2021届重庆市南开中学高三年级上学期第一次质量检测数学试题及答案

重庆市高2025届高三第一次质量检测数学试题（答案在最后）2024.9一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.1.不等式()()2110x x +-≥的解集为（）A.1{|2x x ≤-或1}x ≥ B.1{|2x x ≤-或1}x >C.1|12x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D.1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】【分析】结合一元二次不等式的解法可求不等式的解集.【详解】()()2110x x +-≥的解为12x ≤-或1x ≥，故解集为：1{|2x x ≤-或1}x ≥，故选：A.2.集合{}1,1A a =+，{}0,,5B a a =-+，若A B A ⋂=，则a 为（）A.1B.1-C.4- D.1-或4-【答案】B 【解析】【分析】根据A B A = 可得A B ⊆，故求a 的值.【详解】因为A B A = ，故A B ⊆，故10a +=或1a a +=-，若1a =-，此时{}{}0,1,0,1,4A B ==，满足A B ⊆，若1a a +=-即12a =-，此时1191,,0,,222A B ⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，不满足A B ⊆，故选：B.3.命题“()0,,e 20xx ax ∃∈+∞-<”的否定为（）A.(),0,e 20xx ax ∃∈-∞-≥ B.()0,,e 20xx ax ∀∈+∞-≥C.()0,,e 20x x ax ∃∈+∞-> D.()0,,e 20xx ax ∀∈+∞-<【答案】B【解析】【分析】由存在量词命题的否定形式可直接得出结论.【详解】易知命题“()0,,e 20xx ax ∃∈+∞-<”的否定为()0,,e 20xx ax ∀∈+∞-≥.故选：B4.随机变量()2,4N ξ ，13,2B η⎛⎫⎪⎝⎭，则（）A.()()D D ξη=B.()()E E ξη=C.()122P ξ≤=D.()112P η==【答案】C 【解析】【分析】根据二项分布和正态分布的期望和方差公式可判断AB 的正误，根据正态分布的对称性可判断C 的正误，根据二项分布的概率的公式可判断D 的正误.【详解】对于AB ，()()132,322E E ξη==⨯=，故()()E E ξη≠，()()1134,3224D D ξη==⨯⨯=，故()()D D ξη≠，故AB 错误；对于C ，根据正态分布的对称性可得()122P ξ≤=，故C 正确；对于D ，()131131C 248P η==⨯⨯=，故D 错误；故选：C.5.我们可以把365(11%)+看作每天的“进步”率都是1%，一年后是3651.01；而把365(11%)-看作每天的“落后”率都是1%，一年后是3650.99，则一年后“进步”的是“落后”的约（）（参考数据：lg0.990.004,lg1.010.004,lg832 2.92≈-≈≈）A.99倍B.101倍C.292倍D.832倍【答案】D 【解析】【分析】直接计算36536521.010.99lg 2.9≈，根据所给数值求解.【详解】()365365365365l 91.01 1.010.99 1.010.90.99g lg lg 365lg lg =-=-().101365lg lg 29929=-≈，故936536252.108321.010.99=≈.故选：D6.如图，无人机光影秀中，有8架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出4种不同颜色的光，1至5号的无人机颜色必须相同，6、7号无人机颜色必须相同，8号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（）种灯光组合.A.48B.12C.18D.36【答案】D 【解析】【分析】对6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色是否相同进行分类讨论，再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果.【详解】根据题意可知，1至5号的无人机颜色有4种选择；当6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色相同时，8号无人机颜色有3种选择；当6、7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色不同时，6、7号无人机颜色有3种选择，8号无人机颜色有2种选择；再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有()4133236⨯⨯+⨯=种.故选：D7.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()1e xf x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+<恰有5个实数解，则实数m 的取值范围为（）A.()0,e 1- B.1e 1e ,56--⎛⎫⎪⎝⎭C.e 1e 1,86--⎛⎫⎪⎝⎭ D.1e 1e ,46--⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据题意，推得函数()f x 图象关于直线1x =对称，且函数的周期为2，再由题设函数解析式作出函数的图象，再将方程的解的个数转化为两函数的图象交点问题即可解得.【详解】由1+=1−可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且o2+p =o −p ，因()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，故有(2)()f x f x +=，即函数()f x 的周期为2.又当[]0,1x ∈时，()1e xf x =-，故可作出函数()f x 的图象如图.由关于x 的方程()()()10f x m x m =+<恰有5个实数解，可理解为()y f x =与(1)y m x =+恰有5个交点.而这些直线恒过定点(1,0)P -,考虑直线与()f x 相交的两个临界位置(3,1e),(5,1e)A B --,由图知，需使PA PB k m k <<，即1e 1e46m --<<.故选：D .【点睛】思路点睛：本题主要考查函数对称性和周期性的应用以及函数与方程的转化思想，属于难题.解题思路在于通过对抽象等式和奇偶性的理解，推理得到函数对称性和周期性，从而作出函数的简图，接着利用方程的解的个数与两函数的交点个数的对应关系解题.8.已知定义在R 上的函数()()2e x axf x x a -+=∈R ，设()f x 的极大值和极小值分别为,m n ，则mn 的取值范围是（）A.e ,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B.1,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C.e ,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.1,02e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】求出函数的导数，利用导数求出,m n ，结合韦达定理用a 表示mn ，再求出指数函数的值域得解.【详解】()()()22222e e 21e -+-+-+''=+-++=-+xaxx ax x ax f x x ax x x ax ，令()221g x x ax =-++，显然函数()g x 的图象开口向下，且()01g =，则函数()g x 有两个异号零点12,x x ，不妨设120x x <<，有12121,22+==-a x x x x ，而2e 0xax-+>恒成立，则当1x x <或2x x >时，()0f x '<，当12x x x <<时，()0f x '>，因此函数()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递减，在()12,x x 上单调递增，又当0x <时，()0f x <恒成立，当0x >时，()0f x >恒成立，且()00f =，于是()f x 的最大值()22222e -+==x ax m f x x ，最小值()21111e -+==x ax n f x x ，于是()()()222221212121121241212e12e e--+++-++++===-a x x ax axx x a x x x x mn x x x x ，由a ∈R ，得[)211,4a-∈-+∞，2141e ,e -⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭a ，则2141e,212e -⎛⎤∈-∞- ⎥⎝-⎦a ，所以mn 的取值范围是1,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.故选：B.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.9.若2024220240122024(23)x a a x a x a x -=++++ ，则下列选项正确的有（）A.202402a =B.01220241a a a a +++= C.2024202432024122320241222222a a a a ⎛⎫++++=- ⎪⎝⎭D.1232023202423202320246072a a a a a +++++= 【答案】ACD 【解析】【分析】利用赋值判断AC ，去绝对值后，赋值判断B ，两边求导后，再赋值，判断D.【详解】A.令0x =，得202402a =，故A 正确；B.01220240122024......a a a a a a a a ++++=-+-+，令令展开式中的1x =-，得20240122024 (5)a a a a -+-+=，故B 错误；C.令展开式中的12x =，得2024320241202320241...22222a a a aa ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭，所以2024202432024122320241...222222a a a a⎛⎫++++=- ⎪⎝⎭，故C 正确；D.展开式的两边求导，得()20232202220231232023202432024232320232024x a a x a x a x a x -⨯-=++++，令1x =，得1232023202423...202320246072a a a a a +++++=，故D 正确.故选：ACD10.下列选项正确的有（）A.当()02x ∈，时，函数222y x x -=+的最小值为1B.()1x ∈-∞，，函数31y x x =+-的最大值为-C.函数2y =的最小值为2D.当0a >，0b >时，若2a b ab +=，则2+a b 的最小值为32+【答案】AD 【解析】【分析】利用二次函数的定义域，求函数的最小值，判断A ，根据基本不等式判断BC ，根据“1”的妙用与变形，结合基本不等式，即可判断D.【详解】A.()222211y x x x =-+=-+，()02x ∈，，当1x =时，函数去掉最小值1，故A 正确；B.33111111y x x x x =+=-++≤-=---，当311x x -=-，1x <，得1x =31y x x =+-的最大值为1-，故B 错误；C .22y ==2t =≥，则1y t t =+在区间[)2,+∞单调递增，当2t =时，1y t t =+取得最小值52，所以函数2y =的最小值为52，故C 错误；D.若2a b ab +=，则112a b+=，则()11131231322222222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2b aa b=时，即12a +=，24b =时，等号成立，所以2+a b 的最小值为32+，故D 正确.故选：AD11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为，且满足()()60f x f x +-=，2222233f x f x ''⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31f '=-，()()231g x f x =--，则下列说法中正确的有（）A.函数()f x '的周期为4B.函数()g x '的图象关于点()1,1-对称C.()y f x x =-的图象关于直线=2对称D.数列(){}g n '的前2024项之和为4048-【答案】ACD 【解析】【分析】根据题设条件可得()()60f x f x ''--=、()()42f x f x ''+-=，故可求函数′的周期为4，故可判断A 的正误，利用反证法可判断B 的正误，根据()()42f x f x ''+-=可得()()424f x f x x --=-，故可判断C 的正误，计算出()()()()12348g g g g ''''+++=-后可判断D 的正误.【详解】因为()()60f x f x +-=，所以()()60f x f x ''--=，而2222233f x f x ''⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()42f x f x ''+-=，故()()462f x f x ''-+-=即()()22f x f x '+'+=，故()()242f x f x ''+++=，故()()4f x f x +'='，故函数′的周期为4，故A 正确；又()()23g x f x ''=--，而()()122g f =-''，而()()222f f ''+=即()21f '=，故()12g '=-，若()g x '关于()1,1-对称，则()11g '=-，矛盾，故B 错误.因为()()42f x f x ''+-=，故()()42f x f x x c --=+，故()()224f f c ''-=+即4c =-，故()()4(4)f x x f x x -=---故()y f x x =-的图象关于直线=2对称，故C 正确.因为′的周期为4，故()g x '的周期也是4，而()()22f x f x '+'+=，故()()022f f ''+=，故()()()()1322204g g f f '''-'+=-=-，因为()31f '=-，故()()0232g f ''=-=，故()42g '=，又()()132f f ''+=，故()13f '=，故()()2216g f ''=-=-，故()()()()12348g g g g ''''+++=-，故数列(){}g n '的前2024项和为()2024840484⨯-=-，故D 正确；故选：ACD.