重庆市渝东六校2020-2021学年高二下学期期中联考数学(理)试卷

重庆市2020年高二下学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)1. （2分） (2019高三上·铁岭月考) 设复数满足，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·萍乡模拟) 如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（）A . 24B . 48C . 96D . 1203. （2分）(2014·四川理) 在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A . 30B . 20C . 15D . 104. （2分）设Ｓ是至少含有两个元素的集合，在Ｓ上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对（a,b），在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）．若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（）A .B .C .D .5. （2分）对任意的实数x，有，则a2的值是（）A . 3B . 6C . 9D . 216. （2分）(2014·大纲卷理) 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A . 60种B . 70种C . 75种D . 150种7. （2分）(2017·江门模拟) 等差数列中{an}，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1 ， a2 ， a5成等比数列”的（）A . 充要条件B . 充分非必要条件C . 必要非充分条件D . 非充分非必要条件8. （2分）已知双曲线的右焦点F，直线与其渐近线交于A，B两点，且为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（）A . （）B . （1，）C . （）D . （1，）9. （2分）已知双曲线C1：的离心率为2，若抛物线C2：的焦点到双曲线C1的渐近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A .B .C .D .10. （2分）规定表示不超过x的最大整数，，若方程有且仅有四个实数根，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题： (共5题；共5分)11. （1分）已知a，b∈R，m∈R，且满足a＜＜b，则m的取值范围是________12. （1分） (2016高二下·连云港期中) 计算 + + +…+ =________．13. （1分）边长为x的正方形的周长C（x）=4x，面积S（x）=x2 ，则S′（x）=2x，因此可以得到有关正方形的如下结论：正方形面积函数的导数等于正方形周长函数的一半．那么对于棱长为x的正方体，请你写出关于正方体类似于正方形的结论：________．14. （1分）(2019·哈尔滨模拟) 关于函数 ,下列说法正确的是________（填上所有正确命题序号）.（1）是的极大值点；（2）函数有且只有1个零点；（3）存在正实数，使得恒成立；（4）对任意两个正实数，且，若，则 .15. （1分）(2020·淮南模拟) 若实数，满足，且的最小值为1，则实数的值为________三、解答题： (共6题；共50分)16. （5分） (2017高二下·黄山期末) 解答下面两个问题：（Ⅰ）已知复数，其共轭复数为，求；（Ⅱ）复数z1=2a+1+（1+a2）i，z2=1﹣a+（3﹣a）i，a∈R，若是实数，求a的值．17. （15分） (2016高一下·汕头期末) 已知 Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n﹣4．（1）求a1的值；（2）若bn=an﹣1，试证明数列{bn}为等比数列；（3）求数列{an}的通项公式，并证明： + +…+ ＜1．18. （10分）(2018·茂名模拟) 如图，四棱柱的底面为菱形，且.（1）证明：四边形为矩形；（2）若，与平面所成的角为，求二面角的余弦值.19. （5分）(2017·衡阳模拟) 已知函数．（a为常数，a＞0）（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在上是增函数；（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在，使不等式f（x0）＞m（1﹣a2）成立，求实数m的取值范围．20. （5分） (2018高三上·贵阳月考) 已知，直线的斜率之积为.（Ⅰ）求顶点的轨迹方程；（Ⅱ）设动直线，点关于直线的对称点为，且点在曲线上，求的取值范围.21. （10分） (2017高二下·沈阳期末) 已知函数（1）若函数F(x)= +ax2在上为减函数，求的取值范围；（2）当时，，当时，方程 - =0有两个不等的实根，求实数的取值范围；参考答案一、选择题： (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题： (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题： (共6题；共50分)16-1、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、。

重庆市部分区县2021 2021学年高二下学期期末联考数学（理）试题重庆市部分区县2021-2021学年高二下学期期末联考数学（理）试题高二（理科）数学试卷第ⅰ卷一、多项选择题：（1）复数3?4i的模是（a） 3（b）4（c）5（d）7（2）函数f（x）？辛克斯？余弦？导数是（a）cosx（b）?cosx?1（c）cosx?1（d）?cosx（3）一个演绎推理是已知的：“因为指数函数y？Ax是一个递增函数y?(12)x是指数函数，所以y?(1x2)是增函数”，则这段推理的（a）大前提错误（b）小前提错误（c）正确结论（d）错误推理形式（4）从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上，不同的种植方法国共同所有制（a）12种（b）24种（c）36种（d）48种（5）为了调查胃病是否与生活规律有关，一位同学在当地随机调查了500名30岁以上的人人，并根据调查结果计算出了随机变量k2的观测值k?6.080，则认为30岁以上的人患胃病与生活无规律有关时，出错的概率不会超过（a） 0.001（b）0.005（c）0.010（d）0.025附表：P（K2？K0）0.400.250.100.050.0250.0100.0050.001k00.7081.3232.7063.8415.0246.6357.87910.828（6） 10种已知产品中，7种合格，3种不合格。

如果随机抽取5个产品进行检验，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有（a） 35种（b）38种（c）105种（d）630种（7）若函数f(x)?x3?ax2?ax?2没有极值，则实数a的取值范围是（a） [0,3]（b）（0,3）（c）（？？，0）？(3,??) （d）（？？，0]？[3，？）（8）若cx?22x?19?c9，则x?（a）?1（b）4（c）?1或4（d）1或5（9）如果P是随机变量的平均值（分别为n、x和n），那么P是标准偏差（a）100，0.2（b）200，0.4（c）100，0.8（d）200，0.6（10）下列结论中，正确的是（a）导数为零的点必须是极值点（b）如果在x0附近的左侧f'(x)?0，右侧f'(x)?0，那么f(x0)是极大值（c）如果在x0附近的左侧f'(x)?0，右侧f'(x)?0，那么f(x0)是极大值（d）如果在x0附近的左侧f'(x)?0，右侧f'(x)?0，那么f(x0)是极小值（11）一个盒子里有五张彩票，其中两张有奖，三张无奖。

2021-2022学年重庆市渝东九校联盟高二下学期期中联考数学试题一、单选题1．展开后，共有多少项？（ ）()()1231234a a a b b b b +++++A ．3B ．4C ．7D ．12【答案】D【分析】根据多项式的乘法运算法则即可求解.【详解】根据多项式的乘法运算法则分两步，第一步，在第一个因式中选一项，有种方法；13C 3=第二步，在第二个因式中选一项，有种方法；14C 4=根据乘法分步原理可得，展开后共有项，3412⨯=故选：.D 2．一个质点M 沿直线运动，位移S （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系，则()21S t t =+质点M 在时的瞬时速度为（ ）2.5s t =A ．7.25m/s B ．5m/sC ．6m/sD ．5.1m/s【答案】B【分析】利用导数的实际意义求解【详解】由，有，则时，.()21S t t =+()2S t t'= 2.5t =()52.5S '=质点M 在时的瞬时速度为5m/s.2.5s t =故选：B3．从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数可以组成多少个不同的三位数？（ ）A ．60B ．80C ．100D ．120【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理，先确定百位上的数字，再分析十位与个位，进而计算即可求解.【详解】从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数，百位上的数字有除0外的5种选法，十位上的数字有除百位上的数字外的5种选法，个位上的数字有除百位、十位上的数字外的4种选法，所以总共有种不同的三位数，554100⨯⨯=4．如图，小芳从街道B 处出发先到C 处与小明会合，再一起到位于D 处的社区参加志愿者活动，则小芳到社区的最短路径的条数为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．24【答案】C【分析】最短路径的条数，即横向和纵向走法的不同组合数，由组合数公式和分步乘法计数原理进行计算即可.【详解】不妨设图中向上方向为北，向右方向为东，图中最小矩形的一条边长为1个街道，则最短路径即通过的街道最少，从B 处到D 处，共需2个步骤：第1步，从B 处到C 处，最短路径为向北通过1个街道和向东通过2个街道共3个街道，从3次通过的街道中，选出1次向北，其余向东，共有条路径；13C 3=第2步，从C 出到D 出，最短路径为向北通过2个街道和向东通过2个街道共4个街道，从4次通过的街道中，选出2次向北，其余向东，共有条路径，24C 6=∴由分步乘法计数原理，小芳到社区的最短路径的共有条.1863=⨯故选：C.5．如图所示是函数的图象，其中为的导函数，则下列大小关系正确的是()y f x =()f x '()f x （ ）A ．B ．()()()213f f f ''>>'-()()()231f f f ''>>'-C ．D ．()()()312f f f >>''-'()()()321f f f >->'''【分析】利用函数图象确定函数的单调性，由此确定的值，比较其大小.()()()2,3,1f f f '-''【详解】由已知可得：函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调()y f x =(],1-∞-(]1,1-(]1,2()2,+∞递减，函数在时取极小值，()f x 1x =所以，()()()20,10,30f f f '->='<'所以，()()()213f f f ''>>'-故选：A.6．设，，则（ ）()()1||3P A B P B A ==()14P A =()P B =A ．B ．C ．D ．23143413【答案】C【分析】利用条件概率公式和对立事件概率公式求解即可.【详解】由可得，()14P A =()()314P A P A =-=所以,()()()311|434P AB P A P B A ==⨯=所以，()()()1341|43P AB P B P A B ===故选：C7．一袋中共有5个大小相同的球，其中红色球1个，蓝色球、黑色球各2个，某同学从中随机任取2个，若取得的2个中有一个是蓝色球，则另一个是红色球或黑色球的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．710152567【答案】D【分析】列举出所有情况，统计满足条件的情况，利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】设1个红色球为，2个蓝色球为，2个黑色球为，a ,bc ,de 从中随机任取2个，事件“取得的2个中有一个是蓝色球”包含的基本事件有：7种，()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,b a b c b d b e c a c d c e 其中“另一个是红色球或黑色球”有6种，所以所求概率，67P =故选：D8．定义在上的奇函数的图像连续不断，其导函数为，对任意正数恒有R ()f x ()f x 'x ，若，则不等式的解集为（ ）()()2xf x f x '<-()()2g x x f x =()()()22log 210g x g -+->A ．B ．C ．D ．()0,2()2()2,2-()2,2- 【答案】D 【分析】由的奇偶性和判断出在上的奇偶性和单调性，利用的()f x ()()2xf x f x '<-()g x R ()g x 单调性和奇偶性，求不等式的解集即可.()()()22log 210g x g -+->【详解】∵为奇函数，∴，()f x ()()f x f x -=-∴当时，，0x >()()()22xf x f x f x <=-'-⇔()()20f x xf x '+<又∵，∴，()()2g x x f x =()()()()()222g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦当时，，∴在区间上单调递减，0x >()0g x '<()g x ()0,∞+又∵当时，，x ∈R ()()()()()22g x x f x x f x g x -=--=-=-∴为上的奇函数，()()2g x x f x =R ∵在上的图象连续不断，∴在上单调递减.()f x R ()g x R 又∵，()()()22log 210g x g -+->∴，即，()()()22log 210g x g -->()()()22log 21g x g ->∴，()222log 21log 2x -<=∵在区间上单调递增，∴，2log y x =()0,∞+2022x <-<解得.