北师大版(2019)高中数学《平面向量在几何、物理中的应用举例》教用PPT1

解法二：(1)∵所求直线与向量 a＝(5,1)平行， ∴所求直线的斜率为15.又所求直线过点 A(2，－1)， ∴所求直线方程为 y－(－1)＝15(x－2)， 即 x－5y－7＝0. (2)∵所求直线与向量 a＝(5,1)垂直， ∴所求直线的斜率为－5，又所求直线过点 A(2，－1)， ∴所求直线方程为 y－(－1)＝－5(x－2)， 即 5x＋y－9＝0.
对直线 l：Ax＋By＋C＝0 的方向向量及法向量的两点说明 (1)设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为直线上不重合的两点，则P→1P2＝ (x2－x1，y2－y1)及其共线的向量 λP→1P2均为直线的方向向量．显 然当 x1≠x2 时，向量(1，yx22－ －yx11)与P→1P2共线，因此向量(1，－AB) ＝B1(B，－A)为直线 l 的方向向量，由共线向量的特征可知(B， －A)为直线 l 的方向向量．
又因为点 M(x0，y0)在圆 C：(x－3)2＋(y－3)2＝4 上， 所以(x0－3)2＋(y0－3)2＝4， 所以(2x)2＋(2y)2＝4，即 x2＋y2＝1， 所以点 N 的轨迹方程为 x2＋y2＝1.
——易错警示——
向量在几何应用中的误区
【例 5】
在 △ ABC
中，
已
知向
量
→ AB
(2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用 向量 表示； ②转化为 向量问题 的模型，通过向量运算使问题解决；
③结果还原为物理问题．
[答一答] 3．用向量理论讨论物理中的相关问题，应遵循什么步骤？
提示：一般来说分为三步：①问题的转化，把物理问题转化为 数学问题；②建立模型，建立以向量为主体的数学模型，求出数学 模型的相关解；③问题的答案，回到物理现象中去，用已经获得的 数值去解释一些物理现象．

平行四边形两条对角线长的平方和等于 两条邻边长的平方和的两倍.
思考7：如果不用向量方法，你能证明上 述结论吗？
探究（二）：推断直线位置关系
思考1：三角形的三条高线具有什么位置
关系？
交于一点
思考2：如图，设△ABC的两条高AD与BE
相交于点P，要说明AB边上的高CF经过点
P，你有哪些办法？
A
证明PC⊥AB.
夹角为θ，那么|F1|、|G|、θ之间的
关系如何？
F
| F1 |
|G | 2 cos 2
θ
F1
F2
θ∈[0°，180°)
G
思考5：上述结论表明，若重力G一定， 则拉力的大小是关于夹角θ的函数.在物 理学背景下，这个函数的定义域是什么？ 单调性如何？
| F1 | | G | , θ∈[0°，180°)
D
C
|a|=2，|b|=1，|a-b|=2. b Aa B
思考4：利用 | AC |2 (AC)2 ，若求| AC | 需要解决什么问题？
思考5：利用|a|=2，|b|=1，|a－b|=2， 如何求a·b？ | AC | 等于多少？
a b 1 , | AC | 6 2
思考6：根据上述思路，你能推断平行四 边形两条对角线的长度与两条邻边的长 度之间具有什么关系吗？
E F
P
B
D
C
思考3：设向量PA a，PB b，PC c， 那么PC⊥BA可转化为什么向量关系？
A
E
Fa
c·(a－b)＝0.
P
bc
B
D
C
思考4：对于PA⊥BC，PB⊥AC，用向量观 点可分别转化为什么结论？
a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0.

解析 答案
思维升华
向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这 样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. (2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未 知量的方程进行求解.
则有 3＋p2＝4，解得 p＝2，所以抛物线 M 的方程为 y2＝4x，F(1,0). 设 Ay420，y0，则O→A＝y420，y0，A→F＝1－y420，－y0，所以O→A·A→F＝y4201－y420
－y20＝－4，解得 y0＝±2.所以点 A 的坐标为(1,2)或(1，－2).
2.向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量 描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关 系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体. 3.向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过 向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.
＝0，则△ABC 为_等__腰___三角形. 解析 ∵O→B－O→C＝C→B＝A→B－A→C， O→B＋O→C－2O→A＝(O→B－O→A)＋(O→C－O→A)＝A→B＋A→C， 由已知(O→B－O→C)·(O→B＋O→C－2O→A)＝0， 得(A→B－A→C)·(A→B＋A→C)＝0， 即(A→B－A→C)⊥(A→B＋A→C).
12|A→C|·|B→D|＝12× 5× 20＝5.
123456
解析 答案
6.抛物线M的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，准线与曲
线E：x2＋y2－6x＋4y－3＝0只有一个公共点，设A是抛物线M上一点， 若 O→A·A→F＝－4，则点A的坐标是__(_1_,2_)_或__(_1_，__－__2_) _. 解析 设抛物线 M 的方程为 y2＝2px(p>0)，则其准线方程为 x＝－2p. 曲线E的方程可化为(x－3)2＋(y＋2)2＝16，

