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第8章VaR模型(2)(金融工程与风险管理-南京大学,林辉)

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第7章 金融市场风险计量模型：VaR(金融工程与风险管理-南京大学,林辉)

第7章 金融市场风险计量模型：VaR(金融工程与风险管理-南京大学,林辉)

相对VaR（Relative VaR）
如果资产组合的平均回报率为μ，在某一置
信水平下，资产组合持有期末的最小回报率 为r*，则
RVaR E (v) v v0 v r =v - v
*
T
( E (v ) v )
T
T
v0 (1 ) v0 (1 r )
1 c
k VaR

Pr( k ),
k 1, 2,...
上式便成为历史模拟法和蒙特卡洛模拟法计算 VaR的基本依据。
7.4 VaR计算的基本原理

不妨将A银行的全部资产看成1个资产组合，期初 （比如2005.1.1）该组合的盯市价值为V0，10天后 其资产 的价值如下图所示：(VaR不是以账面价值， 而是以市场价值计算来计算风险)

以上计算的是绝对VaR，若是相对VaR，容 易得到
这里我们也可以发现方差计量风险的缺点：虽然回报率方 差仅为4％，但回报率可以低到-46.5%。

若以绝对VaR来计算
AVaR v0 v v0 r

*
v0 v0 (1 r ) $100, 000, 000 (0.465) $46,500, 000
计算结果表明：在10天内，这家期初有1亿美元资产的银行， 我们可以以99％概率确信：其绝对损失不大于4650万美元，或 者说绝对损失大于4650万美元的可能性只有1％。
讨论： 持有期的选择

资产流动性（liquidity）：事前确定
原则：按金融机构无法控制损失的时间期限
一般企业的资产组合缺乏流动性，可能在若干日都 无法改变头寸，则相应的持有期就要长，以使VaR 给出的风险能够覆盖多日的“考验”。 如果金融机构能够一天一次度量风险并且改变资产 组合的构成，则其风险可以控制在1天内，故可将持 有期定为1天。

VaR

VaR
含义： 个月内， 含义：在1个月内，该银行有 ％概率确信其损失 个月内 该银行有99％ 不大于372万美元，或者说损失大于 万美元， 不大于 万美元 或者说损失大于372万的可能性 万的可能性 只有1％。 只有 ％。
12
解析法的计算公式
由上面的例子我们不难发现
若某个持有期内（1个小时，1天，1个月...) 回报率为 r ~ N (µ ,σ 2 ) 则 r∗ − µ
2
如何理解VaR：金融风险的“天气预报” ：金融风险的“天气预报” 如何理解
A银行 银行2004年12月1日公布其持有期为 天、 日公布其持有期为10天 银行 年 月 日公布其持有期为 置信水平为99%的VaR为1000万元。这意 万元。 置信水平为 的 为 万元 味着如下3种等价的描述 种等价的描述： 味着如下 种等价的描述：
2. 历史模拟法（Historical Simulation） 历史模拟法（ ）
基本思想：历史可以再现， 基本思想：历史可以再现，明天的情形可能是历史 上的所有情形中的一种。 上的所有情形中的一种。 非参数方法，区别于参数法，不需要估计均值、 非参数方法，区别于参数法，不需要估计均值、方 差等参数
证券明日的99％置信水平下的VaR。 例：计算S证券明日的 ％置信水平下的 计算 证券明日的 。
pr
1-C
V
损失
V*
VaR
V0u
16
解析法的计算实例
假定A银行期初的资产市值 假定 银行期初的资产市值V0＝$8,000,000，根据 银行期初的资产市值 ， 历史资料，其资产月回报率服从正态分布， 历史资料，其资产月回报率服从正态分布，即1个 个 月内该银行的回报率为
r ~ N (0.01, 0.04)

第八章 金融工程应用分析-VaR

第八章 金融工程应用分析-VaR

2015年证券从业资格考试内部资料2015证券投资分析第八章 金融工程应用分析知识点：VaR● 定义：VaR（Value at Risk，风险价值），就是使用合理的金融理论和数理统计理论，定量地对给定的资产所面临的市场风险给出全面的度量。

