高考数学大一轮复习 5.3平面向量的数量积试题 理 苏教版

5.3 平面向量的数量积一、填空题1. 已知向量a 和向量b 的夹角为30°,| a |=2,| b |=3 ,则a ·b = .解析 考查数量积的运算. a ·b =22=3. 答案 32．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．解析 ∵b ·(a －b )＝0，∴a ·b ＝b 2，即|a ||b |·cos θ＝|b |2，当b ≠0时， ∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ∈(0,1]．所以|b|∈[0,1]． 答案 [0,1]3．若e 1，e 2是夹角为π3的单位向量，且a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2，则a ·b 等于________．解析 a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋e 1·e 2＋2e 22＝－6＋cos π3＋2＝－4＋12＝－72. 答案 －724．已知平面向量a ，b 的夹角为60°，a ＝(3，1)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析 由a ＝(3，1)，得|a |＝2，所以|a ＋2b |＝a ＋2b2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋8cos 60°＋4＝12＝2 3. 答案 2 35．在△ABC 中，已知BC ＝2，AB →·AC →＝1，则△ABC 的面积S △ABC 最大值是________． 解析 以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)．设A (x ，y ) 则AB →＝(－1－x ，－y )，AC →＝(1－x ，－y )，于是AB →·AC →＝(－1－x )(1－x )＋(－y )(－y )＝x 2－1＋y 2.由条件AB →·AC →＝1知x 2＋y 2＝2，这表明点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上． 当OA ⊥BC 时，△ABC 面积最大，即 S △ABC ＝12×2×2＝ 2.【点评】 建系设标，数形转化，简单易行，用心体会.6.已知1e ,2e 是夹角为23π的两个单位向量, a =1e -22e ,b =k 1e +2e , 若a ·b =0,则实数k 的值为 .解析 由a ·b =0得（1e -22e ）·（k 1e +2e ）=0. 整理,得 k - 2+（1-2k ）cos 23π=0,解得k=54. 答案547．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝________.解析 法一 建系如图所示． 令B (x B,0)，C (x C ，y C )，D (0,1)， 所以BC →＝(x C －x B ，y C )，BD →＝(－x B,1)，BC →＝ 3 BD →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x C －x B ＝3－x B，y C ＝3，所以x C ＝(1－3)x B ，y C ＝ 3.AC →＝((1－3)x B ，3)，AD →＝(0,1)，则AC →·AD →＝ 3.法二 AC →·AD →＝(AB →＋BC →)·AD →＝BC →·AD →＝3AD →·BD →， 其中AD →·BD →＝|AD →||BD →|cos ∠ADB ＝|AD →||BD →|·|AD →||BD →|＝AD →2＝1.故 3 AD →·BD →＝ 3.答案38．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.解析 建立直角坐标，由题意，设C (0,0)，A (23，0)，B (3，3)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，12，MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52＝－2.答案 －29．已知向量p 的模是2，向量q 的模为1，p 与q 的夹角为π4，a ＝3p ＋2q ，b＝p －q ，则以a ，b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是________． 解析 |a －b |＝|3p ＋2q －p ＋q |＝|2p ＋3q | ＝p ＋3q2＝4p 2＋12p ·q ＋9q 2 ＝8＋122×22＋9 ＝29. 答案2910．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，－1)，B (－3，－4)两点．若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC →|＝10，则点C 的坐标是________．解析 法一：设点C 的坐标是(x ，y )，且x <0，y <0，直线OB 方程为y ＝43x ，因点C 在∠AOB 的平分线上，所以点C 到直线OB 与y 轴的距离相等，从而|4x －3y |5＝|x |.又x 2＋y 2＝10，解之得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－3，所以点C 的坐标是(－1，－3)．法二：设点C 的坐标是(x ，y )，且x <0，y <0，则因点C 在∠AOB 的平分线上，所以由cos 〈OC →，OA →〉＝cos 〈OC →，OB →〉得－y 1·10＝－3x －4y510.又x 2＋y 2＝10，解之得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－3，所以点C 的坐标是(－1，－3)．答案 (－1，－3)11．已知O 是△ABC 的内部一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2，且∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为________．解析 由AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝2，得|AB →||AC →|＝4，S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin 60°＝3，由OA →＋OB →＋OC →＝0知，O 是△ABC 的重心，所以S △OBC ＝13S △ABC ＝33. 答案3312．已知点G 是△ABC 的重心，AG →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，若∠A ＝120°，AB →·AC→＝－2，则|AG →|的最小值是________．解析 设AG 交BC 于D ，则由G 是△ABC 的重心，得D 是BC 的中点， 所以AG →＝23AD →＝23·12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以|AG →|2＝19(AB →＋AC →)2 ＝19(|AB →|2＋|AC →|2－4)，又由－2＝AB →·AC → ＝|AB →||AC →|cos 120°，得|AB →||AC →|＝4，故当|AB →|＝|AC →|＝2时，|AG →|取最小值23.答案2313．已知△ABC 所在平面上的动点M 满足2AM →·BC →＝AC →2－AB →2，则M 点的轨迹过△ABC 的________心．解析 如图，设N 是BC 的中点，则由2AM →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →＋AB →)＝BC →·2AN →，得(AM →－AN →)·BC →＝0，即NM →·BC →＝0，所以NM →⊥BC →，所以M 点的轨迹过△ABC 的外心． 答案 外心 二、解答题14．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，|a －b |＝2. (1)求a ·b 的值； (2)求|a ＋b |的值． 解析 (1)因为|a －b |＝2，所以|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4＋1－2a ·b ＝4. 所以a ·b ＝12.(2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4＋2×12＋1＝6.故|a ＋b |＝ 6.15．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 夹角为45°，求使向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为钝角时，λ的取值范围． 解析 由条件知，cos45°＝a·b|a|·|b|，∴a·b ＝3，设a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为θ，则θ为钝角，∴cos θ＝a ＋λb λa ＋b|a ＋λb |·|λa ＋b |<0，∴(a ＋λb )·(λa ＋b )<0. λa 2＋λb 2＋(1＋λ2)a·b <0， ∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0， ∴－11－856<λ<－11＋856.若θ＝180°时，a ＋λb 与λa ＋b 共线且方向相反， ∴存在k <0，使a ＋λb ＝k (λa ＋b )，∵a ，b 不共线，∴⎩⎨⎧k λ＝1，λ＝k .∴k ＝λ＝－1， ∴－11－856<λ<－11＋856且λ≠－1.16．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)．(1)求向量b ＋c 的长度的最大值； (2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值． 解析 (1)因为b ＋c ＝(cos β－1，sin β)， 所以|b ＋c |2＝(cos β－1)2＋sin 2 β＝2(1－cos β)． 因为－1≤cos β≤1，所以0≤|b ＋c |2≤4，即0≤|b ＋c |≤2，故当cos θ＝－1时，向量b ＋c 的长度取最大值2. (2)若α＝π4，则a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，又b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，所以a ·(b ＋c )＝22cos β＋22sin β－22. 因为a ⊥(b ＋c )，所以a ·(b ＋c )＝0，即cos β＋sin β＝1，平方得cos β sin β＝0， 所以cos β＝0或cos β＝1.经检验cos β＝0或cos β＝1即为所求．17．如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝6，BC ＝7，AD 是∠BAC 的平分线．(1)求证：DC ＝2BD ；(2)求AB →·DC →的值．解析(1)证明 在△ABD 中，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD .①在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC＝DC sin ∠CAD. ②又AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD ，sin ∠BAD ＝sin ∠CAD ， 又sin ∠ADB ＝sin(π－∠ADC )＝sin ∠ADC ， 由①②得BD DC ＝AB AC ＝36，所以DC ＝2BD . (2)因为DC ＝2BD ，所以DC →＝23BC →.在△ABC 中，因为cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝32＋72－622×3×7＝1121. 所以AB →·DC →＝AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23BC → ＝23|AB →||BC →|cos(π－B ) ＝23×3×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1121＝－223. 18．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，G 是△ABC 的重心，且56sin A ·GA →＋40sin B ·GB →＋35sin C ·GC →＝0.(1)求角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，m ·n 的最大值为5，求实数k 的值．解析 (1)由G 是△ABC 的重心，得GA →＋GB →＋GC →＝0，所以GC →＝－(GA →＋GB →)，由正弦定理，可将已知等式转化为 56a ·GA →＋40b ·GB →＋35c ·(－GA →－GB →)＝0.整理，得(56a －35c )·GA →＋(40b －35c )·GB →＝0.因为GA →，GB →不共线，所以⎩⎨⎧56a －35c ＝0，40b －35c ＝0.由此，得a ∶b ∶c ＝5∶7∶8.不妨设a ＝5，b ＝7，c ＝8，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12.因为0<B <π，所以B ＝π3. (2)m ·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1， 由(1)得B ＝π3，所以A ＋C ＝23π，故得A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3.设sin A ＝t ∈(0,1]，则m ·n ＝－2t 2＋4kt ＋1，t ∈(0,1]．令f (t )＝－2t 2＋4kt ＋1，则可知当t ∈(0,1]，且k >1时，f (t )在(0,1]上为增函数，所以，当t ＝1时，m ·n 取得最大值5.于是有：－2＋4k ＋1＝5， 解得k ＝32，符合题意，所以，k ＝32.。

