届中考数学一轮专题复习分式方程及应用精讲精练浙教版

2019-2020年中考数学一轮专题复习第6讲分式方程及应用精讲精练浙教版考点一、分式方程的解法【例1】分式方程的根为（）A．x1=1，x2=2 B．x1=﹣1，x2=﹣2 C．x=2 D．x=1方法总结解分式方程时应注意以下两点：(1)去分母时，要将最简公分母乘以每一个式子，不要“漏乘”；(2)解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可．若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根．举一反三解分式方程：=﹣．考点二、分式方程增根【例2】 1.已知方程有增根，则k= ．2.分式方程=有增根，则m的值为（）A．0和3 B．1 C．1和﹣2 D．3方法总结利用增根求分式方程中字母的值：(1)确定增根；(2)将原分式方程化成整式方程；(3)增根代入变形后的整式方程，求出字母的值．举一反三 1.若关于x的分式方程﹣2=有增根，则m的值为．2.若分式方程有增根，则增根可能是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0考点三、分式的应用【例3】 1．已知a2﹣3a﹣1=0，求a6+120a﹣2= ．2．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备精加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍；信息三：甲工厂加工一天、乙工厂加工2天共需加工费11200元，甲工厂加工2天、乙工厂加工3天共需加工费18400元；根据以上信息，完成下列问题：（1）求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？（2）公司将1200件新产品交甲、乙两工厂一起加工3天后，根据产品质量和市场需求，决定将剩余产品交乙工厂单独加工，求该公司这批产品的加工费用为多少？方法总结对于分式的应用题要把握好前面讲的解分式方程的步骤，对于分式的综合题型要把握好分式的增根计算及性质等的综合。

(六)分式方程及其应用夯实基础1.分式方程3x-1-1=0的解为()A.x=1B.x=2C.x=3D.x=42.解分式方程1x-2-3=42-x时,去分母可得()A.1-3(x-2)=4B.1-3(x-2)=-4C.-1-3(2-x)=-4D.1-3(2-x)=43.[2020·成都]已知x=2是分式方程kx +x-3x-1=1的解,那么实数k的值为()A.3B.4C.5D.64.分式方程x-5x-1+2x=1的解为()A.x=-1B.x=1C.x=2D.x=-25.[2020·宜宾]学校为了丰富学生知识,需要购买一批图书,其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元,已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等.设文学类图书平均每本x元,则列方程正确的是()A.15000x-8=12000xB.15000x+8=12000xC.15000x =12000x-8D.15000x=12000x+86.[2020·牡丹江]若关于x的分式方程2x-1=mx有正整数解,则整数m的值是()A.3B.5C.3或5D.3或47.若关于x的方程2x-2+x+m2-x=2有增根,则m的值为()A.2B.0C.-2D.-48.[2020·徐州]方程9x =8x-1的解为.9.对于非零的两个实数a,b,规定a⊕b=1b -1a.若2⊕(2x-1)=1,则x的值为.10.小明解方程1x -x-2x=1的过程如图K6-1.请指出他解答过程中的错误,并写出正确的解答过程.图K6-111.(1)[2020·遵义]解方程:1x-2=3 2x-3;(2)[2020·陕西]解分式方程:x-2x -3x-2=1.12.[2020·岳阳]为做好复工复产,某工厂用A,B两种型号机器人搬运原料,已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20 kg,且A型机器人搬运1200 kg所用时间与B型机器人搬运1000 kg所用时间相等,求这两种机器人每小时分别搬运多少原料.图K6-213.[2020·常德]第5代移动通信技术简称5G,某地已开通5G业务,经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍,小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片,小明比小强所用的时间快140秒,求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆?拓展提升14.[2018·达州]若关于x的分式方程xx-3+3a3-x=2a无解,则a的值为.15.[2018·吉林]如图K6-3是学习分式方程的应用时,老师板书的问题和两名同学所列的方程.图K6-3根据以上信息,解答下列问题.(1)冰冰同学所列方程中的x表示,庆庆同学所列方程中的y表示;(2)从两个方程中任选一个,写出它的等量关系;(3)解(2)中你所选择的方程,并回答老师提出的问题.【参考答案】1.D2.B3.B4.A5.B6.D[解析] 方程2x-1=mx可化为整式方程2x=m(x-1),∴x=mm-2=1+2m-2,而分式方程有正整数解,∴m-2=1或m-2=2,∴m=3或m=4,经检验均符合题意,故选D.7.B8.x=99.5 6[解析] 因为a⊕b=1b−1a,所以2⊕(2x-1)=12x-1−12,故有12x-1−12=1,所以12x-1=32,解得x=56,经检验,x=56是原方程的根.10.