下载文档原格式
机械有限元习题答案——哈⼯⼤第⼆章习题2.1 解释如下的概念：应⼒、应变，⼏何⽅程、物理⽅程、虚位移原理。
解○1应⼒是某截⾯上的应⼒在该处的集度。
○2 应变是指单元体在某⼀个⽅向上有⼀个ΔU 的伸长量，其相对变化量就是应变。
X U Xx ??=ε表⽰在x 轴的⽅向上的正应变，其包括正应变和剪应变。
○3⼏何⽅程是表⽰弹性体内节点的应变分量与位移分量之间的关系，其完整表⽰如下：Txz yz xy z y x x w z u zv y w y u x v z w y vx u x w z u z v y w y u x v z w y v x u ??+++=+????+????+?=??????=γγγεεεε○4物理⽅程：表⽰应⼒和应变关系的⽅程某⼀点应⼒分量与应变分量之间的关系如下：=???????????????????=666564636261565554535251464545434241363534333231262524232221161514131211αααααααααααααααααααααααααααααααααααατττσσσσxz yz xy z y xxz yz xy zz yy xx γγγεεε○5虚位移原理：在弹性有⼀虚位移情况下，由于作⽤在每个质点上的⼒系，在相应的虚位移上虚功总和为零，即为：若弹性体在已知的⾯⼒和体⼒的作⽤下处于平衡状态，那么使弹性体产⽣虚位移，所有作⽤在弹性体上的体⼒在虚位移上所做的⼯就等于弹性体所具有的虚位能。
2.2说明弹性体⼒学中的⼏个基本假设。
○1 连续性假设：就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何间隙。
○2 完全弹性假设：就是假定物体服从虎克定律。
○3 各向同性假设：就是假定整个物体是由同意材料组成的。
○4 ⼩变形和⼩位移假设：就是指物体各点的位移都远远⼩于物体原来的尺⼨，并且其应变和转⾓都⼩于1。
2.3简述线应变与剪应变的⼏何含义。
⾼等有限元课后题答案2 弹性⼒学问题的有限单元法思考题2.1 有限元法离散结构时为什么要在应⼒变化复杂的地⽅采⽤较密⽹格，⽽在其他地⽅采⽤较稀疏⽹格？答：在应⼒变化复杂的地⽅每⼀结点与相邻结点的应⼒都变化较⼤，若⽹格划分较稀疏，则在应⼒突变处没有设置结点，⽽使得所求解的误差很⼤，若⽹格划分较密时，则应⼒变化复杂的地⽅可以设置更多的结点，从⽽使得所求解的精度更⾼⼀些。
2.2 因为应⼒边界条件就是边界上的平衡⽅程，所以引⽤虚功原理必然满⾜应⼒边界条件，对吗？答：对。
2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性⼒学中受内压和外压作⽤的圆环能⽤有限元⽅法求解吗？为什么？答：有限元法是⼀种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。
⽽应⼒边值问题没有确定的位移约束，不能⽤位移法求解，所以也不能⽤有限元法求解。
2.4 矩形单元旋转⼀个⾓度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。
矩形单元的插值函数满⾜单元内部和单元边界上的连续性要求，是⼀个协调元。
矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转⼀个⾓度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。
因此矩形单元旋转⼀个⾓度后还能够保持在单元边界上的位移协调。
2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最⼤结点号与最⼩结点号的差有关。
计算：设半带宽为B ，每个结点的⾃由度为n ，各单元中结点整体码的最⼤差值为D ，则B=n(D+1)，在平⾯问题中n=2。
2.6为什么单元尺⼨不要相差太⼤，如果这样，会导致什么结果？答：由于实际⼯程是⼀个⼆维或三维的连续体，将其分为具有简单⽽规则的⼏何单元，这样便于⽹格计算，还可以通过增加结点数提⾼单元精度。
在⼏何形状上等于或近似与原来形状，减⼩由于形状差异过⼤带来的误差。
若形状相差过⼤，使结构应⼒分析困难加⼤，误差同时也加⼤。
2.7 剖分⽹格时，在边界出现突变和有集中⼒作⽤的地⽅要设置结点或单元边界，试说明理由。
1、有限元是近似求解一般连续场问题的数值方法2、有限元法将连续的求解域离散为若干个子域，得到有限个单元，单元和单元Z间用节点连接3、直梁在外力的作用下，横截面的内力有剪力和弯矩两个.4、平面刚架结构在外力的作用下，横截面上的内力有轴力、剪力、弯矩.5、进行直梁有限元分析，平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角6、平面刚架有限元分析，节点位移有轴向位移、横向位移、转角。
7、在弹性和小变形下，节点力和节点位移关系是线性关系。
8、弹性力学问题的方程个数有15个，未知量个数有15个。
9、弹性力学平面问题方程个数有8,未知数8个。
10、几何方程是研究应变和位移之间关系的方程11、物理方程是描述应力和应变关系的方程12、平衡方程反映了应力和体力之间关系的13、把经过物体内任意一点各个截面上的应力状况叫做一点的应力状态14、9形函数在单元上节点上的值，具有本点为JL_•它点为零的性质，并且在三角形单元的任一节点上，三个行函数之和为_1_15、形函数是—三角形一单元内部坐标的—线性一函数，他反映了单元的—位移—状态16、在进行节点编号时，同一单元的相邻节点的号码差尽量小.17、三角形单元的位移模式为—线性位移模式」18、矩形单元的位移模式为—双线性位移模式_19、在选择多项式位移模式的阶次时，要求—所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何一各向同性20、单元刚度矩阵描述了—节点力_和_节点位移之间的关系21、矩形单元边界上位移是连续变化的1.诉述有限元法的定义答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法2.有限元法的基本思想是什么答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。
其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。
3.有限元法的分类和基本步骤有哪些答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约朿条件，求解线性方程组，得出节点位移。