()2,2x ∈-故选：D.二、多选题9．随机变量X 服从两点分布,若,则下列结论正确的是（ ）()104P X ==A ．B ．()314P X ==()14D X =C ．D ．()3212E X +=()3214D X +=【答案】AD【分析】先根据已知条件写出两点分布,再根据期望和方差公式求出,再根据()(),E X D X ,计算即可.()()2121E X E X +=+()()214D X D X +=【详解】因为随机变量X 服从两点分布且,所以,故A 正确;()104P X ==()314P X ==,,故B 错误;()13301444E X =⨯+⨯=()223133301444416D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故C 错误;()()3521212142E X E X +=+=⨯+=,故D 正确.()()332144164D X D X +==⨯=故选:AD.三、单选题10．下列式子正确的有（ ）A ．B ．，()e e '=()()1ln mx x '=()0m >C ．D ．('=()3ln3log x x'=【答案】B【分析】根据导数的运算法则逐项判断对错即可.【详解】对于A ，，A 错误；()0e 0'=对于B ，，B 正确；()()()11ln ln ln 0mx m x x x''=+=+=对于C ，，C 错误；(312232x x '⎛⎫'=== ⎪⎝⎭对于D ，，D 错误.()31log ln 3x x '=故选：B.四、多选题11．有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（ ）A ．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480B ．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240C ．6名同学平均分成三组到A 、B 、C 工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法D ．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种【答案】AC【分析】A 选项，利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法；B 选项，利用倍缩法求解；C 选项，先进行平均分组，再进行全排列，得到答案；D 选项，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，再进行全排列，得到答案.【详解】A 选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有种排法，44A 24=再将甲、乙两人插空，有种排法，则共有种不同的排法，A 正确；25A 20=2420480⨯=B 选项，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种6633A 120A =不同的站法，B 错误；C 选项，6名同学平均分成三组到A 、B 、C 工厂参观（每个工厂都有人），则有种2223642333C C C A 90A =不同的安排方法，C 正确；D 选项，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有种分法，2131C C 3=再将三组同学和三个活动进行全排列，则有种安排方法，33A 6=故不同的分组方法有种方法，D 错误.1863=⨯故选：AC12．已知函数，函数，下列对函数描述()()1e ,0ln ,0x x x f x xx x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()()()()222g x f x a f x a =-++()g x 正确的是（ ）A ．当时，有三个零点B ．当时，有三个零点13a =()g x 1e a =()g xC ．当时，有三个零点D ．当时，有两个零点110a =-()g x 21e a =-()g x 【答案】ACD【分析】利用导数分析函数的单调性和函数值的变化规律，根据零点定义可得函数的零()f x ()g x 点为方程和方程的解，结合函数的性质确定取不同值时函数的零点()2f x =()f x a =()f x a ()g x 个数，可得结论.【详解】当时，，0x ≤()()1e xf x x =+所以，()()()e 1e 2e x x xf x x x '=++=+当时，，函数在上单调递减，<2x -()0f x '<()f x (),2-∞-当时，，函数在上单调递增，20x -<≤()0f x ¢>()f x (]2,0-且，，，()01f =()22e f --=-()10f -=当时，，当时，，1x <-()0f x <10-<≤x ()0f x >当时，与一次函数相比，函数呈爆炸性增长，x →-∞1y x =+e xy -=从而，，当时，，()10e xx f x -+=→()0f x '→0x >()ln x f x x =所以，()21ln xf x x -'=当时，，函数在上单调递增，0e x <<()0f x ¢>()f x ()0,e 当时，，函数在上单调递减，e x <<+∞()0f x '<()f x ()e,+∞且，，()1e ef =()10f =当时，，当时，，1x >()0f x >01x <<()0f x <当时，与对数函数相比，一次函数呈爆炸性增长，x →+∞ln y x =y x =从而，，()ln 0xf x x =→()0f x '→当，且时，，0x >0x →()ln xf x x =→+∞根据以上信息，可作出函数的大致图象如下：()f x函数的零点个数与方程的解的个数一致，()()()()222g x f x a f x a=-++()()()2220f x a f x a -++=方程，可化为，()()()2220f x a f x a -++=()()()()20f x f x a --=所以或，()f x a=()2f x =由图象可得没有解，()2f x =所以方程的解的个数与方程解的个数相等，()()()2220f x a f x a -++=()f x a=而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，()f x a =()y f x =y a =当时，函数的图象与函数的图象有两个交点，1e a =()y f x =y a =所以当时，有两个零点，B 错误；1e a =()g x 当时，函数的图象与函数的图象有两个交点，21e a =-()y f x =y a =所以当时，有两个零点，D 正确；21e a =-()g x 当时，函数的图象与函数的图象有三个交点，13a =()y f x =y a =所以当时，有三个零点，A 正确；13a =()g x 当时，函数的图象与函数的图象有三个交点，110a =-()y f x =y a =所以当时，有三个零点，C 正确；110a =-()g x 故选：ACD.五、填空题13．已知随机变量X 的分布列为X 1234Pab0.30.4则______．()3P X <=【答案】0.3【分析】根据已知条件，利用离散型随机变量的分布列的概率和为1，即可求解的值，再由a b +，即可求解．()()()312P X P X P X <==+=【详解】依题意有：，则，0.30.41a b +++=0.3a b +=所以()()()3120.3P X P X P X a b <==+==+=故答案为：0.314．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会隆重开幕，双奥之城北京成功谱写了精彩、非凡、卓越的奥林匹克新篇章，镌刻下这个冬天的美好记忆．奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结．五个奥林匹克环总共有8个交点，从中任取4个点，则这4个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率为______．【答案】370【分析】由条件确定样本空间中的基本事件总数，再确定事件4个点恰好位于同一个奥林匹克环上所包含的基本事件数，由古典概型概率公式求概率.【详解】从8个点中任取4个点，共有种取法，48C 事件所取4个点恰好位于同一个奥林匹克环上包含3个基本事件，所以事件所取4个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率，4833C 70P ==故答案为：.37015．已知函数，则在点处的切线方程为______．()3ln 2f x x =-()()1,1f 【答案】20x y +-=【分析】先求出导函数，进而根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程.【详解】因为，()3ln 2f x x=-所以，，()11f =()32f x x '=所以，()131122f '=-=-所以函数在点处的切线的斜率为-1，()3ln 2f x x =()()1,1f 所以切线方程为：，()111y x -=--化简可得，20x y +-=故答案为：.20x y +-=16．为美化重庆市忠县忠州中学校银山校区的校园环境，在学校统一组织下，安排了高二某班劳动课在如图所示的花坛中种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求相邻区域颜色不同，则有______种不同方案．【答案】72【分析】根据题意，按选出花的颜色的数目分2种情况讨论，利用排列组合及乘法原理求出每种情况下种植方案数目，由加法原理计算可得答案【详解】如图，假设5个区域分别为1，2，3，4，5，分2种情况讨论：①当选用3种颜色的花卉时，2，4同色且3，5同色，共有种植方案（种），3343C A 24⋅=②当4种不同颜色的花卉全选时，即2，4或3，5用同一种颜色，共有种植方案（种），1424C A 48⋅=则不同的种植方案共有（种）.244872+=故答案为：72六、解答题17．近年来大学生村官岗位竞争激烈．现有5名应届大学生通过了选拔考试．现分配他们到4个乡镇单位，每个人只能去一个乡镇单位．(1)则不同的分配方案共有多少种？(2)若每个乡镇单位至少有一名同学去，则不同的分配方案有多少种？【答案】(1)1024(2)240【分析】(1)对分配过程进行分步，求每步的方法数，利用分步乘法计数原理求不同的分配方案；(2)结合分堆分配问题处理方法求解.【详解】（1）将5名应届大学生分配到4个乡镇单位，可分为5步完成，第一步，先安排第一名的学生，有4种安排方法，第二步，先安排第二名的学生，有4种安排方法，第三步，先安排第三名的学生，有4种安排方法，第四步，先安排第四名的学生，有4种安排方法，第五步，先安排第五名的学生，有4种安排方法，由分步乘法计数原理可得不同的分配方案共有种方法，即1024种方法.44444⨯⨯⨯⨯（2）分配过程可分为两步完成，第一步，可将5名学生分成四层，有种方法，2,1,1,125C 再将各层安排到四个乡镇单位，有种方法，44A 由分步乘法计数原理可得不同的分配方案共有种方法，即240种方法.2454C A 18．已知的展开式中二项式系数之和为64，求此展开式中：nx ⎛⎝(1)各项系数的和；(2)含有项的系数．2x 【答案】(1)1(2)-160【分析】（1）由展开式中的各项二项式系数之和得到，求出，在展开式中，令，264n=6n =1x =得各项系数和；（2）由展开式的通项可知，时展开式第4项含有，用通项公式计算即可．3r =2x 【详解】（1）已知的展开式中二项式系数之和为64，，则，nx ⎛⎝264n =6n =在的展开式中，令，得各项系数和为1.6x ⎛⎝1x =（2）展开式的通项，当时，，()4663166C 2C rr r rr r r T xx--+⎛=- ⎝=4623r -=3r =则，所以含有项的系数为-160.323346160C T x x ⎝=-⎛= 2x 19．袋子中有9个大小、材质都相同的小球，其中6个白球，3个红球．每次从袋子中随机摸出1个球摸出的球不再放回，求：(1)在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；(2)第二次摸到白球的概率．【答案】(1)14(2)23【分析】（1）利用条件概率的计算公式求解即可；（2）第二次摸到白球的情况分为两种，分别求出这两种情况的概率，进而可求得答案.【详解】（1）设第一次摸到红球的事件为，第二次摸到红球的事件为，A B 则，，()1319C 1C 3P A ==()11321198C C 1C C 12P AB ==所以在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率.()()()1112|143P AB P B A P A ===（2）第二次摸到白球的情况分为两种：第一种情况：第一次摸到红球，第二次摸到白球，此时的概率，1361984P =⨯=第二种情况：第一次摸到白球，第二次摸到白球，此时的概率，26559812P =⨯=所以第二次摸到白球的概率.121524123P P P =+=+=20．设函数，且满足，．()()2e 3x f x ax bx =+-0f =()03f '=-(1)求实数的值；a b +(2)求函数的极值．()f x 【答案】(1)1(2)极大值，极小值()363e f -=()12ef =-【分析】（1）求导数，由，列方程组求实数的值；0f=()03f '=-,a b （2）利用导数研究函数单调性，找到极值点计算极值.【详解】（1），则，()()2e 3x f x ax bx =+-()()2e23xf x ax b a x b '⎡⎤=+++-⎣⎦，解得，，()()330033f a f b '⎧=-=⎪⎨=-=-⎪⎩10a b =⎧⎨=⎩1a b +=实数的值为1.a b +（2）由（1）得，函数定义域为R ，，()()2e 3x f x x =-()()2e 23x f x x x +='-，解得或；，解得，()0f x ¢>3x <-1x >()0f x '<31x -<<则在和上单调递增，在上单调递减，()f x (),3-∞-()1,+∞()3,1-时，有极大值；时，有极小值.3x =-()f x ()363e f -=1x =()f x ()12e f =-21．某花店每天以每枝5元的价格从农场进购若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．