解:步骤①去分母时,没有在等号右边乘x;步骤②括号前面是“-”号,去括号时,没有变号;步骤⑥前没有检验.正确解答过程如下:方程两边都乘x,得1-(x-2)=x.去括号得,1-x+2=x.移项,合并同类项,得-2x=-3,解得x=32.经检验,x=32是原分式方程的根.∴原分式方程的解为x=32.11.解:(1)去分母,得2x-3=3x-6,解得x=3.检验:把x=3代入(x-2)(2x-3)≠0,∴x=3是原分式方程的解.(2)去分母,得(x-2)2-3x=x(x-2),去括号,得x2-4x+4-3x=x2-2x,移项,合并同类项,得-5x=-4,系数化为1,得x=45.检验:当x=45时,x(x-2)≠0,所以x=45是原分式方程的解.12.解:设B型机器人每小时搬运x kg,则A型机器人每小时搬运(x+20)kg.列方程得1200x+20=1000x,解得x=100,经检验,x=100是原方程的解且符合题意,100+20=120(kg).答:A,B两种机器人每小时分别搬运120 kg,100 kg原料.13.解:设该地4G的下载速度是每秒x兆,则该地5G的下载速度是每秒15x兆,由题意得600x −60015x=140,解得x=4.经检验:x=4是原分式方程的解,且符合题意,15×4=60.答:该地4G的下载速度是每秒4兆,5G的下载速度是每秒60兆.14.1或12[解析] 去分母,得x-3a=2a(x-3),整理得(1-2a)x=-3a.由整式方程无解,得1-2a=0,∴a=12;由分式方程有增根,得到x=3,把x=3代入整式方程,得3-3a=2a(3-3),解得a=1.15.解:(1)∵冰冰是根据时间相等列出的分式方程,∴x表示甲队每天修路的长度;∵庆庆是根据乙队每天比甲队多修20米列出的分式方程,∴y表示甲队修路400米(乙队修路600米)所需的时间.故答案为:甲队每天修路的长度甲队修路400米(乙队修路600米)所需的时间.(2)冰冰用的等量关系是:甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间;庆庆用的等量关系是:乙队每天修路的长度-甲队每天修路的长度=20米.(选择一个即可)(3)选冰冰所列的方程:400x =600x+20,去分母,得:400x+8000=600x,移项、x的系数化为1,得:x=40,检验:当x=40时,x,x+20均不为零,∴x=40是分式方程的根且符合题意.答:甲队每天修路的长度为40米.选庆庆所列的方程:600y −400y=20,去分母,得:600-400=20y,将y的系数化为1,得:y=10,检验:当y=10时,分母y不为0,∴y=10是分式方程的根且符合题意,∴400y=40.答:甲队每天修路的长度为40米.。

浙教版备考2021年中考数学一轮复习专题9——分式方程及其应用一、单选题（共7题；共35分）1.若，则x的值是（）A. 4B.C.D. ﹣4【答案】C【解析】【解答】解：，去分母得，∴，经检验，是原方程的解故答案为：C．【分析】根据解分式方程即可求得x的值．2.下面是分式方程的是( ).A. B. C. D.【答案】 D【解析】【解答】解：A、不是方程，故A答案错误；A、方程的分母中没有未知数，故B错误；C、方程的分母中没有未知数，故C错误；D、是分式方程，故D正确.故答案为：D.【分析】分母中含有未知数的方程就是分式方程，根据定义即可一一判断得出答案.3.把方程去分母正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【解答】原方程两边同时乘以6可得：,故答案为：A.【分析】由题意将原方程两边同时乘以6（不能漏项）可求解.4.若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（）A. B. C. D. 且【答案】 D【解析】【解答】解：去分母得，，解得，∵关于x的分式方程的解是正数，∴，∴，∵，∴，即，∴m的取值范围是：且.故答案为：D.【分析】方程两边乘以化为整式方程，再根据分式方程的解为正数，并且分母不为零，可得到满足条件的m的范围.5.若关于x的分式方程有增根，则m的值是（）A. ﹣3B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【解答】解：方程两边都乘x-3，得x-2=m∵原方程有增根，∴最简公分母x-3=0，解得x=3，当x=3时，m=1故m的值是1．故答案为：B．【分析】根据分式方程增根的定义求解即可。

6.甲、乙两地的铁路长240千米，动车运行后的平均速度是原来慢车的2倍，这样甲地到乙地的行驶时间缩短了1.5小时.设原来慢车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】 D【解析】【解答】解：设原来慢车的平均速度为x千米/时，根据题意可得：，故答案为：D.【分析】由题意可得相等关系：慢车行驶240千米的时间-1.5=动车行驶240千米的时间，根据相等关系列非方程即可.7.用换元法解方程，设，那么换元后，方程可化为整式方程正确的是（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】【解答】解：∵∴∴可化为，即．故答案为:D．【分析】由，则，然后将其代入原方程即可.二、填空题（共7题；共35分）8.已知＝，则________.【答案】-4.5【解析】【解答】∵，∴5（2a+3b）=12（a+2b），整理得，2a=-9b，所以，= .【分析】将已知的等式去分母整理即可求解.9.分式的值比分式的值大3，则x为________.【答案】1【解析】【解答】根据题意得：- =3，方程两边都乘以x-2得：-（3-x）-1=3（x-2），解得：x=1，检验：把x=1代入x-2≠0，所以x=1是所列方程的解，所以当x=1时，的值比分式的值大3.【分析】先根据题意得出方程，求出方程的解，再进行检验，最后得出答案即可.10.