上海市2018-2019年高二上学期第一学段模块检测数学(理)试题

2018-2019学年高二年级第一次调研考试数学 试卷（考试时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（每题5分，共60 分） 1.命题“∀x ∈R ，|x|＋x 2≥0”的否定是( )A ．∀x ∈R ，|x|＋x 2<0B ．∀x ∈R ，|x|＋x 2≤0C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 02<0D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 02≥02.已知函数f(x)＝x 2＋bx ，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3.下列关于命题的说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“a ，b 都是有理数”的否定是“a 、b 都不是有理数”D ．命题“若x ＝y ，则sinx ＝siny ”的逆否命题为真命题 4.用辗转相除法求840和1764的最大公约数是（ ） A ．84 B ．12 C ．168 D ．252 5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A ．5 040B ．4 850C ．2 450D ．2 5506.若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为( ) A.12 B.14C ．2D ．47.到两定点A(0，0)，B(3，4)距离之和为5的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．AB 所在的直线C ．线段ABD ．无轨迹 8.已知P 是椭圆 x 225＋y 2b 2＝1(0<b<5)上除顶点外一点，F 1是椭圆的左焦点，若|OP →＋OF 1→|＝8，则点P 到该椭圆左焦点的距离为( ) A ．6 B ．4 C ．52D.29.中央电视台为了调查近三年的春晚节目中各类节目的受欢迎程度，用分层抽样的方法，从2014年至2016年春晚的50个歌舞类节目，40个戏曲类节目，30个小品类节目中抽取样本进行调查，若样本中的歌舞类和戏曲类节目共有27个，则样本容量为( ) A ．30 B ．35 C ．32 D ．3610.如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)． 已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2，5 B ．5，8 C ．5，5 D ．8，811.从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A.13 B.512 C.12D.71212.如图，已知椭圆C: x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－25，0)，P 为C 上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1B.x 236＋y 210＝1C.x 236＋y 216＝1D.x 245＋y 225＝1二、填空题（每题5分，共20分）13.已知焦点在x 轴上的椭圆,= 12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是________ 14.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程 中的 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额约为________元． 15．下列四个命题中①“k ＝1”是“函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π”的充要条件；②“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7相互垂直”的充要条件； ③函数y ＝x 2＋4x 2＋3的最小值为2.其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上)a xb yˆˆˆ+=b ˆac16.已知O 为坐标原点， F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点，则椭圆C 中 为________ 三、解答题（18题10分，其余每题12分）17.命题P ：函数 有意义，命题q ：实数 满足当 且 p ∧q 为真，求实数 的取值范围；若 是 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18.已知a>0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀ x ∈R 恒成立．若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数a 的取值范围．19.如图，已知椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆中 的值；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．20.已知F 1，F 2为椭圆C ：（a ＞b ＞0）的左右焦点，椭圆上的点到F 2的最近距离为2，且为13． （1）椭圆C 的方程；（2）设点A （-1，2），若P 是椭圆C 上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程；)0)(34lg(22>-+-=a a ax x y 023<--x x 1=a p ⌝q⌝12222=+b y a x xx l aca cac（3）若E 是椭圆C 上的动点，求 的最大值和最小值．21.2018年“双节”期间，高速公路车辆较多．库尔勒市某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t ）分成六段：（60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图． （1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？ （2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值． （3）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车 速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．22.某研究机构对高二学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据： （1）请在图中画出上表数据的散点图；（2）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程 ；（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．相关公式：21.EF EF →→a x b y ˆˆˆ+=x b y ax n xy x n yx bni ini iiˆˆ,ˆ1221-=--=∑∑==高二第一次调研考试数学参考答案一．选择题1-5 CADAC 6-10 BCDDB 11-12 AC 二．填空题13.x 24＋y 23＝1 14. 65.5 15. ①②③ 16.13 三.解答题17.解：（1）由-x 2+4ax-3a 2＞0得x 2-4ax+3a 2＜0， 即（x-a ）（x-3a ）＜0，其中a ＞0， 得a ＜x ＜3a ，a ＞0，则p ：a ＜x ＜3a ，a ＞0． 若a=1，则p ：1＜x ＜3， 由解得2＜x ＜3． 即q ：2＜x ＜3．若p ∧q 为真，则p ，q 同时为真，即，解得2＜x ＜3，∴实数x 的取值范围（2，3）．.........................................................................................(6分) （2）若￢p 是￢q 的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件， ∴即（2，3）是（a ，3a ）的真子集．所以，解得1≤a ≤2．实数a 的取值范围为[1，2]. .........................................(12分)18.解：∵y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a>1.....................................................................(2分) 又不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立，∴Δ<0，即a 2－4a<0，∴0<a<4.∴q ：0<a<4........(4分)而命题p 且q 为假，p 或q 为真，那么p ，q 中有且只有一个为真，一个为假．.(1)若p 真，q 假，则a ≥4；(2)若p 假，q 真，则0<a ≤1...........................................................(8分)所以a 的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞)．.....................................................................................(10分)19.(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF 2|，即b ＝c.所以a ＝2c ，c a ＝22.....................................(6分)(2)由题知 A(0，b)，F 2(1，0)，设B(x ，y)，由题意得x ＝32，y ＝－b2.代入x2a2＋y2b2＝1，得94a2＋b24b2＝1..即94a2＋14＝1，解得a2＝3.所以椭圆方程为x23＋y22＝1.................(12分)20.解：（1）由条件知，解得c=1，a=3．则b2=a2-c2=8．所以椭圆C ：；............................................................................................................（4分）（2）设M（x，y），因为M为PA的中点，所以P（2x+1，2y-2）．又因为点P 在椭圆上，所以即为所求点M的轨迹方程；..............（8分）（3）设E（x0，y0），则有．因为F1（-1，0），F2（1，0）．所以=．因为点E在椭圆上，所以0．所以．所以当时，所求最小值为7，当时，所求最大值为8．..............................................(12分)21.解：（1）由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样．