(1)若花店一天购进18枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，）的函数解析式；N n ∈(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 16171819202122频数10201616151310①若花店一天购进18枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进18枝或19枝玫瑰花，你认为应购进18枝还是19枝？请说明理由．【答案】(1)()1090,18,N 90,18n n y n n -<⎧=∈⎨≥⎩(2)①数学期望86；方差；②花店一天应购进19枝玫瑰花3083【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝赔本5元，即可建立分段函数；（2）①分别求出，，时，的取值，对应表中频率得出对应的概率，得出分布16n =17n =18n ≥X 列代入期望与方差公式即可求解；②同理求出一天购进19枝玫瑰花的利润的期望，两者比较即可.【详解】（1）当天需求量时，利润，18n ≥90y =当天需求量时，利润，18n <1090y n =-所以当天的利润y 关于当天需求量n （单位：枝，）的函数解析式为：N n ∈.()1090,18,N 90,18n n y n n -<⎧=∈⎨≥⎩（2）①时，，；16n =10169070X =⨯-=()700.1P X ==时，，；17n =10179080X =⨯-=()800.2P X ==时，，；18n ≥90X =()900.160.160.150.130.10.7P X ==++++=所以X 的分布列为：X708090P0.10.20.7所以期望，()700.1800.2900.786E X =⨯+⨯+⨯=所以方差；()()()2222130870868086908633s ⎡⎤=⨯-+-+-=⎣⎦②由①知当一天购进18枝玫瑰花时，当天的利润的数学期望为，()86E X =设当一天购进19枝玫瑰花时，表示当天的利润，Y 时，，；16n =10169565Y =⨯-=()650.1P Y ==时，，；17n =10179575Y =⨯-=()750.2P Y ==时，，；18n =10189585Y =⨯-=()850.16P Y ==时，，；19n ≥95Y =()950.160.150.130.10.54P Y ==+++=所以.()650.1750.2850.16950.5486.4E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=所以，()()E X E Y <所以花店一天应购进19枝玫瑰花.【点睛】关键点点睛：离散型随机变量的分布列，数学期望与方差的求法，古典概型等基础知识点，需要考生有较强的分析转化与运算的求解能力.22．已知函数．()()2e ln 2x a f x x +=-+(1)当为函数的极值点时，求函数的单调区间．=1x -()f x ()f x (2)当时，求证：．1a ≥()2f x >【答案】(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增.()f x ()2,1--()1,-+∞(2)证明见解析【分析】（1）由为函数的极值点知，，求得的值，并进行检验，即可求得=1x -()f x ()10f '-=a 函数的单调区间；()f x（2）构造函数结合隐零点求最值即可证明【详解】（1）的定义域为，()()2e ln 2x a f x x +=-+()2,-+∞，()21e 2x af x x +'=-+若为函数的极值点，则，解得，=1x -()f x ()1211e 012a f -+'-=-=-+12a =当时，，，12a =()()1e ln 2x f x x +=-+()2,x ∈-+∞令，则，()()11e2x F f x x x +'=-+=()()121e 02x x x F +++=>'∴在区间上单调递增，()()F x f x '=()2,-+∞∵，()1111e 012f -+'-=-=-+∴当时，，在区间上单调递减；()2,1x ∈--()0f x '<()f x ()2,1--当时，，在区间上单调递增.()1,x ∈-+∞()0f x ¢>()f x ()1,-+∞∴当时，为函数的极小值点，满足题意，12a ==1x -()f x 即当为函数的极值点时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.=1x -()f x ()f x ()2,1--()1,-+∞（2）当时，1a ≥()()()22e ln 2e ln 2x a x f x x x ++=-+≥-+设，，()e ln x g x x=-()0,x ∈+∞则，易知在上单调递增，()1ex g x x '=-()g x '()0,∞+又∵，，121e 202g ⎛⎫'=-=< ⎪⎝⎭()1e 10g '=->∴，使，（即），01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()0001e 0x g x x =-='001e x x =⇒001lne ln x x =⇒00ln x x =-∴当时，，在区间上单调递减，()00,x x ∈()0g x '<()g x ()00,x 当时，，在区间上单调递增，()0,x x ∈+∞()0g x '>()g x ()0,x +∞在处取得极小值，也是最小值，，()g x 0x x =()()00000min e ln e x x g x g x x x ==-=+当时，，∴，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0112293e e 42x ⎛⎫>>= ⎪⎝⎭()00min 31e 222x g x x =+>+=∴，，()0,x ∀∈+∞()()0e ln 2x g x x g x =-≥>∴当且时，，原命题得证.()2,x ∈-+∞1a ≥()()()22e ln 2e ln 22x a x f x x x ++=-+≥-+>【点睛】通过零点存在定理，确定导函数零点所在区间，并通过代入、放缩等方式求解或证明与函数最值有关的不等式，是处理隐零点问题常用的方法.。

2020-2021重庆市高中必修二数学下期中试题(含答案)一、选择题1．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（ ） A ．643B ．32C ．54D ．642．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥3．<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π4．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C ．32D ．3 5．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或16．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．812πB ．814πC ．65πD ．652π7．已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ） A ．5B ．6C ．35D 418．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．23π B ．43π C ．53π D ．2π9．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则④若，，，则.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④10．已知平面αβ⊥且l αβ=I ，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）. A ．若//m α且//m β，则//m l B ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥ C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥11．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC V 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF，则1AFFA 的值为( )A ．1B ．12或2 C ．22或2 D ．13或3 12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u v u u u v，则点A 的横坐标为________．14．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．15．已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=o ，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120o ，则点A 到BCD V 所在平面的距离等于 ．16．已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则 ①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)． 17．已知动点,A B 分别在x 轴和直线y x =上，C 为定点()2,1，则ABC ∆周长的最小值为_______.18．已知圆22:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B两点，则动弦AB 的中点P 的轨迹方程为__________.19．小明在解题中发现函数()32x f x x -=-，[]0,1x ∈的几何意义是：点(),x x []()0,1x ∈与点()2,3连线的斜率，因此其值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，类似地，他研究了函数()32x g x x =-，[]0,1x ∈，则函数()g x 的值域为_____20．若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线()2:422C y x =--有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________.三、解答题21．如图，直角梯形BDFE 中，//,,22EF BD BE BD EF ⊥=，等腰梯形ABCD 中，//,,24AB CD AC BD AB CD ⊥==，且平面BDFE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AC ⊥平面BDFE ； （2）若BF 与平面ABCD 所成角为4π，求二面角B DF C --的余弦值．22．已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅u u u u v u u u v＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 23．已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -. （1）求AB 的中垂线方程；（2）求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程．24．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =．（Ⅰ）求直线1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值； （Ⅱ）求二面角1A A B C --的余弦值．25．四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90BCD ∠=︒，22AB AD DC ===.PAD △ 为正三角形，二面角P -AD -C 的大小为23π.（1）线段AD 的中点为M.求证：平面PMB ⊥平面ABCD ； （2）求直线BA 与平面P AD 所成角的正弦值.26．已知三角形ABC 的顶点坐标分别为A (4,1)，B (1,5)，C (3,2)-； （1）求直线AB 方程的一般式； （2）证明△ABC 为直角三角形； （3）求△ABC 外接圆方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，可得22122a h h =-，得出四棱锥的体积关于h 的函数()V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值. 【详解】正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，设正四棱锥的底面ABCD 的中心为1O .则2OA =,1PO ⊥ 平面ABCD .则22211OO O A OA +=,即()22233h ⎫+-=⎪⎪⎝⎭，可得22122a h h =-. 则该四棱锥的体积为()221112233V a h h h h =⨯=- 令()()2122f h h hh =-，则()2246f h h h'=-当04h <<时，()0f h '>，()f h 单调递增. 当4h >时，()0f h '<，()f h 单调递减.所以当4h =时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为：()216412424433⨯⨯-⨯⨯=. 故选：A【点睛】本题考查了四棱锥与球的组合体，求椎体的体积，关键是利用了导数求体积的最值．属于中档题．2．C解析：C 【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误. 故选C.3．C解析：C 【解析】 【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得. 【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC V 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC V 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C 【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.4．