● 详细描述：VaR模型来自于两种金融理论的融合：一是资产定价和资产敏感性分析方法；二是对风险因素的统计分析。

VaR是描述市场在正常情况下可能出现的最大损失，但市场有时会出现令人意想不到的突发事件，这些事件会导致投资资产出现巨大损失，而这种损失是VaR很难测量到的。

因此，人们提出压力测试或情景分析方法，以测试极端市场情景下投资资产的最大潜在损失。

例题：1.VAR方法是20世纪80年代由()的风险管理人员开发出来的。

A.JP摩根B.信孚银行C.长期资本管理公公司(LTCM)D.美林证券正确答案：A解析：美国摩根公司的风险管理人员为满足当时总裁Weatherstone每天提交“4·15报告”的要求，开发了风险测量方法-VaR方法。

2.粗略来说，VaR就是使用合理的金融理论和数理统计理论，（ ）。

A.定量地对给定的资产所面临的市场风险给出全面的度量B.定性地对给定的资产所面临的市场风险给出全面的度量C.衡量给定资产最坏情况下的可能损失值D.衡量给定资产最好情况下的可能盈利值解析：粗略来说，VaR就是使用合理的金融理论和数理统计理论，定量地对给定的资产所面临的市场风险给出全面的度量。

3.VaR模型来自（）等各种金融理论与方法的融合。

A.资产定价和资产敏感性分析方法B.风险因素的统计分析C.敏感性方法D.波动性方法正确答案：A,B解析：VaR 模型来自于两种金融理论的融合：一是资产定价和资产敏感性分析方法；二是对风险因素的统计分析。

4.VaR值能够把市场处于非正常情况时的损失也包括在内。

A.正确B.错误正确答案：B解析：VaR是描述市场在正常情况下可能出现的最大损失，但市场有时会出现令人意想不到的突发事件，这些事件会导致投资资产出现巨大损失，而这种损失是VaR很难测量到的。

financial engineering ch2

financial engineering ch2
金融工程学 第2章
无套利定价和风险中性定价
南京大学金融学教授 林辉 linhui@
2013/3/5
1
2.1
无套利定价法
套利（Arbitrage）：能带来利润的零风险 和零净投资的战略。
¾ 零投资（zero investment）：构建一个自融资
组合（self-financing portfolio）。 ¾ 无风险（risk free） ¾ 正收益（positive return）
预期收益率 (%) 由A，B & C组成的 资产组合P 股票D 25.83 22.25 标准差 (%) 6.40 0.94 8.58
相关性
注意：资产组合P比股票D预期收益高，风 险低，故存在套利机会！
8
例1：套利投资组合的构造（续）
操作: E(r) 25.83 22.25 P D 卖空三股股票D购买1份 由A， B & C组成的资 产组合P 回报: 6.40 8.58 多头组合P的回报率高 于空头资产D的回报率
qs u + (1 − q ) s d e rτ − d e rτ − d rτ = ys = u + (1 − )d = e S u−d u−d
1.
这是哪一种套利？
2013/3/5
14
Copyright©Lin Hui 2008, Department of Finance, Nanjing University
无套利定价的结论
1. 在某个时点上，资产的价格必定等于未来 现金流的现值。 2. 如果两种资产的现金流完全相同，则这两 种资产价格必定相等。 3. 若两种资产（组合）的现金流完全相同， 则这两种资产可以相互复制。
− r (T − t )