故调查公司在采样中，用到的是系统抽样.................................................................................................（2分）（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5...........................................（4分）设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x-75）=0.5，解得x=77.5，即中位数的估计值为77.5..................................................................................（6分）（3）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆），车速在[65，70）的车辆数为：m2=0.02×5×40=4（辆）.........................................................................................................（8分）设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种....................... ..........（10分）其中车速在[65，70）的车辆至少有一辆的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共14种,所以车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率为．...........................................(12分)22解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．如图所示：......(3分)(2)x i y i=6×2+8×3+10×5+12×6=158，==9，==4，=62+82+102+122=344，===0.7=-=4-0.7×9=-2.3，故线性回归方程为=0.7x-2.3．..............................................(10分)当x=9时，=0.7×9-2.3=6.3-2.3=4，所以预测记忆力为9的同学的判断力约为4．..........(12分)。

2018-2019学年上海中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1．直线2x﹣y+3＝0的倾斜角为．2．行列式中元素0所对应的代数余子式的值为．3．若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则a＝．4．若＝（1，﹣2），＝（x，1），＝（1，2），且（）⊥，则x＝．5．以＝（﹣3，2）为方向向量的直线平分圆x2+y2+2y＝0，直线l的方程为．6．经过两条直线2x+3y+1＝0和3x﹣y+4＝0的交点，并且平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是．7．若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则a+b＝．8．如图，△ABC中D在边BC上，且＝2，E为AD的中点，记＝，＝，则＝（用、的线性组合表示）9．二阶方阵A＝称矩阵为A的转置矩阵记作A T，设M、N是两个二阶矩阵，对于下列四个结论：（1）（M T）T＝M；（2）（M+N）T＝M T+N T；（3）（MN）T＝M T N T；（4）“M＝”是“M T＝M”的充分不必要条件；其中真命题的序号为．10．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为．11．设动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点P（2，1）的直线l交y＝x（x＞0）于点Q，那么的最大值为．12．如图，已知向量的夹角为，|﹣|＝6，向量，的夹角为，|﹣|＝2，则与的夹角为，的最大值为．二.选择题13．“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要14．在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（）A．＝（0，0），＝（1，2）B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）C．＝（3，5），＝（6，10）D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）15．实数x，y满足，若z＝2x+y的最大值为9，则实数m的值为（）A．1B．2C．3D．416．如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记•+•＝m，•+•＝n，则（）A．m＝2，n＝4B．m＝3，n＝1C．m＝2，n＝6D．m＝3n，但m，n的值不确定三、解答题（共4小题，满分0分）17．已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组．18．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61．（1）求与的夹角θ；（2）若，且＝0，求t及||19．在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．20．已知a、b、c为△ABC的三边长，直线l的方程ax+by+c＝0，圆M：（x+a）2+（y+b）2＝c2．（1）若△ABC为直角三角形，c为斜边长，且直线l与圆M相切，求c的值；（2）若△ABC为正三角形，对于直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，求c的取值范围；（3）点E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，1）、G（1，1）、H（1，﹣1），设E、F、G、H四点到直线l的距离之和为S，求S的取值范围．2018-2019学年上海中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．直线2x﹣y+3＝0的倾斜角为arctan2．【解答】解：因为直线2x﹣y+3＝0的斜率为k＝﹣＝2，设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，所以θ＝arctan2，故填：arctan2．2．行列式中元素0所对应的代数余子式的值为﹣6．【解答】解：行列式中元素0所对应的代数余子式的值为：（﹣1）5•＝﹣6．故答案为：﹣6．3．若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则a＝﹣2．【解答】解：直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，由于直线的斜率存在，所以斜率乘积为﹣1，即﹣1•（）＝﹣1，所以a＝﹣2．故答案为：﹣2．4．若＝（1，﹣2），＝（x，1），＝（1，2），且（）⊥，则x＝1．【解答】解：；∵；∴；∴x＝1．故答案为：1．5．以＝（﹣3，2）为方向向量的直线平分圆x2+y2+2y＝0，直线l的方程为2x+3y+3＝0．【解答】解：根据题意，要求直线的方向向量为＝（﹣3，2），设其方程为2x+3y+m ＝0，圆x2+y2+2y＝0，即x2+（y+1）2＝1，其圆心为（0，﹣1），若要求直线平分圆，则圆心在要求直线上，则有2×0+3×（﹣1）+3＝0，解可得m＝3，则要求直线的方程为2x+3y+3＝0；故答案为：2x+3y+3＝0．6．经过两条直线2x+3y+1＝0和3x﹣y+4＝0的交点，并且平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是3x+4y+＝0．【解答】解：联立直线的方程，得到两直线的交点坐标为（﹣，），平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是3x+4y+c＝0，则3（﹣）+4×+c＝0，解得c＝，所以直线方程为3x+4y+＝0．故填：3x+4y+＝0．7．若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则a+b＝3．【解答】解：根据题意，圆x2+y2+4x﹣1＝0的圆心为（﹣2，0），若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则有，解可得a＝1，b＝2；则a+b＝3；故答案为：3．8．如图，△ABC中D在边BC上，且＝2，E为AD的中点，记＝，＝，则＝（用、的线性组合表示）【解答】解：∵E为AD的中点，，∴＝＝＝＝＝，故答案为：．9．二阶方阵A＝称矩阵为A的转置矩阵记作A T，设M、N是两个二阶矩阵，对于下列四个结论：（1）（M T）T＝M；（2）（M+N）T＝M T+N T；（3）（MN）T＝M T N T；（4）“M＝”是“M T＝M”的充分不必要条件；其中真命题的序号为（1）（2）（4）．【解答】解：对于（1），设M＝，则M T＝，（M T）T＝，所以（M T）T＝M，（1）正确；对于（2），设M＝，N＝，则M+N＝，∴（M+N）T＝；M T＝，N T＝，则M T+N T＝，∴（M+N）T＝M T+N T，（2）正确；对于（3），设M＝，N＝，则MN＝，∴（MN）T＝；M T＝，N T＝，则M T N T＝，∴（MN）T≠M T N T，（3）错误；对于（4），M＝时，M T＝，充分性成立，M T＝M时，M不一定为，如M＝，即必要性不成立，是充分不必要条件，（4）正确．综上，其中真命题的序号是（1）、（2）、（4）．故答案为：（1）、（2）、（4）．10．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为3．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．联立，解得D（1，2）．∴＝．解得：a＝3或a＝﹣1．又a＞0，∴a＝3．即A的横坐标为3．故答案为：3．11．设动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点P（2，1）的直线l交y＝x（x＞0）于点Q，那么的最大值为．【解答】解：设l：y＝k（x﹣2）+1，要它与y＝x（x＞0）相交，则k＞1或k＜0．令y＝0，可得：M（2﹣，0），令y＝x，得Q．∴|MP|＝，|PQ|＝．∴u＝＝．于是u2＝＝g（k），k＞1或k＜0．g′（k）＝，可得：k＝﹣2，函数g（k）取得极大值，g（﹣2）＝5．∴u max＝．此时M（﹣，0）．故答案为：．12．如图，已知向量的夹角为，|﹣|＝6，向量，的夹角为，|﹣|＝2，则与的夹角为，的最大值为．【解答】解：如图，设，则，，，∴AB＝6，，AC＝，又，∴A，O，B，C四点共圆，在△ABC中，由正弦定理得，即，∴sin∠ABC＝，则．由同弧所对圆周角相等，可得，即与的夹角为；设∠OAC＝θ，则，在△AOC中，由正弦定理得：，∴OC＝，，∴＝＝＝64×＝64×（）＝64×（）＝64×（）＝64[]．∴当，即时，有最大值为．故答案为：，．二.选择题13．