2021年高考数学一轮总复习 5.3 平面向量的数量积题组训练 理 苏教版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(xx·湛江二模)向量a ＝(1,2)，b ＝(0,2)，则a ·b ＝________.解析 a ·b ＝(1,2)·(0,2)＝1×0＋2×2＝4. 答案 42．(xx·绍兴质检)在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则AC →在AB →方向上的投影为________．解析 如图所示，AC →在AB →方向上的投影为|AC →|cos 60°＝2×12＝1.答案 13．(xx·山东省实验中学诊断)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)．若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝________.解析 由题意知(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0. 所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3. 答案 －34．(xx·浙江五校联盟)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，且(2a ＋b )·b ＝0，则向量a ，b 的夹角为________．解析 由(2a ＋b )·b ＝0，得2a ·b ＋|b |2＝0.∴2|b |2·cos〈a ，b 〉＋|b |2＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝2π3.答案2π35．(xx·福建卷改编)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为________．解析 ∵AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0， ∴AC →⊥BD →，∴S 四边形＝|AC →|·|BD →|2＝5·202＝5.答案 56．(xx·课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.解析 b ·c ＝b ·[t a ＋(1－t )b ]＝t a ·b ＋(1－t )b 2＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )|b |2＝t 2＋1－t ＝1－t2.由b ·c ＝0，得1－t2＝0，所以t ＝2.答案 27．(xx·重庆卷)在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，则实数k ＝________.解析 在矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，所以AB →＝OB →－OA →＝(－2，k )－(－3,1)＝(1，k －1)，因为AB →⊥OA →，所以AB →·OA →＝0，即－3＋k －1＝0，解得k ＝4. 答案 48.(xx·潍坊二模)如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.解析 因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝1×3×12＝32，又AO→＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)，即AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132.答案132二、解答题9．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R )．(1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0. 整理得x 2－2x －3＝0，故x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)， ∴|a －b |＝－22＋02＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)， ∴|a －b |＝2 5.综上，可知|a －b |＝2或2 5.10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61， ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a|＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(xx·泰州一模)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为________．解析 由|a ＋b |＝|a －b |，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，即a ·b ＝0，所以(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝|a |2.故向量a ＋b 与a 的夹角θ的余弦值为cos θ＝a ＋b ·a |a ＋b ||a |＝|a |22|a ||a |＝12.所以θ＝π3.答案π32．已知向量p 的模为2，向量q 的模为1，p 与q 的夹角为π4，且a ＝3p ＋2q ，b ＝p －q ，则以a ，b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线长为________．解析 由题意可知较小的对角线为|a －b |＝|3p ＋2q －p ＋q |＝|2p ＋3q |＝2p ＋3q 2＝4p 2＋12p ·q ＋9q 2＝ 8＋122×22＋9＝29. 答案293．(xx·浙江卷)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________． 解析 因为e 1·e 2＝cos π6＝32，所以b 2＝x 2＋y 2＋2xy e 1·e 2＝x 2＋y 2＋3xy .所以x 2b2＝x 2x 2＋y 2＋3xy＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x2＋3yx，设t ＝y x，则1＋t 2＋3t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322＋14≥14，所以0＜11＋t 2＋3t≤4，即x 2b 2的最大值为4，所以|x ||b |的最大值为2. 答案 2 二、解答题4．设两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解 由已知得e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1.∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7. 欲使夹角为钝角，需2t 2＋15t ＋7＜0，得－7＜t ＜－12.设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝tλ，∴2t 2＝7.∴t ＝－142，此时λ＝－14. 即t ＝－142时，向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π. ∴当两向量夹角为钝角时，t 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12. 26942 693E 椾24178 5E72 干39806 9B7E 魾?836681 8F49 轉JP23370 5B4A 孊28282 6E7A 湺36234 8D8A 越p 25433 6359 捙。