【点睛】思路点睛：根据抽象函数的单调性我们可得到该函数的周期性及导函数的周期性、对称性等，性质讨论的方法是变换的思想.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知π1sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_____【答案】13【解析】【分析】根据已知结合诱导公式计算求解即可.【详解】2πππ1sin sin παsin 3333αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：13.13.若221919C C mm -=，则33345C C C m +++ 的值为______【答案】69【解析】【分析】根据组合数的性质及参数范围得出参数m ，再计算组合数即可.【详解】因为221919C C mm -=，所以22m m =-或2219m m +-=，解得2m =或7m =,因为33345C C C m +++ ，所以3m ≥,可得7m =,所以3333333454567C C C =C C C C 410203569m ++++++=+++= .故答案为：69.14.函数2e 12()e 21x x xh x -=++，不等式()22(2)2h ax h ax -+≤对R x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是_____【答案】[]2,0-【解析】【分析】由解析式得出()()2h x h x +-=，令()()1f x h x =-，得()f x 为奇函数，再利用导数得出()f x 的单调性，根据奇偶性与单调性求解不等式即可．【详解】因为2e 122()e e e 2121x x xx x xh x --=+=-+++，所以22222()()e e e e 221212121x x x x xx x x x h x h x ---⋅+-=+-++-==++++，令()()1f x h x =-，则()()0f x f x +-=，可得()f x 为奇函数，又因为()()222ln 41ln 4()e e e e e 121e 21222x x x x x xx x x x xf x --'⎛⎫''=+-=+-=+ ⎪+⎝⎭+++，1e 2e x x +≥，当且仅当1e e xx =，即0x =时等号成立；ln 4ln 4ln 2142222xx ≤=++，当且仅当122xx =，即0x =时等号成立；所以()0f x '>，可得()f x 在R 上为增函数，因为()2222(2)2(2)(2)0(2)(2)h ax h ax f ax f ax f ax f ax -+≤⇔-+≤⇔-≤-，所以2220ax ax +-≤在R 上恒成立，当0a =时，显然成立；当0a ≠，需满足2Δ480a a a <⎧⎨=+≤⎩，解得20a -≤<，综上，[]2,0a ∈-，故答案为：[]2,0-．【点睛】关键点点睛：由函数解析式得出()()2h x h x +-=，构造()()1f x h x =-是解题关键．四、解答题：本大题共5小题，共77分.15.已知函数()eln f x x x=+（1）求=op 在()()1,1f 处的切线方程；（2）求=在1,3e⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值.【答案】（1）()1e 2e 1y x =-+-（2）2【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程；（2）根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调性，再求函数的最小值.【小问1详解】()eln f x x x=+，()1e f ∴=，且()21ef x x x'=-，()11e f '∴=-，切线方程为：()()e 1e 1y x -=--，即()1e 2e 1y x =-+-；【小问2详解】()221e e x f x x x x-'=-=，当1,e e x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()0f x '<，()y f x =在1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当()e,3x ∈，()0f x '>，()y f x =在()e,3上单调递增，()f x \在区间1,3e⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为()2f =e .16.我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为23，第三组通过初赛和复赛的概率分别为p 和43p -，其中304p <≤，三组是否通过初赛和复赛互不影响.（1）求p 取何值时，第三组进入决赛的概率最大；（2）在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数X 的分布列和数学期望.【答案】（1）49（2）分布列见解析，43【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质可求当23p =时，第三组进入决赛概率最大为49.（2）根据二项分布可求X 的分布列和数学期望.【小问1详解】由题知：第三组通过初赛和复赛的概率2204424()3339p p p p p p ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，又因为3044013p p ⎧<≤⎪⎪⎨⎪≤-≤⎪⎩，所以1334p ≤≤所以，当23p =时，第三组进入决赛概率最大为49.【小问2详解】由（1）知：第一组、第二组、第三组进入决赛的概率均为224339⨯=.因为进入决赛的队伍数43,9X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()03341250C (19729P X ==⨯-=；()123443001001C (199729243P X ==⨯⨯-==；()22344240802C ()199729243P X ⎛⎫==⨯⨯-== ⎪⎝⎭；()3334643C (9729P X ==⨯=.所以随机变量X 的分布列为:X123P1257291002438024364729()1251008064401237292432437293E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.17.四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AB ==，点E 是棱PC 上一点.（1）求证：平面PAC ⊥平面BDE ；（2）当E 为PC 中点时，求平面ABE 与平面DBE 所成锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）根据线面垂直性质以及正方形性质，利用面面垂直判定定理即可得出证明；（2）建立空间直角坐标系，分别求得两平面法向量即可求得结果.【小问1详解】底面ABCD 是正方形，BD AC ∴⊥，PA ⊥ 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥，又BD AC ⊥，PA AC A = ，PA ，AC ⊂平面PAC ，BD ∴⊥平面PAC ，又BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE .【小问2详解】PA ⊥ 平面ABCD ，A ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，以A 为坐标原点，A ，A ，AP 所在直线分别为x ，y ，z建立空间直角坐标系,如下图所示：则0,0,0，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()2,2,0C ，()0,0,2P ，()1,1,1E ，()()()2,0,0,1,1,1,2,2,0AB BE BD ==-=-，设平面ABE 的法向量为()111,,n x y z =，则1111200n AB x n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，解得10x =，令11y =，得11z =-，故平面ABE 的一个法向量为 =0,1,−1，设平面DBE 的法向量为()222,,m x y z =，则222222200m BD x y m BE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ,解得20z =，令21x =，得21y =，故平面DBE 的一个法向量为()1,1,0m =，设平面ABE 与平面DBE 所成锐二面角为θ，则1cos 2m nm nθ⋅=== ，所以平面ABE 与平面DBE 所成锐二面角的大小为π3.18.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点23,22⎫-⎪⎝⎭且()0b c c =>.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，1112AF BF ⋅= ，求1ABF 的面积.【答案】（1）2212x y +=（2）3.【解析】【分析】（1）代入点23,22⎛- ⎝⎭坐标并于b c =联立计算可得222,1a b ==，求出椭圆C 的标准方程；（2）联立直线和椭圆方程并利用向量数量积的坐标表示以及韦达定理即可得出2m =±，再由弦长公式计算可得结果.【小问1详解】将,22⎛- ⎝⎭代入椭圆方程可得2213241a b +=，即2213124a b +=，又因为b c =，所以222a b =，代入上式可得222,1a b ==，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=；【小问2详解】由(1)可得()()12121,0,1,0,2F F F F -=，设直线l 的方程为()()11221,,,,x my A x y B x y =+，如下图所示：联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222210m y my ++-=，所以12122221,22m y y y y m m +=-=-++，则()()1111221,,1,AF x y BF x y =---=---，所以()()1111221212121,1,1AF BF x y x y x x x x y y ⋅=------=++++()()()2221212122222221211142222m m m m y y my my y y m m m m =+++++++=----++++227122m m -==+，解得24m =，即2m =±，所以121221,36y y y y +=±=-，则1ABF 的面积()212121212110423S F F y y y y y y =-=+-=.19.给定两个正整数m ，n ，函数()f x 在=0处的[],m n 阶帕德近似定义为：()0111mm n n a a x a x R x b x b x+++=+++ ，且满足：()()00f R =，()()00f R '='，()()()()()()0000m n m n f R f R ++'='''= .已知()()ln 1f x x =+在=0处的[]1,1阶帕德近似()1a bx R x cx+=+注：()()'''[]f x f x ='，()()'''[]f x f x ''='，()()()4'[]f x f x '''=，()()()()54'[]f x f x =，…（1）求a ，b ，c 的值；（2）比较()11x c f x ⎛⎫+⎪⎝⎭与的大小，并说明理由；（3）求不等式1211(1)e (1)x x x x++<<+的解集，其中e 2.71828=【答案】（1）102a b a c ===，，；（2）()11x c f x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，理由见解析；（3）()0,∞+.【解析】【分析】（1）根据新定义先求导函数，再代入求参即可；（2）先化简换元令11t x+=，再求导函数根据正负得出函数单调性即可证明；（3）结合（2）结论应用单调性解不等式【小问1详解】因为()()()ln 11a bxf x x R x cx+=+=+，，()()()()()''''2232111(1)(1)(1)b ac c b ac f x R x f x R x x cx x cx ---==='-++'=++，，，()()00f R =，则()()000a f R '=='，，则1b ac =-，则1b =，()()()''''100122f R b ac c c =-=--=，，，所以1012a b c ===，，.【小问2详解】()111ln 12x c f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令11t x+=，则()()()()11ln 0,11,21t x c f t t x t ∞+⎛⎫+=∈⋃+⎪-⎝⎭，，令()()()()21ln 0,11,1t h t t t t ∞-=-∈⋃++，，ℎ'(p =1−4(r1)2=(K1)2or1)2>0，所以()h t 在()0,1单调递增，在()1,∞+单调递增，()()()0,1,10t h t h ∈<=，即()21ln 1t t t -<+，所以r12(K1)ln >1，∈(1,+∞),ℎ(p >ℎ(1)=0,ln >2(K1)r1，所以r12(K1)ln >1，综上，()11x c f x ⎛⎫+>⎪⎝⎭.【小问3详解】若要使12111e 1xx x x +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则110x+>，即1x <-或>0，当121e 1xx +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭时，即ln 1+r 12>1,ln 1+>1，由（2）知上式成立，所以()(),10,x ∞∞∈--⋃+，当11e xx ⎛⎫+< ⎪⎝⎭等价于1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，当>0时，1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭等价于11ln 111x x⎛⎫+<+- ⎪⎝⎭，成立;当1x <-时，1ln 11x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭等价于ln 1>1+1−1，不成立，所以解集为()0,∞+.。