一小包柠檬茶冲剂，用180克开水可冲泡成浓度为10%的饮料，这包柠檬茶冲剂有________克. 【答案】20【解析】【解答】解：设这包柠檬茶冲剂有x克，根据题意，得10%，解得x=20，故答案为：20.【分析】设这包柠檬茶冲剂有x克，根据百分比，可得关于x的方程，解方程可得答案.11.某垃圾处理厂日处理垃圾吨，实施垃圾分类后，每小时垃圾的处理量比原来提高，这样日处理同样多的垃圾就少用.若设实施垃圾分类前每小时垃圾的处理量为吨，则可列方程________.【答案】【解析】【解答】解：设实施垃圾分类前每小时垃圾的处理量为吨，则后来每小时清除垃圾，根据题意得.故答案为.【分析】设实施垃圾分类前每小时垃圾的处理量为吨，则后来每小时清除垃圾吨，根据“原工作时间−3=后来的工作时间”列分式方程求解可得.12.某市为治理污水，需要铺设一段全长600 m的污水排放管道，铺设120 m后，为加快施工进度，后来每天比原计划多铺设20 m，结果共用8天完成这一任务，则原计划每天铺设管道的长度为________.【答案】60 m【解析】【解答】解：设原计划每天铺设x m管道，则加快施工进度后，每天铺设（）m，由题意可得，，解得：，或（舍去），故答案为60 m.【分析】由题意可得相等关系：铺设120 m所用时间+铺设余下的管道所用时间=8，根据相等关系列方程，解方程即可求解.13.若分式方程＝a 无解，则a的值为________.【答案】1或-1【解析】【解答】解：去分母：即：.显然a=1时，方程无解.由分式方程无解，得到x+1=0，即：x=-1.把x=-1代入整式方程：-a+1=-2a.解得：a=-1.综上：a的值为1或者-1.【分析】由题意先去分母，合并同类项，然后按照整式方程和分式方程无解的条件可得关于a的方程，解方程即可求解.14.若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围为________.【答案】a＜0且a≠-2【解析】【解答】解：当x≠﹣1时,2x－a=0,x= ＜0,解得a＜0,且，解得a≠﹣2.综上所述且.故答案为: 且.【分析】当x≠﹣1时，解出x用含a的表达式，令其小于零且不等于-1，直接解出即可.三、综合题（共8题；共80分）15.解方程：（1）（2）【答案】（1）解：，经检验是原方程的解；（2）解：，经检验是增根，原方程无解．【解析】【分析】（1）先通分，把分母变为，再去分母，求出解，最后检验；（2）先通分，把分母变为，再去分母，求出解，最后检验．16.如图，学校要规划改造一块总面积为360平方米的矩形绿化区域ABCD．方案设计时发现，不改变绿化区域总面积，将矩形一边AB的长扩大为原来的2倍时，另一边AC与原来相比较则会减少4米．求原来矩形的边AB的长．【答案】解：设原来矩形的边AB的长为x米，由题意得：，解得，经检验，是所列方程的解，答：原来矩形的边AB的长为45米．【解析】【分析】用含x的表达式表示出举行的两条边，再利用另一边AC与原来相比较则会减少4米列出方程求解即可。

考点05 分式、分式方程及其应用分式在中考中的考察难度不大，考点多在于分式有意义的条件，以及分式的化简求值。

浙江中考中，分式这个考点的占比并不太大，其中分式的化简求值问题为主要出题类型，出题多以简答题为主；个别城市会同步考察分式方程的简单应用，多以选择填空题为主，有些城市甚至不会出分式的单独考题；而分式方程的应用也和分式方程一样，较少出题，出题也基本是以选择题或者填空题的形式考察，整体难度较小。

但是，分式的化简方法以及分式方程的解法的全面复习对后期辅助几何综合问题中的计算非常重要！考向一、分式有意义的条件考向二、分式的运算法则考向三、分式方程的解法考向四、分式方程的应用考向一：分式有意义的条件1.分式：一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B中含有分母，那么式子叫做分式，分式中A叫做分子，B 叫做分母。

最简分式：分子分母中不含有公因式的分式2.分式有意义的条件3.分式值=0需满足的条件【易错警示】1．下列四个式子：，x 2+x ，m ，，其中分式的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据分式的定义可得．【解答】解：分母上含有字母的式子是分式，题目中所给的式子中只有，两个分母中都含有字母，所以这两个是分式，故选：B ．2．若分式无意义，则x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据分式无意义的条件可得2x ﹣1＝0，再解即可．【解答】解：由题意得：2x ﹣1＝0，解得：x ＝，若 ＜故选：C ．3．若分式的值为零，则x 的值为（ ）A ．2或﹣2B ．2C ．﹣2D ．1【分析】分式的值为零，分子等于零，且分母不等于零．【解答】解：依题意，得x 2﹣4＝0，且x +2≠0，解得，x ＝2．故选：B ．4．已知＝，则的值为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【分析】先化简，代入数值计算即可．【解答】解：∵，＝＝＝．故选：C ．考向二：分式的运算法则1.分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。