南京大学-网络教育学院-金融工程第一次作业-标准答案

南京大学-网络教育学院-金融工程第一次作业-标准答案

南京大学-网络教育学院-金融工程第一次作业-标准答案作业名称：金融工程概论第1次作业出卷人：SA作业总分：100 通过分数：60标准题总分：100 标准题得分：100详细信息：题号:1 题型:多选题（请在复选框中打勾，在以下几个选项中选择正确答案，答案可以是多个）本题分数:2.94内容:投资性资产与消费性（生产性）资产的区别包括（）A、目的不同，前者为了价值增值，后者为了生产或消费B、标的资产不同，前者是金融资产，后者是实物资产C、特征不同，前者没有存储成本，后者有D、前者没有便利性收益，后者有学员答案:ABCD本题得分:2.94题号:2 题型:多选题（请在复选框中打勾，在以下几个选项中选择正确答案，答案可以是多个）本题分数:2.94内容:期货市场的主要功能有（）A、转移价格风险B、价格发现C、资产配置D、消除价格风险学员答案:AB本题得分:2.94题号:3 题型:多选题（请在复选框中打勾，在以下几个选项中选择正确答案，答案可以是多个）本题分数:2.94内容:远期合约和期货合约的主要区别包括（）A、标准化程度B、交割方式C、交割地点D、违约风险学员答案:ABCD本题得分:2.94题号:4 题型:多选题（请在复选框中打勾，在以下几个选项中选择正确答案，答案可以是多个）本题分数:2.94内容:期货合约如何克服远期交易所存在地信息不对称和违约风险高的缺陷（）A、在交易所进行交易B、由清算公司负责清算C、清算公司充当所有期货买者和卖者的交易对象D、在场外进行交易学员答案:ABC本题得分:2.94题号:5 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:1.96内容:期货价格收敛于标的资产现货价格是由（）决定的A、现货价格B、套利行为C、期货价格的增长大于现货价格增长D、以上皆非学员答案:B本题得分:1.96题号:6 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:1.96内容:假设恒生指数目前为10000点，香港无风险连续复利年利率为10%，恒生指数股息收益率为每年3%，该指数4个月期的期货价格为（）A、10000B、11000C、10245.39D、10125.78学员答案:D本题得分:1.96题号:7 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:1.96内容:若标的资产价格与利率正相关，在利率不变的情况下，可以推断期货价格（）A、低于远期价格B、等于于远期价格C、高于远期价格D、无法判断学员答案:C本题得分:1.96题号:8 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:1.96内容:决定期货价格的最重要因素是（）A、现货价格B、交割地点C、交割方式D、交割时间学员答案:A本题得分:1.96题号:9 题型:判断题本题分数:1.96内容:期货的保证金率与期货的风险的关系是负相关的1、错2、对学员答案:2本题得分:1.96题号:10 题型:多选题（请在复选框中打勾，在以下几个选项中选择正确答案，答案可以是多个）本题分数:2.94内容:下列说法中正确的是（）A、在合约中规定在将来买入标的物的一方称为多方B、在合约中规定在将来卖出标的物的一方称为多方C、在合约中未定未来卖出标的物的一方称为空方D、在合约中未定未来买入标的物的一方称为空方学员答案:AC本题得分:2.94题号:11 题型:多选题（请在复选框中打勾，在以下几个选项中选择正确答案，答案可以是多个）本题分数:2.94内容:持有成本包括（）A、存储成本B、利息成本C、机会成本D、资产红利收益学员答案:ABD本题得分:2.94题号:12 题型:多选题（请在复选框中打勾，在以下几个选项中选择正确答案，答案可以是多个）本题分数:2.94内容:远期价格与远期价值的区别包括（）A、远期价格指的是远期合约中标的物的远期价格，远期价值则是指远期合约本身的价值B、远期价格跟标的物的现货价格紧密相联，远期价值由远期实际价格与远期理论价格的差距决定C、随着时间推移，远期价格不变，远期价值可以改变D、随着时间推移远期价格可以改变，远期价值不变学员答案:ABC本题得分:2.94题号:13 题型:多选题（请在复选框中打勾，在以下几个选项中选择正确答案，答案可以是多个）本题分数:2.94内容:根据无收益资产的现货－远期平价定理，如果交割价格小于现货价格的终值，则投资者可以通过（）实现套利A、卖空标的资产，将所得收入以无风险利率进行投资B、买进一份远期合约C、到期时，收回投资本息，购买一单位标的资产用于归还借入的标的资产D、卖出一份远期合约学员答案:ABC本题得分:2.94题号:14 题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:1.96内容:假设2年期即期年利率（连续复利）为10.5%，3年期即期年利率为11％。