A解析：A 【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC P P ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）． 又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =又112,222MN BD NP AC ==== ∴PNM ∆为等边三角形， ∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ． 点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值．5．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得. 【详解】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：由图可知在长方体中的四棱锥P ABCD -完全满足题意， 故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，故外接球半径222722294R ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==， 故该球的表面积为28144S R ππ==. 故选：B . 【点睛】本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球.7．A解析：A 【解析】【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案. 【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =.故选：A . 【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.8．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥 故选C.考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.9．B解析：B 【解析】 【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β． 【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误；在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ， 由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．10．D解析：D 【解析】 【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可. 【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确； 选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确； 选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D . 【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.11．B解析：B 【解析】 【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果. 【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点， 所以BD AC ⊥，又1AC CC C =I ， 所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F Q 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =I ，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，，设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143xx ⎡⎤+=+++-⎣⎦， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =， 所以112AF FA =或者12AFFA =， 故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．12．B解析：B 【解析】试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确 考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质二、填空题13．3【解析】分析：先根据条件确定圆方程再利用方程组解出交点坐标最后根据平面向量的数量积求结果详解：设则由圆心为中点得易得与联立解得点的横坐标所以所以由得或因为所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范解析：3 【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u v u u u v ， 由0AB CD ⋅=u u u v u u u v得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.14．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为【解析】连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D V 是等边三角形，则当N 为11B D 中点时，NA15．【解析】【分析】【详解】设AC 与BD 交于点O 在三角形ABD 中因为∠A＝120°AB＝2可得AO ＝1过A 作面BCD 的垂线垂足E 则AE 即为所求由题得∠AOE ＝180°−∠AOC＝180°−120°＝60解析：2【解析】 【分析】 【详解】设AC 与BD 交于点O ．在三角形ABD 中，因为∠A ＝120°，AB ＝2．可得AO ＝1． 过A 作面BCD 的垂线，垂足E ，则AE 即为所求． 由题得，∠AOE ＝180°−∠AOC ＝180°−120°＝60°． 在RT △AOE 中，AE ＝AO•sin ∠AOE．16．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m可以和面β成任意角度①不正确；l⊂γl⊥m所以l⊥α②正确；③显然不对；④因为l⊂βl⊥α解析：②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解.【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度，和面α必垂直．所以直线m可以和面β成任意角度，①不正确；l⊂γ，l⊥m，所以l⊥α，②正确；③显然不对；④因为l⊂β，l⊥α，所以α⊥β，④正确．故答案为②④【点睛】本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.17．【解析】【分析】点C关于直线y=x的对称点为（12）点C关于x轴的对称点为（2﹣1）三角形PAB周长的最小值为（12）与（2﹣1）两点之间的直线距离【详解】点C关于直线y=x的对称点为（12）点C关10【解析】【分析】点C关于直线y=x的对称点为C'（1，2），点C关于x轴的对称点为C''（2，﹣1）．三角形PAB周长的最小值为C'（1，2）与C''（2，﹣1）两点之间的直线距离．【详解】点C关于直线y=x的对称点为C'（1，2），点C关于x轴的对称点为C''（2，﹣1）．三角形PAB周长的最小值为C'（1，2）与C''（2，﹣1）两点之间的直线距离，|C C'''（2，﹣1）22-+--10．(21)(12)10本题考查点到直线的距离公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．18．【解析】【分析】转化条件点三点共线即可得到点满足的条件化简即可得解【详解】由圆的方程可知圆心半径为设点点三点共线可得由相似可得即联立消去并由图可知可得故答案为：【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的解析：2271416x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭(2)y < 【解析】 【分析】转化条件点P 、M 、Q 三点共线、2MQ PM BM ⋅=即可得到点P 满足的条件，化简即可得解. 【详解】由圆的方程可知圆心()0,2，半径为1.设点(),P x y ，(),0Q a ，点P 、M 、Q 三点共线， 可得22y x a-=-， 由相似可得2MQ PM BM ⋅=即1=， 联立消去a 并由图可知2y <，可得()2271()2416x y y +-=<.故答案为：()2271()2416x y y +-=<【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的求法，考查了转化能力和运算能力，属于中档题.19．【解析】【分析】根据斜率的几何意义表示函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最大值为最小值为过点与图象相切的切线斜率设为切线方程为代入得解析：2] 【解析】 【分析】根据斜率的几何意义，()g x =表示函数y =(2,3)连线的斜率，数形结合，即可求解.()3x g x -=为点(,)x x 与点(2,3)连线的斜率， 点(,),[0,1]x x x ∈在函数,[0,1]y x x =∈图像上，(1,1)B 在抛物线图象上，()g x 的最大值为31221AB k -==-， 最小值为过A 点与,[0,1]y x x =∈图象相切的切线斜率，设为k ，切线方程为(2)3y k x =-+，代入,[0,1]y x x =∈得，320,0,14(32)0kx x k k k k -+-=≠∆=--=，即281210k k -+=，解得37k +=或37k -= 当37k +=时，37[0,1]372x ==-∈+⨯， 当37k -=时，37[0,1]372x ==+∉-⨯ 不合题意，舍去，()g x 值域为37[,2]+.故答案为:37[,2]4+.【点睛】本题考查函数的值域、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.20．【解析】【分析】将直线的方程化为可求出直线所过的定点坐标作出曲线的图象利用数形结合思想可得出当直线与曲线有公共点时直线的斜率的最小值【详解】将直线的方程化为由得则直线过定点将曲线的方程变形为曲线为圆解析：15【解析】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，可求出直线l 所过的定点坐标，作出曲线C 的图象，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有公共点时，直线l 的斜率的最小值. 【详解】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，由2100x y x y +-=⎧⎨+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩. 则直线l 过定点()1,1P -，将曲线C 的方程变形为()()()222242x y y -+-=≥，曲线C 为圆()()22224x y -+-=的上半圆，如下图所示：由图象可知，当直线l 过点A 时，直线l 的斜率取最小值211415PA k -==+. 故答案为：15. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求直线斜率的最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题21．（1）见解析（2）23【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：（1）直接利用面面垂直的性质定理可证；（2）设AC BD O =I ，计算后可证OF//BE ，从而由已知可证OF ⊥平面ABCD ，因此可以OA ，OB ，OF 为坐标轴建立空要间直角坐标系，利用向量法求二面角．（1）∵平面BDFE ⊥平面ABCD ，C A BD ⊥，平面BDFE I 平面ABCD BD =， 又AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面BDFE ；（2）设AC BD O =I ，∵四边形ABCD 为等腰梯形，,242DOC AB CD π∠===，∴2,22OD OC OB OA ====，∵//FE OB ，∴四边形BOFE 为平行四边形，∴//OF BE ， 又∵BE ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD ， ∴FBO ∠为BF 与平面ABCD 所成的角，∴4FBO π∠=，又∵2FOB π∠=，∴22OF OB ==，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则()()()()()0,22,0,0,2,0,0,0,22,2,0,0,22,0,0B D F C A --，()()0,2,22,2,2,0DF CD u u u v u u u v==-，∵AC ⊥平面BDFE ，∴平面BDF 的法向量为()1,0,0， 设平面DFC 的一个法向量为(),,n x y z =v，由·0·0DF n CD n ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v得2220220y z x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令2x =得，()2,2,1n =-v ， 2222cos ,31?221n AC u u uv v ==++，∴二面角B DF C --的余弦值为23．点睛：立体几何中求“空间角”，一种方法是根据“空间角”的定义作出它的“平面角”，再通过解三角形求得，其方法是一作二证三计算；第二种方法是在图形中有相互垂直的三条直线（或两条）时，可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求角，这种方法主要的就是计算，减少了作辅助线，证明的过程，只要计算过关，一般都能求得正确结论．