极化恒等式例6 （1）[2024北京高考]在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°.P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC ＝1，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是（ D ） A.[－5， 3]B.[－3，5]C.[－6，4]D.[－4，6]解析 解法一（极化恒等式） 设AB 的中点为M ，CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，由极化恒等式得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2＝（CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ）2－254＝CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2＋CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗⃗ cos θ－254＝254＋1－5cos θ－254＝1－5cos θ，因为cos θ∈[－1，1]，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[－4，6]. 解法二 以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则 A （3，0），B （0，4），设P （x ，y ），则x 2＋y 2＝1，PA⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（3－x ，－y ），PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ （－x ，4－y ），所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x 2－3x ＋y 2－4y ＝（x －32）2＋（y －2）2－254，又（x －32）2＋（y －2）2表示圆x 2＋y 2＝1上一点到点（32，2）距离的平方，圆心（0，0）到点（32，2）的距离为52，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[（52－1）2－254，（52＋1）2－254]，即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[－4，6]，故选D. 解法三 以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则 A （3，0），B （0，4），因为PC ＝1，所以P 在以（0，0）为圆心，1为半径的圆上，所以设点P 坐标为（cos α，sin α），则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（3－cos α，－sin α）·（－cos α，4－sin α）＝1－3cos α－4sin α＝1－5sin （α＋φ）（其中tan φ＝34）.因为sin （α＋φ）∈[－1，1]，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[－4，6]. （2）[全国卷Ⅱ]已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）的最小值是（ B ） A.－2B.－32C.－43D.－1解析 解法一 如图，取BC 的中点D ，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）＝2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ .在△PAD 中，取AD 的中点O ，则2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2｜PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2－12｜AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝2｜PO⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2－32. 由于点P 在平面内是随意的，因此当且仅当点P ，O 重合时，｜PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜取得最小值，即2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值－32.故选B. 解法二 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A （0，√3），B （－1，0），C （1，0）.设P （x ，y ），则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（－x ，√3－y ），PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（－1－x ，－y ），PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（1－x ，－y ），所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）＝（－x ，√3－y ）·（－2x ，－2y ）＝2x 2＋2（y －√32）2－32，易知当x ＝0，y ＝√32时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）取得最小值，最小值为－32.故选B.方法技巧极化恒等式：a ·b ＝14[（a ＋b ）2－（a －b ）2].几何意义：向量a ，b 的数量积等于以这组向量所对应的线段为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”的平方差的14.应用：（1）在▱ABCD 中，O 为AC ，BD 的交点，则有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝14（4｜AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2－4｜OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2）＝｜AO⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2－｜OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2. （2）如图，在△ABC 中，若M 是BC 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14BC⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 训练4 [2024山东青岛二中5月模拟]如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－32，则实数λ的值为 16，若M ，N 是线段BC 上的动点，且 ｜MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝1，则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 132.解析 依题意得AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝｜AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·cos ∠BAD ＝ －32｜AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝－32，得｜AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝1，因此λ＝｜AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ｜｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝16.取MN 的中点E ，连接DE ，则DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝14[（DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2－（DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2]＝DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2＝DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14.留意到线段MN 在线段BC 上运动时，DE 的最小值等于点D 到直线BC 的距离，即AB ·sin B ＝3√32，因此DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14的最小值为（3√32）2－14＝132，即DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为132.思维帮·提升思维 快速解题三角形“四心”的向量表示与运用角度1 垂心的向量表示与运用例7 [2024山西朔州模拟]已知H 为△ABC 的垂心，若AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则sin ∠BAC ＝ √63.解析 如图，连接BH ，CH ，因为AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BA⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ －23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ －35AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .由H 为△ABC 的垂心，得BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即（－23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·AC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，可知25｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝23｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠BAC ，即cos ∠BAC ＝3｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜5｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜ ①，同理有CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即（13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ －35AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，可知13｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝35｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠BAC ，即cos ∠BAC ＝5｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜9｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜②，①×②得cos 2∠BAC ＝13，得sin 2∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝1－13＝23，又sin ∠BAC ＞0，所以sin ∠BAC ＝√63. 方法技巧1.垂心的定义：三角形三条高的交点称为该三角形的垂心.2.垂心的性质：设O 是△ABC 的垂心，P 为△ABC 所在平面内随意一点，则有（1）OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＋｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝｜OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＋｜CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝｜OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＋｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2； （3）动点P 满意AP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos∠ABC ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos∠ACB ）或OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos∠ABC ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos∠ACB ），λ∈R 时，动点P 的轨迹经过△ABC 的垂心.角度2 重心的向量表示与运用例8 [2024广州一中诊断]如图，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 分别交于M ，N 两点，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则xy x ＋y＝ 13 .解析 由M ，G ，N 三点共线得，存在实数λ使得AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋（1－λ）AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋y （1－λ）AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，且0＜λ＜1. 因为G 是△ABC 的重心，所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ），所以{xλ＝13，y （1－λ）＝13，则{x ＝13λ，y ＝13（1－λ），故xy ＝19λ（1－λ），x ＋y ＝13λ（1－λ），则xy x ＋y ＝19λ（1－λ）×3λ（1－λ）＝13.方法技巧1.重心的定义：三角形三条中线的交点称为该三角形的重心.2.重心的性质：设O 是△ABC 的重心，P 为平面内随意一点，则有（1）OA⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0；（2）PO⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13（PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）；（3）动点P 满意AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋ λ（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ），λ∈[0，＋∞）时，动点P 的轨迹经过△ABC 的重心. 角度3 外心的向量表示与运用例9 [2024湖北荆门模拟]已知点O 为△ABC 所在平面内一点，在△ABC 中，满意2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2，2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2，则点O 为该三角形的（ B ） A.内心B.外心C.垂心D.重心解析 因为2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AO⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜｜AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠OAB ＝｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2，所以｜AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠OAB ＝ 12｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜，则向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的长度为｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜的一半，所以点O 在边AB 的中垂线上，同理，点O 在边AC 的中垂线上，所以点O 为该三角形的外心，故选B. 方法技巧1.外心的定义：三角形三边垂直平分线的交点称为该三角形的外心.2.外心的性质：若O 是△ABC 的外心，则有（1）｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝｜OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝｜OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜； （2）（OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0. 角度4 内心的向量表示与运用例10 [2024四川南充阶段测试]已知O 是△ABC 所在平面内一点，且点O 满意OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－CB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝0，则点O 为△ABC 的（ C ） A.外心 B.重心C.内心D.垂心解析 解法一AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜分别是与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量，可令AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接ED ，则△ADE 为腰长是1的等腰三角形，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，所以AO 为∠CAB 的平分线，同理BO 为∠ABC 的平分线，CO 为∠ACB 的平分线，所以O 为△ABC 的内心.故选C. 解法二 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝0，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜，即｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos （π－∠OAB ）＝｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗｜｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗｜·cos （π－∠OAC ），所以∠OAB ＝∠OAC ，即AO 是∠BAC 的平分线，同理可得BO 为∠ABC 的平分线，CO 为∠ACB 的平分线，所以O 为△ABC 的内心. 方法技巧1.内心的定义：三角形三条内角平分线的交点称为该三角形的内心.2.内心的性质：若O 是△ABC 的内心，P 为平面内随意一点，则有（1）a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋c OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0（a ，b ，c 分别是△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的长）；（2）动点P 满意AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜），λ∈[0，＋∞）时，动点P 的轨迹经过△ABC 的内心.训练5 （1）[2024长春模拟]点O 是平面α上确定点，点P 是平面α上一动点，A ，B ，C 是平面α上△ABC 的三个顶点（点O ，P ，A ，B ，C 均不重合），以下命题正确的是 ①②③④ .①动点P 满意OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 的重心确定在满意条件的P 点的集合中； ②动点P 满意OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）（λ＞0），则△ABC 的内心确定在满意条件的P 点的集合中；③动点P 满意OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinB ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinC ）（λ＞0），则△ABC 的重心确定在满意条件的P 点的集合中；④动点P 满意OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosB ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosC ） （λ∈R ），则△ABC 的垂心确定在满意条件的P 点的集合中.解析 对于①，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，移项得－OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，则点P 是△ABC 的重心，故①正确. 对于②，因为动点P 满意OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）（λ＞0），移项得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）（λ＞0），所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与∠BAC 的平分线对应的向量共线，所以P 在∠BAC 的平分线上，所以△ABC 的内心在满意条件的P 点的集合中，②正确. 对于③，OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinB ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinC ）（λ＞0），即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinB ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinC ），过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，则｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sin B ＝｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sin C ＝AD ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λAD（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ），设M 为BC 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2λAD AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P 在BC 的中线上，所以△ABC 的重心确定在满意条件的P 点的集合中，③正确. 对于④，OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosB ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosC ）（λ∈R ），即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosB＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosC ），所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosB ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosC）＝λ（－｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝0，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P 在边BC 上的高所在的直线上，所以△ABC 的垂心确定在满意条件的P 点的集合中，④正确.故正确的命题是①②③④.（2）[多选/2024安徽淮北师大附中模拟]数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的重心、垂心和外心共线.这条线就是三角形的欧拉线.在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，D 为BC 边的中点，则下列四个选项中正确的是（ ABD ） A.GH ＝2OG B.GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0 C.AH ＝ODD.S △ABG ＝S △BCG ＝S △ACG解析 依据题意画出图形，如图所示.对于B ，连接GD ，由重心的性质可得G 为AD 的三等分点，且GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又D 为BC 的中点，所以GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，故B 正确.对于A ，C ，因为O 为△ABC 的外心，D 为BC 的中点，所以OD ⊥BC ，所以AH ∥OD ，所以△AHG ∽△DOG ，所以GHOG ＝AHOD ＝AGDG ＝2，即GH ＝2OG ，AH ＝2OD ，故A 正确，C 不正确.对于D，延长AH交BC于N，过点G作GE⊥BC，垂足为E，则△DEG∽△DNA，所以GEAN＝DGDA ＝13，所以S△BGC＝12×BC×GE＝12×BC×13×AN＝13S△ABC，同理，S△AGC＝S△AGB＝13S△ABC，所以S△ABG＝S△BCG＝S△ACG，故D正确.故选ABD.。