浙教版备考2023年中考数学一轮复习23分式方程及其应用附答案学生版一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)1．（3分）下列关于的方程：1+=1，3+34=25，1K1=4，2−1r1=2中，分式方程的个数是()A．1个B．2个C．3↑D．4个2．（3分）已知关于x的方程3=3−的解是正整数，且k为整数，则k的值是()A．0B．-2C．0或6D．-2或6 3．（3分）若关于x的方程2K3−1=K13−无解，则m的值为（）A．﹣5B．7C．5D．﹣3 4．（3分）要把分式方程32K4=1化为整式方程，方程两边要同时乘以()A．2−4B．C．2(−2)D．2o−2) 5．（3分）用换元法解分式方程r1+6r1=5，如果设r1=，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（）A．+6=5B．2+5+6=0C．2−5+6=0D．2+6−5=0 6．（3分）如果关于x的分式方程K K2＝1+5−2K2有正整数解，且关于y的一元一次不等式组>−2≤0的解集为y≤a，则所有满足条件的整数a的和为（）A．8B．7C．3D．2 7．（3分）下列说法：①5r13=2是分式方程；②x=1或x=﹣1是分式方程r12−1=0的解；③分式方程3r4=2转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x（x+4）；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，骑自行车前往C地．已知A，C两地相距60B，B，C两地相距50B，甲骑行的平均速度比乙骑行的平均速度快3B/ℎ，两人同时到达C地．设乙骑行的平均速度为JB/ℎ，则所列方程正确的是（）A．60=50r3B．60r3=50C．60K3=50D．60=50K39．（3分）某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，….设原计划每天绿化的面积为万平方米，列方程为60(1−20%)−60=30，根据方程可知省略的部分是（）A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果延误30天完成了这一任务C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务10．（3分）某物美超市同时卖出了两个进价不同的冰墩墩和，售价均为90元，按成本计算，超市人员发现冰墩墩盈利了50%，而冰墩墩却亏损了40%，则这次超市是（）A．不赚不赔B．赚了C．赔了D．无法判断二、填空题（每题4分，共24分）(共6题；共24分)11．（4分）写出一个解为1的分式方程：．12．（4分）若方程21−=K1−3的解为=52，则方程21−2=22K1−3的解为=．13．（4分）若分式2K3的值为2，则的值为.14．（4分）已知方程2+1−2+1=3，如果设2+1=，那么原方程可以变形为．15．（4分）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为．16．（4分）对于实数a、b，定义一种新运算“※”为：※=1K2，例如：1※3=11−32=−18．则方程※(−3)=29−−1的解是．三、解答题（共8题，共66分）(共8题；共66分)17．（6分）解方程：1−12+7r6=2−5r52−5r618．（6分）如果方程2K35=23−2与3−14=3(+p−2的解相同，求（a-3）2的值.19．（6分）在实数范围内只有一个实数是关于x的方程oK1)+2r12+=1+2r1的根，求实数k 的所有可能值.20．（8分）我们把形如+B=+o，不为零)，且两个解分别为1=，2=的方程称为“十字分式方程”.例如+3=4为十字分式方程，可化为+1×3=1+3，∴1=1，2=3.再如+8=−6为十字分式方程，可化为+(−2)×(−4)=(−2)+(−4)，∴1=−2，2=−4.应用上面的结论解答下列问题：（1）（1分）若+6=−5为十字分式方程，则1=，2=.（2）（3分）若十字分式方程−5=−2的两个解分别为1=，2=，求+的值.（3）（3分）若关于的十字分式方程−22+3K2=−−1的两个解分别为1，2(>0，1>2)，求1−22+1的值.21．（8分）在福州地铁6号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的13.（1）（4分）求乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）（4分）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，若两队合作40天完成剩余的工程，求乙队提高后的工作效率是提高前工作效率的几倍（用含的式子表示）.22．（10分）化学实验室一容器内的a克盐水中含盐b克（盐水的浓度＝含盐质量÷盐水质量×100%）.（1）（3分）若加入4克盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？（用数学的方法书写过程）（2）（3分）若a＝50，b＝5，加多少克盐可使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍？（3）（4分）若a＝50，b＝5，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍.23．（10分）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．（1）（5分）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．（2）（5分）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．①分别求出这两款车的每千米行驶费用．②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）24．（12分）猕猴桃被誉为“维C之王”，其中含血清促进素可以稳定情绪，丰富膳食纤维能促进心脏健康．在泰顺猕猴桃销售旺季时，爸爸妈妈让他们的两个孩子泰泰与顺顺去猕猴桃市场采购相同价格的同一种猕猴桃．泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤．（1）（5分）求这种猕猴桃的单价．（2）（2分）两人第二次再去采购该种猕猴桃时，每斤单价比上次少了2元．两个人购买方案不同如图所示．他们想通过这两次购买体验，作为数学项目化学习的一个素材，探究谁的购买方案更加合算．计算得泰泰两次购买的猕猴桃平均价格是元/斤，顺顺两次购买的猕猴桃平均价格是元/斤．（3）（5分）泰泰和顺顺通过这次购买弥猴桃的项目化学习，总结出连续购买某种商品更合算的方案，并迁移联想到爸爸的加油习惯是按照同样的金额加油，而妈妈总是说"把油箱加满"。