2021年高三上学期第一次测验数学理试题含答案本试卷共4页，共20题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂试卷类型．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．第一部分选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U=R，集合，则等于（）A. B. C. D.2．与函数的图象相同的函数是（）A. B. C. D.3．若，则是的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（）5．对于定义在R上的函数，若，则函数在区间内（）A．只有一个零点B．至少有一个零点C．无零点D．无法判断6．二次函数满足，又，，若在[0，]上有最大值3，最小值1，则的取值范围是（）A. B. C. D. [2,4]7．设奇函数f (x )的定义域为R , 且, 当x时f (x)＝, 则f (x )在区间上的表达式为（）A．B． C． D．8.正实数及函数满足，且，则的最小值为( )A． 4 B ． 2 C ． D ．第二部分非选择题（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．已知命题P: “对任何”的否定是_____________________10．函数的定义域是____________11．设则__________．12．下列命题：（1）梯形的对角线相等；（2）有些实数是无限不循环小数；（3）有一个实数，使；（4）或；（5）命题“都是偶数，则是偶数”的逆否命题“若不是偶数，则都不是偶数”；（6）若或”为假命题，则“非且非”是真命题；（7）已知是实数，关于的不等式的解集是空集，必有且。

2020-2021重庆市南开中学小学三年级数学上期末第一次模拟试题(含答案)一、选择题1．三（1）班每人至少订一种课外读物，订《漫画大王》的有25人，订《快乐作文》的有29人，有14人两种刊物都订。

三（1）班共有（）人。

A. 40B. 54C. 682．下图中阴影部分的面积占整个图形面积的（）。

A. B. C.3．把四个边长为1厘米的小正方形拼成一个大正方形，周长是（）A. 10厘米B. 8厘米C. 12厘米4．的计算中，3×5=15，15表示15个（）。

A. 一B. 十C. 百5．一个数的5倍是40，求这个数．正确列式是（）A. 40×5B. 40-5C. 40÷56．一捆400米的电线，先用去了137米，又用去了95米，一共用去了（）米。

A. 168B. 232C. 2637．与1吨最接近的是（）。

A. 999克B. 9千克C. 990千克D. 1001克8．甲书架原有图书110本，如果从甲书架拿10本到乙书架，那么两个书架的图书就同样多。

乙书架原有图书（）。

A. 80本B. 90本C. 100本9．下表为3个同学参加50米賽跑的成绩。

（）跑得最快。

小军贝贝丽丽8秒7秒11秒A. 小军B. 贝贝C. 丽丽二、填空题10．三（5）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名同学，两种棋都不会的有10名同学。

两种棋都会下的有________名同学。

11．分数里，分子是________，分母是________，读作________。

12．给一张长45厘米，宽35厘米的画做外边框，外框边长是________．13．估算397×6时，可以先把397看作________，再与6相乘，结果大约等于________ 14．第一行画▲：第二行画■：________第三行画★：________（要求：■的个数是▲的3倍，★的个数是■的一半）15．一道加法算式中，和是423，一个加数是168，另一个加数是________。

2021年高三上学期第一次质量检测数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．已知集合，，则集合（）A．B． C． D．2．已知复数，则的共轭复数是（）A. B. C. D.3. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A.2B. 3C. 4D. 54．已知，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（）A. B. C. D.6．直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.7.已知向量与的夹角为120°,且,若,且，则实数的值为( ）A．B．C．D．8.已知，且，现给出如下结论：①；②；③；④. 其中正确结论个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。