江苏专用高考数学大一轮复习第五章平面向量复数5.3平面向量的数量积教案含解析§5.3 平面向量的数量积考情考向分析 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题．1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b 投影|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影， |b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积拓展：向量数量积不满足： ①消去律，即a ·b ＝a ·c ⇏b ＝c ； ②结合律，即(a ·b )·c ⇏a ·(b ·c )． 3．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )＝λa ·b . (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤(x21＋y21)(x22＋y22)概念方法微思考1．a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？提示不相同．因为a在b方向上的投影为|a|cosθ，而b在a方向上的投影为|b|cosθ，其中θ为a与b的夹角．2．两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √)(2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( ×)(3)(a·b)c＝a(b·c)．( ×)(4)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( ×)(5)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( ×)题组二教材改编2．[P90T18]已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.答案12解析∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.3．[P89T8]已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3.若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.答案 －6解析 b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2， 则b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2) ＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22.因为e 1，e 2为单位向量，〈e 1，e 2〉＝π3，所以b 1·b 2＝3－2×12－8＝3－1－8＝－6.题组三 易错自纠4．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 3解析 方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12＝2 3. 方法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.5．已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角的大小为________． 答案2π3解析 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－33×2＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.6．已知△ABC 的三边长均为1，且AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a·b ＋b·c ＋a·c ＝________. 答案 －32解析 ∵〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈a ，c 〉＝120°，|a |＝|b |＝|c |＝1， ∴a·b ＝b·c ＝a·c ＝1×1×cos120°＝－12，∴a·b ＋b·c ＋a·c ＝－32.题型一 平面向量数量积的基本运算1．(2018·全国Ⅱ改编)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝________. 答案 3解析 a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . ∵|a |＝1，a ·b ＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.2．(2018·苏北四市调研)已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝________. 答案61解析 由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝(2a －3b )2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61.3．(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________． 答案 3解析 设A (a,2a )，则a ＞0.又B (5,0)，故以AB 为直径的圆的方程为(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0.由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋52，a . 由⎩⎪⎨⎪⎧(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2a .∴D (1,2)．又AB →·CD →＝0，AB →＝(5－a ，－2a )，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋52，2－a ， ∴(5－a ，－2a )·⎝⎛⎭⎪⎫1－a ＋52，2－a ＝52a 2－5a －152＝0， 解得a ＝3或a ＝－1. 又a ＞0，∴a ＝3.4．(2018·江苏淮安清江中学调研)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝2，D 为BC边上的点，且AD →·BC →＝0，CE →＝2EB →，则AD →·AE →＝________.答案 1解析 ∵AD →·BC →＝0，∴AD →⊥BC →，且D 为BC 的中点，∠B ＝∠C ＝30°， ∴在Rt△ADB 中可求得AD ＝1，AD →·DE →＝0， ∵AD →·AE →＝AD →·(AD →＋DE →)＝AD →2＋AD →·DE →， ∴AD →·AE →＝1.思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解．题型二 平面向量数量积的应用命题点1 求向量的模与夹角例1(1)在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝5，AC ＝6，D 是AB 上一点，且AB →·CD →＝－5，则|BD →|＝________. 答案 3解析 如图所示，设AD →＝kAB →，所以CD →＝AD →－AC →＝kAB →－AC →， 所以AB →·CD →＝AB →·(kAB →－AC →) ＝kAB →2－AB →·AC → ＝25k －5×6×12＝25k －15＝－5，解得k ＝25，所以|BD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25|AB →|＝3.(2)设向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ·(a －b )＝3，则a 与b 的夹角为________． 答案π3解析 由题意得a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝4－2×1×cos α＝4－2cos α＝3， ∴cos α＝12，∵0≤α≤π，∴α＝π3.(3)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝2，a ·b ＝－2，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值为________． 答案 4解析 因为|a |＝|b |＝2，a ·b ＝－2，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，〈a ，b 〉＝120°.如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c ，∠AOB ＝120°. 所以∠ACB ＝60°，所以∠AOB ＋∠ACB ＝180°， 所以A ，O ，B ，C 四点共圆． 不妨设为圆M ，因为AB →＝b －a ， 所以AB →2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝12. 所以|AB →|＝23，由正弦定理可得△AOB 的外接圆即圆M 的直径为 2R ＝|AB →|sin∠AOB＝4.所以当|OC →|为圆M 的直径时，|c |取得最大值4.命题点2 平面向量的平行与垂直例2在平面直角坐标系xOy 中，已知向量AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，且AD →∥BC →. (1)求x 与y 之间的关系式；(2)若AC →⊥BD →，求四边形ABCD 的面积．解 (1)由题意得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)，BC →＝(x ，y )． 因为AD →∥BC →，所以(x ＋4)y －(y －2)x ＝0， 即x ＋2y ＝0.(2)由题意AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)， BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)． 因为AC →⊥BD →，所以(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0， 即x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1时，AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)，S 四边形ABCD ＝12×AC ×BD ＝16；当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3时，AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)，S 四边形ABCD ＝12×AC ×BD ＝16.所以四边形ABCD 的面积为16. 思维升华 (1)求解平面向量模的方法 ①利用公式|a |＝x 2＋y 2. ②利用|a |＝a 2.(2)求平面向量的夹角的方法 ①定义法：cos θ＝a·b|a||b |，θ的取值范围为[0，π]．②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. ③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．跟踪训练1(1)(2018·江苏无锡梅村高中模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，△BCD 是等边三角形，若AC →·BD →＝1，则AD 的长为________．答案6解析 取BD 的中点H ，连结AH ，CH ，由△BCD 为等边三角形，可得CH ⊥BD ， 由AC →·BD →＝1，可得(AH →＋HC →)·BD →＝AH →·BD →＋HC →·BD →＝A H →·BD →＝12(AD →＋AB →)·(AD →－AB →)＝12(AD →2－AB →2)＝1， 可得AD →2＝AB →2＋2＝4＋2＝6， 所以|AD →|＝ 6.(2)已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，233解析 设在△ABC 中，a ＝|β|＝1，A ＝60°，|α|＝c ， 由正弦定理得a sin A ＝csin C ， 则a sin C sin A ＝c ，即c ＝2 33sin C . 又0<sin C ≤1，即c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，233，则α的模的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，233.(3)设a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，a ＝(1,2)． ①若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；②若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解 ①因为c ∥a ，设c ＝λa ＝(λ，2λ)， 又|c |＝25，所以5λ2＝20，解得λ＝±2， 所以c ＝(2,4)或(－2，－4)． ②因为(a ＋2b )·(2a －b )＝0， 所以2a 2－a ·b ＋4a ·b －2b 2＝0，解得a ·b ＝－52，即5·52·cos θ＝－52，又0≤θ≤π，所以θ＝π.题型三 平面向量与三角函数例3如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B ，P 在单位圆上，且B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，∠AOB ＝α，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，OQ →＝OA →＋OP →，四边形OAQP 的面积为S .(1)求cos α＋sin α；(2)求OA →·OQ →＋S 的最大值及此时θ的值θ0.解 (1)∵B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，∠AOB ＝α， ∴cos α＝－35，sin α＝45，∴cos α＋sin α＝15.(2)由已知得A (1,0)，P (cos θ，sin θ)， ∴OQ →＝(1＋cos θ，sin θ)， OA →·OQ →＝1＋cos θ， 又S ＝sin θ，∴OA →·OQ →＋S ＝sin θ＋cos θ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1， 又0<θ<π，∴π4<θ＋π4<5π4，∴－22<sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1， 则OA →·OQ →＋S 的最大值为2＋1， 此时θ0＝π2－π4＝π4.思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． 跟踪训练2在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.1．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，则AB →·AC →＝________.答案 －2解析 由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝22＋22－(23)22×2×2＝－12，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|2a －b |＝________. 答案 2 2解析 根据题意，|a －b |＝3＋2＝5， 则(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝5－2a ·b ＝5， 可得a ·b ＝0，结合|a |＝1，|b |＝2， 可得(2a －b )2＝4a 2＋b 2－4a ·b ＝4＋4＝8， 则||2a －b ＝2 2.3．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，则实数k 的值为________． 答案 －1解析 向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)， 则k a －2b ＝()k －4，k ＋6.若k a －2b 与a 垂直，则k －4＋k ＋6＝0， 解得k ＝－1.4．已知四边形ABCD ，若AC →·BD →＝AB →·CD →＝2，则AD →·BC →的值为________． 答案 0解析 因为AC →·BD →＝(AB →＋BC →)·(BC →＋CD →)＝AB →·CD →＋(AB →＋BC →＋CD →)·BC →＝AB →·CD →＋AD →·BC →， 所以AD →·BC →＝AC →·BD →－AB →·CD →＝0.5．(2018·苏北四市考试)如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，P 为AB 上的一点，若OP →·OA →＝2，则OP →·AB →的值为________．答案 －2＋2 3解析 方法一 因为OP →·OA →＝|OP →|·|OA →|·cos∠AOP ＝2×2×cos∠AOP ＝2， 所以∠AOP ＝60°，∠BOP ＝30°，所以OP →·AB →＝OP →·(OB →－OA →) ＝OP →·OB →－OA →·OP →＝|OP →|·|OB →|·cos∠BOP －2 ＝2×2×cos30°－2＝－2＋2 3.方法二 以O 为坐标原点，OA ，OB 所在直线分别为x 轴、y 轴．设∠AOP ＝θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则P (2cos θ，2sin θ)，A (2,0)，B (0,2)， 则OP →·OA →＝(2cos θ，2sin θ)·(2,0) ＝4cos θ＝2，解得cos θ＝12，即θ＝π3，所以P (1，3)，则OP →·AB →＝(1，3)·(－2,2) ＝－2＋2 3.6．(2018·江苏无锡梅村高中月考)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝2，|a ＋2b |＝5，则向量a ，b 夹角的余弦值为________． 答案516解析 因为平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝2，|a ＋2b |＝5， 则|a ＋2b |＝a 2＋4b 2＋4a ·b＝22＋4×22＋4×2×2cos〈a ，b 〉＝5， 解得cos 〈a ，b 〉＝516.7．已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内(含边界)一动点，则MA →·MB →的取值范围是________． 答案 [－1,3] 解析 如图所示，由题意可得，点M 所在区域的不等式表示为(x －1)2＋(y －1)2≤1(0≤x ≤2,0≤y ≤2)． 可设点M (x ，y )，A (0,0)，B (2,0)．∴MA →·MB →＝(－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝－x (2－x )＋y 2＝(x －1)2＋y 2－1，由(x －1)2＋y 2∈[0,2]，∴MA →·MB →∈[－1,3]．8.如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°，D 是BC 的中点，则BA →·AD →的值为________．答案 －17解析 如图，建立平面直角坐标系，则C (0,0)，A (3,0)，B (0,4)，D (0,2)． 则BA →＝(3，－4)，AD →＝(－3,2)． ∴BA →·AD →＝3×(－3)－4×2＝－17.9．(2018·南京模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM →＝λBC →.若AM →·BC →＝－173，则实数λ的值为________． 答案 13解析 由题意知，AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →，所以AM →·BC →＝[(1－λ)AB →＋λAC →]·(AC →－AB →)＝(λ－1)·AB →2＋λAC →2＋(1－2λ)AB →·AC →＝9(λ－1)＋4λ＋(1－2λ)×3×2×cos120°＝19λ－12＝－173，所以λ＝13.10．(2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．答案 78解析 设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点， 则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b . AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1.可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b .CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56a ＋16b ⎝ ⎛⎭⎪⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.11．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，求PA →·(PB →＋PC →)的最小值． 解 方法一 设BC 的中点为D ，AD 的中点为E ，则有PB →＋PC →＝2PD →， 则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD → ＝2(PE →＋EA →)·(PE →－EA →) ＝2(PE →2－EA →2)． 而AE →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，当P 与E 重合时，PE →2有最小值0， 故此时PA →·(PB →＋PC →)取最小值， 最小值为－2EA →2＝－2×34＝－32.方法二 以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A (－1,0)，B (1,0)，C (0，3)， 设P (x ，y )，取BC 的中点D ， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝2(－1－x ，－y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，32－y＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342－34.因此，当x ＝－14，y ＝34时，PA →·(PB →＋PC →)取最小值，为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32.12．(2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0.于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32，于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.13．已知O 是△ABC 内部一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为________． 答案33解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴OA →＋OB →＝－OC →，∴O 为三角形的重心， ∴△OBC 的面积为△ABC 面积的13，∵AB →·AC →＝2，∴|AB →||AC →|cos∠BAC ＝2， ∵∠BAC ＝60°，∴|AB →||AC →|＝4， △ABC 的面积为12|AB →||AC →|sin∠BAC ＝3，∴△OBC 的面积为33. 14．在△ABC 中，∠A ＝120°，AB →·AC →＝－3，点G 是△ABC 的重心，则|AG →|的最小值是________．答案63解析 设BC 的中点为D ， 因为点G 是△ABC 的重心，所以AG →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，再令|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，则AB →·AC →＝bc cos120°＝－3，所以bc ＝6， 所以|AG →|2＝19(|AB →|2＋2AB →·AC →＋|AC →|2)＝19(c 2＋b 2－6)≥19(2bc －6)＝23， 所以|AG →|≥63，当且仅当b ＝c ＝6时取等号．15.如图，等边△ABC 的边长为2，顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴，y 轴的非负半轴上滑动，M 为AB 的中点，则OA →·OM →的最大值为________．答案 52＋7解析 设∠OBC ＝θ，则B ()2cos θ，0，C ()0，2sin θ，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos θ－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，M ⎝⎛⎭⎪⎫2cos θ－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，OA →·OM →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos θ－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos θ－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 ＝4cos 2θ＋2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－6cos θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 ＝2＋4cos 2θ－6cos θcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝2＋4cos 2θ－6cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ－32sin θ＝2＋cos 2θ＋33sin θcos θ ＝52＋12cos2θ＋332sin2θ ＝52＋7sin ()2θ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝39. ∴OA →·OM →的最大值为52＋7.16．已知OP →，OQ →是非零不共线的向量，设OM →＝1m ＋1OP →＋m m ＋1OQ →，定义点集A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫F ⎪⎪⎪⎪FP →·FM →||FP→＝FQ →·FM →||FQ →，当F 1，F 2∈A 时，若对于任意的m ≥3，当F 1，F 2不在直线PQ 上时，不等式||F 1F 2→≤k ||PQ →恒成立，求实数k 的最小值． 解 由OM →＝1m ＋1OP →＋m m ＋1OQ →(m ≥3)，可得P ，Q ，M 三点共线且PMQM＝m ，由A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫F⎪⎪⎪⎪FP →·FM →||FP →＝FQ →·FM→||FQ →， 可得||FM →cos∠PFM ＝||FM →cos∠QFM ， 即∠PFM ＝∠QFM ，则FM 为∠PFQ 的角平分线， 由角平分线的性质定理可得PF QF ＝PMQM＝m ， 以P 为坐标原点，PQ 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则P ()0，0，Q ()1＋m ，0，F (x ，y )，于是x 2＋y 2()x －1－m 2＋y2＝m ，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 21－m 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m m －12， 故点F (x ，y )是以⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m －1，0为圆心，m m －1为半径的圆．要使得不等式||F 1F 2→||≤k PQ →对m ≥3恒成立，只需2m m－1≤k()m＋1，即k≥2mm2－1＝21m－1m 对m≥3恒成立，∴k≥2×13－13＝34.。