22．（1）44(33-；（2）2． 【解析】试题分析：（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，用点斜式求得直线l 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k 的值，可得满足条件的k 的范围．（2）由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解试题解析：（1）由题意可得，直线l 的斜率存在， 设过点A （0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0． 由已知可得圆C 的圆心C 的坐标（2，3），半径R=1．1=，解得：12k k ==．k <<A （0，1）的直线与圆C ：()()22231x y -+-=相交于M ，N 两点．（2）设M ()11,x y ；N ()22,x y ，由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1，代入圆C 的方程()()22231x y -+-=，可得()()2214170kxk x +-++=，∴()121222417,11k x x x x k k++==++， ∴()()()2212121212212411111k k y y kx kx k x x k x x k++=++=+++=+， 由2121221248·121k k OM ON x x y y k++=+==+u u u u r u u u r ，解得 k=1， 故直线l 的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径．所以|MN|=2考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算 23．（1）34230x y --=; （2）4310x y ++=. 【解析】 试题分析：(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程； (2)利用点斜式可得直线方程为4310x y ++=. 试题解析： （1）8252+=，6222-+=- ∴AB 的中点坐标为()5,2-624823AB k --==--，∴AB 的中垂线斜率为34∴由点斜式可得()3254y x +=- ∴AB 的中垂线方程为34230x y --= （2）由点斜式()4323y x +=-- ∴直线l 的方程4310x y ++= 24．23.【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意结合线面垂直的判定可得AD ⊥平面11BCC B ，则1AC D ∠即为直线1AC 与平面11BCC B所成的角，求得AD =，1AC =后即可得解； （Ⅱ）作1AE A B ⊥，垂足为E ，连接1A C ，CE，由题意可得5BE =，由余弦定理可得295CE =，进而可得90BEC ∠=o ，则AEC ∠即为二面角1A A B C --的平面角，再由余弦定理即可得解. 【详解】（Ⅰ）Q 三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，∴1BB ⊥平面ABC ，∴1BB AD ⊥， Q AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥，又1BB BC B =I ，∴AD ⊥平面11BCC B ，∴1AC D ∠即为直线1AC 与平面11BCC B 所成的角， Q 1AB AC ==，12AA =，∴AD =，1AC =∴11sin AD AC D AC ∠===， ∴直线1AC 与平面11BCC B（Ⅱ）作1AE A B ⊥，垂足为E ，连接1A C ，CE ，Q 1AB AC ==，112AA A C ==，∴11A B AC ==，BC = 由1ABE A BA V V ∽可得5BE =，5AE =在1A BC V 中，222111110cos 2210A B BC AC A BC A B BC +-∠===⋅，∴在EBC V 中，22292cos 5CE BE BC BE BC EBC =+-⋅⋅∠=即35CE =， ∴222CE BE BC +=即90BEC ∠=o ， ∴AEC ∠即为二面角1A A B C --的平面角，在AEC V 中，222491255cos 2325352AE CE AC AEC AE CE +-+-∠===⋅⨯⨯. ∴二面角1A A B C --的余弦值为23.【点睛】本题考查了线面角和面面角的求解，考查了空间思维能力和计算能力，属于中档题. 25．（1）证明见解析；（2）34. 【解析】 【分析】(1)直角梯形ABCD 中,过D 作DF ⊥AB 于F ,求解三角形可得ABD △为正三角形，又PAD △为正三角形，M 为线段AD 的中点，可得PM ⊥AD ，BM ⊥AD ，再由线面垂直的判定可得AD ⊥平面PBM ，从而得到平面PMB ⊥平面ABCD ；(2)在平面PMB 中，过B 作BO ⊥PM ,垂足为O ,则BO ⊥平面P AD ,连接AO ,则∠BAO 为直线BA 与平面P AD 所成角，然后求解三角形得答案. 【详解】（1）证明：过D 作DF ⊥AB 于F在Rt ADE ∆中，2,1AD AE ==, 3BAD π∴∠=∴BAD V 和PAD △是正三角形，∵M 是AD 的中点，∴AD MB ⊥，AD MP ⊥，又∵MB MP M ⋂=，∴AD ⊥平面PMB ， 又∵AD ⊂平面ABCD∴平面PMB ⊥平面ABCD.（2）由（1）知PMB ∠是二面角P -AD -B 的平面角∴23PMB π∠=. 由（1）知AD ⊥平面PMB∵AD ⊂平面P AD∴平面PAD ⊥平面PBM∴过B 作平面P AD 的垂线，则垂足E 在PM 延长线上,∴3BME π∠=. 连结AE ，则BAE ∠是AB 与平面P AD 所成的角,∴3BM =，∴32BE =， ∴3sin 4BAE BE AB ∠== 【点睛】本题主要考查平面与平面垂直的判定，线面角的求法，二面角，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题.26．（1）43y-19=0x +（2）见解析（3）221325x-+y-=222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】【详解】（1）直线AB 方程为：y 1x-45-11-4-=，化简得：43y-19=0x +； （2）AB 514-1-43k -==； BC 5231--34k -==（）， ∴AB BC =-1k k ，则AB BC ⊥∴△ABC 为直角三角形（3）∵△ABC 为直角三角形，∴△ABC 外接圆圆心为AC 中点M 1322⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径为r=|AC |==222， ∴△ABC 外接圆方程为221325x-+y-=222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

2020-2021学年重庆一中高二下学期期中数学复习卷2一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知函数f(x)=√1−x 定义域为M ，g(x)=lnx 定义域为N ，则M ∩N =( )A. {x|x ≤1}B. {x|0<x ≤1}C. {x|0<x <1}D. {x|0≤x ≤1}2. 已知i 是虚数单位，复数z =i +21−i ，则复数z .的虚部是( )A. −12B. 32C. −32D. −23. 已知函数f(x)={x +1,(x ≤1)−x +1,(x >1)，则f[f(2)]=( )A. 3B. 2C. 1D. 04. 已知数列{a n }的前n 项和S n =2 n +1−2，等差数列{b n }中，公差d =2，b 2= a 2，则b n =A. 2n +2B. 2nC. n −2D. 2n −25. 设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x =2”是“复数Z =(x 2−3x +2)+(x +2)i 为纯虚数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 给出下列函数：①y =log 23x 2；②y =log 3(x −1)；③y =log x+1x ；④y =log πx.其中是对数函数的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 如果直线3x −√3y +m =0与双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)恒有两个公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是( )A. (1,2)B. (2,+∞)C. (1,2]D. [2,+∞)8. 周期为4的奇函数f(x)在[0,2]上的解析式为f(x)={x 2,0≤x ≤1log 2x +1,1<x ≤2，则f(2015)+f(2016)+f(2017)+f(2018)=( )A. 0B. 1C. 2D. 39. 如图，在体积为2的三棱锥A −BCD 侧棱AB 、AC 、AD 上分别取点E 、F 、G ，使AE ：EB =AF ：FC =AG ：GD =2：1，记O 为三平面BCG 、CDE 、DBF 的交点，则三棱锥O −BCD 的体积等于( )A. 19 B. 18 C. 17 D. 2710. 如果不等于1的正数a 、b 定义某种运算⊗：m =a ⊗b 的运行原理如下程序框图所示，如果x =5⊗2；y =2⊗5；z =2⊗2；则x 、y 、z 的大小关系为( )A. y <z <xB. y <x <zC. z <x <yD. x <y <z11. 已知直线x +y =1与圆(x −a)2+(y −b)2=2(a >0,b >0)相切，则ab 的取值范围是( )A. (0,32]B. (0,94]C. (0,3]D. (0,9]12. 若存在x ∈(−1,1]，使得不等式e 2x −ax <a 成立，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,2e )B. (2e ,+∞)C. (−∞,1e )D. (1e ,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 对于任意的两个实数对(a,b)(c,d)，规定：(a,b)=(c,d)，当且仅当a =c ，b =d ；定义运算“⊗”为：(a,b)⊗(c,d)=(ac −bd,bc +ad)， 运算“⊕”为：(a,b)⊕(c,d)=(a +c,b +d)．设p ，q ∈R ，若(1,2)⊗(p,q)=(5,0)，则(1,2)⊕(p,q)= ______ ．14. 已知函数f(x)=2+alog 2x +blog 3x ，且f(12016)=4，则f(2016)的值为______． 15. 观察如图，则第______行的各数之和等于20172．1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10…16.已知函数f(x)满足f(x+1)=−，且f(x)是偶函数，当x∈[−1,0]时，f(x)=x2，若在区间[−1,3]内，函数g(x)=f(x)−log a(x+2)有4个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，内角对边的边长分别是，已知，．(Ⅰ)若的面积等于，求；(Ⅱ)若，求的面积．18.当今，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，人们常常把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，手机已经严重影响了人们的生活．一媒体为调查市民对“低头族”的认识，从某社区的500名市民中随机抽取n名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图如图：组数分组(单位：岁)频数频率1[20,25)50.052[25,30)200.203[30,35)a0.354[35,40)30b5[40,45]100.10合计n 1.00 (Ⅰ)求出表中a，b，n的值，并补全频率分布直方图；(Ⅱ)媒体记者为了做好调查工作，决定在第2，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名市民进行问卷调查，再从这6名市民中随机抽取2名接受电视采访，求第2组至少有一名接受电视采访的概率．19.如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=3√2，PB=PC=5，AC=6，O为AC的中点．PO=4．(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)若M为BC的中点，求二面角M−PA−C的余弦值．20. 设直线l ：y =k(x +1)与椭圆x 2+4y 2=a 2(a >0)相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点． (I)证明：a 2>4k 21+k 2(Ⅱ)若AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程．21. 已知函数f(x)=ln(x +1)+2ax+a (a >0)．(I)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；(II)设函数f(x)存在两个极值点，并记作x 1，x 2，若f(x 1)+f(x 2)>4，求正数a 的取值范围； (III)求证：当a =1时，f(x)>1e x+1+1x+1(其中e 为自然对数的底数)22. 在平面直角坐标中xOy 中，曲线C 1的参数方程是{x =1−2ty =2t(t 是参数)，曲线C 2的普通方程是x 2+y 2=1，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立直角坐标系． (Ⅰ)写出C 1的普通方程和C 2的极坐标方程；(Ⅱ)A 是C 1上的点，射线OA 与C 2相交于点B ，点P 在射线OA 上，|OA|、|OB|、|OP|成等比数列．求点P 轨迹的极坐标方程，并将其化成直角坐标方程．