金融工程学第八章

金融工程学第八章

金融工程学的重要性
金融工程学在金融领域中具有重要的作用，它能够提高金融机构的竞争力和盈利能 力。
随着金融市场的不断发展和创新，金融工程学在风险管理、投资组合优化、金融衍 生品设计等方面发挥着越来越重要的作用。
金融工程学的发展也促进了金融市场的透明度和公正性，提高了市场的运行效率。
03
金融工程学的应用领域
计算机科学和人工智能
总结词
计算机科学和人工智能在金融工程学中发挥着越来越重要的作用，它们为复杂的金融计算和分析提供了高效的 技术支持。
详细描述
计算机科学为金融工程提供了强大的计算能力和数据处理能力，使得大规模的金融计算和分析得以实现。人工 智能则通过机器学习和深度学习等技术，帮助发现隐藏在大量数据中的模式和规律，为金融决策提供支持。
金融工程学的伦理和监管
总结词
伦理和监管是金融工程学中不可忽视的方面，它们确保了金融市场的公平、透明和稳定。
详细描述
金融工程学中的伦理准则要求从业者遵守道德规范，避免利益冲突，并保护客户的利益。监 管机构则通过制定和执行相关法规，对金融市场进行监督和管理，确保市场的正常运行。同
时，监管机构还负责对金融衍生品等工具的注册和清算进行管理，以降低市场风险。
03
了解风险对冲策略和风险管理方 法，包括Delta对冲、Gamma对 冲等。
04
02
金融工程学的定义与重要性
金融工程学的定义
金融工程学是一门跨学科的综合性学科，它结合了金融学、数学、统计学、物理学、计算机科学等多个学科的 知识，旨在解决金融领域中的实际问题。
金融工程学主要研究金融产品和金融市场的定价、风险管理和创新等问题，通过运用各种工程技术手段，开发 出新的金融产品和服务，以满足市场需求。

VAR模型PPT演示课件

下关系：
E(t ) 0
E(
t


t
)


E(
t


s
)

0,
对于t

s
5
一个两变量(VAR)模型的例子
Yt C Yt1 t ,

y1t y2t


c1 c2


11 21
12 22


y1,t 1 y2,t 1


y1,t 2 y2,t 2


1t 2t

0 y1,t2
(2) 22


y2,t
2

26
LR 检验:
如果拒绝原假设，则称 y2t是y1t的格兰杰 因果关系。
与此不同，
y1t C1 1 y1,t1 2 y1,t2 L p y1,t p 1 y2,t1 2 y2,t2 L p y2,t- p 1t
y1t
Yt


y2t

,
t

1, 2,
,T
ynt
4
• 那么，一个p阶VAR模型，即VAR(p)，定义为：
Yt C 1Yt1 2Yt2 pYt p t
• C系为数n矩×阵1维。常t 为数n向×量1，维向i 为量n白×噪n音维，自满回足归如
平稳序列仍然可以放在VAR模型中，通过估 计结果分析经济、金融含义。 • 但是，如果利用VAR模型分析实际问题时， 使用非平稳序列变量，却会带来统计推断 方面的麻烦，因为标准的统计检验和统计 推断要求分析的所有序列必须都是平稳序 列。

金融工程与风险管理课件(PPT97张)


7
若不允许卖空（ W≥0 ），当权重w1从1减少到0时 可以得到一条直线段，即为完全正相关的两种风险资 产可行集。
r
p
( r1 , 1 )
( r2 , 2 )
03.03.2019

p
8
Copyright©Lin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University
03.03.2019
Copyright©Lin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University
4
两种风险资产构成的可行集
若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的 相关系数，随着投资权重w的变化，就构成了可 行集。 w1＋w2 1
rp w1r1＋w2 r2 w1r1＋(1 w1 )r2
2 当 w1 时 , p ( w1 ) 0 1 2 2 当 w1 时 ， p ( w 1 ) w 1 1 (1 w 1 ) 2 1 2 2 当 w1 时 ， p ( w 1 ) (1 w 1 ) 2 w 1 1 1 2
w1 ( p－ 2 ) /( 1 2 ) r p r p ( p ) w1 r1 (1 w1 ) r2
03.03.2019
Copyright©Lin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University
p－ 2 p－ 2 r1 (1 ) r2 1 2 1 2 r1 r2 r1 r2 r2 2 p 1 2 1 2
03.03.2019 Copyright©Lin Hui 2006, Department of Finance, Nanjing University 2