“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：圆的方程可化为：，故若D2＝4F且E≠0，则圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切，若圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切，则D2＝4F且E≠0，综上“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的充要条件．故选：C．14．在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（）A．＝（0，0），＝（1，2）B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）C．＝（3，5），＝（6，10）D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）【解答】解：根据，选项A：（3，2）＝λ（0，0）+μ（1，2），则3＝μ，2＝2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）＝λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3＝﹣λ+5μ，2＝2λ﹣2μ，解得，λ＝2，μ＝1，故选项B能．选项C：（3，2）＝λ（3，5）+μ（6，10），则3＝3λ+6μ，2＝5λ+10μ，无解，故选项C 不能．选项D：（3，2）＝λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3＝2λ﹣2μ，2＝﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．15．实数x，y满足，若z＝2x+y的最大值为9，则实数m的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点B时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时2x+y＝9．由，解得，即B（4，1），∵B在直线y＝m上，∴m＝1，故选：A．16．如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记•+•＝m，•+•＝n，则（）A．m＝2，n＝4B．m＝3，n＝1C．m＝2，n＝6D．m＝3n，但m，n的值不确定【解答】解：∵P，Q分别是AC，BC中点，∴m＝•+•＝＝＝＝＝2；∵P，Q分别是AC，BC中点，∴，，∴n＝•+•＝+＝＝＝6．故选：C．三、解答题（共4小题，满分0分）17．已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组．【解答】解：对于增广矩阵，当m＝2时，矩阵化为，此时方程组有无数个解；当m＝﹣2时，矩阵化为，此时方程组无解；当m≠±2，矩阵第二行有，（2+m）（2﹣m）•y＝（m+1）（2﹣m），得进第一行得，综上所述，当m＝2时，方程有无数个解；当m＝﹣2时，方程组无解；当m≠±2时，，．18．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61．（1）求与的夹角θ；（2）若，且＝0，求t及||【解答】解（1）∵||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61，∴•＝﹣6．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴cos θ＝＝＝﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又0≤θ≤π，∴θ＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）＝（）＝t+（1﹣t）＝﹣15t+9＝0∴t＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴||2＝（+）2＝，∴||＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）直线l1：y＝2，设l1交l于D，则D（2，2）．∵l的倾斜角为30°，∴l2的倾斜角为60°，…∴，∴反射光线l2所在的直线方程为y﹣2＝（x﹣2）．即．…已知圆C与l1切于点A，设C（a，b），∵圆心C在过点D且与l垂直的直线上，∴①…又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，∴②，由①②得，圆C的半径r＝3．故所求圆C的方程为．…（Ⅱ）设点B（0，﹣4）关于l的对称点B'（x0，y0），则，…得．固定点Q可发现，当B'、P、Q共线时，PB+PQ最小，故PB+PQ的最小值为为B'C﹣3．…，得，最小值．…（16分）20．已知a、b、c为△ABC的三边长，直线l的方程ax+by+c＝0，圆M：（x+a）2+（y+b）2＝c2．（1）若△ABC为直角三角形，c为斜边长，且直线l与圆M相切，求c的值；（2）若△ABC为正三角形，对于直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，求c的取值范围；（3）点E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，1）、G（1，1）、H（1，﹣1），设E、F、G、H四点到直线l的距离之和为S，求S的取值范围．【解答】解（1）因为若△ABC为直角三角形，c为斜边长，所以a2+b2＝c2，直线l与圆M相切，所以圆心（a，b）到直线ax+by+c＝0的距离为c，即，所以，即c2﹣c＝±c2，得c＝，或者c＝0（舍）．（2）若△ABC为正三角形，若△ABC为正三角形，则此时圆是以{c，c}为圆心，c为半径的圆，直线方程为x+y+1＝0，设圆心（c，c）到直线的距离为d，则d＝，要使直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，需满足同时成立，即，解得c≥．（3）依题意S＝+++，因为三角形的两边之和大于第三边，所以S可化为：S＝，∵c＜a+b，，∴S≤＝4，下面求S的最小值，从几何意义上看，S代表（1，1）到直线l的距离的二倍，而直线l在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为﹣，三边中若c为最大值，则直线l在两坐标轴上的截距均小于﹣1，此时（1，1）到直线l 的最小距离大于2，即S＞4．若c不是最大值，不妨设a为最大值，则S＝＞＝＝2．综上2＜S＜．。

2018—2019学年第一学期第一次阶段性考试高二年级理科数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟 第一卷（选择题，共60分）一：选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的。

）1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形2．在△ABC 中，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.53 B.54 C.55 D.563.已知△ABC 的外接圆的半径是3，a ＝3，则A 等于( )A.30°或150°B.30°或60°C.60°或120°D.60°或150°4．在△ABC 中，acos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝bcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，则△ABC 的形状是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．在等差数列{an}中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项的和S 11等于( )A.58B.88C.143D.1766.在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( )A.2 5B. 5C.25或 5D.以上都不对7.数列{(－1)n ·n}的前2 017项的和S 2 017为( )A.－2 015B.－1 009C.2 015D.1 0098．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于() A.1或2 B.1或－2 C.－1或2 D.－1或－29．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A.a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解B.b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解C.a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解D.a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解10.设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A.d <0B.a 7＝0C.S 9>S 5D.S 6与S 7均为S n 的最大值11.在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式为a n 等于( )A.2n －1B.2n －1－1C.2n －1D.2(n －1)12．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21 B.106 C.69 D.154第二卷（非选择题）（共90分）二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分,请将正确答案写在答题纸指定位置上。