第8讲分式方程 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）一、单选题1．（2022·杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f=1μ+1ν(v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，μ表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离．已知f，v，则μ=()A．fvf−v B．f−vfv C．fvv−f D．v−ffv2．（2022·金东模拟）众志成城，抗击疫情，某医护用品集团计划生产口罩1500万只，实际每天比原计划多生产2000只，结果提前5天完成任务，则原计划每天生产多少万只口罩？设原计划每天生产x万只口罩，根据题意可列方程为（）A．1500x+0.2−1500x=5B．1500x=1500x+2000+5C．1500x+2000=1500x+5D．1500x−1500x+0.2=53．（2022·丽水）某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元.根据题意可列方程50002x=4000x﹣30，则方程中x表示（）A．足球的单价B．篮球的单价C．足球的数量D．篮球的数量4．（2022·萧山模拟）师徒两人每小时共加工35个电器零件，徒弟做了120个时，师傅恰好做了160个.设徒弟每小时做x个电器零件，则根据题意可列方程为（）A．120x=16035−x B．12035−x=160xC．120x=16035+x D．12035+x=160x5．（2022·椒江模拟）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”引爆购买潮，导致“一墩难求”，某工厂承接了60万只冰墩墩的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了25%，提前10天完成任务.设原计划每天生产x万只冰墩墩，则下面所列方程正确的是（）A．60x−60×(1+25%)x=10B．60(1+25%)x−60x=10C．60×(1+25%)x−60x=10D．60x−60(1+25%)x=106．（2022·舟山模拟）“五•一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的同学共x 人，则所列方程为（ ） A ．180x−2 ﹣ 180x ＝3B ．180x+2 ﹣ 180x ＝3C ．180x ﹣ 180x−2＝3 D ．180x −180x+2=3 7．（2022·吴兴模拟）某书店分别用500元和700元两次购进一本小说，第二次数量比第一次多4套，且两次进价相同.若设该书店第一次购进x 套，根据题意，列方程正确的是（ ） A ．500x =700x−4B ．500x−4=700xC ．500x =700x+4D ．500x+4=700x8．（2022·衢州模拟）若关于x 的一元一次不等式组{3x −2≥2(x +2)a −2x <−5的解集为x ≥6，且关于y 的分式方程y+2a y−1+3y−81−y =2的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．5B ．8C ．12D ．159．（2022·宁海模拟）分式方程1x−1=x 1−x +2的解为（ ） A ．x =−1 B ．x =1 C ．x =3D ．x 1=1，x 2=310．（2022·温州模拟）同学聚餐预定的酒席价格为2400元，但有两位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加的人平均分摊，则每人比原来多支付40元，设原来有x 人参加聚餐，由题意可列方程（ ）A ．2400x+2=2400x +40B ．2400x+40+40=2400xC ．2400x =2400x−2+40 D ．2400x +40=2400x−2二、填空题11．（2022·台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是 ．先化简，再求值： 3−x x−4+1 ，其中 x =解：原式 =3−xx−4⋅(x −4)+(x −4)…①12．（2022·宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a ⊗b= 1a+1b．若(x+1) ⊗x= 2x+1x，则x的值为13．（2022·秀洲模拟）某班同学到距学校12千米的森林公园植树，一部分同学骑自行车先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度。