本大题分为必做题和选做题两部A B C D P ME O 1O 2分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9．若,则的值是 .10. 设随机变量服从正态分布，若，则的值为 .11.若把英语单词“error ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种． 12.若等比数列的各项均为正数，且，则 .13.已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线，（为参数）交于、两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是________.15．（几何证明选讲选做题）已知⊙O 1和⊙O 2交于点C 和D ，⊙O 1上的点P 处的切线交⊙O 2于A 、B 点，交直线CD 于点E ，M 是⊙O 2上的一点，若PE=2，EA=1，，那么⊙O 2的半径为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数．(Ⅰ)求函数的最小正周期；(Ⅱ)已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值． 17．（本小题满分13分）为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学生会从全体学生中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”． (Ⅰ)写出这组数据的众数和中位数；(Ⅱ)从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好视力”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望．18. （本小题满分13分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且(Ⅰ) 求证：；(Ⅱ)若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小.19. （本小题满分14分）已知数列中，，前项和．(Ⅰ)设数列满足，求与之间的递推关系式；(Ⅱ)求数列的通项公式.20．（本小题满分14分）已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．(Ⅰ)求点的轨迹的方程；(Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数（为常数，）（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求的值；（Ⅱ）求证：当时，在上是增函数；（Ⅲ）若对任意的，总存在，使不等式成立，求正实数的取值范围.xx~xx学年广州六中高三理数第一次测验卷答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B A C C B D二、填空题：（一）必做题（9～13题）9．10．11．19 12. 12 13.（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．15．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题满分12分）解：17．（本小题满分13分）解：(1)由题意知众数为4.6和4.7，中位数为4.75. ------------2分(2)这是一个古典概型，设至少有2人是“好视力”记为事件A，---------3分则事件A包含的基本事件个数为：----------5分总的基本事件个数为：-----------6分--------------------7分（3）X的可能取值为0,1,2,3. -------------------8分由于该校人数很多，故X近似服从二项分布B(3，)．P(X＝0)＝()3＝，P(X＝1)＝××()2＝，P(X＝2)＝×()2×＝，P(X＝3)＝()3＝，------------------12分X 0 1 2 3P故X的数学期望E(X)＝3×＝.------------------13分18.解（1）证明：如图，取的中点，连接，--------1分因，则---------2分由平面侧面，且平面侧面，---------3分得，又平面，所以. -------- 4分因为三棱柱是直三棱柱，则，所以. ------ 5分又，从而侧面，又侧面，故. -------6分（2）解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影∴即为直线与所成的角，则 ------7分在等腰直角中，，且点是中点，∴，且，∴ --------8分过点A作于点，连，由（1）知，则，且∴即为二面角的一个平面角 --------9分且直角中：，又，∴，-------11分且二面角为锐二面角∴，即二面角的大小为 ----13分解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则，，，，，，，----------------8分设平面的一个法向量，由，得：令，得，则 ------9分设直线与所成的角为，则得，解得，即 -------10分又设平面的一个法向量为，同理可得，-----11分设锐二面角的大小为，则，且，得∴锐二面角的大小为. ------------13分19.解： （1） ∵ ∴ ∴ ----------4分整理得， 等式两边同时除以得 ， ----7分 即 -------8分 6．由（1）知即 所以112211112211n n n n n a a a a a a a a n n n n n ---=-+-++-+--- 111111113112232n n n n n n =-+-+-++-+-----得 ---------14分20. 解：（1）椭圆右焦点的坐标为，………………1分 ．，由，得． …3分设点的坐标为，由，有，代入，得． …………………………5分 （2）(法一)设直线的方程为，、， 则，． ………………………………6分 由，得， 同理得．…………………………8分②当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得． …………………………………10分由，得，．……………………11分则．…………………………13分因此，的值是定值，且定值为．…………………………………14分21.解：axaaxaxaxaxaxf+--=-++=1)22(22212121)('2…………1分（Ⅰ）由已知，得且，………2分----3分（Ⅱ）当时，02)1)(2(22212222≤+-=--=--aaaaaaaa………4分当时，又………5分29468 731C 猜up39376 99D0 駐+34380 864C 虌38036 9494 钔30446 76EE 目&H22493 57DD 埝21516 540C 同32316 7E3C 縼31870 7C7E 籾2。