第一章常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件A级基础巩固一、选择题1．“a＞b”是“a＞|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件解析：a＞b推不出a＞|b|，如a＝3，b＝－5，但a＞|b|≥b，即a＞|b|可推出a＞b，则“a＞b”是“a＞|b|”的必要不充分条件．答案：B2．(2018·安徽卷)设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：q＝2x＞1＝2°，即x＞0.A＝(1，2)，B＝(0，＋∞)．所以A B，则p为q的充分不必要条件．答案：A3．x2＜4的必要不充分条件是()A．0＜x≤2 B．－2＜x＜0C．－2≤x≤2 D．1＜x＜3解析：x2＜4即－2＜x＜2，因为－2＜x＜2能推出－2≤x≤2，而－2≤x≤2不能推出－2＜x＜2，所以x2＜4的必要不充分条件是－2≤x≤2.答案：C4．(2018·北京卷)设a，b是非零向量，“a·b＝|a|| b |”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：若a·b＝|a|| b |，则a与b的方向相同，故a∥b. 若a∥b，则a·b＝|a|| b |或a·b＝－|a|| b |.所以“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．答案：A5．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝2 B．m＝－2C．m＝－1 D．m＝1解析：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.答案：B二、填空题6．(2018·浙江卷)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的________________条件．解析：若a＋b＞0，取a＝3，b＝－2，则ab＞0不成立；反之，若a＝－2，b＝－3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要条件7．关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是________．解析：由题意知|2x－3|＞a恒成立．因为|2x－3|≥0，所以a＜0.答案：a＜08．对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“b－2是无理数”是“b是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜5”是“a＜3”的必要条件．其中真命题的序号是________．解析：①中由“a＝b”可得ac＝bc，但由“ac＝bc”得不到“a＝b”，所以不是充要条件；②是真命题；③中a＞b时，a2＞b2不一定成立，所以③是假命题；④中由“a＜5”得不到“a＜3”，但由“a＜3”可以得出“a＜5”，所以“a＜5”是“a＜3”的必要条件，是真命题．答案：②④三、解答题9．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(x －3)＜0，且q 是p 的充分而不必要条件，试求a 的取值范围．解：设q ，p 表示的范围为集合A ，B ，则A ＝(2，3)，B ＝(a －4，a ＋4)．由于q 是p 的充分而不必要要件，则有AB ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4＞3或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＜2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6. 10．设p ：－2＜m ＜0，0＜n ＜1，q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根．试分析p 是q 的什么条件．解：当－2＜m ＜0，0＜n ＜1时，Δ＝m 2－4n 不一定大于等于0，即函数f (x )的图象与x 轴不一定有交点，所以充分性不满足．反之，若方程有两个小于1的正根，分别设为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ，则必有0＜－m 2＜1，0＜－m ＜2，0＜n ＜1，且Δ≥0， 即－2＜m ＜0，0＜n ＜1，m 2－4n ≥0.综上，p 是q 的必要不充分条件．B 级 能力提升1．m ＝12是直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：当m ＝12时，两直线为52x ＋32y ＋1＝0和－32x ＋52y －3＝0，两直线斜率之积为－1，两直线垂直；而当两直线垂直时，(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，即2(m ＋2)(2m －1)＝0，所以 m ＝－2或m ＝ 12.所以 为充分不必要条件． 答案：B2．已知p ：不等式x 2＋2x ＋m ＞0的解集为R ；q ：指数函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋14x 为增函数，则p 是q 成立的________条件． 解析：p ：不等式x 2＋2x ＋m ＞0的解集为R ，即Δ＝4－4m ＜0，m ＞1；q ：指数函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋14x 为增函数，即m ＋14＞1，m ＞34，则p 是q 成立的充分不必要条件． 答案：充分不必要3．已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若綈p 是綈q 的充分不必要条件．求实数m 的取值范围．解：p ：－2≤x ≤10.q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m ＞0)⇔1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{}x |1－m ≤x ≤1＋m {}x |－2≤x ≤10，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ＜－10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞－2，1＋m ≤10， 解得m ≤3.又m ＞0，所以实数m 的取值范围为{}m |0＜m ≤3. 本题还可用以下方法求解．因为p ：－2≤x ≤10，所以綈p ：x ＜－2或x ＞10.q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m ＞0)⇔1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，綈q ：x ＜1－m 或x ＞1＋m (m ＞0)．因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以{}x |x ＜－2或x ＞10{}x |x ＜1－m 或x ＞1＋m ，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ＜10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞－2，1＋m ≤10， 解得m ≤3.又m ＞0，所以实数m 的取值范围为{}m |0＜m ≤3.。

2018-2019学年高二数学上学期阶段性测试试题 理一．选择题（每小题5分，共60分）1．命题“∀x ∈（0，1），x 2-x ＜0”的否定是（ ）A ．∃x 0∉（0，1），0020≥-x xB ． ∃x 0∈（0，1），0020≥-x x C ．∀x 0∉（0，1），0020<-x x D ． ∀x 0∈（0，1），0020≥-x x2．椭圆22149x y +=的焦距是( )A ． 5B ．4C ．25D ．213 3．把28化为二进制数为（ ）A ．(2)11000B ．(2)11100C ．(2)11001D ．(2)10100 4．甲、乙两位同学连续五次数学检测成绩用茎叶图表示 如图所示，甲、乙两人这五次考试的平均数分别为乙甲x x ,；方差分别是22,s s 甲乙，则有( )A ．22,x x s s >>甲乙甲乙B ．22,x x s s ><甲乙甲乙C ．22,x x s s <>甲乙甲乙D ．22,x x s s <<乙甲甲乙5．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．“至少有一个黑球”与“都是红球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”D ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”6．执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝88， 则判断框内应填入的条件是( )A ．k ＞4?B ．k ＞5?C ．k ＞6?D ．k ＞7?7．银川市食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集了一部分不同年份的该酒品，并测定了其芳香度如下表．由最小二乘法得到回归方程13.103.1ˆ+=x y，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推测该数据为( )． A ．6.8 B ．6.28C ． 6.5D ．6.18．南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率的值在3.1415926与3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值的时间至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平，我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及内切圆随机投掷豆子，在正方形中的400颗豆子中，落在圆内的有316颗，则估算圆周率的值为（ ） A ．3.13B ．3.14C ．3.15D ．3.169．如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD是边长为1的正方形，12AA =， 011120A AB A AD ∠=∠=， 则线段1AC 的长为（ ） A ．2B ．1C ．2D ．310．将参加清华大学夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数分别为A ．26, 16, 8B ．25，16，9C ．25，17，8D ．24，17，911．已知以圆4)1(:22=+-y x C 的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C在第一象限交于A 点，B 点是抛物线C 2：x 2=8y 上任意一点，BM 与直线2-=y 垂直，垂足为M ，则||||AB BM -的最大值为( ) A ．1B ．2C ．1-D ．812．已知F 1，F 2分别是双曲线2222C 1x y a b-=：的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心1OF 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为( ) A ．3B ．3C ．2D ．2二、填空题（每小题5分，共20分）13．抛物线24y x =的焦点坐标为 ．14．已知向量)1,1,0(-=a ，)0,2,3(=b ，若11||=+b a λ，则=λ__________． 15．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的 平均成绩的概率为 ．16．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m ny m x 具有相同的焦点F 1、F 2，且在第一象限交于点P ，设椭圆和双曲线的离心率分别为e 1、e 2，若321π=∠PF F ，则2221e e +的最小值为__________．三．解答题（共70分，解答应写清文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知命题:p 方程：22129x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，命题:q 双曲线2215y x m-=的离心率6,22e ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭，若“q p ∧”为假命题，“q p ∨”为真命题，求m 的取值范围． 18．