第3讲分式及二次根式 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）一、单选题1．（2022·江北模拟）无论x取什么数，总有意义的代数式是（）A．√x2B．4xx3+1C．1(x−2)2D．√x+32．（2022·浦江模拟）若分式1x−1有意义，则x的取值范围是（）A．x>1B．x>2C．x≠0D．x≠13．（2022·平阳模拟）若分式x−2x−3的值为0，则x的值为（）A．-3B．-2C．0D．2 4．（2022·慈溪模拟）若二次根式√1−x在实数范围内有意义，则下列各数中，x 可取的值是()A．4B．πC．√2D．1 5．（2022·北仑模拟）若二次根式√3−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠3B．x≥3C．x≤3D．x<3 6．（2022·慈溪模拟）下列计算正确的是()A．22+23=25B．23−22=2C．23⋅22=25D．2−1=−27．（2022·定海模拟）对于以下四个命题：①若直角三角形的两条边长与3与4，则第三边的长是5；②(√a)2=a；③若点P(a，b)在第三象限，则点Q(−a，−b)在第一象限；④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（）A．只有①错误，其他正确B．①②错误，③④正确C．①④错误，②③正确D．只有④错误，其他正确8．（2022·宁波模拟）二次根式√x−3中字母x的取值范围是（）A．x＞3B．x≠3C．x≥3D．x≤39．（2022·洞头模拟）计算2aa+2−a−22+a的结果为（）A．a+2B．a−2C．1D．a−2a+210．（2021·北仑模拟）要使代数式√x−1有意义，x的取值应满足() A．x≥1B．x>1C．x≠1D．x≠0二、填空题11．（2022·台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是．先化简，再求值：3−xx−4+1，其中x=解：原式=3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)…①=3−x+x−4=−112．（2022·丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN.已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5，AE=a，DE=b，且a>b.（1）若a，b是整数，则PQ的长是；（2）若代数式a2﹣2ab﹣b2的值为零，则S四边形ABCDS矩形PQMN的值是．13．（2022·宁波模拟）若二次根式√3+x在实数范围内有意义，则x的取值范围是.14．（2022·衢江模拟）二次根式√x−4中字母x的取值范围是.15．（2022·温州）计算：x 2+xyxy+xy−x2xy=．16．（2022·金华）若分式2x−3的值为2，则x的值是.17．（2022·永康模拟）若分式1x−3有意义，则x的取值范围为．18．（2022·湖州）当a=1时，分式 a+1a 的值是 . 19．（2022·萧山模拟）计算：√3×√2= .20．（2022·宁波模拟）分式 2x−6x+1有意义的条件是 .三、计算题21．（2022·北仑模拟）先化简，直求值：(2a −1)⋅aa 2−4，共中a ＝√2−2.22．（2022·温州模拟）（1）计算：6÷(−3)+√4−8×2−2.（2）化简：2x x 2−4−1x−2.23．（2022·衢州模拟）计算：（1）−12+20180−(12)−1+√83； （2）a 2−b 2a−b ÷a+b 2a−2b.24．（2022·龙湾模拟）（1）计算： 2−1−(√5−1)0+|−32|−√273 ． （2）化简： a 2+3a 2−a +3a−a2 ．25．（2022·瓯海模拟）（1）计算：（﹣2）2×32+|﹣5|﹣√9．（2）化简：a 2a 2−2a +42a−a 2． 四、解答题26．（2022·衢州模拟）先化简，再求值：（1x−1−1x+1）÷x+2x 2−1，然后从﹣1，1，3中选择适当的数代入求值.27．（2022·台州模拟）先化简，再求值：（1﹣1a ）÷a 2−1a，其中a ＝2020.28．（2022·衢州模拟）先化简4m 2−4−1m−2，从-2，-1，0，2四个数中选取一个合适的数代入求值.29．（2022·余杭模拟）化简： 3x−1+x−31−x 2小明的解答如下： 原式= 3x−1−x−3x 2−1=（x2-1）3x−1-（x 2-1）x−3x2−1=3（x+1）-（x-3）=2x+6小明的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．30．（2022·江干模拟）化简：xx−1−1x+1−1.小马的解答如下，小马的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答.解：xx−1−1x+1−1=x(x+1)−(x−1)−1=x2+x−x+1−1=x2答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A 、无论x 取任何数，√x 2有意义，A 选项符合题意； B 、x≠-1时，4xx 3+1有意义，B 选项不符合题意；C 、x≠2时，1（x−2）2有意义，C 选项不符合题意； D 、x≥-3时，√x +3有意义，D 选项不符合题意. 故答案为：A.【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，及分式有意义的条件，即分母不为零，逐项进行判断即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：∵分式1x−1有意义，∴x −1≠0，解得x ≠1， 故答案为：D.【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：∵分式x−2x−3的值为0∴x ﹣2＝0，x ﹣3≠0， ∴x ＝2. 故答案为：D.【分析】根据分式值为0的条件可得x-2＝0，x-3≠0，求解即可.4．