风险管理中的VaR模型：比较分析


ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｔｈｅ
ｖｉｏｌａｔｉｏｎ ｒａｔｉｏ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｆｏｒｅｃａｓｔ Ｉ ｆｏｕｎｄ ｔｈａｔ ａｌｍｏｓｔ
ａｔ ａｌｌ ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ ｌｅｖｅｌｓ ＶａＲ
ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ
ｔｈｒｏｕｇｈ ＧＰＤ ｂａｓｅｄ
ＥⅥｍｅｔｈｏｄ
ｃａｌｌ
ｌｅａｄ ｔｏ ｌｅｖｅｌｓ．
ｆｏｒ
ｍａｒｋｅｔｓ；ｔｏ
ｉｍｐｌｅｍｅｎｔ
ｐａｔｈ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ
ＶａＲ
ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ
ｃｏｕｎｔｅｒｃｙｃｌｉｃａｌ ｆｉｎａｎｃｉａｌ ｒｅｇｕｌａｔｉｏｎ．
Ｋｅｙ
Ｗｏｒｄｓ：ＩＵｓｋ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ；Ｖａｌｕｅ ａｔ Ｒｉｓｋ；Ｅｘｔｒｅｍｅ Ｖａｌｕｅ Ｔｈｅｏｒｙ
厦门大学学位论文原创性声明
ｏｎ
ａｄｅｑｕａｔｅ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｒｅｔｕｒｎ
ｏｎ
ｒｅｖｉｅｗｅｄ ｔｈｏｓｅ ｍｏｄｅｌｓ
ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ
ａｓｓｅｔ
ｒｅｔｕｒｎｓ ａｎｄ
ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ，
ｂａｓｅｄ
ｏｎ
ｗｈｉｃｈ Ｉ
ａｎａｌｙｚｅｄ ｔｈｅ
ａｎｄ ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ
ｐａｔｔｅｒｎｓ ｏｆ ｔｈｅ
量风险方面的应用、存在的问题和改进的方向对金融风险管理的实践有着重要的 意义。
ＶａＲ估计的基础是选择适当的收益率分布。为此，在进行ＶａＲ估计之前本 文简要介绍了各种收益率和波动率模型并分析了上证综指的收益率和波动率特 点，结果发现，上证综指收益率序列分布存在尖峰、肥尾和较弱的序列自相关。 本文的主要部分使用了历史模拟法、方差．协方差方法、指数加权平均法 （ＥＷＭＡ）、ＧＡＲＣＨ和极值理论方法分别以宽度为２５２，５００和１０００个交易日的

金融数学章节件南京大学

强调运用高等数学、最优化、概率论、微分方程等 知识对金融原理进行推导。
如：第一次华尔街革命（资产组合问题、资本资产定价模 型）；第二次华尔街革命（期权定价公式）。
实证金融数学：
强调运用统计学、计量经济学、时间序列分析等知 识对金融原理进行假设检验，并得出一些经验结论。
如：资产定价模型的检验、行为金融学的检验。
2020/1/17
6
一、金融与金融数学
金融是一个经济学的概念和范畴。通常，“金”是指资金， “融”是指融通，“金融”则指资金的融通，或者说资本的 借贷，即由资金融通的工具、机构、市场和制度构成的有机 系统，是经济系统的重要组成部分。
金融核心：在不确定的环境下，通过资本市场，对资源进 行跨期（最优）配置。
2020/1/17
18
二、金融数学的发展历程
这些基础性的工作在后来的10年内得到了两个重要的发 展：其一是，在马科维茨组合理论的基础上，夏普(Sharpe， 1964)、林特纳(Lintner，1965)和莫辛(Mossin，1966)揭示， 在市场出清状态，所有投资者都将选择无风险资产与市场组 合证券的线性组合；另一重要发展是对阿罗-德布鲁理论的 推广。赫什雷弗(Hirshleifer，1965，1966)显示了阿罗-德布 鲁理论在一些基本的金融理论问题中的应用，并在一般均衡 体系中证明了M-M定理，第一次将阿罗-德布鲁框架与套利 理论联系起来。
2020/1/17
2
导论
在人类发展史上，伴随着第一张借据的出现，金融 （finance）就产生了。时至今日，金融学已形成了宏观金融 学和微观金融学两个分支，其需要解决的核心问题是：如何 在不确定（uncertainty）的环境下，通过资本市场对资源进行 跨期的（intertemporally）最优配置（allocation）。金融发展 史表明，伴随着金融学两个分支学科的深化与发展，金融数 学（Financial Mathematics）应运而生。
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)


t2Var
(
t
)