2020-2021重庆市高三数学上期末一模试卷带答案一、选择题1．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形2．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（ ） A ．243- B ．242-C ．162-D ．2433．已知在中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，，，则的面积等于（ ） A ．B ．C ．D ．4．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．2D ．525．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年B ．丙寅年C ．丁卯年D ．戊辰年6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）A ．2n n S T =B ．21n n T b =+C ．n n T a >D ．1n n T b +<7．在ABC V 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22C a b a+=，则ABC V 的形状一定是( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形8．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ）A ．78B ．18C ．78-D ．18-9．已知数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a =，则数列的第2018项为 （ ）A ．15B ．25C ．35D ．4510．设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最小值是12-，则z 的最大值为（ ） A ．9-B ．12C ．12-D ．911．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．3212．在R 上定义运算：A()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 二、填空题13．关于x 的不等式a 34≤x 2﹣3x +4≤b 的解集为[a ，b ]，则b －a ＝________． 14．若变量,x y 满足约束条件12,{20,20,x y x y x y +≤-≥-≤ 则z y x =-的最小值为_________.15．已知数列{}n a 的前n 项和为21nn S =-，则此数列的通项公式为___________．16．(广东深圳市2017届高三第二次（4月）调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积术”，即ABC △的面积222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，其中a b c 、、分别为ABC△内角、、A B C 的对边.若2b =，且3sin tan 13cos BC B=-，则ABC △的面积S 的最大值为__________．17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，且22cos C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC ∆的外接圆面积为__________．18．设，，若，则的最小值为_____________.19．设122012(1)(1)(1)n nn x x x a a x a x a x ++++++=++++L L ，其中n *∈N ，且2n ≥，若0121022n a a a a ++++=L ，则n =_____20．若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 三、解答题21．在数列{}n a 中, 已知11a =，且数列{}n a 的前n 项和n S 满足1434n n S S +-=, n *∈N . （1）证明数列{}n a 是等比数列；（2）设数列{}n na 的前n 项和为n T ，若不等式3()1604nn aT n+⋅-<对任意的n *∈N 恒成立, 求实数a 的取值范围.22．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的外接圆半径为R ，且23sin sin cos 0R A B b A --=.（1）求A ∠；（2）若tan 2tan A B =，求sin 2sin 2sin b Ca b B c C+-的值.23．在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知3cos()16cos cos B C B C --=，（1）求cos A （2）若3a =，△ABC 的面积为22求b c 、24．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC V 的面积21tan 6S b A = (1)证明: 3 b ccos A =; (2)若1,3c a ==求S .25．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，222sin 2cos 22B Aa b b c +=+． （1）求B ；（2）若6c =，[2,6]a ∈，求sin C 的取值范围． 26．已知函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<部分图象如图所示.（1）求ϕ值及图中0x 的值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知7,()2,c f C ==-sin B =2sin A ，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】在ABC ∆中，222222cos ,2cos 222a b c a b c C a b C b ab abQ +-+-=∴==⋅，2222a a b c ∴=+-，,b c ∴=∴此三角形一定是等腰三角形，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.2．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为2,,3n n S a 成等差数列，所以223n n S a =+，当1n =时，111223,2S a a =+∴=-；当2n ≥时，1113333112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-，即11322n n a a -=，即()132nn a n a -=≥，∴数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列，()()55151213242113a q S q---∴===---，故选B.3．C解析：C 【解析】 【分析】根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公式求得结果. 【详解】由余弦定理得：，即解得：或为最小角本题正确选项： 【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.4．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．1411414143()()(5)(5)6662b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b ==时等号成立，即14a b +的最小值为32． 故选：B. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．5．C解析：C 【解析】记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年. 故选C.6．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】由题意可得：332,323n nn n S S +=⨯=⨯- ，由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式：132n n a -=⨯ ，设11n nb b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，数列{}n b 的通项公式12n nb -= ，由等比数列求和公式有：21nn T =- ，考查所给的选项：13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .本题选择D 选项.7．A解析：A 【解析】 【分析】利用平方化倍角公式和边化角公式化简2cos22C a b a+=得到sin cos sin A C B =，结合三角形内角和定理化简得到cos sin 0A C =，即可确定ABC V 的形状． 【详解】22cos 2a baC +=Q 1cos sin sin 22sin C A BA ++\=化简得sin cos sin A C B = ()B A C p =-+Qsin cos sin()A C A C \=+即cos sin 0A C =sin 0C ≠Qcos 0A ∴=即0A = 90ABC ∴V 是直角三角形 故选A 【点睛】本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简2cos22C a b a+=时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．8．C解析：C 【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-． 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．9．A解析：A 【解析】 【分析】利用数列递推式求出前几项，可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列，即可得出答案. 【详解】1112,0321521,12n n n n n a a a a a a +⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤<⎪⎩Q ， 211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，则201845042215a a a ⨯+===. 故选A . 【点睛】本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.10．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式对应的可行域，当目标函数过点A 时，z 取最小值，即min 12z =-，可求得k 的值，当目标函数过点B 时，z 取最大值，即可求出答案. 【详解】作出不等式对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为2y x z =-+， 联立20x y y k+=⎧⎨=⎩，可得()2,A k k -，当目标函数过点A 时，z 取最小值，则()2212k k ⨯-+=-，解得4k =，联立0x y y k-=⎧⎨=⎩，可得(),B k k ，即()4,4B ，当目标函数过点B 时，z 取最大值，max 24412z =⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于基础题.11．A解析：A 【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出.详解：,x y Q 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++ 22226(2)46(22)4202222y x y x x y x y ++++=++-≥+⋅-=++++ 当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20. 故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.12．C解析：C 【解析】 【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】Q A()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦Q ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,1322a ∴-<<故选：C 【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键二、填空题13．4【解析】【分析】设f （x ）x2﹣3x+4其函数图象是抛物线画两条与x 轴平行的直线y ＝a 和y ＝b 如果两直线与抛物线有两个交点得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间所以两直线与抛物线不可能有解析：4【解析】【分析】设f（x）3 4=x2﹣3x+4，其函数图象是抛物线，画两条与x轴平行的直线y＝a和y＝b，如果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间，所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线y＝a应该与抛物线只有一个或没有交点，所以a小于或等于抛物线的最小值且a与b所对应的函数值相等且都等于b，利用f （b）＝b求出b的值，由抛物线的对称轴求出a的值，从而求出结果．【详解】解：画出函数f（x）＝34x2﹣3x+4＝34（x－2）2＋1的图象，如图，可得f（x）min＝f（2）＝1，由图象可知，若a>1，则不等式a≤34x2－3x＋4≤b的解集分两段区域，不符合已知条件，因此a≤1，此时a≤x2－3x＋4恒成立．又不等式a≤34x2－3x＋4≤b的解集为[a，b]，所以a≤1<b，f（a）＝f（b）＝b，可得2233443344a a bb b b⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩由34b2－3b＋4＝b，化为3b2－16b＋16＝0，解得b＝43或b＝4.当b＝43时，由34a2－3a＋4－43＝0，解得a＝43或a＝83，不符合题意，舍去，所以b＝4，此时a＝0，所以b－a＝4.故答案为：4【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，解题时应灵活应用函数的思想解决实际问题，是中档题．14．【解析】由约束条件作出可行域如图联立解得化目标函数得由图可知当直线过点时直线在y 轴上的截距最小有最小值为故答案为点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值属简单题求目标函数最值的一般步骤 解析：4-【解析】由约束条件12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，联立12 {20x y x y +=-=，解得()84A ，，化目标函数z y x =-，得y x z =+，由图可知，当直线y x z =+过点()84A ，时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4-，故答案为4-. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．【解析】【分析】由数列的前项和为得时得出;验证时是否满足即可【详解】当时当时又所以故答案为:【点睛】本题考查了由数列的前项和公式推导通项公式的计算问题;解题时需验证时是否满足是基础题解析：12n n a -=【解析】【分析】由数列{}n a 的前n 项和为23n n S =-，得2n >时1123n n S --=-,，得出1n n n a S S -=-;验证1n =时11a S =是否满足n a 即可.【详解】当1n =时,11211a S ==-=,当2n ≥时,()11121212n n n n n n a S S ---=-=---=,又1121-=,所以12n n a -=.故答案为:12n n a -=. 【点睛】本题考查了由数列{}n a 的前n 项和公式n S 推导通项公式n a 的计算问题;解题时，需验证1n =时11a S =是否满足n a ，是基础题.16．【解析】由题设可知即由正弦定理可得所以当时故填解析：3 【解析】 由题设可知()sin 3sin sin 3sin cos cos sin cos 13cos C B C B C B C C B=⇒=+-，即sin 3sin C A =，由正弦定理可得3c a =，所以224421441384222a S a a a ⎛⎫-=-=-+- ⎪⎝⎭，当242a a =⇒=时， 4max 1284432S =-+⨯-=，故填3. 17．【解析】【分析】根据正弦定理得到再根据计算得到答案【详解】由正弦定理知：即即故故答案为【点睛】本题考查了正弦定理外接圆面积意在考查学生的计算能力解析：9π【解析】【分析】根据正弦定理得到()1sin sin A B C R +==，再根据22cos C =计算1sin 3C =得到答案. 【详解】由正弦定理知：cos cos 2sin cos 2sin cos 2b A a B R B A R A B +=⋅⋅+⋅=， 即()1sin sin A B C R +==，22cos 3C =，1sin 3C =， 即3R =.故29S R ππ==.故答案为9π【点睛】本题考查了正弦定理，外接圆面积，意在考查学生的计算能力.18．3+22【解析】【分析】由已知可得a-1+b=1从而有2a-1+1b=(2a-1+1b)(a-1+b)展开后利用基本不等式即可求解【详解】由题意因为a>1b>2满足a+b=2所以a-1+b=1且a-解析：【解析】【分析】由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意，因为满足，所以，且， 则， 当且仅当且，即时取得最小值.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 19．9【解析】【分析】记函数利用等比数列求和公式即可求解【详解】由题：记函数即故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题常用赋值法整体代入求解体现出转化与化归思想解析：9【解析】【分析】记函数122012()(1)(1)(1)n n n f x x x x a a x a x a x =++++++=++++L L ，012222(1)2n n f a a a a =+++=++++L L ，利用等比数列求和公式即可求解.【详解】由题：记函数212012()(1)(1)(1)n n n f x a a x a x a x x x x =++++=++++++L L ，021222(12)(21)212n nn f a a a a -=++++++=-=+L L ， 即1221022n +-=，121024,9n n +==故答案为：9【点睛】 此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想. 20．【解析】当且仅当时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才能应用否则会出现解析：8【解析】12124412(2)()448b a b a a b a b a b a b a b a b+=∴+=++=++≥+⋅=Q ，当且仅当2b a = 时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题21．(1)见解析(2) (,20)-∞【解析】分析：（1）利用1434n n S S +-=推出134n n a a +=是常数，然后已知2134a a =，即可证明数列{}n a 是等比数列；（2）利用错位相减法求出数列{}n na 的前n 项和为n T n ，化简不等式31604nn a T n⎛⎫+⋅-< ⎪⎝⎭，通过对任意的*n N ∈恒成立，求实数a 的取值范围． 详解：(1) Q 已知*1434,n n S S n N +-=∈, ∴ 2n ≥时, 143 4.n n S S --=相减得1430n n a a +-=. 又易知0,n a ≠134n n a a +∴=. 又由*1434,n n S S n N +-=∈得()121434,a a a +-= 22133,44a a a ∴=∴=. 故数列{}n a 是等比数列.(2)由(1)知1133144n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 01133312444n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L , 123333124444n n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 相减得213113333341344444414nn n n n T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++-⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-L , 331616444n nn T n ⎛⎫⎛⎫∴=-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴不等式31604n n a T n ⎛⎫+⨯-< ⎪⎝⎭为33316164160444n n n a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯+⨯-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.化简得2416n n a +>.设()2416f n n n =+, *n N ∈Q ()()120min f n f ∴==.故所求实数a 的取值范围是(),20-∞.点睛：本题考查等比数列的判断，数列通项公式与前n 项和的求法，恒成立问题的应用，考查计算能力．22．（1）6π；（2）. 【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知三角等式，根据sin 0B ≠可得tan A =，即可求出角A ；（2）由（1）可得tan 6B =，利用2sin 1A =及正弦定理将分式化简，再利用余弦定理化简分式得()1tan 2A B -+，最后利用正切和角公式代入tan A ，tan B ，可求出结果. 【详解】（1）∵sin sin cos 0A B b A -=，由正弦定理得：sin sin 2sin cos 0A B R B A -=，即)sin cos 0B A A -=， ∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，cos A A =，tan 3A =， ∵()0,A π∈，∴6A π∠=.（2）由（1）知：tan A =，tan B =，1sin 2A =， ∴2sin 1A =， ∴sin 2sin sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin b C Ab C a b B c C Aa b B c C=+-+- 222sin ab Ca b c =+- 由余弦定理得：()sin sin 11tan tan 2sin 2sin 2cos 22b C C C A B a b Bc C C ===-++-1tan tan 21tan tan A B A B +=-⨯=- 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查学生数形结合、转化与化归以及运算求解能力，解决此类问题的关键是灵活运用正、余弦定理进行边角的互化，属于中等题.23．：（1）1cos 3A =（2）3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩ 【解析】：（1）由3cos()16cos cos B C B C --=得3(cos cos sin sin )1B C B C -=- 即1cos()3B C +=-从而cos A 1cos()3B C =-+=（2）由于0,A π<<1cos 3A =，所以sin A =又ABC S =V 1sin 2bc A =6bc =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2213b c += 解方程组2213{6b c bc +==，得3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩24．(1)证明解析,(2)2 【解析】【分析】（1）由正弦定理面积公式得：211sin tan 26S bc A b A ==，再将sin tan cos A A A =代入即可.（2）因为1c =，a =3b cosA =.代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-得22cos 3A =，cos 3A =tan 2A ⇒=，b =⇒16622S =⨯⨯=. 【详解】 （1）由211sin tan 26S bc A b A ==，得3sin tan c A b A = 因为sin tan cos A A A =，所以sin 3sin cos b A c A A=， 又0A π<<，所以sin 0A ≠，因此3cos b c A =.（2）由（1）得3b ccosA =.因为1c =，a =3b cosA =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2229cos 16cos A A =+-,解得：22cos 3A =.因为3b cosA =，所以cos 0A >，cos A =.tan 2A ⇒=，b .211tan 66622S b A ==⨯⨯=. 【点睛】本题第一问主要考查正弦定理中的面积公式和边角互化，第二问考查了余弦定理的公式应用，属于中档题.25．（1）3B π=；（2）⎤⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理以及两角和与差的正弦公式进行化简，求解出cos B 的值后即可求出B 的值；（2）根据余弦定理先求解出b 的取值范围，然后根据sin sin c B C b =求解sin C 的取值范围. 【详解】（1）已知得2(1cos )12cos 2A a B c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 由正弦定理得sin sin cos sin sin cos A A B C B A -=-，即sin sin sin()sin()A C A B A B =+-=++sin()2sin cos A B A B -=， ∴1cos 2B =，解得3B π=． （2）由余弦定理得222222cos 636(3)27b a c ac B a a a =+-=-+=-+，∵[2,6]a ∈，∴b ∈，sin sin c B C b ⎤=∈⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查解三角形的综合应用，难度一般.（1）解三角形的边角化简过程中要注意隐含条件A B C π++=的使用；（2）求解正弦值的范围时，如果余弦值的范围容易确定也可以从余弦值方面入手，若余弦值不容易考虑则可以通过正弦定理将问题转化为求解边与角的正弦的比值范围.26．（1）6π=ϕ,076x π=（2）1a = 【解析】试题分析：（1）根据图象可得()01f =，从而求得ϕ得值，再根据()02f x =，可得022,62x k k Z πππ+=+∈，结合图象可得0x 的值；（2）根据（1）的结论及()2f C =-，可得C 的值，将sin B = 2sin A 根据正弦定理角化边得2b a =，再根据余弦定理即可解得a 的值.试题解析：（1）由图象可以知道：()01f =. ∴1sin 2ϕ=又∵2πϕ<∴6πϕ=∵()02f x = ∴0sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，022,62x k k Z πππ+=+∈, 从而0,6x k k Z ππ=+∈. 由图象可以知道1k =, 所以076x π= （2）由()2f C =-,得sin 216C π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,且()0,C π∈. ∴23C π= ∵sin 2sin B A =∴由正弦定理得2b a =又∵由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：2227422cos ,3a a a a π=+-⨯ ∴解得1a =。