2023《有限元技术》习题一参考答案1、用欧拉方程求泛函()1022[()]'2(0)0,(1)0J y x y y xy dx y y ⎧=--⎪⎨⎪==⎩⎰的极值曲线。
解：22'2F y y xy =--，代入欧拉方程'0y y dF F dx-=， 得：''++0y y x =，解微分方程得通解：12sin cos y C x C x x =+-，代入边界条件(0)0,(1)0y y ==，解得sin sin1xy x =-。
2、如图所示，一长度为L 质量为M 的项链悬挂在跨度为2a 的A 和B 两点，项链在重力场中自然下垂，试求该链悬在稳定状态时的曲线方程。
（重力加速度为g ）解： （方法一）将原坐标系(),x y 向下平移1C 个单位(),x y ，拟采用1cosh y C t =代换求解 在新坐标系中，悬链在稳定状态时能量处于最小值。
悬链线质量密度MLλ=， 长度为dl 的势能为：()Mgy dW dmgy dl gy dl L λ====，悬链总势能泛函：(a a a a Mg W dW dx dx L --===⎰⎰⎰，约束条件为：悬链线长度aL -=⎰，泛函的被积函数：(),F y y '=，势能泛函取极小值时的欧拉方程为：'1'y F y F C -=， 即：21C -=，化简得：y C =于是：dx =x =，令1cosh y C t =（在新坐标系下才能作此代换），得：1sinh sinh dy C tdt t =⎧=，代入x =，得112x C dt C t C ==+⎰所以，21x C t C -=，21cosh cosh x C t C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭回代1cosh y C t =得：211cosh x C y C C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线关于y 轴对称得20C =，1C由悬链线长度112sinhaaL C C -==⎰给出， 故新坐标系下所求曲线方程为11cosh x y C C ⎛⎫=⎪⎝⎭， 1C 由11sinh 2L aC C =确定。
1、有限元是近似求解一般连续场问题的数值方法2、有限元法将连续的求解域离散为若干个子域,得到有限个单元,单元和单元之间用节点连接3、直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力和弯矩两个.4、平面刚架结构在外力的作用下,横截面上的内力有轴力、剪力、弯矩 .5、进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角6、平面刚架有限元分析，节点位移有轴向位移、横向位移、转角。
7、在弹性和小变形下，节点力和节点位移关系是线性关系。
8、弹性力学问题的方程个数有15个，未知量个数有15个。
9、弹性力学平面问题方程个数有8，未知数8个。
10、几何方程是研究应变和位移之间关系的方程11、物理方程是描述应力和应变关系的方程12、平衡方程反映了应力和体力之间关系的13、把经过物体内任意一点各个截面上的应力状况叫做一点的应力状态14、9形函数在单元上节点上的值,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_15、形函数是_三角形_单元内部坐标的_线性_函数,他反映了单元的_位移_状态16、在进行节点编号时,同一单元的相邻节点的号码差尽量小.17、三角形单元的位移模式为_线性位移模式_-18、矩形单元的位移模式为__双线性位移模式_19、在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何_各向同性20、单元刚度矩阵描述了_节点力_和_节点位移之间的关系21、矩形单元边界上位移是连续变化的1. 诉述有限元法的定义答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法2. 有限元法的基本思想是什么答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。
其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。
3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。
1.1 有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题的？位移有限元法的标准化程式是怎样的？（1）离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元，并在其上设定有限个节点；用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体，而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。
（2）给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。
因节点位移个数是有限的，故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。
（3）有限元法的标准化程式：结构或区域离散，单元分析，整体分析，数值求解。
1.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质？各自的物理意义是什么?两者有何区别?单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零）。
整体刚度矩阵的性质：对称性、奇异性、稀疏性。
单元 Kij 物理意义 Kij 即单元节点位移向量中第 j 个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时，在第 j 个自由度方向引起的节点力。
整体刚度矩阵 K 中每一列元素的物理意义是：要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。
2.2 什么叫应变能？什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下述问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件？其中附加了哪些条件？(1)在外力作用下，物体内部将产生应力σ和应变ε，外力所做的功将以变形能的形式储存起来，这种能量称为应变能。