23. (1)证明：|a +b|+|a −b|≥2|a|，并说明等号成立的条件；(2)若不等式|a +b|+|a −b|≥|a|(|x −2|+|x −3|)对任意的实数a(a ≠0)和b 恒成立，求实数x 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵1−x≥0⇒x≤1，∴M=(−∞,1]，N=(0,+∞)，∴M∩N=(0,1]，故选B先分别求出函数的定义域，再进行交集运算即可．本题考查交集及其运算．2.答案：D解析：解：复数z=i+21−i =i+2(1+i)(1−i)(1+i)=1+2i，则复数z.=1−2i的虚部是−2．故选：D．利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：解：f(2)=−2+1=−1，f(f(2))=f(−1)=−1+1=0．故选D．由题意得f(2)=−2+1=−1，利用函数性质能求出f(f(2))=f(−1)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4.答案：B解析：5.答案：A解析：解：由x =2，得x 2−3x −2=22−3×2−2=0，x +2=2+2=4．而由{x 2−3x +2=0x +2≠0，得x =1或2．所以“x =2”是“复数Z =(x 2−3x +2)+(x +2)i 为纯虚数”的充分不必要条件． 故选：A ．由x =2能得到复数复数Z =(x 2−3x +2)+(x +2)i 为纯虚数为纯数，反之，复数Z =(x 2−3x +2)+(x +2)i 为纯虚数得到x =2或1，则答案可求．本题考查了复数的基本概念，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，复数为纯虚数的充要条件是不等于0且虚部不等于0，是基础题．6.答案：A解析：解：①y =log 23x 2的真数为x 2，故不是对数函数；②y =log 3(x −1)的真数为x −1，故不是对数函数； ③y =log x+1x 的底数为x +1，故不是对数函数； ④y =log πx 是对数函数； 故选：A ．由对数函数的定义依次判断即可． 本题考查了对数函数的定义的应用．7.答案：B解析：解：∵直线3x −√3y +m =0与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)恒有两个公共点，∴ba >√3，∴e =ca =√1+b 2a >√1+3=2． ∴双曲线离心率的取值范围是(2,+∞)． 故选：B ．利用已知直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率的关系与直线与双曲线的交点的个数即可得出．熟练掌握已知直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率的关系与直线与双曲线的交点的个数是解题的关键．8.答案：C解析：解：函数是周期为4的奇函数，f(x)在[0,2]上的解析式为f(x)={x 2,0≤x ≤1log 2x +1,1<x ≤2，则f(2015)+f(2016)+f(2017)+f(2018)=f(2016−1)+f(2016)+f(2016+1)+f(2016+2)=−f(1)+f(0)+f(1)+f(2)=−1+0+1+2=2． 故选C ．利用函数的周期性，以及函数的奇偶性，直接求解即可．本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性，函数值的求法，考查计算能力．9.答案：D解析：解：AA′为正三棱锥A −BCD 的高；OO′为正三棱锥O −BCD 的高 因为底面△BCD 相同，则它们的体积比为高之比 已知三棱锥A −BCD 的体积为2所以，三棱锥O −BCD 的体积为：2OO′AA′…(1) 由前面知，FG//CD 且FGCD =23 所以由平行得到，FGCD =GNNC =23所以，GNGC =25[面BCG 所在的平面图如左上角简图] 同理，GPGB =25 则GNGC =GP GB 所以，PN//BC 那么，PNBC =GN GC=25亦即，GT GQ =GN GC=25设GQ =x 那么，GT =25x 则，QT =GQ −GT =x −25x =35x而TO OQ =TN BQ =GN GC=25， 所以：TOTQ =27则，TO =27QT =27×35x =6x35 所以：GO =GT +TO =25x +6x35=4x 7所以，OQ =GQ −GO =x =4x 7=3x 7又OQGQ =OO′GG′ 所以，OQGQ =37…(2) 且，DGDA =GG′AA′ 所以：GG′AA′=13 (3)由(2)∗(3)得到：OO′AA′=17代入到(1)得到：三棱锥O −BCD 的体积就是2OO′AA′=27． 故选：D ．画出图形，三棱锥O −BCD 的体积，转化为线段的长度比，充分利用直线的平行进行推到，求出比例即可．本题考查学生对三棱锥的认识，以及必要的辅助线的作法，是难题．10.答案：A解析：本题考查了程序框图与对数大小的判断问题，是基础题． 模拟程序框图的运行过程求出x 、y 、z ，再比较大小． 解：模拟程序的运行过程知， 该程序运行后输出运算是m =a ⊗b ={e −12,a =b log b a,a ≠b；∴x =5⊗2=log 25>2， y =2⊗5=log 52<12， 2>z =2⊗2=e −12=√e>12；。

重庆市第一中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。

2.作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分1.已知复数32i z =-（i 为虚数单位），则在复平面内z 的共轭复数z 所对应的点为（ ） A. )2,3(- B. (3,2)C. )3,2(-D. )3,2(【答案】B 【解析】 【分析】由复数32i z =-，得到复数z 的共轭复数32z i =+，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，复数32i z =-（i虚数单位），则在复平面内z 的共轭复数32z i =+所对应的点为(3,2)，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的几何意义和共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2.已知随机变量2(1,)X N σ，且(2)0.2P X >=，则(0)P X <=（ ）A. 0.2B. 0.3C. 0.5D. 0.7【答案】A 【解析】 【分析】 由随机变量2(1,)XN σ，得正态分布曲线关于1X =对称，即可得到(0)(2)P X P X <=>，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，随机变量2(1,)XN σ，且(2)0.2P X >=，可得正态分布曲线关于1X =对称，可得((0)2)0.2P X P X >=<=，故选A ．【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布曲线的对称性，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.观察下列各式：22334455661,3,4,7,11,18,x y x y x y x y x y x y ⊗=⊗=⊗=⊗=⊗=⊗=7729x y ⊗=…，根据以上规律，则88x y ⊗=（ ） A. 123 B. 76 C. 47 D. 40【答案】C 【解析】 【分析】由数字1,3,4,7,11,18,29,构成数列{}n a ，可得数列{}n a 满足11,()n n n a a a n N *++=+∈，即可求解，得到答案．【详解】根据题设条件，由数字1,3,4,7,11,18,29,构成一个数列{}n a ，可得数列{}n a 满足11,()n n n a a a n N *++=+∈，则876291847a a a =+=+=，故选C ．【点睛】本题主要考查了归纳推理，以及数列的应用，其中解答中根据题设条件，得出构成数列的递推关系11,()n n n a a a n N *++=+∈是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.如图所示的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润=营业额-支出），根据折线图，下列说法中错误的是（ ）A. 该超市这五个月中的营业额一直在增长；B. 该超市这五个月的利润一直在增长；C. 该超市这五个月中五月份的利润最高；D. 该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设中的折线图中的数据，准确计算每个月的利润，即可求解，得到答案．【详解】由题意，某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据的折线图，可得： 1月份的利润为3 2.50.5-=万元；2月份的利润为3.5 2.80.7-=万元； 3月份的利润为3.830.8-=万元；4月份的利润为4 3.50.5-=万元； 5月份的利润为541-=万元，所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的，故选B ．【点睛】本题主要考查了折线图的应用，其中解答中认真审题，根据数据的折线图的数据，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．5.已知某射击运动员射击1次命中目标的概率为0.9，记他在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则()D ξ=（ ） A. 09.0 B. 9C. 1D. 0.9【答案】D 【解析】 【分析】在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则随机变量(10,0.9)B ξ，利用方差的公式，即可求解．【详解】由题意，在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则随机变量(10,0.9)B ξ，所以()100.9(10.9)0.9D ξ=⨯⨯-=，故选D ．【点睛】本题主要考查了二项分布的方差的计算，其中解答根据题意得到在10次独立射击中命中目标的次数服从二项分布是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．6.为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为 （ ） A. 4.9 B. 5.25C. 5.95D. 6.15【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中的数据，求得样本中心为97(,)22，代入回归直线方程，求得ˆ0.35a=，得到回归直线的方程为0.7035ˆ.x y=+，即可作出预测，得到答案． 【详解】由题意，根据表格中的数据，可得34569 2.534 4.57,4242x y ++++++====，即样本中心为97(,)22，代入回归直线方程ˆˆ0.7yx a =+，即79ˆ0.722a =⨯+， 解得ˆ0.35a=，即回归直线的方程为0.7035ˆ.x y =+， 当7x =时，ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=，故选B ． 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7.抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件A 为“两个点数不同”，事件B 为“两个点数中最大点数为4”，则()P B A =（ ） A.112B.16C.15D.56【答案】C【解析】 【分析】抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有36种，其中记事件A 为“两个点数不同”的基本事件共有30种，再由“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件共有6种，利用条件概率的计算公式，即可求解．【详解】由题意，抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有36种， 其中记事件A 为“两个点数不同”的基本事件共有36630-=种，又由事件“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件为：(1,4),(2,4),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)，共有6种，所以6()136()30()536P A B P B A P A ⋂===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中熟记条件概率的计算方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相，其中要求甲和乙必须相邻，且丙不能排最左端，则不同的排法共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种【答案】C 【解析】 【分析】把甲乙看成一个元素，甲乙、丁，戊的排列共有3232A A ⋅种不同的排法，又由丙不能排最左端，只有3种方式，利用分步计数原理，即可求解．【详解】由题意，把甲乙看成一个元素，甲乙、丁，戊的排列共有323212A A ⋅=种不同的排法，又由丙不能排最左端，利用“插空法”可得丙只有3种方式， 由分步计数原理可得，不同的排法共有12336⨯=种，故选C ．【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理利用“捆绑法”和“插空法”求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9.已知二项式2012(2)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x +=+++++++，且16a =，则12n a a a +++=（ ）A. 128B. 127C. 96D. 63【答案】D 【解析】 【分析】把二项式(2)n x +化为[1(1)]nx ++，求得其展开式的通项为1(1)r r r n T C x +=+，求得6n =，再令0x =，求得01264n a a a a ++++=，进而即可求解．