2020-2021重庆市南开中学小学三年级数学上期中第一次模拟试题(含答案)一、选择题1．水果店上午卖出橘子276个，下午卖出158个，那么这一天共卖出（）个。

A. 424B. 434C. 3342．齐齐家这几个月月末电表读数如下，10月份齐齐家用电多少千瓦时?正确的列式是( )。

8月 9月 10月 11月 12月225 328 451 544 6713．计算745-319时，个位要向十位（）。

A. 进1B. 借14．王叔叔沿着400米的跑道跑了20圈是（）千米。

A. 8000B. 80C. 85．一节火车车厢可以装货（）。

A. 60吨B. 600千克C. 6000克D. 60千克6．一块砖重2千克，（）块砖重1吨．A. 5B. 50C. 5007．李莉家离学校500米，王强家离学校800米，李莉家和王强家相距（）米。

A. 3000B. 1300C. 300或13008．586+234，下面说法正确的是（）A. 它们的和比900大一些B. 它们的和比800小一些C. 586不到600，234比300小些，它们的和肯定在800和900之间D. 上面的说法都不对9．小明一分钟能骑190米，21分钟大约能骑（）米。

A. 200B. 400C. 4000D. 2000 10．做一次深呼吸需要4（）。

A. 分B. 时C. 秒11．淘气跑100米用17秒，笑笑跑100米用19秒，（）跑得快。

A. 淘气B. 笑笑C. 无法确定谁12．下面是三名小朋友在一次赛跑比赛中的成绩，比一比，冠军是（）。

乐乐用了1分13秒；欢欢用了1分32秒；牛牛用了1分50秒A. 乐乐B. 欢欢C. 牛牛二、填空题13．小诗家今年一到三月的电表读数如下：（去年12月底的读数是165千瓦时）小诗家一月份用电________千瓦时;一至三月份共用电________千瓦时。

14．被减数965348403减数148232137差45612915．学校操场的直跑道长100米，那么，1千米相当于________个这样的直跑道的长度．16．2时＝________分 3千米﹣2000米＝________米240秒＝________分 2吨+500千克＝________千克17．在横线上填上“>”“<”或“=”。

2020-2021重庆市小学三年级数学上期中一模试卷(及答案)一、选择题1．3596加上2808的和是（）A. 5394B. 5304C. 6404D. 5404 2．不能验算739+164=903的算式是（）。

A. 739-164B. 903-164C. 903-7393．下列算式中的结果在600和700之间的是（）A. 364+137B. 853-195C. 752-2844．一条跑道长250米，小明跑了4个来回，他跑了（）千米。

A. 1000B. 2000C. 2D. 45．长江的长度大约是 6300（）。

A. 千米B. 米C. 分米6．和你跑步速度最接近的是每秒（）A. 0.75千米B. 75米C. 7.5米D. 750毫米7．邮局、书店和学校在人民大道的一旁，邮局距学校250米，书店距学校350米．邮局距书店（）A. 600米或100米B. 600米C. 100米8．小军把他的书放在书架的三个格子里，最少的一格放27本，最多的一格放34本，那么书架上的书总数大约是( )本．A. 180B. 150C. 120D. 909．下面四个都是“两位数加两位数”算式，这四个算式都有一个数字看不清了，估计得数比80大的是（）。

