最小. 综上，当72a AE =米，132a AF =米时，三条路围成的AEF 地皮购价最低. 【点睛】 本题主要考查函数的应用以及基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为（ ） A ．5B ．5C ．25D ．102．已知x ，y ∈R ，且x>y>0，则（ ） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -<C ．110x y-> D ．lnx+lny>03．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=( )A ．2B ．3C ．4D ．54．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =-+，令()1cos2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项为n T ，则2019T = （ ）A ．2020B ．2019C ．2018D ．20175．不等式250ax x c ++>的解集为11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭,则,a c 的值为( ) A ．6,1a c == B ．6,1a c =-=- C ．1,1a c ==D ．1,6a c =-=-6．设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,且6C π=，12a b +=，面积的最大值为（）A ．6B ．8C ．7D ．97．已知向量()1,2a =-， ()1,b λ=，若a b ⊥，则+2a b 与a 的夹角为（ ）A．2 3πB．34πC．3πD．4π8．设z是复数，从z，z，z，2||z，2||z，2||z，z z⋅中选取若干对象组成集合，则这样的集合最多有（）A．3个元素B．4个元素C．5个元素D．6个元素9．如图所示，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（）A．AC B．A1D1C．A1D D．BD10．已知a，b为不同的直线，α为平面，则下列命题中错误的是（）A．若//a b，bα⊥，则aα⊥B．若aα⊥，bα⊥，则//a bC．若aα⊥，bα⊂，则a b⊥D．若a b⊥，aα⊥，则bα⊥11．执行如下的程序框图，则输出的S是（）A．36B．45C．36-D．45-12．数列{}n a中，12a=，且112(2)n nn nna a na a--+=+≥-，则数列()211na⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2019项和为（）A．40362019B．20191010C．40372019D．40392020二、填空题：本题共4小题13．已知α是第二象限角，且1sin3α=，且sin2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭______.14．用数学归纳法证明不等式“11119 (123310)n n n n ++++>+++（1n >且*n N ∈）”的过程中，第一步：当2n =时，不等式左边应等于__________。

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知45A =︒，2a =，2b =，则B 为（ ）A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30D ．30或150︒2．已知正项数列{}n a ，若点()4log n na ，在函数()3f x x =-的图像上，则()2357log a a a =（ ） A ．12B ．13C ．14D ．163．如图，已知正三棱柱111ABC A B C －的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点1A 的最短路线的长为（ ）cm ．A ．12B ．13C ．14D ．154．在ABC ∆中，已知90BAC ∠=，6AB =，若D 点在斜边BC 上，2CD DB =，则AB AD ⋅的值为 （ ）． A ．6B ．12C ．24D ．485．化简sin 2013o 的结果是 A ．sin 33oB ．cos33oC ．-sin 33oD ．-cos33o6．如图是函数sin()(0,0,)y A ax A a ϕϕπ=+>><的部分图象２，则该解析式为（ ）A ．2sin 233y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．2sin 324x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．2sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．22sin 233y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 7．已知23PA PB tPC =+，若A 、B 、C 三点共线，则AB AC为（ ）A ．23B ．25C ．12D ．28．已知β为锐角，角α的终边过点((),2sin αβ+=cos β=（ ）A ．12B C D 9．方程3log 3x x +=的解所在区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(3,)+∞D ．(2,3)10．已知函数2()2cos 2f x x x =-，在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，内角A 满足()1f A =-，若a =ABC 的面积的最大值为（ ）A ．BCD ．11．将函数()22cos cos 1f x x x x =+-的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若当0,4x x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时， ()g x 的图象与直线()12y a a =≤<恰有两个公共点，则0x 的取值范围为（ ） A ．75,124ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．7,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．75,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．5,34ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦12．已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin （α+β）＝2，则cosβ＝（）A B C ．10 D 或10 二、填空题：本题共4小题13．已知函数()tan()0||,02f x x πωϕϕω⎛⎫=+<<> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，且()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，则方程()sin 2([0,])3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭所有解的和为________.14．ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，3AC =，则ABC ∆的面积S =______. 15．已知数列{}n a 中，11a =，2n n a n a =-，211n n a a +=+，则1299a a a +++的值为 _____．16．若34z i =+,则zz=________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

广东省惠州市2019-2020学年度第二学期期末质量检测高一数学试题全卷满分150分，时间120分钟． 2020.07注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。

1．不等式2230x x +-<的解集为（ ） A ．()31-， B ．()13-， C ．()(),31,-∞-+∞ D ．31x -<<2．已知等差数列}{n a 中，41a =，88a =，则12a 的值是( ) A ．7 B ．12 C ．15 D ．64 3．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（ ） A．3 B．3C ．83D ．84．不等式组111y x y x y ≤+⎧⎪≤-+⎨⎪≥-⎩构成的区域面积为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．25．关于x 的不等式210xmx -+>的解集为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()04，B ．()2(2,+)∞-∞-,C ．[]22-，D ．()22-，6. 在ABC ∆中，=2BC，AC ，=30BCA ∠︒，则A ∠等于 （ ） A ．90︒ B ．60︒ C ．45︒ D ．120︒7．已知(2,0)A ，(0,2)B ，若直线()2y k x =+与线段AB 有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．[)1,+∞ C. []0,1 D ．(][),11,-∞-+∞8．设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cos a b C =，则此三角形一定 是（ ）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形9．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑[nào]。