1. 下列式子：①2a ba ⋅＝b a；②（a ·b ）2＝a 2·b 2；③a ·a ·a ＝a 3；④（a ·b ）·c ＝a ·（b ·c ） 其中错误的序号为________。

*2. （安徽高考）若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为_______。

**3. （山东高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝（－1，t ），OB ＝（2，2），若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________。

*4. 在边长为1的正三角形ABC 中，设＝2，＝3，则·＝________。

**5. 已知向量a ＝（1，2），b ＝（－2，－4），|c |＝5，若（a ＋b ）·c ＝25，则a 与c 的夹角是________。

**6. 已知向量＝（2，2），＝（4，1），O 为坐标原点，在x 轴上取一点P 使AP →·BP→有最小值，则点P 的坐标是________。

**7. 已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？**8. 已知|a |＝2，|b |＝3，a 和b 的夹角为45°，求当向量a ＋λb 与a ＋b 的夹角为锐角时λ的取值范围。

***9. 已知a ＝（3，－1），b ＝（21，23），且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋（t 2－3）b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求tt k 2+的最小值。

1. ①②④ 解析：①错，因为不存在这样的运算，向量间只能作加、减、乘运算，此题应分子、分母先分开算；②错，因为（a ·b ）2＝（|a |·|b |cos θ）2＝a 2·b 2cos 2θ不一定与a 2·b 2相等；④错，因为a 与c 方向未必一致。

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】专题5.3 平面向量的数量积一、填空题1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝ 【解析】因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD ·AC ＝【解析】由四边形ABCD 是平行四边形，知AC ＝AB ＋AD ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故AD ·AC ＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为 【解析】由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则－λ2＋2λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n⊥(t m＋n )，则实数t 的值为5．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ·BC 的值为【解析】如图所示，AF ＝AD ＋DF .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ＝12AB ，DF ＝12AC ＋14AC ＝34AC ，所以AF ＝12AB ＋34AC .又BC ＝AC －AB ，则AF ·BC ＝12AB ＋34AC ·(AC －AB )＝12AB ·AC －12AB 2＋34AC 2－34AC ·AB ＝34AC 2－12AB 2－14AC ·AB .又|AB |＝|AC |＝1，∠BAC ＝60°，故AF ·BC ＝34－12－14×1×1×12＝18.6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R ，若BQ ·CP ＝－32，则λ＝7．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________. 【解析】由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－82＝8 2.8．已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________． 【解析】∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3.9．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．【解析】a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.10.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ·AN 的最大值为________．【解析】设AN ＝λAB ＋μAD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.AM ＝AD ＋12DC ＝12AB ＋AD .所以AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AB ＋AD ·(λAB ＋μAD )＝λ2AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AB ·AD ＋μAD 2＝λ2×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤AM ·AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时，AM ·AN 有最大值9，此时，N 位于C 点． 二、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cosB ，cos A )，m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA ·(AB －AC )＝18，求边c 的长． 解：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， 对于△ABC ，A ＋B ＝π－C,0＜C ＜π， ∴sin(A ＋B )＝sin C ， ∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，∴sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b .∵CA ·(AB －AC )＝18， ∴CA ·CB ＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab，∴c2＝4c2－3×36，c2＝36，∴c＝6.高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin = ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。