A. 51+2☆B. 49+2☆C. 75+1☆D. 60+1☆10．淘气跑100米用17秒，笑笑跑100米用19秒，（）跑得快。

A. 淘气B. 笑笑C. 无法确定谁11．1秒可以（）A. 读一篇文章B. 写一个字C. 跑50米12．分针走1小格的时间，秒针正好走（）。

A. 1大格B. 1小格C. 1圈二、填空题13．最大的三位数与最小的四位数的和是________，差是________。

14．甲数是306，比乙数少45，乙数是________，甲乙两数的和是________。

15．如图，图书馆到学校550米，少年宫到学校450米，图书馆到少年宫________米，也就是________千米。

2021-2022学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x =，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}2．（5分）“22m n <”是“lnm lnn <” ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．（5分）下列函数中，在定义域上单调递增且为奇函数的是( ) A ．1()f x x=B ．()sin f x x =C ．()cos f x x x =D ．()sin f x x x =+4．（5分）某部门为了了解一批树苗的生长情况，在3000棵树苗中随机抽取200棵，统计这200棵树苗的高度，将所得200个高度数据分为7组：[70，80)，[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140]，并绘制了频率分布直方图（如图），那么根据该图可推测，在这3000棵树苗中高度小于100cm 的树苗棵数是( )A ．360B ．600C ．840D ．13205．（5分）函数222()cos x x f x x x --=+在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知121()3a =，121log 3b =，31log 2c =，则( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>7．（5分）设函数()1||xf x x =+，则下列结论中错误的是( ) A ．()y f x =的图象关于点(1,1)-对称 B ．()f x 在其定义域上单调递增 C ．()f x 的值域为(1,1)-D ．函数()()g x f x x =-有且只有一个零点8．（5分）以下区间为函数()||2||f x ln x =-的一个单调递增区间的是( ) A ．(3,2)--B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,)+∞9．（5分）已知函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>=⎨--+⎩，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围( ) A ．(4,2)--B ．(4,22)--C ．(3,2)--D ．(3,22)--二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．（5分）若复数z 满足(1)12(i z i i -=+虚数单位），则||z = ． 11．（5分）62)x展开式中，常数项是 ．12．（5分）若函数13(1)2,1(),1a x a x f x log x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域是R ，则实数a 的取值范围是 ．13．（5分）已知a ，b 是正数，且3ab a b =++，则ab 的最小值为 ．14．（5分）已知()x f x e =，()g x =若12()()f x g x =，21||d x x =-，则d 的最小值为 ． 15．（5分）设函数1|2|||,02()1|(2)()|,02x x x f x x x x ⎧-+-⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩，则函数1()2y f x x =-+的零点个数为 ；若1()2g x kx =-，且函数()()()F x f x g x =-有偶数个零点，则实数k 的取值范围是 ． 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（14分）求下列关于x 的不等式的解集： （Ⅰ）211xx --； （Ⅱ）2(21)20()ax a x a R +--<∈．17．（15分）设函数2(1)()(0,1)x xa t f x a a a --=>≠是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点3(1,)2．（Ⅰ）求t 和a 的值；（Ⅱ）若x R ∀∈，2()(1)0f kx x f x -+-<，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数m ，使函数22()22()x x g x mf x -=+-在区间[1，2log 3]上的最大值为1．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．18．（15分）如图，P ABCD -是一个四棱锥，已知四边形ABCD 是梯形，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AB CD ，1PD AD AB ===，2CD =，点E 是棱PC 的中点，点F 在棱PB 上，12PF FB =． （Ⅰ）证明：直线//BE 平面PAD ；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面DEF 与平面ABCD 的夹角的余弦值．19．（15分）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为F ，3，过点F 且与x 轴43． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆E 交于点C ，D 两点，且527AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值． 20．（16分）已知函数21()(1)2x f x x ax x a e -=-+-+，其中a R ∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若(0,1)a ∈，设()()(0)g x f x f =-，（ⅰ）证明：函数()g x 在区间(0,)+∞内有唯一的一个零点； （ⅱ）记（ⅰ）中的零点为0x ，证明：当0(0,)x x ∈时，11x xe a<+-．2021-2022学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x =，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}【解答】解：因为{1A =-，0，1，2}，2{|1}{|11}B x x x x ==-， 所以{1AB =-，0，1}，故选：A ．2．（5分）“22m n <”是“lnm lnn <” ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】解：lnm lnn <，则0m n <<，故22m n <， 反之，22m n <，得||||m n <，推不出lnm lnn <， 故“22m n <”是“lnm lnn <”的必要不充分条件． 故选：B ．3．（5分）下列函数中，在定义域上单调递增且为奇函数的是( ) A ．1()f x x=B ．()sin f x x =C ．()cos f x x x =D ．()sin f x x x =+【解答】解，根据题意，依次分析选项： 对于A ，1()f x x=，是反比例函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意， 对于B ，()sin f x x =，是正弦函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意， 对于C ，()cos f x x x =，有(0)()02f f π==，在其定义域上不是增函数，不符合题意，对于D ，()sin f x x x =+，其定义域为R ，有()sin ()f x x x f x -=--=-，()f x 为奇函数，且()1cos 0f x x '=+，在R 上为增函数，符合题意， 故选：D ．4．（5分）某部门为了了解一批树苗的生长情况，在3000棵树苗中随机抽取200棵，统计这200棵树苗的高度，将所得200个高度数据分为7组：[70，80)，[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140]，并绘制了频率分布直方图（如图），那么根据该图可推测，在这3000棵树苗中高度小于100cm 的树苗棵数是( )A ．360B ．600C ．840D ．1320【解答】解：由直方图可知，高度小于100cm 的树苗所占的频率为(0.0020.0060.012)100.2++⨯=所以在这3000棵树苗中高度小于100cm 的树苗棵数是30000.2600⨯=， 故选：B ．5．（5分）函数222()cos x xf x x x --=+在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：222()cos x x f x x x --=+，222()0cos f πππππ--∴=>+，222()0cos()()f πππππ---=<-+-， ∴选项B 符合，其它选项不符合．故选：B ．6．（5分）已知121()3a =，121log 3b =，31log 2c =，则( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>【解答】解：12132111(),log ,log 332a b c ===，102110()()133a ∴<=<=，112211132b log log =>=，331102c c log log ==<=， b a c ∴>>．故选：C ．7．（5分）设函数()1||xf x x =+，则下列结论中错误的是( ) A ．()y f x =的图象关于点(1,1)-对称 B ．()f x 在其定义域上单调递增 C ．()f x 的值域为(1,1)-D ．函数()()g x f x x =-有且只有一个零点【解答】解：根据题意，,01()1||,01xx x xf x xx x x ⎧⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩，依次分析选项： 对于A ，()1||x f x x =+，(0)0f =，2(2)3f -=-，(0，(0))f 与(2-，(2))f -不关于(1,1)-对称，A 错误；对于B ，,01()1||,01xx x xf x xx x x⎧⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩，在R 上为增函数，B 正确； 对于C ，,01()1||,01xx x xf x xx x x ⎧⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩，当0x 时，0()1f x <，同理0x <时，有1()0f x -<<， 综合可得：1()1f x -<<，即函数的值域为(1,1)-，C 正确； 对于D ，()0f x x -=即1||xx x =+，只有一解，即0x =，即函数()()g x f x x =-有且只有一个零点，D 正确； 故选：A ．8．（5分）以下区间为函数()||2||f x ln x =-的一个单调递增区间的是( ) A ．(3,2)--B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,)+∞【解答】解：作出函数()f x 的图象，如图所示，可得函数的一个单增区间为(1,2)， 故选：B ．9．（5分）已知函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>=⎨--+⎩，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围( ) A ．(4,2)--B ．(4,22)--C ．(3,2)--D ．(3,22)--【解答】解：令()f x t =，则方程2()()20f x bf x ++=⇔方程220t bt ++=． 如图是函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>=⎨--+⎩，的图象，根据图象可得：方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根⇔方程220t bt ++=．有两个不等实数解1t ，2t且1t ，2(1,2)t ∈．可得2228011203222220122b b b b b ⎧=->⎪+⋅+>⎪⎪⇒-<<-⎨+⋅+>⎪⎪<-<⎪⎩． 故选：D ．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10．（5分）若复数z 满足(1)12(i z i i -=+虚数单位），则||z = 10． 【解答】解：由(1)12i z i -=+， 得12(12)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i +++-+===--+， 所以22(1)310||z -+== 10． 11．（5分）62()x x展开式中，常数项是 60 ．【解答】解：62()x x-展开式的通项为33621662()()(2)r r r r r rr T C x C x x --+=-=-令3302r-=得2r =故展开式的常数项为2236(2)60T C =-= 故答案为60．12．（5分）若函数13(1)2,1(),1a x a x f x log x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域是R ，则实数a 的取值范围是 [1-，1) ．【解答】解：当1x >时，13()f x log x =，此时值域为(,0)-∞，依题意，当1x 时，[0，)()f x +∞⊆，显然10a -≠，即1a ≠，①若10a ->，即1a >时，()(1)2f x a x a =--单调递增，此时值域为(-∞，1]a --，不可能满足[0，)()f x +∞⊆，舍去；②若10a -<，即1a <时，()(1)2f x a x a =--单调递减，此时值域为[1a --，)+∞，则需10a --，1a -，故此时11a -<．综上，实数a 的取值范围为[1-，1)． 故答案为：[1-，1)．13．（5分）已知a ，b 是正数，且3ab a b =++，则ab 的最小值为 9 ． 【解答】解：a ，b 是正数，且323ab a b ab =+++，31)0ab ∴--=，∴3ab ，9ab ∴，故ab 的最小值为9，故答案为：9．14．