（本小题满分12分）某车间为了给贫困山区的孩子们赶制一批爱心电子产品，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表所示：经统计发现零件个数x 与加工时间y 具有线性相关关系 (1)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^， (2)试预测加工10个零件需要多少时间．[利用公式：2121ˆ-=--=--=∑∑xn xyx n y x bni ini i i ，---=x b y aˆ] 19．（本小题满分12分）银川一中从高二年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：[40,50)，[50,60)，[90,100)后得到如图的频率分布直方图．(1)求图中实数a 的值；(2)试估计我校高二年级在这次数学考试 的平均分;(3)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100) 两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名零件的个数x /个 2 3 4 5 加工的时间y /h2.5344．5学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率． 20．（本小题满分12分）（1）设关于x 的一元二次方程,0222=+-a bx x 若a 是从4,3,2,1这四个数中任取的一个数，b 是从3,2,1这三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率．（2）王小一和王小二约定周天下午在银川大阅城四楼运动街区见面，约定5:00—6:00见面，先到的等另一人半小时，没来就可以先走了，假设他们在自己估计时间内到达的可能性相等，求他们两个能相遇的概率有多大？ 21．（本小题满分12分）如图，四棱锥E ﹣ABCD 中，平面EAD ⊥平面ABCD ，DC ∥AB ，BC ⊥CD ，EA ⊥ED ，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（1）求证：BD ⊥平面ADE ；（2）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值； （3）在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ，若存在，求出CF CE的值．22．（本小题满分12分）已知点P 是圆1F ：8)1(22=++y x 上任意一点，点2F 与点1F 关于原点对称，线段2PF 的垂直平分线与1PF 交于M 点． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点)31,0(G 的动直线l 与点M 的轨迹交于B A ,两点，在y 轴上是否存在定点Q 使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．高二阶段性测试数学（理科）参考答案一．选择题1-5 BCBBD 6-10 BDDAC 11．A 12．C 二．填空题 13．（0，116） 14． 1 15． 45 16． 2+32三．解答题17．若p 真，则有9-m>2m>0即0<m<3 ．．．．．．3分若真，则有m>0且，解得 ．．．．．．6分因为“p q ∧”为真命题，“p q ∨”为真命题，则p ，q 一真一假。

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是()A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真【解析】否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．【答案】 D2．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由(a－b)a2<0⇒a≠0且a<b，∴充分性成立；由a<b⇒a－b<0，当0＝a<b时⇒/(a－b)·a2<0，必要性不成立．【答案】 A3．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9 B．－3C．9 D．15【解析】y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.【答案】 C4．如果命题“﹁p且﹁q”是真命题，那么下列结论中正确的是()A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“﹁p ”为真命题D ．以上都有可能【解析】 若“﹁p 且﹁q ”是真命题，则﹁p ，﹁q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题．【答案】 C5．下列命题的否定为假命题的是( ) A ．对任意x ∈R ，都有－x 2＋x －1<0成立 B ．对任意x ∈R ，都有|x |>x 成立C ．对任意x ，y ∈Z ，都有2x －5y ≠12成立D ．存在x ∈R ，使sin 2 x ＋sin x ＋1＝0成立【解析】 对于A 选项命题的否定为“存在x ∈R ，使－x 2＋x －1≥0成立”，显然，这是一个假命题．【答案】 A6．抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形面积等于( )A ．3 3B ．2 3C ．2D. 3【解析】 抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的渐近线为y ＝±33x ，则准线与渐近线交点为(－3，－3)、(－3, 3)．∴所围成三角形面积S ＝12×3×23＝3 3. 【答案】 A7．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线，交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|的值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10【解析】 抛物线x 2＝4y 的准线为y ＝－1，因为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点到准线的距离分别是y 1＋1，y 2＋1，所以|P 1P 2|的值为y 1＋y 2＋2＝8.【答案】 C8．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 23＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，则|PF 1|·|PF 2|有( )A ．最大值16B ．最小值16C ．最大值4D ．最小值4【解析】 由椭圆的定义知a ＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×4＝8.由基本不等式知|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝16，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝4时等号成立，所以|PF 1|·|PF 2|有最大值16.【答案】 A9．如图1所示，四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是()图1A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④【解析】 因为三次函数的导函数为二次函数，其图像为抛物线，观察四图，由导函数与原函数的关系可知，当导函数大于0时，其函数为增函数；当导函数小于0时，其函数为减函数，由此规律可判定③④不正确．【答案】 B10．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为()A．[2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(1,2] D．(1，2]【解析】由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝3|PF2|，∴|PF2|＝a.即双曲线的右支上存在点P使得|PF2|＝a.设双曲线的右顶点为A，则|AF2|＝c－a.由题意知c－a≤a，∴c≤2a.又c>a，∴e＝ca≤2且e>1，即e∈(1,2]．【答案】 C11．设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图2所示的是y＝x·f′(x)的图像的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是()图2A．f(1)与f(－1) B．f(－1)与f(1)C．f(－2)与f(2) D．f(2)与f(－2)【解析】由图像知，f′(2)＝f′(－2)＝0.∵x>2时，y＝x·f′(x)>0，∴f ′(x )>0，∴y ＝f (x )在(2，＋∞)上单调递增；同理f (x )在(－∞，－2)上单调递增；在(－2,2)上单调递减．∴y ＝f (x )的极大值为f (－2)，极小值为f (2)，故选C. 【答案】 C12．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x【解析】a >0时，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，直线l 方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a2. ∴S △OAF ＝12·a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2＝4. 解得a ＝8.同理a <0时，得a ＝－8. ∴抛物线方程为y 2＝±8x . 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则右焦点坐标为________.【解析】 由x 24－y 2b 2＝1得渐近线方程为y ＝±b2x ， ∴b 2＝12，b ＝1， ∴c 2＝a 2＋b 2＝4＋1＝5， ∴右焦点坐标为(5，0)． 【答案】 (5，0)14．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________． 【解析】 f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)， 当x <－1或x >11时，f ′(x )>0，f (x )增加； 当－1<x <11时，f ′(x )<0，f (x )减少． 【答案】 (－1,11)15．已知命题p ：对任意x ∈[0,1]，都有a ≥e x 成立，命题q ：存在x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0成立，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是____________.【解析】 因为对任意x ∈[0,1]，都有a ≥e x 成立，所以a ≥e.由存在x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0成立，可得判别式Δ＝16－4a ≥0，即a ≤4.若命题“p 且q ”是真命题，所以p 、q 同为真，所以e ≤a ≤4.【答案】 [e,4]16．