1．(2019·江西省临川第一中学模拟)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(m ，－1)，且a ⊥(a －b )，则m 的值为( )A ．1B ．3C ．1或3D ．4答案 B解析 因为a ＝(2,1)，b ＝(m ，－1)，所以a －b ＝(2－m ,2)，因为a ⊥(a －b )，则a ·(a －b )＝2(2－m )＋2＝0，解得m ＝3.故选B.2．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝1＋(t －3)2＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2，故选C.3．(2020·拉萨模拟)已知向量a ，b 的夹角为π2，且a ＝(2，－1)，|b |＝2，则|a ＋2b |等于( ) A ．2 3 B ．3 C.21 D.41答案 C解析 由已知|a |＝22＋(－1)2＝5，a ·b ＝|a ||b |cos π2＝0， ∴|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝(5)2＋4×22＝21，∴|a ＋2b |＝21.故选C.4．(2019·湖南省桃江县第一中学模拟)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且|b ＋a |＝2，则向量a 与b 的夹角的余弦值为( ) A.22 B.23 C.28 D.24答案 D解析 由题意可知，|b ＋a |2＝b 2＋2a ·b ＋a 2＝3＋2a ·b ＝4，解得a ·b ＝12，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝122＝24，故选D. 5．(2019·东莞模拟)已知非零向量m ，n 满足|n |＝4|m |，且m ⊥(2m ＋n )，则m ，n 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 D解析 ∵|n |＝4|m |，且m ⊥(2m ＋n )，∴m ·(2m ＋n )＝2m 2＋m ·n ＝2|m |2＋|m ||n |cos 〈m ，n 〉＝0，且|m |≠0，|n |≠0，∴2|m |＋|n |cos 〈m ，n 〉＝0，∴cos 〈m ，n 〉＝－2|m ||n |＝－12， 又0≤〈m ，n 〉≤π，∴〈m ，n 〉＝2π3.故选D. 6．已知向量a ＝(sin θ，3)，b ＝(1，cos θ)，|θ|≤π3，则|a －b |的最大值为( ) A ．2 B. 5 C ．3 D ．5答案 B解析 由已知可得|a －b |2＝(sin θ－1)2＋(3－cos θ)2＝5－4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3.因为|θ|≤π3，所以0≤θ＋π3≤2π3，所以当θ＝－π3时，|a －b |2的最大值为5－0＝5， 故|a －b |的最大值为 5.7．(多选)设a ，b 是两个非零向量．则下列命题为假命题的是( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |答案 ABD解析 对于A ，若|a ＋b |＝|a |－|b |，则|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |，得a ·b ＝－|a ||b |≠0，a 与b 不垂直，所以A 为假命题；对于B ，由A 解析可知，若a ⊥b ，则|a ＋b |≠|a |－|b |，所以B 为假命题；对于C ，若|a ＋b |＝|a |－|b |，则|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |，得a ·b ＝－|a ||b |，则cos θ＝－1，则a 与b 反向，因此存在实数λ，使得b ＝λa ，所以C 为真命题．对于D ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则a ·b ＝λ|a |2，－|a ||b |＝λ|a |2，由于λ不能等于0，因此a ·b ≠－|a ||b |，则|a ＋b |≠|a |－|b |，所以D 不正确．故选ABD.8．(多选)设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是( )A ．(a ·b )c －(c ·a )b ＝0B ．|a |－|b |＜|a －b |C ．(b ·c )a －(a ·c )b 不与c 垂直D ．(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2答案 BD解析 由于b ，c 是不共线的向量，因此(a ·b )c 与(c ·a )b 相减的结果应为向量，故A 错误； 由于a ，b 不共线，故a ，b ，a －b 构成三角形，因此B 正确；由于[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，故C 中两向量垂直，故C 错误； 根据向量数量积的运算可以得出D 是正确的．故选BD.9．(2020·景德镇模拟)已知两个单位向量a ，b 的夹角为30°，c ＝m a ＋(1－m )b ，b ·c ＝0，则m ＝________.答案 4＋2 3解析 b ·c ＝b ·[m a ＋(1－m )b ]＝m a ·b ＋(1－m )b 2＝m |a ||b |cos 30°＋(1－m )|b |2＝32m ＋1－m ＝0， 所以m ＝4＋2 3.10．(2019·镇江模拟)已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，点E ，F 分别在边AD ，DC上，BE →＝12(BA →＋BD →)，DF →＝13DC →，则BE →·BF →＝________. 答案 223 解析 连接AC ，BD 交于点O ，以O 为原点，以OC →，OD →的方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立直角坐标系，如图所示，∵菱形边长为2，∠ABC ＝60°，∴A (－1,0)，B (0，－3)，C (1,0)，D (0，3)，∵BE →＝12(BA →＋BD →)， ∴E 为AD 的中点，∴E ⎝⎛⎭⎫－12，32， ∵DF →＝13DC →，∴F ⎝⎛⎭⎫13，233， ∴BE →＝⎝⎛⎭⎫－12，332，BF →＝⎝⎛⎭⎫13，533， ∴BE →·BF →＝－16＋152＝223. 11．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a·b －27＝61，所以a·b ＝－6，所以cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12. 又0≤θ≤π，所以θ＝2π3. (2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a ＋b |＝13. (3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3， 所以∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|·sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. 12．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0，于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3； 当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.13．(2019·衡阳模拟)在△ABC 中，∠A ＝120°，AB →·AC →＝－3，点G 是△ABC 的重心，则|AG →|的最小值是( ) A.23 B.63 C.23 D.53答案 B解析 设BC 的中点为D ，因为点G 是△ABC 的重心，所以AG →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)， 再令|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，则AB →·AC →＝bc cos 120°＝－3，所以bc ＝6，所以|AG →|2＝19(|AB →|2＋2AB →·AC →＋|AC →|2) ＝19(c 2＋b 2－6)≥19(2bc －6)＝23， 所以|AG →|≥63， 当且仅当b ＝c ＝6时取等号，故选B.14．(多选)如图所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2，CD ＝1，BC ＝a (a＞0)，P 为线段AD (含端点)上一个动点，设AP →＝xAD →，PB →·PC →＝y ，对于函数y ＝f (x )，以下四个结论中正确的是( )A ．当a ＝2时，函数的值域为[1,4]B ．∀a ∈(0，＋∞)，都有f (1)＝1成立C ．∀a ∈(0，＋∞)，函数f (x )的最大值都等于4D ．若f (x )在(0,1)上单调递减，则a ∈(0，2]答案 BCD解析 如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2，CD ＝1，BC ＝a (a ＞0)，∴B (0,0)，A (－2,0)，D (－1，a )，C (0，a )．∵AP →＝xAD →(0≤x ≤1)．∴BP →＝BA →＋AP →＝(－2,0)＋x (1，a )＝(x －2，xa )，PC →＝PB →＋BC →＝－(x －2，xa )＋(0，a )＝(2－x ，a －xa )．∴y ＝f (x )＝PB →·PC →＝(2－x ，－xa )·(2－x ，a －xa )＝(2－x )2－ax (a －xa )＝(a 2＋1)x 2－(4＋a 2)x ＋4(0≤x ≤1)．当a ＝2时，y ＝f (x )＝5x 2－8x ＋4＝5⎝⎛⎭⎫x －452＋45， ∵0≤x ≤1，∴当x ＝45时，f (x )取得最小值45； 又f (0)＝4，f (1)＝1，∴f (x )max ＝f (0)＝4.综上可得，函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤45，1，因此A 不正确．由y ＝f (x )＝(a 2＋1)x 2－(4＋a 2)x ＋4.可得∀a ∈(0，＋∞)，都有f (1)＝1成立，因此B 正确；由y ＝f (x )＝(a 2＋1)x 2－(4＋a 2)x ＋4.可知对称轴x 0＝4＋a 22(a 2＋1). 当0＜a ≤2时，x 0≥1，∴函数f (x )在[0,1]上单调递减，因此当x ＝0时，函数f (x )取得最大值4.当a ＞2时，0＜x 0＜1，函数f (x )在[0，x 0)上单调递减，在(x 0，1]上单调递增．又f (0)＝4，f (1)＝1，∴f (x )max ＝f (0)＝4.因此C 正确．f (x )在(0,1)上单调递减，则a ∈(0，2]，因此D 正确．故选BCD.15．若向量a ，b ，c 满足a ≠b ，c ≠0，且(c －a )·(c －b )＝0，则|a ＋b |＋|a －b ||c |的最小值是( ) A. 3 B ．2 2 C ．2 D.32答案 C解析 设向量a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，则由(c －a )·(c －b )＝0得AC →·BC →＝0，即C 的轨迹为以AB 为直径的圆，圆心为AB 的中点M ，半径为12|AB →|， 因此|c |＝|OC →|≤|OM →|＋r ＝12|OA →＋OB →|＋12|AB →| ＝12|OA →＋OB →|＋12|OA →－OB →| ＝12|a ＋b |＋12|a －b |， 从而|a ＋b |＋|a －b ||c |≥2，故选C. 16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1,0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝3π4，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值； (2)若θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m ·n 的最小值及对应的θ值． 解 (1)设D (t ,0)(0≤t ≤1)，由题意知C ⎝⎛⎭⎫－22，22， 所以OC →＋OD →＝⎝⎛⎭⎫－22＋t ，22， 所以|OC →＋OD →|2＝⎝⎛⎭⎫t －222＋12， 所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，最小值为22.(2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC →＝(cos θ＋1，sin θ)，则m ·n ＝1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4， 因为θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4， 所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4取得最大值1，即m ·n 取得最小值1－ 2. 所以m ·n 的最小值为1－2，此时θ＝π8.。