【详解】由题意，二项式(2)[1(1)]n nx x +=++展开式的通项为1(1)r r r n T C x +=+， 令1=r ，可得112(1)n T C x =+，即16n C =，解得6n =，所以二项式为66(2)[1(1)]x x +=++，则0061a C ==，令11x +=，即0x =，则6012264n a a a a ++++==，所以1263n a a a +++=．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中把二项式(2)[1(1)]nnx x +=++，利用二项式通项，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.某学生寝室6个人在“五一节”前一天各自准备了一份礼物送给室友，他们把6份礼物全部放在一个箱子里，每人从中随机拿一份礼物，则恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的概率为（ ） A.181 B.112C.19D.365 【答案】A 【解析】 【分析】由6份礼物分给6个人，共有66720A =种，要使得恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物，则其他3人没有拿到自己准备的礼物，共有36240C ⨯=，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【详解】由题意，6份礼物分给6个人，共有66720A =种不同的分法，要使得恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物，则其他3人没有拿到自己准备的礼物，共有36240C ⨯=，所以恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的概率为40172018P ==，故选A ． 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中，认真审题，利用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．11.已知在三棱锥ABC P -中，底面ABC ∆为等腰三角形，90ABC ∠=，2PB BC ==3PA =，且PA BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. 15πB.C. 21πD. π227【答案】A 【解析】 【分析】由90ABC ∠=，即AB BC ⊥，又由PA BC ⊥，可得BC ⊥平面PAB ，在}0,1{-中，得到AB PA ⊥，利用线面垂直的判定定理PA ⊥平面ABC ，在ABC ∆中得到AC =进而在直角PAC ∆中，求得PC = 【详解】由题意，设球的半径为R ，如图所示，由90ABC ∠=，即AB BC ⊥，又由PA BC ⊥，可得BC ⊥平面PAB ，又由在}0,1{-中，3,PA PB AB ===，所以222PB PA AB =+，则AB PA ⊥，又由PA BC ⊥，且ABBC B =，所以PA ⊥平面ABC ，又由底面ABC ∆为等腰三角形，90ABC ∠=，所以AC ==在直角PAC ∆中，3,PA AC ==PC =,即215R =，所以15R =， 所以球的表面积为221544()152S R πππ==⨯=．【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟练应用组合的结构特征，以及球的性质求解求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．12.已知函数21()(1)()2x f x ax x e a R =--∈，若对区间[0,1]内的任意实数321,,x x x ，都有123()()()f x f x f x +≥成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. ]2,1[ B. [,4]eC. [1,2)[,4]e D. [1,4]【答案】D 【解析】对任意实数[]123,,0,1x x x ∈，都有()()()123f x f x f x +≥，则()()2min max f x f x ≥，()()[],0,1x f x x e a x =--∈'，分类讨论：①1a ≤时，()0f x '≤恒成立，()f x 在[]0,1单调递减，()()()()()()1,01,2, 1.2min max min max af x f f x f f x f x a ====≥∴≥ 1a ∴=.②a e ≥时，()0f x '≥恒成立，()f x 在[]0,1单调递增，()()()()()()01,1,2, 4.2min max min max af x f f x f f x f x a ====≥∴≤4.e a ∴≤≤③1a e <<时，()f x 在[]0,lna 单调递增，[],1lna 单调递减，()()()21,01,1,22a f lna aln a alna a f f =-+== (Ⅰ)()()10f f ≤即2a ≤时，()()2212,,1.1a 2.2min max f x f x a aln a alna a a e ≥∴≥-+∴≤≤∴≤≤ (Ⅱ)()()10f f >即2a >时，()()212,2,2min max f x f x aln a alna a ≥∴≥-+令()()22112,022g a aln a alna a g a ln a =-+-∴=≥'恒成立，()2120,222e g e aln a alna a =-<∴≥-+在()2,a e ∈恒成立，2a e ∴<<,综上可得，实数a 的取值范围是[]1,4，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

重庆市渝东六校高二下学期期中联考数学试题一、单选题1．已知为虚数单位，则2019i = A ．1 B ．i C ．i - D ．-1【答案】C【解析】把2019i 化简成4(,)n m i n N m N +*∈∈的形式， 利用44142431,,1,n n n n i i i i i i +++===-=-进行求解． 【详解】2019450433i i i i ⨯+===-，故本题选C ．【点睛】本题考查了虚数单位i 的正整数幂的性质．2．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，若3()f x x ax b =++在R 上单调，则()f x 至多有一个零点”时，应假设为( )A ．函数()f x 至少有一个零点B ．函数()f x 至多有两个零点C ．函数()f x 没有零点D ．函数()f x 至少有两个零点【答案】D【解析】由至多的否定为至少可得到所需的假设. 【详解】反证法需假设原命题的否定形式则“()f x 至多有一个零点”的否定为“()f x 至少有两个零点” 故选：D 【点睛】本题考查反证法的假设的判断，关键是明确反证法需假设原命题的否定形式，而至多的否定为至少.3．已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭'的值为( )A ．1B ．1-C ．0D ．12【答案】C【解析】根据复合函数求导法则可求得()f x '，代入3x π=即可得到结果.【详解】()cos cos 666f x x x x πππ'⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q cos 032f ππ⎛⎫'∴== ⎪⎝⎭ 故选：C 【点睛】本题考查导数值的求解问题，关键是熟练掌握复合函数求导法则，属于基础题.4．函数()ln 2f x x x =-在()1,2-处的切线方程为( ) A ．1y x =-- B ．1y x =-+C ．1y x =-D ．1y x =+【答案】A【解析】利用导数的几何意义求得切线斜率，根据点斜式方程写出切线方程. 【详解】()12f x x'=-Q ()1121f '∴=-=-，即在()1,2-处的切线斜率1k =- ∴所求切线方程为()21y x +=--，即1y x =--故选：A 【点睛】本题考查在某点处的切线方程的求解问题，关键是明确导数的几何意义为在切点处切线的斜率.5．若512z i =+，其中i 为虚数单位，则zz= ( )A ．1-B ．1C ．5121313i + D ．5121313i - 【答案】D【解析】首先求得z 的共轭复数和模长，代入即可得到结果. 【详解】512z i =+Q 512z i ∴=-，13z == 5121313z i z ∴=- 故选：D 【点睛】本题考查共轭复数、复数模长的求解问题，属于基础题.6．两条异面直线m ，n 上分别有3个点和4个点，这7个点可以确定不同的平面个数为( ) A ．12B ．30C ．7D ．10【答案】C【解析】根据直线与线外一点可确定一个平面，再结合异面直线特点可知所确定平面互不相同，由此得到结果. 【详解】直线m 与n 上的4个点中每个点都可以确定一个的平面，共4个 直线n 与m 上的3个点中每个点都可以确定一个平面，共3个∴可确定不同的平面个数为437+=个故选：C 【点睛】本题考查平面的确定，需明确直线与直线外一点可以构成一个平面，属于基础题.7．设P 为曲线2:2C y x x =+上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则点P 横坐标的取值范围为( )A ．1,⎫++∞⎪⎣⎭ B ．1,⎫-+∞⎪⎣⎭ C ．1⎤-+⎥⎣⎦ D ．1⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】B【解析】根据倾斜角范围可求得切线斜率的范围，根据导数的几何意义可利用导函数构造不等式求得所求横坐标的取值范围. 【详解】设切线的倾斜角为θ，则,32ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭∴切线斜率)k ∈+∞22y x '=+Q22x ∴+≥2122x ≥=-即P 点横坐标的取值范围为1,2⎫-+∞⎪⎣⎭ 故选：B 【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系、导数的几何意义的应用；关键是能够根据直线斜率与倾斜角的关系确定切线斜率的取值范围.8．0xdx +=( )A．2π B ．12π+ C ．4π D ．π【答案】A【解析】分别根据积分的运算法则和几何意义求得两个积分的值，进而得到结果. 【详解】22200112x == 2224x dx -⎰表示下图所示的阴影部分的面积S2OA =Q ，2OC =4AOC π∴∠=12221422S ππ∴=⨯-=- 2220241122xdx x dx ππ+-∴=+-=⎰故选：A 【点睛】本题考查积分的求解问题，涉及到积分的运算法则和几何意义的应用. 9．已知函数3213a y x ax x =+++是R 上的单调增函数，则a 的取值范围是( ) A ．12a -≤≤ B ．0a ≥或1a ≤C ．01a ≤≤D ．1a ≥或1a ≤- 【答案】C【解析】根据函数单调性可知0y '≥在R 上恒成立，分别在0a =和0a ≠两种情况下，结合二次函数的性质求得结果. 【详解】由题意得：2210y ax ax '=++≥在R 上恒成立 当0a =时，10y '=>，满足题意当0a ≠时，则需2440a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，解得：01a <≤综上所述：01a ≤≤ 故选：C 【点睛】本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为导函数在实数范围内恒大于等于零的问题；易错点是在求解时，忽略对二次项系数是否为零的讨论.10．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( )A ．ln 2B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-【答案】A【解析】将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果. 【详解】()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.11．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式11111+++⋅⋅⋅中“⋅⋅⋅”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得12x =，类似上述过程，则231111333++++⋅⋅⋅=( )A ．2B ．32C ．3D ．53【答案】B【解析】由232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，类比已知中的求法，可构造方程求得结果.【详解】232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q∴可设23111333x =+++⋅⋅⋅，则31x x =+，解得：12x = 23111131133322++++⋅⋅⋅=+=∴故选：B 【点睛】本题考查类比推理的应用问题，关键是能够明确已知中的代换关系，将所求式子整理变形为可以整体换元的方式.12．已知函数()f x 满足()()x xf x f x e '+=，且(1)f e =，则()f x 在(0,)+∞的单调性为( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先增后减 D ．先减后增【答案】D【解析】根据已知等式可变形为()x xf x e '=⎡⎤⎣⎦，由此可得()xf x 的解析式，表示出()f x ；利用()1f e =可求得()f x 的解析式，利用导数可求得函数的单调性，从而得到结果. 【详解】()()()x xf x f x xf x e ''+==⎡⎤⎣⎦Q ()x xf x e C ∴=+（C 为常数） ∴()()0x e C f x x x+=> ()1f e C e ∴=+=，解得：0C =()x e f x x ∴= ()()221xx x e x xe e f x x x--'∴== ∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>()f x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增 故选：D 【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性的问题，关键是能够通过将已知等式转化为函数导函数的形式，进而得到原函数的解析式. 