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点与抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点F 重合，椭圆C 1与抛物线C 2在第一象限的交点为P ，|PF |＝53.则椭圆C 1的方程为________．【解析】 抛物线C 2的焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，依据抛物线的定义，由|PF |＝53，得1＋x 0＝53，解得x 0＝23.因为点P 在抛物线C 2上，且在第一象限，所以y 0＝263.所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263.因为点P 在椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以49a 2＋83b 2＝1.又c ＝1，所以a 2＝b 2＋1，联立解得a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.【答案】 x 24＋y 23＝1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求与⊙C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1相外切，且与⊙C 2：(x －1)2＋y 2＝9相内切的动圆圆心P 的轨迹方程．【解】 设动圆圆心P 的坐标为(x ，y )，半径为r ， 由题意得，|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝3－r ， ∴|PC 1|＋|PC 2|＝r ＋1＋3－r ＝4>|C 1C 2|＝2，由椭圆定义知，动圆圆心P 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为2a ＝4的椭圆，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．【解】 f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .∵曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝g ′(1)f (1)＝g (1)， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝3＋b a ＋1＝1＋b ＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3. ∴a ，b 的值分别为3,3.19．(本小题满分12分)已知命题p ：函数f (x )＝x 3＋ax ＋5在区间(－2,1)上不单调，若命题p 的否定是一个真命题，求a 的取值范围．【解】 考虑命题p 为真命题时a 的取值范围，因为f ′(x )＝3x 2＋a ，令f ′(x )＝0，得到x 2＝－a 3，当a ≥0时，f ′(x )≥0，函数f (x )在区间(－2,1)上是增加的，不合题意； 当a <0时，由x 2＝－a3，得到x ＝±－a3，要使函数f (x )＝x 3＋ax ＋5在区间(－2,1)上不单调，则－a3<1或－－a3>－2，即a >－12，综上可知－12<a <0，故命题p 的否定是一个真命题时，a 的取值范围是a ≤－12或a ≥0. 20．(本小题满分12分)某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：p ＝3x4x ＋32(x ∈N ＋)．(1)将该厂的日盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数； (2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？【解】 (1)由题意可知次品率p ＝日产次品数/日产量，每天生产x 件，次品数为xp ，正品数为x (1－p )．因为次品率p ＝3x 4x ＋32，当每天生产x 件时，有x ·3x4x ＋32件次品，有x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32件正品． 所以T ＝200x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32－100x ·3x 4x ＋32＝25·64x －x 2x ＋8(x ∈N ＋)．(2)T ′＝－25·(x ＋32)(x －16)(x ＋8)2， 由T ′＝0，得x ＝16或x ＝－32(舍去)． 当0<x <16时，T ′>0； 当x >16时，T ′<0； 所以当x ＝16时，T 最大．即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2－2tx ＋4t 3＋t 2－3t ＋3，其中x ∈R ，t ∈R ，将f (x )的最小值记为g (t )．(1)求g (t )的表达式；(2)讨论g (t )在区间[－1,1]内的单调性；(3)若当t ∈[－1,1]时，|g (t )|≤k 恒成立，其中k 为正数，求k 的取值范围． 【解】 (1)f (x )＝(x －t )2＋4t 3－3t ＋3，当x ＝t 时，f (x )取得其最小值g (t )，即g (t )＝4t 3－3t ＋3.(2)∵g ′(t )＝12t 2－3＝3(2t ＋1)(2t －1)， 列表如下：由此可见，g (t )在区间⎝ ⎭⎪⎫－1，－12和⎝ ⎛⎭⎪12，1上单调递增，在区间⎝ ⎭⎪⎫－12，12上单调递减．(3)∵g (1)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4，g (－1)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，∴g (t )最大值＝4，g (t )最小值＝2， 又∵|g (t )|≤k 恒成立，∴－k ≤g (t )≤k 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ≥4，－k ≤2，∴k ≥4.22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为23，右焦点F 与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 、B 是椭圆C 上的不同两点，点D (－4,0)，且满足DA →＝λDB →，若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，12，求直线AB 的斜率的取值范围． 【解】 (1)由已知得b ＝3，c ＝1，a ＝2， 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵DA →＝λDB →，∴D ，A ，B 三点共线，而D (－4,0)，且直线AB 的斜率一定存在，所以设AB 的方程为y ＝k (x ＋4)，与椭圆的方程x 24＋y 23＝1联立得(3＋4k 2)y 2－24ky ＋36k 2＝0， 由Δ＝144k 2(1－4k 2)>0，得k 2<14.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1＋y 2＝24k3＋4k 2， y 1·y 2＝36k 23＋4k2，①又由DA →＝λDB →得：(x 1＋4，y 1)＝λ(x 2＋4，y 2)， ∴y 1＝λy 2②将②式代入①式得：⎩⎨⎧ (1＋λ)y 2＝24k 3＋4k 2，λy 22＝36k 23＋4k 2，消去y 2得：163＋4k 2＝(1＋λ)2λ＝1λ＋λ＋2. 当λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，12时，h (λ)＝1λ＋λ＋2是减函数， ∴92≤h (λ)≤12124，∴92≤163＋4k 2≤12124，解得21484≤k 2≤536， 又因为k 2<14，所以21484≤k 2≤536， 即－56≤k ≤－2122或2122≤k ≤56. ∴直线AB 的斜率的取值范围是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56，－2122∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2122，56.。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）命题“对32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是( )（A ）不01,20300≤+-∈∃x x R x （B ）01,20300≤+-∈∃x x R x （C ）01,20300>+-∈∃x x R x （D ）对01,23>+-∈∀x x R x（2）在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3321=++a a a ，则有（ ）（A ）3,21=-=d a （B ）3,21-==d a （C ）2,31=-=d a （D ）2,31-==d a（3）在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若)cos 31(cos 3B c C b -=，则=A C s i n :s i n（ ） （A ）32 （B ）34 （C ）3 （D ）23（4）已知0,0>>y x ,2lg 8lg 2lg =+y x ,则yx 311+的最小值为( ) （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1（5）已知向量()0,1,1-=a ，()2,0,1=b ，且b a k +与b a 2-互相垂直，则=k （ ）（A ）411-（B ）51 （C ）53 （D ）411 （6）在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ） （A ）23 （B ）22 （C ）21 （D ）21-（7）设等比数列}{n a 的公比为0>q ，且1≠q ，n S 为数列}{n a 前n 项和，记nnn S a T =，则( )（A ）36T T ≤ （B ）36T T < （C ）36T T ≥ （D ）36T T >（8）设双曲线22221x y a b -=（0,0a b >>）的渐近线与抛物线12+=x y相切，则双曲线的离心率为（ ）（A ）3 （B ）5 （C ）6 （D ）3（9）点()y x P ,的坐标满足条件20400x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，若 ()1,1=,()1,1-=,且μλ+=，则λμλ+2的最大值为( ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（10）用数学归纳法证明()+∈≥++++++++N n n n n n n ,211312111 时，k n =到1+=k n时，不等式左边应添加的项为（ ）（A ）()121+k （B ）221121+++k k （C ）11221121+-+++k k k （D ）2111221121+-+-+++k k k k （11）若点P 为共焦点的椭圆1C 和双曲线2C 的一个交点，1F ，2F 分别是它们的左右焦点，设椭圆的离心率为1e ，设双曲线的离心率为2e ，若120PF PF ⋅=，则=+222111e e （ ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1（12）设直线l 交于抛物线C ：24y x =相交于,A B 两点，与圆1C ：222(5)x y r -+=相切于点M ，且M 为线段AB 的中点。