（5分）已知()x f x e =，()g x =12()()f x g x =，21||d x x =-，则d 的最小值为 122ln - ． 【解答】解：设12()()(0)f x gx t t ==>，则1,x e t t ==，∴212,4t x lnt x ==，∴2||4t d lnt =-，设2()4t ht lnt =-，则1(()22t t t h t t t +'=-=，易知函数()h t在单调递减，在)+∞单调递增，且0t →时，()h t →+∞，t →+∞时，()h t →+∞，122ln h -=， ∴12|()|2min ln h t -=，即d 的最小值为122ln -．故答案为：122ln -． 15．（5分）设函数1|2|||,02()1|(2)()|,02x x x f x x x x ⎧-+-⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩，则函数1()2y f x x =-+的零点个数为 1个 ；若1()2g x kx =-，且函数()()()F x f x g x =-有偶数个零点，则实数k 的取值范围是 ．【解答】解：函数1()2y f x x =-+的零点个数等价于1()2f x x =-的解的个数， 又方程1()2f x x =-的解的个数等价于函数()y f x =与12y x =-的交点个数， 又52,2231,22251()2,0221(2)(),02x x x f x x x x x x ⎧-⎪⎪⎪<⎪⎪=⎨-<⎪⎪⎪++⎪<⎪⎩，作出函数的图象如图所示，函数12y x =-与函数()y f x =只有一个交点， 故第一个空应填1个，函数()()()F x f x g x =-有偶数个零点，则()()f x g x =有偶数个解， 即()y f x =与()y g x =有偶数个交点，根据图象知12k <<时有2个交点， 当122x --时，设1(2)()2y x x =-++在0x x =处的切线过点1(0,)2-， 由1(2)()2y x x =-++，可得522y x '=--，所以切线斜率为005|22x x y x ='=-，所以函数在0x x =处的切线方程为000015(2)()(2)()22y x x x x x +++=--，又切线过点1(0,)2-，所以0000115(2)()(2)(0)222x x x x -+++=--，解得0x =，此时52k ，()y f x =与()y g x =有3个交点，不是偶数， ()g x 过点1(2-，0)时，512k =->，()y f x =与()y g x =有3个交点，不是偶数，()g x 过点(2,0)-时，14k =-，()y f x =与()y g x =有1个交点，不是偶数，所以函数()()()F x f x g x =-有偶数个零点时k 的取值范围为(-∞，552)(222--⋃，1)(1--⋃，1)4-．故答案为：1；(-∞，552)(222--⋃，1)(1--⋃，1)4-．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（14分）求下列关于x 的不等式的解集： （Ⅰ）211xx --； （Ⅱ）2(21)20()ax a x a R +--<∈． 【解答】解：（Ⅰ）不等式211x x --，即2301x x --，即(23)(1)0x x --，且10x -≠， 求得1x <，或32x，故不等式的解集为3(,1)[2-∞，)+∞． （Ⅱ）对于不等式2(21)20()ax a x a R +--<∈，当0a =时，不等式即20x --<， 故它的解集为(2,)-+∞．由于当0a ≠时，2(21)20ax a x +--=的根为2-和1a， 当0a >时，12a >-，求得不等式2(21)20ax a x +--<的解集为1(2,)a-， 当0a <时，若12a =-，不等式即2(2)0x +<，它的解集为∅；若102a -<<，12a <-，不等式的解集1(a ，2)-；若12a <-，12a >-，不等式的解集1(2,)a-．综上，当0a =时，它的解集为(2,)-+∞；当12a =-时，它的解集为∅；当0a >，或12a <-时，它的解集为1(2,)a -，当102a -<< 时，它的解集1(a，2)-．17．（15分）设函数2(1)()(0,1)x xa t f x a a a --=>≠是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点3(1,)2．（Ⅰ）求t 和a 的值；（Ⅱ）若x R ∀∈，2()(1)0f kx x f x -+-<，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数m ，使函数22()22()x x g x mf x -=+-在区间[1，2log 3]上的最大值为1．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）因为()f x 是定义域为R 的奇函数， 所以(0)0f =，即1(1)01t --=，解得2t =， 经检验，当2t =时符合题意， 所以()x x f x a a -=-， 又()y f x =的图象过点3(1,)2，则132a a --=，解得2a =或12a =-， 又0a >且1a ≠， 所以2a =；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，()22x x f x -=-， 因为x R ∀∈，2()(1)0f kx x f x -+-<， 即2()(1)f kx x f x -<--对x R ∀∈恒成立， 因为()f x 为奇函数，则2()(1)f kx x f x -<-对x R ∀∈恒成立， 又()22x x f x -=-为R 上的单调递增函数， 所以21kx x x -<-对x R ∀∈恒成立，即2(1)10x k x -++>对x R ∀∈恒成立， 则△2(1)40k =+-<，解得31k -<<， 所以实数k 的取值范围为(3,1)-；（Ⅲ）由题意2222()22()22(22)x x x x x x g x mf x m ---=+-=+--， 令22x x t -=-，则222(22)222x x x x ---=+-， 所以22222(22)2x x x x m t mt --+--=-+， 因为[1x ∈，2log 3]， 所以38[,]23t ∈，记函数2()2h t t mt =-+，则函数()h t 在38[,]23上有最大值1，①若对称轴25212m t =>， 则3173()()1242max h t h m ==-=，解得136m =（舍)；②当对称轴25212m t =， 则252128()()3maxm h t h ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2567324m m ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以7324m =． 综上所述，存在实数7324，使函数22()22()x x g x mf x -=+-在区间[1，2log 3]上的最大值为1． 18．（15分）如图，P ABCD -是一个四棱锥，已知四边形ABCD 是梯形，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AB CD ，1PD AD AB ===，2CD =，点E 是棱PC 的中点，点F 在棱PB 上，12PF FB =． （Ⅰ）证明：直线//BE 平面PAD ；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面DEF 与平面ABCD 的夹角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接AG ，GE ， 因为G ，E 分别为PD ，PC 的中点， 则//GE DC ，12GE DC =， 又//AB DC ，12AB DC =， 所以//GE AB 且GE AB =， 故四边形AGEB 为平行四边形， 所以//BE AG ，又BE ⊂/平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， 所以//BE 平面PAD ；（Ⅱ）解：因为PD ⊥平面ABCD ，且AD ，DC ⊂平面ABCD ， 则PD AD ⊥，PD DC ⊥，又AD CD ⊥，故以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 所以1(1,1,0),(0,1,),(0,0,0),(0,0,1)2B E D P ，则1(1,0,),(0,0,1),(1,1,0)2BE DP DB =-==，1(0,1,)2DE =，设平面PBD 的法向量为(,,)m x y z =， 则0m DP z m DB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令1x =，则1y =-， 故(1,1,0)m =-， 所以||10|cos ,|||||1101104BE m BE m BE m ⋅<>===++⨯++ 所以直线BE 与平面PBD 10； （Ⅲ）解：因为12PF FB =，则12PF FB =，所以1()2DF DP DB DF -=-，故2121112(0,0,1)(1,1,0)(,,)3333333DF DP DB =+=+=，设平面DEF 的法向量为(,,)n a b c =， 则1120333102n DF a b c n DE b c ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令2c =，则1b =-，3a =-， 故(3,1,2)n =--，又平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)s =， 所以||214|cos ,|||||7914001n s n s n s ⋅<>===++⨯++， 故平面DEF 与平面ABCD 的夹角的余弦值为147．19．（15分）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为F，3，过点F 且与x 轴43． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆E 交于点C ，D 两点，且527AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值．【解答】解：（1）设(,0)F c -，由c a =，知a =． 过点F 且与x 轴垂直的直线为x c =-，代入椭圆方程有2222()1c y a b -+=，解得y ==，解得b ，又222a c b -=，从而a =1c =，所以椭圆的方程为22132x y +=．（2）设点1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由(1,0)F -得直线CD 的方程为(1)y k x =+， 联立直线方程和椭圆方程，消去y ，整理得2222(23)636k x k x k +++-．求解可得2122623k x x k +=-+，21223623k x x k -=+．因为(A 0)，B ，0)，所以11222211(),)(),)AC DB AD CB x y x y x y x y ⋅+⋅=+⋅-+⋅- 212121212622622(1)(1)x x y y x x k x x =--=--++2222121222126(22)2()2623k k x x k x x k k +=-+-+-=++， 由已知得22212526237k k ++=+，解得2k =±． 20．（16分）已知函数21()(1)2x f x x ax x a e -=-+-+，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若(0,1)a ∈，设()()(0)g x f x f =-，（ⅰ）证明：函数()g x 在区间(0,)+∞内有唯一的一个零点； （ⅱ）记（ⅰ）中的零点为0x ，证明：当0(0,)x x ∈时，11x xe a<+-． 【解答】（Ⅰ）解：2?1()?(?1)()2x f x x ax x a e a R =++∈， 则1()??(?)(x x x x a e f x x a x a e e--'==)，若0a =，则当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '>， 所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；若0a >，则当0x <时，()0f x '>，当0x a <<时，()0f x '<，当x a >时，()0f x '>， 所以()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增；若0a <，则当x a <时，()0f x '>，当0a x <<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(,)a -∞单调递增，在(,0)a 单调递减，在(0,)+∞单调递增． 综上所述，当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增； 当0a <时，()f x 在(,)a -∞单调递增，在(,0)a 单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）()i 证明：由（1）可知，当01a <<时，()g x 在(0，}a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，所以g （a ）(0)0g <=， 又21(22)(22)?(22)(3)?(22)?(1?)31(3)?(22)3102g a a a a a c a a a a c a a +=+++++=+++++>，所以()g x 存在唯一正零点0(,22)x a a ∈+， 故()g x 有唯一正零点； （ⅱ）证明：设()??11x xh x e a=-， 则1()?1x h x e a'=-， 当0(1)x ln a <<--时，()0h x '<， 当(1)x ln a >--时，()0h x '>，所以()h x 在(0，(1))ln a --上单调递减，在((1)ln a --，)+∞上单调递增， 又因为(0)0h =，所以要证明0(0,)x x ∀∈，11x xe a<+-， 只需要证明0()0h x ， 即证_0011x x e a +-，即证0011?x x aa e+-， 因为0()(0)f x f =，即020001?1?2x x x aax a e +-+=，所以只需证02000011?2x x x x ax aax ee +-+-+，即证02x a ， 因为()f x 在(,)a +∞单调递增， 所以只需证明0()(2)f x f a ， 因为0()(0)f x f =， 所以只需证明(2)(0)f a f ，因为21(2)?(0)?(1?)a a f a f a e+=， 设r （a ）21?1(1)aa a e +=-，则r '（a ）22220(1)aa a e =>-，所以r （a ）在(0,1)上单调递增， 所以r （a ）(0)0r >=， 所以(2)(0)f a f >， 所以原不等式得证．。