二、填空题13．若复数z 满足(1)2z i i -=，则z =_____________.【答案】1i-+【解析】利用复数的除法运算整理可得结果. 【详解】()12 z i i-= Q()()()2121111i iiz ii i i+∴===-+--+故答案为：1i-+【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.14．从2021年起重庆市新高考，打破文理分科实行“312++”模式，“3”代表语､数､外三科，每人必选这3科，“1”代表学生从物理和历史两科中任选1科，“2”代表学生从化学､生物､政治､地理四科中任选2科，每个学生的选科方式共有________种.【答案】12【解析】首先确定“312++”模式中的1的选法，再确定2的选法，根据分步乘法计数原理求得结果.【详解】从物理和历史两科中任选1科，共有12C种选法从化学、生物、政治、地理四科中任选2科，共有24C种选法∴每个学生的选科方式共有12242612C C=⨯=种故答案为：12【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，属于基础题.15．语文中回文句，如:“黄山落叶松叶落山黄，西湖垂柳丝柳垂湖西.”，倒过来读完全一样，数学中也有类似现象，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”!二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个;三位的回文数有101，111，121，131，...，969，979，989，999，共90个;四位的回文数有1001，1111，1221， (9669)9779，9889，999，共90个;五位的回文数有10001，11111，12221， (96669)97779，98889，99999共900个，由此推测:10位的回文数总共有_______个. 【答案】4910⨯【解析】总结回文数的个数规律即可直接得到结果.【详解】可将一位数看做回文数，共9个；二位回文数共9个；即0910⨯个 三位的回文数共90个，四位的回文数共90个；即1910⨯个五位的回文数共900个，六位的回文数共900个；即2910⨯个，…… 以此类推，10位的回文数共有4910⨯个 【点睛】本题考查归纳推理的相关知识，属于基础题. 16．已知函数()331xf x x e =++，其导函数为()f x '，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--的值为_______. 【答案】3【解析】根据()f x 解析式可得到()f x -解析式，可求得()()3f x f x -+=；求导后可得到()()f x f x ''-=，从而代入x 的值可求得结果. 【详解】()333311x x x e f x x x e e --=-=-++Q ()()3f x f x ∴-+=()()202020203f f ∴+-=()()222223333332121xx x x x x x e e f x x x x e e e e e ---'=+=+=-++++++Q ()()f x f x ''∴-= ()()201920190f f ''∴--=()()()()20202020201920193f f f f ''∴+-+--= 故答案为：3 【点睛】本题考查根据函数的性质求解函数值的问题，涉及到导数的运算，关键是能够通过函数解析式得到原函数和导函数的性质. 三、解答题17．设函数()2()31xf x x x e =++. (1)求函数()f x 的单调区间. (2)求函数()f x 的极值.【答案】(1)增区间为(),4-∞-和()1,-+∞，减区间为()4,1--;(2)极大值为45e ，极小值为1e-【解析】（1）求导后，根据导函数的正负可确定原函数的单调区间； （2）根据单调性可确定极值点，代入原函数求得极值. 【详解】（1）()()()()()()2223315414x x x x f x x e x x e x x e x x e '=++++=++=++Q∴当()(),41,x ∈-∞--+∞U 时，()0f x '>；当()4,1x ∈--时，()0f x '<()f x ∴的单调递增区间为(),4-∞-和()1,-+∞；单调递减区间为()4,1-- （2）由（1）可知()f x 在4x =-处取得极大值，在1x =-处取得极小值()f x ∴极大值为()44545f e e --==，极小值为()11xxf e e --=-=-【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调性和极值的问题；关键是明确函数单调性与导函数正负之间的关系、极值的定义，属于基础应用.18．若复数()()231z a a i =-+-所对应的点在第三象限，其中i 为虚数单位，a 为实数.(1)求a 的取值范围.(2)求z 的共轭复数z 的最值.【答案】（1）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2，无最大值 【解析】（1）确定复数所对应点的坐标，根据其所在象限可得不等式组，解不等式组求得结果；（2）根据共轭复数和模长运算得到z =和a 的范围确定最值. 【详解】（1）z Q 对应的点为()23,1a a --，在第三象限 23010a a -<⎧∴⎨-<⎩，解得：312a <<即a 的取值范围为31,2⎛⎫⎪⎝⎭（2）()()231z a a i =---Q z ∴==由（1）知31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴当75a =时，minz==31,2⎛⎫⎪⎝⎭Q 为开区间 251410a a ∴-+无最大值，即z 无最大值 【点睛】本题考查利用复数对应点的位置求解参数范围、复数模长最值的求解问题，涉及到二次函数最值的求解；易错点是忽略参数的范围限制，造成在求解二次函数最值时出现求解错误.19．已知函数()f x 为一次函数，若函数()f x 的图象过点(0,2)，且2()6f x dx =⎰.(1)求函数()f x 的表达式.(2)若函数2()g x x =，求函数()f x 与()g x 的图象围成图形的面积.【答案】（1）()2f x x =+；（2）92【解析】（1）假设出一次函数()()20f x kx k =+≠，根据积分构造出方程求得k ，进而得到结果；（2）联立两函数解析式可求得交点坐标，从而可知所求面积为()()21S f x g x dx -=-⎡⎤⎣⎦⎰，利用积分的运算法则求得结果. 【详解】（1）()f x Q 为一次函数且过点()0,2 ∴可设()()20f x kx k =+≠()()2220022224602k f x dx kx dx x x k ⎛⎫∴=+=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰，解得：1k =()2f x x ∴=+（2）由22y x y x ⎧=⎨=+⎩得：11x =-，22x =()f x ∴与()g x 围成的图形面积()()21S f x g x dx -=-⎡⎤⎣⎦⎰ 即()222312118119222421233232S x x dx x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+---+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 【点睛】本题考查利用积分求解函数解析式、利用积分求解两函数围成图形面积的问题，属于积分知识的基础应用问题.20．已知数列{}n a中，110,1n a a +==(1n ≥且n N ∈).(1)计算234,,a a a 的值.(2)求数列{}n a 的通项公式，并加以证明.【答案】（1）21a =，31a ，41a =；（2）1n a =；证明见解析【解析】（1）分别取1,2,3n =代入已知等式求得结果；（2）根据123,,a a a 可推测n a 的通项公式，采用数学归纳法可证明所推测通项公式成立，由此得到结论.【详解】（1）令1n =，则211a ==；令2n =，则311a ==；令3n =，则4111a ===（2）由123,,a a a 可推测：1n a =证明：①当1n =时，左边10a =10=，等式成立；②假设当n k =时，1k a 成立那么当1n k =+时1111k a +===1=，即等式成立综上所述：1n a =对任意的n *∈N 成立∴数列{}n a 的通项公式为1n a =【点睛】本题考查根据递推关系式求解数列中的项和通项公式、数学归纳法的证明问题；关键是能够根据已知的数列中的项推测出数列的通项公式，进而结合递推公式利用数学归纳法来证明；用数学归纳法证明时需注意，假设的结论必须在证明过程中使用到.21．已知函数2()(2)ln 3()f x x t x t x t R =---+∈.(1)求函数()y f x =的单调区间.(2)当1t =时，证明:对任意的0x >，均有321()13f x x x x +>++成立. 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）根据函数解析式确定函数定义域和导函数；分别在0t ≤和0t >两种情况下讨论导函数的正负，从而得到函数的单调区间；（2）将所证不等式转化为证明31ln 203x x -+>对任意0x >恒成立；令()()31ln 203g x x x x =-+>，利用导数可得到()g x 的单调性，从而求得()g x 的最值为()1g ，由()10g >可证得结论.【详解】（1）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+()()()()()()22221220x t x t x t x t f x x t x x x x----+'=---==> ①当0t ≤时，20x t -> ()0f x '∴>在()0,∞+上恒成立()f x ∴的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间②当0t >时，当0,2t x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当,2t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '> ()f x ∴的单调递增区间为,2t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）当1t =时，()()2ln 30f x x x x x =+-+>()32113f x x x x +>++∴等价于31ln 203x x -+> 即证31ln 203x x -+>对任意的0x >恒成立 令()()31ln 203g x x x x =-+>，则()()()()23211110x x x x g x x x x x x-++-'=-==> ∴当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增()()min 171ln12033g x g ∴==-+=> ()31ln 203g x x x ∴=-+>恒成立 即对任意的0x >，均有()32113f x x x x +>++成立 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立不等式的证明问题；证明恒成立的不等式的关键是能够通过变形将问题转化为函数最值的求解问题.22．设函数2()3()x f x e mx m m R =-+∈.(1)当2e m =时，求证函数()f x 在R 上是增函数. (2)若函数()f x 在(2,)+∞上有两个不同的零点，求m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）32,6e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）分别求得一阶导和二阶导，由二阶导的正负可确定一阶导的单调性，从而得到()()min 10f x f ''==，确定()f x '恒大于等于零，由此可得结论；（2）将问题转化为y m =与()()()22,3x e g x x x =∈+∞-有两个不同交点的问题；利用导数可确定()g x 的单调性，得到()g x 的图象，利用数形结合的方式求得结果.【详解】（1）当2e m =时，()2322x e e f x e x =-+，则()x f x e ex '=-，()x f x e e ''=- ∴当(),1x ∈-∞时，()0f x ''<；当()1,x ∈+∞时，()0f x ''>()f x '∴在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增()()1min 10f x f e e ''∴==-=()()10f x f ''∴≥=且不恒等于0 ()f x ∴在R 上是增函数（2）函数()f x 在()2,+∞有两个不同的零点，即230x e mx m -+=在()2,+∞有两个不同的解，即23xe m x =-在()2,+∞有两个不同的解 令()()()22,3xe g x x x =∈+∞-，则问题等价于y m =与()y g x =有两个不同交点()()()()()()()()22222222322331333x xx x e x xe x x e x x e g x x x x -----+'===---∴当()2,3x ∈时，()0g x '<；当()3,x ∈+∞时，()0g x '>()g x ∴在()2,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增由此可得()g x 图象如下图所示：由图象可知，当32,6e m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，y m =与()y g x =有两个不同交点 32,6e m e ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，()f x 在()2,+∞上有两个不同的零点 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数证明函数的单调性、根据函数在区间内的零点个数求解参数范围的问题；关键是能够把零点个数问题转化为直线与函数的交点个数问题的求解，从而利用数形结合的方式来解决.。