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得1-x≥0 解之：x≤1. ∴x 可以为1. 故答案为：D.【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可求出x 的取值范围，即可求解.5．【答案】C【解析】【解答】解：要使二次根式√3−x在实数范围内有意义，必须3−x≥0，解得：x≤3.故答案为：C.【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数不为负数，据此可得3−x≥0，求解即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：22+23≠25，故A不符合题意；B、23-22≠2，故B不符合题意；C、22·23=25，故C符合题意；D、2−1=12，故D不符合题意；故答案为：C.【分析】同底数幂相加减，要先算乘方，再算加法或减法，可对A，B作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对C作出判断；利用负整数指数幂的性质，可对D作出判断.7．【答案】A【解析】【解答】解：①错误，应强调为直角三角形的两条直角边长为3与4，则第三边的长是5；②正确，隐含条件a≥0，根据二次根式的意义，等式成立；③正确，若点P（a，b）在第三象限，则a＜0，b＜0；则-a＞0，-b＞0，点Q（-a，-b）在第一象限；④正确，已知：如图，AB=A'B'，AC=A'C'，AD=A'D'，BD=CD，B'D'=C'D'，求证：△ABC≌△A'B'C'；证明：过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，∵∠BAD=∠E，∠ABD=∠ECD，∵BD=CD，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB=CE，AD=DE，过点C'作C'E'∥A'B'交A'D'的延长线于E'，同理：A'B'=C'E'，A'D'=D'E'，∵AD=A'D'，AB=A'B'，∴AE=A'E'，CE=C'E'，∵AC=A'C'，∴△ACE≌△A'C'E'（SSS），∴∠CAE=∠C'A'E'，∠E=∠E'=∠BAD=∠B'A'D'，∴∠BAC=∠B'A'C'，∴△ABC≌△A'B'C'（SAS），即：两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确.故答案为：A.【分析】根据勾股定理可判断①；根据二次根式有意义的条件可得a≥0，据此判断②；根据点的坐标与象限的关系可判断③；画出示意图，已知AB=A'B'，AC=A'C'，AD=A'D'，BD=CD，B'D'=C'D'，过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，证明△ABD ≌△ECD，得到AB=CE，AD=DE，过点C'作C'E'∥A'B'交A'D'的延长线于E'，证明△ACE≌△A'C'E'（SSS），得到∠CAE=∠C'A'E'，∠E=∠E'=∠BAD=∠B'A'D'，推出∠BAC=∠B'A'C'，据此判断④.8．【答案】C【解析】【解答】解：∵√x −3，∴x-3≥0， ∴x≥3. 故答案为：C.【分析】根据二次根式被开方数为非负数，即x-3≥0，求解不等式即可得x 的取值范围.9．【答案】C【解析】【解答】解：原式=2a−a+2a+2=a+2a+2 =1.故答案为：C.【分析】直接根据同分母分式减法法则进行计算即可.10．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得：{x −1≥0x −1≠0，解得x ＞1.故答案为：B.【分析】依据被开方数大于等于0及分母不为零，列出不等式组，求解即可.11．【答案】5【解析】【解答】解：原式=3−x x−4+x−4x−4=−1x−4∵最后所求的值是正确的∴−1x−4=-1 解之：x=5经检验：x=5是方程的解. 故答案为：5.【分析】先通分计算，再由题意可得到−1x−4=-1；然后解方程求出x 的值. 12．【答案】（1）a-b（2）3+2√2【解析】【解答】解：(1)∵①和②能够重合，③和④能够重合，AE=a ，DE=b ，∴PQ=AE+DE-2ED=a+b-2b=b ，故答案为：a-b ； (2)∵a 2- 2ab- b 2=0， ∴a 2-b 2=2ab ， 则(a-b)2=2b 2，∴a=(√2+1)b 或(1-√2)b(舍去)，∵四个矩形的面积都是5，AE=a ，DE=b ， ∴EP=5a ，EN=5b，∴S四边形ABCD S矩形PQMN=(a+b )(5a +5b )(a−b )(5b −5a)=a 2+2ab+b2a 2−2ab+b 2=a 2b2=(√2+1)2b2b2=3+2√2.故答案为：3+2√2.【分析】(1)直接根据线段和差关系，结合两组全等矩形的边相等，列式计算可得结论；(2)解关于a 的二元一次方程：a 2-2ab-b 2=0， 得到a=(√2+1)b ，根据四个矩形的面积都是5分别表示小矩形的宽，再利用含a 、b 的代数式表示S四边形ABCDS 矩形PQMN，化简后，再代入a=(√2+1)b ，即可解答.13．【答案】x≥-3【解析】【解答】解：由题意得： 3+x ≥0，解得： x ≥−3， 故答案为： x ≥−3.【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得3+x≥0，求解即可.14．【答案】x≥4【解析】【解答】解：由题意，得x-4≥0， 解得：x≥4. 故答案为：x≥4.【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数，可得x-4≥0，求解即可.15．【答案】2【解析】【解答】解：原式=x 2+xy+xy−x 2xy=2..