一二三四
四、向量方法在物理中的应用 1.力、速度、加速度、位移都是向量. 2.力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的线性运算, 运动的叠加也用到了向量的合成. 3.功即是力F与所产生位移s的数量积.
一二三四
【做一做4】 下图是用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯
具,已知灯具的重量为10N,则每根绳子的拉力大小是
【做一做2】 点A(2,4)到直线y=2x-1的距离为
.
解析:d= |2×2-4-1| =
22+(-1)2
55.
答案:
5 5
一二三四
三、向量在平面几何中的应用 1.要证明两条线段 AB=CD,可转化为证明|������������|2=|������������|2; 2.要证明两条不共线的线段 AB∥CD,只要证明存在一实数 λ≠0, 使������������ =λ������������ ; 3.要证明两条线段 AB⊥CD,只要证明������������ ·������������=0 即可; 4.要证 A,B,C 三点共线,只要证明存在一实数 λ,使������������=λ������������成立; 或若������������=a,������������=b,������������=c,只要证明存在一个实数 t,使 c=ta+(1-t)b; 5.求与夹角相关的问题,往往利用向量的夹角公式:cos θ=|������������|·|������������|.
=
|4������-6=2或a=1.
∴点P坐标为(2,-1)或(1,2).
答案:C
探究一
探究二
探究三
反思感悟求点到直线的距离一般先把直线化成一般
|������������0 + ������������0 + ������|

B<b<a，即xsin
三角形的面积问题
【例2】 在△ABC中， A→B ＝ (x1，y1) ， A→C ＝ (x2，y2) ，求证： S△ABC＝12x1y2－x2y1.
[证明] S△ABC＝12|A→B||A→C|sin A＝12|A→B||A→C| 1－cos2A ＝12 (|A→B||A→C|)2－(|A→B||A→C|cos A)2 ＝12 (|A→B||A→C|)2－A→B·A→C2 ＝12 x21＋y21x22＋y22－x1x2＋y1y22 ＝12 x1y2－x2y12＝12|x1y2－x2y1|.
A．A>B
B．A<B
C．A≥B
D．A，B的大小关系不确定
A [设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵sin A>sin B，
∴2Rsin A>2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)，即a>b，故
A>B．]
3．在△ABC中，S△ABC＝14(a2＋b2－c2)，则∠C＝________.
π 4
本题的入手点来自于条件中对余弦定理的暗示，从而解出C， 在计算面积时有三组边角可供选择：S＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B，通常是“依角而选”，从而把目标转向求ab的最值.要注意到余 弦定理本身含有平方和与乘积项，再利用均值不等式，可以建立 “平方”与“乘积”的不等关系，从而可求出ab的最值.
2．△ABC中，AB＝ 3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等
于( )
A．
3 2
B．
3 4
C． 23或 3
D．
23或
3 4
D
[sin130°＝sin3C，∴sin

明目标、知重点
探要点·究所然 情境导学 向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当 向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为 代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极 大的方便.本节专门研究平面几何以及物理中的向量方法.
明目标、知重点
探究点一 平面向量在几何中的应用
导引 用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点 共线、线共点以及角度等问题时有独到之处,且解法思路清 晰、简洁直观.其基本方法是： (1)要证明线段 AB＝CD,可转化为证明|A→B|＝|C→D|. (2)要证明 AB∥CD,只需证明存在一个不为零实数 λ,使得A→B ＝λC→D,且 A、B、C、D 不共线即可.
明目标、知重点
思考3 请利用向量的方法解决下列问题：如图所示,
在细绳O处用水平力F2缓慢拉起重力为G的物体,绳子 与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1. (1)求|F1|,|F2|随θ角的变化而变化的情况； 答 由力的平衡及向量加法的平行四边形法则, 得－G＝F1＋F2,|F1|＝co|Gs |θ, |F2|＝|G|tan θ, 当θ从0°趋向于90°时,|F1|,|F2|都逐渐增大.
3 3 (α
为
v
和
v2
的夹角,α
为锐角),
所以α＝30°.
所以帆船向北偏东60°的方向行驶,速度为20 3 km/h.
明目标、知重点
跟踪训练2 某人在静水中游泳,速度为4 km/h,水的流速
为4 3 km/h,他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方 向前进？实际前进的速度大小为多少？ 解 如图所示,设此人的实际速度为O→B,水流速度为O→A.
明目标、知重点
1234
1234
3. 正 方 形 OABC 的 边 长 为 1, 点 D 、 E 分 别 为 AB 、 BC 的 中 点 , 试 求