2 t

2 t


2 t 1

(1


)rt
2 1
回忆：维纳过程
指数移动平均
指数移动平均对时间序列中的数据不采取等权重， 他根据历史数据距离当前时间的远近，分别赋予不 同的权重，距离现在越近，赋予的权重越大。
EWMAn

xt 1
xt2 ,..., n1xtn 1 ,..., n1
Jarque-Bera 2358.298 Probability 0.000000
Normal Quantile
Theoretical Quantile-Quantile 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -.08 -.04 .00 .04 .08 .12
R_SZZS
8.1.1 学生t分布
W. S. Gossett (1908) discovered the distribution through
输入数据：szzs-日对数回报率 估计参数： phat = mle(szzs,'distribution','t')
结果：phat = -0.0001 0.0094 3.7904
9
t分布的分位数计算
X = tinv(P,V) computes the inverse of Student‘s t cdf
上式即为似然方程，解该方程即可得到参数θ。
8
t分布参数的极大似然估计
Matlab函数： phat =mle(data， ‘distribution’， ‘dist’)
对于t分布，phat = mle(data,'distribution','t') 下面以上证指数2000~2006的数据为例进行
衰减因子 [ 2(2/ ) (1/ ) ]1/ 2 (3 / )
为重尾参数， 2为重尾， 2为瘦尾
RiskMetric-正态分布
标准的RiskMetric模型的估计是基于正态分布的
rt tt ,t ~ iidN (0,1)
E
(rt
)

0,
Var
(rt
基于正态分布得到的VaR为0.0307，显然低估风险
11
8.1.2 广义误差分布
在JPMorgan的Riskmetric操作文件中提供GED
（Generalized Error Distribution）分布来拟合重
尾分布。
[exp[ 1 x / (1/ )
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
6
t分布参数的极大似然估计
连续分布的MLE
当X的分布是连续的，其概率密度函数为f(x, θ),其中θ为未知参数。 现在从该总体中获得容量为n的样本观测值x1,x2,…,xn,则在X1= x1， X2= x2，Xn= xn时候联合概率密度函数值，即为似然函数
with parameter V for the corresponding probabilities in p。
xc

F 1(c)
F 1(
xc
((n 1) / 2) (1
x2
/
n1
n) 2

(n / 2) (n )1/2
dx)
函数：X = tinv(P,V) X = tinv(0.99,9.701492)，X =2.7795 X = tinv(0.99,inf)，X =2.3263
基于t分布的VaR
基于t分布MLE，日标准差为0.0094 自由度为3.7904 ，99%分为数置信度的分位
数X = tinv(0.99, 3.7904)，X =3.8641
RVaR(t) v0 (exp(T ) exp(T xc T ))
1(exp(0.0001) exp(0.0001 3.8641 0.0094)) 0.0357
,1


0
if n ,1 ,..., n1 1/(1 )
his work at the Guinness brewery. At that time, Guinness
did not allow its staff to publish, so Gossett used the
pseudonym Student.
( n
1) (1
x2
n1
)2
金融工程与风险管理
第8章 VaR模型（2）
1
8.1 基本分布形式
金融市场的风险因子并不完全满足正态分布，以正 态分布假设来计算风险就可能低估风险
对中国股市的实证研究：2000.1.4~2006.5.9年日回报率 样本偏度是0.75，峰度是8.91。
由于大多数的金融资产具有明显的重尾性，故必须 寻找其他分布形式来描述，主要有t分布，GED分布 和g&h分布
n
L( )


i 1
f
(xi ; )
对于不同的θ，同一组样本观察值的似然函数也是不同的，那 么通过选择一个θ使得
L(ˆ) max L( ) 7
t分布参数的极大似然估计
通常为了求导方便，常对似然函数取对数，即对数 似然函数
l( ) ln(L( )) l( ) 0, j 1, 2,...k j
2
350
300
250
200
150
100
50
0
-0.05
-0.00
0.05
Series: R_SZZS Sample 1 1520 Observations 1519
Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis
5.60e-05 0.000143 0.094014 -0.065430 0.013451 0.751425 8.916269
f (x, n) 2
n , n为自由度
( n ) (n )1/2
2
(.)为Gamma函数，(a) e-tt a-1dt 0
5
比较正态分布与t分布
Matlab程序： x = -5:0.1:5; y = tpdf(x,5); z = normpdf(x,0,1); plot(x,y,'-',x,z,'-.')