故答案为：2.【分析】利用同分母分式相加，分母不变，把分子相加，然后化简即可.16．【答案】4【解析】【解答】解：∵分式2x−3的值为2，∴2x−3=2， ∴2=2x-6， ∴x=4. 故答案为：4.【分析】由分式2x−3的值为2，得2x−3=2，再解分式方程即可求出x 的值.17．【答案】x≠3【解析】【解答】解：由题意得x-3≠0 解之：x≠3. 故答案为：x≠3.【分析】利用分式有意义的条件：分母不等于0，可得到关于x 的不等式，然后求出不等式的解集.18．【答案】2【解析】【解答】解：把a=1代入分式中， ∴a+1a =1+11=2.故答案为：2.【分析】把a=1代入分式中，化简求值即可求解.19．【答案】√6【解析】【解答】解：√3×√2，=√3×2， =√6； 故答案为：√6.【分析】直接根据二次根式的乘法法则进行计算.20．【答案】x≠-1【解析】【解答】解：要使分式有意义，则x+1≠0，∴x≠-1.故答案为：x≠-1.【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，依此列式求解，即可解答.21．【答案】解：(2a −1)⋅a a 2−4=2−a a ⋅a (a+2)(a−2)=−1a+2 当a =√2−2时，原式=1√2−2+2=1√2=−√22 【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分母进行分解，然后约分即可对原式进行化简，接下来将a 的值代入计算即可.22．【答案】（1）解：6÷(−3)+√4−8×2−2=−2+2−8×14=−2+2−2=−2（2）解：2x x 2−4−1x−2 =2x −(x +2)(x +2)(x −2)=x −2(x +2)(x −2)=1x +2 【解析】【分析】（1）根据算术平方根的概念、负整数指数幂的运算性质及有理数的除法法则分别计算，然后计算乘法，再计算加减法即可；（2）对第一个分式的分母进行分解，然后通分，再约分即可.23．【答案】（1）解：−12+20180−(12)−1+√83 =﹣1+1﹣2+2=0；（2）解：a 2−b 2a−b ÷a+b 2a−2b=(a+b)(a−b)a−b ÷a+b 2(a−b) =(a+b)(a−b)a−b×2(a−b)a+b =2(a −b)=2a ﹣2b.【解析】【分析】（1）根据乘方、开方、零指数幂及负整数幂的性质分别h 进行计算，然后根据有理数的加减法法则算出答案即可；（2）先将分子、分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，然后约分即可.24．【答案】（1）解：原式=12-1+32-3=-2. （2）解：原式=a 2+3a 2−a −3a 2−a=a 2a (a−1)=a a−1. 【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、立方根的定义进行化简，再计算加减法，即可得出答案；（2）先通分，再计算分式的减法，即可得出答案.25．【答案】（1）解：（﹣2）2×32+|﹣5|﹣√9 =4×32+5﹣3 =6+5-3=8（2）解：a 2a 2−2a +42a−a 2=a 2a(a−2)+4a(2−a)=a 2a(a −2)−4a(a −2)=a 2−4a(a −2)=(a +2)(a −2)a(a −2)=a+2a ．【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方法则、绝对值的性质以及算术平方根的概念可得原式=4×32+5-3，然后计算乘法，再计算加减法即可； （2）对两个分式的分母进行分解，然后结合同分母分式减法法则进行计算.26．【答案】解：(1x−1−1x+1)÷x+2x 2−1=x+1−x+1(x−1)(x+1)÷x+2(x−1)(x+1)=2(x−1)(x+1)×(x−1)(x+1)x+2 =2x+2； ∵x −1≠0，x +1≠0，x +2≠0，∴x ≠±1，x ≠−2，当x =3时，2x+2=23+2=25【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分母进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，接下来选择一个使分式有意义的x 的值代入计算即可.27．【答案】解：原式=a−1a ·a (a+1)(a−1)=1a+1当a=2020时，原式=12021【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，将第二个分式的分子分解因式，同时除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，接下来将a 的值代入计算即可.28．【答案】解：原式=4(m+2)(m−2)−1m−2=4−(m +2)(m +2)(m −2)=2−m (m +2)(m −2)=−1m +2要使分式有意义，则m 2−4≠0且m −2≠0解得m≠±2，∴只能选择-1或0当m=-1时，原式=−1当m=0时，原式=−1 2【解析】【分析】对第一个分式的分母进行分解，再通分后按同分母分式的加减法进行计算，并进行约分即可对原式进行化简，然后选取一个使分式有意义的m的值代入进行计算.29．【答案】解：不正确原式＝－＝－＝＝【解析】【分析】根据分式加法法则，先通分，化为同分母的分式相加减，再进行计算，即可得出答案.30．【答案】解：不正确，正确解答如下：xx−1−1x+1−1=x(x+1)x2−1−x−1x2−1−x2−1x2−1=x2+x−x+1−x2+1x2−1=2x2−1.【解析】【分析】首先第一项的分子、分母都乘以（x+1），第二项的分子、分母都乘以（x-1），第三项的分析分母都乘以（x+1）（x-1）进行通分，然后根据同分母分式减法法则进行计算。