平面向量的数量积考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理 1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． 2．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积，记作a ·b .3．平面向量数量积的几何意义设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 与b 是方向相同的单位向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θe . 4．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.几何表示 坐标表示数量积 a·b ＝|a ||b |cos θa·b ＝x 1x 2＋y 1y 2模|a |＝a ·a|a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 a∥b 的充要条件a ＝λb (λ∈R )x 1y 2－x 2y 1＝0|a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b | (当且仅当a ∥b 时等号成立)|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21x 22＋y 22常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a ，b .(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0. (2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( × )(2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角．( × )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ ) (4)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 教材改编题1．(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( ) A ．0·a ＝0B ．a ·b ＝b ·c ，则a ＝cC ．a ·b ＝0⇒a ⊥bD ．(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2答案 CD2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 33．已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________．9解析 设a ，b 的夹角为θ， 依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0， 则2a 2－3a ·b －2b 2＝0，故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0， 则cos θ＝－59.题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝_________；a ·b ＝________. 答案 0 3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)， ∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0，a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD 中，已知AB →＝DC →，P 为CD 上一点，CP →＝3PD →，|AB →| ＝4，|AD →|＝3，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝23，则AP →·PB →＝________.答案 －2 解析 如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3，3则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB →－AD →＝12AB →·AD →－AD →2＋316AB →2＝12×8－9＋316×42＝－2. 教师备选1．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3B ．－2C ．2D ．3 答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)， 所以|BC →|＝12＋t －32＝1，解得t ＝3， 所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．①若BD →＝xBA →＋yBC →，则x ＋y ＝________；②BD →·BM →＝________. 答案 341解析 ①∵M 是BC 的中点， ∴BM →＝12BC →，∵D 是AM 的中点，∴BD →＝12BA →＋12BM →＝12BA →＋14BC →，∴x ＝12，y ＝14，∴x ＋y ＝34.②∵△ABC 是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，且BM ＝1，∴BD →·BM →＝|BD →||BM →|cos∠DBM ＝|BM →|2＝1.思维升华 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________. 答案 －92解析 由已知可得(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝9＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， 因此a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－92.(2)(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 向量的模例2 已知向量a ，b 满足|a |＝6，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝____________，|a －3b |＝________. 答案 219 6 3解析 因为|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝6×4×12＝12，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋24＋16＝76， (a －3b )2＝a 2－6a·b ＋9b 2＝36－72＋144 ＝108，所以|a ＋b |＝219，|a －3b |＝6 3. 命题点2 向量的夹角例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 命题点3 向量的垂直例4 (2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析 方法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)， ∵(a －λb )⊥b ，∴(a －λb )·b ＝0， 即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.方法二 由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0， 从而λ＝a ·b b 2＝1，3·3，432＋42＝1525＝35. 教师备选1．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α， ∵(a －b )⊥b ， ∴(a －b )·b ＝0， ∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |， ∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.2．已知e 1，e 2是两个单位向量，且|e 1＋e 2|＝3，则|e 1－e 2|＝________. 答案 1解析 由|e 1＋e 2|＝3，两边平方， 得e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝3.又e 1，e 2是单位向量， 所以2e 1·e 2＝1，所以|e 1－e 2|2＝e 21－2e 1·e 2＋e 22＝1， 所以|e 1－e 2|＝1.思维升华 (1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a ||b |，求解时应求出a ·b ，|a |，|b |的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |(其中a ≠0，b ≠0)．跟踪训练2 (1)已知单位向量a ，b 满足a ·b ＝0，若向量c ＝7a ＋2b ，则sin 〈a ，c 〉等于( ) A.73B.23C.79D.29答案 B解析 方法一 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则c ＝(7，2)，∴cos〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝73，∴sin〈a ，c 〉＝23. 方法二 a ·c ＝a ·(7a ＋2b ) ＝7a 2＋2a ·b ＝7， |c |＝7a ＋2b2＝7a 2＋2b 2＋214a ·b ＝7＋2＝3，∴cos〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝71×3＝73，∴sin〈a ，c 〉＝23. (2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( ) A ．|OP 1—→|＝|OP 2—→| B ．|AP 1—→|＝|AP 2—→| C.OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→ D.OA →·OP 1—→＝OP 2—→·OP 3—→ 答案 AC解析 由题意可知，|OP 1—→|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OP 2—→|＝cos 2β＋－sin β2＝1，所以|OP 1—→|＝|OP 2—→|，故A 正确； 取α＝π4，则P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 则|AP 1—→|≠|AP 2—→|，故B 错误； 因为OA →·OP 3—→＝cos(α＋β)，OP 1—→·OP 2—→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→，故C 正确； 因为OA →·OP 1—→＝cos α，OP 2—→·OP 3—→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β) ＝cos(α＋2β)， 取α＝π4，β＝π4，则OA —→·OP 1—→＝22，OP 2—→·OP 3—→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1—→≠OP 2—→·OP 3—→，故D 错误． 题型三 平面向量的实际应用例5 (多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是( )A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案 ACD解析 由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0， 可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得 |G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ， 所以|F 1|2＝|G |221＋cos θ.当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误． 教师备选若平面上的三个力F 1，F 2，F 3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求：(1)F 3的大小；(2)F 3与F 1夹角的大小． 解 (1)∵三个力平衡， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝|F 1|2＋2F 1·F 2＋|F 2|2＝12＋2×1×6＋22cos45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222＝4＋23＝1＋ 3.(2)方法一 设F 3与F 1的夹角为θ， 则|F 2|＝|F 1|2＋|F 3|2＋2|F 1||F 3|cos θ， 即6＋22＝12＋1＋32＋2×1×1＋3cos θ，解得cos θ＝－32， ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝5π6.方法二 设F 3与F 1的夹角为θ， 由余弦定理得cos(π－θ)＝12＋1＋32－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2222×1×1＋3＝32，∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10km/h ，水流速度的大小为|ν2|＝6km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A ′在码头A 的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )A ．在A ′东侧B ．在A ′西侧C ．恰好与A ′重合D ．无法确定答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6,0)， 所以ν1＋ν2＝(1,53)，说明游船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A ′东侧．极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式a ·b ＝14[]a ＋b2－a －b2.如图所示．(1)在平行四边形ABDC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则a·b ＝14(|AD →|2－|BC →|2)．(2)在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线，则a·b ＝|AM →|2－14|BC →|2.例1 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 －16解析 如图所示，由极化恒等式，易得AB →·AC →＝AM →2－MB →2＝32－52＝－16.例2 已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则PA →·PB →的最小值是________． 答案 1解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直于直线x －y ＋2＝0时，PA →·PB →有最小值，即PA →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1B ．2C.2D.22答案 C解析 如图所示，设OA →⊥OB →，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，M 为AB 的中点，由极化恒等式有(a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CM →|2－|AB →|24＝0，∴|CM →|2＝|AB →|24＝12，可知MC →是有固定起点，固定模长的动向量．点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且点O 也在此圆上， 所以|c |的最大值为圆的直径长，即为 2.课时精练1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2b B ．2a ＋b C ．a －2b D ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1， 设a ，b 的夹角为θ＝60°， 故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2＝12＋2＝52≠0； 对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2 ＝12－2＝－32≠0； 对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.2．(2022·石家庄模拟)已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2,1)，b ∥c ，a ·c ＝4，则|c |等于( ) A ．2 5 B ．4 C ．5 2 D ．4 2答案 A解析 因为b ∥c ，所以c ＝λb ＝(2λ，λ)(λ∈R )， 又a ·c ＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c ＝(4,2)，|c |＝42＋22＝2 5.3．(2022·沈阳模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则a －b 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 D解析 |a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，等号左右同时平方，得|a ＋b |2＝|a －b |2＝4|a |2，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝4|a |2， 所以a ·b ＝0且|b |2＝3|a |2， 所以|a －b |＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝233|b |，所以cos 〈a －b ，b 〉＝a －b ·b|a －b ||b |＝－|b |2233|b |·|b |＝－32， 因为〈a －b ，b 〉∈[0，π]，所以〈a －b ，b 〉＝5π6.4．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫255，－55或⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，55B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55或⎝ ⎛⎭⎪⎫255，55C.⎝⎛⎭⎪⎫255，55 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，55答案 A解析 由题意得a －2b ＝(－2－2k ,7)， ∵(a －2b )⊥c ， ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0， 解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)， ∴e ＝±b62＋－32＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫255，－55.5．(多选)(2022·盐城模拟)下列关于向量a ，b ，c 的运算，一定成立的有( ) A ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c B ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) C ．a ·b ≤|a |·|b | D ．|a －b |≤|a |＋|b | 答案 ACD解析 根据数量积的分配律可知A 正确；选项B 中，左边为c 的共线向量，右边为a 的共线向量，故B 不正确； 根据数量积的定义，可知a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉≤|a |·|b |，故C 正确；|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos〈a ，b 〉≤|a |2＋|b |2＋2|a ||b |＝(|a |＋|b |)2，故|a －b |≤|a |＋|b |，故D 正确．6．(多选)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(m －2，－n )，其中m ，n 均为正数，且(a －b )∥c ，则下列说法正确的是( ) A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b 上的投影向量为22b C ．2m ＋n ＝4 D ．mn 的最大值为2 答案 CD解析 对于A ，向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)， 则a·b ＝2－1＝1>0， 又a ，b 不共线，所以a ，b 的夹角为锐角，故A 错误； 对于B ，向量a 在b 上的投影向量为a·b |b |·b |b |＝12b ，B 错误；对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，C 正确； 对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，D 正确．7．(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 c ＝(3,1)＋(k ,0)＝(3＋k ,1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.8．(2020·全国Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－－1＋1＝ 3.9．(2022·长沙模拟)在△ABC 中，BC 的中点为D ，设向量AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →；(2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，求AB →·AD →的值． 解 (1)AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ， 所以AD →＝12a ＋12b .(2)AB →·AD →＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b＝12a 2＋12a·b ＝12×32＋12×3×2×cos60°＝6， 所以AB →·AD →＝6.10．(2022·湛江模拟)已知向量m ＝(3sin x ，cos x －1)，n ＝(cos x ，cos x ＋1)，若f (x )＝m·n .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在Rt△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∠A ＝90°，f (C )＝0，c ＝3，CD 为∠BCA 的角平分线，E 为CD 的中点，求BE 的长． 解 (1)f (x )＝m·n ＝3sin x ·cos x ＋cos 2x －1 ＝32sin2x ＋12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－12.令2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6－12＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，又C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以C ＝π3.在△ACD 中，CD ＝233，在△BCE 中，BE ＝22＋⎝⎛⎭⎪⎫332－2×2×33×32＝213.11．(2022·黄冈质检)圆内接四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，BD 是圆的直径，则AC →·BD →等于( ) A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－20答案 B解析 如图所示，由题知∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝2，CD ＝4，∴AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·BD → ＝AD →·BD →＋DC →·BD →＝|AD →||BD →|cos∠BDA －|DC →||BD →|cos∠BDC ＝|AD →|2－|DC →|2＝4－16＝－12.12．在△ABC 中，已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形 答案 A解析 AB→|AB →|，AC→|AC →|分别为与AB →，AC →方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量AB →|AB →|＋AC→|AC →|所在的直线为∠BAC 的平分线．因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0， 所以∠BAC 的平分线垂直于BC ， 所以AB ＝AC .又AB→|AB →|·AC→|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos∠BAC ＝12， 所以cos∠BAC ＝12，∠BAC ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，|F 1|＝|F 2|＝102N ，则物体的重力大小为________N.答案 20解析 如图所示，∵|F 1|＝|F 2|＝102N ， ∴|F 1＋F 2|＝102×2＝20N ， ∴物体的重力大小为20N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB 于点E ，DF ∥AB 且交AC 于点F ，则|2BE →＋DF →|的值为________；(DE →＋DF →)·DA →的最小值为________． 答案 11120解析 设BE ＝x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ， ∴∠BDE ＝30°，BD ＝2x ，DE ＝3x ，DC ＝1－2x ，∵DF ∥AB ，∴△DFC 为边长为1－2x 的等边三角形，DE ⊥DF ，∴(2BE →＋DF →)2＝4BE →2＋4BE →·DF →＋DF →2＝4x 2＋4x (1－2x )×cos0°＋(1－2x )2＝1， ∴|2BE →＋DF →|＝1，∵(DE →＋DF →)·DA →＝(DE →＋DF →)·(DE →＋EA →)＝DE →2＋DF →·EA →＝(3x )2＋(1－2x )×(1－x )＝5x 2－3x ＋1＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3102＋1120， ∴当x ＝310时，(DE →＋DF →)·DA →的最小值为1120.15．(多选)定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论，正确的是( ) A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )C ．(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗cD ．若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1 答案 AD解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a ·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故A 正确；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故B 错误；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 错误；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a ·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故D 正确．16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝ (cos B ，cos A )，m ·n ＝sin2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c . 解 (1)m ·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ,0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ， 所以m·n ＝sin C ， 又m·n ＝sin2C ，所以sin2C ＝sin C ，cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 可得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b .21 因为CA →·(AB →－AC →)＝18， 所以CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， 所以c ＝6.。