法那么,有时也用到向量减法的定义.如要证两线段AB=CD,可转化
为证明
AB 2 = CD2 或AB = CD.
(2)证明线段平行、三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常运
用向量平行(共线)的条件:a∥b⇔a=λb(或x1y2-x2y1=0).
-5-
6.2
平面向量在几何、物理中的应用举例
激趣诱思
杠上做引体向上运动时,两手臂的夹角越小就会越省力,这些现象
蕴含了什么道理,你能用本节学习的知识解释这种问题吗?
情景二 在风速为 75( 6 − 2) km/h的西风中,飞机以150 km/h的
航速向北偏西45°的方向航行,你能求出没有风速时飞机的航速和
航行方向吗?
-4-
6.2
平面向量在几何、物理中的应用举例
法,培养探究意识和应用意识,体会向量的工具作用.(数学运算)
-2-
6.2
平面向量在几何、物理中的应用举例
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
思维脉络
-3-
6.2
平面向量在几何、物理中的应用举例
激趣诱思
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
知识点拨
情景一 在日常生活中,我们都会有这样的体验:两个人一起提一
个又大又重的旅行包时,两个人手臂的夹角越大就会越吃力;在单
激趣诱思
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
知识点拨
一、向量在几何中的应用举例
由于向量的运Leabharlann 有着鲜明的几何背景,几何图形的许多变化和性质,
如平移、全等、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积
表示.
名师点析向量方法可以运用于证明有关直线平行、垂直、线段的
相等、点共线、求夹角等问题,其根本方法有:

用向量的线性运算及数量积表示，因此，用向量方法可以解决几何中的一些问题.
名师点析
运用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直、距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何问题的答案.
第二章
§6
平面向量的应用
6.2 平面向量在几何、
物理中的应用举例
高中数学
必修第二册
北师大版
学习目标
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
2.会用向量方法解决简单的力学与其他一些实际问题..
核心素养：逻辑推理、数学运算、直观想象.
高中数学
必修第二册
北师大版
新知学习
一、向量在几何证明中的应用
由于向量的运算有着鲜明的几何背景，几何图形的许多变化和性质，如平移、全等、长度、夹角2||.连接，则1＝ △ .
1
1
因为为中点，所以 △ ＝2 2，所以1＝6 2.故选A.
答案：A
高中数学
必修第二册
北师大版
跟踪训练
如图，在△ 中，是的中点，点在上，且＝2，与相交于点，求: 的值.
（4）用数学模型中的数据解释或分析物理问题.
高中数学
必修第二册
北师大版
典例剖析
一、向量在平面几何中的应用
<1> 垂直问题
例1 如图，在△ 中，∠＝90°，＝，为的中点，是上一点，
且＝2，求证：⊥.
解题提示：要证⊥，只需证明·＝0即可.
2
∴·＝（-1）×3+2×3＝0，
∴⊥，∴ ⊥ .

化的主要手段是向量的坐标运算.( )
(4)在△ABC中，若
则△ABC为钝角三角形.( )
AB AC，
AB BC＜0，
【解析】( 1)正确 .因为
有相同 的起点 A，故 A，B， C三点 共线， 故正确.
(2)正确. 解析几 何中的 坐标、 直线平 行、垂 直、长 度等问 题可利 用向量 的共线 、数量 积、模 等知识 解决， 故正确.
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6 【解析】 选B.由 题意可 知，
则CM CB
CM CB＝(CA＋1 AB) CB 3
＝CA CB＋1 AB CB 3
＝0＋1 3 2 3cos45＝3. 3
BM＝2MA，
4.在△ABC中，已知向量 满足 则△ABC为( )
(A)等边三角形 (C)等腰非等边三角形 (D)三边均不相等的三角形
1.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3( 单位： 牛顿) 的作用 而处于平衡状态，已知F1,F2成60°角， 且F1,F2的大小 分别 为2和4，则F3的大小为( ) 【解析】选D.|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=28,所 以|F3|= 选D.
A6B2C2 5D2 7
②用含θ 的关系 式表示m,n，然 后转化 为三角 函数的 最值问 题
求解.
| BC BA | 2
【规范解答】(1)选C.已知a=(1,cos θ)，b=(-1,2cos θ)， ∵a⊥b， ∴a·b=0， ∴-1+2co s2θ=cos 2θ= 0，故 选C.
2① | BC BA |2 | AC |2 ( 2cos 1)2 ( 2sin 1)2
AB AC且AB,AC

规律方法 1.用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理 问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量 的区别与联系． 2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的 加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形 法则． 3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功 抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．
(2)由(1)得 F(x)＝x＋x 1＋x＝x＋1x＋1(0<x<1)，设 0<x1<x2<1，
则 F(x1)－F(x2)＝x1＋x11＋1－x2＋x12＋1
＝(x1－x2)＋x11－x12＝(x1－x2)1－x11x2 ＝(x1－x2)x1xx12x－2 1， 由 0<x1<x2<1，得 x1－x2<0，x1x2－1<0，x1x2>0， 得 F(x1)－F(x2)>0，即 F(x1)>F(x2)． ∴F(x)在(0，1)上为减函数．
证明 设A→B＝a，A→C＝b，A→D＝e，D→B＝c，D→C＝d，则 a＝e＋c，b＝e＋d. ∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2. 由已知 a2－b2＝c2－d2， ∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，∴e·(c－d)＝0. ∵B→C＝D→C－D→B＝d－c，∴A→D·B→C＝e·(d－c)＝0， ∴A→D⊥B→C.即 AD⊥BC.
则|F1＋F2|为( )
A．(5,0)
B．(－5,0)
C. 5
D．－ 5
答案 C
2．已知F＝(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)移动到B(4，0)， 则力F对物体作的功为________． 答案 4