(2)外力势能就是外力功的负值。
(3)势能变分原理可叙述如下：在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的变分为零δ∏p=δ Uε+δV=0此即变分方程。
对于线性弹性体，势能取最小值，即δ2∏P=δ2Uε+δ2V≥0此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。
2 弹性力学问题的有限单元法思考题2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。
2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？答：对。
2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。
而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。
2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。
矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。
矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。
因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。
2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？ 答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。
计算：设半带宽为B ，每个结点的自由度为n ，各单元中结点整体码的最大差值为D ，则B=n(D+1)，在平面问题中n=2。
2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？ 答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。
在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。
若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。
2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。
答：有限元处于弹性力学问题的方法是离散法。
它将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间只在结点上相互联系，即只有结点才能传递力。
所以在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点和单元边界。
2.8 为什么说三角形三结点单元是常应变单元，如果在每边中点增加一个结点，那么单元内应力如何分布？答：(1)应变矩阵[B]中的参数m j i m j i c c c b b b 、、、、、由坐标变量x 、y 之差确定。
当单元的坐标差确定之后，这些参数与坐标变量x 、y 无关，因此[B]为常量阵。
当单元的结点位移{a}确定后，由[B]转换求得的单元应变都是常量，也就是说在荷载作用下单元中各点具有统一的xy y x γεε、、值。
因此三结点三角形单元称为常应变单元。
(2)如果在每边中点增加一个结点，单元内的应力为线性分布。
习 题2.1试证明x 、y 与面积坐标的关系 证明:设P 点坐标为（x,y ）j jpijy x yxy x A ii11121=()()()()[]()y c x b a y x x x y y y x y x xy y x y x y x x y y x m m m i j j i i j j i j i j i j i j i ++=-+-+-=---++=212121同理可求得：由面积坐标定义得：()y c x b a AA A L i i i ijmPjm i ++==21()()y c x b a y x y x y x A y c x b a y x y x yxA j j j iim m pmii i i mm j jpjm++==++==21111212111121()y c x b a AA A L j j j ijm Pmi j ++==21()y c x b a AA A L m m m ijmPij m ++==21由此推出坐标y x 、与面积坐标的函数关系：()()22j i i j j i i j i j j i m j j m m j m j m j j m A c L c L a c a c x b c b c A b L b L a b b a y b c b c ⎧-+-=⎪-⎪⎨-+-⎪=⎪-⎩式（2.1）面积：m i i m j m m j i j j i m j i c b c b c b c b c b c b a a a A -=-=-=++=2代入式（2.1）有：mj j m m j j m j m m j i j j i j i i j j i i j c b c b b a b a L b L b y c b c b c a c a L c L c x --+-=--+-=其中形状参数由下式确定：mj mji m j mji j m m j mm jji x x x x c y y y y b y x y x y x y x a +-==-=-=-==1111代入上式（2.1）可转化为：m m j j i i m m j j i i L y L y L y y L x L x L x x ++=++=再加上 m j i L L L ++=1 所以用面积坐标表示直角坐标矩阵形式如下：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧m j i m jim j i L L L y y y x x x y x 1111 2.2 试证明两相似三角形的单元刚度矩阵相同。
证明：由于两个三角形相似，故设h A A =21， h 为一常数。