第36课平面向量的数量积A 应知应会1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,a,b之间的夹角为60°,那么a·(a+b)=.2.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=.若(a+b)·c=,则向量a与c的夹角为.3.(2016·常州期末)已知向量a=(4x,2x),b=,x∈R.若a⊥b,则|a-b|=.4.在平面直角坐标系xOy中,点A(1,0),函数y=e x的图象与y轴的交点为B,P为函数y=e x图象上的任意一点,则·的最小值为.5.已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2.(1)求|a+b|;(2)求|3a-4b|;(3)求(a-2b)·(a+b).6.已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,a=3e1-2e2,b=2e1-3e2.(1)求a·b;(2)求a+b与a-b的夹角.B 巩固提升1.(2015·四川卷)已知四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4.若点M,N满足=3,=2,则·=.(第2题)2.(2015·苏州调查)如图,AB是半径为3的圆O的直径,P是圆O上异于A,B的一点,Q是线段AP上靠近点A的三等分点,且·=4,则·=.3.(2016·苏州、无锡、常州、镇江二模)在平面直角坐标系中,M是函数f(x)=(x>0)图象上的任意一点,过点M分别向直线y=x和y轴作垂线,垂足分别是点A,B,则·=.(第4题)4.如图,在△ABC中,已知AB=4,AC=6,∠BAC=60°,点D,E分别在边AB,AC上,且=2,=3.若F为DE 的中点,则·的值为.5.已知向量a=,b=cos ,-sin ,且θ∈.(1)求的最值;(2)是否存在实数k,使得|k a+b|=|a-k b|?6.(2016·江苏卷)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点.已知·=4,·=-1,求·的值.(第6题)第36课平面向量的数量积A 应知应会1.【解析】a·(a+b)=a2+a·b=1+|a||b|cos 60°=1+1×3×=.2.120°【解析】因为a+b=(-1,-2),故a+b与a方向相反,且模相等.设向量a+b与c的夹角为θ,则cosθ===,所以c与a+b的夹角θ=60°,所以a与c的夹角为120°.3.2【解析】因为a⊥b,所以4x+2x·=4x+2x-2=0,解得2x=-2(舍去)或2x=1,故a=(1,1),b=(1,-1),故a-b=(0,2),所以|a-b|=2.4. 1【解析】由题意得B(0,1).设P(x,e x),则=(-1,1),=(x,e x),所以·=-x+e x.令f(x)=e x-x,则f'(x)=e x-1.令f'(x)=0,得x=0,求得最小值为f(0)=1.5.【解答】由题知a·b=|a|·|b|cos 120°=4×2×=-4.(1)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=12,所以|a+b|=2.(2)|3a-4b|2=9|a|2-24a·b+16|b|2=16×19,所以|3a-4b|=4.(3)(a-2b)·(a+b)=|a|2-2a·b+a·b-2|b|2=12.6.【解答】(1)由题知e1·e2=cos 60°=,所以a·b=(3e1-2e2)·(2e1-3e2)=6-13e1·e2+6=6-+6=.(2)a2=(3e1-2e2)2=9-12e1·e2+4=9-6+4=7,b2=(2e1-3e2)2=4-12e1·e2+9=7,而(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,所以a+b与a-b的夹角为90°.B 巩固提升1. 9【解析】=+,=-=-+,所以·=(4+3)·(4-3)=(16-9)=×(16×36-9×16)=9.2. 24【解析】因为·=·(+)==4,所以=12,因此·=(+)·==-=36-12=24.3.-2【解析】设M(t>0),则||==,||=t,所以·=||·||·cos135°=×t×=-2.4.4【解析】方法一:记,方向上的单位向量分别为a,b,则a2=b2=1,a·b=,=4a,=6b,从而=2a,=2b,=(+)=a+b,=-=b-3a,=-=2b-2a,所以·=(b-3a)·(2b-2a)=2b2+6a2-8a·b=2+6-4=4.方法二:取CE的中点G,连接BG.设BG的中点为M,连接FM,则=,且FM⊥BM,所以·==BM2=DE2=22=4.方法三:以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(3,3),从而D(2,0),E(1,),F,所以=-,,=(-1,),所以·=+=4.5.【解答】(1)a·b=cos 2θ,|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=2+2cos 2θ=4cos2θ,所以==cos θ-.因为θ∈,所以cos θ∈.令t=cos θ,则≤t≤1,'=1+>0,所以y=t-在t∈上为增函数,所以-≤t-≤,即所求的最大值为,最小值为-.(2)由题设可得|k a+b|2=3|a-k b|2.又|a|=|b|=1,a·b=cos 2θ,所以原式化简得cos 2θ=.由0≤θ≤,得-≤cos 2θ≤1,所以-≤≤1,解得k∈∪{-1}.6.【解答】方法一:设=a,=b,则=-b,=2a,=3a,所以=-=3a-b,=-=3a+b,=-=2a-b,=-=2a+b,=-=a-b,=-=a+b,所以·=9a2-b2,·=4a2-b2,·=a2-b2.又因为·=4,·=-1,所以9a2-b2=4,a2-b2=-1,解得a2=,b2=,所以·=4a2-b2=-=.方法二:以D为坐标原点,BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系.设点B的坐标为(-a,0),点C的坐标为(a,0),点A的坐标为(b,c),所以=(b+a,c),=(b-a,c),=,=.因为·=b2-a2+c2=4,·=-a2+=-1,所以b2+c2=,a2=.又因为=,=,所以·=-a2+=×-=.。

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】专题5.3 平面向量的数量积【基础巩固】一、填空题1．设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)，且a ⊥b ，则x ＝________. 【答案】－23【解析】由题意，得a ·b ＝0⇒x ＋2(x ＋1)＝0⇒x ＝－23.2．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________． 【答案】π63．(2017·镇江期末)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝________. 【答案】 5 【解析】|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4＝ 5.4．对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是________(填序号)． ①|a ·b |≤|a ||b |；②|a －b |≤||a |－|b ||； ③(a ＋b )2＝|a ＋b |2；④(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. 【答案】②【解析】对于①，由|a ·b |＝||a ||b |cos a ，b|≤|a ||b |恒成立；对于②，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于③④容易判断恒成立． 5．已知a ＝(1，－2)，b ＝(x,2)，且a ∥b ，则|b |＝________. 【答案】 5【解析】∵a ∥b ，∴1x ＝－22，解得x ＝－1，∴b ＝(－1,2)，∴|b |＝－12＋22＝ 5.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝________. 【答案】5【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3， －1)．∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5.7．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为________． 【答案】2π3【解析】因为a ⊥(2a ＋b )，所以a ·(2a ＋b )＝0，得到a ·b ＝－2|a |2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－2|a |24|a |2＝－12，又0≤θ≤π，所以θ＝2π3. 8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞二、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，10．(2017·德州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影． 解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得asin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.【能力提升】11．(2017·南通、扬州、泰州调研)如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若|AB →|＝3，|AC →|＝5，则(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)的值为________．【答案】－16【解析】(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)＝(2AQ →＋QP →)·CB →＝2AQ →·CB →＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝32－52＝－16.12．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为________． 【答案】－4【解析】∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.13．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________． 【答案】514．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ， y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，。