第二章 圆锥曲线与方程2.2 双曲线2.2.2 双曲线的简单几何性质A 级 基础巩固一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4.答案：C2．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 解析：由已知可得c ＝6，所以 a ＝b ＝22c ＝32， 所以 双曲线的标准方程是x 218－y 218＝1.答案：D3．下列双曲线中离心率为62的是( )A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：由e ＝62得e 2＝32，所以 c 2a 2＝32，则a 2＋b 2a 2＝32，所以 b 2a 2＝12.即a 2＝2b 2.答案：B4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax .又离心率为e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .答案：C5．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：双曲线的一条渐近线方程为x a －yb＝0，即bx －ay ＝0，焦点(c ，0)到该渐近线的距离为bc a 2＋b 2＝bc c ＝3，故b ＝3，结合ca ＝2，c 2＝a 2＋b 2得c ＝2，则双曲线C 的焦距为2c ＝4.答案：C 二、填空题6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______，渐近线方程为______．解析：因为椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，所以在双曲线中，c ＝4，且满足ca ＝2，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝23，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x ..答案：(4，0)，(－4，0) y ＝±3x7．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．解析：双曲线的左焦点为F 1(－2，0)，将直线AB 方程：y ＝33(x＋2)代入双曲线方程．得8x 2－4x －13＝0，显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以 x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，所以 |AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋13× ⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3. 答案：38．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________．解析：双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k 2，又因为e ∈(1，2)，则1＜4－k 2＜2，解得－12＜k ＜0答案：(－12，0) 三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点(3，－2)，离心率e ＝52； (2)中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)．解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a＞0，b ＞0)．因为双曲线过点(3，－2)，则9a 2－2b 2＝1.①又e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝52，故a 2＝4b 2.② 由①②得a 2＝1，b 2＝14，故所求双曲线的标准方程为x 2－y214＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理可得b 2＝－172，不符合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2－y214＝1.(2)由2a ＝2b 得a ＝b ，所以 e ＝1＋b 2a2＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点P (4，－10)， 所以 16－10＝λ，即λ＝6. 所以 双曲线方程为x 2－y 2＝6. 所以 双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1.10．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求实数a 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB →，求a 的值．解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线方程x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.依题意⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0，所以 0＜a ＜2且a ≠1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0，1)，因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2.消去x2得－2a21－a2＝28960.由a＞0，解得a＝1713.B级能力提升1．若0＜k＜a2，则双曲线x2a2－k－y2b2＋k＝1与x2a2－y2b2＝1有()A．相同的虚线B．相同的实轴C．相同的渐近线D．相同的焦点解析：因为0＜k＜a2，所以a2－k＞0.对于双曲线x2a2－k－y2b2＋k＝1，焦点在x轴上且c2＝a2－k＋b2＋k＝a2＋b2.同理双曲线x2a2－y2b2＝1焦点在x轴上且c2＝a2＋b2，故它们有共同的焦点．答案：D2．已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________．解析：如图，连接F2P，P是MF1中点，则PF2⊥MF1，在正三角形MF1F2中，|F1F2|＝2c，则|PF1|＝c，|PF2|＝3c.因为P在双曲线上，所以|PF2|－|PF1|＝2a而3c－c＝2a所以 ca ＝23－1＝2（3＋1）（3－1）（3＋1）＝3＋1.答案：3＋13．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A ，B .(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解：(1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理，得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0，①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝（2k ）2－8（k 2－2）＞0，－2kk 2－2＞0，2k 2－2＞0，解得k 的取值范围为{}k |－2＜k ＜－2.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则由①，得x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过以曲线C 的右焦点F (c ，0)，则由FA ⊥FB ，得(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0. 即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0.整理，得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③把②式及c＝62代入③式，化简，得5k2＋26k－6＝0.解得k＝－6＋65或k＝6－65∉(－2，－2)(舍去)．可知存在k＝－6＋65，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．。

一、单选题1．设a ,b 是空间中不同的直线，α,β是不同的平面，则下列说法正确的是A ．a //b ,b ⊂α，则a //αB ．a ⊂α,b ⊂β,a //β,则a //bC ．a ⊂α,b ⊂α,a //β,b //β,则α//βD ．α//β,a ⊥β,则a ⊥α2．下列命题中不正确的是A ．平面α∥平面β，一条直线a 平行于平面α，则a 一定平行于平面βB ．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC ．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行D ．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线3．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是A ． 524πR 3B ． 58πR 3C ． 324πR 3D ． 38πR 34．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是A ．2 33πB ．2 3πC ．7 36πD ．7 33π5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为A ．32B ．12C ．1D ．26．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是A．143 B ．4 C ．163 D ．6 7．如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ,F ，且EF = 22,则下列结论中错误的是 A ．AC ⊥BE B ．EF ∥平面ABCD C ．三棱锥A −BEF 的体积为定值 D ．△AEF 与△BEF 的面积相等 8．三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA =AB =BC =1，则球O 的表面积为 A ． 32π B ．32π C ．3π D ．12π 9．三棱柱ABC −A 1B 1C 1底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若AB =2,AA 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为 A ． 34 B ． 32 C ．3 34 D ． 3 10．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为 A ．8 2 B ．6 3 C ．8 D ．8 3 11．