三角形：()111121i j ji i c b c b A -=111111i m j m j i y y b y y b -=-=111111i m j m j i x x c x x c +-=+-=参数 j i j i c c b b 、、、，只与坐标差有关，所以hb b i i 121=hc c i i 121=单元刚度矩阵通式为：hb b b b s r s r 12211=h A A 121= 故[][]21rs rs K K =所以[][][][][][][][][][][][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==mm mjmijm jjjiimij iiT e K K K K K K K K K tA B D B K [][]eeK K 21=因此两相似三角形的单元刚度矩阵相同。
2.3 直角三角形固定在刚性基础上，受齐顶的水压力和自重作用，如图2.14所示。
若按一个单元计算，水的容重g γ，三角形平面构件容重g ρ,取泊松比v =1/6，试求顶点位移和固定面上的反力。
解：按逆时针编码，局部编码与整体编码相同：1-2-3建立坐标())0,0(3)3,0(20,21:a a xoy（1） 求形函数矩阵：[]()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+-+=-=s r s r s r s r s r s r s r s r rsb bc c c b b c b c c b c c b b A Et K 21212121142νννννννa a a a 600321===a b b a b 303321-===a c a c c 220321-===图（2.14） 形函数:)(21y c x b a A N i i i i ++=233221a a a A =⨯⨯=所以：ay a x N a yN a xN 32132321--===形函数的矩阵为：[][][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==a y a x a y a x a y a x a y a x N N N N m ji3210302003210302（2） 刚度矩阵[][][][][][][][][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211K K K K K K K K K K e[]()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+-+=-=s r s r s r sr s r s r s r s r rsb bc c c b b c b c c b c c b b A Et K 21212121142ννννννν()125213531416122=-=-==νννa EA Et t可得：[][]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=400353534150093532211EK E K [][]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0251035343127273323531233E K E K[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=215251935313E K []⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=41253535323E K（3）位移列向量和右端项由边界条件可确定：{}{}Te u a 000022υ=水压力和构件厚分别为：10==t ghp γ[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------=43127425215127332135259414001253503525021525025415019109353E K e{}T Te t l q h q hq R ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=0320310020360001自重为W 与支座反力：{}Ty x y x eW R R W WR R R ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=330333112所以：{}Ty x y x eW R h q R W h q W R R R ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--=33363303011由[]{}{}eeeR a K =得到下列矩阵方程组：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+--=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧33363000030301122W R h q R W h q W R R u y x y x υ 化简得：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡3640035353022W h q u E υ]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------=431274252151273321352594140012535035250215250254150191009353E K e可得：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧E W E h q u 363567022υ将⎭⎬⎫⎩⎨⎧22υu 代入下式： ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----333425135025103533031122W R h q R W R R u E y x y x υ 固定面上的反力：a h ga gh q 330===γγ从而可得支座反力为：4322123412033011h q W R h q W R W h q R WR y x y x -=-=+=-=2.4 试从式（2.69）说明对角线元素改1法只能用于给定零位移的情形，而对角元素充大数法可以适用任意指定位移的情形。