三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为A．43πB．23πC．22πD．2π12．如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC−A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，若点M，N所在直线与平面ACC1A1不相交，点Q为MN中点，则Q点的轨迹的长度是A．22B．32C．1D．2二、填空题13．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图),∠ABC=45∘，AB=AD=1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为______．14．下列说法中正确的是_____________ ．(填序号)①棱柱的面中，至少有两个面互相平行；②以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；④有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；⑤圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线.15．如图，在各小正方形边长为1的网格上依次为某几何体的正视图，侧视图与俯视图，其中正视图为等边三角形，则此几何体的体积为____________ .16．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是___________.三、解答题17．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，O分别是A1B,BD的中点.（1）求证：OM//平面AA1D1D；（2）求OM与BC1所成的角.18．如图，在四棱锥P−ABCD中，已知底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC,点E为棱PD的中点.（1）求证：CD⊥平面PAD（2）直线AD上是否存在一点F，使平面PBF//平面AEC？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.19．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD//BC，AD⊥AB，AD=2，BC= 4，AB=2, AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：EF//A1D1；（2）求点B到平面B1C1EF的距离．20．如图，在四棱锥E−ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．（1）求棱锥C−ADE的体积；（2）在线段DE上是否存在一点F，使AF//平面BCE？若存在，求出EFED的值；若不存在，说明理由．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=3，AC=6，D,E分别是AC，AB上的点，且DE//BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图．（1）求证：BC⊥平面A1DC；（2）若CD=2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值；（3）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．22．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，E、F分别为AB、BC上的点，且AE＝BF＝x．（1）当x为何值时，三棱锥B1−BEF的体积最大？（2）求异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围．参考答案1．D【解析】【分析】由题意逐一分析所给选项是否正确即可.【详解】逐一分析所给的选项：A.a//b,b⊂α，有可能a⊂α，不一定有a//α，题中的说法错误；B.在如图所示的正方体ABCD−A1B1C1D1中，取a,b为直线AB,A1D1，β为平面A1B1C1D1，满足a⊂α,b⊂β,a//β,但是不满足a//b，题中的说法错误；C.若a∥b，a⊂α,b⊂α,a//β,b//β，不一定有α//β，题中的说法错误；D.由面面垂直的性质定理可得：若α//β,a⊥β,则a⊥α，题中的说法正确.本题选择D选项.【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.2．A【解析】【分析】逐一考查所给的选项是否正确即可.【详解】逐一考查所给的选项：A. 平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，可能a在平面β内或与β相交，a不一定平行于平面β，题中说法错误；B. 由面面平行的定义可知：若平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β，题中说法正确；C. 由面面平行的判定定理可得：若一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行，题中说法正确；D. 分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线，不可能相交，题中说法正确.本题选择A选项.【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.3．C【解析】【分析】首先求得底面半径和圆锥的高，然后求解其体积即可.【详解】设圆锥的底面半径为r，由题意可得：2πr=12×2π×R，解得：r=12R，圆锥的高ℎ=R2−12R2=32R，则圆锥的体积：V=13Sℎ=13× π×14R2×32R=324πR3.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查圆锥的体积公式，空间几何体的结构特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．D【解析】【分析】首先求得底面半径和圆台的高，然后求解其体积即可.【详解】由于圆台上、下底面面积分别是π、4π，故上下底面半径为r=1,R=2,由侧面积公式可得：π× 2+1 l =6π，则圆台的母线l =2，圆台的高ℎ= 2−12= 3， 这个圆台的体积：V =13πℎ R 2+r 2+Rr =13π× 3× 4+1+2 =7 33π.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查圆台的结构特征，圆台的体积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．A【解析】分析：首先由三视图还原几何体，然后结合几何体的空间结构整理计算即可求得最终结果. 详解：由三视图可知该几何体为正六棱锥，其底面边长为1，高为 ，则侧视图的底面边长为 2+12−2×1×1×cos120∘= 3，侧视图的面积为：S =12× 3× 3=32.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查三视图还原几何体的方法，椎体的空间结构等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．A【解析】试题分析：由三视图可知，四棱台的上底是边长为1的正方形，下底是边长为2的正方形，棱台高为2．设棱台上底面积为1111S =⨯=，下底面积为2224S =⨯=，所以棱台体积为()11414233V =⨯=．故A 正确．考点：1三视图；2棱台体积．7．D【解析】【分析】由题意逐一分析所给的选项是否正确即可.【详解】逐一分析所给的选项：由正方体的性质可知AC ⊥平面BDD 1B 1，而BE 在平面BDD 1B 1内，故AC ⊥BE ，选项A 正确； 平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，EF 在平面A 1B 1C 1D 1内，故EF ∥平面ABCD ，选项B 正确； △BEF 的面积为定值，点A 到平面BEF 的距离即点A 到平面BDD 1B 1的距离也是定值，故三棱锥A −BEF 的体积为定值 ，选项C 正确； △AEF 与△BEF 的底EF 长度相等，但是高不相同，故△AEF 与△BEF 的面积不相等，选项D 错误. 本题选择D 选项. 【点睛】 本题主要考查空间几何体的结构特征，线面平行的判定定理，棱锥体积的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．C 【解析】 【分析】 首先确定外接球半径，然后求解其表面积即可. 【详解】 设球O 的半径为R ，由题意可得： 2R 2=SA 2+AB 2+BC 2=3, 即4R 2=3，球O 的表面积为S =4πR 2=3π. 本题选择C 选项. 【点睛】 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 9．B 【解析】 【分析】 由题意利用体积相等求解点面距离即可. 【详解】 由题意可得三棱锥A 1−ABC 的体积：V =13× 12×2×2×sin60∘ ×1， 由几何关系可得：A 1B = 1+4= 5， 则等腰三角形A 1BC 中，点A 1到底面的距离：d = A 1B 2− 12BC 2= 5−1=2， 设点A 到平面A 1BC 的距离为ℎ， 由题意可得三棱锥A −A 1BC 的体积为：V =13× 12×2×2 ×ℎ，利用等体积法可得：13×12×2×2×sin60∘×1=13×12×2×2×ℎ，解得：ℎ=32，即点A到平面A1BC的距离为32.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查点面距离的计算，空间几何体的结构特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．A【解析】【分析】首先找到线面角，然后结合几何关系求得长方体的高，最后利用体积公式求解长方体的体积即可.【详解】如图所示，连结AC1,BC1，由题意可得∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角，即∠AC1B=30∘，则BC1=ABtan30∘=23，在△BCC1中，由勾股定理可得：CC1= C1B2−BC2=12−4=22，长方体的体积：V=2×2×2=8.【点睛】本题主要考查长方体的几何特征，线面角的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．A【解析】【分析】由题意首先求得外接球的半径，然后求解其体积即可.【详解】三棱锥的直观图如图，以△PAC所在平面为球的截面，则截面圆O1的半径为12⋅3sin60∘=1，以△ABC所在平面为球的截面，则截面圆O2的半径为12AB=112，球心H到△ABC所在平面的距离为13PO=12，则球的半径R为14+114=3，所以球的体积为43π×33=43π.本题选择A选项.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12．B【解析】【分析】首先确定轨迹方程，然后求解轨迹的长度即可.【详解】如图,任取线段A1B上一点M,过M作MH∥AA1,交AB于H,过H作HG∥AC交BC于G，过G作CC1的平行线,与CB1一定有交点N,且MN∥平面ACC1A1，即题中的MN有无数个。